182 CAPTULO 2 Funciones

2.4 Transformaciones de funciones

En esta seccin se estudia cmo ciertas transformaciones de una funcin afectan sugrfica. Esto proporciona una mejor comprensin de cmo graficar funciones. Lastransformaciones que se estudian son desplazamiento, reflexin y estiramiento.

Desplazamiento vertical

Sumar una constante a una funcin desplaza su grfica en direccin vertical: hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si es negativa.

Ejemplo 1 Desplazamientos verticales de grficas

Use la grfica de para trazar la grfica de cada funcin.a) b)Solucin La funcin se grafic en el ejemplo 1(a), seccin 2.2. Setraza de nuevo en la figura 1.a) Observe que

As que la coordenada y de cada punto sobre la grfica de g est tres unidades arribadel punto correspondiente sobre la grfica de f. Esto significa que para graficar g sedesplaza la grfica de f hacia arriba tres unidades, como en la figura 1.

b) De manera similar, para graficar h se desplaza la grfica de f hacia abajo dosunidades, como se muestra.

En general, suponga que se conoce la grfica de . Cmo se obtienen desta las grficas de

La coordenada y de cada punto sobre la grfica de est c unidades arri-ba de la coordenada y del punto correspondiente sobre la grfica de . As, lagrfica de se obtiene simplemente al desplazar c unidades hacia arri-ba la grfica de . De manera similar, se obtiene la grfica de al desplazar c unidades hacia abajo la grfica de .y 5 f 1x 2

y 5 f 1x 2 cy 5 f 1x 2y 5 f 1x 2 ! c

y 5 f 1x 2y 5 f 1x 2 ! c

y 5 f 1x 2 ! c and y 5 f 1x 2 c 1c " 0 2

y 5 f 1x 2

x

y

0 2

2

g(x) = x

f(x) = x2

h(x) = x2 2

2 + 3

Figura 1

g1x 2 5 x2 ! 3 5 f 1x 2 ! 3

f 1x 2 5 x2

h1x 2 5 x2 2g1x 2 5 x2 ! 3f 1x 2 5 x2

Recuerde que la grfica de la funcin fes la misma que la grfica de laecuacin .y 5 f1x 2 y

SECCIN 2.4 Transformaciones de funciones 183

Ejemplo 2 Desplazamientos verticales de grficas

Use la grfica de , que se traz en el ejemplo 12, seccin 1.8, parabosquejar la grfica de cada funcin.a) b)

Solucin La grfica de f se traza de nuevo en la figura 2.a) Para graficar g la grfica de f se desplaza 10 unidades hacia arriba, como se muestra.

b) Para graficar h la grfica de f se desplaza 20 unidades hacia abajo, como se muestra.

Desplazamiento horizontal

Suponga que se conoce la grfica de . Cmo se emplea para obtener las gr-ficas de

El valor de en x es el mismo que el valor de en x c. Puesto que x c est c unidades a la izquierda de x, se deduce que la grfica de y 5 f 1x c 2

f 1x 2f 1x c 2

y 5 f 1x ! c 2 and y 5 f 1x c 2 1c " 0 2

y 5 f 1x 2

y

x42_2_4

_30

30

f(x) = x3 9x

g(x) = x3 9x + 10

h(x) = x3 9x 20Figura 2

h1x 2 5 x3 9x 20g1x 2 5 x3 9x ! 10

f 1x 2 5 x3 9x

Desplazamientos verticales de grficas

Suponga que c " 0.

Para graficar , desplace c unidades hacia arriba la grfica de .

Para graficar , desplace c unidades hacia abajo la grfica de.

c

y

x0

c

y

x0

y=f(x)+c

y=f(x)-c

y=f(x)

y=f(x)

y 5 f 1x 2y 5 f 1x 2 c

y 5 f 1x 2y 5 f 1x 2 ! c

y

184 CAPTULO 2 Funciones

es la grfica de desplazada a la derecha c unidades. Con un razonamientosimilar se demuestra que la grfica de es la grfica de des-plazada a la izquierda c unidades. En el cuadro siguiente se resumen estos hechos.

y 5 f 1x 2y 5 f 1x c 2y 5 f 1x 2

Desplazamientos horizontales de grficas

Supngase que c ! 0.

Para graficar , desplace la grfica de a la derecha cunidades.

Para graficar , desplace la grfica de a la izquierda c unidades.

y=

y=f(x-c)

c

y

x0

y=

y=f(x+c)

c

y

x0

y 5 f 1x 2y 5 f 1x c 2

y 5 f 1x 2y 5 f 1x " c 2

Ejemplo 3 Desplazamientos horizontales de grficas

Use la grfica de para trazar la grfica de cada funcin.a) b)

Solucin

a) Para graficar g, la grfica de f se desplaza 4 unidades a la izquierda.b) Para graficar h, la grfica de f se desplaza 2 unidades a la derecha.Las grficas de g y h se bosquejan en la figura 3.

Ejemplo 4 Combinacin de desplazamientos horizontales

y verticales

Bosqueje la grfica de .

Solucin Se empieza con la grfica de (ejemplo 1(c), seccin 2.2) y sedesplaza a la derecha 3 unidades para obtener la grfica de . Luego, lay 5 1x " 3

y 5 1x

f 1x 2 5 1x " 3 4

1

y

1 x_4 0

g(x) = (x + 4)2 h(x) = (x 2)2f(x) = x2

Figura 3

h1x 2 5 1x " 2 2 2g1x 2 5 1x 4 2 2f 1x 2 5 x2

SECCIN 2.4 Transformaciones de funciones 185

grfica resultante se desplaza 4 unidades hacia arriba para obtener la grfica demostrada en la figura 4.

Reflexin de grficas

Suponga que se conoce la grfica de . Cmo se emplea para obtener las grficas de y ? La coordenada y de cada punto sobre la grficade es simplemente el negativo de la coordenada y del punto correspon-diente en la grfica de . Por lo tanto, la grfica deseada es la reflexin de lagrfica de en el eje x. Por otro lado, el valor de en x es el mis-mo que el valor de en x por consiguiente, la grfica deseada aqu es la re-flexin de la grfica de en el eje y. En el cuadro siguiente se resumen estasobservaciones.

y 5 f 1x 2y 5 f 1x 2

y 5 f 1 x 2y 5 f 1x 2y 5 f 1x 2

y 5 f 1x 2y 5 f 1 x 2y 5 f 1x 2

y 5 f 1x 2

y

x0 3

4

x 3 + 4f(x) =

(3, 4)

x 3y =

xy =

Figura 4

f 1x 2 5 1x 3 ! 4

Reflexin de grficas

Para graficar , refleje la grfica de en el eje x.Para graficar , refleje la grfica de en el eje y.

y=

y

x0

y=_

y

x0

y=f(_x)

y=

y 5 f 1x 2y 5 f 1 x 2

y 5 f 1x 2y 5 f 1x 2

Ejemplo 5 Reflexin de grficas

Trace la grfica de cada funcin(a) (b)

Solucin

a) Se empieza con la grfica de y 5 x 2. La grfica de es la grfica de y 5 x 2 reflejada en el eje x (vase figura 5).

f 1x 2 5 x2

g1x 2 5 1 xf 1x 2 5 x2

y

x

y=x

f(x)=_x

2

2

Figura 5

186 CAPTULO 2 Funciones

b) Se inicia con la grfica de (ejemplo 1(c) en la seccin 2.2). La grficade es la grfica de reflejada en el eje y (vase figura 6).Note que el dominio de la funcin .

Estiramiento y acortamiento vertical

Suponga que se conoce la grfica de . Cmo se usa para obtener la grficade ? La coordenada y de en x es la misma que la coordenada ycorrespondiente de multiplicada por c. Multiplicar las coordenadas y por ctiene el mismo efecto de alargar y acortar verticalmente la grfica por un factor de c.

y 5 f 1x 2y 5 cf 1x 2y 5 cf 1x 2y 5 f 1x 2

y

x

y=xg(x)=_x

0 1

1

Figura 6

g1x 2 5 1 x is 5x 0 x ! 06y 5 1xg1x 2 5 1 x

y 5 1x

Estiramiento y acortamiento vertical de grficas

Para graficar :

Si c " 1, alargue verticalmente la grfica de por un factor de c.

Si 0 # c # 1, acorte verticalmente la grfica de por un factor de c.

y=y

x0y=cy=

c >1 0

SECCIN 2.4 Transformaciones de funciones 187

Ejemplo 7 Combinacin de desplazamiento,

estiramiento y reflexin

Bosqueje la grfica de la funcin .Solucin Comenzando con la grfica y 5 x 2, se desplaza primero a la derecha 3 unidades para obtener la grfica de . Luego se refleja en el eje x y sealarga por un factor de 2 para obtener la grfica de . Por ltimo,se desplaza 1 unidad hacia arriba para obtener la grfica de mostrada en la figura 8.

Alargamiento y estiramiento horizontal

Ahora abordaremos el acortamiento y alargamiento horizontal de grficas. Si se co-noce la grfica de , entonces cmo se relaciona la grfica de consta? La coordenada y de en x es la misma que la coordenada y de en cx. As, las coordenadas x en la grfica de corresponde a las coordena-das x en la grfica de multiplicadas por c. Considerado de otro modo, sepuede observar que las coordenadas x en la grfica de son las coordenadasx en la grfica de multiplicada por 1/c. En otras palabras, para cambiar lagrfica de a la grfica de , se debe acortar (o alargar) la grfica ho-rizontalmente por un factor de 1/c, como se resume en el cuadro siguiente.

y 5 f 1cx 2y 5 f 1x 2y 5 f 1x 2

y 5 f 1cx 2y 5 f 1cx 2

y 5 f 1x 2y 5 f 1x 2y 5 f 1cx 2

y 5 f 1cx 2y 5 f 1x 2

y

x1

1

0

(3, 1)

f(x) = 1 2(x 3)2

y = 2(x 3)2

y = (x 3)2

y = x2

Figura 8

f 1x 2 5 1 21x 3 2 2y 5 21x 3 2 2

y 5 1x 3 2 2

f 1x 2 5 1 21x 3 2 2

Acortamiento y alargamiento horizontal de grficas

La grfica de :

Si c ! 1, acorte la grfica de horizontalmente por un factor de 1/c.

Si 0 " c " 1, alargue la grfica de horizontalmente por un factorde 1/c.

y=

y

x0

y=f(cx)

y=

y

x0

y=f(cx)

c >1 0

SECCIN 2.4 Transformaciones de funciones 191

18. a) b)c) d)

19. Se da la grfica de f. Bosqueje las grficas de las siguientesfunciones.a) b)c) d)e) f)

20. Se da la grfica de g. Bosqueje las grficas de las siguientesfunciones.a) b)c) d)e) f)

21. a) Bosqueje la grfica de mediante la graficacinde los puntos.

b) Use la grfica de f para trazar las grficas de las si-guientes funciones.

i) ii)

iii) iv) y 5 1 1x ! 3

y 52

x 2

y 51

x ! 1y 5 !

1x

f 1x 2 51x

x

y

g

1

10

y 5 2g1x 2y 5 !g1x 2 2y 5 g1x 2 ! 2y 5 g1x ! 2 2y 5 !g1x 1 2y 5 g1x 1 2

x

y

1

10

f

y 5 12f 1x ! 1 2y 5 f 1!x 2y 5 !f 1x 2 3y 5 2f 1x 2y 5 f 1x 2 ! 2y 5 f 1x ! 2 2

y

x3

3

_3

_3

_6 6

6

0

y 5 f 1!x 2y 5 f 1x ! 4 2 3y 5 !f 1x 4 2y 5 13f 1x 2 22. a) Bosqueje la grfica de graficando los puntos.

b) Use la grfica de g para trazar las grficas de las si-guientes funciones.i) ii)

iii) iv)

2326 Explique cmo se obtiene la grfica de g a partir de lagrfica de f.

23. a)b)

24. a)b)

25. a)b)

26. a)b)

2732 Se da una funcin f y se aplican a su grfica las trans-formaciones indicadas (en el orden dado). Escriba la ecuacinpara la grfica transformada final.

27. ; desplace hacia arriba 3 unidades y 2 unidades ala derecha.

28. ; desplace hacia abajo 1 unidad y 4 unidades a laizquierda.

29. ; desplace 3 unidades a la izquierda, alargue ver-ticalmente por un factor de 5 y refleje en el eje x.

30. ; refleje en el eje y, acorte verticalmente por unfactor de , y desplace hacia arriba unidades.

31. ; desplace a la derecha unidad, acorte vertical-mente por un factor de 0.1 y desplace hacia abajo 2unidades.

32. ; desplace a la izquierda 1 unidad, alargue verti-calmente por un factor de 3 y desplace hacia arriba 10unidades.

3348 Bosqueje la grfica de la funcin, no mediante la grafi-cacin de puntos, sino iniciando con la grfica de una funcinestndar y aplicando transformaciones.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48. y 5 2 ! 0 x 0y 5 0 x 2 0 2

y 5 0 x ! 1 0y 5 0 x 0 ! 1

y 5 13 x3 ! 1y 5 5 1x 3 2 2y 5 3 ! 21x ! 1 2 2y 5 12 1x 4 ! 3

y 5 2 ! 1x 1y 5 1 1x

f 1x 2 5 !x3f 1x 2 5 x3 2

f 1x 2 5 1 ! x2f 1x 2 5 !1x 1 2 2f 1x 2 5 1x 7 2 2f 1x 2 5 1x ! 2 2 2

f 1x 2 5 0 x 0

12f 1x 2 5 0 x 0

35

12

f 1x 2 5 13x

f 1x 2 5 1x

f 1x 2 5 x3

f 1x 2 5 x2

f 1x 2 5 0 x 0 , g1x 2 5 ! 0 x 1 0f 1x 2 5 0 x 0 , g1x 2 5 3 0 x 0 1

f 1x 2 5 1x, g1x 2 5 12 1x ! 2f 1x 2 5 1x, g1x 2 5 2 1x

f 1x 2 5 x3, g1x 2 5 x3 ! 4f 1x 2 5 x3, g1x 2 5 1x ! 4 2 3f 1x 2 5 x2, g1x 2 5 x2 2f 1x 2 5 x2, g1x 2 5 1x 2 2 2

y 5 2 13 xy 5 1 ! 13 xy 5 13 x 2 2y 5 13 x ! 2

g1x 2 5 13 x