Transformacion de esfuerzos

Resistencia de Materiales______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y DeformacionesTema 4Estados de Esfuerzos y Deformaciones

______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera Mecnicandice de contenidoTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformacionesndice de contenidoSeccin 1 - Estado general de esfuerzos

Seccin 2 - Transformacin de esfuerzos planos

Seccin 3 - Esfuerzos Principales

Seccin 4 - Estado plano de deformacin

Seccin 5 - Transformacin de deformaciones planas

Seccin 6 - Deformaciones principales

Seccin 7 - Relacin entre esfuerzo y deformacin plana

Seccin 8 - Crculo de Mohr

______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera Mecnicandice de contenidoTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformacionesndice de contenidoSeccin 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformacin

Seccin 10 Rosetas de Deformacin

Seccin 11 Resumen de Ecuaciones

Seccin 12 - Ejercicios

Estado general de esfuerzosTema 4 - Estados de Esfuerzos y DeformacionesSeccin 1 - Estado general de esfuerzosEn captulos anteriores se desarrollaron mtodos para determinar las distribuciones de esfuerzo normal y/o cortante en una seccin transversal de un miembro cuando se somete a carga axial, fuerza cortante, momento flector y/o momento torsor.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaSi consideramos un elemento diferencial cuadrado, notaremos que ste tiene seis caras, y que en cada una de ellas puede existir un esfuerzo normal y dos esfuerzos cortantes.En la figura mostrada, se muestran solo los esfuerzos de las caras visibles. En las caras paralelas no visibles, deben ocurrir esfuerzos de la misma magnitud y sentido contrario para que el elemento est equilibrado.

En este captulo enfocaremos nuestra atencin en el estado plano de esfuerzos, el cual ocurre cuando todos los esfuerzos que actan sobre el elemento diferencial pueden visualizarse en una representacin plana, como se muestra en la figura. Note que en el elemento diferencial tridimensional slo se muestran los esfuerzos en las caras visibles, de forma anloga al caso anterior. ______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y DeformacionesSeccin 1 - Estado general de esfuerzos

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 2 - Transformacin de esfuerzosConsideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre l, deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo normal (sq) y uno cortante (txy) para que el elemento se mantenga en equilibrio. El ngulo q indica la direccin normal al plano de corte.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTransformacin de esfuerzos planos

Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el elemento diferencial. En primer lugar, establezcamos las fuerzas que ejercen sx, sy y txy sobre el elemento:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 2 - Transformacin de esfuerzos

Si proyectamos estas fuerzas sobre la direccin q, podremos obtener el valor del esfuerzo sq:

Luego, al desarrollar la expresin nos queda:

Si utilizamos la identidades trigonomtricas:

; ;______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 2 - Transformacin de esfuerzos

Podemos plantear finalmente:

Esta expresin nos permite hallar el esfuerzo normal sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinacin q respecto a la direccin x.

Si planteamos la misma expresin para un ngulo q=q+90, nos queda:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 2 - Transformacin de esfuerzos

Recordando que trigonomtrica mente se cumple que:

Hallaremos que para las expresiones planteadas anteriormente se cumple:

Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales producidos en dos planos perpendiculares entre s es siempre constante.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 2 - Transformacin de esfuerzos

Ahora buscaremos una expresin que nos permita hallar el esfuerzo cortante sobre el plano q. Si proyectamos ahora las fuerzas Px y Py sobre la direccin q (perpendicular a q ), tenemos:

Desarrollando la expresin nos queda:

Recordando las identidades trigonomtricas:

; ;______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 2 - Transformacin de esfuerzos

Podemos plantear finalmente:

Esta expresin nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinacin q respecto a la direccin x.

Si planteamos la misma expresin para un ngulo q=q+90, nos queda:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 2 - Transformacin de esfuerzos

Recordando que trigonomtrica mente se cumple que:

Si sumamos los esfuerzos cortantes para q y q veremos que se cumple:

;

Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un estado de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera perpendiculares entre s los esfuerzos cortantes sern de la misma magnitud. El cambio de signo se debe a que en un plano, el esfuerzo cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, y en el otro plano ocurre al revs.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 2 - Transformacin de esfuerzos

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 3 - Esfuerzos PrincipalesEn el diseo y anlisis de esfuerzos, con frecuencia se requiere determinar los esfuerzos mximos en un elemento para garantizar la seguridad del miembro cargado.

La ecuacin que muestra la variacin del esfuerzo en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable q. Por ello podemos derivar dicha ecuacin para conseguir la direccin de los esfuerzos mximos:

De lo que resulta:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaEsfuerzos Principales

Igualando la ecuacin anterior a cero, para obtener los valores mximos y minimos, queda:

Donde qp es la orientacin del plano principal. Recordando que la funcin tanq se repite cada 180, la funcin tan2q se repetira cada 90, por lo que habran dos soluciones. La ecuacin anterior podemos visualizarla tambin de la forma:

Donde el trmino -2txy representara el cateto opuesto de un tringulo rectngulo con ngulo interno 2qp, y el trmino sx-sy representara el cateto adyacente.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 3 - Esfuerzos Principales

Podemos entonces hacer una representacin de ese tringulo y hallar las expresiones para sin2q y cos2q. ______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaDe la figura puede definirse la hipotenusa de tringulo:Finalmente, se puede plantear para qp1:

;

Para qp2 las expresiones seran las mismas, pero con signo contrario.Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 3 - Esfuerzos Principales

Al introducir estas expresiones en la ecuacin de sq, obtenemos:

Finalmente queda:

Donde sp1,2 son los esfuerzos de mayor magnitud que pueden darse en el elemento diferencial y se denominan esfuerzos principales.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 3 - Esfuerzos Principales

Si sustituimos sin(2qp1,2) y cos(2qp1,2) en la expresin referente a tqq, obtenemos:

Esto quiere decir que en los planos principales, slo existen esfuerzos normales, pues el esfuerzo cortante es nulo.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 3 - Esfuerzos Principales

Tambin podemos obtener expresiones para determinar los esfuerzos cortantes mximos en el elemento. Si derivamos la expresin del esfuerzo cortante que depende del ngulo q:

Finalmente queda:

De forma anloga al caso de esfuerzos normales principales, existen dos ngulos solucin para esta ecuacin. Podemos establecer las expresiones para sin2qp y para cos2qp. ______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 3 - Esfuerzos Principales

Se cumple que:

Por lo tanto:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaAl sustituir esta expresin en la expresin de tqq, nos queda:Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 3 - Esfuerzos Principales

Si sustituimos sin(2q) y cos(2q) en la expresin referente a sq, obtenemos:

Esto quiere decir que en los planos donde el esfuerzo cortante es mximo, se origina un esfuerzo normal que designaremos esfuerzo normal promedio (sprom).______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 3 - Esfuerzos Principales

Estado plano de deformacionesTema 4 - Estados de Esfuerzos y DeformacionesSeccin 4 - Estado plano de deformacionesSi consideramos un elemento sometido a un estado bidimensional de esfuerzos, los esfuerzos normales tendern a alargar acortar el elemento diferencial en la direccin en que acten, produciendo deformaciones normales unitarias (e). El esfuerzo cortante distorsionar el elemento en el plano en que acte, produciendo una deformacin angular (g). Entonces, un elemento diferencial en el plano puede sufrir tres deformaciones, como se muestra en la figura.

______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera Mecnica

Transformacin de deformaciones planasTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 5 - Transformacin de deformaciones planasAhora enfocaremos nuestra atencin en encontrar las deformaciones unitarias normales y tangenciales para cualquier direccin en un elemento diferencial deformado.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera Mecnica

Consideremos el elemento diferencial cortado en la direccin q, como se muestra en la figura. En primer lugar, estableceremos los alargamientos totales en las direcciones x e y, despreciando los trminos que resulten muy pequeos:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 5 - Transformacin de deformaciones planas

El alargamiento en la direccin x viene dado por la proyeccin de las deformaciones dx y dy sobre dicha direccin. Y la deformacin unitaria normal, es la razn entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que:

Al desarrollar esta expresin, nos queda:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 5 - Transformacin de deformaciones planas

Utilizando las identidades trigonomtricas:

; ;

Obtenemos finalmente:

De forma similar a la ecuacin relativa a esfuerzos normales, para esta expresin tambin se cumple que:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 5 - Transformacin de deformaciones planas

Ahora, proyectaremos las deformaciones dx y dy sobre una direccin perpendicular a x. Y la deformacin unitaria tangencial, es la razn entre el alargamiento proyectado y la longitud del segmento x en el elemento diferencial antes de ser deformado. Podemos entonces establecer que:

Al desarrollar esta expresin, nos queda:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 5 - Transformacin de deformaciones planas

Utilizando las identidades trigonomtricas:

; ;

Obtenemos finalmente:

De forma similar a la ecuacin relativa a esfuerzos cortantes, para esta expresin tambin se cumple que:

Recordemos que el cambio de signo se debe a que en dos planos perpendiculares, la deformaciones tangenciales giran en sentidos opuestos.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 5 - Transformacin de deformaciones planas

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 6 - Deformaciones PrincipalesLa ecuacin que muestra la variacin de las deformaciones en un elemento diferencial para cualquier plano depende de la variable q. Por ello podemos derivar dicha ecuacin para conseguir la direccin de las deformaciones mximas:

De lo que resulta:Deformaciones Principales______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera Mecnica

Igualando la ecuacin anterior a cero, para obtener los valores mximos y minimos, queda:

Donde qp es la orientacin del plano principal. Observemos que la solucin de esta ecuacin es igual que aquella de la ecuacin relativa a los esfuerzos principales, si consideramos las siguiente sustituciones:

; ;

Entonces, podemos establecer la expresin para deformaciones principales:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 6 - Deformaciones Principales

Anlogamente, la ecuacin para determinar las deformaciones tangenciales mximas sera:

De igual forma que en el caso de esfuerzos principales, en los planos donde ocurre la deformacin unitaria normal mxima, la deformacin unitaria tangencial es nula. Y en los planos donde la deformacin unitaria tangencial es mxima, la deformacin unitaria normal es eprom.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 6 - Deformaciones Principales

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 7 - Relacin entre esfuerzo y deformacin planaCuando un elemento diferencial se somete a esfuerzo normal de traccin, sufre una deformacin normal positiva ( estiramiento) en la direccin en que se produce dicho esfuerzo, y una contraccin en la direccin perpendicular a la que ocurre el mismo. Relacin entre Esfuerzo y Deformacin plana______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaSi por el contrario, el esfuerzo normal es de compresin, el elemento se acortar en la direccin del mismo y se estirar en la direccin perpendicular.

El alargamiento acortamiento que experimenta un elemento diferencial en la direccin perpendicular al esfuerzo, se puede hallar utilizando el mdulo de Poisson (n). En caso de que el esfuerzo se produzca en la direccin x, la deformacin que sufrira el elemento en la direccin perpendicular (ey/sx) se puede determinar mediante la relacin:

El signo (-) indica que las deformaciones producidas tienen sentidos contrarios. En caso de que el esfuerzo se produjese en la direccin y, se podra determinar anlogamente la deformacin en la direccin x:

______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 7 - Relacin entre esfuerzo y deformacin plana

Entonces, la deformacin unitario normal resultante en una direccin depende no slo del esfuerzo normal en la misma direccin, sino tambin del esfuerzo normal que acta perpendicularmente al anterior.Podemos entonces plantear una expresin para la deformacin resultante en la direccin x, dado un elemento diferencial sometido a esfuerzos normales en las direcciones x e y:

Al desarrollar esto, nos queda:

Anlogamente, podemos establecer una expresin para ey:


Las expresiones anteriores nos permiten determinar las deformaciones unitarias en las direcciones x e y, conocidos los esfuerzos normales en estas direcciones. Tambin podemos expresar estas ecuaciones de modo que permitan determinar los esfuerzos, en funcin de las deformaciones. Para el esfuerzo normal en la direccin x, tendramos:

Y para el esfuerzo normal en la direccin y:

Note que el esfuerzo normal tambin depende de las deformaciones que ocurren en su direccin paralela y perpendicular.


Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 8 - Crculo de MohrCrculo de Mohr para estado de Esfuerzo PlanoObservemos las ecuaciones que describen cmo varan los esfuerzos normales y cortantes en funcin de la direccin del plano en el que acten:

Si elevamos ambas expresiones al cuadrado y las sumamos, queda:

Crculo de Mohr______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera Mecnica

Como la parte izquierda de la ecuacin est compuesta de trminos constantes, podemos escribirla de la forma:

De modo que la ecuacin podramos rescribirla de la forma:

Esta ecuacin puede graficarse como una circunferencia, la cual se conoce como el Crculo de Mohr. Cada uno de los puntos que conforman esta circunferencia representa un plano, y las coordenadas de dicho punto indican los esfuerzos normales y cortantes que actan sobre el mismo.

______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 8 - Crculo de Mohr

Mtodo para graficar el crculo de MohrA continuacin describiremos un procedimiento para graficar el crculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de esfuerzos.Su tomarn la siguiente convenciones:

- Los esfuerzos normales se representarn en la abscisa y los esfuerzos cortantes en la ordenada.

- Los esfuerzos normales de traccin (positivos) se ubicarn en la parte derecha de la abscisa.

- Los esfuerzos cortantes se tomarn como positivos si en su plano de accin hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj.

- Los esfuerzos cortantes positivos se ubicarn en la parte superior de las ordenadas.


Los pasos a seguir son:

1. Graficar los puntos (sx,txy) y (sy,tyx), que indican los esfuerzos que actan sobre los planos x e y respectivamente. ______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaNote que en este caso, txy hace girar al elemento en sentido antihorario y tyx lo hace girar en sentido contrario, por lo cual el primero se ubica en el sector positivo de las ordenadas, siguiendo la convencin establecida. Tambin es importante sealar que para el caso mostrado, ambos esfuerzos normales (sx y sy) son de traccin.Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 8 - Crculo de Mohr

2. Trazar una lnea que una los puntos (sx,txy) y (sy,tyx) y definir la direccin x, como se muestra. Observe que la lnea trazada corta el eje de las abscisas en el valor sprom.

3. Con centro en el punto (sprom,0), trazar una circunferencia que pase por los puntos (sx,txy) y (sy,tyx). ______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 8 - Crculo de Mohr

Ventajas de trabajar con el crculo de MohrPara definir el crculo de Mohr, slo necesitan conocerse los parmetros sx, sy y txy, pero a partir de l pueden determinarse de forma rpida precisa:

- El esfuerzo normal y cortante para cualquier plano del elemento diferencial.

- Los esfuerzos principales (s1 y s2).

- Las orientaciones de los planos donde ocurren los esfuerzos principales (qp1 y qp2).

- El esfuerzo cortante mximos (tmax)

- Las orientaciones de los planos donde ocurre el esfuerzo cortante mximo.


Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano con direccin q, se traza un radio que corte el crculo y est inclinado un ngulo igual a 2q respecto al eje x. Las coordenadas del punto de corte son los valores de los esfuerzos sq y tqq en el plano en cuestin.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaEs importante acotar que se considerarn positivos los ngulos medidos en sentido antihorario.Note que para el caso mostrado, el esfuerzo sq es de traccin (+) y el esfuerzo cortante tqq trata de hacer girar el elemento en sentido antihorario, segn las convenciones establecidas.Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 8 - Crculo de Mohr

Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el eje de las abscisas (s). Las orientaciones de los planos principales se miden desde el eje x hasta el eje horizontal.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaNote que en los planos donde ocurren los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante es nulo.Observe tambin que para cualquier crculo de Mohr, el ngulo entre los planos principales 1 y 2 siempre es 2q=180, es decir, q=90.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 8 - Crculo de Mohr

El esfuerzo cortante mximo puede determinarse trazando un radio perpendicular al eje de las abscisas.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaPuede observarse que es posible determinar la orientacin del plano donde ocurre este esfuerzo respecto al eje x.

Note que para cualquier crculo de Mohr, entre los planos donde ocurren los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes mximos existe siempre un ngulo 2q=90, es decir, q=45.

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 8 - Crculo de Mohr

Crculo de Mohr para Deformacin planaObservemos las ecuaciones que describen cmo varan las deformaciones unitarias normales y tangenciales en funcin de la direccin del plano en el que acten:

Observe que las ecuaciones son idnticas a las referidas a esfuerzos normales y cortantes, si se hacen las sustituciones:

; ;______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 8 - Crculo de Mohr

De modo que, de forma anloga al caso de esfuerzos, esta ecuacin puede rescribirse de la siguiente manera:

Donde:

Entonces, el crculo de Mohr para deformacin plana se trata de la misma forma que el crculo de esfuerzos, con la diferencia en que el eje de las abscisas se referir a la variable e en vez de s, y el eje de las ordenadas se referir a g/2 en vez de t, y se siguen las mismas convenciones establecidas anteriormente.______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 8 - Crculo de Mohr

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformacinRecipientes de pared delgadaDesignaremos recipientes de pared delgada a todos aquellos contenedores de forma cilndrica o circular en los que se cumpla la relacin:

Donde r es el radio interno del recipiente y t el espesor de pared del mismo.

Ahora centraremos nuestra atencin en determinar los esfuerzos que ocurren en estos elementos.Casos de estado planode esfuerzo y deformacin______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera Mecnica

En recipientes de forma cilndrica sometidos a presin interna, se generan dos esfuerzos normales en los elementos diferenciales distanciados de los extremos. Uno de estos esfuerzos tiene direccin tangencial (sT), y el otro tiene direccin longitudinal (sL).

En recipientes esfricos sometidos a presin interna, se generan tambin dos esfuerzos, con la diferencia de que en este caso ambos esfuerzos normales son tangenciales (sT).______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformacin

Si tomamos una porcin longitudinal de un recipiente cilndrico, observaremos que para que sta se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:

Donde P es la presin interna del recipiente. Finalmente puede plantearse:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformacin

______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaAl hacer un corte longitudinal en el recipiente cilndrico, observaremos que para que se mantenga en equilibrio, debe cumplirse:

Finalmente :Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformacin

En el caso de recipientes esfricos, para que se mantenga el equilibrio en una porcin del mismo que ha sufrido un corte diametral debe cumplirse:

Entonces, puede plantearse:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformacin

Barras sometidas a esfuerzos combinados______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 9 - Casos de estado plano de esfuerzo y deformacin

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 10 - Rosetas de deformacinEn algunos casos, es muy difcil determinar analticamente los esfuerzos a los que est sometido un elemento. Cuando esto ocurre, se determinan experimentalmente las deformaciones que ste sufre, utilizando medidores de deformacin por resistencia elctrica. Al disponer estos en un patrn compuesto por tres medidores, puede estimarse el estado de deformacin plana del elemento utilizando las relaciones:______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaRosetas de deformacin

Resumen de ecuaciones______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaRelacin entre carga, fuerza cortante y momento flector:

V: Fuerza Cortante en una seccin transversalM: Momento Flector en una seccin transversalx: Distancia desde un extremo de la viga

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 11 - Resumen de ecuaciones

______________________________________________________________________________Universidad de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaEsfuerzo normal debido a momento flector:

s: Esfuerzo normal en un punto de la seccin transversalM: Momento flector sobre la seccin transversaly: Distancia desde el centroide hasta el punto de inters sobre la seccin transversalI: Momento de inercia de la seccin transversal

Tema 4 - Estados de Esfuerzos y Deformaciones Seccin 11 - Resumen de ecuaciones

Transformacion de esfuerzos

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