Transformaciones Isom´etricas · Se tienen los siguientes vectores Para sumarlos se dibujan uno a...

Transformaciones Isometricas

Io Medio

Profesor:Alberto Alvaradejo Ojeda

Indice1. Transformacion Isometrica 3

1.1. Traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Suma de vectores 6

3. Composicion de traslaciones 73.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. Simetrıa axial y central 114.1. Simetrıa axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1.1. Reflexion con respecto al eje Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1.2. Reflexion con respecto al eje X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2. Simetrıa central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5. Rotacion 205.1. Rotacion del triangulo A respecto al origen en 90o . . . . . . . . . . . . . . . 215.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Transformaciones Isometricas - Io Medio

1. Transformacion IsometricaSe denomina transformacion isometrica de una figura en el plano aquella transformacion queno altera ni la forma ni el tamano de la figura en cuestion y que solo involucra un cambio deposicion de ella (en la orientacion o en el sentido), resultando que la figura inicial y la finalson semejantes, y geometricamente congruentes.Entre las transformaciones isometricas estan las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las re-flexiones (o simetrıas), que seran vistas a continuacion y que su estudio sera pieza fundamentalpara la posterior comprension de contenidos tales como las teselaciones o embaldosados.

1.1. TraslacionTraslacion es el desplazamiento de una figura en el plano, manteniendo su forma, orientaciony medida. Para trasladar una figura necesitamos un vector que nos indica direccion, sentidoy magnitud de la traslacion.

Ejemplo 1.1.1 El triangulo ABC de la figura se traslado segun el vector −→u (−3, 2), obte-niendose el triangulo A′B′C ′.

Triangulo ABC Vector Traslacion Triangulo A′B′C ′

A(1,-1) A’(1+-3,-1+2) A’(-2,1)

B(2,3) B’(2+-3,3+2) B’(-1,5)

C(4,1) C’(4+-3,1+2) C’(1,3)

En general:P (x, y) trasladado por un vector −→u (a, b) corresponde a P ′(x+ a, y + b)

Alberto Alvaradejo O. 3


1.2. Ejercicios1) Determina el vector que describe cada una de las siguientes traslaciones de los polıgonos

del plano

a) A a Bb) E a Dc) A a Dd) E a Ce) F a Cf) B a Fg) D a Eh) F a B

2) Dibuja el triangulo ABC de vertices A(−3, 2), B(−1,−1) y C(2, 1) y trasladalo segunlos siguientes vectores:

a) a(1, 2)b) b(−3, 6)c) c(2, 5)d) d(−3,−7)



3) Determinar el vector traslacion si:

a) M(2, 8)→M ′(−3, 5)b) P (1, 2)→ P ′(−3, 4)c) Q(−3,−4)→ Q′(4, 5)

4) Resuelve los siguientes problemas :

a) La base de un triangulo isosceles tiene como extremos los puntos A(1, 1) y B(5, 1)y el punto del vertice opuesto a la base del triangulo tiene su ordenada negativa.Traslada el triangulo segun el vector −→v (–4, 5) ¿Cuales son los nuevos vertices?

b) Las coordenadas de tres vertices de un rectangulo son P (–1, –1), Q(1, –1) y T (1, 4).Traslada el rectangulo segun el vector −→V (3, –3). ¿Cuales son los nuevos vertices?

c) La diagonal de un cuadrado tiene como extremos a los puntos H(–1, 2) y F (–4, 5).Traslada el cuadrado segun el vector −→m(5, –1). ¿Cuales son los nuevos vertices?

d) Un triangulo obtusangulo tiene uno de sus vertices sobre el eje de las ordenadas.Traslada el triangulo segun el vector −→e (–1, –3) y luego el triangulo obtenido segunel vector −→f (2, 5). ¿Cuales son los nuevos vertices?.

e) Un segmento cuyos extremos son los puntos K(3, –1) y M(–1, 5) es trasladado segunel vector −→m(5, –1). Determina un nuevo vector traslacion que permita mover el puntoK al origen.



2. Suma de vectoresSe tienen los siguientes vectores

Para sumarlos se dibujan uno a continuacion del otro

Se une el origen de s con el extremo final de m

−→s (2,−2) y −→m(2, 3)−→s +−→m = (2 + 2,−2 + 3) = (4, 1)

Si tenemos los vectores−→a (x1, y1) y −→b (x2, y2)

Se define la suma−→a +−→b

Como−→a +−→b = (x1 + x2, y1 + y2)



3. Composicion de traslaciones

3.1. DefinicionConsiste en realizar traslaciones sucesivas.

Ejemplo 3.1.1 AplicacionTrasladar un punto T con un vector −→u obteniendo ATrasladar el punto A con un vector −→v obteniendo BObtendrıamos B si aplicamos a T una traslacion con vector −→u +−→v



3.2. Ejercicios1) Obten la suma de los vectores en forma grafica:

a) −→v +−→w

b) −→v +−→w

c) −→v +−→w



2) Dibuja en el plano el cuadrilatero ABCD de coordenadas A(2, 3), B(−1, 4), C(−3, 2) yD(−2,−1).

a) Expresa a traves de componentes los vectores:−→AB, −−→BC, −−→CD, −−→DA

b) Calcula la suma: −→AB +−−→BC +−−→CD +−−→DA



3) Una traslacion descrita por el vector −→v (2, 5) transforma el punto P en P ′. Si se aplica aP ′ una traslacion con vector −→u (8,−11) se obtiene P ′′. Determinar el vector que trasladade P a P ′′.

4) Trasladar el 4ABC de la figura con respecto al vector −→u , para obtener A′B′C ′. Luegotraslada A′B′C ′ con respecto a −→v , para obtener A′′B′′C ′′. ¿Cuales son las coordenadasde A′′, B′′, y C ′′. ¿Que vector traslada directamente ABC a A′′B′′C ′′?



4. Simetrıa axial y central

4.1. Simetrıa axialEn la simetrıa axial cada punto se refleja respecto de una recta llamada eje de simetrıa o dereflexion.

DE: eje de simetrıa

A y A′ equidistan de la recta DE.

AA′ perpendicular al eje DE.

B y B′ equidistan de la recta DE.

BB′ perpendicular al eje DE.

C y C ′ equidistan de la recta DE.

CC ′ perpendicular al eje DE.



4.1.1. Reflexion con respecto al eje Y



4.1.2. Reflexion con respecto al eje X

En resumen:La imagen de un punto P (x, y) que se refleja con respecto al eje X corresponde a P ′(x,−y).Si la reflexion se realiza con respecto al eje Y , la imagen de P resulta P ′′(−x, y).



4.1.3. Ejercicios

1) Refleja el punto A respecto de cada recta:

2) Identifica las coordenadas de los puntos que fueron reflejados con respecto al eje X,obteniendo las siguientes imagenes:

a) (−3, 10)b) (−8,−9)c) (0,−4)d) (−11,−1)e) (−21, 0)f) (−2; 0, 1)g) (−3, 6;−9, 2)

h) (25 ,

15)

3) Identifica las coordenadas de los puntos que fueron reflejados con respecto al eje y,obteniendo las siguientes imagenes:

a) (7,−3)b) (−2,−4)c) (−3, 0)



d) (−9, 4)e) (0,−10)f) (0,−10)g) (6;−1, 1)h) (−8, 5; 1, 3)

i) (−23 ,−49 )

4) Aplica las reflexiones y determina los vertices de las imagenes:

a) Triangulo de vertices A(0, 0), B(3, 8) y C(–2, 1) respecto del eje X.

b) Cuadrilatero de vertices P (−4,−3), Q(1/8,−2/3), R(2,−2) y S(−1/8,−7) respectoal eje X.

c) Pentagono de vertices A(−4,−3), B(−3,−5), C(−1,−5), D(0,−3) y E(−2,−2)respecto al eje X.

d) La diagonal de un cuadrado tiene como extremos los puntos (1, 1) y (–3, 5). Reflejael cuadrado respecto del eje Y . ¿Cuales son las coordenadas de los extremos de ladiagonal resultante?

e) Un rectangulo ha sido reflejado con respecto al eje X quedando los extremos de unadiagonal en los puntos (1, 2) y (4, –2) ¿Cuales son las coordenadas de los verticesdel rectangulo original?



f) Un rectangulo que tiene dos de sus vertices en los puntos (–1, 1) y (3, 4), se reflejacon respecto al origen. ¿Cuales son las nuevas coordenadas del rectangulo?

g) La diagonal de un pentagono regular de coordenadas E(–4, 1) y H(−5/2; 5, 6) esreflejado con respecto a la recta y = 5, y el resultante es reflejado con respecto ala recta x = 2. ¿Cuales son las coordenadas de la diagonal del pentagono luego dehacer la segunda reflexion?



4.2. Simetrıa centralEs una transformacion isometrica en que un punto se refleja con respecto a otro punto fijollamado centro de simetrıa.En la figura, al triangulo ABC se le aplico una simetrıa central respecto al origen (0, 0)obteniendo como imagen A′B′C ′.

A(2, 2)→ A′(−2,−2)

B(4, 2)→ B′(−4,−2)

C(2, 5)→ C ′(−2,−5)

En el plano cartesiano, la imagen de un punto P (x, y) que se refleja con respecto al origenes P ′(−x,−y).



4.3. Ejercicios1) Construye la simetrica a cada figura aplicando simetrıa central de acuerdo al punto

indicado:

a) Respecto del punto D

b) Respecto del punto E

c) Respecto del punto H



2) ¿Cuales son las coordenadas del punto P ′, simetrico de P en la simetrıa de centro elpunto O?

3) O(1, 1), P (−3,−3)

4) O(−2, 1), P (2,−3)



5. RotacionLa rotacion es una transformacion en el plano que consiste en girar todos los puntos de unafigura en torno a un punto O fijo llamado centro de rotacion, en una medida angular αllamado angulo de rotacion, tal que cada punto gira siguiendo un arco de circunferencia quetiene como centro O y un angulo α.

Recuerda que si el angulo de rotacion es positivo, el giro se realiza en sentido anti horario ysi el angulo de rotacion es negativo, el giro se realiza en sentido horario.

En la figura el triangulo ABC fue rotado con respecto al punto P en un angulo de 90o.

Observacion: La equivalencia de un angulo α en sentido antihorario en otro angulo en sen-tido horario se puede calcular como 360o–α.

Por ejemplo, la rotacion en 90o en sentido antihorario, es equivalente a realizar la rotacionen 270(–90o) en sentido horario, ya que, 360o–90o = 270o.

La rotacion de un punto (x, y) respecto de un centro O y un angulo α puede ser definidacomo una funcion R0,α.

Rotacion (+): en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

Rotacion (–): en el mismo sentido que el giro de las manecillas del reloj.



5.1. Rotacion del triangulo A respecto al origen en 90o

A(0, 0)→ A′(0, 0)→ A′′(0, 0)→ A′′′(0, 0)

B(3, 0)→ B′(0, 3)→ B′′(−3, 0)→ B′′′(0,−3)

C(0, 2)→ C ′(−2, 0)→ C ′′(0,−2)→ C ′′′(2, 0)

Para rotar un punto P (x, y) en el plano cartesiano respecto al origen (O) y un angulo derotacion α, el punto imagen se obtiene utilizando las siguientes expresiones:

R(0, 90o)(x, y) = (–y, x)

R(0, 180o)(x, y) = (–x, –y)

R(0, 270o)(x, y) = (y, –x)

R(0, 360o)(x, y) = (x, y)

R(0, –90o)(x, y) = (y, –x)

R(0, –180o)(x, y) = (–x, –y)

R(0, –270o)(x, y) = (–y, x)

R(0, –360o)(x, y) = (x, y)



5.2. Ejercicios1) Aplica la rotacion con respecto al origen segun el angulo de giro indicado para cada

uno de los puntos.

a) R(0, 90o)(5, –2)b) R(0, 270o)(1, –1)c) R(0, 180o)(–8, 3)d) R(0, 360o)(–6, –5)e) R(0, –270o)(9, –15)f) R(0, –90o)(–14, –36)g) R(0, –180o)(–2, –7)h) R(0, –360o)(–32, 5)

2) Identifica el angulo de rotacion aplicado para obtener la imagen dada.

a) R(0, α)(–1, 3) = (3, 1)b) R(0, α)(5, –2) = (–2, –5)c) R(0, α)(–6, –7) = (6, 7)d) R(0, β)(–1, –5) = (5, –1)e) R(0, µ)(–8, –10) = (8, 10)f) R(0, γ)(5, –3) = (–3, –5)g) R(0, δ)(1, 5) = (1, 5)h) R(0, ε)(–3, 7) = (–7, –3)

3) Identifica las coordenadas del punto original, dados el angulo de giro y su imagen.

a) R(0, 90o)(x, y) = (5, –9)b) R(0, 180o)(x, y) = (–1, 2)c) R(0, 270o)(x, y) = (–8, 0)d) R(0, 360o)(x, y) = (–10, –3e) R(0, –90o)(x, y) = (–7, 11)f) R(0, –180o)(x, y) = (6, –1)g) R(0, –270o)(x, y) = (–4, –13)h) R(0, –360o)(x, y) = (–5, 2)



4) Identifica el angulo de giro opuesto equivalente al angulo dado.

a) –60o

b) 370o

c) 120o

d) –10o

e) –200o

f) 180o

5) Resuelve los siguientes problemas.

a) ¿Cuales son las coordenadas del punto (–3, –5) una vez que se le ha aplicado larotacion R(0, 90o)

b) ¿Cuales son las coordenadas del punto (1, 7) una vez que se le ha aplicado la rotacionR(0, 180o)?

c) Si las coordenadas de un punto al ser rotado respecto al origen en 90o son (4, 1),¿cuales son las coordenadas del punto antes de rotarlo?

d) Si las coordenadas de un punto al ser rotado respecto al origen en 180o son (–2, 5),¿cuales son las coordenadas del punto antes de rotarlo?

e) Los vertices de un triangulo son A(–1, –1), B(–3, –1) y C(–1, –4) y se le ha aplicadouna rotacion R(0, 90o). ¿Cuales son los vertices despues de la rotacion?



f) El cuadrado cuyos extremos de la diagonal son los puntos M(3, 1) y N(3, –1) se le haaplicado una rotacion R(0, 180o) ¿Cuales son las nuevas coordenadas de los verticesdel cuadrado?

g) Uno de los vertices de un triangulo esta sobre el origen y los otros dos correspondena los puntos P (–3, –1) y Q(0, –5) ¿Cual es la nueva coordenada de P al ser rotadoen 90o?

h) A un cuadrilatero ABCD se le ha aplicado la rotacion R(O, –90o). Si la figura resul-tante tiene vertices A′(–3, 4), B′(–4, 7), C ′(–1, 8) y D′(–1, 7), determina los verticesdel cuadrilatero ABCD.

i) Un arquitecto esta modificando el plano de un departamento. Le solicitaron rotar en180o la puerta cuyos vertices se ubican en los puntos (7, –2) y (6, –3), considerandocomo centro de rotacion el punto (1, –3) ¿Cuales son las coordenadas del nuevo lugardonde ira la puerta?.


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