TRANSFORMACION DE COORDENADASEn este capitlo consideraremos transformacines de coordenadas en lo que respecta a la traslacin y a la rotacin de los ejes de coordenadas originales XY, para las cuales el plano permanece INMOVIL, es decir que los puntos, rectas y graficas en general no se movern mediante traslacin y/o rotacin de los ejes coordenados, sino que lo que cambiaran sern sus presentaciones (como pares ordenados, ecuaciones) con respecto a los nuevos ejes coordenados.Tomemos como ejemplo dos sistemas de ejes coordenados XY y XY. Como en la siguiente figura, y conideremos un punto fijo P.P=(4,5)= 4i+5j =(x,y)Consideremos que los ejes originales XY han sido rotados mediante el vector unitario =( y trasladados al nuevo origen (denominado vector de traslacin), obtenindose los nuevos ejes coordenados XY, entonces el mismo punto P, segn la figura, tendr las coordenadas(X,Y)= (3,2)Es decir, 3 unidades en el eje X, y 2 unidades en el eje Y. Ademas, se tiene que P=(4,5) =

Generalizando este procedimiento:

En esta ultima figura el vector unitario =( =( es originado por la rotacin del eje X en un ngulo . El nuevo origen = ( representa al vector traslacin, mientras que el vector representa la rotacin de los ejes coordenados.Es as que con ayuda de la figura, obtenemos la siguiente formula de trasformacin:P=(x,y)= , =1OBSERVACIONESa) Si la transformacin consiste de rotacin pura (solamente rotacin), entonces y la formula correspondiente se convierte en:P= (x,y) = ROTACIONb) Si la transformacin consiste de TRASLACION PURA (sin rotacin) entonces =0 =i=(1,0), lo que indica que el EJE x no ha sido rotado, y por lo tanto si = (P=(x,y) = (+ x + y , es decir:

Las formulas de TRANSFORMACION INVERSA que expresan las coordenadas (x,y) en trminos de las coordenadas originales (x,y), se pueden despejar de la ecuacin anterior y multiplicarlo escalarmente; primero por y luego por , por lo tanto:X = {(x,y)-}. Y= {(x,y)-}. EJEMPLO:1) Por traslacin de los ejes coordenados al nuevo origen (3,2), y por rotacin 37 (considerar el triangulo rectngulo 3,4 y 5. Las coordenadas de un punto P resultan ser (7,6). Encontrar las coordenadas originales en el sistema XY del punto P.Solucin:= (3,2) , = (cos37, sen37) = (4/5,3/5), P=(x,y) = (7,6). Con estos datos tenemos:P= (x,y) = P= (3,2) + 7(4/5,3/5) + 6(-3/5, 4/5) = (5,11)

FORMULAS CLASICAS DE TRANSFORMACION DE COORDENADASEn la geometra analtica clsica se ensea que cuando los ejes cartesianos XY son rotados en un angulo y trasladados a un nuevo origen = (, generando un nuevo sistema de coordenadas XY, las formulas directas de transformacin de coordenadas tienen la forma siguiente:

Y en caso de existir solamente la rotacin de los ejes en ngulos , es decir ((=(0,0), entonces:

Sin embargo, ambas formulas vienen a ser las mismas que las Formulas Vectoriales De Transformacin De Coordenadas, donde el vector unitario de rotacin esta dado por =, las que al ser expresadas en forma cartesiana al pasar a considerar las componentes en la Formula Vector, toman la forma que se presenta como sigue:(x,y) = (+ x( + y(x,y) = (+ xy,x+ y)Y en caso de existir solamente rotacin: ( =(0,0), y (x,y) = ( xy,x+ y)As mismo, las formula inversas clsicas de TRANSFORMACION DE COORDENADAS estn dadas por: Donde es el nuevo origen. Y en caso de existir solamente la ROTACIN, entonces:

EJEMPLO 2) Hallar la ecuacin transfomada de la ecuacin 2x + 5y -3=0, si los ejes coordenados son rotados en un angulo Solucin:

cos, sen(x,y)= = x(cos,sen) + y(-sen, cos)(x,y)= x(2,5)/ + y (-5,2)/=( )Reemplazando estas componentes en la ecuacin 2x +5y=3 resulta:2( )+5( )=3X= 3/SECCIONES CNICASEn este capitulo estudiaremos ciertos lugares geomtricos que son muy importantes en la geometra analtica y que se originan de considerar cortes en diferentes angulo de un cono doble circular recto mediante un plano, dando lugar a las figuras llamadas CONICAS, o tambin SECCIONES CONICAS, las que segn el angulo de corte reciben el nombre de PARABOLA, ELIPSE, HIPERBOLA, y algunos casos especiales de estas curvas, llamados casos degenerados de las conicas.

ECUACION DE LA PARABOLADada una recta fija L y un punto fijo F L se define la parbola P como el conjunto de todos aquellos puntos P(x,y) cuya distancia al punto fijo F es igual a su distancia a la recta fija L (DIRECTRIZ). Al punto fijo F se llama foco.Es decir, tales que.d[P,F] = d[P,L]

De la definicin previa se tiene que excentricidad de cualquier punto parbola, que es precisamente el valor del cociente de estas dos distancia, es igual a 1.En toda parbola, en general se tiene los siguientes puntos y segmentos caracteristicos:L: Recta Directriz (Con ecucion x=-p) ; F: focoV: Vertice (Nuevo origen de las coordenadas xy)P: Parametro de la parbola; : Lado recto de la parbola. De la definicin se deduce que si hacemos P=V, entonces se tiene que d[V,F] = d[V,L] = Es decir, la distancia del vrtice V al foco F es igual a la distancia del vrtice V a la recta directriz L.NOTA: El eje X sigue la direccin del vector unitario de rotacin de coordenadas, y se llama EJE o EJE FOCAL de la parbola.

ECUACION GENERAL DE LA PARABOLAX=[(x,y) V]. Y=[(x,y) V]. Donde el vrtice V corresponde a la traslacin del origen del nuevo sistema XY y al vector unitario de rotacin de coordenadas.De la grafica correspondiente a la definicin tenemos que la ecuacin vectorial de la Recta Directriz tiene la forma:=4pxDe esta manera, un punto P esta sobre la parbola P, si y solo si P satisface la relacin vectorial.P= V+ x+ y,donde = 4px, =1Que es llamada una ECUACION VECTORIAL DE LA PARABOLA, y donde P=(x,y)x=[(x,y)-V]. , y=[(x,y)-V].ECUACION DE LA PARABOLA CON EL EJE FOCAL PARALELO AL EJE XEn este caso no hay rotaciones de ejes, =i

Que es la ecuacin de una parbola con EJE FOCAL PARALELO X. En tal caso, F=V +pF= (h+p, k)L: x=h-pp= pi= (p,0)

= 4p(x-h)

ECUACION DE LA PARABOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE YCorresponde al caso = j= (0,1) .. ROTACION DE 90 y si V=(h,k) es el vrtice que corresponde a la traslacin de ejes, entonces:(= 4p(y-k)

EJEMPLO 3) Hallar la ecuacin de la parbola cuyo vrtice es V(3,-2) y su directriz la recta L: y=2. Determinar las coordenadas del foco F.Solucion:Bosquejamos la grafica segn los dato, y vemos que la parbola tiene su eje focal vertical paralelo al eje Y, Y SE ABRE HACIA ABAJO. Luego su ecuacin debe tener la forma: (= 4p(y-k) con p