Capıtulo 2

Transferencia radiativaVersion 18 de septiembre de 2017

Los procesos de interaccion entre radiacion electromagnetica y materia sedescriben formalmente a traves de la ecuacion de transferencia radiativa.Este formalismo emplea como cantidad basica la intensidad de la radiacion,que se relaciona con cantidades medibles como el flujo de energıa. La inten-sidad del campo radiativo es afectada por los procesos de absorcion, emisiony dispersion. Este formalismo se describe a continuacion.

2.1. Definiciones

2.1.1. Intensidad y cantidades derivadas

La variable fundamental para la descripcion del transporte de energıa ra-diativa es la intensidad especıfica, Iν , que se refiere conceptualmente a unhaz de radiacion. Se define a partir del flujo de energıa (E) por unidad detiempo (t), area (A), frecuencia (ν) y angulo solido (Ω),

dEdA dt

= Iν(k, ~r, t) k · n dΩ dν , (2.1)

con n la normal al elemento de area dA que atraviesa el haz, el cual se propa-ga en la direccion k. Iν es funcion de la posicion, del tiempo, de la frecuenciay del vector de propagacion1 Iν contiene informacion tanto de la distribucionespacial y espectral del campo de radiacion, como de su nivel de isotropıa.Las unidades (cgs) de la intensidad especıfica son [erg cm−2s−1Hz−1Sr−1].

1Formalmente la combinacion (k, ν) corresponde con el vector ~k = (2πν/c)k. El vectorde propagacion, k = z cos θ+(x cosφ+ y sinφ) sin θ se relaciona directamente con el angulosolido, dΩ = sin θdθdφ.

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Figura 2.1: Todos los haces de radiacion que salen de (1) con una aperturadada por el angulo solido dΩ1 atraviesan la diferencial de area dA2 = r2dΩ1,siendo r la distancia entre ambos puntos. De misma manera, aquellos quepasan por el punto (2) habiendo salido de (1) abarcan un angulo solidodΩ2 = dA1/r

2. Se desprende que dA1dΩ1 = dA2dΩ2.

El formalismo de transferencia radiativa puede hacerse tanto en terminos dela frecuencia, ν, como de la longitud de onda, λ, relacionadas mediante,

Iλdλ = Iνdν ⇒ Iλ = − c

λ2Iν . (2.2)

El signo negativo indica el sentido opuesto en los intervalos de integracion.La conservacion de la energıa radiativa se traduce en la constancia de la

intensidad especıfica del haz. Considerando un emisor situado en un punto(1) y un receptor en otro punto (2), tenemos que la cantidad de energıa quesale de (1) y llega a (2) esta dada por

dE1 = Iν1 dA1 dΩ1 dt dν ,

donde dΩ1 es el angulo solido que abarca el receptor (2) visto desde (1). Porotro lado, la cantidad de energıa recibida en (2) esta dada por

dE2 = Iν2 dA2 dΩ2 dt dν .

En el caso de conservacion de la energıa radiativa, se tiene dE1 = dE2: laenergıa emitida dentro del cono de apertura dΩ1 coincide con la captada

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en el area dA2, y la recibida dentro del cono de apertura dΩ2 coincide conla emitida dentro del area dA1. En virtud de que dA1dΩ1 = dA2dΩ2 (figu-ra 2.1), tenemos

Iν1 = Iν2 . (2.3)

La intensidad especıfica es constante a lo largo de la trayectoria, en ausenciade absorbedores o fuentes de radiacion.

Partiendo de Iν se definen algunas cantidades fısicas asociadas a losmomentos geometricos del campo de radiacion.

Intensidad media y densidad de energıa

La intensidad media de la radiacion es el promedio de la intensidad sobretodas las direcciones. Se denota como Jν , dada por:

Jν ≡1

4π

∫Iν dΩ , (2.4)

teniendo unidades de [erg cm−2s−1Hz−1]. La intensidad media tiene la mis-ma forma funcional que la densidad de energıa, uν , que se define tambienintegrando la intensidad sobre el angulo solido,

uν ≡1

c

∫Iν dΩ =

4π

cJν ; (2.5)

el factor c indica el paso de flujo a densidad. La presion de radiacion tieneunidades de [erg cm−3Hz−1]; representa la cantidad de energıa por unidadde volumen y de rango espectral en forma de radiacion.

Flujo de energıa

El flujo de energıa es una cantidad que se mide frecuentemente de maneraobservacional. Corresponde al primer momento de la distribucion angularde la intensidad,

Fν ≡∫Iν cos θ dΩ , (2.6)

teniendo unidades de [erg cm−2s−1Hz−1]. Fν representa la energıa transpor-tada por unidad de area, tiempo e intervalo espectral. El termino en cosenocorresponde a k · n = cos θ, siendo k la direccion de propagacion de la ra-diacion y n la normal al elemento del area emisor o receptor. Para fuentesdistantes con flujo Fν , la intensidad promedio esta dada por 〈Iν〉 = Fν/∆Ω,con cos θ = 1 para todo fin practico.

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El flujo de energıa tiene la particularidad de ser cero en el caso isotropico.Podemos definir dos componentes de incidencia paralela y anti-paralela a unasuperficie, que consideramos aquı normal al eje z. En coordenadas esfericas,

F+ν =

∫ 2π

0

∫ π/2

0Iν cos θ sin θdθ dϕ , F−ν =

∫ 2π

0

∫ π/2

πIν cos θ sin θdθ dϕ ,

(2.7)de manera que Fν = F+

ν − F−ν .Es importante distinguir entre el flujo emitido, Fν1, y el recibido, Fν2:

cuando hay conservacion de la intensidad, estos se relacionan aproximada-mente como Iν ' Fν1/∆Ω1 = Fν2/∆Ω2, siendo ∆Ω1 el angulo solido dentrodel cual se da la emision, y ∆Ω2 el angulo solido que abarca la fuente vistapor el observador. Generalmente ∆Ω2 ∆Ω1, y el flujo emitido es muchomayor que el observado, Fν1 Fν2. En terminos de variables observadas,Fobs = Fem∆Ωobs/∆Ωem. Para una fuente isotropica ∆Ωem = π, mientrasque ∆Ωobs = πδθ2, siendo δθ el radio angular de la fuente observada. Enel caso del Sol, Fobs corresponde con la constante solar, s ' 1367 W/m2,mientras que el flujo emitido es Fem ' 6.285× 107 W/m2.

Una forma comun de describir el flujo, especialmente en el optico y ban-das aledanas, es el sistema de magnitudes, definido de forma logarıtmica,

mν = −2.5 log(Fν/Fν0),

con Fν0 un flujo de referencia para la frecuencia ν. El sistema de magnitudesse define de manera que la estrella Vega tenga magnitud cero en las distintasbandas fotometricas. En radio-astronomıa es mas comun el uso del Jansky,unidad lineal definida como,

1 Jy ≡ 10−23 erg cm−2s−1Hz−1.

Los flujos de referencia Fν0 aparecen expresados en Jy en la tabla 1.1 delprimer capıtulo. Otra cantidad de interes en astronomıa es el brillo del cielo,expresado comunmente en magnitudes por segundo de arco cuadrado, quecorresponde con la intensidad especıfica de la emision del cielo.

Presion de radiacion

La presion de radiacion corresponde al segundo momento de la intensidad,

Pν ≡1

c

∫Iν cos2 θ dΩ , (2.8)

teniendo unidades de [dyn cm−2Hz−1], equivalentes a unidades de densidadde energıa [erg cm−3Hz−1].

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La intensidad especıfica y sus momentos caracterizan las componentesespectrales de un haz de radiacion, siendo integrables sobre frecuencias,

I =

∫ ∞0

Iν dν , u =

∫ ∞0

uν dν , F =

∫ ∞0

Fν dν , . . . (2.9)

para obtener las cantidades globales.

2.1.2. Relacion con ondas electromagneticas

En el capıtulo 1 se definio el flujo y la densidad de energıa de un campoelectromagnetico,

~S =c

4π~E × ~B =

c

4π| ~E|2k , (2.10)

con ~S el vector de Poynting, que se relaciona con la energıa recibida o emitidaa traves de:

E =

∫~S · n dA dt =

∫c

4π| ~E|2 k · n dA dt =

∫Iν k · n dA dt dν dΩ . (2.11)

Se puede ir formalmente de la dependencia temporal de los campos a sudescripcion espectral a traves de la transformada de Fourier. La dependenciade ~S con los campos es cuadratica, de donde se desprende que la definicionse refiere al flujo por unidad de tiempo o por unidad de frecuencia,

~S(t) −→ erg cm−2s−1 ⇔ ~S(ν) −→ erg cm−2Hz−1 .

Para poder definir un flujo por unidad de tiempo y de frecuencia es necesarioconsiderar formalmente intervalos espectrales y temporales que satisfagan∆ω∆t 1. Siendo ası, podemos considerar el flujo por unidad de frecuenciapromediado por cada ciclo,

~Sω =

(ω

2π

)⟨~S(ω)

⟩−→ erg cm−2 Hz−1 s−1 . (2.12)

Un campo de radiacion incorporara un conjunto de ondas electromagneticaspropagandose en todas direcciones,

~Sω(~r) =∑k

(ω

2π

)(c

4π

)| ~E(~r, ω)|2 k , (2.13)

siendo ~E(~r, ω) una componente de Fourier del campo electrico de radiacion yk el vector de propagacion del mismo. La intensidad especıfica Iω considerala distribucion angular de ~Sω, de manera que podemos identificarla con

Iω(~r, k) =

(ωc

8π2

)d

dΩ

|E(~r, ω)|2

. (2.14)

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Figura 2.2: (a) Campo isotropico de radiacion; (b) campo de una fuenteisotropica; (c) esfera radiando semi-isotropicamente.

El calculo de la densidad de energıa, el flujo y la presion de radiacion se hacenconsiderando, con el cuidado requerido, la geometrıa del mismo (fig. 2.2).

Campo de radiacion isotropica

Radiacion isotropica corresponde a una intensidad Iν independiente de ladireccion de propagacion k. Este caso difiere del de una fuente isotropica,en el cual un observador lejano ve radiacion proveniente de la direccion dela fuente, no de todas direcciones. El observador, inmerso en el campo deradiacion, observa la misma intensidad en todas las direcciones. Un ejemploconocido de radiacion isotropica es el fondo cosmico de microondas (CMB).Si Iν no depende de k, entonces sale de las integrales sobre dΩ:

Jν = Iν , al ser la intensidad especıfica igual a la intensidad media;

Fν = 0, el flujo neto de radiacion es nulo, dado que rayos de luzatraviesan una superficie dada direcciones opuestas;

Pν = uν/3, a partir de la integral de cos2 θ dΩ.

2.2. La ecuacion de transferencia radiativa

La conservacion de la energıa en un haz de radiacion que se propaga entredos puntos (1) y (2), implica Iν1 = Iν2. Esta igualdad se generaliza a lo largode una trayectoria dada por s con la relacion,

dIνds

= 0 . (2.15)

Al considerar la interaccion de la radiacion con el medio deja de cumplirse laconservacion de energıa radiativa, y se generaliza esta relacion mediante la

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ecuacion de transferencia radiativa. Los procesos a considerar son: emisionespontanea e inducida, absorcion y dispersion.

2.2.1. Emision espontanea

Un medio emite radiacion como consecuencia de que sus atomos y moleculasocupan distintos niveles energıa debido a intercambios por choques entre laspartıculas, por ejemplo. La emision de radiacion es una forma natural depasar a un estado de energıa menor, siguiendo el principio fısico de mınimaenergıa. De esta forma, la energıa previamente adquirida por algun procesofısico se incorpora a la energıa de un haz de radiacion, siguiendo la expresion,

dE = ν dV dΩ dt dν ,

con ν el coeficiente de emision [erg cm−3s−1Hz−1Sr−1]. El aumento de laenergıa radiativa por emision espontanea se describe como,

dIνds

= ν . (2.16)

Frecuentemente la emision espontanea es isotropica y conviene describirlapor unidad de masa, mediante la emisividad especıfica:

εν = 4π ν/ρ ,

con unidades de [erg s−1g−1Hz−1], y siendo ρ la densidad de masa.

2.2.2. Absorcion y emision inducida

El proceso de absorcion de radiacion puede describirse de manera proba-bilıstica, foton por foton, de forma que la intensidad de radiacion absorbidaes directamente proporcional a la intensidad de la radiacion incidente,

dIνds

= −ανIν , (2.17)

donde αν es el coeficiente de absorcion [cm−1]. Su inverso es el camino libremedio, `ν = 1/αν . Para describir las propiedades de absorcion de un medioen terminos de la densidad numerica de absorbedores, o de su densidad demasa, podemos emplear la seccion eficaz, σν , de cada absorbedor,

αν = nσν ,

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siendo n la densidad numerica de partıculas. La seccion eficaz tiene unidadesde area [cm2]. Alternativamente, se usa el coeficiente de opacidad, κν , quese relaciona con la densidad de masa,

αν = ρ κν ,

con unidades [g−1cm2]. En condiciones muy particulares, el medio es esti-mulado por radiacion incidente y emite mas radiacion de la que recibe. Estaemision estimulada es proporcional a la intensidad de la radiacion incidente,y por tanto su comportamiento es fısicamente mas cercano al de la absorcionque al de la emision espontanea. La emision estimulada se describe como unacontribucion negativa al coeficiente de absorcion, αestimν < 0.

2.2.3. La ecuacion de transferencia radiativa y soluciones

Considerando los procesos de emision y absorcion conjuntamente, obtenemosla ecuacion de transferencia radiativa:

dIνds

= −ανIν + ν . (2.18)

En el caso sin absorcion, αν = 0, la solucion a la ecuacion queda en terminoslineales:

Iν(s) = Iν(s0) +

∫ s

s0ν(s′) ds′ .

En el caso sin emision, ν = 0, la solucion a la ecuacion de transferenciaqueda como un decaimiento exponencial de la intensidad:

Iν(s) = Iν(s0) e−τν ,

donde τν es la profundidad optica, definida como:

τν ≡∫ s

s0ανds

′ . (2.19)

Si τν 1 se dice que el medio es transparente u opticamente delgado; mien-tras que si τν 1, el medio es opaco u opticamente grueso.

Debido en parte a las incertidumbres en estimar distancias y tamanos deobjetos astrofısicos, resulta mas conveniente expresar la ecuacion de trans-ferencia en terminos del espesor optico:

dIνdτν

= −Iν + Sν , (2.20)

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donde Sν ≡ ν/αν es la funcion fuente (emision / absorcion). Expresada deesta forma, la ecuacion de transferencia (2.20) tiene como solucion formal:

Iν(τν) = Iν(0)e−τν +

∫ τν

0Sν(τ ′ν)e−(τν−τ

′ν) dτ ′ν . (2.21)

En particular, si Sν no depende de τν se tiene:

Iν(τν) = Iν(0)e−τν + Sν(1− e−τν ) . (2.22)

Para τν 1 tenemos Iν(τν)→ Iν(0); mientras que si τν 1, Iν(τν)→ Sν .Este comportamiento es inherente a la ecuacion 2.20, donde Iν pierde sucomportamiento inicial en escalas de orden τν ∼ 1, y tiende a adquirir lascaracterısticas del medio, descrito por la funcion fuente.

En el caso particular de emision estimulada, en lugar de una atenuacionde la intensidad, se obtiene una amplificacion exponencial de la misma. Po-demos ver este caso tomando un coeficiente de opacidad negativo, τν = −τ∗,y una funcion fuente negativa, Sν = −S∗ν , de donde,

Iν(τν) = (Iν(0) + S∗ν) eτ∗ ,

una amplificacion exponencial para τ∗ 1. Manifestaciones importantes deeste proceso son los maseres Galacticos y extragalacticos.

2.3. Radiacion en equilibrio termodinamico

El estudio de la interaccion entre materia y radiacion en equilibrio termo-dinamico empieza historicamente con la discusion de Kirchhoff sobre losprocesos involucrados, dando lugar a la ley de Kirchhoff y, posteriormente,a la distribucion de Planck2. Estos procesos son descritos por la funcionfuente, Sν , que en equilibrio se relaciona con la distribucion de Planck.

2.3.1. La ley de Kirchhoff

En 1859 Gustav Kirchhoff considero la emision de radiacion por unidadde tiempo en una direccion k, dada por una funcion Pe(k) en un puntodado (figura 2.3), junto con el proceso de absorcion, descrito por la potenciade la radiacion incidente, Pi(−k). El coeficiente de absorcion, aλ, indica lafraccion de la radiacion absorbida por el objeto. Si el objeto esta en equilibrio

2Lectura recomendada: ”La teorıa del cuerpo negro y la discontinuidad cuantica: 1894-1912”por Thomas S. Kuhn.

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Figura 2.3: Absorcion (arriba) y emi-sion (abajo) de radiacion dentro de uncono de apertura dΩ en la direccion k.Una fraccion aλ de la radiacion inciden-te de longitud de onda λ es absorbida.

termodinamico, Pe debe ser funcion de la temperatura y de la longitudde onda, jλ(T ), y el coeficiente de absorcion sera tambien funcion de latemperatura y longitud de onda, aλ(T ). Si ademas existe un equilibrio entrela radiacion emitida y absorbida, y la radiacion esta en estado de equilibriotermodinamico a la misma temperatura, obtenemos la ley de Kirchhoff,

jλ(T ) = aλ(T )Kλ(T ) ⇒ jλ(T )

aλ(T )= Kλ(T ) , (2.23)

donde Kλ(T ) es una funcion de caracter universal que describe la distribu-cion en longitud de onda de la radiacion en estado de equilibrio termodinami-co. Un aspecto fundamental identificado por Kirchhoff, es que el cocientejλ/aλ depende del material, mientras que la funcion Kλ es independientedel mismo. Por tanto, la ley de Kirchhoff (2.23) se cumple para cualquierobjeto en equilibrio termodinamico, independiente de sus propiedades, o delas de la radiacion incidente.

Un aspecto fundamental de la ley de Kirchhoff es el principio de balancedetallado: el equilibrio se cumple no solo de manera global, potencia absor-bida = potencia emitida, sino tambien de manera detallada: es decir paracada direccion, intervalo de angulo solido, longitud de onda e incluso paracada componente de polarizacion.

2.3.2. La radiacion de cuerpo negro

El desarrollo de la teorıa de cuerpo negro

Hacia 1894, Planck se advoco a la busqueda de la funcion Kλ, la dis-tribucion espectral de la radiacion en equilibrio termodinamico, conoci-do como el problema del cuerpo negro; un absorbedor ideal, definido por

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Figura 2.4: Cuerpo negro emitiendo de manera isotropica (rojo) despues determalizar radiacion anisotropica incidente (en azul).

aλ = 1 ⇒ jλ(T ) = Kλ(T ), emite con esta distribucion espectral y, alno reflejar la radiacion incidente, es completamente negro. En 1879 Stefanhabıa empleado argumentos termodinamicos para mostrar que la densidadde energıa, u, de la radiacion contenida en una cavidad de paredes negras(figura 2.4), debıa satisfacer u = σT 4, siendo σ una constante. De ahı, Wiendedujo en 1893 que u debıa cumplir

uλ =4π

cKλ = λ−5φ(λT ) ⇒ uν =

4π

cKν = ν3φ(T/ν) ,

siendo φ una funcion de una sola variable. Esta es la forma original dela ley de desplazamiento de Wien. El mismo Wien busco la expresion quemejor ajustara los datos experimentales de la epoca, proponiendo en 1896la expresion Kλ(T ) = bλ−5e−a/λT , con a y b constantes a determinar.

Planck hizo un estudio de la interaccion entre resonadores y campos elec-tromagneticos. Usando consideraciones termodinamicas, demostro en 1899que la ley de distribucion de Wien cumple el principio de maxima entropıa.Pero experimentos con detectores infrarrojos a principios de 1900, sensiblesentre 12 y 18 µm, mostraron que la distribucion de Wien es inadecuada paralongitudes de onda larga, lo que llevo a la busqueda de una generalizacionde la misma. El 19 de octubre de 1900 Planck presento la expresion,

Kλ =C λ−5

ea/λT − 1, (2.24)

la cual ajustaba correctamente los datos experimentales, y cumplıa con elprincipio de maxima entropıa. Esta expresion requiere que los intercambiosde energıa de los resonadores de Planck con el campo de radiacion se divida

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en un numero entero de elementos, o cuantos, de dimensiones ε = hν. En1905, Rayleigh y Jeans mostraron por separado que el postulado cuanticoes incompatible con los principios clasicos, y que bajo el principio clasico deequiparticion de la energıa la radiacion en equilibrio termodinamico deberıacumplir uλ(T ) = 8πkT/λ4, la distribucion de Rayleigh-Jeans.

El espectro de la radiacion de cuerpo negro

La distribucion espectral de la radiacion emitida por un absorbedor y emisorperfecto en equilibrio termodinamico a una temperatura T esta descrita porla funcion de Planck, expresada en terminos de la longitud de onda como

Bλ(T ) =2hc2/λ5

ehc/λkT − 1, (2.25)

conforme a la expresion original de Planck (2.24), e introduciendo la constan-te de Planck, h ' 6.626×10−27 erg s. La Planckiana se expresa comunmenteen terminos de frecuencia,

Bν(T ) ≡ 2hν3/c2

ehν/kT − 1, (2.26)

con la consideracion de que se trata de una distribucion que describe el flujopor unidad espectral, ya sea en terminos de frecuencias o de longitudes deonda. Para conservar el flujo en toda banda espectral debe cumplirse,

Bνdν = Bλ dλ ,

y dado que dν = −c dλ/λ2, se introduce el cambio en el exponente. Laradiacion de cuerpo negro es isotropica y no depende de la constitucion delobjeto, mas alla de que debe ser negro en el rango de frecuencias considerado.La funcion de Planck se muestra en la figura 2.5.

Momentos geometricos

Sus momentos geometricos de la funcion de Planck se calculan directamentebajo la consideracion de isotropıa.

Intensidad media y densidad de energıa:La intensidad media, Jν , es el promedio de la intensidad sobre el angulosolido por lo que, siendo Bν isotropica,

Jν = Bν(T ) ⇒ J =

∫ ∞0

Jν(T ) dν ≡ B(T ) =σ

πT 4 , (2.27)

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con σ = 2π5k4/15h3c2 ' 5.67× 10−5 erg cm−2s−1K−4, la constante deStefan-Boltzmann. J es la intensidad media integrada sobre frecuen-cias. La densidad de energıa es

uν =4π

cJν =

4π

cBν(T ) ⇒ u(T ) = aT 4 ,

donde a = 4σ/c es la constante de radiacion, misma que fuera plan-teada por Stefan en 1879.

Flujo de energıa:Siendo la Planckiana isotropica, el flujo de energıa es nulo, Fν = 0. Deacuerdo a la relacion 2.7, podemos integrar la intensidad sobre mediohemisferio, obteniendo F+

ν = πBν(T ). Esta expresion coincide con elflujo integrado alrededor de fuente puntual isotropica, que integradasobre frecuencias es,

F (T ) = πB(T ) = σT 4 . (2.28)

Presion de radiacion:Para emision isotropica la presion de radiacion se relaciona con ladensidad de energıa como, pν = uν/3. La relacion integrada

p =u

3=

1

3aT 4 , (2.29)

viene siendo la ecuacion de estado de un gas de radiacion.

Comportamiento de la funcion de Planck

La funcion de Planck es creciente con la temperatura, ∂Bν/∂T > 0 , demanera consistente con el B ∝ T 4, como se describio antes.

El maximo de Bν corresponde a hν/kT = η, siendo η la solucion deη = 3(1− e−η)→ η ' 2.821, es decir

νmax ' 5.878× 1011Hz (T/K) .

Debido a la dependencia en λ−5, el maximo de Bλ corresponde a unalongitud de onda distinta, dada por λkT/hc = 1/ζ, donde ζ es la solucionde ζ = 5(1− e−ζ)→ ζ ' 4.965. La relacion resultante es la ley de despla-zamiento de Wien,

λmaxT ≈ 0.2898 cm K . (2.30)

En particular, con Tcmb = 2.726 ± 0.010 K el fondo de radiacion de micro-ondas tiene maximos de emision en λmax ≈ 1.06 mm, νmax ≈ 215 GHz.

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Figura 2.5: La funcion de Planck, Bν (arriba) o Bλ (abajo). A la izquierdaen unidades lineales y a la derecha en logarıtimicas. Las lıneas punteadasdenotan las aproximaciones de Rayleigh-Jeans y de Wien.

Lımites asintoticos

A bajas frecuencias, definidas por hν/kT 1, la Planckiana tiende a lafuncion de Rayleigh-Jeans,

I(RJ)ν (T ) =2ν2

c2kT . (2.31)

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Esta forma funcional fue derivada por Rayleigh y Jeans en 1905 siguien-do el principio clasico de equiparticion de la energıa. Alguna suposicion ensu derivacion era incorrecta, ya que la integral sobre frecuencias diverge,∫∞0 IRJν dν → ∞. Esto se manifestarıa tambien en que un objeto a tempe-

ratura ambiente serıa extremadamente brillante en el ultravioleta extremo,problema conocido en su momento como la catastrofe ultravioleta.

Para frecuencias grandes, hν/kT 1, la funcion de Planck tiende a lafuncion de Wien,

I(w)ν (T ) =2hν3

c2e−hν/kT , (2.32)

que fue historicamente la primera descripcion de la emision de cuerpo negro.A frecuencias altas la funcion de Wien decrece exponencialmente con ν, porlo que es integrable y cumple cualitativamente con la ley de desplazamiento,λmaxT = constante. Sin embargo, falla a frecuencias pequenas donde prediceincorrectamente Iν ∝ ν3.

Temperaturas astrofısicas

La funcion de Planck permite asignar un valor de temperatura a una me-dicion de flujo o intensidad, particularmente para fuentes resueltas angu-larmente, y valorar las condiciones fısicas del emisor. Los tres principalesestimadores son:

La temperatura de brillo, que se define a partir de la relacion

Iν = Bν(Tb) .

La temperatura de brillo se especifica para una frecuencia determi-nada. En el regimen de Rayleigh-Jeans, de uso comun en radioastro-nomıa, la temperatura de brillo es una medida del flujo,

Tb =c2

2ν2kIν .

En radioastronomıa la intensidad se expresa frecuentemente como unatemperatura de antena, que viene siendo el promedio de la temperaturade brillo sobre el haz de la antena mas el ruido instrumental, caracte-rizado con la temperatura de ruido. Dado que la temperatura de brilloes generalmente funcion de la frecuencia, no se le usa en el regimen deWien, donde el flujo cambia rapidamente con T .

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La temperatura efectiva se define a partir del flujo integrado en elemisor,

F = σ T 4e .

La temperatura efectiva es una medida del flujo integrado y se usafrecuentemente para describir tipos de estrellas. La luminosidad deuna estrella esta dada por

L∗ = 4πR2∗σT

4e .

Para el Sol, Te ' 5770 K, correspondiente a un flujo emitido deF = σ T 4

e ' 6.285×1010 erg cm−2s−1. En una estrella roja se tiene ti-picamente Te ' 3000 K, mientras que una estrella azul puede alcanzarTe ' 30, 000 K.

La temperatura de color se define a partir del espectro de cuerpo negroque mejor ajusta a los datos en consideracion, independientemente delflujo total.

2.3.3. Ley de Kirchhoff y radiacion termica

La ley de Kirchhoff, expresada inicialmente por la expresion (2.23), nos diceque para un cuerpo en equilibrio el cociente entre los coeficientes de emisiony absorcion esta dado por la funcion de Planck,

ν/αν = Bν(T ) , (2.33)

es decir Sν = Bν(T ). Esta relacion depende solo del equilibrio termodinami-co del medio, independientemente de las caracterısticas de la radiacion, des-critas por Iν . Decimos que la radiacion es termica cuando Sν = Bν(T ).Mas aun: podemos tener un medio estrictamente fuera de equilibrio ter-modinamico en el que las distribuciones estadısticas que describen al mediocorresponden localmente con las de equilibrio termodinamico. En ese caso sedefine la temperatura como un parametro local, T (~r), que cumple la condi-cion de equilibrio termodinamico local (ETL = LTE, en ingles). En este caso,la funcion fuente es la funcion de Planck evaluada localmente, en terminosde coordenadas o de profundidad optica: Sν = Bν (T (~r)), o Sν = Bν (T (τν)).

En el caso de radiacion termica en el regimen de Rayleigh-Jeans, laecuacion de transferencia puede escribirse como

dIνdτν

= −Iν +Bν (T (τν)) ⇒ dTbdτν

= −Tb + T . (2.34)

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Por un lado, se tiene que la emision termica es igual a la emision de cuerponegro si dIν = 0; lo cual se da para medios opticamente gruesos, τν → ∞.Para un medio en equilibrio termodinamico estricto, T es independiente deτν , y la solucion de la ecuacion de transferencia puede expresarse como unarelacion entre la temperatura de brillo y la del medio,

Tb(τν) = Tb(0) e−τν + T (1− e−τν ) .

De manera congruente con la solucion mas general, la temperatura de brillotiende a la del medio en el caso opticamente grueso.

2.4. Los coeficientes de Einstein

La relacion entre los coeficientes de emision y absorcion descrita por la ley deKirchhoff proviene de una relacion fundamental entre estos procesos a nivelmicroscopico, la cual se cumple de manera general, independientemente delequilibrio, y se expresa a traves de relaciones entre coeficientes introducidospor Einstein.

Las relaciones entre los coeficientes de Einstein se derivan considerandoun sistema cuantico idealizado con dos niveles de energıa: un nivel inferior1, de energıa E1, peso estadıstico g1, y poblacion n1 (numerica o por unidadde volumen); y un nivel superior 2, de energıa E2, peso estadıstico g2, ypoblacion n2. Las transiciones entre niveles se dan mediante la emision oabsorcion de un foton de energıa hν = E2 − E1 (Fig. 2.6). De maneranatural, el valor de E2 tiene una indeterminacion descrita por una funcionφ(ν) que representa la probabilidad de emitir o absorber un foton de energıaν cercana a ν0 = ∆E/h (figura 2.6). La funcion esta centrada en ν0 y elancho natural de la misma esta dado por el principio de indeterminacion,∆E∆t ≥ h, siendo ∆t el tiempo tıpico de decaimiento desde el n2. En lapractica deiferentes procesos contribuyen a ensanchar la funcion φ(ν): porejemplo, la distribucion de velocidades de las partıculas contribuye con elefecto Doppler termico, con un ensanchamiento ∆ν ∝ ν0

√kT/mc2.

Los procesos de interaccion de este sistema con la radiacion son los mis-mos de la ecuacion de transferencia radiativa:

la emision espontanea, caracterizada por el coeficiente A21 que midela probabilidad de transicion por unidad de tiempo (s−1).

La absorcion, que depende del flujo incidente de radiacion, dado porJν para absorcion isotropica. La probabilidad de transicion por absor-

17

Figura 2.6: Izquierda: sistema cuantico de dos niveles ilustrando el procesode emision espontanea, emision inducida y absorcion. Derecha: funcion deprobabilidad de que el sistema absorba o emita un foton de frecuencia ν.

cion queda en terminos del coeficiente B12 como B12J donde

J =

∫ ∞0

Jνφ(ν) dν ,

representa el flujo de radiacion y la respuesta del sistema.

El proceso de emision estimulada, que depende del flujo incidente deradiacion de manera analoga al proceso de absorcion: la probabilidadde transicion queda expresada en terminos de un coeficiente de mismaforma, B21J .

Se dice que hay un equilibrio estadıstico si el numero de transiciones 1→ 2es igual al de transiciones 2→ 1, es decir

n1B12J = n2B21J + n2A21 ⇒ J =A21/B21

n1B12/n2B21 − 1, (2.35)

siendo esta una relacion fundamental entre las poblaciones de los niveles yla intensidad de la radiacion. Si ademas se tiene el equilibrio termodinamico,las poblaciones de los niveles se relacionan a traves de la ley de Boltzmann,

n1/n2 = (g1/g2)e−(E1−E2)/kT ,

de donde,

J =A21/B21

(g1B12/g2B21) ehν/kT − 1. (2.36)

18

Identificando esta expresion con la ley de Kirchhoff, Jν = Bν , se obtienenlas relaciones entre los coeficientes de Einstein:

g1B12 = g2B21 , A21 =2hν3

c2B21 . (2.37)

Estas son propiedades inherentes a los sistemas cuanticos, independientesde las poblaciones de los niveles de energıa, que relacionan de manera fun-damental los procesos de emision y de absorcion. Este tipo de relacionesse denominan relaciones de balance detallado y pueden emplearse fuera deequilibrio termodinamico. Los coeficientes de emision y absorcion de estossistemas vienen dados por

ν =hν

4πφ(ν)n2A21 , αν =

hν

4πφ(ν) (n1B12 − n2B21) . (2.38)

El cociente entre los coeficientes de emision y absorcion es la funcion fuente,que en el caso mas general viene dada por,

Sν =n2A21

n1B12 − n2B21=

2hν3/c2

n1g2/n2g1 − 1, (2.39)

independientemente de las condiciones fısicas del sistema. Si las poblacionesestan en equilibrio y se ajustan a la ley de Boltzmann, entonces tenemosemision termica, Sν = Bν(T ), para ν alrededor de ν0 = ∆E/h.

Un caso radicalmente fuera de equilibrio es el de un sistema con unasobrepoblacion del nivel superior tal que n2g2 < n1g1. El coeficiente deabsorcion es entonces negativo y la radiacion incidente es amplificada demanera exponencial, Iν(s) = Iν(0)e|αν |s, dando lugar a un efecto maser.Esta emision se observa en regiones con choques que provocan poblacionesde niveles lejanas al equilibrio termodinamico.

2.5. Dispersion

El proceso de dispersion pura (scattering en Ingles) consiste en la absorciony re-emision isotropica y coherente de radiacion. El termino coherente indicaque las distribuciones espectrales de la radiacion incidente y dispersada soniguales. La dispersion se describe mediante un coeficiente de dispersion3,

α(d)ν , que cumple:

(d)ν = α(d)ν Jν , (2.40)

3Rybicki emplea σν , (d)ν , aunque esta ya se introdujo para denotar la seccion eficaz.

19

donde Jν es la intensidad media de la radiacion. En el caso particular de dis-persion sin absorcion y sin emision espontanea tenemos Sν = Jν , la ecuacionde transferencia es,

dIνds

= −α(d)ν (Iν − Jν) . (2.41)

Dado que Jν es una integral de Iν , la ecuacion 2.41 es de tipo integro-

diferencial y no es facilmente soluble. El termino α(d)ν Iν denota la fraccion

de radiacion “interceptada” por el dispersor, la cual es re-emitida isotropi-

camente a traves del termino α(d)ν Jν . Notese que si α

(d)ν depende de ν, la

distribucion espectral cambia localmente, Iν(s) 6= Iν(0), aunque no lo hagaen promedio, Jν(s) = Jν(0). Un ejemplo es la dispersion de Rayleigh enla atmosfera terrestre, que siendo una funcion creciente con la frecuenciaresulta en un Sol enrojecido y un cielo azul.

En el caso de radiacion termica podemos considerar la accion conjuntade dispersion, absorcion y emision espontanea, distinguiendo el coeficiente

de absorcion como α(a)ν . La ecuacion de transferencia radiativa queda como:

dIνds

= −(α(a)ν + α(d)

ν

)(Iν − Sν) , (2.42)

quedando la funcion fuente redefinida como:

Sν ≡α(a)ν Bν + α

(d)ν Jν

α(a)ν + α

(d)ν

, (2.43)

suponiendo valida la ley de Kirchhoff para la absorcion, (a)ν = α

(a)ν Bν . La

emision espontanea esta contenida en el termino α(a)ν Bν , mientras que la

absorcion pura es α(a)ν Iν . Los terminos de dispersion son aquellos propor-

cionales a αν(d). A la suma de los coeficientes de dispersion y absorcion,

α(a)ν + α

(d)ν se le denomina coeficiente de extincion. Un ejemplo concreto de

su empleo es la correccion de datos fotometricos o espectroscopicos en elvisible por extincion debida a la atmosfera terrestre.

20

Figura 2.7: Geometrıa de unaatmosfera plano paralela. Laestratificacion es vertical, a lolargo de la direccion z, mien-tras que la lınea de vision co-rresponde a ds = (±)dz/µ, conµ = cos θ.

2.6. Atmosferas plano paralelas

Una atmosfera plano-paralela esta estructurada a lo largo de una sola direc-cion, que denominaremos z (figura 2.7). Esta aproximacion es util para elestudio de atmosferas delgadas en estrellas o planetas. Los tres casos que sepresentan son: la deduccion de la ecuacion de difusion radiativa; la aproxi-macion de Eddington, incluyendo el caso de una atmosfera gris; y una solu-cion para la transferencia de energıa radiativa en atmosferas plano-paralelaspresentada por Simonneau.

2.6.1. La ecuacion de difusion radiativa

La ecuacion de difusion radiativa se obtiene mediante la aproximacion deRosseland, que a su vez nos conduce a una relacion entre el flujo de energıay el gradiente de temperatura de un medio. Se considera un medio plano-paralelo estratificado cuyas propiedades fısicas dependen unicamente de lacoordenada z. En ese caso, la intensidad de la radiacion Iν es funcion de z yde µ = cos θ, siendo θ el angulo de la lınea de vision con la normal al planodel medio. Usamos ds = dz/µ , para escribir la ecuacion de transferenciacomo:

µ∂Iν(z, µ)

∂z= − (αaν + αsν) (Iν − Sν(z)) . (2.44)

21

El inverso de µ se denomina masa de aire. Podemos despejar Iν planteandouna relacion propicia para un proceso de iteracion,

Iν = Sν −µ

αaν + αsν

(∂Iν∂z

). (2.45)

A orden cero despreciamos el cambio de la intensidad con la profundidad,

por lo que tenemos I(0)ν (z, µ) = S

(0)ν (z). Dado que S

(0)ν no depende de µ,

es isotropica ⇒ J(0)ν = S

(0)ν . Esto es particularmente valido para un medio

con emision termica, S(0)ν = Bν . La aproximacion de Rosseland consiste en

suponer que la funcion fuente esta dada por una superposicion de funcionesde Planck con T = T (z). Substituyendo en la ecuacion 2.45 obtenemos, aprimer orden,

I(1)ν = Bν −µ

αaν + αsν

(dBνdz

). (2.46)

Podemos entonces calcular el flujo de radiacion

Fν(z) = 2π

∫ +1

−1Iν(z, µ) µdµ = − 2π

αaν + αsν

dBνdz

∫ +1

−1µ2dµ

= − 4π

3(αaν + αsν)

dBνdT

dT

dz. (2.47)

Si integramos sobre frecuencias obtenemos la ecuacion de difusion radiativa,

F (z) = −16σT 3

3αR

dT

dz, (2.48)

donde, empleando las propiedades de la funcion de Planck, definimos laopacidad de Rosseland como

1

αR≡[∫ ∞

0

(1

αaν + αsν

)(dBνdT

)dν

]/[∫ ∞0

dBνdT

dν

]. (2.49)

La ecuacion de difusion radiativa describe el flujo de energıa originado por ungradiente de temperatura. Esta relacion de particular utilidad en el estudiode interiores estelares.

2.6.2. Aproximacion de Eddington y atmosfera gris

La aproximacion de Eddington para el analisis de atmosferas estelares su-pone un flujo semi-isotropico, permitiendo describir la intensidad como unafuncion lineal de µ,

Iν(τν , µ) = aν(τν) + µ bν(τν), (2.50)

22

Figura 2.8: Trayectorias de rayos de luz provenientes del centro del Sol o dellimbo.

donde reemplazamos ανdz por dτν , la profundidad optica de la atmosferamedida a lo largo de la vertical. Las funciones aν(τν) y bν(τν) se relacionancon los momentos de la intensidad especıfica, es decir la intensidad media,el flujo de radiacion y su presion

Jν =1

2

∫ +1

−1Iν dµ =

c

4πuν = aν , Fν = 2π

∫ +1

−1Iν µdµ =

4π

3bν ,

pν =2π

c

∫ +1

−1Iν µ

2dµ =4π

3

aνc.

En particular se tiene que campos semi-isotropicos cumplen la misma rela-cion entre densidad y presion de radiacion que en el caso isotropico,

pν =1

3uν . (2.51)

Al substituir la aproximacion (2.50) en la ecuacion de transferencia radiativa,µ(∂Iν/∂τν) = Iν − Sν , se relacionan las funciones aν y bν con Sν .

Entre las aplicaciones mas conocidas de la aproximacion de Eddingtonesta la atmosfera gris, en la que la opacidad es independiente de la frecuencia,τν = τ . Trabajando con las funciones a y b integradas sobre frecuencias,y suponiendo un medio termico, S = B = (σ/π)T 4, podemos relacionarT = T (τ) con la temperatura efectiva imponiendo la condicion de que en la

23

frontera externa de la atmosfera, τ = 0, el flujo es solamente emergente eigual a F = σT 4

e . Se obtiene

I(τ, µ) =3σ

4πT 4e

(µ+ τ +

2

3

), T 4(τ) =

3

4T 4e

(τ +

2

3

). (2.52)

Vemos que T (0) ' 0.841Te y que T (τ) = Te en τ = 2/3. De la formacompleta para la intensidad (2.52) obtenemos la ley de oscurecimiento allimbo,

I(0, µ)

I(0, 1)=

3

5

(µ+

2

3

). (2.53)

Bajo las aproximaciones de Eddington y de atmosfera gris, la intensidad enel limbo solar debe ser 0.4 veces la observada en el centro del disco del Sol.

2.6.3. La solucion de Simonneau para el espectro de unaatmosfera plano-paralela

Edouard Simonneau (1981) presenta un tratamiento para estimar el espectroemergente de una atmosfera estelar, dado el coeficiente de opacidad κλ, enfuncion de la longitud de onda4. Para τλ 1, la ecuacion de transferenciapuede escribirse como

µ∂Iλ∂τλ

= Iλ −Bλ (T (z)) , (2.54)

de donde podemos aproximar

Iλ = Bλ + µdBλdτλ

. (2.55)

Proponemos entonces para la intensidad en la superficie (τλ = 0)

Iλ(0, µ) =

0 para µ < 0Bλ(0) + µ [dBλ/dτλ]0 para µ ≥ 0

. (2.56)

Calculamos el flujo en la superficie,

Fλ(0) = 2π

∫ +1

−1Iλ µ dµ = πBλ(0) +

2π

3

dBλdτλ

(0) . (2.57)

Notese que en una atmosfera plano-paralela el flujo integrado es constante,es decir independiente de z5.

4siguiendo el tratamiento original uso λ en vez de ν.5el flujo integrado es aproximadamente constante para una atmosfera delgada en una

simetrıa esferica.

24

Procedemos a integrar sobre λ, tomando en cuenta las definiciones deopacidad media de Rosseland (ec. 2.49) y de Planck,

κp =1

B(T )

∫ ∞0

κλBλdλ , (2.58)

recordando αλ = ρκλ. Empleando la relacion entre el flujo y la temperaturaefectiva, F = σT 4

e ; y entre la integral de la Planckiana y la temperaturainicial, B(T0) = (σ/π)T (0)4, se obtiene:

F = πB(0) +4π

3

(κpκR

)B(0) ⇒ T (0)4 =

T 4e

1 + 4κp/3κR. (2.59)

Podemos ahora calcular la temperatura fısica en la superficie, T0 = T (0), enfuncion de la temperatura efectiva, siempre y cuando podamos determinarκp(ρ, T ) y κR(ρ, T ). En el ejemplo particular de una atmosfera gris, κλ = cte,tenemos κp = κR, de donde T0 = (3/7)1/4Te ' 0.8091Te. Esta expresion secompara mejor con la solucion exacta, T0 ' 0.8112Te, que la solucion de laaproximacion de Eddington, T0 = Te/(2)1/4 ' 0.8409Te.

Conocida la temperatura al borde de la atmosfera, podemos deducir elespectro emergente (ec. 2.57) evaluando la Planckiana y su derivada:

Fλ = πBλ(0)

1 +

κp3κλ

(ehc/λkT0

ehc/λkT0 − 1

)hc

λkT0

. (2.60)

En el regimen de Rayleigh-Jeans Fλ ≈ πBλ(0) (1 + κp/3κλ), siendo el espec-tro el de cuerpo negro en valores de λ donde el medio es opaco, κλ κp.En la region de Wien, comunmente en el ultravioleta,

Fλ ≈ πBλ(0)

1 +

κp3κλ

(hc

λkT0

),

siendo Fλ ∝ Bλ(0)/κλ. La mayor incertidumbre para calcular el espectroultravioleta radica en conocer κλ.

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