CAPITULO 2

CAPITULO 2ECUACIN DE LA CONDUCCION DE CALOR.ndice.Capitulo 2: Ecuacin de la conduccin de calor.2-1 Introduccin.Transferencia de calor estacionaria en comparacin con la transferencia transitoria.Transferencia de calor multidimensionalGeneracin de Calor.2-2 Ecuacin unidimensional de la conduccin de calor.Ecuacin de conduccin de calor en una pared plana grande. Ecuacin de conduccin de calor en un cilindro largo.Ecuacin de conduccin de calor en una esfera.Ecuacin unidimensional combinada de la conduccin de calor.2-3 Ecuacin general de la conduccin de calor.Coordenadas rectangulares.Coordenadas polares.Coordenadas esfricas.

Introduccin.A lo largo de esta exposicin daremos continuidad a lo ya visto en el Capitulo 1, pero de una forma mas matemtica, analizaremos mas afondo el mecanismo de transferencia de calor, la conduccin.

La transferencia de calor.La transferencia de calor a diferencia de la Temperatura , tiene direccin y magnitud.La razn de la transferencia de calor por conduccin en una direccin especfica es proporcional al gradiente de temperatura, el cual es la razn del cambio de la temperatura con respecto a la distancia.

Conduccin de Calor.La conduccin de calor en un medio es tridimensional y depende del tiempo, y la temperatura en un medio vara con la posicin y con el tiempo; es decir, T(x, y, z, t).Se dice que la conduccin en un medio es estacionaria cuando la temperatura no vara con el tiempo, y no estacionaria o transitoria, cuando lo hace.A continuacin se deducir una ecuacin diferencial que deduce la conduccin de calor en un pared plana, en un cilindro y en una esfera, haciendo uso de las coordenadas rectangulares, cilndricas y polares respectivamente.En el captulo 1 se defini la conduccin del calor como la transferencia de energa trmica de las partculas ms energticas de un medio hacia las menos energticas adyacentes.

La transferencia de calor posee magnitud y direccin, por lo tanto es un cantidad vectorial, por lo cual se debe de especificar, tanto la direccin como la magnitud para describir por completo la transferencia de calor en un punto.

Se dice que el flujo de calor sobre esa superficie es de 50 W/m2, de inmediato se propone la pregunta: en qu direccin? Se responde a esta pregunta al decir que la conduccin de calor es hacia el interior (indicando ganancia de calor) o hacia el exterior (con lo que se indica prdida de calor).

La fuerza impulsora para cualquier forma de transferencia de calor es la diferencia de temperatura.

Distribucin de Temperatura.En la ingeniera es de suma importancia conocer la distribucin de la temperatura para:La razn local de la transferencia de calor.La expansin trmica.El esfuerzo trmico.

En lugares crticos en momentos especficos.

La especificacin de la temperatura de un punto en un medio, requiere de la ubicacin del mismo.Es por eso que se tiene que elegir un sistema adecuado de coordenadas , rectangulares, cilndricas o esfricas.

Coordenadas Rectangulares, Cilndricas, Esfricas.

Transferencia de calor estacionaria en comparacin con la transferencia transitoriaLos problemas de transferencia de calor generalmente se clasifican como estacionarios o transitorios.El termino estacionario implica que no hay cambio con respecto al tiempo en cualquier punto dentro del medio.El termino no estacionario implica que hay una variacin con respecto al tiempo. La transferencia de calor estacionaria implica que no hay cambio de temperatura o flujo de calor con respecto del tiempo.

La transferencia de calor no estacionario implica que hay cambio de temperatura o flujo de calor con respecto del tiempo.

Sistemas de parmetros concentrados.Durante la transferencia de calor transitoria, la temperatura normalmente vara tanto con el tiempo como con la posicin. En el caso especial de variacin con el tiempo pero no con la posicin, la temperatura del medio cambia uniformemente con el tiempo.Transferencia de calor multidimensional.Los problemas de transferencia de calor se clasifican como: unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.

En el caso mas general de la transferencia de calor a travs de un medio es tridimensional , es decir la temperatura varia a lo largo de las tres direcciones primarias, dentro del medio durante el proceso de la transferencia de calor.En este caso la distribucin de la temperatura de un lugar a otro , as como la razn de transferencia de calor en cualquier ubicacin se puede describir por un conjunto de coordenadasT(x,y,z,t) , T(r, ,z,t) , T(r,,,t)En algunos casos la temperatura en un medio varia solo en dos direcciones primarias y la variacin de temperatura en la tercera direccin, se considera despreciable, en este caso se dice que la transferencia de calor es bidimensional.

Se dice que la transferencia de calor es unidimensional cuando la variacin de la temperatura es en una sola direccin y por lo tanto el calor se transfiere en esa misma direccin.

En el Capitulo 1 tambin se hablo sobre que la razn de transferencia de calor a travez de un medio en una direccin especifica (x) es proporcional a la diferencia de temperatura entre uno y otros lados del medio y el rea perpendicular. Esto se expresa por medio de la ley de Fourier de conduccin de calor.

Donde k es la conductividad trmica del material dt/dx es el gradiente de temperatura, es decir la pendiente de la curva de temperatura sobre el diagrama T-x.

Con el fin de obtener una relacin general de ley de Fourier de la conduccin de calor , consideremos un medio donde la transferencia de calor es tridimensional.Tenemos:

La razn de la conduccin de calor en ese punto se puede expresar por la ley de Fourier como:

En coordenada rectangulares puede expresarse como en trminos de componentes.

Donde i,j,k son vectores unitarios Qx, Qy, Qz son las magnitudes de las razones de transferencia de calor en la direcciones x,y y z, y con la ley Fourier se determinan como:

Donde Ax, Ay, Az son las reas de conduccin normales en las direcciones x, y , z respectivamente.La mayor parte de los materiales en la ingeniera son de naturaleza isotrpica. Generacin de Calor.En un medio a travs del cual se transfiere calor puede tenerse la conversin de energa mecnica, elctrica, nuclear o qumica en calor (o energa trmica).En el anlisis de la conduccin de calor, esos procesos de conversin son caracterizados como generacin de calor (o de energa trmica).Por ejemplo, la temperatura de una resistencia de alambre se eleva con rapidez cuando pasa corriente elctrica a travs de ella, como resultado de la energa elctrica que se est convirtiendo en calor a razn de I^2R.

Otra fuente de generacin de calor en un medio son las reacciones qumicas exotrmicas que pueden ocurrir en el, este caso la reaccin qumica sirve como fuente de calor.Sin embargo en las reacciones qumicas endotrmicas se absorbe en lugar de ser liberado y por lo tanto dicha reaccin sirve como sumidero de calor.A menudo tambin es conveniente la absorcin de la radiacin por ejemplo la energa solar, como generacin de calor.

Por ejemplo, la absorcin de calor en las masas grandes de agua se puede tratar como generacin de calor en todo el lquido con una velocidad igual a la rapidez de absorcin, que vara con la profundidad.

Note que la generacin de calor es un fenmeno volumtrico, es decir ocurre en todo el medio, por lo que la generacin de calor en un medio suele especificarse por unidad de volumen y se denota por:

cuya unidad es el:

La razn de generacin de calor en un medio puede variar con el tiempo y con la posicin dentro de l. Cuando se conoce la variacin de la generacin de calor con la posicin, la razn total de esa generacin en un medio de volumen V se puede determinar a partir de:

En el caso especial de una generacin uniforme de calor , como el caso de calentamiento por una resistencia elctrica en todo un material homogneo , queda como:

donde es la razn constante de generacin de calor.