TRANSFORMACIN DE COORDENADAS

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

Parámetros de los elipsiodes

a= semieje mayor

b= semieje menor

f=a−ba

=ac hatamiento

e2=a2−b2

a2 =cuadrado de la1 °excentricidad

e ' 2=a2−b2

b2 =cuadrado de la2 ° excentricidad

c=a2

b=radio polar de curvatura

Parámetro Clarke 1866 Internacional (Hayford) WGS 84

a 6 378 206.4 m 6 378 388.0 m 6 378 137.0

b 6 356 583.8 m 6 356 911.9 6 356 752.3

f 0.003 390 075 0.003 367 003 0.003 352 811

e2 0.006 768 657 0.006 722 670 0.006 694 381

e’2 0.006 814 784 0.006 768 170 0.006 739 497

Transformación de coordenadas geodésicas a UTM

I. Datos:

Coordenadas geodésicas: ∅ , ℷ Parámetros del elipsoide de referencia.

II. Fórmulas de cálculo

1. CÁLCULO DE X

x= t . v ( 1 +θ3

)

Donde:

¿

{V=0.9996(C )

√1+e '2 cos2∅….(metros)

{θ= e '22.t 2cos2∅….(número )

C {PSAD56 :C=6 399 936.609WGS84 :C=6399593.64

2. CÁLCULO DE Y

Y= n . v (1+θ ¿+0.9996 (C ) ¿)

Donde:

{n=arctg( tgϕcos Δ λ )−ϕ…número

{ α=3e '2

4….número

β=5 α2

3….número

γ=35α3

27…..número

λ

¿ radio polar decurvatura

{J2=ϕ+

A1

2……………número

J 4=3 . J 2+A2

4……… ..número

J6=5 . J 4+A2cos2ϕ

3..número

A1=sen2ϕ……….…número

A2=A1 cos2ϕ…………número

Ejemplo: datum PSAD 56;

Zona 19{∅=16 ° 27' 43.522' ' Sℷ=71° 29'28.726 ' 'W

Solución:

PSAD56 ----- > elipsoide Hayford { a=6378 388.0me2=0.006 722 670; e '2=0.006 768170

Zona 19 ------> meridiano central = 69° W ------>Δ ℷ=ℷ−69 º

Cálculo de “x”

Δ ℷ A t V(m) θ X(m)

2º 29’ 28.7260’’

0.041 686 049

0.041 710 22

6 377 558.38

5.414 647 439 x 10-6

266 009.843

Finalmente

E= 500 000 – 266 009.843

E= 233 990.157 m

Cálculo de y

Δ ℷ n nv (1+θ α β γ

2° 29’ 28.726’’ 2.570 966 951 x 10-4 1 639.658 0.005 076 127 5 4.294 511 733 x 10-5

1.695 515 318 x 10-7

A1A2 J2 J4 J6 α .J2

0.543 528 722 0.499 880 802 0.559 082 023 0.544 281 718 1.060 382 203 0.002 837 97 135 2

β J 4 γ J 6 ϕ−α J 2+β J 4−γ J 6 0.999 6 x 6 399 936.609 (ϕ−α J 2+β J 4−γ J 6)

0.000 023 374.178 4

0.000 000 179 0.284 502 885 1 820 072.109

Y=1 821 711 .767

Finalmente:

N=10 000 000 – 1 821 711.767

N= 8 178 288.233 m

Transformación de coordenadas UTM a Geodésicas

I. Datos Coordenadas UTM : este ; norte Zona Parámetros del elipsoide de referencia.

II. Fórmulas de cálculo 1. Cálculo de la longitud λ

λ=Δ λ+λ0

Donde :

λ0= meridiano central de la zona

Δ λ= arctg ( sen hθcos n )Calculando diversos parámetros:

ϕ '❑= norte6 366 197.724 x 0.999 6

V= C x 0.999 6

√1+e '2 xcos2ϕ'

ΔX=este−500 000

A=ΔXV

θ= e '2 x A2

2x cos2ϕ '

R=A (1−θ3 ) Senhθ= e

R−e−R

2

e= base de logaritmo neperiano

e= 2.718 281 828

A1=Sen 2ϕ ' A2= A1 cos2 ϕ '

J2= ϕ '+A1

2

J4 =3J 2+A2

4

J6

5 J4+A2 cos2ϕ'3

α=34e ' 2

β=53α2

γ=3527α2

B=0.999 6 x C(ϕ '−α J2+β J 4−γ J 6)

b=norte−BV

n=b (1+θ )+ϕ'

Ejemplo

Datum PSAD 56

Este= 435 157.59 m

Norte= 4 815 453.64 m

Zona= 30 N

A) Cálculo de la longitud λ

λ0 ∅ ' V (m) Δ x (m) A θ R

-3° 0.756 712 374 = 43º 21’ 23.13’’ 6 385 961.938 -64 842.41

-0.010 153 899

1.844 56 x 10-7

-0.010153898

Senhθ A1 A2 J2 J4 J6

-0.010 154 072 0.998 354 702 0.527 800 241

1.255 889 725

1.073 867 353

1.882789648

α β γ B(m) b n

0.005 076 128 4.294 51 x 10-5 1.695 52 x 10-7

4 800 483.409 0.002 344 241

0.759 056 614 = 43º 29’ 26.67’’

cos n Δ λ λ

0.725 485 591 -0.801 873 18º=-0º 48’ 6.74’’ -3º 48’ 6.74’’

B) Calculando la Latitud ∅

∅ ' Δ λ n t ϕ

0.756 712 374 = 43° 21’ 23.13’’ -0° 48’ 6.74’’

43° 29’ 26.67’’ 43° 29’ 16.58’’ 43° 29’ 18.27’’

Transformación de coordenadas Geodésicas a Cartesianas

Ing. Ralfo Herrera Rosado | Ing. Jorge Mendoza Dueñas 11

Datos

Latitud geodésica: ϕ Longitud geodésica: λ Altura elipsoidal: h

Fórmulas:

X= ( N + h ) cos ϕ cos λ

Y= ( N + h ) cos ϕ sen λ

Z= [N (1−e2 )+h ] sen ϕDonde:

N= a

(1−e2 sen2ϕ )1/2

N= radio de curvatura en el primer vertical.

Ejemplo

Datos:

Datum WGS 84

∅=18 ° 20'30.756' ' S

λ=77 ° 43'17.432W

h= 3 250.24 m

Solución

a) Elipsoide WGS 84

a= 6 378 137.0

e2=0.006 694 381

b) Cálculo del radio de curvatura en el primer vertical.

N= 6 380 252.174 m

c) Cálculo de las coordenadas cartesianas

X= 1 288 569.753 m

Y= -5 920 592.005 m

Z= -1 995 360.148m


Transformación de coordenadas cartesianas a geodésicas

Datos

Coordenada cartesiana X Coordenada cartesiana Y Coordenada cartesiana Z

Fórmulas

P=√x2+ y2

θ=arctg Z .aP .b

∅=arctg Z+e '2 . b sen3θ

P−e2 . acos3θ

λ=arctg yx

N= a

√1−e2 sen2∅

h= Pcos∅

−N

Ejemplo

Datos: Datum WGS 84

X= 1 288 569.753 m

Y= -5 920 592.005 m

Z= -1 995 360.148 m

Solución

a) Elipsoide WGS84

a= 6 378 137.0

b= 6 356 752.3

e2 = 0.006 694 381 m

e’2 = 0.006 739 497 m

b) Cálculos

P=√x2+ y2=6 059 193.156m

θ=arctg z . aP .b

=−18° 17' 4.34 ' '

Luego : ϕ=−18° 20' 30.765S ' '

λ=arctg yx

λ=−77 ° 43'17.432' '

N= a

√1−e2 . sen2∅=6380252.174m

h= Pcos∅

−N

h=3 250.24m


Transformación de coordenadas entre sistemas

Un requisito fundamental en la transformación de coordenadas es presentar la posición de un punto en el sistema cartesiano. (x, y, z).

La forma general de transformar las coordenadas cartesianas es mediante el uso de siete parámetros.

Las tres traslaciones entre los orígenes: ∆ x ,∆ y ,∆ z (metros) Las tres rotaciones entre los ejes: Rx, Ry, Rz. ( segundos sexagesimales) La diferencia de escala S (partes por millón =ppm)

Sea:

A = sistema cartesiano “A”

B = sistema cartesiano “B”

[X A

Y A

Z A]=coordenadas cartesianas deun punto Penel sistema A


[XBY B

ZB]=coordenadas cartesianas deun punto Penel sistema B

[∆x∆ y

∆ z]=vector traslaci ó n

Luego:

[XBY B

ZB]=[∆x∆y∆z ]+(1+δ)[1 R z−R y

−Rz1 RxR y−Rx 1][X A

Y A

Z A]

Resolviendo:

[XBY B

ZB]=[∆x∆y∆z ]+(1+δ)[ X A+Y A .R z−Z A .R y

−X A .R z+Y A+Z A . RxX A .R y−Y A . Rx+Z A ]

Ejemplo numérico 1: en Ecuador

Sistema “A”: PSAD 56

Sistema “B”: WGS 84

∆ x=−60.310m

∆ y=245.935m

∆ z=31.008m

R x=−12.324 ' '=−5.974 843 80 6x 10−5 rad

R y=−3.755' '=−1.820 475 373 x10−5 rad

R z=7.370' '=3.573 076 83 x10−5 rad

δ=+0.447 ppm= +0.4471000 000

x0.000 000 447

Aplicando para el punto

PSAD56 { ∅=03 ° 10' 42.988' ' Sλ=79 °01' 32.0170W

h=3511.090m ( elipsiodal )

Solución:


Transformando a coordenadas cartesianas

XA= 1 213 072.311 m

yA= -6 255 614.095 m

ZA = -351 494.127 m

Transformando de PSAD 56 a WGS 84

[XBY B

ZB]=[−60.310

295.93531.008 ]+1.000 000 447 [ 1 212842.394 2382

−6 255636.437 780 6−351889.973 853 96 ]

[XBY B

ZB]=[ 1212 782.626 378 7

−6 255393.299 050 1−3518 59.123 148 77]

Finalmente

X B=1 212782.626 378 7mY B=6255 393.299 050 1mZ B=3518 59.123148 77m }WGS 84

Transformando coordenadas cartesianas (WGS84) a coordenadas Geodésicas (WGS84)

∅=3 ° 10'55 0085' ' S

λ=79 °01' 39.8623W

h=3 510.576m(elipsoidal)


TRANSFORMACIN DE COORDENADAS

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