Transformada de Laplace.

Transformada de Laplace.La Transformada de Laplace es una tcnica Matemtica que forma parte de ciertastransformadas integralescomo la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas estn definidas por medio de una integral impropia ycambian una funcin en una variable de entrada en otra funcin y en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algn tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes.CONTEXTOSistemas lineales.Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposicin. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicacin simultnea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada cada vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuacin diferencial lineal a partir de soluciones simples.Si en una investigacin experimental de un sistema dinmico son proporcionales la causa y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposicin, el sistema se considera lineal.

DEFINICIN DE LA TRANSFORMADASeafuna funcin definida para , latransformada de Laplacedef(t)se define como:

Cuando tal integral converge. UNA INTEGRAL DEL TIPO.

Es unaIntegral Impropia del tipo I, se dice que ellaconvergesi existe el lmite

Es decir se sustituye el infinito por una nueva variable; se calcula la integral definida, y al resultado se le aplica el lmite cuando la variable nueva tiende al infinito.La letrasrepresenta una nueva variable, que para el proceso de integracin se considera constante.

2. La transformada de Laplace convierte una funcin enten una funcin en la variables

3. Condiciones para la existencia de la transformada de una funcin:

1. De orden Exponencial

2. Continua a trozosNOTAS:TABLA DE TRANSFORMADAS

Transformada de un derivada.

Transformada inversa.

Primer Teorema de traslacin.

Funcin escaln unitario.

Su transformada de la funcin escaln unitario.

Segundo Teorema de traslacin.

Teorema de convolucin.

Transformada de una integral.

Circuito RLC.

La funcin de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.LA FUNCIN DE TRANSPARENCIALa funcin de transferenciaSolo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.

Es una descripcin entrada salida del comportamiento del sistema.

Depende de las caractersticas del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada.

No proporciona informacin acerca de la estructura interna del sistema.La Funcin de TransparenciaCircuito RL

Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:

Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:

la relacin corriente voltaje en Laplace, queda:

determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas lassingularidades de F(s) queden a su izquierda.Transformada inversa de LaplaceAl proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante:

conocida tambin como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.

determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas lassingularidades de F(s) queden a su izquierda.Con condiciones de existencia:

Desarrollo en fracciones parciales:

Se utiliza para facilitar el clculo de la transformada inversa, descomponiendo la funcin en componentes ms sencillos.

Races del denominador D(s) o polos de F(s):Caso I Polos reales simples

Caso II Polos reales multiples

Caso III Polos complejos conjugados

Caso IV Polos complejos conjugado mltiples

Caso I Polos reales simples

Ejemplo:

20

mtodoalternativoy resolver...2021

La transformada inversa de Laplace es:

2122Caso II Polos reales mltiples

Ejemplo

Polos realessimplesPolos realesmltiples2223

2324Transformada inversa de Laplace:

2425Caso III Polos complejos conjugadosejemplo

conjugados complejos

Transformada inversa de Laplace:

2526Se trata de repetir los mtodos usados en los casos II y III,teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.Caso IV factores complejos conjugados mltiples

26Ejercicios de Transformada de la place

Este mtodo solo aplica en caso especial cuando

Donde P y Q son polinomios y Q es un producto de factores distintos

Para esto se tiene que definir la funcin f(t) como lo indica la funcin escaln unitario

Aplicando linealidad y resolviendo la ecuacin

Graficando la funcin unitaria

Evaluando las graficas de las siguientes funciones