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.
Transferencia de Energía
1547
Grupo 3
2014-08-13 4ª
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2014-08-13
Contenido
Balance de Energía Total;
Balance de Energía Mecánica;
Balance de Energía Térmica.
dV
:2D v
vp p v v v g vDt 2gc
2
v
c
D vc T q EG v g vp v
Dt 2g
v
Dc T q EG p v : v
Dt
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Ecuación de Continuidad… es un caso particular de Balance de Masa, que tiene las
siguientes restricciones
1. Solamente hay trasporte por convección;
2. No hay transformación.
En el balance de la propiedad conservativa φ , ψ representa a la concentración de φ , es
decir PC/volumen.
t v
G
0
Por lo tanto, en el modelo de transporte de masa en un sistema donde no cambia su
composición se cumple: φ = masa ; consecuentemente ψ = masa / volumen = densidad = ρ
Ecuación de Continuidad: v 0t
Como:
Gv 0t
0Gvt
0, porque ni ni son funciones de la posición
0, porque en las transformaciones químicas la masa total se conservaG
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Balance diferencial de Energía “Térmica”
En el balance diferencial de la propiedad conservativa φ, la variable ψ representa a la
concentración de la propiedad conservativa (ψ = φ /volumen); consecuentemente, una forma
rápida de obtener un balance diferencial de energía “térmica” consiste en modificar dicho
balance diferencial de la propiedad conservativa φ mediante el siguiente cambio de variable
ψ = ρCpT; amén de considerar los parámetros correspondientes a este caso:
Difusión Convección Generación, reacción
0
3 0 3cuando:
* p
mol cal calC T C
L mol C L
p
p p R I
C TC T v C T q q 0
t
Acumulación
Intercambio alrededores
Como:
Gv 0t
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Balance diferencial de energía térmica, unidades
CpT t
CpT v CpT q
0
CpT t
1
seg
cal
L3
cal
seg L3
CpT 1
L
1
L
L2
seg
cal
L3
cal
seg L3
v CpT 1
L
L
seg
cal
L3
cal
seg L3
3 ,
R I
calq q
seg L
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Balance de Energía Total, BET.
Los tipos de energía que se toman en consideración son los siguientes:
Energía interna: EI… temperatura del fluido;
Energía cinética: EC… movimiento del fluido;
Transporte de energía por difusión… flujo de calor;
Transporte de energía por convección… flujo de masa;
Generación de energía… reacción química (endotérmica o exotérmica);
Intercambio de energía de otro tipo con los alrededores… trabajo…
Energía cinética: 2mv
2
Energía interna: pmC T
Energía cinética por unidad de volumen: 2 21 mv v
V 2 2
Energía interna por unidad de volumen: p p
mC T C T
V
z
x y
v
v,A,w
,P,T
ndA
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Balance de energía total
Entrada de EI
por convección
Entrada de EC
por convección
Salida de EI por
convecciónSalida de EC por
convección
Entrada de Q
por conducción
Salida de Q
por conducción
+ Generación Efecto otras formas de E de alrededoresAcumulació Acumulacn E ECI ión
Entrada de Otras
Formas de E
Salida de Otras
Formas de E
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Energía interna: EI… relacionada directamente con la temperatura del fluido;
0
0
calEnergía interna: mol cal
mol pmC T
0
3 0 3
mol cal calEnergía interna por unidad de volumen:
L mol LpC T
Elemento diferencial de volumen… volumen de control… área diferencial
3
2L LFlujo volumétrico = L
sec secv.ndA
3
masa m
unidad de volumen L 3
m
L
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Flujo por convección de EI, a través del área A del elemento de control…
2
3
Flujo de EI = rapidez de transferencia de EI
cal L calL
sec secLpC T v ndA
Flujo de EI através del área d =e entrada,
e
e v
A
C T v AA n d
Flujo de EI através del área =de salida,
s
s v
A
C T v AA n d
Flujo neto de EI através del área de toda el área del elemento de control:
se
v v
A A
C T v d A C T v dn An
Flujo neto de EI através de t =oda el área v
A
C T v d AA
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Energía Cinética, EC… relacionada directamente con la velocidad del fluido;
como: Energía Cinética, EC = cal ... ¿?2v
2
3
EC cal
unidad de volumen L
Flujo por convección de EC, a través del área A del elemento de control…
3
2L LFlujo volumétrico = L
sec secv ndA
Flujo de EC através del área de entrada, =
e
2
e
A
vA n
2v d A
Flujo de EC através del área de salida, =
s
s
A
2v
2A nv d A
=
e es s
2 2 2
A AA A A
v d A v d A v dv v
Av
n2 2
n2
Flujo neto de EC através del área A
2
v d Av
2A
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2
2
Flujo de calor = rapidez de transferencia de calor
flux de calor área de transferencia
cal calL
sec sec Lq ndA
Flujo de calor, q, a través del área del A elemento de control… conducción:
Flujo de calor através del área de entrada, =
e
e
A
qA n d A
Flujo de calor através del área de salida, =
e
e
A
qA n d A
e sesA A AA A
q d A q dn n A q d A
Flujo neto de calor através de toda el área =A
q AA d
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Acumulación de energías interna, EI, y cinética EC en el elemento de control…
3
calComo: y
cm
2
v
vc T
2
+ cal2
v
vc T dV
2
La cantidad de EI y EC que tiene un elemento diferencial del volumen de control dV es:
+2
v
V
vc T dV
2
Por lo tanto la cantidad total de EI y EC que tiene el volumen de control V es:
+2
v
V
d vc T dV
dt 2
Consecuentemente, la cantidad total acumulada de EI y EC en el volumen de control V es:
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Energía generada… relativa a procesos que ocurren en el interior del elemento de
control, tales como reacciones químicas (exotérmica, ΔH<0; endotérmica, ΔH>0), flujo
de corriente eléctrica, etcétera.
eD
nef
erinic
gía gión: Rapidez de ener
enegía gene
rada 1 cal
volumenr
a a
td
L3EG
3
3Rapidez de energía generada en un elemento diferencial de volumen:
cal calL
t t L EG dV
nergía generada en todo el elemento de contRapidez de rol: eV
EG dV
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Energía asociada con fuerzas que ejercen los alrededores sobre el elemento de
control EC.
Principio (fundamento): energíaf d
a) Gravedad (de campo) = g
Por lo tanto, la rapidez de la energía asociada con dichas fuerzas esta dada por:
energía
tf v
Se considera que el EC puede estar sometido a los siguientes tres tipos de fuerzas:
b) Presión (estáticas; fluidos en reposo) = p
c) Viscosas (fluidos en movimiento) =
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Energía asociada con la fuerza de gravedad de un elemento diferencial de volumen dV :
gdV
Entonces, el flujo de energía asociada con la fuerza de gravedad ejercida en un elemento
diferencial de volumen dV es:
gdV v g v dV
Por lo tanto, el flujo de energía asociada con la fuerza de gravedad del EC de volumen V es :
V
g v dV
De manera similar, el flujo de energía asociado con la presión que soporta (ejerce) el EC es:
A
pv ndA
Recordar: d f pnd A v d f v pndA pv ndA
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Energía asociada con los esfuerzos viscosos.
fuerzaComo: esfuerzo
áread f ndA
El flujo diferencial de energía asociado con los esfuerzos viscosos esta dado por:
d f v ndA v
Por lo tanto, el flujo total de energía asociado con los esfuerzos viscosos (dinámicos) que
soporta (ejerce) el EC es:
A
v ndA
En el curso anterior (Transferencia de momentum) se trató el significado físico del tensor
de esfuerzos, así como de su evaluación en términos de variables medibles; luego se
mencionará algo a ese respecto.
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De acuerdo con anterior, los términos que componen el Balance Total de Energía son:
Acumulación de EC y EI +2
v
V
...d v
c T dVdt 2
Flujo neto E de I v
A
. c T v. d. n A
Flujo neto de EC2
A
vv ndA
2...
nergía generadRapide a... z de eV
EG dV
flujo de energía asociada con la fuerza de gravedad... V
g v dV
Flujo de energía asociado con la presión... A
pv ndA
Flujo total de energía asociado con los esfuerzos viscosos din ... ámicosA
v ndA
Flujo neto de calor (difusión térmica) A
. q n d. A.
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Por lo tanto, el Balance Total de Energía queda:
+2 2
v v
V
V AV
A A A
A
d v vc T dV c T v ndA v ndA q n dA
dt 2 2
g v dV pv ndA v ndE dV AG
Considerando que el EC está fijo (w = 0), al aplicar el Teorema General de Transporte, el
término de acumulación queda:
+ +2 2
v v
V V
d v vc T dV c T dV
dt 2 t 2
Además, aplicando el Teorema de Divergencia, se cambian todos los términos que están
en función del área del elemento de control A a su correspondiente volumen V :
+2 2
v v
V
v vc T q v c T v EG v g vp v dV 0
t 2 2
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Finalmente, el Balance Total de Energía queda:
+2 2
v v
v vc T v c T v q EG v g vp v 0
t 2 2
Para obtener el Balance Total de Energía en términos de la Derivada Sustancial se considera:
Acumulación: + + + +2 2 2 2
v v v v
v v v vc T c T c T c T
t 2 t 2 t 2 2 t
Reacomodando los términos de flujo por convección:
2 2
v v
v vv c T v v c T
2 2
Como: vx x v v x Por lo tanto, si: 2
v
vx c T
2
Las convecciones quedan: 2 2 2
v v v
v v vv c T c T v v c T
2 2 2
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Los términos de Acumulación y los de Convección de EC y EP quedan:
+2 2
v v
v vc T v c T v
t 2 2
+ +2 2
v
2
v v
2
v
vv vc T c T v
t 2 2
vc T v c T
2 t 2
+ +2 2
v v
2 2
v v
v vc T c T v
2 t
v vc T v c T
22 t 2
+ +2 2
v v
2 2
v v
v v v vc T vc T c T v
2 t 2c T
t 2 2
+ +2 2
v v
2
v
v vc T v c T
t 2
vc
2 2T v
t
Como: y: +2 2 2
v v v
c
v v D vc T v c T c Tv 0
t t 2 2 Dt 2g
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Finalmente, el Balance Total de Energía en términos de la Derivada Sustancial queda:
2
v
D vc T q EG v g vp v
Dt 2
Esta ecuación describe los cambios de energía interna (ρcvT) y energía cinética (ρv2/2) que
sufre un EC que esta afectado por los siguientes factores:
nergía genRapidez de erada e ... EG
Flujo de energía asociada con la fuerza de gravedad... v g
Flujo de energía asociado con la presión... vp
Flujo total de energía asociado con los esfuerzos viscosos .d .in . ámicos v
Flujo neto de calor (difusión térmica) ... q
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Balance de Energía Mecánica, BEM.
Hay diferentes maneras de obtenerla; aquí se aprovechará el conocimiento que se tiene
del Balance de Momentum, ejecutando el producto punto del Balance de Momentum y la
velocidad, v, con la que se mueve el fluido.
Algunas unidades:
rapidez de proceso Balance de Momentu
de momentu
unidad m =
de volumen de c
m
ontrol3
1
L
mv
t
3 3
1 1 L 1 LComo: = = m = m = =
t tL L t3 2 3 3
1 mv 1 1ma f
tL L L
energía
Balance de Momentum velocidad = = =volumen x tiempo3 3
f f LL
tL L t
rapidez de proceso de energía
Balance de Momentum velocidad =volumen
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Balance de Energía Mecánica, BEM.
Es el producto punto del Balance de Momentum y la velocidad, v, del fluido.
Balance Momentum: v vv p gt
Como: v
v vt t t
v v v v vt t
v vv v v v
t t
además: vv v v v v v v
v vv p gt
como: ; v D
v v vt
v 0t Dt
Dvp g
Dt
Por lo tanto, el Balance de Momentum en términos de la derivada sustancial queda:
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Para obtener el de Energía Mecánica se hace el producto punto del Balance de Momentum y la
velocidad v del fluido:
Balance de Energía Mecánica: Dv
P g v 0Dt
Dv Dv
p g v v p v v g vDt Dt
como: 2Dv D D v
v v vDt Dt Dt 2
... A.4-19, BSLp v p v pv p v
: ... A.4-29, BSLv v v v
: ... (BEM)2D v
pv p v v v g vDt 2
Por lo tanto, el Balance de Energía Mecánica, en términos de la Derivada Sustancial, queda:
g v g v
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2
v
D D vc T q EG v g pv v
Dt Dt 2
2D v
pv p v : v v v gDt 2
v
Dc T q EG p v : v
Dt
Balance Total de Energía Térmica, se obtendrá restando al Balance Total de Energía el
Balance de Energía Mecánica… se hará expresando dichos balances en términos de la
derivada material:
Balance de Total de Energía:
Balance de Energía Mecánica:
Por lo tanto, el Balance de Energía Térmica en términos de la Derivada Material es:
Esta ecuación describe el cambio de energía interna que sufre un elemento de control que
esta afectado por los procesos de transformación, la presión y las fuerzas viscosas.
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como: v v v
Dc T c T v c T
Dt t
v vc T v c T q EG p v : vt
v
Dc T q EG p v : v
Dt
Balance de Energía Térmica en términos de la derivada total; se obtiene considerando que:
Por lo tanto, el Balance de Energía Térmica en términos de la Derivada Total es:
Esta ecuación describe el cambio de energía interna que sufre un elemento de control que
esta afectado por los procesos de transformación, la presión y las fuerzas viscosas.
p
p p R I
C TC T v C T q q 0
t
Comparar esta última expresión del Balance de Energía Térmica con la “Rápida”:
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Transferencia de Energía
Fin de 2014-08-13 4ª
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BSL, Tabla 10.2-1
Componentes de la densidad de flujo de energía
q k T
; ; x x y y z z
T T Tq k q k q k
x y z
Coordenadas rectangulares
; ; r r z z
T T Tq k q k q k
r z
Coordenadas cilíndricas
1
; ; r r
T T Tq k q k q k
r r sen
Coordenadas esféricas
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BSL, Tabla 10.2-2
Ecuación de energía en función de las densidades de flujo de
energía y cantidad de movimiento. Coordenadas rectangulares
v
TC
t
Acumulación EI
v x y z
T T TC v v v
x y z
Convección EI
yx zqq q
x y z
Conducción calor
yx zvv vp
TT x y z
Energía asociada con esfuerzos estáticos
y y yx x xz z zxx yy zz xy xz yz
v v vv v vv v v
x y z y x z x z y
Energía asociada con esfuerzos dinámicos)
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yx zv x y z
y yx xz zxx yy zz
y yx x z zxy xz yz
qq qT T T TC v v v
t x y z x y z
v vv vv vpT
T x y z x y z
v vv v v v
y x z x z y
BSL, Tabla 10.2-2
Ecuación de energía en función de las densidades de flujo de energía y
cantidad de movimiento. Coordenadas rectangulares.
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1 1
1 1
1
1
v r z
zr
zr
r zrr r zz
r z rr yz z
vT T T TC v v
t r r z
q qrq
r r r z
v vpT rv
T r r r z
vv vv
r r z
v v v vr
r r r r z
1 z vv
r z
BSL, Tabla 10.2-2
Ecuación de energía en función de las densidades de flujo de energía y
cantidad de movimiento. Coordenadas cilíndricas.