5.01 DEFINICIN TRANSFORMACIN LINEAL Y SUS PROPIEDADES En un espacio vectorial se definen dos operaciones: la adicin y la multiplicacin por un escalar. Las transformaciones lineales entre espacios vectoriales conservan estas estructuras lineales segn el criterio que se establece a continuacin. Definicin. Sean V y W espacios vectoriales. Una transformacin lineal T de V en W es una funcin que asigna a cada vector v V un nico vector Tv W y que satisface para cada u y v en V y cada escalar , T(u + v) = Tu + Tv (1) T(cu) = cT(u) (2) Notacin. Escribimos T: V W para indicar que T transforma V en W. Terminologa. Las transformaciones lineales se llaman, con frecuencia, operadores lineales. Tambin, las funciones que satisfacen (1) y (2) se denominan funciones lineales. La primera condicin implica que T convierte la suma de los vectores en la suma de las imgenes de los vectores. La segunda condicin implica que T convierte el mltiplo escalar de un vector en el mltiplo escalar de la imagen. De esta manera, las operaciones de adicin y multiplicacin por un escalar se conservan bajo una transformacin lineal. Propiedades bsicas de las transformaciones lineales. Teorema 1. Sea T: V W una transformacin lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2, ..., vn en V y todos los escalares 1, 2, ..., n: i. T(0) = 0 ii. T(u - v) = Tu - Tv iii. T(1v1, 2v2, ..., nvn) = 1Tv1+ 2Tv2+ ... + nTvn Nota. En la parte (i) el 0 de la izquierda, es el vector cero en V mientras que el 0 del lado derecho, es el vector cero en W. Teorema 2. Sea V un espacio vectorial de dimensin finita con base B={v1, v2, ..., vn}. Sean w1, w2, ..., wn n vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi= T2vi = wi para i = 1, 2, ..., n. Entonces para cualquier vector v V, T1v = T2v. Es decir T1 = T2.

Teorema 3. Sea V un espacio vectorial de dimensin finita con base B = {v1, v2, ..., vn}. Sea tambin W un espacio vectorial que contiene a los n vectores w1, w2, ..., wn. Entonces existe una nica transformacin lineal T: V W tal que Tvi = wi para i = 1, 2, ..., n.Ejemplo 21.2 Demuestre que la transformacin T : R3R2 es lineal: T((x, y, z)) = (x + z, y z) Solucin Sean u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2). Entonces T(u + v) = T((x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)) = ((x1 + x2) + (z1 + z2), (y1 + y2) (z1 + z2)) = (x1 + z1, y1 z1) + (x2 + z2, y2 z2) = T(u) + T(v) Por otro lado, para todo escalar c, T(c u) = T((c x1, c y1, c z1)) = (c x1 + c z1, c y1 c z1) = c (x1 + z1, y1 z1) = c T((x1, y1, z1)) = c T(u) Como se cumplen las dos condiciones: T(u + v) = T(u) + T(v) T(c u) = c T(u) T es lineal _ Ejemplo 21.3 Sea A una matriz m n. Demuestre que la transformacin T : MnkMmk definida como T(B) = AB es lineal. Solucin Sean B y C dos matrices n k cualquiera y c un escalar cualquiera: T(B + C) = A(B + C) = AB + AC = T(B) + T(C) T(cB) = A(cB) = c (AB) = c T(B) Como se cumplen las dos condiciones: T(B + C) = T(B) + T(C) T(cB) = c T(B) T es lineal _ Ejemplo 21.4 Es lineal la transformacin f : RR, definida por f(x) = x + 1 ? 4 Solucin No, la parte 1 de la definicin no se cumple porque f(x + y) = (x + y) + 1 y f(x) + f(y) = x + 1 + y + 1 = x + y + 2 no son iguales _

5.02.-EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES ( REFLEXION, DILATACION, CONTRACCION Y ROTACION) Rotacin Sea 0 < 2 un ngulo medido en radianes. La Transformacin de T : R2 R2 que gira sobre un vector = (u1, u2) es un ngulo , para obtener un vector T () = (v1, v2). Usando las funciones trigonomtricas, tenemos que: v1 = ||T ()|| cos ( + ) = |||| (cos cos - sen sen ) v2 = ||T ()|| sen ( + ) = |||| (sen cos + cos sen ) Como u1 = |||| = cos y u2 = |||| = sen se obtiene: v1 = u1 cos u2 sen v2 = u2 cos u1 sen Por lo tanto la Transformacin T : R2 R2 debe estar definida tal que: T (u1, u2) = (u1 cos u2 sen , u2 cos u1 sen ). Esta transformacin se llama la rotacin por un ngulo y es lineal, ya que: T [(u1, u2) + (v1, v2)] = T (u1 + v1, u2 + v2) = ((u1 + v1) cos (u2 + v2) sen , (u2 + v2) cos + (u1 + v1) sen ) =(u1 cos - u2 sen , u2 cos + u1 sen )+(v1 cos - v2 sen , v2 cos + v1 sen ) = T (u1, u2) + T (v1, v2) Transformacin de Reflexin: La Transformacin de T : R2 R2 que a cada vector = (u1, u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T () = (v1, v2). En este caso, la situacin es ms sencilla ya que claramente tenemos dos tringulos rectngulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue: T (u1, u2) = (u1, -u2)

Esta transformacin se llama la reflexin sobre el eje x, y es lineal, ya que: T [(u1, u2) + (v1, v2)] = T (u1 + v1, u2 + v2) = (u1 + v1, -u2 -v2) = (u1, -u2) + (v1, -v2) = T (u1, u2) + T (v1, v2) Dilatacin y contraccion Considere el operador T: R2R2 , definido por , donde r es

un escalar, si , entonces T acerca los puntos al origen; esta operacin recibe el nombre de contraccin de factor r. Se puede demostrar que T es una transformacin lineal. Determine la matriz cannica de T. determine el efecto que tiene T en la base cannica

La matriz canonica es

T se puede expresar como una transformacin matricial:

Por ejemplo considere la dilatacin T definida por la matriz tiene que,

, se

Por consiguiente, T transforma el punto

en el punto

. la imagen

se localiza en la misma direccin que el punto original a partir del origen, pero se encuentran tres veces mas lejos del origen.

5.03 DEFINICIN DE NUCLEO O KERNEL E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIN LINEAL Nucleo o kernel Definicin. Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V W una transformacin lineal. Entonces: El kernel (o ncleo) de T, denotado como ker T, est dado por ker T = {v V: Tv = 0} Obervacin. Note que ker T es no vaco ya que por el Teorema 1 de las Transformaciones lineales, T(0) = 0 de manera que 0 ker T para toda transformacin lineal T. Ser interesante encontrar otros vectores en V que sean "mapeados al cero". De nuevo, ntese que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda est en V, y el 0 de la derecha est en W. Imagen de una transformacin lineal. Definicin. Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V W una transformacin lineal. Entonces: imag V = { w W: w = Tv para alguna v V} Observacin. El concepto imag T es simplemente el conjunto de "imgenes" de vectores en V bajo la transformacin T. De hecho, si w = Tv, diremos que w es tambin la imagen de v bajo T. tambin recibe el nombre de rango de T. el rango se representa por rango(T). Teorema. Si T : V W es una transformacin lineal, entonces: i. ker T es un subespacio de V. ii. imag T es un subespacio de W. Demostracin. i. Sean u y v en ker T; entonces T(u + v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0 y T(u) = Tu = 0 = 0 de modo que u + v y u estn en ker T. ii. Sean w y x en imag T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V. Esto significa que T(u + v) = Tu + Tv = w + x y T(u) = Tu = w. De esta manera w + x y w estn en imagT.

Ejemplo Determine el nucleo y el rango de la transformacin definida por la siguiente matriz

Solucin A es una matriz de 3x3.de esta manera, A define un operador lineal T:

Los elementos de se expresan en forma de matriz columna para poder efectuar la multiplicacin de matrices. Por conveniencia, exprese los elementos de en forma de rengln. Nucleo: el nucleo contara de todos los vectores tales que en ,

Asi,

Esta ecuacin matricial corresponde al siguiente sistema de ecuaciones lineales.

Al resolver este sistema, se obtienen varias soluciones

. Por consiguiente, el nucleo es el conjunto de vectores .

El ker(T) es un Subespacio unidimensional de

cuya base es

Rango: los vectores columna de A genera el rango. Escriba estos vectores columna como renglones de una matriz y calcule la forma reducida escalonada de la matriz. Los vectores rengln distintos de cero proporcionan una base para el rango. As

Los vectores generan el rango de T. cualquier vector del rango es una combinacin lineal de estos vectores.

Por lo tanto, el rango de T es

Rango(T) es un Subespacio bidimensional de

con base

5.04.-LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIN Y REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.

Si T es una funcin de donde A es una matriz condicin condicin

en de

definida por , y dado la

en que la propiedad y la

corresponde a

distributiva de la multiplicacin de matrices de matrices . Entonces T es lineal. Y se puede concluir que:

es tambin una propiedad de la multiplicacin una transformacin

Toda matriz A de define una transformacin lineal de en . Ahora consideremos una transformacin lineal T de en ; si aplicamos esta transformacin a los vectores base de , obtenemos los siguientes vectores:

Si en

construimos

una

matriz AT cuyas

columnas

sean

los

vectores

; AT define una transformacin lineal de tal que si

para i = 1, 2, . . . , n. Entonces

y por lo tanto para i = 1, 2, . . . , n. Concluimos que T y la transformacin AT , son la misma, porque tienen el mismo efecto sobre los vectores base. AT es la matriz cuyas columnas son los vectores .

La matriz AT se llama matriz de transformacin de T o representacin matricial de T. Si se usan bases diferentes, las matrices de transformacin que se obtendrn sern diferentes. Ejemplo 1. Encuentre la representacin matricial lineal T de en definida por Aplicamos T a los vectores base de : de la transformacin

, Entonces la matriz AT es

,

,

. Ejemplo 2. En el ejemplo 1 se utiliz la base cannica para construir la matriz de representacin de la transformacin lineal

ahora se utilizar la base

.

,

,

,

Entonces la nueva matriz de transformacin queda:

Ejemplo 3. Encuentre la representacin lineal T definida por matricial AT de la transformacin

Aplicamos T a los vectores base de

:

Entonces la matriz de transformacin es Ejemplo 4. Encuentre la representacin lineal T definida por matricial AT de la transformacin

Aplicamos la transformacin a los vectores base de

Entonces la matriz de transformacin es

5.05.- TRANSFORMACIONES LINEALES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Las transformaciones lineales junto con los conceptos de ncleo y rango desempean un papel importante en el anlisis de sistemas de ecuaciones lineales. Se ver que estos sistemas permiten visualizar los conjuntos de soluciones. Un sustema de m ecuaciones lineales con n variables se puede expresar en forma matricial de la siguiente manera: Ax = y A es una matriz de m x n; sta es la matriz de coeficientes del sistema. El conjunto de soluciones es el conjunto de x que satisface esta ecuacin. Ahora cuenta con una forma elegante de visualizar este conjunto solucin. Sea T: Rn Rm la transformacin lineal definida por A. El sistema de ecuaciones se puede escribir de la siguiente manera: T(x) = y El conjunto de soluciones es el conjunto de vectores en Rn transformado por T en el vector y. Si y no pertenece al rango de T. Entonces el sistema no tiene solucin. Vase la siguiente figura:

Ecuaciones homogneas Esta forma de ver los sistemas de ecuaciones lineales nos lleva al siguiente resultado. Teorema 1. El conjunto de soluciones de un sistema homogneo de m ecuaciones lineales con n variables, Ax = 0, es un subespacio de Rn. Demostracin. Sea T la transformacin lineal de Rn en Rm, definida por A. El conjunto de soluciones es el conjunto de vectores en Rn transformado por T en el vector cero. El conjunto de soluciones es el ncleo de la transformacin y por consiguiente, un subespacio. Ecuaciones no homogneas Ahora ver que el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales no homogneas no forma un subespacio. Sea Ax = y (y 0) un sistema de ecuaciones lineales no homogneo. Sea x1 y x2 soluciones. Por lo tanto, Ax1 = y y Ax2= y Si se suman estas ecuaciones, se obtiene Ax1+ Ax2= 2y A(x1 +x2)= 2y Por lo tanto, x1 + x2 no satisfacen a Ax = y. No se trata de una solucin. El conjunto de soluciones no es cerrado bajo la adicin; por consiguiente, no es un subespacio.

Sin embargo, No todo est perdido! Aunque el conjunto de soluciones de un sistema no homogneo no es un subespacio, el conjunto se puede obtener trasladando cierto subespacio. Este resultado permitir representar el conjunto de soluciones. Teorema 2. Sea Ax = y un sistema no homogneo de m ecuaciones lineales con n variables. Sea x1 una solucin particular. Cada solucin se puede escribir de la siguiente forma: x = z + x1, donde z es un elemento del ncleo de la transformacin T definida por A. La solucin es nica si el kernel consta slo del vector cero. Demotracin. x1 es una solucin. Por consiguiente, Ax1 = y. Sea x cualquier solucin. As, Ax = y. Si se igualan Ax1 y Ax, se tiene que Ax1 = Ax Ax - Ax1 = 0 A(x - x1) = 0 T(x - x1) = 0 Por lo tanto, x - x1 es un elemento del ncleo de T; llmenlo z. x - x1 = z Se puede escribir: x= z + x1 Note que la solucin es nica si el nico valor de z es 0; es decir, si el kernel es el vector cero. Este resultado implica que el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales no homogneo Ax = y se puede obtener a partir del kernel de la transformacin definida por la matriz de coeficientes y una solucin particular x1. Si se toma cualquier vector z del kernel y le suma x1, se obtiene una solucin. Desde el punto de vista geomtrico, esto significa que el conjunto de soluciones se obtiene trasladando el ncleo a una distancia y en una direccin definidas por el vector x1. Vase la siguiente figura:

5.06.-LGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Una transformacin lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser facilmente interpretados dentro de un contexto grfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar ms facilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho ms sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una tcnica llamada superposicin, la cual simplifica de gran manera gran variedad de clculos, por lo que es de gran interes demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformacin lineal. Se denomina transformacin lineal, funcin lineal o aplicacin lineal a toda aplicacin cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una funcin de V en W. T es una transformacin lineal si para cada par de

vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que: 1.2.

donde k es un escalar.

Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulacin matemtica de la mecnica cuntica. Para detalles especficos sobre estos, ver el artculo Operador (mecnica cuntica). Propiedades de las transformaciones lineales 1. Transformacin Lineal Singular y No Singular Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y transformacin lineal de en . Entonces, es no singular si: X En caso contrario es singular. una

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn n} un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una nica transformacin lineal Para todo

Clasificacin de las transformaciones lineales1. Monomorfismo: Si 2. 3. 4.

es inyectiva, o sea si el nico

5.

elemento del ncleo es el vector nulo. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva). Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva). Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo). Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

Definicin 1 Sean es: espacios vectoriales, y sea . Diremos que

1. Una transformacin lineal (o morfismo ) si dados

,

, 2. Un Monomorfismo si es un morfismo inyectivo. 3. Un epimorfismo si es un morfismo sobreyectivo. 4. Un isomorfismo si es un morfismo biyectivo. Adems llamaremos ( , donde para abreviar) al espacio de

morfismos de esto es:

es la funcin constante cero,

Y la suma y producto escalar en1. Si

se definen as: es la transformacin dada por .

, entonces

2. Si

,

, entonces

es la transformacin dada por.

TEOREMAS

TEOREMA 2.1 Si T : V W es una transformacin lineal, entonces V es dimensionalmente finito si y slo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos, y en este caso, dim(V) = nulidad(T) + rango(T). Demostracin Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, definimos L(V, W) = {T : V W | T es una transformacin lineal}.

Si T, U L(V, W) y a F, definimos aT + U : V W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x F. Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformacin lineal y que L(V, W), junto con estas operaciones de suma y de multiplicacin por escalares, es un espacio vectorial sobre F. Definimos el que una funcin fuera inyectiva, sobre y biyectiva. Es un ejercicio demostrar que para una transformacin lineal T : V W, las siguientes condiciones son equivalentes:

T es inyectiva N(T) = {0} (es decir, nulidad(T) = 0) Para todo S V, S es linealmente independiente si y slo si T(S) W es linealmente independiente

Tambin se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensin (finita) y T : V W es una transformacin lineal, entonces T es inyectiva o sobre si y slo si es biyectiva. Una transformacin lineal es una funcin que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial, por lo que no toda funcin entre espacios vectoriales es una transformacin lineal. De hecho, es sencillo encontrar funciones inyectivas, sobre, y biyectivas que no son transformaciones lineales. Esto motiva las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo. LEMA 2.2 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Supongamos que V es dimensionalmente finito y que b = {x 1, ..., xn} es una base de V. Entonces para todo {y1, ..., yn} W, existe una unica transformacin lineal T : V W tal que T(xi) = yi para toda i = 1, ..., n.

TEOREMA 2.3 En la categora de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos, la dimensin es un invariante completo de isomorfismo. Es decir, para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F, existe un isomorfismo entre V y W si y slo si dim(V) = dim(W). Demostracin Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea b = (x1, ..., xm) una base ordenada de V. Para cada x V, existen escalares nicos a1, ..., am F tales que x = a1x1 + ... + amxm. Definimos al vector coordenado de x relativo a b como

a1 [ x ]b ( : ), = am Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, b = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y g = {y1, ..., xn} una base ordenada de W. Para cada T L(V, W), definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas b y g como [T]g b

=(

[T(x1)]g [T(xm)]g

...

).

Por otro lado, dada una matriz A Mn x m(F), la funcin LA : Fm Fn definida por LA(x) = Ax, es una transformacin lineal (ejercicio). TEOREMA 2.4 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F, b = {x1, ..., xm} una base ordenada de V y g = {y1, ..., yn} una base ordenada de W. Entonces el mapeo T | [T]bg constituye un isomorfismo F : L(V, W) Mn x m(F). Ms an, para -1 toda A Mn x m(F), se tiene que F (A) L(V, W) es tal que [F-1(A)]bg = A. Demostracin

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F. Si T L(V, W), entonces existe una matriz asociada a T por cada par de bases ordenadas b y g de V y W respectivamente. El siguiente teorema (cambio de coordenadas) establece la relacin entre estas matrices. TEOREMA 2.5 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F. Si b, b' son dos bases ordenadas de V y g g' son dos bases ordenadas de W, entonces existe una matriz invertible Q tal que . Entonces el mapeo T | [T] bg constituye un isomorfismo F : L(V, W) Mn x m(F). Ms an, para toda A Mn x m(F), se tiene -1 que F (A) L(V, W) es tal que [F-1(A)]bg = A.

Ejercicios: Sea de rango un -espacio vectorial y una transformacin lineal de tal que .

. Demostrar que existe un escalar

Solucin. Puesto que nulo de un decir, tal que vector . Encontrar subespacios pero la suma no es directa. Solucin. que no es directa ya que . ejemplo Sea un -espacio vectorial y sea por el , as, de

, entonces existe un vector no para algn , de , . Sea es entonces

de

tales que

Sea . Es claro En efecto, , puesto que el vector Pero ntese que la suma

un subespacio de de

. Dado definido por

denotemos

subconjunto . Denotemos por

la coleccin de todos

estos subconjuntos, es decir, que: Solucin. (i) Si entonces el recproco: debemos entonces demostrado que . Sea ahora entonces por tanto demostrar que . luego

. Demostrar

y Veamos ahora : entonces sea Hemos

, luego hemos probado la otra inclusin, es decir, . (ii) Veamos que la operacin de suma est bien definida:sea entonces debemos ver que entonces , es decir, . : y , y de esta manera se tiene que

Ahora revisemos las propiedades de la suma de vectores: la asociatividad y la conmutatividad son consecuencia de las respectivas propiedades de la suma de vectores en espacio cociente es El cero del

El opuesto del vector es . De la misma forma se demuestra que la operacin de escalar por vector est bien definida y adems se cumplen las otras propiedades de espacio vectorial:

. (iii) Sea , , sea una base de , segn la Prop 9 del Captulo 1, esta base se puede completar hasta una base de conjunto es una base de . Vamos a probar que el

veamos en primer lugar que este

conjunto de clases genera al espacio

Bibliografa http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/matematicas4/t41. htm

Stanley I. Grossman: "Algebra Lineal", Segunda Edicin; Grupo Editorial Iberoamrica

http://oceanologia.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralin eal/V%20Transformaciones %20Lineales/03%20representacion%20matricial.htm http://www.ingquimica.com/modules.php? name=Forums&file=viewtopic&t=267&start=0&postdays=0& postorder=asc&highlight

Gareth Williams:algebra lineal con aplicaciones, cuarta edicin; Mc Graw Hill Interamericana, Editores S.A. de C.V.