Transformaciones Geométricas

Diapositiva 1

Transformaciones GeomtricasM.C. Beatriz Adriana Sabino MoxoTraslacin

Esta operacin se usa para mover un objeto o grupo de objetos de manera lineal a una nueva ubicacin en el espacio bidimensional.

Transformaciones bidimensionales2

Traslacin

Suponga que desea mover un punto p=(x,y) dentro del plano por un factor de desplazamiento de tx unidades en horizontal y ty unidades en vertical, las coordenadas del nuevo punto p sern:x = x + txy = y + ty

Transformaciones bidimensionales3Traslacin


x = x + txy = y + ty

Traslacin

Ejemplo:

Se tiene el punto p=(1,1) y se desea hacer una traslacin tx=3 y ty=4, Cules son las nuevas coordenadas?

x = 1 + 3 = 4y = 1 + 4 = 5

Transformaciones bidimensionales5p(x,y) = (4,5)

(1,1)Traslacin

Ejemplo:

Se tiene el punto (1,1) y se desea hacer una traslacin tx=3 y ty=4, Cules son las nuevas coordenadas?

x = 1 + 3 = 4y = 1 + 4 = 5

Transformaciones bidimensionales6(x,y) = (4,5)

p= (4,5)ty=4tx=3Rotacin

Esta transformacin geomtrica se usa para mover un objeto o grupo de objetos alrededor de un punto.


Rotacin

La ecuacin para la rotacin un punto p=(x,y) es:x = xcos - yseny = xsen + ycos

Transformaciones bidimensionales8Rotacin

Transformaciones bidimensionales9x = xcos - yseny = xsen + ycos

Rotacin

Ejemplo:Sea el punto p = (3,3), rotar por el factor =90

x = 3cos90 - 3sen90 = -3y = 3sen90 + 3cos90 = 3


Rotacin

Ejemplo:Sea el punto p = (3,3), rotar por el factor =90

x = 3cos90 - 3sen90 = -3y = 3sen90 + 3cos90 = 3


=90Escalacin o Escalamiento

Es una transformacin que permite cambiar el tamao o la proporcin de un objeto o grupo de objetos. Hay escalados proporcionales y no proporcionales.


Escalacin

La ecuacin para el escalar un punto (x,y) es:x = xSxy = ySyDonde Sx y Sy son factores de escala sobre los ejes x y y respectivamente

Transformaciones bidimensionales13Escalacin

Ejemplo:Sea un triangulo con los puntos p1=(1,1), p2=(3,1) y p3=(3,2) con Sx=2 y Sy=2.P1 = (1*Sx, 1*Sy) = (1*2, 1*2) = (2,2)P2 = (3*Sx, 1*Sy) = (3*2, 1*2) = (6,2)P3 = (3*Sx, 2*Sy) = (3*2, 2*2) = (6,4)


Escalacin

Ejemplo:Sea un triangulo con los puntos p1=(1,1), p2=(3,1) y p3=(3,2) con Sx=2 y Sy=2.P1 = (1*Sx, 1*Sy) = (1*2, 1*2) = (2,2)P2 = (3*Sx, 1*Sy) = (3*2, 1*2) = (6,2)P3 = (3*Sx, 2*Sy) = (3*2, 2*2) = (6,4)


(2,2)(6,4)(6,2)Escalado proporcional Escalacin

Ejemplo:El mismo triangulo del ejemplo anterior con Sx=2 y Sy=3P1 = (1*Sx, 1*Sy) = (1*2, 1*3) = (2,3)P2 = (3*Sx, 1*Sy) = (3*2, 1*3) = (6,3)P3 = (3*Sx, 2*Sy) = (3*2, 2*3) = (6,6)


(2,3)(6,6)(6,3)Escalado no proporcional EjerciciosSea el cuadrado con los puntos p1=(2,2), p2=(4,2), p3=(2,4) y p4=(4,4), realizar las siguientes transformaciones y graficarlas:

Una traslacin en tx=6 y ty=3. Un escalamiento Sx=6 y Sy=3. Una rotacin con = 45


(2,4)(4,4)(2,2)(4,2)EjerciciosSoluciones

Traslacin en tx=6 y ty=3:

p1=(8,5), p2=(10,5), p3=(8,7), p4=(10,7).


(2,4)(4,4)(2,2)(4,2)(8,7)(10,7)(8,5)(10,5)EjerciciosSoluciones

Un escalamiento Sx=2 y Sy=1:

p1=(4,2), p2=(8,2), p3=(4,4), p4=(8,4).


(2,4)(4,4)(2,2)(4,2)(8,4)(8,2)

EjerciciosSoluciones

Una rotacin con = 45:

p1=(-2,-2), p2=(-4,-2), p3=(-2,-4), p4=(-4,-4).

Transformaciones bidimensionales20(2,4)(4,4)(2,2)(4,2)(-4,-2)(-2,--2)(-4,-4)(-2,-4)=180El uso de coordenadas homogneas permite tratar todas las transformaciones geomtricas como una multiplicacin de matrices.

Las coordenadas agregan un tercer componente a las coordenadas bidimensionales. De tal forma que, un punto (x,y) pasa a ser (x,y,W). El valor de W es generalmente 1.

Coordenadas homogneas y representacin matricial21Traslacin

Coordenadas homogneas y representacin matricial22

x = x + 0 + txy = 0 + y + ty1 = 1x = x + txy = y + typ= p.MtTraslacinEjemplo:

Coordenadas homogneas y representacin matricial23x = 1 + 0 + 3= 4y = 0 + 1 + 4 = 51 = 1p(x,y)= (4,5)p= p.Mt(x,y ,1) = (1,1,1)Se tiene el punto p=(1,1) y se desea hacer una traslacin tx=3 y ty=4, Cules son las nuevas coordenadas?1 0 00 1 03 4 1Rotacin

Coordenadas homogneas y representacin matricial24

x = xcos - y sin + 0y = xsin + ycos + 01 = 1x = xcos - y siny = xsin + ycosp= p.MRRotacinEjemplo:

Coordenadas homogneas y representacin matricial25x = 0 - 3 + 0 = -3y = 3 + 0 + 0 = 31 = 1p(x, y)= (-3,3)p= p.MR(x,y 1) = (3,3,1)Rotar el punto p = (3,3) con =90cos90 sen90 0-sen90 cos90 00 0 1Escalacin

Coordenadas homogneas y representacin matricial26x = Sxy = Syx = Sxy = Sy1 = 1

p= p.MsEscalacinEjemplo:

Coordenadas homogneas y representacin matricial27x = 9 + 0 + 0 = 9y = 0 + 15 + 0 = 151 = 1p(x, y)= (9,15)p= p.Ms(x,y 1) = (3,3,1)Escalar el p = (3,3) con Sx=3, Sy=5 3 0 00 5 00 0 1Para aplicar varias transformaciones a un conjunto de puntos basta con combinar las matrices de transformacin en una sola mediante multiplicacin matricial.

[M1][M2][M3][M4].[MN]=[MR]

p=p.[MR]

Composicin de transformaciones bidimensionales28EjemploAplicar al punto p(4,5) las siguientes transformaciones:Traslacin tx= 2, ty=3Escalacin Sx=4,Sy=4 Rotacin de =90

Composicin de transformaciones bidimensionales29p(x,y,1)=(4,5,1).[MR]1 0 00 1 02 3 14 0 00 4 00 0 1cos90 sen90 0-sen90 cos90 00 0 1= [MR]EjemploTraslaciones sucesivas.

Composicin de transformaciones bidimensionales30

EjemploRotaciones sucesivas.


EjemploEscalados sucesivos.


Rotacin de punto de pivote general

Para rotar un objeto respecto a un punto arbitrario PC se siguen los siguientes pasos:

Trasladar el punto Pc al origen (Mt)Rotar el objeto un ngulo (MR)Trasladar el punto Pc a su posicin original (Mt-1)

Composicin de transformaciones bidimensionales33Rotacin de punto de pivote general C=(Cx, Cy)

Trasladar el punto C al origen (Mt)Rotar el objeto un ngulo (MR)Trasladar el punto C a su posicin original (Mt-1)

Composicin de transformaciones bidimensionales341 0 00 1 0-Cx Cy 1cos90 sen90 0-sen90 cos90 00 0 11 0 00 1 0Cx Cy 1Rotacin de punto de pivote general


Escalacin de punto de pivote general C=(Cx, Cy)

Trasladar el punto C al origen (Mt)Escalar el objeto con Sx y SyTrasladar el punto C a su posicin original (Mt-1)

Composicin de transformaciones bidimensionales361 0 00 1 0-Cx Cy 1Sx 0 00 Sy 00 0 11 0 00 1 0Cx Cy 1

Escalacin del punto fijo general

Composicin de transformaciones bidimensionales37GRACIAS!38

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