Traducción de libro modelos, unidad 3, desde * en la pag 78:

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Thus, for each fixed energy level such that o<E<2g, L /2... yields, where we have used. The fact that titacuadrado ... The calculation of the slope of the curve sketched in fig. 24 - 4 is outlined in exercise 22.2. We have included an arrow to indicate changes in the solution as t increases. the evennerss in tita an dtita/dt yields solutions which as before must be periodic in time, as shown in fig. 22-5. The periodic solution oscillates around the stable equilibrium position. For each fixed E in this range, the largest ange is called tita_max (see fig. 22-6):

Así, para cada nivel de energía tal que fija o <E <2 g, L / 2 ... los rendimientos, en donde hemos utilizado. El hecho de que titacuadrado ... El cálculo de la pendiente de la curva de dibujado en la figura. 24 a 4 se expone en el ejercicio 22.2. Hemos incluido una flecha para indicar cambios en la solución a medida que aumenta T. La uniformidad en Tita un dtita / dt proporciona soluciones que, como antes debe ser periódica en el tiempo, como se muestra en la fig. 22-5. La solución periódica oscila en torno a la posición de equilibrio estable. Para cada E fijo en este rango, el ángulo más grande se llama tita_max (ver fig. 22-6):

Así, para cada nivel de energía fijo tales que… producciones, donde hemos utilizado. El hecho que el titacuadrado… el cálculo de la cuesta de la curva bosquejó en fig. 24 - 4 se contornea en el ejercicio 22.2. Hemos incluido una flecha para indicar cambios en la solución mientras que t aumenta. La uniformidad en tita un dtita/dt rinden las soluciones que como antes de debe ser periódico a tiempo, según las indicaciones de fig. 22-5. La solución periódica oscila alrededor de la posición de equilibrio estable. Para cada E fija en esta gama, el ángulo más grande se llama tita_max (véase fig. 22-6):

For small energy, the solution is nearly the periodic solution of the linearized pendulum. As E increases away form zero, the motion represents a periodic solution (though not sinusoidal) whith larger and larger amplitudus. Sketching the phase plane of other values of E such that 2g>E>0, yields fig. 22-7.

If E=2g, the energy is at the level necessary for all angles to be possible as illustrated in fig. 22-8. in the phase plane, the curve correponding to E=2g is that show in fig. 22-9. Thus, we have fig. 22-10. Using this last result, the still incomplete phase plane is sketched in fig. 22-11.

The energy integral enables us to sketch the trajectories in the phase plane. Note the key steps: 1 Sketch the potential energy as a function of tita.2 For a representative value of the total energy E, diagram the kinetic energy (the difference between the total energy and the potential energy)3 From the kinetic energy, sketch the angular velocity dtita/dt as a function of tita.

Para la energía pequeña, la solución es casi la solución periódica del péndulo linealizado. Amplitudus medida que aumenta la distancia formulario E cero, el movimiento representa una solución periódica (aunque no sinusoidal) un poco con más y más grandes. Dibujar el plano de fase de otros valores de E tal que 2 g> E> 0, los rendimientos de la fig. 22-7.

Si E = 2 g, la energía está en el nivel necesario para todos los ángulos a ser posible como se ilustra en la figura. 22-8. en el plano fase, la curva correspondiente a E = 2G es que se muestran en la fig. 22-9. Por lo tanto, tenemos la figura. 22-10. El uso de este último resultado, el todavía en el plano fase incompleta es dibujado en la figura. 22-11.

La energía integral que nos permite dibujar las trayectorias en el plano fase. Tenga en cuenta los pasos clave:1 Dibuje la energía potencial en función de Tita.2 Para un valor representativo de la energía total, diagrama de la energía cinética (la diferencia entre el total de energía y la energía potencial)3 De la energía cinética, la velocidad angular dtita boceto / dt en función de Tita.

Para la pequeña energía, la solución es casi la solución periódica del péndulo linearizado. Pues E aumenta la forma ausente cero, el movimiento representa un amplitudus más grande y más grande periódico del whith de la solución (sin embargo no sinusoidal). Bosquejando el plano de fase de otros valores de E tales que 2g> E> 0, fig. 22-7 de las producciones. Si E=2g, la energía está en el nivel necesario para que todos los ángulos sean posible según lo ilustrado en fig. 22-8. en el plano de fase, la curva que corresponde a E=2g es esa demostración en fig. 22-9. Así, tenemos fig. 22-10. Usando este último resultado, el plano de fase incompleto inmóvil se bosqueja en fig. 22-11.

El integral de energía nos permite bosquejar la trayectoria en el plano de fase. Observe los pasos dominantes: 1 bosquejo la energía potencial en función del tita. 2 para un valor representativo de la energía total E, diagram la energía cinética (la diferencia entre la energía total y la energía potencial) 3 de la energía cinética, bosqueje la velocidad angular dtita/dt en función de tita.

Cap. 26

In the last few sections, we have analyzed the behavior of nonlinear oscillators neglecting frictional forces. We have found that te properties of nonlinear oscillator are quite similar those of linear oscillators with the major differences being:1 For nonlinear oscillators the period (of a periodic solution) depends on the amplitude of oscillation.2 More than one equilibrium solution is possible.

Cap. 26

En las últimas secciones, hemos analizado el comportamiento de los osciladores no lineales descuidar las fuerzas de fricción. Hemos encontrado que las propiedades que te de un oscilador no lineal son muy similares a las de los osciladores lineales con las principales diferencias son:1 Para el período de osciladores no lineales (de una solución de periódicos) depende de la amplitud de oscilación.2 Más de una solución de equilibrio es posible.

Cp. 26 En las secciones últimas, hemos analizado el comportamiento de osciladores no lineares que descuidaban fuerzas friccionales. Hemos encontrado que las características del te del oscilador no linear son absolutamente similares los de osciladores lineares con las diferencias principales que son: 1 para los osciladores no lineares el período (de una solución periódica) depende de la amplitud de la oscilación. 2 más de una solución del equilibrio es posibles.

Since even in linear problems we know that friction cannot be completely neglected, we proceed to investigate systems in which the frictional and restoring-type forces interact in a rather arbitrary way. (26.1)The forces depend only the position and velocity of the mass.

In order to understand how to analyze this type of equation, recall that with no friction (but allowing nonlinear restoring force) a significant amount of information was obtained by considering the energy integral as it related to the solution in the phase plane. However, with a frictional force, energy is not expected to be conserved.

As an example, reconsider the linear oscillator with linear damping, (226.2).Let us attempt to form an energy integral by multiplying both sides of this equation by dx/dt an then integrating: (26.3).

Dado que incluso en los problemas lineales, sabemos que la fricción no puede ser descuidado por completo, se procede a investigar los sistemas en los que la fricción y el restablecimiento de las fuerzas de tipo interactuar de una manera bastante arbitraria.      (26,1)Las fuerzas que dependen sólo de la posición y la velocidad de la masa.

Para entender la forma de analizar este tipo de ecuación, recordemos que sin fricción (pero permitiendo la restauración de la fuerza no lineal) una cantidad significativa de información se obtuvo al considerar la energía integral que se refería a la solución en el plano fase. Sin embargo, con una fuerza de fricción, la energía no se espera que sea conservado.

Como ejemplo, reconsiderar el oscilador lineal con lineal de amortiguamiento, (226,2).Vamos a tratar de forma integral una energía multiplicando ambos lados de esta ecuación por dx / dt entonces la integración de una: (26,3).

Puesto que incluso en problemas lineares sabemos que la fricción no puede ser descuidada totalmente, procedemos a investigar los sistemas en los cuales el friccionales y el restaurar-tipo fuerzas obran recíprocamente de una manera algo arbitraria. (26.1) Las fuerzas dependen solamente la posición y la velocidad del Massachusetts.

Para entender cómo analizar este tipo de ecuación, recuerde que sin la fricción (pero permitir la fuerza de restauración no linear) una cantidad de información significativa fue obtenida considerando el integral de energía como relacionada con la TI a la solución en el plano de fase. Sin embargo, con una fuerza friccional, no se espera que la energía sea conservada

Como ejemplo, reconsidere el oscilador linear con humedecer linear, (226.2). Intentemos formar un integral de energía multiplicando ambos lados de esta ecuación por dx/dt una integración de entonces: (26.3).

where E0 is the initial energy, i.e., the energy at t=0, ...

Explicity we see that the energy depends on time, ..it is not constant. It decreases in time (see equation 26.3) and is said to dissipate.

Thus, if we sketched ellipses in the phase plane (corresponding to the conservation of energy), then the solutions would continually remain inside smaller and smaller ellipses, perhaps as illustrated in fig. 26-1. Thus the solution cannot be periodic. However, the energy equation is not convenient for a more detailed understanding of the solution. We are unable to sketch the phase plane from this equation, as in equation 26.3 dx/dt does not depend only on x. We will return to this example in a later exercise.A slightly different technique can be used to obtain information about the solution. Reconsider the general form of Newton´s law allowing restoring and frictional forces, ...

Here we have incorporated the mass m into the function f. This is not the most general form of a second - order differential equation. The most general form is...

donde E0 es la energía inicial, es decir, la energía en t = 0, ...

Explícitamente, vemos que la energía depende del tiempo, ..no es constante. Disminuye en el tiempo (véase la ecuación 26,3) y se dice que se disipe.

Por tanto, si esbozado elipses en el plano fase (correspondiente a la conservación de la energía), entonces las soluciones continuamente se mantendría dentro de elipses cada vez más pequeños, tal vez como se ilustra en la fig. 26-1. Así, la solución no puede ser periódica. Sin embargo, la ecuación de la energía no es conveniente para una comprensión más detallada de la solución. No podemos trazar el plano de fase de esta ecuación, como en la ecuación 26.3 dx / dt no depende sólo de x. Volveremos a este ejemplo en un ejercicio posterior.

Una técnica ligeramente diferente puede ser utilizado para obtener información acerca de la solución. Reconsiderar la forma general de la ley de Newton que permite la restauración y las fuerzas de fricción, ...

Aquí se han incorporado a la masa m en la función f. Esta no es la forma más general de un segundo - la ecuación diferencial de orden. La forma más general es ...

donde está la energía E0 inicial, es decir, la energía en t=0,… Explicity vemos que la energía depende el tiempo. no es constante. Disminuye a tiempo (véase la ecuación 26.3) y se dice disiparse. Así, si bosquejáramos elipses en el plano de fase (que corresponde a la conservación de la energía), después la solución seguiría habiendo continuamente los ellpses más pequeños y más pequeños interiores, peraps según lo ellustrated en fig. 26-1. Así la solución no puede ser periódica. Sin embargo, la ecuación de energía no es conveniente para una comprensión más detallada de la solución. Somos permitimos bosquejar el plano de fase de esta ecuación, como en la ecuación 26.3 dx/dt no depende solamente del X. Volveremos a este ejemplo en un ejercicio posterior. Una técnica levemente diversa se puede utilizar para obtener la información sobre la solución. Reconsidere la forma general de ley de Newton´s permitiendo la restauración y fuerzas friccionales,… Aquí hemos incorporado la masa m en la función F. Ésta no es la forma más general de un segundo - pida la ecuación diferencial. La forma más general es…

In the equation representing Newton´s law, there is no explicit dependence on t. Such an equation is called autonomous. The simplest property of an autonomous equation is that translating the time origin does not change the equation (see exercise 26.10). Autonomous equations are quite important since in many phisical phenomena translation in time is insignificant, and in this text we restrict attention to such equations. Qualitative features of the solution of autonomous systems can be obtained by considering the equation in the phase plane. An energy integral will not always exist, but it will be shown that an autonomous equation can be interpreted as a relationship between dx/dt and x. Let v=dx/dt.

A simple use of the chain rule shows that (26.4)

In this way, the general autonomous equation .... becomes ....

Using v and x as variables, a first order differential equation is derived, (26.5)

If an energy integral had existed, then this first order differential equation could be directly integrated yielding solution curves as before. here we are not necessarily as fornuta since first order differential equations cannot always be solved explicitlu. However, the solution of first - order differential equation can always be sketched in the following way. Suppose that dv/dx=g(x,v)

At each value of x, the differential equation precribes the slop of the solution dv/dx (if v is know). Through each point in a v-x plane, a short straight line is drawn with slop equal to g(x,v) as illustrated in fig. 26-2.

En la ecuación que representa la ley de Newton, no hay dependencia explícita de t. Tal ecuación se llama autónomo. La forma más sencilla propeerty de una ecuación autónoma es que la traducción del origen del tiempo no cambia la ecuación (ver

ejercicio 26.10). Ecuaciones autónomas son muy importantes ya que en muchos de traducción fisica fenómenos en el tiempo es insignificante, y en este texto que restringir la atención a estas ecuaciones.Características cualitativas de la solución de sistemas autónomos pueden obtener teniendo en cuenta la ecuación en el plano fase. Una política energética integral, no siempre va a existir, pero se muestra que una ecuación autónoma puede ser interpretada como una relación entre dx / dt y X. Sea v = dx / dt.

Un modo sencillo de la regla de que la cadena de muestra (26,4)

De esta manera, la ecuación autónoma general .... se convierte en ....

Uso de V y X como variables, la primera ecuación diferencial de orden se deriva, (26,5)

Si un integrante de la energía había existido, entonces esta primera ecuación diferencial de orden se podrían integrar directamente la obtención de las curvas de solución, como antes. aquí estamos, no necesariamente como fornuta ya que las ecuaciones diferenciales de primer orden no siempre se pueden resolver explicitlu. Sin embargo, la solución de la primera - la ecuación diferencial de orden siempre se puede bosquejar de la siguiente manera. Supongamos que dv / dx = g (x, v)

A cada valor de x, la ecuación diferencial prescribes la decantación de la solución de dv / dx (si v es saber). A través de cada punto en un plano VX, una línea recta corta se dibuja con decantación a la igualdad de g (x, v) como se ilustra en la figura. 26-2.

La forma más sencilla de propiedad de una ecuación autónoma es que la traducción del origen del tiempo no cambia la ecuación (véase el ejercicio 26.10).

La característica más simple de una ecuación autónoma es ésa que traduce el origen del tiempo no cambia la ecuación (véase el ejercicio 26.10).

En la ecuación que representa la ley de Newton´s, no hay dependencia explícita del T. Tal ecuación se llama autónoma. El propeerty más simple de una ecuación autónoma es ése que traduce el origen del tiempo no cambia la ecuación (véase el ejercicio 26.10). Las ecuaciones autónomas son absolutamente importantes puesto que en muchos fenómenos phisical la traducción a tiempo es insignificante, y en este texto restringimos la atención a tales ecuaciones. Las características cualitativas de la solución de Autonomous System pueden ser obtenidas considerando la ecuación en el plano de fase. Un integral de energía no existirá siempre, sino que será demostrado que una ecuación autónoma se puede interpretar como relación entre dx/dt y el X. Deje v=dx/dt. Un uso simple de la regla de cadena demuestra eso (26.4) De esta manera, la ecuación autónoma general…. se convierte…. Usando v y x como variables, se deriva una ecuación diferencial de la primera orden, (26.5) Si había existido un integral de energía, después esta ecuación diferencial de la primera orden se podría integrar directamente rindiendo curvas de la solución como antes. aquí no estamos necesariamente como fornuta puesto que las ecuaciones diferenciales de la primera orden no pueden siempre

ser explicitlu solucionado. Sin embargo, la solución de la ecuación diferencial de primer orden se puede bosquejar siempre así. Suponga que dv/dx=g (x, v) En cada valor de x, los precribes de la ecuación diferencial el slop de la solución dv/dx (si es v sabe). A través de cada punto en un plano del v-x, una línea recta corta se dibuja con el slop igual a g (x, v) según lo ilustrado en fig. 26-2.

This graph is called the direction field of the differential equation. At each point the solution must be parallel to these "dashes". By roughly connecting these line segments, the solution in the hase plane (v as a funtion of x) can be sketched (give x and v initially). To facilitate sketching of the direction field, curves along which the slop of the solution is a constante sometimes can be calculated. These curves are called isoclines (Iso meaning equal as in isotope or isobar; cline meaning slope as in incline) (Be careful to distinguish between isoclines and solution curves. Sometimes to confuse matters they are the same, but usually they are quite distinct from each other) From equation 26.5, isoclines are curves along which f(x,v)/v is a constant. One isoclines is immediately obtainable, namely when v=0, dv/dx=infinito. As a review of the method of isoclines, the solution to equation 26.5 is sketched by noting that along the x-axis (v=0) any solution must have an infinite slope. To indicate this small dashes are drawn with infinite slope on fig. 26-3. v=0 is an isocline. Solution curve which cross the x-axis must be parallel to hese dashes.

Lest us consider a specific example. For a spring-mass system with a linear restoring force but without friction, ...

Este gráfico se llama el campo de direcciones de la ecuación diferencial. En cada punto de la solución debe ser paralelo a estos "guiones". Aproximadamente en la conexión de estos segmentos de línea, la solución en el plano de fase (v como una función de x) puede ser dibujado (dar x y v inicialmente). Para facilitar el dibujo del campo de dirección, a lo largo de las curvas que la decantación de la solución es una constante a veces puede ser calculado. Estas curvas se denominan isoclinas (Iso significa igual que en isótopos de isobaras, pendiente sentido Cline como en pendiente) (Tenga cuidado de distinguir entre isoclinas y las curvas de solución. A veces a confundir las cosas son lo mismo, pero por lo general son bastante distintas entre sí otros) De la ecuación 26.5, isoclinas son curvas por la que f (x, v) / v es una constante. Una isoclinas es inmediatamente cuantificable, es decir, cuando v = 0, dy / dx = infinito. Como una revisión del método de isoclinas, la solución a la ecuación 26.5 se esboza al señalar que a lo largo del eje x (v = 0) cualquier solución debe tener una pendiente infinita. Para indicar a pequeños trazos se dibujan con pendiente infinita en la fig. 26-3. v = 0 es una isoclina. Curva de la solución que cruzan el eje X debe ser paralelo a estos guiones.

Para que no nos consideramos un ejemplo concreto. Para un sistema masa-resorte con una fuerza de recuperación lineal, pero sin fricción, ...

Este gráfico se llama el campo de dirección de la ecuación diferencial. En cada punto la solución debe ser paralela a estos " dashes". Áspero conectando esta línea segmentos, la solución en el plano de fase (v en función de x) puede ser bosquejado (dé x y v inicialmente). Para facilitar bosquejar del campo de dirección, son las curvas a lo largo de el cual el slop de la solución un constante puede ser calculado a veces. Estas curvas se llaman los isoclines (ISO que significa el igual como en isótopo o isobara; cuesta del significado del cline como en pendiente) (tenga cuidado de distinguir entre los isoclines

y las curvas de la solución. Para confundir a veces materias son iguales, pero son generalmente absolutamente distintas de uno a) de la ecuación 26.5, isoclines son las curvas a lo largo de las cuales f (x, v)/v es un constante. Los isoclines uno son inmediatamente obtenibles, a saber cuando v=0, dv/dx=infinito. Como revisión del método de isoclines, la solución a la ecuación 26.5 es bosquejada observando eso a lo largo del x-axis (v=0) que cualquier solución debe tener una cuesta infinita. Para indicar este las pequeñas rociadas se dibujan con la cuesta infinita en fig. 26-3. v=0 es un isocline. La curva de la solución que cruzan el x-axis debe ser paralela a estas rociadas. A fin de consideremos un ejemplo específico. Para un sistema de la resorte-masa con una fuerza de restauración linear pero sin la fricción,…

Although we can solve this problem explicitly or solve it by sketching the solution in the phase plane using the energy integral, we will ilustrate the method of isoclines to sketch the solution in the phase plante. Letting v=dx/dt using the chain rule ... yields the first order equation (26.6) (Explicitly integrating this equation is a equivalent to the energy integral.) We sketch the solution by first drawing the isoclines, curves along which the slope of the solution is constant. As above along v=0, dv/dx=infinito. The isocline is the straight line v=0, along wich the slope of the solution is always infinite, indicate by the vertical slashes. Furthermore x=0 is another isoclines, as along x=0, dv/dx=0 (a constant) Other isoclines, for example, are v=(k/m)x along which dv/dx=-1, and v=-(k/m)x along which dv/dx=1. these isocline are sketched in fig. 26.4. To locate the most general isocline, we look for the curve along which the slope of the solution is the constant lamda , dv/dx=lamda. From equation 26.6, ...

Solving for v, we see these isoclines are v=-(k/m)x. For this example all the isoclines are straight lines ( in general isoclines need not be straight lines). We indicate in fig. 26-5 some of these other isoclines. Any solution must be tangent to the slashes. In this manner a solution in the phase plane can be sketches (as indicated by the darkened curve in fig. 26-5). In particular, note the difference between the solution curves (ellipses) and the isoclines (straight lines). Actually a rough sketch might not guarantee solutions are the ellipses which our previous analysis tells us they must be.

A pesar de que puede resolver este problema de manera explícita o resolverlo por esbozar la solución en el plano de fase, utilizando la energía integral, vamos a ilustrar el método de isoclinas esbozar la solución en el plante de fase. Dejar v = dx / dt utilizando la regla de la cadena ... se obtiene la ecuación de primer orden (26,6)(De manera explícita la integración de esta ecuación es equivalente a la energía integral.) Tenemos la solución de dibujo de dibujo de la primera isoclinas, a lo largo de las curvas que la pendiente de la solución es constante. Como es arriba a lo largo de v = 0, dy / dx = infinito. La isoclina es la línea recta v = 0, que a lo largo de la pendiente de la solución es siempre infinita, indican por las barras verticales. Además, x = 0 es otro isoclinas, como a lo largo de x = 0, dy / dx = 0 (una constante) isoclinas Otros, por ejemplo, son v = (k / m) x a lo largo de la cual dv / dx =- 1, y v = - (k / m) x largo de la cual dv / dx = 1. estos isoclina se esbozan en la figura. 26.4. Para localizar la isoclina más general, buscamos que a lo largo de la curva de la pendiente de la solución es la constante lambda, dv / dx = lambda. De la ecuación 26.6, ...

Despejando V, vemos que estos isoclinas son v =- (k / m) x. Para este ejemplo, todos los isoclinas son líneas rectas (líneas isoclinas en general, no será recto). Nos indican en la

fig. 26-5 algunos de estos isoclinas otros. Cualquier solución debe ser tangente a las barras. De esta manera, una solución en el plano de fase puede ser bocetos (como lo indica la curva oscura en la fig. 26-5). En concreto, observe la diferencia entre la solución de las curvas (elipses) y la isoclinas (líneas rectas). En realidad, un esbozo no puede garantizar la solución son las elipses que nuestro análisis anterior nos dice que debe ser.

Aunque poder solucionar este problema explícitamente o solucionarlo bosquejando la solución en el plano de fase usando el integral de energía, ilustrate el método de isoclines bosquejaremos la solución en el plante de la fase. Dejar v=dx/dt usando la regla de cadena… rinde la primera ecuación de la orden (26.6) (Explícitamente la integración de esta ecuación es un equivalente al integral de energía.) Bosquejamos la solución por el primer dibujo los isoclines, las curvas a lo largo de las cuales la cuesta de la solución son constantes. Como arriba a lo largo de v=0, dv/dx=infinito. El isocline es la línea recta v=0, a lo largo de la cual la cuesta de la solución es siempre infinita, indica por las rayas verticales verticales. Además x=0 es otros isoclines, como a lo largo de x=0, dv/dx=0 (un constante) otros isoclines, por ejemplo, son el v= (k/m) x a lo largo de el cual dv/dx=-1, y el v=- (k/m) x a lo largo de qué dv/dx=1. este se bosqueja el isocline en fig. 26.4. Para localizar el isocline más general, buscamos la curva a lo largo de la cual la cuesta de la solución es el lamda constante, dv/dx=lamda. De la ecuación 26.6,… Solucionando para v, vemos que estos isoclines son el v=- (k/m) X. Por este ejemplo todos los isoclines son líneas rectas (en isoclines generales no necesite ser líneas rectas). Indicamos en fig. 26-5 algunos de estos otros isoclines. Cualquier solución debe ser tangente a las rayas verticales. De este modo una solución en el plano de fase puede ser bosquejos (según lo indicado por la curva obscurecida en fig. 26-5). Particularmente, observe la diferencia entre las curvas de la solución (elipses) y los isoclines (líneas rectas). Un croquis no pudo garantizar realmente las soluciones son las elipses cuál nuestro análisis anterior nos dice que él debe ser.

What happens as time increases? As before when considering energy curves in the phase plane, arrows are used to indicate the direction of changes in time. We note (returning to the general time-dependent equations), ... (Note that dividing one of these equations by the other yields equation 26.5) From dx/dt=v, it follows that in the upper half plane (v>0) x increases (arrows point to the right) and in the lower half plane (v<0) x decreases (arrows point to the left); see fig. 26-6. Along the line v=0, the direction in time is determined by considering the other time-dependent equation, dv/dt= f(x,v). Along v=0, dv/dt)f(x,0). Recall that f(x,0) is the "force" assuming no friction. If this force is restoring (which in general it does not have to be) ... then it is concluded that for x>0, f(x,0)<0 (and vice versa). Hence dv/dt>0 for x<0 at v=0, and thus v incrases in the left half plane. Similary for x>0 at v=0, v decreases in the right half plane. These results yields (if the force is always restoring) fig. 26-7.

For the example ..., arrows can be added to the phase plane yielding fig. 26-8, the same result as previously sketched in Sec. 21.

¿Qué sucede a medida que aumenta el tiempo? Como las curvas de energía antes de la hora de considerar en el plano fase, las flechas se usan para indicar la dirección de los

cambios en el tiempo. Tomamos nota de (volver al tiempo general de las ecuaciones de dependencia), ...(Tenga en cuenta que la división de una de estas ecuaciones por los rendimientos de otros ecuación 26,5)De dx / dt = v, se deduce que en el plano de la mitad superior (v> 0) x aumentos (las flechas apuntan hacia la derecha) y en el semiplano inferior (v <0) x disminuye (las flechas apuntan hacia la izquierda); ver fig. 26-6. A lo largo de la línea v = 0, la dirección en el tiempo, se determinará considerando el tiempo de otros ecuación dependiente, dv / dt = f (x, v). A lo largo de v = 0, dv / dt) f (x, 0). Recordemos que f (x, 0) es la "fuerza", asumiendo que no hay fricción. Si esta fuerza es la restauración (que en general no tiene que ser) ... entonces se concluye que para x> 0, f (x, 0) <0 (y viceversa). Por lo tanto incrases dv / dt> 0 para x <0 con v = 0, y por lo tanto v en el plano medio a la izquierda.De forma similar para x> 0 con v = 0, v disminuye en el semiplano derecho. Estos rendimientos resultados (si la fuerza es siempre la restauración) fig. 26-7.

Para el ejemplo ..., las flechas se puede añadir a la fase de plano la obtención de la fig. 26-8, el mismo resultado, como ya se ha esbozado en la sección. 21.

¿Qué sucede mientras que el tiempo aumenta? Como antes al considerar curvas de energía en el plano de fase, las flechas se utilizan para indicar la dirección de cambios a tiempo. Observamos (volviendo a las ecuaciones dependientes del tiempo generales),… (La nota aquélla de división de estas ecuaciones por el otra rinde la ecuación 26.5) De dx/dt=v, sigue eso en el plano de la mitad superior (v> aumentos de 0) x (las flechas señalan a la derecha) y en el plano de la mitad inferior (v0, f (x, 0) 0 para x0 en v=0, v disminuye en el plano de la mitad derecha. Estos resultados rinden (si la fuerza está restaurando siempre) fig. 26-7. Por el ejemplo…, las flechas se pueden agregar al plano de fase que rinde fig. 26-8, el mismo resultado según lo bosquejado previamente en Sec. 21.

Cap 27

The general autonomous system, ... yields a first-order differential equation for the phase plane (27.1) where v=dx/dt (see Sec. 26). The slope of the solution in the phase plane in uniquely determined everywhere. Well, not quite: at any point where both the numerator an ddenominator is zero, dv/dx is not uniquely determined since dv/dx=0/0 (it depend on how you approach that point). Such points are called singular points of the phase plane equation 27.1. Singular points occur whenever (27.2).

In other words, the velocity is zero, v=0, and there are no forces at any such singular point. These singular points thus represent equilibium positions, values of x for which the forces cancel if there is no motion. For example, such points where encountered in the discussion of a nonlinear pendulum without friction. As in that problem we are quite interested in determining which such equilibrium points are stable.

As has been shown in Sec. 18, stability can be investigated most easiliy by considering a linearized stability analysis. The analysis her differes from the previous one only by cetain methematical details now necessitated by the possible velocity dependence of the

force. Suppose that x=xE is an equilibrium time-independent solution of the equation of motion, (27.3) If x is initially near xE with a small velocity, then it is reasonable to expand... in a Taylor series of a function of wo variables: ... where higher-order term in the Taylor serien have been neglected since x is near xE and dx/dt is small. Again introducing the displacement from equilibrium, z, z=x-xE its follows that (27.4) ... where..

Cap 27

El sistema autónomo, en general, ... produce una ecuación diferencial de primer orden para el plano de fases (27,1) donde v = dx / dt (véase la Sección. 26). La pendiente de la solución en el plano de fase en determinados únicamente por todas partes. Bueno, no tanto: en cualquier punto en el que tanto el numerador como un ddenominator es cero, dv / dx no está unívocamente determinada desde dv / dx = 0 / 0 (que depende de cómo te acercas a ese punto). Estos puntos se denominan puntos singulares de la ecuación del plano fase 27.1. Puntos singulares ocurrir siempre (27,2).

En otras palabras, la velocidad es cero, v = 0, y no hay fuerzas en cualquier punto singular tal. Estos puntos singulares por lo tanto representan posiciones de equilibrio, los valores de x para los cuales las fuerzas de cancelar si no hay movimiento. Por ejemplo, estos puntos donde se encuentran en la discusión de un péndulo no lineal sin fricción. Como en ese problema que estamos muy interesados en determinar qué puntos de equilibrio son estables.

Como se ha demostrado en la sección. 18, la estabilidad puede ser investigado más Fácilmente considerando un análisis de estabilidad lineal. El análisis de su fuere diferente de la anterior sólo por cetain detalles methematical ahora es necesario por la dependencia de la velocidad posible de la fuerza. Supongamos que x = xe es un tiempo de equilibrio solución independiente de la ecuación de movimiento, (27,3)Si xE x se encuentra a una con una velocidad pequeña, entonces es razonable para ampliar ... en una serie de Taylor de una función de variables wo ...en término de orden superior en la Series de Taylor han sido descuidadas desde x está cerca de XE y dx / dt es pequeño. Una vez más introducir el desplazamiento del equilibrio, z, z = x-XE se deduce que su (27,4) ... donde ..

Casquillo 27 El Autonomous System general,… rinde una ecuación diferencial de primer orden para el plano de fase (27.1) donde v=dx/dt (véase el Sec. 26). La cuesta de la solución en el plano de fase en determinado únicamente por todas partes. Bien, no absolutamente: en cualquier momento donde están cero ambos el numerador un ddenominator, dv/dx no es únicamente resuelto puesto que dv/dx=0/0 (depende de cómo usted se acerca a ese punto). Tales puntos se llaman los puntos singulares de la ecuación 27.1 del plano de fase. Los puntos singulares ocurren siempre que (27.2). Es decir la velocidad es cero, v=0, y no hay fuerzas en cualquier punto singular. Estos puntos singulares representan así posiciones de equilibrio, los valores de x para los cuales las fuerzas cancelan si no hay movimiento. Por ejemplo, tales puntos donde encontrado en la discusión de un péndulo no linear sin la fricción. Como en ese problema estamos absolutamente interesados en la determinación de cuál son estables tales puntos de equilibrio. Como se ha demostrado en Sec. 18, estabilidad pueden ser los

más easiliy investigado considerando un análisis de estabilidad linearizado. El análisis que sus differes el anterior solamente por los detalles methematical del cetain ahora hicieron necesario por la dependencia posible de la velocidad de la fuerza. Suponga que el x=xE es una solución independiente del tiempo del equilibrio de la ecuación del movimiento, (27.3) Si x está inicialmente cerca de xE con una pequeña velocidad, después es razonable ampliarse… en una serie de Taylor de una función de las variables del wo: … donde el término higher-order en Taylor serien se han descuidado puesto que x es xE cercano y dx/dt es pequeño. Otra vez introduciendo la dislocación del equilibrio, z, z=x-xE su sigue eso (27.4)… donde.

The notation used has taken advantage of the analogy of equation 27.4 to a spring-mass system with friction. However, here it is not necessary that k and c be positive!

This equation is a constant coefficient second-order homogeneous ordinary differential equation; exactly the kind analyzed earlier. Solutions are exponentials .., where r=...

La notación utilizada se ha aprovechado de la analogía de la ecuación de 27,4 a un sistema masa-resorte con la fricción. Sin embargo, aquí no es necesario que K y C sea positivo!

Esta ecuación es una constante el coeficiente homogénea de segundo orden ecuación diferencial ordinaria, exactamente el tipo de las analizadas anteriormente. Las soluciones son exponenciales .., donde r =...

La notación usada se ha aprovechado de la analogía de la ecuación 27.4 a un sistema de la spreing-masa con la fricción. ¡Sin embargo, aquí no es necesario que k y c sean positivas! Esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria homogénea second-order del coeficiente constante; exactamente la clase analizada anterior. Las soluciones son exponentials. , donde r=…

(Except if c-al-caudrado=4k, in wich case the solutions are e... and te...). The equilibrium solution is said to be linearly stable if, for all initial conditions near X=Xe and v=0, the displacement from equilibrium solution:

c..>0: Unstable if c<=0; also unstable if c>0 but k<0; otherwise stable (i.e., c>0 y k>=0)

c..=0: Stable if c>0; unstable if c<=0

c...<0: Unstable if c<0; stable if c>=0 (sometimes said to be neutrally stable (see page 58.) if c=0 since the solution purely oscillates if c=0)

This information can also be communicates using a stability diagram in c-k parameter space, fig. 27-1. The equilibrium position is stable only if the linearized displacement z satisfies a differential equation corresponding to a linear spring - mass system k>=0 with damping c>=0 (except if c=k=0).

As an example, suppose that (1)

We see that x=4 is the only equilibrium position (dx/dt=0 and d2x/dt2=0) . Letting f(x,dx/dt)=-(x-4)..., we can determine the stability of x=4 simply calculating the partial derivatives of f(x,dx/dt): ......

from the table or the diagram above, we see x=4 is an unstable equilibrium position.

This determines what happens near the equilibrium position. The nonlinear terms in the neighborhood of the equilibrium position have been neglected. Are we justified in doing so? A complete answer to that questions is postponed, but will analyzed in later sections on population dynamics. For the moment, let us just say that in "most" cases the results of a linearized stability analysis explains the behavior of the solution in the inmediate vicinity of the equilibrium position.

(Excepto si c-al-caudrado = 4k, en cuyo caso las soluciones son e. .. y te ...). La solución de equilibrio se dice que es linealmente estable si, para todas las condiciones iniciales, cerca de x = Xe y v = 0, el desplazamiento de la solución de equilibrio:

c..> 0: Inestable si C <= 0; también inestable si c> 0, pero k <0; de otra manera estable (es decir, c> 0 yk> = 0)

c. .= 0: Estable si c> 0; inestable si C <= 0

c. .. <0: Inestable si C <0; estable si c> = 0 (a veces dice que es neutral estable (véase la página 58.) si c = 0, puesto que la solución puramente oscila si c = 0)

Esta información también se comunica mediante un diagrama de estabilidad en el espacio de parámetros CK, fig. 27-1. La posición de equilibrio es estable sólo si el desplazamiento lineal z satisface una ecuación diferencial correspondiente a una fuente lineal - k sistema masa> = 0 con amortiguación c> = 0 (excepto si C = k = 0).

Como ejemplo, supongamos que (1)

Vemos que x = 4 es la posición de equilibrio sólo (dx / dt = 0 y d2x/dt2 = 0). Dejar que f (x, dx / dt) =- (x-4 )..., podemos determinar la estabilidad de x = 4, simplemente el cálculo de las derivadas parciales de f (x, dx / dt): ......

de la tabla o el diagrama de arriba, vemos que x = 4 es una posición de equilibrio inestable.

Esto determina lo que ocurre cerca de la posición de equilibrio. Los términos no lineales en el barrio de la posición de equilibrio han sido descuidados. Estamos justificados en hacerlo? Una respuesta completa a las preguntas que se aplaza, pero será analizado en las secciones posteriores sobre la dinámica de la población.Por el momento, sólo vamos a decir que en la mayoría "de los casos los resultados de un análisis de estabilidad lineal explica el comportamiento de la solución en la vecindad inmediata de la posición de equilibrio.

(Excepto si c-al-caudrado=4k, en este caso las soluciones son e… y te…). La solución del equilibrio reputa linear el establo si, para todas las condiciones iniciales acerque a X=Xe y a v=0, la dislocación de la solución del equilibrio: c.> 0: Inestable si k> de c0 pero de k0 y; =0) c.=0: Establo si c> 0; inestable si c=0 (excepto si c=k=0). Como ejemplo, suponga eso (1) Vemos que x=4 es la única posición de equilibrio (dx/dt=0 y d2x/dt2=0). Dejando f (x, dx/dt) = (x-4)…, podemos determinar la estabilidad de x=4 que calcula simplemente los derivados parciales de f (x, dx/dt): ...... de la tabla o del diagrama arriba, vemos que x=4 es una posición de equilibrio inestable. Esto determina qué sucede cerca de la posición de equilibrio. Los términos no lineares en la vecindad de la posición de equilibrio se han descuidado. ¿Nos justifican al hacer eso? Una respuesta completa a ésa pregunta se pospone, pero analizado en secciones posteriores en dinámicas de la población. Por el momento, apenas digamos eso en " most" encajona los resultados de un análisis de estabilidad linearizado explica el comportamiento de la solución en la vecindad del inmediate de la posición de equilibrio.

In the case in wich the linearized stability analysis predicts the equilibrium solution is unstable, the displacement grows (usually exponentially). Eventually the solution is perturbed so fan from the equilibrium that neglecting the nonlinear terms is no longer a valid approximation. When this occurs we can not rely on the results of a linear stability analyze. The solution may or may not continue to depart from the equilibrium position. To analyze this situation, the solution can be discussed in the phase plane.

En el caso en que el análisis de estabilidad lineal predice la solución de equilibrio es inestable, el desplazamiento crece (por lo general de manera exponencial). Finalmente, la solución es tan perturbado de aficionados en el equilibrio que descuidar los términos no lineales ya no es una aproximación válida. Cuando esto ocurre, no podemos depender de los resultados de un análisis de estabilidad lineal. La solución puede o no puede continuar para apartarse de la posición de equilibrio. Para analizar esta situación, la solución puede ser discutido en el plano fase.

En el caso en el cual el análisis de estabilidad linearizado predice la solución del equilibrio es inestable, la dislocación crece (generalmente exponencial). La solución es eventual tan perturbado ventilador del equilibrio que el descuido de los términos no lineares es no más una aproximación válida. Cuando ocurre esto nosotros no puede confiar en los resultados de una estabilidad linear analice. La solución puede o no puede continuar saliendo de la posición de equilibrio. Para analizar esta situación, la solución se puede discutir en el plano de fase.

Population Dynamics - Mathematical Ecology

Dinámica de la Población - Ecología Matemática

30) Introduction to Mathematical Models in Biology

In the past, mathematics has not been as successful a tool in the biological sciences as it has been in the physical sciences. There are probably many reasons for this. Plants and animals are complex, made up of many components, the simplest of which is just learning to comprenhend. There seems to be no fundamental biological law analogous to Newton´s law. Thus the scientific comunity is a long way from understanding cause - effect relationship in the biological world to the same degree that such laws exist for spring-mass systems. In addition, many animals possess an ability to choose courses of action, an ability that cannot be attributed to a spring-mass system nor a pendulum.

In the following sections we will develop mathematical models describing one aspect of the biological world, the mutual relationships among plants, animals, and their enviroment, a field of study known as ecology. As a means of quantifying this science, the number of individuals of different species in investigated. We will analyze the fluctuations of these populations, hence the other part of the title of this chapter, population dynamics. The mathematical models that are developed are frequently crude ones. Observations of population changes are limited. Furthermore, it is not always apparent what factors account for observed population variations. We cannot expect simple models of the biological world to accurately predict population growth. However, we should not hesitate to discuss simple models, for it is reasonable to expect that such models may be as significant in the biological sciences as spring-mass systems are in contemporary quantum, atomic, and nuclear physics.

30) Introducción a los Modelos Matemáticos en Biología

En el pasado, las matemáticas no ha sido como herramienta de éxito, una de las ciencias biológicas como lo ha sido en las ciencias físicas. Probablemente hay muchas razones para esto. Las plantas y los animales son complejas, compuesto de muchos componentes, el más simple de lo que está aprendiendo a comprenhend. No parece haber ninguna ley biológica fundamental análoga a la ley de Newton. Así, la comunicad científica está muy lejos de la comprensión causa - efecto de la relación en el mundo biológico en el mismo grado que las leyes existen para la primavera de sistemas de comunicación. Además, muchos animales poseen una capacidad de elegir cursos de acción, una habilidad que no puede atribuirse a un sistema masa-resorte ni un péndulo.

En las siguientes secciones vamos a desarrollar modelos matemáticos que describen un aspecto del mundo biológico, las relaciones recíprocas entre las plantas, los animales y su entorno, un campo de estudio conocido como la ecología. Como una forma de cuantificar esta ciencia, el número de individuos de diferentes especies en investigación. Vamos a analizar las fluctuaciones de estas poblaciones, de ahí la otra parte del título de este capítulo, la dinámica de la población. Los modelos matemáticos que se desarrollan son con frecuencia los de crudo. Observaciones de los cambios de población son limitados. Además, no siempre es evidente qué factores explican las variaciones de la población observada. No podemos esperar que los modelos simples del mundo biológico para predecir con precisión el crecimiento de la población. Sin embargo, no debemos vacilar en discutir los modelos simples, ya que es razonable esperar que tales modelos pueden ser tan importantes en las ciencias biológicas como la primavera-sistemas de masa se cuántica contemporánea, atómica y física nuclear.

30) Introducción a los modelos matemáticos en biología En el pasado, las matemáticas no han sido tan acertadas una herramienta en las ciencias biológicas como han estado en las ciencias físicas. Hay probablemente muchas razones de esto. Las plantas y los animales son complejos, compuesto de muchos componentes, el más simple cuyo apenas está aprendiendo al comprenhend. No parece haber ley biológica fundamental análoga a la ley de Newton´s. Así la comunidad científica está lejos de causa de comprensión - efectúe la relación en el mundo biológico al mismo grado que tales leyes existen para los sistemas de la resorte-masa. Además, muchos animales poseen una capacidad de elegir líneas de conducta, una capacidad que no se pueda atribuir a un sistema de la resorte-masa ni a un péndulo. En las secciones siguientes desarrollaremos los modelos matemáticos que describen un aspecto del mundo biológico, las relaciones mutuas entre las plantas, los animales, y su ambiente, un campo del estudio conocido como ecología. Como medio para la cuantificación de esta ciencia, el número de individuos de diversas especies en investigado. Analizaremos las fluctuaciones de estas poblaciones, por lo tanto la otra parte del título de este capítulo, dinámica de la población. Los modelos matemáticos se desarrollan que son con frecuencia petróleo bruto unos. Las observaciones de los cambios de la población son limitadas. Además, no es siempre evidente qué factores explican variaciones observadas de la población. No podemos esperar que los modelos simples del mundo biológico predigan exactamente el crecimiento demográfico. Sin embargo, no debemos vacilar discutir modelos simples, porque es razonable contar con que tales modelos puedan estar como significativos en las ciencias biológicas mientras que los sistemas de la resorte-masa están en el quántum contemporáneo, atómico, y la física nuclear.

We will formulate models based on observed population data of various species, such as human population in specified areas or the population of fish and algae in a lake. We

might want to try to undestand the complex ecosystem of a lake, involving the interaction of many species of plant and animal life. Another example might be to study the growth of a forest. On the most grandiose escale, we might model the entire world´s plant and animal populations (consisting of many smaller ecosystems). Surely it is reasonable to proceed by asking simpler questions. Here we will attempt to mathematically model processes involving a few species. As in the modeling of any problem, many assumptions will be made.

Vamos a elaborar modelos basados en datos de la población observada de distintas especies, como la población humana en zonas o la población de peces y algas en un lago. Nosotros tal vez quiera probar para comprender los complejos ecosistemas de un lago, que implica la interacción de muchas especies de plantas y vida animal. Otro ejemplo podría ser el estudio del crecimiento de un bosque. En la más grandiosa escale, podríamos modelo de planta de todo el mundo y las poblaciones de animales (compuesta de muchos pequeños ecosistemas). Sin duda, es razonable proceder por simple pregunta preguntas. Aquí se tratará de un modelo matemático que entrañen unas pocas especies. Como en el modelado de cualquier problema, muchos supuestos se hará.

Formularemos los modelos basados en datos observados de la población de varias especies, tales como población humana en áreas especificadas o la población de pescados y de algas en un lago. Puede ser que queramos intentar al undestand el ecosistema complejo de un lago, implicando la interacción de muchas especies de vida del planta y animal. Otro ejemplo pudo ser estudiar el crecimiento de un bosque. En el escale más grandioso, puede ser que modelemos los world´s enteros planta y las poblaciones del animal (que consisten en muchos ecosistemas más pequeños). Es seguramente razonable proceder haciendo preguntas más simples. Aquí intentaremos modelar matemáticamente los procesos que implican algunas especies. Como en el modelado de cualquier problema, muchas asunciones serán hechas.

We start our study of mathematical ecology by briefly discussing some basic assumptions of the population models utilized in this text (Sec. 31). Our first models involve the simplest birht and death processes of one-species ecosystems (Secs. 32-36), which must be modified to model more realistic environmental influences (Secs. 37-39). Experiments suggest that these models are also at times inadequate, motivating our investigation of population growth with time delays (Secs. 40-42). Then we beging to model more complex ecosystems involving the interation of two species (Secs. 43-44), pausing to discuss some necessary mathematics (Secs. 45-47). Specific predator-prey and competing two-species model accounts for the concluding parts of our discussions of population dynamics (Secs. 48-54)

Throughout our study we focus our attention on the modeling process, qualitative behavior, explicit solutions, and the resulting ecological interpretations. Fundamental concepts (as with mechanical vibration) involve equilibriums and their stability.

Empezamos nuestro estudio de la ecología matemática, una breve discusión de algunos supuestos básicos de la población de los modelos utilizados en este texto (Sec. 31). Nuestros primeros modelos de participación de los más simples NACER y los procesos de muerte de uno de los ecosistemas de las especies (secciones 32-36), que se debe modificar el modelo de las influencias ambientales más realista (secciones 37-39). Los experimentos sugieren que estos modelos son también a veces insuficientes, motivar

nuestra investigación de crecimiento de la población con retrasos de tiempo (secciones 40-42). Luego, beging el modelo de los ecosistemas más complejos que los interation de dos especies (secciones 43-44), haciendo una pausa para examinar algunos de matemáticas necesarias (secciones 45-47). Específicas depredador-presa y la competencia de dos cuentas de las especies modelo para las partes finales de nuestras discusiones de la dinámica de la población (secciones 48-54)

A lo largo de nuestro estudio nos centramos nuestra atención en el proceso de modelado, el comportamiento cualitativo, soluciones explícitas, y las interpretaciones ecológicas resultantes. Conceptos fundamentales (como ocurre con las vibraciones mecánicas) se refieren a los equilibrios y la estabilidad.

Comenzamos nuestro estudio de la ecología matemática brevemente discutiendo algunas asunciones básicas de los modelos de la población utilizados en este texto (Sec. 31). Nuestros primeros modelos implican los procesos más simples del birht y de la muerte de los ecosistemas de las uno-especies (Secs. 32-36), que se debe modificar para modelar influencias ambientales más realistas (Secs. 37-39). Los experimentos sugieren que estos modelos sean también ocasionalmente inadecuados, motivando nuestra investigación del crecimiento demográfico con los retrasos (Secs. 40-42). Entonces nosotros beging para modelar ecosistemas más complejos que implican el interation de dos especies (Secs. 43-44), deteniéndose brevemente para discutir un ciertas matemáticas necesarias (Secs. 45-47). La despredador-presa específica y el modelo competente de las dos-especies explica las partes que concluyen de nuestras discusiones de las dinámicas de la población (Secs. 48-54) A través de nuestro estudio nos centramos nuestra atención en el proceso de modelado, el comportamiento cualitativo, las soluciones explícitas, y las interpretaciones ecológicas resultantes. Los conceptos fundamentales (como con la vibración mecánica) implican equilibriums y su estabilidad.

31) Populations Models

We begin the study of ecosystems, by considering the population of one species in a specified region, whether it is the number of people in the world, the number of pines trees in a forest, or the number of bacteria in an experiment. We ignore any differences in the individuals comprising the group (i.e., male-female differences, age differences). What kinds of data might be observed? Perhaps the number of monkeys in a laboratory as a function of time would be as shown in fig. 31-1. This curve is discontinuous since changes in the monkey population occur in integral units (+1 for single births, -1 for deaths, +2 for twins, and so on). Furthermore, the numbre of monkeys, N(t), can only be an integer. In many situations involving a large number of a species, it is reasonable to approximate N(t) as a continuous function of time, perhaps by fitting a smooth curve through the data. In this manner, it is frequently possible to use continuous functions of time to represent populations.

The previous population data were observed continuosly in time. However, some populations are normally measured periodically. For example, the bear population in a forest might be estimated only once a year. Thus data might be N(ti), were each ti represents the time at which a measurement was made. Although this could be modeled as a continuous function of time (by again fitting a smooth curve through the data

points), the limitations of the observed data suggest that it might be only necessary to model the population at certain discrete times.

31) Modelos de Poblaciones

Comenzamos el estudio de los ecosistemas, considerando la población de una especie en una región determinada, ya sea el número de personas en el mundo, el número de pinos en un bosque, o el número de bacterias en un experimento. Pasamos por alto las diferencias en los individuos que forman el grupo (es decir, diferencias hombre-mujer, las diferencias de edad). ¿Qué tipo de datos pueden ser observados? Quizás el número de monos en un laboratorio en función del tiempo sería como se muestra en la fig. 31-1. Esta curva es discontinuo ya que los cambios en la población de monos se producen en unidades integrales (+1 para los nacimientos únicos, -1 para las muertes, 2 para los gemelos, y así sucesivamente). Además, el numbre de los monos, N (t), sólo puede ser un número entero. En muchas situaciones de un número elevado de especies, es razonable aproximado N (t) como una función continua de tiempo, tal vez por el ajuste de una curva suave a través de los datos. De esta manera, con frecuencia es posible utilizar las funciones continuas de tiempo para representar a la población.

Los datos de población anteriores se observaron continuamente en el tiempo. Sin embargo, algunas poblaciones se midan periódicamente. Por ejemplo, la población del oso en un bosque puede ser estimado sólo una vez al año. Así, los datos pueden ser N (TI), cada uno de ti se representa el momento en que se realizó la medición. Aunque esto podría ser modelado como una función continua de tiempo (por una vez más el ajuste de una curva suave a través de los puntos de datos), las limitaciones de los datos observados sugieren que podría ser sólo necesario para modelar la población en determinados momentos discretos.

31) Modelos de las poblaciones Comenzamos el estudio de ecosistemas, considerando la población de una especie en una región especificada, si es el número de gente en el mundo, el número de árboles de pinos en un bosque, o el número de bacterias en un experimento. No hacemos caso de cualquier diferencia en los individuos que abarcan el grupo (es decir, diferencias hembra-varón, diferencias de la edad). ¿Qué clases de datos pudieron ser observadas? Quizás el número de monos en un laboratorio en función del tiempo estaría según las indicaciones de fig. 31-1. Esta curva es discontinua puesto que los cambios en la población del mono ocurren en las unidades integrales (+1 para los solos nacimientos, -1 para las muertes, +2 para los gemelos, y así sucesivamente). Además, el numbre de monos, N (t), puede solamente ser un número entero. En la participación de muchas situaciones una gran cantidad una especie, es razonable aproximar N (t) como función continua del tiempo, quizás cabiendo una curva lisa con los datos. De este modo, es con frecuencia posible utilizar funciones continuas de la hora de representar las poblaciones. Los datos anteriores de la población fueron observados continuosly a tiempo. Sin embargo, miden a algunas poblaciones normalmente periódicamente. Por ejemplo, la población del oso en un bosque se pudo estimar solamente una vez al año. Así los datos pudieron ser N (ti), eran cada ti representan el tiempo en el cual una medida fue hecha. Aunque esto se podría modelar como función continua del tiempo (otra vez cabiendo una curva lisa a través de los puntos de referencias), las limitaciones de los datos observados sugieren que puede ser que sea solamente necesario modelar la población en ciertas horas discretas.

As additional difficulty occurs, for example, when considering the population of th United States as a function of time. data is gathered through a census taken every ten years. However, the accuracy of these census figures have been questioned. The data to which a mathematical model is compared may be inaccurate. Here, we will not pursue the questions of how to analyze data with inaccuracies, a field of study in itself.

In formulating a model of the population growth of a species, we must decide what factors affect that population. Clearly in some cases it depends on many quantities. For example: the population of sharks in the Adriatic Sea will depend on the numbre of fish available for the sharks to consume(if there are none, sharks would become extinct). In addition, the presence of a harmful bacteria will affect a number of sharks.

Como dificultad adicional se produce, por ejemplo, al considerar la población de Estados Unidos o como una función del tiempo. datos se obtienen a través de un censo cada diez años. Sin embargo, la exactitud de estas cifras de los censos han sido cuestionados. Los datos a los que un modelo matemático que se compara pueden ser inexactos. Aquí, no vamos a perseguir a las preguntas de cómo analizar los datos con errores, un campo de estudio en sí mismo.

En la formulación de un modelo de crecimiento de la población de una especie, debemos decidir qué factores afectan a esa población. Es evidente que en algunos casos, depende de muchas cantidades. Por ejemplo: la población de tiburones en el Mar Adriático, dependerá de la numbre de pescado disponible para los tiburones al consumo (si no hay ninguno, los tiburones se extinguiría). Además, la presencia de bacterias nocivas que afectan a un número de tiburones.

Como adicional la dificultad ocurre, por ejemplo, cuando en vista de la población de th Estados Unidos en función de tiempo. los datos se recopilan con un censo tardado cada diez años. Sin embargo, la exactitud de estas figuras de censo se ha preguntado. Los datos a los cuales se compara un modelo matemático pueden ser inexactos. Aquí, no perseguiremos las cuestiones de cómo analizar los datos con inexactitudes, un campo del estudio en sí mismo. En formular un modelo del crecimiento demográfico de una especie, debemos decidir qué factores afectan a esa población. Depende claramente en algunos casos de muchas cantidades. Por ejemplo: la población de tiburones en el mar adriático dependerá del numbre de los pescados disponibles para que los tiburones consuman (si no hay ninguno, los tiburones llegaron a estar extintos). Además, la presencia de las bacterias dañosas afectará a un número de tiburones.

It would be incorrect to assume that the population of sharks is affected only by other species. We should not be surprised if, for example, the water temperature and salinity (salt content) are important in determining the shark population. Other factors may also be significant. We will model the population of sharks later.

Now we will study a simpler species, one not affected by any others. Such a species might be observed in a laboratory experiment of well-fed animals. Suppose we perform such an experiment starting with N_o animals and model population as a continuous function of time N(t). We might observed the graph in fig. 31-2. Before attempting to analyze this situation, let us rerun the hypothetical experiment, trying to make no variation in the initial population nor in the laboratory environment. We might observed

the second graph in fir. 31-2. We would be quite surprise if we got identicals results. What caused the diffrences?

It seems impossible to exactly repeat a given experimental result. Thus, we do not have complete control of the experiment. (Is this also true for a spring-mass system?). To account for this (perhaps caused by an indeterminateness of some environmental factors), we might introduce some random quantities into the mathematical model. This randomness in the model would predict different results in each experiment. However, in this text, there will not be much discussion of such probabilistic models. Instead, we will almost exclusively pursue deterministic models, because of the author´s own orientation and because a complete discussion of probabilistic models requires a previous course in probability (a prerequisite the author did not want for this text). However, in many ways the best agreements with experiments occur with probabilistic models.

To account for the observed variability from experiment to experiment, we will model some type of average in many experiments, rather than attempting to model each specific experiment. Thus, if a later experiment or observation does not correspond precisely to a prediction of a mathematical model, then it may be the result of some randomness rather than some other inherent failur of the model.

Sería incorrecto suponer que la población de tiburones sólo se ve afectada por otras especies. No debería sorprendernos si, por ejemplo, la temperatura del agua y la salinidad (contenido de sal) son importantes para determinar la población de tiburones. Otros factores también pueden ser importantes. Vamos a modelar la población de tiburones más tarde.

Ahora vamos a un estudio de las especies más simples, no afectados por ningún otro. Esta especie podría ser observada en un experimento de laboratorio en animales bien alimentados. Supongamos que llevamos a cabo un experimento a partir de los animales y la población N_o modelo como una función continua de tiempo N (t). Podemos observar la gráfica en la fig. 31-2. Antes de tratar de analizar esta situación, vamos a volver a ejecutar el experimento hipotético, tratando de hacer ninguna variación en la población inicial, ni en el entorno de laboratorio. Podemos observar en el segundo gráfico de abeto. 31-2. Nos sería muy sorprendente si tenemos los idénticos resultados. ¿Qué hizo que las diferencias registradas?

Parece imposible repetir exactamente un resultado experimental dada. Por lo tanto, no tenemos un control completo del experimento. (¿Es esto cierto también para un sistema masa-resorte?). Para dar cuenta de esto (tal vez por una indeterminación de algunos factores ambientales), se podrían introducir algunas cantidades al azar en el modelo matemático. Esta aleatoriedad en el modelo predice resultados diferentes en cada experimento. Sin embargo, en este texto, no habrá mucha discusión de estos modelos probabilísticos. En cambio, nosotros casi exclusivamente a perseguir los modelos deterministas, debido a la orientación del propio autor y por una discusión completa de modelos probabilísticos requiere de un curso previo de la probabilidad (un requisito previo que el autor no desea que este texto). Sin embargo, en muchos de los mejores acuerdos con los experimentos ocurrir con los modelos probabilísticos.

Para tener en cuenta la variabilidad observada de experimento a experimento, le modelo de algún tipo de medio de muchos experimentos, en lugar de intentar modelar cada experimento específico. Así, si un experimento de observación fuera de plazo o no se correspondan exactamente a la predicción de un modelo matemático, entonces puede ser el resultado de un azar en lugar de algún otro fracaso-inherentes del modelo.

Sería incorrecto asumir que la población de tiburones es afectada solamente por la otra especie. No debemos ser sorprendidos si, por ejemplo, la temperatura del agua y la salinidad (contenido en sal) son importantes en la determinación de la población del tiburón. Otros factores pueden también ser significativos. Modelaremos la población de tiburones más adelante. Ahora estudiaremos una especie más simple, una no afectada por cualquier otras. Tal especie se pudo observar en un experimento del laboratorio de animales well-fed. Suponga que realizamos tal experimento que comienza con los animales de N_o y la población modelo como función continua del tiempo N (t). Pudimos observamos el gráfico en fig. 31-2. Antes de intentar analizar esta situación, volvamos a efectuar el experimento hipotético, intentando no hacer ninguna variación en la población inicial ni en el ambiente del laboratorio. Pudimos observamos el segundo gráfico en abeto. 31-2. Seríamos absolutamente sorpresa si conseguimos resultados de los identicals. ¿Qué causó los diffrences? Parece imposible repetir exactamente un resultado experimental dado. Así, no tenemos control total del experimento. (Es este también verdad para un sistema de la resorte-masa?). Para explicar esto (quizás causado por un indeterminateness de algunos factores ambientales), puede ser que introduzcamos algunas cantidades al azar en el modelo matemático. Esta aleatoriedad en el modelo prediría diversos resultados en cada experimento. Sin embargo, en este texto, no habrá mucha discusión de tales modelos de probabilidad. En lugar, perseguiremos casi exclusivamente modelos deterministas, debido a los author´s posea la orientación y porque una discusión completa de modelos de probabilidad requiere un curso anterior en la probabilidad (un requisito previo el autor no quiso para este texto). Sin embargo, los mejores acuerdos con experimentos ocurren en gran medida con los modelos de probabilidad. Para explicar la variabilidad observada del experimento al experimento, modelaremos un cierto tipo de promedio en muchos experimentos, algo que intentando modelar cada experimento específico. Así, si un experimento o una observación posterior no corresponde exacto a una predicción de un modelo matemático, después él puede ser el resultado de una cierta aleatoriedad algo que un cierto otro failur inherente del modelo.

32) A discrete one-species model

In this section, one of the simplest models of population growth of a species is developed. Typical data on the variations of the population of a species in a specified region might be as represented in fig. 32-1, were measurements might have been taken over an interval of time.... The rate of change of the population as measured over the time interval ... would be ....

This indicates the absolute rate of increase of the population. A quantity wich will prove to be quite important is the rate of change of the population per individual, R(t). This called the growth rate per unit time (for example, per year) as measured over the time interval ... (32.1)

The percentage change in the population is 100... Thus one hundred times the growth rate R(t) is the percentage change in the population per unit time. For example, if in one-half year the population increases by 20% then R(t)=2/5 and the growth rate is 40% per year (as measured for one-half year). Equation 32.1 cannot be used to determine the population at future times since it is just the definition of R(t). However, if the growth rate and the initial population were know, then the population at later times could be calculated: (32.2)

We assume that the population of the speies only changes due to births and deaths. No outside experimenter slips some extra species into the system. There is no migration into or out of the region. Thus ....

32) A una discreta modelo de especies

En esta sección, se desarrolla uno de los modelos más simples de crecimiento de la población de una especie. Datos típicos en las variaciones de la población de una especie en una región determinada puede ser representado en la figura. 32-1, las mediciones se hubiera tomado en un intervalo de tiempo .... La tasa de cambio de la población, medido en el intervalo de tiempo ... sería ....

Esto indica la tasa absoluta de crecimiento de la población. Una cantidad que resultará ser muy importante es la tasa de cambio de la población por individuo, R (t). Esto llama la tasa de crecimiento por unidad de tiempo (por ejemplo, por año), medido en el intervalo de tiempo ... (32,1)

El cambio porcentual en la población es de 100 ... Así, cien veces la tasa de crecimiento de R (t) es el cambio porcentual en la población por unidad de tiempo. Por ejemplo, si en la mitad de año la población aumenta en un 20%, entonces R (t) = 2 / 5 y la tasa de crecimiento es del 40% por año (según lo medido por la mitad al año). La ecuación 32.1 no puede ser utilizado para determinar la población en los tiempos futuros, ya que es precisamente la definición de R (t). Sin embargo, si la tasa de crecimiento y de la población inicial se sabe, entonces la población en épocas posteriores, se puede calcular: (32,2)

Suponemos que la población de la speies sólo los cambios debidos a los nacimientos y las defunciones. N experimentador se desliza fuera de algunas especies adicionales en el sistema. No hay migración hacia o fuera de la región. Así ....

32) Un modelo discreto de las uno-especies En esta sección, uno de los modelos más simples del crecimiento demográfico de una especie se desarrolla. Los datos típicos sobre las variaciones de la población de una especie en una región especificada pudieron ser como representadas en fig. 32-1, eran las medidas se pudieron haber asumido el control un intervalo del tiempo…. El índice de cambio de la población según lo medido sobre el intervalo de tiempo… sería…. Esto indica el coeficiente de incremento absoluto de la población. Una cantidad que demostrará ser absolutamente importante es el índice de cambio de la población por el individuo, R (t). Esto llamó la tarifa de crecimiento por tiempo de unidad (por ejemplo, por año) según lo medido sobre el intervalo de tiempo… (32.1) El cambio de porcentaje en la población es 100… Así cientos veces la tarifa de crecimiento R (t) es el cambio de porcentaje en la población por tiempo de unidad. Por ejemplo, si en una mitad año los aumentos de

población por el 20% entonces R (t)=2/5 y la tarifa de crecimiento es el 40% por año (según lo medido por una mitad año). La ecuación 32.1 no se puede utilizar para determinar la población en las horas futuras puesto que es apenas la definición de R (t). Sin embargo, si eran la tarifa de crecimiento y la población inicial sepa, después la población en horas posteriores podría ser calculado: (32.2) Asumimos que la población de los cambios de los speies solamente debido a las generación y muerte. NinguÌn experimentador exterior desliza una cierta especie adicional en el sistema. No hay migración en o fuera de la región. Así….

The reproductive (birth) rate b per unit time measured over the time interval .. and the death rate d are defined as ....

Consequently, the population at a time ... later, N(t+..), is ...

The growth rate R, R=b-d is the birth rte minus the death rate. In recent year, the world human population growth rate approximately equals 0,019. This means that the growth rate (the birth rate minus the death rate) is 1,9 percent per year. This figure gives no other information concerning the birth and death rates.

Since we focus our attention on the total population in a region, the birth and death rates are averages, averaged over this entire population. We are not distinguishing between older or younger individuals. In discussing human population growth, actuaries and demographers would be upset with our approach. They realize that accurate predictions of future growth depend on a thorough knowledge of the age distribution within the population. Two populations are likely to grow quite differently if one has significantly more senior citizens than the other. Thus the mathematical model we are developing can be improved to allow for an age distribution in the population. This will be briefly discussed in a later section (Sec. 35). We now proceed to discuss the total population of a species, assuming the effects of a possibly changing age distribution can be neglected.

La reproducción (el nacimiento) tipo b por unidad de tiempo medido en el intervalo de tiempo .. y la tasa de mortalidad D se definen como ....

En consecuencia, la población en un momento ... más tarde, N (t +..), es ...

La tasa de crecimiento de R, R = BD es el rte de natalidad menos la tasa de mortalidad. En los últimos años, el ser humano tasa mundial de crecimiento de la población es aproximadamente igual a 0.019. Esto significa que la tasa de crecimiento (la tasa de natalidad menos la tasa de la muerte) es 1,9 por ciento por año. Esta cifra no da ninguna otra información sobre la natalidad y la mortalidad.

Como nos centramos nuestra atención en la población total en una región, las tasas de natalidad y mortalidad son promedios, como promedio durante toda esta población. Nosotros no estamos distinguiendo entre las personas mayores o más jóvenes. Al hablar de crecimiento de la población humana, los actuarios y demógrafos se rompería con nuestro enfoque. Se dan cuenta de que las predicciones precisas del crecimiento futuro depende de un profundo conocimiento de la distribución por edades de la población. Dos poblaciones tienden a crecer de manera muy diferente si uno tiene significativamente más altos que los ciudadanos de la otra. Así, el modelo matemático que estamos desarrollando se puede mejorar para permitir una distribución por edades

de la población. Esto se discutió brevemente en una sección posterior (Sec. 35). Ahora procederemos a examinar el total de la población de una especie, suponiendo que los efectos de un posible cambio en la distribución por edad se puede despreciar.

La tarifa reproductiva b (del nacimiento) por tiempo de unidad midió sobre el intervalo de tiempo. y se define el índice de mortalidad d como…. Por lo tanto, la población a la vez… más adelante, N (t+.), es… La tarifa de crecimiento R, R=b-d es el nacimiento rte menos el índice de mortalidad. En último año, la tarifa humana del crecimiento demográfico del mundo iguala aproximadamente 0.019. Esto significa que la tarifa de crecimiento (el índice de natalidad menos el índice de mortalidad) es el 1.9 por ciento por año. Esta figura no da ninguna otra información referente a las tarifas de la generación y muerte. Puesto que nos centramos nuestra atención en la población total en una región, las tarifas de la generación y muerte son promedios, hechos un promedio sobre este toda la población. No estamos distinguiendo entre más viejos o más jovenes individuos. En la discusión del crecimiento demográfico humano, los actuarios y los demógrafos estarían trastornados con nuestro acercamiento. Realizan que las predicciones exactas del crecimiento futuro dependen de un conocimiento cuidadoso de la distribución de edad dentro de la población. Dos poblaciones son probables crecer absolutamente diferentemente si una tiene jubilados que la otra. Así el modelo matemático que estamos desarrollando se puede mejorar para tener en cuenta una distribución de edad en la población. Esto será discutida brevemente en una sección posterior (Sec. 35). Ahora procedemos a discutir la población total de una especie, asumiendo que los efectos de una distribución de edad posiblemente cambiante pueden ser descuidados.

As a first step in the mathematical modeling of population growth, we assume that the number of births and the number of deaths are simply proportional to the total population. Thus the growth rate R is a constant, R=Ro; it is assumed not to change in time. A twofold increase in the population yields twice as many births and deaths. Without arguing the merits of such an assumption, let us pursue its consequences. If the growth rate is constant, then for any t...

This can be expressed as a difference equation for the population (32.4)

The population at a time .. later is a fixed percentage of the previous population. We will show this difference equation can be solved as an initial value problem, that is given an initial population at t = t_o N(to)=Nothe future population can be easily computed.

A difference equation has certain similarities to a differential equation. However, for initial value problem of this type of difference equation, the unique solution can always be directly calculated. None of the "tricks" of differential equations are necessary. For a constant birth rate, .....

Although this method gives a sarisfactory answer for all time, it\is clear that a general formula exits. At m units of ... later, t ==t_o... (32.5)or equivalently, ....

Como un primer paso en el modelado matemático de crecimiento de la población, suponemos que el número de nacimientos y el número de muertes son simplemente proporcional a la población total. Así, la tasa de crecimiento de R es una constante, R = Ro, se presume que no a cambiar en el tiempo. Un aumento del doble en los rendimientos de la población en dos ocasiones como nacimientos y muertes. Sin discutir los méritos de tal supuesto, vamos a proseguir sus consecuencias. Si la tasa de crecimiento es constante, entonces, para cualquier t. ..

Esto se puede expresar como una ecuación de la diferencia para la población (32,4)

La población en un momento .. más tarde es un porcentaje fijo de la población anterior. Vamos a mostrar esta ecuación diferencia puede resolverse como un problema de valor inicial, que se da una población inicial en t = t_o N (a) = nel futuro de la población puede calcularse fácilmente.

Una ecuación de diferencia tiene ciertas similitudes con una ecuación diferencial. Sin embargo, para el problema de valor inicial de este tipo de ecuación de la diferencia, la única solución siempre puede calcularse directamente. Ninguno de los "trucos" de las ecuaciones diferenciales son necesarias. Para obtener una tasa de natalidad constante, .....

Aunque este método ofrece una respuesta sarisfactory de todos los tiempos, ¡es claro que una fórmula general de las salidas. En las unidades de m ... más tarde, t == t_o ... (32,5), o equivalentemente, ....

En primer lugar en el modelado matemático del crecimiento demográfico, asumimos que el número de nacimientos y el número de muertes son simplemente proporcionales a la población total. Así la tarifa de crecimiento R es un constante, R=Ro; se asume para no cambiar a tiempo. Un aumento doble en la población rinde dos veces tantas generación y muerte. Sin la discusión de los méritos de tal asunción, déjenos persiguen sus consecuencias. Si la tarifa de crecimiento es constante, entonces para cualquier t… Esto se puede expresar como ecuación de diferencia para la población (32.4) La población a la vez. está más adelante un porcentaje fijo de la población anterior. Demostraremos que esta ecuación de diferencia se puede solucionar como problema de valor inicial, de que está dada una población inicial en t = t_o =No de N () la población futura puede ser computada fácilmente. Una ecuación de diferencia tiene ciertas semejanzas a una ecuación diferencial. Sin embargo, para el problema de valor inicial de este tipo de ecuación de diferencia, la solución única puede ser calculada siempre directamente. Ninguno del " tricks" de ecuaciones diferenciales sea necesario. Para un índice de natalidad constante, ..... Aunque este método dé una respuesta sarisfactory por toda la hora, \ está claro que una fórmula del general sale. En las unidades de m… de más adelante, ==t_o de t… (32.5) o equivalente,…. Si el índice de natalidad es mayor que el índice de mortalidad (es decir, si R_o> 0), la población crece.

If the birth rate is greater than the death rate (i.e., if R_o>0), the population grows. As sketch of the solution is easily accomplished by noting ...

were alfa is a constant, alfa=.... Thus, if R_o>o we have fig. 32-2. Growth occurs over each discrete time interval of length .... In each interval of time ... the population increases by the same rate, but not by the same amount, rather an increasing amount. Around 1800, the British economist Malthus used this type of population growth model to make the pessimistic prediction that human population would frequently outgrow its food supply. Malthus did not foresse the vast technological achievements in food production.

The assumption that the growth rate is constant frequently does not approximate observed populations. We illustrate some environmental factors which have caused human growth rate to vary: 1) The failure of the potato harvest (due to blight) in Ireland in 1845 resulted in widespread famine. Not only did the death rate dramatically increase, but immigration to the United States (and elsewhere) was so large that during the years that followed the population of Ireland significantly decreased. Population estimates for Ireland speak for themselves: tabla2) A famous long power blackout in 1965 in the northeast United States resulted in an increased growth rate nine months later. This effect also occurred, for example, as the of curfew laws in Chile in 1973. 3) The pill and other birth control measures have contributed to decreases in the 1960s and 1970s in the growth rate in the United States.4) The average number of desired children seems to depend on economic and other factors. During the depression in the 1930s, birth rates in the United States were lower than they were both before and after. Examples (2)-(4) vividly illustrate the difference between fertility (the ability to reproduce, the reproductive capacity) and fecundity (the actual rate of reproduction).

Si la tasa de natalidad es mayor que la tasa de mortalidad (es decir, si R_o> 0), la población crece. Como esbozo de la solución se logra fácilmente observando ...Se alfa es una constante, alfa =.... Así, si R_o> o hemos fig. 32-2.El crecimiento se produce en cada intervalo de tiempo discreto de longitud .... En cada intervalo de tiempo ... la población aumenta al mismo ritmo, pero no por la misma cantidad, más bien uncantidad cada vez mayor. Alrededor de 1800, el economista británico Malthus utilizado este tipo de modelo de crecimiento de la población para hacer la predicción pesimista de que la población humana se superan con frecuencia el suministro de alimentos.Malthus no PREVENIMOS los grandes logros tecnológicos en la producción de alimentos.

La suposición de que la tasa de crecimiento es constante poblaciones observadas con frecuencia no aproximados. Se ilustran algunos de los factores ambientales que han causado la tasa de crecimiento humana a variar:1) El fracaso de la cosecha de papa (debido a la plaga) en Irlanda en 1845 dio lugar a una hambruna generalizada. No sólo la tasa de mortalidad aumentan dramáticamente, pero la inmigración a los Estados Unidos (y otros) fue tan grande que durante los años que siguieron a la población de Irlanda disminuyó notablemente. Las estimaciones de población de Irlanda hablan por sí solas: tabla2) Un famoso apagón de largo en 1965 en el noreste de Estados Unidos se tradujo en una tasa de crecimiento aumentó nueve meses después. Este efecto también ocurrió, por ejemplo, como la de las leyes de toque de queda en Chile en 1973.

3) La píldora y otras medidas de control de natalidad han contribuido a disminuciones en los años 1960 y 1970 la tasa de crecimiento en los Estados Unidos.4) El número promedio de hijos deseados parece depender de factores económicos y otros. Durante la depresión de la década de 1930, las tasas de natalidad en los Estados Unidos fueron menores de lo que eran antes y después.Ejemplos (2) - (4) ilustran claramente la diferencia entre la fertilidad (la capacidad de reproducirse, la capacidad de reproducción) y la fecundidad (la tasa real de la reproducción).

Si el índice de natalidad es mayor que el índice de mortalidad (es decir, si R_o> 0), la población crece. Como el bosquejo de la solución es logrado fácilmente observando… era la alfa es un constante, alfa=…. Así, si R_o> o tenemos fig. 32-2. El crecimiento ocurre sobre cada intervalo del tiempo discreto de la longitud…. En cada intervalo del tiempo… los aumentos de población por la misma tarifa, pero no por la misma cantidad, algo cantidad cada vez mayor. Alrededor 1800, el economista británico Malthus utilizó este tipo de modelo del crecimiento demográfico para hacer la predicción pesimista que la población humana pasaría con frecuencia su suministro de alimentos. Malthus no hizo foresse los logros tecnológicos extensos en la producción alimentaria. La asunción que la tarifa de crecimiento es constante no aproxima con frecuencia las poblaciones observadas. Ilustramos algunos factores ambientales que han hecho tarifa de crecimiento humana variar: 1) La falta de la cosecha de la patata (debido al destrozo) en Irlanda en 1845 dio lugar a hambre extensa. No sólo el índice de mortalidad aumentó dramáticamente, pero la inmigración a los Estados Unidos (y a otra parte) era tan grande que durante los años que siguieron la población de Irlanda disminuyó perceptiblemente. Las estimaciones de la población para Irlanda hablan para sí mismos: tabla 2) Un apagón de energía largo famoso en 1965 en los Estados Unidos de nordeste dio lugar a una tarifa de crecimiento creciente nueve meses más adelante. Este efecto también ocurrió, por ejemplo, como de las leyes del toque de queda en Chile en 1973. 3) La píldora y otras medidas del control de la natalidad han contribuido a las disminuciones de los años 60 y de los años 70 en la tarifa de crecimiento en los Estados Unidos. 4) El número medio de niños deseados parece depender de factores económicos y otros. Durante la depresión en los años 30, los índices de natalidad en los Estados Unidos eran más bajos que eran ambos antes y después. Ejemplos (2) - (4) ilustra vivo la diferencia entre la fertilidad (la capacidad de reproducirse, la capacidad reproductiva) y la fecundidad (el índice real de reproducción).

33) Constant coefficient first-order diffence equations

When discussing a population at various discrete times, it is convenient to introduce the following notation: ....

Thus the population at the mth time is (33.1)For a constant growth rate R_o, the population at the m + 1st time is determined from the previous population (33.2) where alfa=...as derived in Sec. 32. Equation 33.2 is called a linear difference equation of the first order with constant coefficients. It is called first order since equation 33.2 involves one difference in time, i.e., t+... and t. An example of a difference equation without constant coefficients (but still linear) is ...... is an example of a nonlinear equation.

33) las ecuaciones de diferencia más coeficiente constante de primer orden

Cuando se habla de una población en diferentes tiempos discretos, es conveniente introducir la siguiente notación: ....

Así, la población en el momento m es (33,1)Para una tasa constante de crecimiento R_o, la población en el m + 1 ª vez se determina a partir de la población anterior (33,2), donde =... alfaderivados, en la sección. 32. La ecuación 33.2 se llama una ecuación lineal de la diferencia de primer orden con coeficientes constantes. Se llama ecuación de primer orden desde el 33,2 implica una diferencia en el tiempo, es decir, t + ... y T. Un ejemplo de una ecuación de la diferencia sin coeficientes constantes (pero aún lineal) es ...... es un ejemplo de una ecuación no lineal.

33) Ecuaciones de primer orden del diffence del coeficiente constante Al discutir una población en las varias horas discretas, es conveniente introducir la notación siguiente: …. Así la población en la mth vez es (33.1) Para una tarifa de crecimiento constante R_o, está resuelta la población en m + 1ra vez de la población anterior (33.2) donde el alfa=… según lo derivado en Sec. 32. La ecuación 33.2 se llama una ecuación de diferencia linear de la primera orden con coeficientes constantes. Se llama primera orden puesto que la ecuación 33.2 implica una diferencia a tiempo, es decir, t+… y T. Un ejemplo de una ecuación de diferencia sin los coeficientes constantes (pero aún linear) es ...... es un ejemplo de una ecuación no linear.

The solution of the linear first order difference equation with constant coefficients, equation 33.2, was constructed earlier: (33.3)

A general technique to solve constatn coefficient difference equations (as will later be shown for a higher order difference equation) is to try a solution o the difference equation in the form: ...an unknown number raised to the mrh power. Substituting this expression into the difference equation 33.2, yields ...Dividing both sides by .., determines r, ...Thus ... is a solution. The linearity property implies that any multiple of that solution ... is also a solution. Since at m=0 (corresponding to t=t_o) the population is know, the arbitrary constatn is determined No=C.

Thus equation 33.3 is valid, derived by a general technique for constant coefficient difference equations. This method is quite similar to the technique of substituting an unknown exponential into a constant coefficient differential equation.

La solución de la ecuación lineal de primer orden de la diferencia con coeficientes constantes, la ecuación 33.2, se construyó antes: (33,3)

Una técnica general para resolver ecuaciones en diferencias coeficiente constante (como más tarde se mostrará un mayor orden de la ecuación de diferencia) es intentar una o solución de la ecuación de diferencia en la forma: ...un número no elevado a la potencia MRH. Sustituyendo esta expresión en la ecuación de diferencia de 33,2, el rendimiento de ...Dividiendo ambos lados por .., determina r, ...

Por lo tanto ... es una solución. La propiedad de linealidad implica que cualquier múltiplo de la solución ... es también una solución. Dado que en m = 0 (que corresponde a t = t_o) la población se sabe, la constante arbitraria se determina n = C.

Así, la ecuación 33.3 es válida, derivada de una técnica general para el coeficiente constante de ecuaciones en diferencias. Este método es muy similar a la técnica de la sustitución de un desconocido en la ecuación exponencial de una constante coeficiente diferencial.

La solución de la primera ecuación de diferencia linear de la orden con coeficientes constantes, ecuación 33.2, fue construida anterior: (33.3) Una técnica general para solucionar ecuaciones de diferencia constantes del coeficiente (como será demostrado más adelante para una ecuación de diferencia más alta de la orden) es intentar una solución o la ecuación de diferencia en la forma: … un número desconocido levantado a la energía del mrh. Substituyendo esta expresión en la ecuación de diferencia 33.2, producciones… Dividiendo ambos lados cerca. , determina r,… Así… es una solución. La característica de las linearidades implica que cualquier múltiplo de esa solución… es también una solución. Puesto que en m=0 (que corresponde al t=t_o) la población está sepa, el constante arbitrario es No=C. resuelto. Así la ecuación 33.3 es válida, derivado por una técnica general para las ecuaciones de diferencia constantes del coeficiente. Este método es absolutamente similar a la técnica de substituir un desconocido exponencial en una ecuación diferencial del coeficiente constante.

34) Exponential growth

The definition of the growth rate is R(t)=...In general, this growth rate can depend on time. It is calculated over a time interval of length ... By this definition, the growth rate also depends on the measuring time interval. More likely of interest is the instantaneous growth rate (which we will now refere to as the growth rate), R(t)=... (34.1)

For this to be meaningful, the population must be approsimated as a contnuous function of time, which is assumed to be differentiable. This approximations is most reaonable for large poppulations. The growth rate is the rate of change in the population per individual. Alternatively, the rate of change of the population, dN/dt, equals the growth rate, R, times the population, N.

As a first model, we again assume the growth rate is a constant. If this growth rate is a constant R_o, then the population growth is described by the solution to the first order linear differential equation with constant coefficients. (34.2) which satisfies the initial condition N(to)=N_o.

The solution exhibits exponential behavior (34.3) as sketched in fig. 34-1 for R_o>0. A population grows exponentially if the growth rate is a positive constant. Similaly, a population decays exponentially if its growth rate is a negative constant as shown in fig. 34-2 (It is often convenient to let the initial time t_o=0.)

Of interest is the time necessary for a population to double if the growth rate is a positive constant. the length of time t1-to, such that the population doubles,

N(t1)=2N(to), is obtained from the expression .... No cancels. Hence, the time it takes to double does not depend on the initial population. In particular, (34.4)

33) El crecimiento exponencial

La definición de la tasa de crecimiento es de R (t )=...En general, esta tasa de crecimiento puede depender del tiempo. Se calcula en un intervalo de tiempo de longitud ... Según esta definición, la tasa de crecimiento también depende del intervalo de tiempo de medición. Lo más probable es de interés es la tasa de crecimiento instantánea (que ahora se refere a la tasa de crecimiento), R (t )=... (34,1)

Para que esto tenga sentido, la población debe ser approsimated como una función contnuous de tiempo, que se supone que es diferenciable. Esta aproximación es más reaonable para poppulations grandes. La tasa de crecimiento es la tasa de cambio en la población por individuo. Alternativamente, la tasa de cambio de la población, DN / dt, es igual a la tasa de crecimiento, R, los tiempos de la población, N.

Como un primer modelo, que supone de nuevo la tasa de crecimiento es una constante. Si esta tasa de crecimiento es un R_o constante, el crecimiento de la población es descrito por la solución a la primera ecuación diferencial lineal de orden con coeficientes constantes. (34,2) que satisface la condición inicial N (a) = N_o.

La solución muestra un comportamiento exponencial (34,3) como se muestra en la fig. 34-1 para R_o> 0. La población crece de forma exponencial si la tasa de crecimiento es una constante positiva. Similaly, una población disminuye exponencialmente si su tasa de crecimiento es una constante negativa, como se muestra en la fig. 34-2 (A menudo es conveniente dejar que el t_o tiempo inicial = 0.)

De interés es el tiempo necesario para una población en duplicarse si la tasa de crecimiento es una constante positiva. el tiempo t1-a, de tal manera que la población se duplica, N (t1) = 2N (a), se obtiene de la expresión .... No se cancela. Por lo tanto, el tiempo que tarda el doble no depende de la población inicial. En particular, (34,4)

33) Crecimiento exponencial La definición de la tarifa de crecimiento es R (el t)=… Esta tarifa de crecimiento puede depender generalmente el tiempo. Es calculada sobre un intervalo de tiempo de la longitud… por esta definición, la tarifa de crecimiento también depende del intervalo de tiempo de medición. Del interés está más probablemente la tarifa de crecimiento instantánea (que ahora refere como a la tarifa de crecimiento), R (el t)=… (34.1) Para que esto sea significativo, la población debe approsimated como función contnuous del tiempo, que se asume para ser diferenciable. Este las aproximaciones son las más reaonable para los poppulations grandes. La tarifa de crecimiento es el índice de cambio en la población por individuo. Alternativamente, el índice del cambio de la población, dN/dt, iguala la tarifa de crecimiento, R, épocas la población, N. Pues un primer modelo, nosotros asume otra vez la tarifa de crecimiento es un constante. Si esta tarifa de crecimiento es un R_o constante, después el crecimiento demográfico es descrito por la solución a la ecuación diferencial linear de la primera orden con coeficientes constantes. (34.2) que satisfacen el =N_o inicial de la condición N (). La solución exhibe el comportamiento exponencial (34.3) según lo bosquejado en fig. 34-1 para R_o> 0. Una población crece exponencial si la tarifa de crecimiento es un constante positivo. Similaly, una población decae exponencial si su

tarifa de crecimiento es un constante negativo según las indicaciones de fig. 34-2 (es a menudo conveniente dejar el tiempo inicial t_o=0.) Del interés es el tiempo necesario para que una población doble si la tarifa de crecimiento es un constante positivo. la longitud del tiempo t1-to, tal que la población dobla, N (T1) =2N (a), se obtiene de la expresión…. Ningunas cancelaciones. Por lo tanto, el tiempo que lleva el doble no depende de la población inicial. Particularmente, (34.4)

where, from a table of natural logarithms, ln2.. This result can be applied to the following problem. If a population grows continually at the instantaneous rate of 2 percent a year (Ro=0,02), then in how long will the population double? The required time is ....

Thus, the population doubles in approximately 35 years. An accurate rule of thumb (very useful as described in the exercises for savings bank interest rates, inflation rates, and son on) is to note that if R-o is the instantaneous rate of growth per year measured as a percentage, then the number of years to double is approximately 70/Ro years* (*this is one of the more practical formulas we ofter in this text. Memorize it, not for an exam, but for your everyday experiences). how many years would it take the population to quadruple? Ro is the instantaneous growth rate per year. In one year, the population will have grown from N_o to N_oe.. The measured growth rate over that one year is ....Since the Taylor series or ... is ....there is a small difference between the instantaneous growth rate and the resulting growth rate measured over year only if R-o is small. If a population grows continually at the rate of 2 percent a year (R-o=.02), then after one year an original population of 1,000,000 grows to 1,020,201.3 rather than 1,020,000 since .....Biologists frequently speak of the mean generation time, that is the time necessary for a population to reproduce itself, which we have called the doubling time. If t_d is the mean generation time, the from equation 34.4 (34.5)

donde, a partir de una tabla de logaritmos naturales, ln2 .. Este resultado puede aplicarse al siguiente problema. Si una población crece continuamente en la velocidad instantánea de un 2 por ciento al año (Ro = 0,02), a continuación, en cuánto tiempo será el doble de la población? El tiempo requerido es ....

Así, la población se duplica en aproximadamente 35 años. Una regla exacta del pulgar (muy útil como se describe en los ejercicios para el ahorro de las tasas de interés bancarias, las tasas de inflación, y el hijo de) es observar que si Ro es la tasa instantánea de crecimiento por año medido en porcentaje, el número de años el doble es de aproximadamente 70/Ro años * (* Esta es una de las fórmulas más prácticas que presenta especialmente en este texto. Memorizar no, para un examen, sino para sus experiencias cotidianas). ¿Cuántos años le llevaría a la población a cuadruplicar?Ro es la tasa de crecimiento instantáneo por año. En un año, la población habrá crecido de N_o a N_oe .. La tasa de crecimiento que mide más de un año es ....Dado que la serie de Taylor o ... es .... hay una pequeña diferencia entre la tasa de crecimiento instantánea y la tasa de crecimiento resultante medido con respecto al año sólo si Ro es pequeña. Si una población crece continuamente, a razón de 2 por ciento al año (Ro =. 02), a continuación, después de un año una población original de 1.000.000 crece a 1,020,201.3 lugar de 1.020.000 desde .....

Los biólogos hablan con frecuencia de tiempo de generación media, que es el tiempo necesario para una población para reproducirse, lo que hemos llamado el tiempo de duplicación. Si t_d es el momento de la generación media, la de la ecuación de 34,4 (34,5)

donde, de una tabla de logaritmos naturales, ln2. Este resultado se puede aplicar al problema siguiente. ¿Si una población crece continuamente al índice instantáneo del 2 por ciento al año (Ro=0,02), después en cuánto tiempo la población doblará? El tiempo requerido es…. Así, la población dobla en aproximadamente 35 años. Una regla empírica exacta (muy útil según lo descrito en los ejercicios para los tipos de interés de banco de ahorros, las tasas de inflación, y el hijo encendido) es observar que si el R-o es el índice de crecimiento instantáneo por el año medido como porcentaje, después el número de años a doblar es el years* aproximadamente 70/Ro (los *this son una de las fórmulas más prácticas nosotros ofter en este texto. Memorícela, no para un examen, sino para sus experiencias diarias). ¿cuántos años tomaría la población para cuadruplicar? El Ro es la tarifa de crecimiento instantánea por año. En un año, la población habrá crecido de N_o a N_oe. La tarifa de crecimiento medida durante ese un año es…. Puesto que es la serie de Taylor o…….hay una pequeña diferencia entre la tarifa de crecimiento instantánea y la tarifa de crecimiento resultante medidas durante año solamente si el R-o es pequeño. Si una población crece continuamente al índice del 2 por ciento al año (R-o=.02), después después de un año una población original de 1.000.000 viene 1.020.201.3 algo que 1.020.000 desde entonces ..... Los biólogos hablan con frecuencia del tiempo de generación malo, de que son el tiempo necesario para que una población se reproduzca, que hemos llamado el tiempo de duplicación. Si el t_d es el tiempo de generación malo, de la ecuación 34.4 (34.5)

In terms of this parameter, the exponential growth equation 34.3, becomes N(t)=... which, using properties of logarithms and exponentials, becomes .... or finally .... an equivalent formula which is often easy to evaluate. In this latter form growth is measured in intervals of the doubling time. We now compare the population growths predicted by the discrete and continuous models. For a continuous growth model (with growth rate R-o), ... while for population growth (with growth rate R-o) occurring over each discrete ... time interval, ....An equivalent expression for the discrete case is....For both models, the population grows exponentially. The exponential coefficient for a population increasing every .. time is ln(...)/.. as compared to R-o for continual growth. The discrete growth process causes a slower population growth as expected since....as is shown in exercises 32.13 or 32.14. These two models should give same result in the limit as ... We verify this using L´Hopital´s rule, ...Alternatively, this can be shown using the Taylor series of ln(...) .In a problem, we might wish to assume a constant growth rate R-o, but not know what value to take for it. Thus, the population would be N=... where N-o is the known initial population at t=0. Another condition is necessary to deremine the growth rate. Suppose at a later time, t=t1, the population is also know N(t1)=N1. Let us use this information to determine R-o: N-1=...

En términos de este parámetro, la ecuación de crecimiento exponencial de 34,3, se convierte en N (t )=... , que, utilizando las propiedades de los logaritmos y exponenciales, se convierte en .... o, finalmente ....

una fórmula equivalente, que a menudo es fácil de evaluar. En esta última forma de crecimiento se mide en intervalos de tiempo de duplicación.Ahora comparar los crecimientos de población previstos por los modelos discretos y continuos. Para un modelo de crecimiento continuo (con una tasa de crecimiento Ro), ... mientras que para el crecimiento de la población (con una tasa de crecimiento Ro) que ocurren en cada discreta ... intervalo de tiempo, ....Una expresión equivalente para el caso discreto es ....Para ambos modelos, la población crece de manera exponencial. El coeficiente exponencial de una población en aumento cada .. En el tiempo es (...)/.. en comparación con el R-o para el crecimiento continuo. El proceso de crecimiento discreta causas más lento crecimiento de la población como se esperaba desde ....como se muestra en los ejercicios de 32.13 ó 32.14. Estos dos modelos debería dar el mismo resultado en el límite ... Verificamos esta regla con L'Hópital, ...Alternativamente, se puede demostrar mediante la serie de Taylor de (...) Ln.En un problema, tal vez desee asumir una tasa constante de crecimiento de Ro, pero no saben qué valor tomar para ello. Así, la población estaría N =... donde N-o es la inicial de la población conoce en t = 0. Otra condición es necesaria para deremine la tasa de crecimiento. Supongamos que en un momento posterior, t = t1, la población es también sabemos N (t1) = N1. Vamos a usar esta información para determinar Ro: N-1 =...En términos de este parámetro, la ecuación 34.3 del crecimiento exponencial, se convierte en N (el t)=… que, usando características de logaritmos y de exponentials, se convierte…. o finalmente…. una fórmula equivalente que es a menudo fácil de evaluar. En esta forma de estes último el crecimiento se mide en los intervalos del tiempo de duplicación. Ahora comparamos los crecimientos demográficos previstos por los modelos discretos y continuos. Para un modelo continuo del crecimiento (con el R-o de la tarifa de crecimiento),… mientras que para el crecimiento demográfico (con el R-o de la tarifa de crecimiento) que ocurre sobre cada… intervalo de tiempo discreto,…. Una expresión equivalente para el caso discreto es…. Para ambos modelos, la población crece exponencial. El coeficiente exponencial para un aumento de la población cada. el tiempo es el ln (...)/. con respecto al R-o para el crecimiento continuo. El proceso discreto del crecimiento causa un crecimiento demográfico más lento según lo esperado desde entonces…. como se demuestra en los ejercicios 32.13 o 32.14. Estos dos modelos deben dar el mismo resultado en el límite que… verificamos esto usando la regla de L´Hopital´s,… Alternativamente, esto se puede demostrar usando la serie de Taylor del ln (...). En un problema, puede ser que deseemos asumir un R-o constante de la tarifa de crecimiento, pero no saber qué valor a tomar para él. Así, la población sería N=… donde ninguna está la población inicial conocida en t=0. Otra condición es necesaria al deremine la tarifa de crecimiento. Suponga en un rato posterior, t=t1, la población es también saben N (T1) =N1. Utilicemos esta información para determinar el R-o: N-1=…

Although we can directly solve for Ro , Ro=.. a simpler approach is to note ..., and hence N=...This gives the expression for the population al all times if it is N_o initially and N1 at time t1 (assuming a constant growth rate). If additional data is known, then the problem may be over determined. However, as this is frequently the case, we might want to know the exponential curve that best fits the data. This can be done using the method of least squares as is discussed in the exercises.

A pesar de que puede resolver directamente para Ro, Ro =.. un enfoque más simple es tomar nota ..., y por lo tanto, N =...Esto da a la expresión de la población al todo momento si es N_o inicialmente y N1 en el tiempo t1 (suponiendo una tasa de crecimiento constante). Si se sabe que los datos adicionales, entonces el problema puede ser más decidido. Sin embargo, como es frecuentemente el caso, podríamos querer saber la curva exponencial que mejor se ajuste a los datos. Esto puede hacerse utilizando el método de mínimos cuadrados, como se discute en los ejercicios.

Aunque poder solucionar directamente para el Ro, Ro=. un acercamiento más simple es observar…, y por lo tanto N=… Esto da a expresión para el al de la población todas las veces si es N_o inicialmente y N1 en el T1 del tiempo (si se asume que una tarifa de crecimiento constante). Si se saben los datos adicionales, después el problema puede estar sobre resuelto. Sin embargo, como esto está con frecuencia el caso, puede ser que queramos saber la curva exponencial los ajustes de ese mejor los datos. Esto se puede hacer usando el método de m3inimos cuadr3aticos como se discute en los ejercicios.

37) Density - Dependent Growth

The fundamamental prediction of the constant growth population model, dN/dt=...is that the population exponentially grows without limits ( if R_o>0). Although this model may accurately reflect experiments in the initial stages, we realize that no population will grow exponentially indefinitely. A more complex population growth model is needed. The growth rate connot remain constant. What might prevent a population from growing without a bound? Essentially we suspect that once a population grows sufficiently large it will begin to interact in a different way with its environment or with other species. Laboratory experiments have shown that the lack of food (nutrients) to sustain an indefinitely large population can limit the population growth. Even if food supply is sufficiently increased, experiments have indicated that the growth rate still diminishes as the population density* increases. (*population density is proportional to the total population since the region is assumed fixed and since the population is also assumed uniformly distributed throughout the region. If instead the population density significantly varies in the region, then it may be neccessary to introduce a more complex mathematical model than the ones developed in this text)

37) Densidad - dependiente de crecimiento

La predicción de fundamamental del modelo de crecimiento constante de la población, dN / dt =...es que la población crece de forma exponencial sin límites (si R_o> 0). Aunque este modelo puede reflejar con precisión los experimentos en las etapas iniciales, nos damos cuenta de que ninguna población aumentará de forma exponencial indefinidamente. A más complejo modelo de crecimiento de la población es necesario. El connot tasa de crecimiento se mantienen constantes. ¿Qué podría impedir el crecimiento de una población sin un límite? Esencialmente, se sospecha que una vez que crece la población lo suficientemente grande comenzará a interactuar de una manera diferente con su entorno o con otras especies. Los experimentos de laboratorio han demostrado que la falta de alimentos (nutrientes) para sostener una población indefinidamente grande puede limitar el crecimiento de la población. Incluso si el suministro de alimentos es lo

suficientemente mayor, los experimentos han indicado que la tasa de crecimiento todavía disminuye a medida que aumenta la densidad* de población. (* Densidad de población es proporcional a la población total, ya que se supone que la región determinada y dado que la población supone también distribuida uniformemente en toda la región. Si en lugar de la densidad de población varía de manera significativa en la región, entonces puede ser necesario introducir una mayor modelo matemático complejo que los desarrollados en este texto)

37) Densidad - dependiente de crecimiento

La predicción fundamamental del modelo constante de la población del crecimiento, dN/dt=… es eso que la población exponencial crece sin límites (si R_o> 0). Aunque este modelo pueda reflejar exactamente experimentos en las etapas iniciales, realizamos que ninguna población crecerá exponencial indefinidamente. Un modelo más complejo del crecimiento demográfico es necesario. El connot de la tarifa de crecimiento sigue siendo constante. ¿Qué pudo evitar que una población crezca sin un límite? Esencialmente sospechamos que una vez que una población crece suficientemente grande comenzará a obrar recíprocamente en una manera diferente con su ambiente o con la otra especie. Los experimentos del laboratorio han demostrado que la carencia del alimento (alimentos) para sostener una población indefinidamente grande puede limitar el crecimiento demográfico. Incluso si el suministro de alimentos se aumenta suficientemente, los experimentos han indicado que la tarifa de crecimiento todavía disminuye mientras que la densidad demográfica aumenta. * (la densidad del *population es proporcional a la población total puesto que la región se asume fija y puesto que asumen a la población también distribuida uniformemente a través de la región. Si en lugar de otro la densidad demográfica varía perceptiblemente en la región, después puede ser necesario introducir un modelo matemático más complejo que los que está desarrollados en este texto)

In some manner, still being investigated by researchers, the increase in density causes the birth rate to decrease, the death rate to increase, or both. At some population, the birth rate equals the death rate and the resulting growth rate is zero. Thus, crowding may have the same effect as limiting the food supply. Space can be considered necessary to sustain live for certain species.

Let us attempt to mathematically model this process. In general, the growth rate (1/N) dN/dt may not be constant, but might depend on the poulation: (37.1)

What mathematical properties might the function R(N) have? We most remember that we have already assumed that the population is large enough so that we may model N(t) as a continuous function of time. Thus we are not particulary interested in R(N) for N extremely small. For moderate size populations, growth occurs with only slight limitations from the species total environment; as N diminishes R(t) should approach the growth rate without environmental influences. As the population increases, we still expect in to grow, but at a smaller rate due to the limitation on growth caused by the increased population density. Thus R(N) decreases as N increases. For a much larger population, experiments show the growth rate to be negative (more deaths than births).

If we assume that the growth rate is continuous, then we know there is a population at wich the growth rate is zero as sketched in Fig. 37-1:

De alguna manera, están siendo investigadas por los investigadores, el aumento de la densidad hace que la tasa de natalidad a disminuir, la tasa de mortalidad en aumento, o ambos. En algunas de la población, la tasa de natalidad es igual a la tasa de mortalidad y la tasa de crecimiento resultante es igual a cero. Así pues, el hacinamiento puede tener el mismo efecto que limitar el suministro de alimentos. El espacio puede considerarse necesario para mantener vivo para determinadas especies.

Tratemos de un modelo matemático de este proceso. En general, la tasa de crecimiento (1 / N) dN / dt no puede ser constante, pero podría depender de la poulation: (37.1)

¿Qué propiedades matemáticas podría la función R (N) tiene? Que más recordar que ya hemos asumido que la población es lo suficientemente grande como para que podamos modelo N (t) como una función continua de tiempo. Así que no estamos particularmente interesados en R (N) para N extremadamente pequeño. Para las poblaciones de tamaño moderado, el crecimiento se produce con sólo ligeras limitaciones de las especies de medio ambiente total, como N disminuye R (t) debe acercarse a la tasa de crecimiento sin necesidad de influencias del medio ambiente. A medida que aumenta la población, todavía esperamos para crecer, pero a menor ritmo debido a la limitación en el crecimiento causado por el aumento de la densidad de población. Así, R (N) disminuye a medida que aumenta N. Para una población mucho más grande, los experimentos muestran la tasa de crecimiento negativa (más muertes que nacimientos). Si asumimos que la tasa de crecimiento es continuo, entonces sabemos que hay una población en la que la tasa de crecimiento es igual a cero como se muestra en la figura. 37-1:

De cierta manera, inmóvil que es investigado por los investigadores, el aumento en densidad hace el índice de natalidad disminuir, el índice de mortalidad al aumento, o ambos. En alguna población, el índice de natalidad iguala el índice de mortalidad y la tarifa de crecimiento resultante es cero. Así, la apretadura puede tener el mismo efecto que limitando el suministro de alimentos. El espacio se puede considerar necesario sostener vivo para ciertas especies. Intentemos modelar matemáticamente este proceso. Generalmente la tarifa de crecimiento (1/N) dN/dt puede no ser constante, pero pudo depender del poulation: (37.1) ¿Qué características matemáticas pudieron la función R (N) tener? La mayoría recordamos que hemos asumido ya que la población es bastante grande de modo que poder modelar N (t) como función continua del tiempo. Así no estamos interesados particulary en R (N) para N extremadamente pequeña. Para las poblaciones moderadas del tamaño, el crecimiento ocurre con solamente limitaciones leves del ambiente del total de la especie; pues N disminuye R (t) debe acercarse a la tarifa de crecimiento sin influencias ambientales. Como los aumentos de población, todavía esperamos adentro crecer, pero a una tarifa más pequeña debido a la limitación en el crecimiento causado por la densidad demográfica creciente. Así R (N) disminuciones como aumentos de N. Para una población mucho más grande, los experimentos demuestran la tarifa de crecimiento para ser negativos (más muertes que nacimientos). Si asumimos que la tarifa de crecimiento es continua, después sabemos que hay una población en quien la tarifa de crecimiento es cero según lo bosquejado en fig. 37-1:

In particular, note that we have not attempted as yet to give a specific model of the growth rate for extremely small populations. However, for simplicity we now model the growth rate for very small populations in the same manner (solid curve). We cannot expect this model to always make accurate predictions if the population ever gets sufficiently small. The simplest function with this property is the straight line, R(N)= ... sketched in Fig. 37-2, yielding the nonlinear first order differential equation know as the logistic equation, (37.2) a is the growth rate without environmental influences, and b represents the effect of increased population density. Note that a and b are positive constants. This model was first investigated by Verhulst in the late 1830s and later "rediscovered" by Pearl and Reed in the 1920s.

Before solving this equation let us indicate a more specific model from which it may arise . If growth was limited by supply of food, then another variable can be introduced equal to some measure of the yearly available food, F_a. Perhaps the growth rate is proportional to the difference between the available food and the food necessary for subsistence level of food consuption, F_c. Under these assumptions, ... Suppose that the available food per year F_a is fixed. The subsistence level of food consumption can be assumed to be proportional to the population, F_c=..

This again yields the logistic equation ....

En particular, tenga en cuenta que no hemos intentado hasta ahora para dar un modelo específico de la tasa de crecimiento de las poblaciones muy pequeñas. Sin embargo, para simplificar el modelo que ahora la tasa de crecimiento de poblaciones muy pequeñas de la misma forma (curva continua). No podemos esperar que este modelo siempre hacer predicciones exactas, si la población alguna vez se lo suficientemente pequeño. La función más simple con esta propiedad es la línea recta, R (N) = ... esbozado en la figura. 37-2, la obtención de la ecuación diferencial no lineal de primer orden deconocido como la ecuación logística, (37,2) a es la tasa de crecimiento sin necesidad de influencias ambientales, y b representa el efecto de la densidad de población aumentó. Tenga en cuenta que A y B son constantes positivas. Este modelo fue investigado por Verhulst en finales de la década de 1830 y posteriormente "redescubierta" por Pearl y Reed en la década de 1920.

Antes de resolver esta ecuación vamos a indicar un modelo más concreto del que pueda surgir. Si el crecimiento se vio limitada por el suministro de alimentos, a continuación, otra variable se puede introducir la igualdad en cierta medida de la disponibilidad de alimentos por año, F_a. Tal vez la tasa de crecimiento es proporcional a la diferencia entre la disponibilidad de alimento y el alimento necesario para el nivel de subsistencia de Consumo de alimentos, F_c. Bajo estos supuestos, ...Supongamos que los alimentos disponibles por año es fijo F_a. El nivel de subsistencia de consumo de alimentos se puede suponer que será proporcional a la población, F_c =..

De nuevo, esto se obtiene la ecuación logística ....

Particularmente, observe que no hemos intentado hasta ahora dar un modelo específico de la tarifa de crecimiento para las poblaciones extremadamente pequeñas. Sin embargo, para la simplicidad ahora modelamos la tarifa de crecimiento para las poblaciones muy pequeñas de manera semejante (curva sólida). No podemos esperar

que este modelo haga siempre predicciones exactas si la población consigue nunca suficientemente pequeña. La función más simple con esta característica es la línea recta, R (N)=… bosquejó en fig. 37-2, rindiendo a la primera orden no linear la ecuación diferencial sepa como la ecuación logística, (37.2) a es la tarifa de crecimiento sin influencias ambientales, y b representa el efecto de la densidad demográfica creciente. Observe que a y b son constantes positivos. Este modelo primero fue investigado por Verhulst en los últimos 1830s y el " posterior; rediscovered" por Pearl y caña en los años 20. Antes de solucionar esta ecuación nos dejó indicar un modelo más específico de el cual puede presentarse. Si el crecimiento fue limitado por la fuente de alimento, después otra variable puede ser igual introducido a una cierta medida del alimento disponible anual, F_a. Quizás la tarifa de crecimiento es proporcional a la diferencia entre el alimento disponible y el alimento necesarios para el nivel de subsistencia de consuption del alimento, F_c. Bajo estas asunciones,… Suponga que el alimento disponible por el año F_a es fijo. El nivel de subsistencia de consumo de alimentos se puede asumir para ser proporcional a la población, F_c=. Esto rinde otra vez la ecuación logística….

The population at which the growth rate is zero is an equilibrium population in the sense that if the population was initially at that value it would stay there. That is, the number of births would exactly offset the number og deaths. Using the logistic model, equation 37.2, the equilibrium populations are N=0 and N=a/b.

Zero population is certainly an an equilibrium population. However, the major interest is in the case in which N=a/b. This is the largest population which the environment can sustain without loss, the so-called carrying capacity of the environment. This theory predicts that the population N=a/b would correspond to Z.P.G. (zero population growth). A question we will answer in the next section is whether this equilibrium population is stable or unstable. That is, if there were more than the equilibrium number, the would the population eventually decrease and approach this equilibrium figure? Also, if there were initially less than this "crowded" population, the population this time increase towards the equilibrium population?

La población en la que la tasa de crecimiento es igual a cero es una población de equilibrio en el sentido de que si la población se estableció inicialmente en que el valor que deberían quedarse allí. Es decir, el número de nacimientos compense exactamente el número de muertes og. Utilizando el modelo logístico, la ecuación 37.2, las poblaciones de equilibrio son: N = 0 y N = A / B.

Cero de la población es sin duda una de la población de equilibrio. Sin embargo, el interés principal es en el caso en el que N = A / B. Esta es la mayor población que el medio ambiente puede sostener sin la pérdida, la denominada capacidad de carga del medio ambiente. Esta teoría predice que la población N = A / B que correspondería a ZPG (cero crecimiento de la población). Una pregunta que responderá en la siguiente sección es la de si esta población de equilibrio es estable o inestable. Es decir, si no hubiera más que el número de equilibrio, el que la población eventualmente disminuir esta cifra y el enfoque de equilibrio? Además, si inicialmente había menos de esta "lleno" de la población, la población de este incremento de tiempo frente a la población de equilibrio?

La población en quien la tarifa de crecimiento es cero es una población del equilibrio en el sentido que si la población estuviera inicialmente en ese valor permanecería allí. Es decir, el número de nacimientos compensaría exactamente las muertes del og del número. Usando el modelo logístico, la ecuación 37.2, las poblaciones del equilibrio es N=0 y N=a/b. La población cero es ciertamente una población del equilibrio. Sin embargo, el interés principal está en el caso en el cual N=a/b. Ésta es la población más grande que el ambiente puede sostener sin pérdida, la capacidad de carga supuesta del ambiente. Esta teoría predice que la población N=a/b correspondería a Z.P.G. (crecimiento demográfico cero). Una pregunta que contestaremos en la sección siguiente es si esta población del equilibrio es estable o inestable. ¿Es decir, si hubiera más que el número del equilibrio, la población eventual disminuiría y se acercaría a esta figura del equilibrio? También, si había inicialmente menos que este " crowded" ¿población, la población este aumento del vez hacia la población del equilibrio?

38) Phase plene solution of the Logistic Equation

The logistic equation, (38.1) describes the environmentally limited growth of a population. In the next section, we will explicitly solve this equation. However, before doing so, let us determine from the differential equation the qualitative features of the solution. The logistic equation is a first-order differential equation that does not explicitly depende on time - i.e., it is autonomous. The solution of first-order autonomous equations can be understood using a phase plane analysis having certain similarities to the approach which we developed concerning vibrating mechanical systems. As in the case, we will be able to determine the qualitative behavior of the solution quite quickly. Graphing dN/dt as function of N, yields Fig. 38.1:

(Hopefully only the right half plane is necessary since n represent the number of the species and must be non-negative.) Only points on the sketched curve correspond to a possible solution. Again arrows are introduce, designating how the solution changes in time. N increases if dN/dt>0 and vice versa.Not surprisingly, this diagram indicates that the model has the desired qualitative behavior. For population less than the equilibrium population, N=a/b, the population increases, and for populations more than the equilibrium, the population decreases. If initially less than the equilibrium, the population continually grows, but we will show it never reaches the equilibrium population. if initially greater than the equilibrium population, the population continually diminishes the equilibrium population, as shown in Fig. 38-2.

38) solución plene fase de la ecuación logística

La ecuación logística, (38,1) describe el crecimiento medio ambiente limitado de la población. En la siguiente sección, explícitamente resolver esta ecuación. Sin embargo, antes de hacerlo, vamos a determinar a partir de la ecuación diferencial de las características cualitativas de la solución. La ecuación logística es una ecuación diferencial de primer orden que no de manera explícita Depende del tiempo - es decir, es autónomo. La solución de ecuaciones de primer orden autónomo puede ser entendido mediante un análisis de plano fase tener ciertas similitudes con el enfoque que hemos desarrollado sobre los sistemas de vibración mecánica. Como en el caso, vamos a ser capaces de determinar el comportamiento cualitativo de la solución muy rápidamente.

Graphing dN / dt como función de N, los rendimientos de la figura. 38,1:

(Esperemos que sólo en el plano mitad derecha es necesaria, ya que n representa el número de las especies y no deben ser negativas.) Sólo los puntos de la curva de trazado corresponden a una posible solución. Otra vez las flechas se introduzcan, la designación de cómo cambia la solución en el tiempo. N aumenta si dn / dt> 0 y viceversa.No es sorprendente que este diagrama indica que el modelo tiene el comportamiento cualitativo deseado. Para la población menor que la población de equilibrio, N = A / B, la población aumenta, y para las poblaciones más que el equilibrio, la población disminuye. Si en un principio menor que el equilibrio, la población crece continuamente, pero vamos a demostrar que nunca llega a la población de equilibrio, como se muestra en la figura. 38-2.

38) Solución del plene de la fase de la ecuación logística La ecuación logística, (38.1) describe el crecimiento ambientalmente limitado de una población. En la sección siguiente, solucionaremos explícitamente esta ecuación. Sin embargo, antes de hacer así pues, déjenos determinan de la ecuación diferencial las características cualitativas de la solución. La ecuación logística es una ecuación diferencial de primer orden que no lo hace explícitamente depende el tiempo - es decir, es autónomo. La solución de ecuaciones autónomas de primer orden se puede entender usando un análisis del plano de fase que tiene ciertas semejanzas al acercamiento que desarrollamos referentes vibrar a sistemas mecánicos. Como en el caso, podremos determinar el comportamiento cualitativo de la solución absolutamente rápidamente. Representación gráfica de dN/dt gráficamente como función de N, fig. 38.1 de las producciones: (Esperanzadamente solamente el plano de la mitad derecha es necesario puesto que n representa el número de la especie y debe ser no negativa.) Solamente los puntos en la curva bosquejada corresponden a una solución posible. Las flechas están otra vez introducen, señalando cómo la solución cambia a tiempo. Aumentos de N si dN/dt> 0 y viceversa. Naturalmente, este diagrama indica que el modelo tiene el comportamiento cualitativo deseado. Para la población menos que la población del equilibrio, N=a/b, los aumentos de población, y para las poblaciones más que el equilibrio, las disminuciones de población. Si inicialmente menos que el equilibrio, la población crece continuamente, solamente la demostraremos que nunca alcanza la población del equilibrio. si inicialmente es mayor que la población del equilibrio, la población disminuye continuamente la población del equilibrio, según las indicaciones de fig. 38-2.

The population level a/b is sometimes called the saturation level, since for larger populations there are more deaths than births.The equilibrium population is clearly stable. This can ve further mathematically demostrated in two equivalent ways.

1) We wish to analyze the solution in the neighborhood of the equilibrium population. If we approximate the phase plane curve in the vicinity of the equilibrium population by a straight line as in Fig. 38-3 (the first two terms of a Taylor series), then we derive the following first-order linear differential equation with constant coefficients: ... were alfa is negative (the negative slope of the curve). It can be more easily solve than the logistic equation, yielding the behavior of the population in the neighborhood of the equilibrium N-a/b=...were N_o is the initial population (close to equilibrium and either less than or greater than the equilibrium population). Explicitly as t tendiendo a infinito , (since alfa<0), N

tiende to a/b, but never reaches it in a finite time. For any initial population (near equilibrium) the displacement tends to zero. The equilibrium population is thus stable!

2) Equivalent to this method, we use linear stability analysis as developed in the discussions of nonlinear vibrations. The equilibrium population is N=a/b. Using the perturbation method, let N=a/b ...... is the displacement from equilibrium and must ve small,..<<a/b, (were epsilon is a small parameter). Substituting this into the logistic equation yields .... or equivalently .... Since ... is small, we neglect the nonlinear term (corresponding to the linearization done geometrically in (1)). Thus ...The solution of this differential equation, ... again shows that the equilibrium population is stable. The exponential decay constant is a. Using the geometric argument, the decay constant was -alfa. However, these values are the same since alfa is the slope of the phase plane curve at N=a/b, ...

El nivel de la población a / b se llama a veces el nivel de saturación, ya que en poblaciones más grandes que hay más muertes que nacimientos.La población es claramente el equilibrio estable. Esto se ve aún más matemáticamente demostrada en dos formas equivalentes.

1) Se desea analizar la solución en el barrio de la población de equilibrio. Si nos aproximamos a la curva plana de fase en las cercanías de la población en equilibrio por una línea recta como en la figura. 38-3 (los dos primeros términos de una serie de Taylor), entonces se derivan los siguientes lineal de primer orden de la ecuación diferencial con coeficientes constantes: ...fueron alfa es negativo (la pendiente negativa de la curva). Puede ser más fácil de resolver que la ecuación logística, la obtención de la conducta de la población en el barrio del equilibrio Na / b =...se N_o es la inicial de la población (cerca del equilibrio y de menor o mayor que la población de equilibrio). Explícitamente como Tendiendo t a infinito, (desde el alfa <0), N tiende a A / B, pero nunca lo alcanza en un tiempo finito. Para cualquier población inicial (cerca del equilibrio), el desplazamiento tiende a cero. La población de equilibrio es, pues, estable!

2) Equivalente a este método, se realizaron análisis de estabilidad lineal como los desarrollados en los debates de las vibraciones no lineales. La población de equilibrio es N = A / B. Utilizando el método de perturbación, sea N = a / b ...... es el desplazamiento del equilibrio y que ve pequeño ,..<< A / B, (se Epsilon es un parámetro pequeño). Sustituyendo esta en la ecuación logística .... o equivalente ....Desde ... es pequeño, descuidamos el término no lineal (correspondiente a la linealización hecho geométricamente en (1)). Por lo tanto ...La solución de esta ecuación diferencial, ... muestra de nuevo que la población de equilibrio es estable. El decaimiento exponencial constante a. Con el argumento geométrico, fue la constante de desintegración alfa. Sin embargo, estos valores son los mismos desde el alfa es la pendiente de la curva plana de fase en N = A / B, ...

El nivel a/b de la población se llama a veces el nivel de la saturación, puesto que para poblaciones más grandes hay más muertes que nacimientos. La población del equilibrio

es claramente estable. Esto puede VE fomentar demostrated matemáticamente de dos maneras equivalentes. 1) Deseamos analizar la solución en la vecindad de la población del equilibrio. Si aproximamos la curva plana de fase en la vecindad de la población del equilibrio por una línea recta como en fig. 38-3 (los primeros dos términos de una serie de Taylor), después derivamos la ecuación diferencial linear de primer orden siguiente con coeficientes constantes: … era la alfa es negativa (la cuesta negativa de la curva). Puede ser soluciona más fácilmente que la ecuación logística, rindiendo el comportamiento de la población en la vecindad del equilibrio N-a/b=… era N_o es la población inicial (cerca de equilibrio y menos que o mayor que la población del equilibrio). Explícitamente como tendiendo de t un infinito, (desde alfa…) ), el tiende de N a a/b, pero nunca lo alcanza en un rato finito. Para cualquier población inicial (cerca de equilibrio) la dislocación tiende a cero. ¡La población del equilibrio es así establo! 2) Equivalente a este método, utilizamos análisis de estabilidad linear según lo convertido en las discusiones de vibraciones no lineares. La población del equilibrio es N=a/b. Usando el método de la perturbación, deje N=a/b… … es la dislocación del equilibrio y debe ser pequeña.

39) Explicit Solution of the logistic Equation

Althought the logistic equation, (39.1) was qualitatively analyzed in the previous section, more precise quantitative behavior may at time be desired. An explicit solution to the logistic equation can be obtained since the equation is separable: ...The method of partial fractions will be successful in integrating this equation. Since ..... integration yields .... were the absolute values in the resulting logarithms can be very important! The arbitrary constant c enables the initial value problem, N(0)=N_o, to be solved. Eliminating c in that way yields .... Since both N and N_o must be positive, (39.2)This equation gives t as a function of N, not a desirable form. Multiplying by a and exponentiating, yields ...a-bN and a-bN_o have the same sign * and hence, ... or equivalently..... (* Initially a-bN_o and a-bN have the same sign. The sign of (a-bN_o)/(a-bN) can change only if there is a finite value of t, such that a-bN=0; that is, if the equilibriumpopulation is reached in a finite time. As we know, this cannot occur. Specifically, if a-bN=0, then equation 39.2, shows... Thus the sign (a-bN_o)/(a-bN) remains positive for all time)

This equation can be solver for N ....or (39.3)As an exercise (see excercise 39.2) shhow how this solution verifies the qualitative results obtained from the phase plane. Specific logístic curves depend on the three parameters a,b, and N_o. One examples is sketched in Fig. 39-1:

Laboratory experiments, for examples, on the growth of yeast in a culture and on the growth of paramecium, have indicated good quantitative agreement to logistic curves.

39) solución explícita de la ecuación logística

Aunque la ecuación logística, (39.1) fue cualitativamente analizados en la sección anterior, el comportamiento cuantitativa más precisa posible en el momento que desear. Una solución explícita a la ecuación logística se puede obtener ya que la ecuación es separable: ...El método de fracciones parciales tendrá éxito en la integración de esta ecuación. Desde ..... los rendimientos de integración .... fueron los valores absolutos de los logaritmos resultante puede ser muy importante para nosotros!La constante C arbitraria permite al problema de valor inicial, N (0) = N_o, para ser resuelto. La eliminación de c en que los rendimientos de manera ....Dado que tanto N y N_o debe ser positivo, (39,2)Esta ecuación da t en función de N, no una forma deseable. Multiplicando por A y exponenciación, el rendimiento ... un-BN y A-bN_o tienen el mismo signo * y, por tanto, ... o equivalentemente ..... (* Inicialmente bN_o-y un-BN tiene el mismo signo. El signo de (A-bN_o) / (a-BN) sólo puede cambiar si hay un valor finito de T, de tal manera que a-BN = 0; que el Es decir, si el equilibriumpopulation se alcanza en un tiempo finito. Como sabemos, esto no puede ocurrir. En concreto, si un-BN = 0, entonces la ecuación 39.2, espectáculos ... Así, el signo (a-bN_o) / (a-BN ) sigue siendo positiva para todos los tiempos)

Esta ecuación se puede Solver para N .... o (39,3)Como un ejercicio (véase excercise 39,2) shhow cómo esta solución verifica los resultados cualitativos obtenidos desde el plano de fase. Curvas logísticas específicas dependen de los tres parámetros a, b, y N_o. Uno de los ejemplos se esquematiza en la figura. 39-1:

Los experimentos de laboratorio, por ejemplo, en el crecimiento de la levadura en una cultura y en el crecimiento de paramecio, han indicado buena concordancia cuantitativa de las curvas logísticas.

39) Solución explícita de la ecuación logística Aunque la ecuación logística, (39.1) fuera analizada cualitativo en la sección anterior, un comportamiento cuantitativo más exacto puede en el tiempo ser deseado. Una solución explícita a la ecuación logística puede ser obtenida puesto que la ecuación es separable: … El método de fracciones parciales será acertado en la integración de esta ecuación. Puesto que ..... la integración rinde…. ¡eran los valores absolutos en los logaritmos resultantes pueden ser muy importantes! El constante arbitrario c permite al problema de valor inicial, 0) =N_o de N (, ser solucionado. La eliminación de c de esa manera rinde…. Desde N y N_o debe ser positivo, (39.2) Esta ecuación da t en función de N, no una forma deseable. Multiplicándose por a y exponentiating, los uno-bN de las producciones… y el a-bN_o tienen la misma muestra * y por lo tanto,… o equivalente ..... (* inicialmente el a-bN_o y los uno-bN tienen la misma muestra. Muestra de ()/(del a-bN_o los uno-bN) pueden cambiar solamente si hay un valor finito de t, tales que a-bN=0; es decir, si el equilibriumpopulation se alcanza en un rato finito. Como sabemos, esto no puede ocurrir. Específicamente, si a-bN=0, entonces ecuación 39.2, demuestra… Así muestra ()/(del a-bN_o los uno-bN) sigue siendo positivo por toda la hora) Esta ecuación puede ser disolvente para N….o (39.3) Como shhow del ejercicio (véase el ejercicio 39.2) cómo esta solución verifica los resultados cualitativos obtenidos del plano de fase. Las curvas logístic específicas dependen de los tres parámetros a, b, y N_o. Los ejemplos uno se bosquejan en fig. 39-1: Los experimentos del laboratorio, por ejemplos, en el

crecimiento de la levadura en una cultura y en el crecimiento del paramecium, han indicado el buen acuerdo cuantitativo a las curvas logísticas.