Bloque 2 (Funciones Especiales y Transformaciones de Gráficas)

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BLOQUE II

APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y

TRANSFORMACIONES DE GRFICAS

APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS

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DESEMPEOS A DEMOSTRAR:

Representa el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a funcin inversa de una funcin dada.

Escribe la ecuacin de la relacin inversa de una funcin dada. Seala si la relacin inversa corresponde a una funcin. Utiliza la tabla y grfica de una funcin para trazar la grfica de su funcin

inversa posible. Resuelve problemas que involucren funciones inversas, escalonadas,

valor absoluto, idntica y constante. .

La expresin h=0.42t+10 describe el crecimiento de una planta, donde t es el tiempo medido en semanas y h se mide en centmetros. Estas plantas se cultivan en un laboratorio de Ecologa de una universidad y estn listas para plantarse cuando tienen una altura de 10 cm.

Cul es el crecimiento de la planta 2, 4, 5, 8 y 12 semanas despus? Cul es su grfica?

Unos bilogos han encontrado esa planta creciendo en forma silvestre en una regin aislada. Algunas de las plantas miden 22 cm, 30 cm, 80 cm y 111 cm.

Cmo escribira una expresin matemtica para obtener el tiempo de vida (en semanas), a partir de la longitud que han medido los bilogos?

Cul es la edad de cada una de esas plantas? Cul es la grfica que describe el crecimiento de esas plantas?

Situacin didctica


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Funciones inversas Estas funciones son una segunda forma de obtener nuevas funciones a partir de una funcin ya conocida. El proceso se usa comnmente para funciones trigonomtricas, logartmicas y exponenciales. Sin embargo en funciones algebraicas tambin es posible dada una relacin F, si se intercambia el orden de los elementos que forman cada pareja ordenada que pertenecen a F obtenindose una nueva relacin que se denomina Funcin Inversa y se expresa como F-1. Por ejemplo los pares ordenados son: F(x)= {(-1,3), (0,2), (2,4)} F-1= {(3,-1), (2,0), (4,2)}

Es funcin D=[ -1, 2] R=[2, 4]

Es relacin D=[ 2,4] R=[-1, 2]

Cualquier pareja de ordenadas de nmeros que satisfaga la ecuacin original al invertir su orden se puede verificar.


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X Y 1 1 2 3 3 5

Y X 1 1 3 2 5 3

El dominio de la grfica denominada es: D=(,) para el Rango R=(,) y para la funcin inversa los trminos dominio y rango son: D=(,) y R=(,) Si se ha dado una funcin F, hay maneras de saber si anticipadamente su inversa F-1 es una funcin inversa o no, para ellos es necesario analizar si existe una correspondencia Biunvoca entre 2 conjuntos, esto significa que a un primer elemento le corresponde un segundo elemento con base en el siguiente esquema: Dominio f Rango f

Rango f-1 Dominio f-1 ( f f-1 ) ( y )= y Se presenta si existe una correspondencia biunvoca. ( f-1 f ) ( x )= x En las ecuaciones la funcin inversa tambin se puede obtener, esto se da mediante el manejo del lgebra de tal manera que se despeja la variable de la ecuacin dada y posteriormente se da un intercambio por la variable , obtenindose una nueva ecuacin que puede ser una relacin o una funcin. Por ejemplo: 1.- = + 8 = 3


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= Al intercambiar las variables queda as:

=

2.- =

+ 3 = 2 + 5 3 5 = 2

=

=

3.- =

El trmino que est dividiendo pasa al otro lado de la igualdad.

(3 4) = 2 8 La multiplica a dicho trmino. (3 4) = 2 8 Se agrupan trminos semejantes . 3 2 = 4 8 Se despeja a . (3 2) = 4 8 =

Al intercambiar las variables se tiene:

= 4832

Actividad 1:

1. De las siguientes parejas de ordenadas determina su inversa, grafcalas y determina el dominio y rango.


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X Y

-2 -3

-1 -1

0 1

1 3

2 5

Y X

X Y

0 -5

1 -2

2 1

3 4

Y X


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X Y

-5 7

-3 5

0 2

3 5

Y X

Si y= + 1

X Y

0

1

2

3

4

y-1=

X Y

0

1

2

3

4


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Observa las siguientes funciones e identifica caractersticas en comn: a) Qu pasa si por ejemplo, de las funciones de la izquierda, despeja x y compara la expresin obtenida con las funciones de la derecha? Se parecen? Qu ocurre si en la expresin despejada intercambias x por y, y la y por la x? b) Ahora, grafica las funciones, por pares. Es decir, en el mismo plano cartesiano, grafica el primer par, en otro plano el segundo par y as sucesivamente. Usa los mismos valores de x para ambas funciones. Qu observas en las grficas obtenidas? Qu caracterstica tienen?

No. Funcin 1 Despeja x de la funcin 1 Funcin 2

1 y = 2x-1 y

x 12

2 y = x2 + 3 y x 3

3 y

1x 1

y 1x1

4 y

x3 2

y = 3(x-2)

A continuacin, se proponen en la columna de la izquierda cuatro funciones. Haz la grfica de cada una de ellas usando los valores -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 y 4, y determina mediante lneas cul funcin corresponde a uno de los nombres de la derecha, con base en las caractersticas de la expresin algebraica o de la grfica.

Funciones especiales

Una funcin especial es una funcin matemtica particular, que por su importancia en el campo del anlisis matemtico, anlisis funcional, la fsica y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones ms o menos establecidos.

No existe una definicin general de las mismas, pero la lista de funciones matemticas contiene funciones que son generalmente aceptadas como especiales. En particular, las funciones elementales son tambin consideradas funciones especiales.


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Muchas funciones especiales se originan como soluciones a ecuaciones diferenciales o integrales de funciones elementales. Por tanto, las tablas de integrales por lo general incluyen la descripcin de algunas funciones especiales, y las tablas de funciones especiales incluyen las integrales ms importantes; por lo menos, la representacin integral de las funciones especiales por ejemplo:

A) Funcin constante: Est definida por f(x)=C, donde la C es un nmero real cualquiera. Su grfica es una lnea recta horizontal paralela al eje de las X, si dominio son todos los nmeros reales y sus imgenes el valor constante.

El dominio de este tipo de funciones es desde y el rango est dado por el valor de la funcin en un intervalo cerrado, es decir R= [f(x)]

Por ejemplo: y=4

El dominio de esta funcin es D= (,) y el rango es R= [4] B) Funcin valor absoluto: Est definida como la distancia que existe entre el cero y el nmero en cuestin, siempre da como resultado un nmero positivo.

Esta funcin est formada por un par de funciones de identidad y su dominio son nmeros reales. Por ejemplo: y= |x|


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Para este caso el valor del dominio es D= (,) y el rango esta dado por R= [0,) El valor absoluto de un nmero es informalmente, su valor positivo. Si el nmero es positivo o 0, entonces su valor absoluto es s mismo. Si un nmero es negativo, entonces su valor absoluto es el valor positivo. Grafica la funcin f(x)= | x - 2| +2, obtn el dominio y rango.

X Y -1 5 0 4 1 3 2 2 3 3 4 4 5 5

Grafica la funcin f(x)= - |4 - 2x|, obtn el dominio y rango.


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X Y -1 0 1 2 3 4 5

C) Funcin identidad: Es una funcin que est definida por f(x)=x. Su caracterstica principal es que los valores de sus pares ordenados son iguales, es decir, el valor de X es igual a y, pasa por el origen y tiene una pendiente igual a uno, una inclinacin de 45.

El dominio est dado por D= (,), es decir todos los nmeros reales, al igual que el rango, por tanto esta funcin es biyectiva.

Por ejemplo: y= x

D) Funcin escalonada o seccionada: Estn formadas por diferentes compartimentos o secciones en distintas partes del Dominio, es decir la funcin puede ser continua o discontinua. La forma ms utilizada es la funcin Mximo entero y stas simulan una escalera. Por ejemplo: y= [[ x ]]


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-3 -3 x -2

-2 -2 x -1

-1 1 x 0

0 0 x 1

1 1 x 2

2 2 x 3

Traslacin de funciones Si el concepto de traslacin est vinculado al movimiento, en las funciones tambin se presenta; tomando como referencia a una funcin cuadrtica, en sta se puede mostrar los movimientos que en ella puede ocurrir, tales como: Traslacin horizontal Se presenta cuando se da la conversin de una funcin f(x) en otra llamada g(x)= f(x + c) la grfica se desplaza a lugares hacia la izquierda y si la convertimos en g(x)= f(x - c) se desplaza hacia la derecha.


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Por ejemplo: y= x2

y=( x + 1)2

y=( x - 1)2

Traslacin vertical Se presenta cuando la grfica de la ecuacin de la forma y = f(x) + c es la grfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si c es positiva y desplazada hacia abajo si c es negativa. De manera que, la grfica de y = f(x) + c se puede obtener de la grfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la grfica de y = f(x), c unidades hacia arriba si c es positiva y c unidades hacia abajo si c es negativa. y= x2

y=x2 +1

y= x2 - 1


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Secuencia didctica 1: Cierta compaa de agua embotellada determin que el consumo de su producto estaba dado por la funcin () = + ., donde () describe la cantidad en millones de consumidores de su producto, considerando desde 2000 a 2015 ( = 0 corresponde al ao 2000). a) Representa la grfica de la funcin que corresponda al ao 2000. b) Proporciona la nueva funcin y la grfica de modo que el origen corresponda al ao 2005. c) Cuntas personas tomaron agua embotellada de dicha compaa para el ao 2015?


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Actividad 2: Haz las grficas y confirma tus resultados, haciendo las grficas mediante algn programa graficador o una pgina interactiva de las siguientes funciones.

y= x2 x y -3 -2 -1 0 1 2

y= (x + 1)2 X Y -3 -2 -1 0 1 2


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y= (x - 1)2 X Y -3 -2 -1 0 1 2

y= x3 X Y -2 -1 0 1 2


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y= x3 - 1 X Y -2 -1 0 1 2

y= x3 + 1 X Y -2 -1 0 1 2


49

y= x + 1 X Y -3 -2 -1 0 1 2

y= (x + 1) +2 X Y -3 -2 -1 0 1 2


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y= (x + 1) - 2 X Y -3 -2 -1 0 1 2

y= Sen(x) X Y

- 2 - 3/2

- - /2

0 /2

3/2 2


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y= Sen(x) + 1 X Y

- 2 - 3 /2

- - /2

0 /2

3 /2 2

y= Sen(x) - 1 X Y

- 2 - 3 /2

- - /2

0 /2

3 /2 2

Realizadas las grficas, qu tipo de traslacin observaste en ellas?


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Reflexin con respecto al eje X Esta transformacin se obtiene al convertir f(x) en f(x), debido a que las imgenes de ambas funciones tienen la misma magnitud pero con signo contrario, lo cual se comprender mejor al observar las siguientes grficas.

Tomaremos como ejemplo a la funcin cuadrtica y= x2, para observar ms clara la reflexin en el eje X.

y= x2

X Y -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4

.

y= - x2

X Y -2 - 4 -1 - 1 0 0 1 - 1 2 - 4


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Reflexin con respecto al eje Y

Esta transformacin se obtiene a partir de invertir el signo de los valores de x, es decir, si se tiene la funcin base f(x) la reflexin con respecto al eje Y se obtiene con f(-x)

Por ejemplo, analizaremos las siguientes funciones:

y=x - 1

x y 1 2 3 4 5

y= -x - 1

x y 1 2 3 4 5


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Contraccin y expansin de funciones stas son otro tipo de transformaciones que pueden sufrir las funciones; stas al ser multiplicadas por diferentes constantes. Para visualizarlas mejor se mostrarn algunos ejemplos de las transformaciones que sufre la funcin.

y= x2

y= 3x2

y=

x

Esto es, entre ms grande sea el nmero que multiplica al trmino cuadrtico en la funcin, sta se contrae y cuando es pequeo el nmero se expande. Actividad 3: Resuelve los siguientes problemas:


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1. Un automvil mantiene una velocidad constante de 10 m/s. Encuentra la distancia que

recorre en 1, 2, 3, 4 y 5 segundos, considerando que la expresin que relaciona a la distancia con el tiempo es = .

2. El costo de una llamada por celular es de 2.0 pesos los primeros cinco minuto y 1.10 por cada minuto o fraccin adicional. Expresar la funcin que representa esta situacin. Primero hay que determinar las variables involucradas, por lo tanto, se considerar C(t) como el costo de la llamada en t minutos.

3. El costo de una llamada telefnica diurna de larga distancia de Toronto a Nueva York es de 69 centavos el primer minuto y 58 para cada minuto adicional (o fraccin de minuto). Traza la grfica del costo C (en dlares) de la llamada telefnica como una funcin del tiempo t (en minutos).

Material a utilizar:

Graficador de funciones online. http://fooplot.com/index.php Pginas para descargar programas para graficar funciones. http://www.programas-gratis.net/b/programa-para-graficar-funciones-matematicas

Programa Winplot para graficar funciones. Se puede elegir la versin en espaol.

http://math.exeter.edu/rparris/

- Proyector.

- Laboratorio de cmputo (en donde sea posible).

- Material para hacer grficas en papel (lpiz, regla, borrador).

1. ACCES2 BLOQUE 1A3 BLOQUE 2A4 BLOQUE 3A5 BLOQUE 4 Y 5A6 BLOQUE 6A7 BLOQUE 7A8 BLOQUE 8A9 BIBLIOGRAFA10 COLOFON 27 planteles sep 2011

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