Trabajos pr´acticos - carina.fcaglp.unlp.edu.ar

Capıtulo 13

Trabajos practicos

13.1. Transformaciones canonicas

13.1.1. Ejercicio 1

Enunciado1: Ilustrar la naturaleza de las transformaciones canonicas y el rol de la funciongeneratriz.

Dada la funcion generatriz F1 = mω2 q

2 · cotg(Q), con m y ω constantes, aplicar la trans-formacion canonica al oscilador armonico:

H =p2

2m+k · q22

,

con ω2 = km.

Notar que el nuevo hamiltoniano es cıclico en la coordenada, permitiendo la integracioninmediata del sistema, llegando a la solucion conocida:

q =√

2E/mω2 · sin(ωt+ α),

E energıa constante.Resolucion: (ver Vucetich pag. 21 ) El oscilador armonico: se llama ası a un sistema con-

stituido de una partıcula sobre la que actua una fuerza externa proporcional al apartamientode un punto que tomaremos como origen:

F = −k · xen donde k es la constante de proporcionalidad. Supondremos que el movimiento se efectuaa lo largo del eje x.

La ecuacion diferencial del movimiento se obtiene de la 2a ley de Newton:

mx = −k · xo tambien:

x+ ω2 · x = 0 (13.1)

en donde ω2 = km

es el cuadrado de la pulsacion o frecuencia angular del oscilador.

1Para ser entregado.

149

150 CAPITULO 13. TRABAJOS PRACTICOS

Existe un metodo muy elegante para resolver la ecuacion (13.1), debido a d’Alembert.Ecuaciones diferenciales como esta, donde la funcion incognita y sus derivadas aparecen ele-vadas solo a la primera potencia, se llaman ecuaciones diferenciales lineales. Para ellas valeel principio de superposicion: una combinacion lineal de soluciones de una ecuacion linealtambien es solucion de la ecuacion.

Buscaremos, pues, soluciones particulares de (13.1) y luego tomaremos combinacioneslineales para hallar la solucion general. La propuesta de d’Alembert es buscar solucionesparticulares de forma exponencial:

x = Aeλ·t

en donde λ es un parametro a determinar.

Sustituyendo en (13.1) hallamos la ecuacion caracterıstica:

λ2 + ω2 = 0

cuyas soluciones son:

λ = ±iω. (13.2)

Hemos obtenido dos soluciones independientes de (13.1), que corresponden a los dos signosen (13.2), y la solucion general la obtenemos en la forma:

x = Aeiω·t +Be−iω·t

y como x debe ser real (esto es x = x∗, y para probarlo en la expresion anterior utilizamosque el conjugado de un producto es el producto de los conjugados) las constantes complejasdeben cumplir A = B∗. La constante A puede obtenerse a partir de las condiciones iniciales:

x(0) = x0x(0) = v0

y un calculo sencillo conduce a:

A =1

2

(

x0 − iv0ω

)

.

Una forma compacta de la solucion la obtenemos escribiendo:

A =1

2· Ceiφ

donde la amplitud C y la fase φ se expresan en funcion de las condiciones iniciales:

Nota: recordar la forma exponencial de un numero complejo por medio de la formu-la de Euler.

C2 = x20 +v20ω2

tan(φ) = − v0x0·ω

.

13.1. TRANSFORMACIONES CANONICAS 151

Nota : distincion de casos para el despeje de la fase, c = a+ bi:

φ =

arctan( ba) si a > 0

arctan( ba) + π si a < 0 y b ≥ 0

arctan( ba)− π si a < 0 y b < 0

+π2 si a = 0 y b > 0

−π2 si a = 0 y b < 0

indefinido si a = 0 y b = 0.

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex number

De esta manera obtenemos la expresion habitual de la elongacion del oscilador:

x = C · cos(ω · t+ φ).

Esta ultima ecuacion muestra con claridad el caracter oscilatorio del movimiento.Ahora, luego de haber presentado al oscilador armonico y resuelto el mismo por medio de

las leyes de Newton, buscaremos su solucion pero como el ejercicio indica, por medio de otrometodo alternativo, las transformaciones canonicas.

(ver Goldstein pag. 473 ) La hamiltoniana para este problema en funcion de las coorde-nadas usuales es

H =p2

2m+mω2 · q2

2.

Esta hamiltoniana expresada en forma de suma de dos cuadrados, sugiere una transforma-cion en la cual H sea cıclica en la nueva coordenada. Si pudieramos hallar una transformacioncanonica que ligue las variables viejas y nuevas de la forma

p = f(P ) · cos(Q)

q = f(P )mω

· sen(Q),(13.3)

la nueva hamiltoniana en funcion de Q y P serıa, simplemente,

K = H =f2(P )

2m,

con lo que Q resulta ser cıclica. El problema estriba en hallar la forma de la funcion f(P )aun no especificada, tal que la transformacion sea canonica.

El cociente de las dos ecuaciones (13.3) da la relacion

p = mω · q · cot(Q), (13.4)

independiente de f(P ). La ecuacion (13.4) tiene la forma del tipo F1 de funciones generatrices,

p =∂F1(q,Q)

∂q,


y la solucion mas sencilla de F1 correspondiente a la ecuacion (13.4) es (podrıamos tener untermino aditivo que dependiese de Q, pero al mismo lo elegimos igual a cero, para considerarcomo se especifico, la funcion mas sencilla):

F1 =mω

2q2 · cotg(Q)

(enunciado de la practica).La ecuacion

P = −∂F1

∂Q=

mω · q22 · sen2(Q)

proporciona entonces la otra mitad de las ecuaciones de transformacion.Despejando q tenemos

q =

√

2P

mω· sen(Q),

y comparandola con la ecuacion (13.3) vemos que la unica forma que puede tener f(P ) paraque lleve a una transformacion canonica es

f(P ) =√2m · ω · P .

Se deduce entonces que la hamiloniana con variables transformadas es

K = ω · P. (13.5)

Como la nueva hamiltoniana es cıclica en Q, la cantidad de movimiento conjugada Psera constante. En la ecuacion (13.5) vemos que P = E/ω.

La ecuacion de movimiento para Q se reduce a la forma sencilla

Q =∂K

∂P= ω,

que tiene la solucion inmediata

Q = ω · t+ α,

donde α es una contante de integracion fijada por las condiciones iniciales. Segun la ecuacion

q =√

2Pmω

· sen(Q), la solucion para q es

q =

√

2E

mω2· sen(ω · t+ α).

Veamos que las expresiones finales segun la resolucion por transformaciones canonicasy por resolucion directa de la aplicacion de las leyes de Newton, son equivalentes,para ello consideremos la amplitud y veamos si coinciden.

C =

√

2E

mω2=

√

2 · 12 ·(

m · v20 + k · x20)

mω2=

√

x20 +v20ω2.

Tenemos aquı un ejemplo sencillo de como puede reducirse la hamiltoniana a una formacıclica en todas las coordenadas por medio de transformaciones canonicas.

13.2. ECUACION DE HAMILTON-JACOBI 153

13.2. Ecuacion de Hamilton-Jacobi

13.2.1. Ejercicio 2

Enunciado2: Ejemplo de aplicacion de la tecnica de Hamilton–Jacobi para obtener elmovimiento de sistemas mecanicos.

Aplicar el metodo de Hamilton–Jacobi para resolver el problema del oscilador armonico.Resolucion: (ver Vucetich pag. 290, Goldstein pag. 538 ) A fin de ilustrar la tecnica

de Hamilton–Jacobi para resolver el movimiento de sistemas mecanicos desarrollaremos endetalle el sencillo problema (porque se puede aplicar separacion de variables) del osciladorarmonico unidimensional. La hamiltoniana es

H =1

2m

(

p2 +m2ω2q2)

≡ E

(ya que dHdt

= 0) donde, como sabemos del ejercicio anterior, ω =√

km, siendo k la constante

de rigidez (proporcionalidad). La ecuacion de Hamilton–Jacobi para S se obtiene haciendop = ∂S

∂qy sustituyendo en la hamiltoniana; el requisito que se anule la nueva hamiltoniana

(recordemos que lo que estamos pidiendo es que las nuevas variables sean constantes en eltiempo, lo cual podemos lograr si exigimos que la nueva hamiltoniana sea identicamente nula,por lo tanto como K = H + ∂F

∂t, en nuestro caso esta ecuacion toma la forma H + ∂F

∂t= 0

que es la ecuacion de Hamilton–Jacobi para la funcion principal de Hamilton F = S) quedaen la forma

1

2m

[

(

∂S

∂q

)2

+m2ω2q2

]

= −∂S∂t,

donde observamos que la derivada con respecto al tiempo aparece aislada en el segundomiembro. Esto sugiere ensayar una solucion de la forma:

S(q, , α, t) = T (t) +W (q, α),

y por lo tanto

1

2m

(

∂W

∂q

)2

+1

2mω2q2 = −dT

dt.

El primer miembro es solo funcion de q; el segundo, solo de t y para que la ecuacion puedasatisfacerse para un par q, t arbitrario, ambos miembros deben ser iguales a una constante:

1

2m

(

∂W

∂q

)2

+1

2mω2q2 = α (13.6)

dT

dt= −α.

Notemos que de la primera ecuacion tenemos H = E = α, es decir, identificamos laconstante que utilizamos para el proceso de separacion de variables con la energıa total delsistema.

La ecuacion (13.6) puede integrarse inmediatamente dando

2Para ser entregado.


W =√2mα

∫

dq

√

1− mω2q2

2α

con lo que

S =√2mα

∫

dq

√

1− mω2q2

2α− αt.

La integral para W puede calcularse analıticamente, pero no es necesario hacerlo, pues solonecesitaremos las derivadas parciales de W respecto de q (para encontrar los viejos impulsos)y de la constante α (para encontrar las nuevas coordenadas).

Siguiendo con el procedimiento, identificamos α con el nuevo impulso (estamos en unproblema unidimensional) y la nueva coordenada es la constante β:

∂S

∂α= β =

√

m

2α

∫

dq√

1− mω2q2

2α

− t

que puede integrarse sin dificultad dando

t+ β =1

ωarcsen

(

q

√

mω2

2α

)

la cual podemos invertir (si el jacobiano de la transformacion es no singular, lo cual se cumplesiempre en el caso separable– ver Goldstein pag. 536, nota al pie) para dar en forma inmediataa q como funcion del tiempo y de las dos constantes de integracion α y β:

q =

√

2α

mω2sen (ω(t+ β)) , (13.7)

que es la conocida solucion del oscilador armonico.Para completar la historia, como ya hemos mencionado, la obtencion de la cantidad de

movimiento por medio de la constante α sale desde un punto de vista formal, de la ecuacionde transformacion

p =∂S

∂q=∂W

∂q=√

2mα−m2ω2q2

y teniendo en cuenta la ecuacion (13.7), resulta

p =√

2mα[(1 − sen2(ω(t+ β))],

o sea,

p =√2mα · cos(ω(t+ β)). (13.8)

Desde luego, este resultado comprueba la sencilla identificacion de p con mq.Que hemos aprendido hasta aquı, que la funcion principal de Hamilton es el generador de

una transformacion canonica a una nueva coordenada que mide la fase de la oscilacion (ωβ =φ) y a una nueva cantidad de movimiento canonica que se identifica con la energıa (E) –dondehemos aplicado la tecnica general de pedir que la nueva hamiltoniana sea equivalentementenula.


Ademas, en todos los sistemas conservativos, como el que acabamos de ver, el tiempo puedesepararse de las coordenadas ensayando una sustitucion de la forma (y ası procedamos a re-solver nuevamente el problema pero por medio de una tecnica menos general, la de buscar quela nueva hamiltoniana sea una funcion de la nueva cantidad de movimiento exclusivamente,con esto completaremos el objetivo de explotar con cuanto metodo de resolucion conocemosun problema sencillo como lo es el oscilador armonico –d’Alembert, simetrıa + T.C., tecnicageneral tal que K ≡ 0 donde F2 = S y tecnica menos general tal que K ≡ P donde F2 =W ):

S = −Et+W (qi, αi)

que conduce a la ecuacion diferencial:

H

(

qi,∂W

∂qi

)

= E

donde la funcion W (qi, αi) es la funcion caracterıstica de Hamilton, la cual genera una trans-formacion canonica tal que el nuevo hamiltoniano es solo funcion del momento P1 = E:K = E(αi) = P1 y por lo tanto Q1 = t+ η con η una constante. Para ver esto en forma masexplıcita, tomemos el ejemplo del oscilador armonico, el hamiltoniano recordemos, tenıa laforma

H =1

2m

(

p2 +m2ω2q2)

,

si reemplazamos las ecuaciones (13.7) y (13.8) en el mismo, nos encontramos con K = α.Ahora bien, por medio de la teorıa de Hamilton–Jacobi, encontramos una transformacioncanonica tal que el nuevo hamiltoniano es equivalente al nuevo impulso, cuando en el ejercicioanterior, de forma mas artesanal habıamos encontrado que el nuevo hamiltoniano eraK = wP .Esta ultima transformacion era producto de nuestro ingenio para explotar la simetrıa polardel oscilador armonico en el espacio de las fases, es en este sentido que encontramos ciertasemejanza entre la transformacion generada por Hamilton–Jacobi y la transformacion “polar”que habıamos encontrado antes. La diferencia es que ahora desplazamos nuestro ingenio paradescubrir simetrıas ocultas en seguir paso a paso un metodo (en otras palabras, antes debıamosmagica o genialmente encontrar la funcion generatriz, ahora la misma es la solucion de unaecuacion diferencial, base del metodo). Hemos encontrado una “generalizacion”, una tecnica.Sin embargo, este sistema nos es util cuando el problema se puede escribir en variables quesean separables, limitacion profunda al metodo.

Por ultimo debemos relacionar las constantes α y β con las condiciones iniciales q0 y p0en el instante t = 0. Elevando al cuadrado las ecuaciones (13.7) y (13.8) vemos que α vienedada en funcion de las condiciones iniciales a traves de la ecuacion

2mα = p02 +m2ω2q0

2.

El mismo resultado se tiene inmediatamente, desde luego, al identificar α con la energıa totalE = T0 + V0 que se conserva, tal como hicimos anteriormente. Por otro lado, la constante defase β esta relacionada con q0 y p0 por la expresion

tg(ωβ) = mωq0p0.


Podemos agregar para completar el problema, el significado de la funcion principal deHamilton S en terminos de una cantidad ya conocida.

Si sustituimos en

S =√2mα

∫

dq

√

1− mω2q2

2α− αt

la solucion

q =

√

2α

mω2sen (ω(t+ β)) ,

la funcion principal de Hamilton podra escribirse como

S = 2α

∫

cos2(ω(t+ β))dt − αt = 2α

∫[

cos2(ω(t+ β))− 1

2

]

dt.

Por otro lado la lagrangiana es:

L =1

2m

(

p2 −m2ω2q2)

= α[

cos2(ω(t+ β))− sen2(ω(t+ β))]

= 2α

[

cos2(ω(t+ β))− 1

2

]

,

con lo que S es la integral temporal de la lagrangiana: S =∫

Ldt + cte. Notemos que nose podrıa probar la identidad hasta despues de haber obtenido la solucion del problema. Esdecir, solo es una solucion formal del problema, ya que para integrar la lagrangiana necesitoconocer de antemano como dependen las coordenadas y los impulsos canonicos con el tiempo,lo cual no es mas ni menos que la solucion que ando buscando.

Consultas

Como llegar a la expresion tg(ωβ) = mω q0p0?

Sabemos que

q =

√

2α

mω2sen (ω(t+ β)) , (13.9)

p =√2mα · cos(ω(t+ β)) (13.10)

son las soluciones al problema, entonces, evaluando (13.9) y (13.10) a t = 0, esto es, inicial-mente, nos quedan las expresiones

p0 =√2mα · cos(ωβ)

q0 =

√

2α

mω2· sen(wβ).

Haciendo el cociente entre q0 y p0 (esto es, basicamente, sacar la pendiente del vector(q, p) en el instante inicial), tendremos:

q0p0

=tg(ωβ)

mω


para finalmente llegar a lo que querıamos:

tg(ωβ) = mωq0p0.

La ecuacion de Hamilton–Jacobi (H–J) puede resolverse para otros sistemasque no sean separables?

La ecuacion de Hamilton Jacobi es una ecuacion en derivadas parciales no lineal de primerorden, con (n+1) variables, q1, ..., qn; t, para la funcion generatriz de tipo 2 llamada S, por lotanto su resolucion tiene todas las complicaciones que este tipo de ecuaciones puedan plantear,sin embargo es muy util cuando se puede aplicar separacion de variables (las condicionessuficientes para que un sistema sea separable son denominadas condiciones de Staekel, verGoldstein pag. 551 ), permitiendo identificar en forma inmediata constantes de movimiento(son las constantes en el proceso de separacion de variables, en nuestro caso recordemos queera α = Energia).

Por ejemplo, para el caso de sistemas conservativos, el hamiltoniano no depende explıcita-mente del tiempo, entonces se puede aplicar separacion de variables, proponiendo una solucionde la forma (lo que hicimos con el oscilador armonico): S = W (q1, ..., qn) − Et, entonces laecuacion de H–J nos queda:

H

(

~q,∂S

∂~q

)

= E

que es conocida como al ecuacion de H–J para la funcion caracterıstica de Hamilton W ,recordemos que la dependencia de S con las coordenadas generalizadas qi es exlusivamentevıa W .

Otros casos para separacion de variables (ver Wikipedia, Hamilton-Jacobi equation):La separabilidad de S depende tanto del hamiltoniano como de la eleccion de las coorde-

nadas generalizadas. Para coordenadas ortogonales y hamiltonianos que no tienen dependenciatemporal y son cuadraticos en los momentos, S sera totalmente separable si el potencial esaditivo separadamente en cada coordenada, donde el termino del potencial que acompana acada coordenada esta multiplicado por un factor que depende de la coordenada en la for-ma que tiene el termino del momento en el hamiltoniano (condiciones de Staekel). Para suilustracion, hay algunos ejemplos a continuacion en coordenadas ortogonales.

Ejemplo para coordendas esfericas:

El hamiltoniano en coordenadas esfericas puede escribirse como

H =1

2m

[

p2r +p2θr2

+p2φ

r2 sin2 θ

]

+ U(r, θ, φ).

La ecuacion de Hamilton–Jacobi es completamente separable en este sistema si tenemosuna U con una forma analoga a la siguiente

U(r, θ, φ) = Ur(r) +Uθ(θ)

r2+

Uφ(φ)

r2 sin2 θ

donde Ur(r), Uθ(θ) y Uφ(φ) son funciones arbitrarias. Substituyendo la solucion completa-mente separable S = Sr(r) + Sθ(θ) + Sφ(φ)− Et en la ecuacion H–J, obtenemos


1

2m

(

dSrdr

)2

+Ur(r)+1

2mr2

[

(

dSθdθ

)2

+ 2mUθ(θ)

]

+1

2mr2 sin2 θ

[

(

dSφdφ

)2

+ 2mUφ(φ)

]

= E.

Esta ecuacion puede ser resuelta por integraciones sucesivas de ecuaciones diferencialesordinarias, comenzando con la ecuacion en φ

(

dSφdφ

)2

+ 2mUφ(φ) = Γφ

donde Γφ es una constante de movimiento que elimina la dependencia en φ de la ecuacion deHamilton–Jacobi

1

2m

(

dSrdr

)2

+ Ur(r) +1

2mr2

[

(

dSθdθ

)2

+ 2mUθ(θ) +Γφ

sin2 θ

]

= E.

La siguiente ecuacion diferencial ordinaria involucra la coordenada generalizada θ

(

dSθdθ

)2

+ 2mUθ(θ) +Γφ

sin2 θ= Γθ

donde Γθ es nuevamente una constante de movimiento que elimina la dependencia en θ yreduce la ecuacion de Hamilton–Jacobi a esta ultima ecuacion diferencial

1

2m

(

dSrdr

)2

+ Ur(r) +Γθ

2mr2= E,

cuya integracion completa la solucion para S.

Ejemplo para coordenadas cilındricas elıpticas:

El hamiltoniano en coordenadas cilındricas elıpticas puede ser escrito como

H =p2µ + p2ν

2ma2(

sinh2 µ+ sin2 ν) +

p2z2m

+ U(µ, ν, z)

donde los focos (geometricos) de las elipses estan ubicados a ±a sobre el eje x. La ecuacionde Hamilton–Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre y cuando el Utenga una forma analoga a

U(µ, ν, z) =Uµ(µ) + Uν(ν)

sinh2 µ+ sin2 ν+ Uz(z)

donde Uµ(µ), Uν(ν) y Uz(z) son funciones arbitrarias. Substituyendo la solucion completa-mente separable S = Sµ(µ) + Sν(ν) + Sz(z) − Et en la ecuacion de Hamilton–Jacobi nosda

1

2m

(

dSzdz

)2

+Uz(z)+1

2ma2(

sinh2 µ+ sin2 ν)

[

(

dSµdµ

)2

+

(

dSνdν

)2

+ 2ma2Uµ(µ) + 2ma2Uν(ν)

]

= E.


Separando la primera de las ecuaciones diferenciales ordinarias

1

2m

(

dSzdz

)2

+ Uz(z) = Γz,

nos ofrece la ecuacion de Hamilton–Jacobi reducida (luego de acomodar y multiplicar a amboslados por el denominador):

(

dSµdµ

)2

+

(

dSνdν

)2

+ 2ma2Uµ(µ) + 2ma2Uν(ν) = 2ma2(

sinh2 µ+ sin2 ν)

(E − Γz)

que puede ser separada en dos ecuaciones diferenciales ordinarias independientes,

(

dSµdµ

)2

+ 2ma2Uµ(µ) + 2ma2 (Γz − E) sinh2 µ = Γµ

(

dSνdν

)2

+ 2ma2Uν(ν) + 2ma2 (Γz − E) sin2 ν = Γν

que, cuando son resueltas, proveen una solucion completa para S.

Ejemplo para coordenadas cilındricas parabolicas:

El Hamiltoniano en coordenadas cilındricas parabolicas puede ser escrito como:

H =p2σ + p2τ

2m (σ2 + τ2)+

p2z2m

+ U(σ, τ, z).

La ecuacion de Hamilton–Jacobi es completamente separable en estas coordenadas si elpotencial U tiene una forma analoga a

U(σ, τ, z) =Uσ(σ) + Uτ (τ)

σ2 + τ2+ Uz(z)

donde Uσ(σ), Uτ (τ) y Uz(z) son funciones arbitrarias. Substituyendo la solucion completa-mente separable S = Sσ(σ) + Sτ (τ) + Sz(z) − Et en la ecuacion de Hamilton–Jacobi, nosda

1

2m

(

dSzdz

)2

+ Uz(z) +1

2m (σ2 + τ2)

[

(

dSσdσ

)2

+

(

dSτdτ

)2

+ 2mUσ(σ) + 2mUτ (τ)

]

= E.

Separando la primera de las ecuaciones diferenciales ordinarias

1

2m

(

dSzdz

)2

+ Uz(z) = Γz,

nos ofrece la ecuacion de Hamilton–Jacobi reducida (luego de acomodar y multiplicar a amboslados por el denominador):

(

dSσdσ

)2

+

(

dSτdτ

)2

+ 2mUσ(σ) + 2mUτ (τ) = 2m(

σ2 + τ2)

(E − Γz)


la cual puede ser separada en dos ecuaciones diferenciales ordinarias independientes

(

dSσdσ

)2

+ 2mUσ(σ) + 2mσ2 (Γz − E) = Γσ

(

dSτdτ

)2

+ 2ma2Uτ (τ) + 2mτ2 (Γz − E) = Γτ

que, cuando son resueltas proveen una solucion completa para S.

De la expresion β =√

m2α

∫

dq√

1−mω2q2

2α

− t, como se ve que β sea constante?

β es constante porque ası lo exigimos nosotros en H–J, lo que tenemos arriba es unaecuacion, no la definicion de lo que es β, en otras palabras, la ecuacion la podemos interpretarpara la funcion q que es la que buscamos como respuesta al problema (y ası interpretar laecuacion como el propio metodo sugiere), por lo tanto lo que nos esta diciendo es que q(α, β, t),con (por como lo pedimos) α y β constantes.

Como llegar a la expresion β =√

m2α

∫

dq√

1−mω2q2

2α

− t?

Al derivar la funcion principal de Hamilton S respecto de la constante α utilizando reglade la cadena y derivacion bajo el signo integral (regla de Leibniz), llegamos a la siguienteecuacion:

β =∂S

∂α=

√

m

2α·∫

√

1− mω2

2αq2dq +

√

mα

2·(

mω2

2α2

)

·∫

q2√

1− mω2

2α q2dq − t.

Tomemos en primera instancia la integral

∫

q2√

1− mω2

2α q2dq

y resolvamosla:

∫

q2√

1− mω2

2α q2dq =

(

mω2

2α

)− 12∫

q2√

(

mω2

2α

)−1− q2

dq,

haciendo uso de

∫

q2√

a2 − q2dq = −q

√

a2 − q2

2+a2

2arcsin

(q

a

)

(13.11)

y de

∫

√

a2 − q2dq =q√

a2 − q2

2+a2

2arcsin

(q

a

)

, (13.12)


podemos llegar a relacionar las integrales (13.11) y (13.12) de la forma:

∫

q2√

a2 − q2dq =

∫

√

a2 − q2dq − q√

a2 − q2,

y ası, en nuestro caso obtenemos:

∫

q2√

(

mω2

2α

)−1− q2

dq =

∫

√

(

mω2

2α

)−1

− q2dq − q

√

(

mω2

2α

)−1

− q2,

con a2 = 2αmω2 .

Ahora recordemos, que el termino que contenıa la integral que acabamos de tratar era

√

mα

2·(

mω2

2α2

)

·∫

q2√

1− mω2

2α q2dq,

entonces multiplicamos por las constantes correspondientes, y ası este termino de la ecuacionnos queda

√

mα

2·(

mω2

2α2

)

·(

mω2

2α

)− 12

∫

√

(

mω2

2α

)−1

− q2dq − q

√

(

mω2

2α

)−1

− q2

,

luego β tendra la forma:

β =

√

m

2α·∫

√

1− mω2

2αq2dq +

mω

2α

∫

√

(

mω2

2α

)−1

− q2dq − q

√

(

mω2

2α

)−1

− q2

− t,

donde vemos que los terminos que contienen a las integrales son iguales (sacar factor comuna−2 en la primera integral). Por lo tanto, llegamos a:

β =mω

α·∫

√

(

mω2

2α

)−1

− q2dq − mω

2α· q

√

(

mω2

2α

)−1

− q2 − t. (13.13)

A esta altura usamos las siguientes expresiones:

∫

1√

a2 − q2dq = arcsin

(q

a

)

,

∫

√

a2 − q2dq =q√

a2 − q2

2+a2

2arcsin

(q

a

)

,

podemos escribir:

∫

√

a2 − q2dq =q√

a2 − q2

2+a2

2

∫

1√

a2 − q2dq.

Aplicando esta ultima relacion a la integral


∫

√

(

mω2

2α

)−1

− q2dq

que aparece en la expresion del β, ecuacion (13.13), nos encontramos con lo siguiente:

∫

√

(

mω2

2α

)−1

− q2dq =q√

2αmω2 − q2

2+

2αmω2

2·∫

dq√

2αmω2 − q2

, (13.14)

y reemplazando (13.14) en (13.13), luego de algunos pasos algebraicos, obtenemos lo quebuscabamos:

β =

√

m

2α

∫

dq√

1− mω2q2

2α

− t

13.2.2. Ejercicio 3

Enunciado: Ejemplo de resolucion de la ecuacion de Hamilton–Jacobi por separacion devariables.

Resolver utilizando el metodo de separacion de variables la ecuacion de Hamilton–Jacobipara el movimiento de una partıcula en un plano bajo la accion de una fuerza central:

H =1

2m

(

pr2 +

pψ∗2r2

)

+ V (r)

y obtener la ecuacion de la orbita.

Resolucion: (ver Goldstein pag. 552 ) Veremos entonces el problema de fuerzas centrales.Consideremos primeramente el problema de la fuerza central escrito en coordenadas polares(r, ψ∗) en el plano de la orbita, lo cual se debe a que como tenemos solo fuerzas centralesintervinientes, se conserva el momento angular total ~L, es decir,

d~L

dt= ~τ = ~r × F · r = 0,

por ser ~F una fuerza central y ası tenemos tres constantes de movimiento dadas por lastres componentes cartesianas del momento angular total. El movimiento tiene entonces solodos grados de libertad y la hamiltoniana adopta la forma dada en el enunciado (tomandoadecuadamente como sistema aquel cuyo eje polar tiene por direccion y sentido el del momentoangular total):

H =1

2m

(

p2r +p2ψ∗r2

)

+ V (r),

que notemos, resulta cıclica en ψ∗. Como consecuencia, la funcion caracterıstica de Hamiltones (se puede aplicar separacion de variables y aparte una de ellas es cıclica):

W =W1(r) + αψ∗ψ∗,


donde αψ∗ es el momento angular constante pψ∗, variable conjugada de ψ∗. La ecuacion deHamilton-Jacobi tiene entonces la siguiente forma:

1

2m

[

(

∂W

∂r

)2

+

(

∂W

∂ψ∗

)2

· 1

r2

]

+ V (r) = H,

(

dW1

dr

)2

+α2ψ∗

r2+ 2m · V (r) = 2m · α1,

donde α1 es la constante que se identifica fısicamente con la energıa total del sistema.

Luego tendremos

dW1

dr=

√

2m · (α1 − V (r))−α2ψ∗

r2,

con lo que la expresion completa para la funcion caracterıstica de Hamilton es:

W =

∫

√

2m · (α1 − V (r))−α2ψ∗

r2dr + αψ∗ψ ∗ .

Antes de continuar recordemos las ecuaciones de transformacion, dadas por:

Q1 = t+ β1 ≡∂W

∂α1,

Qi = βi = pi ≡∂W

∂αi, i 6= 1,

y que venıan de las ecuaciones de movimiento para la variable angular, las cuales resultabanser (tecnica menos general):

Q1 =∂K

∂α1= 1,

Qi =∂K

∂αi= 0, i 6= 1.

Ahora, las ecuaciones de transformacion para este caso especıfico son:

t+ β1 =∂W

∂α1=

∫

mdr√

2m · (α1 − V (r))− α2ψ∗

r2

, (13.15)

y

β2 =∂W

∂αψ∗= −

∫

αψ∗dr

r2 ·√

2m · (α1 − V (r))− α2ψ∗

r2

+ ψ∗, (13.16)

que salen de aplicar la regla de Leibniz (derivacion bajo el signo integral3). La ecuacion 13.15nos da r como funcion de t y concuerda con la solucion correspondiente a:

3Que en nuestro caso se reduce a ∂∂z

∫f(x, z)dx =

∫∂f(x,z)∂z

dx.


t =

∫ r

r0

dr√

2m

·(

E − V (r)− l2

2m·r2

)

.

Claro esta que si en 13.15 escribimos explıcitamente α1 y αψ∗ como E y l, respectivamente.Quedan por analizar las restantes ecuaciones de transformacion para Qi, pero en este casosolamente tenemos la ecuacion 13.16, la cual proporciona la ecuacion de la orbita. Es decir,si en 13.16 efectuamos el cambio de variable u = 1

r, resulta

ψ∗ = β2 +

∫

du√

2mα2ψ∗[α1 − V ( 1

u)]− u2

que concuerda con la ecuacion:

θ = θ0 −∫ u

u0

du√

2m·El2

− 2m·V ( 1u)

l2− u2

si identificamos ψ∗ con θ y β2 con θ0.Sin embargo, examinemos el mismo problema de fuerza central pero en coordenadas esferi-

cas, es decir, ignorando lo que dice el enunciado sobre tratar el problema en el plano (claroesta, serıa obviar nuestro conocimiento previo de que la orbita es plana y ası tomaremos unsistema de coordenadas esfericas cuyo eje polar apunte en una direccion arbitraria).

Para este caso la hamiltoniana apropiada es de la forma:

H =1

2m

(

p2r +p2ψr2

+p2φ

r2 sin2 ψ

)

+ V (r),

la cual sale de considerar lo siguiente:

T =mv2

2=m

2·(

r2 + r2 sin2(ψ)φ2 + r2ψ2)

,

entonces como T+V = H en nuestro caso y ademas las cantidades conjugadas estan definidasen variables esfericas para este problema como:

pr = mr,

pψ = mψr2,

pφ = mφr2 sin2 ψ,

(lo cual, recordemos, surge de la propia definicion de los impulsos generalizados en elmarco de la formulacion lagrangiana: pj =

∂L∂qj

) para tener finalmente:

H = T +V =m

2r2+

m

2r2 sin2(ψ)φ2+

m

2r2ψ2+V (r) =

p2r2m

+p2φ

2m · r2 sin2 ψ +p2ψ

2m · r2 +V (r).

Por lo tanto, si fuesen separables las variables en la ecuacion de Hamilton-Jacobi corre-spondiente, la funcion caracterıstica de Hamilton deberıa tener la forma:

W =Wr(r) +Wψ(ψ) +Wφ(φ).


Ahora, como vemos que la coordenada φ es cıclica en la hamiltoniana

Wφ = αφφ,

donde αφ es una constante de integracion. En funcion de esta forma de W , la ecuacion deHamilton-Jacobi se reduce a:

(

dWr

dr

)2

+1

r2·[

(

dWψ

dψ

)2

+α2φ

sin2 ψ

]

+ 2m · V (r) = 2m · E,

donde hemos identificado explıcitamente la hamiltoniana constante con la energıa total E.Podemos notar que toda dependencia de ψ y solamente de ψ, se ha circunscripto a la expresionentre corchetes exclusivamente y entonces resulta recomendable aplicar el procedimiento usualde separacion de variables:

(

dWψ

dψ

)2

+α2φ

sin2 ψ= α2

ψ, (13.17)

con αψ una constante.Finalmente, W depende de r de una forma que viene dada por el resto de la ecuacion de

Hamilton-Jacobi:

(

dWr

dr

)2

+α2ψ

r2= 2m · [E − V (r)] . (13.18)

Las variables de la ecuacion de Hamilton-Jacobi quedan ası totalmente separadas. Lasecuaciones 13.17 y 13.18 pueden reducirse a cuadraturas proporcionando al menos una solu-cion formal para Wψ(ψ) y Wr(r), respectivamente.

Notemos que las constantes de integracion αψ, αφ, α1 ≡ E tienen todas significados fısicosreconocibles directamente. Desde luego, la cantidad αφ es el valor constante del momentoangular respecto del eje polar:

αφ = pφ =dWφ

dφ.

Para identificar αψ, podemos escribir la ecuacion 13.17 en la forma:

p2ψ +p2φ

sin2 ψ= α2

ψ

con lo que la hamiltoniana

H =1

2m

(

p2r +p2ψr2

+p2φ

r2 sin2 ψ

)

+ V (r),

con la cual comenzamos, se escribirıa como

H =1

2m

(

pr2 +

αψ2

r2

)

+ V (r),

que compararando con la hamiltoniana del enunciado, resulta de resolver el problema en sucontexto planar debido a que solo hay fuerzas centrales interviniendo; ademas vemos que αψes lo mismo que pψ∗, que es el modulo del momento angular total:


αψ ≡ pψ∗ ≡ l.

De esta forma encontramos la expresion dada en el enunciado del problema, por medio de unrazonamiento mas general, y ası establecer con cuentas lo que se suponıa de antemano conpalabras: la conservacion del modulo del momento angular (recordemos que pψ∗ ≡ l podıaverse alternativamente de las ecuaciones de Lagrange).

Sigamos. Las tres ecuaciones diferenciales para las componentes de W resultan ser:

dWφ

dφ= αφ, (13.19)

(

dWψ

dψ

)2

+α2φ

sin2 ψ= α2

ψ, (13.20)

(

dWr

dr

)2

+α2ψ

r2= 2m · [E − V (r)] , (13.21)

y se pueden considerar como enunciados de teoremas de conservacion. La ecuacion 13.19 diceque la componente z del vector momento angular, ~L, se conserva, mientras que la ecuacion13.20 establece la conservacion del modulo , l, del momento angular. Y la ecuacion 13.21constituye una forma del teorema de conservacion de la energıa.

En este sencillo ejemplo empieza a aparecer algo la potencia y elegancia del metodo deHamilton-Jacobi. Con unos pocos pasos, pudimos obtener como depende r de t y ademas laecuacion de la orbita, cosa que antes se habrıa obtenido de forma mucho mas laboriosa4. Lascantidades conservadas del problema de fuerzas centrales aparecen tambien automaticamenteen esta formulacion.

Anexo: Veamos la resolucion del ejercicio pero con las herramientas anteriores a laecuacion de Hamilton-Jacobi, para ası comparar y determinar que metodo resulta mas efi-ciente y elegante.

En la formulacion lagrangiana: construimos la lagrangiana del problema:

L = T − V =1

2m(

r2 + r2ψ2)

− V (r).

como ψ es una coordenada cıclica, la cantidad canonica, el modulo del momento angular delsistema, estara dado por:

pψ =∂L

∂ψ= mr2ψ.

Y por tanto una de las dos ecuaciones de movimiento sera,

pψ =d

dt

(

mr2ψ)

= 0,

con la integracion inmediata mr2ψ = l. Luego, la ecuacion de Lagrange restante, para lacoordenada r, es:

d

dt(mr)−mrψ2 +

∂V

∂r= 0.

4A continuacion agregaremos un anexo para observar el por que de la palabra “laboriosa” en este contexto.


Designando por f(r) el valor de la fuerza en ~r, −∂V∂r

, podemos escribir la ecuacion en laforma

mr −mr · ψ2 = f(r).

Utilizando la integral mr2ψ = l, podremos eliminar entonces a ψ de la ecuacion demovimiento, obteniendo una ecuacion deiferencial de segundo orden que solo contiene a r:

mr − l2

mr3= f(r). (13.22)

Por otro lado, de mr2ψ = l, podemos escribir l · dt = mr2 · dψ, entonces la relacioncorrespondiente entre las derivadas respecto de t y respecto de ψ es:

d

dt=

l

mr2d

dψ,

y tambien podemos escribir una segunda derivada respecto de t

d2

dt2=

l

mr2d

dψ

(

l

mr2d

dψ

)

,

y entonces la ecuacion de Lagrange para 13.22, queda en la forma

l

r2d

dψ

(

l

mr2dr

dψ

)

− l2

mr3= f(r).

Para simplificar notemos que

1

r2dr

dψ= −d

(

1r

)

dψ,

luego, si hacemos el cambio de variables u = 1r, tenemos:

l2 · u2m

(

d2u

dψ2+ u

)

= −f(

1

u

)

. (13.23)

Como

d

du=dr

du

d

dr= − 1

u2d

dr,

la ecuacion 13.23 podra tambien escribirse en funcion del potencial en la forma

d2u

dψ2+ u = −m

l2dV(

1u

)

du, (13.24)

que es una ecuacion diferencial para la orbita.Para una ley de fuerza particular cualquiera, la ecuacion real de la orbita debe obtenerse

integrando la ecuacion diferencial 13.24.Entonces, procedemos a ello:Ademas de mr2ψ = l, disponemos de otra integral de movimiento, la energıa total del

sistema, ya que las fuerzas son conservativas. Basandonos en el teorema general de la con-servacion de la energıa podemos decir, no sin temor a equivocarnos pero si, sin temor a serinconsistentes, que la expresion


E =1

2m(

r2 + r2ψ2)

+ V (r)

es una constante de movimiento donde E es la energıa total del sistema.Estas dos integrales de movimiento:

E =1

2m(

r2 + r2ψ2)

+ V (r),

l = mr2ψ

nos dan dos de las cuadraturas necesarias para completar el problema. Como hay dos variables,r y ψ, se necesitara un total de cuatro integrales para resolver las ecuaciones de movimiento.

Las dos primeras integraciones han dejado las ecuaciones de Lagrange en forma de dosecuaciones de primer orden:

E =1

2m(

r2 + r2ψ2)

+ V (r) =1

2mr2 +

1

2

l2

mr2+ V (r) = cte1, (13.25)

l = mr2ψ = cte2.

Las dos integraciones restantes pueden realizarse de diversas maneras (al menos formal-mente), usamos la mas sencilla al efecto de comparar el camino mas rapido para llegar a laecuacion de la orbita con Lagrange y el usado por el metodo de Hamilton-Jacobi.

Despejemos r de la ecuacion 13.25 y tenemos:

r =

√

2

m

(

E − V (r)− l2

2m · r2)

→ dt =dr

√

2m

(

E − V (r)− l2

2m·r2

)

.

Ahora solo queda eliminar t por medio de l · dt = mr2dψ, entonces

dψ =l · dr

mr2√

2m

(

E − V (r)− l2

2m·r2

)

.

Sea r0 el valor que tiene r en el instante t = 0. La integracion entre el estado inicial y elestado en el instante t toma la forma:

ψ =

∫ r

r0

dr

r2 ·√

2m·El2

− 2m·V (r)l2

− 1r2

+ ψ0,

llegando a la ecuacion de la orbita y alcanzando en consecuencia, el objetivo buscado.

13.3. Variables angulo–accion

13.3.1. Ejercicio 4

Enunciado: Ilustracion del empleo de variables angulo–accion para obtener las frecuenciasde movimientos periodicos sin hallar la solucion completa para el movimiento del sistema.

Utilizando variables angulo–accion, hallar la frecuencia de un oscilador armonico lineal.

13.3. VARIABLES ANGULO–ACCION 169

Resolucion: (ver Goldstein pag. 561 ) La ilustracion que sugiere el problema implicala aplicacion de una variante del metodo de Hamilton-Jacobi, este ultimo, muy elegante ypotente para el tratamiento de los sistemas en los cuales el movimiento es periodico. Estavariante en la tecnica de Hamilton-Jacobi implica una eleccion particularmente sugestiva delas constantes de integracion αi que aparecen directamente en la solucion de la ecuacion deHamilton-Jacobi; no tomamos para dichas constantes las nuevas cantidades de movimiento,en vez de ello elaboramos unas constantes Ji adecuadamente definidas que forman un sistemade n funciones de las αi independientes entre sı, llamadas variables accion. La tecnica de lacual estamos hablando es la de utilizacion de las variables angulo-accion en el contexto de lateorıa de Hamilton-Jacobi.

De la ecuacion

1

2m

(

∂W

∂q

)2

+1

2mω2q2 = α

del ejercicio dos de la presente practica y de la ecuacion de definicion de las variables accion:

J =

∮

p · dq,

tendremos que en nuestro caso

J =

∮

p · dq =∮

√

2mα−m2w2q2dq,

donde α es la energıa total del sistema, constante y w es tal que w2 = km. El cambio de

variables

q =

√

2α

mw2sin θ

reduce la integral a:

J =2α

w

∮ 2π

0cos2 θ · dθ,

donde, claro esta los lımites deben ser tales que correspondan a un ciclo completo de q, paraser consistentes con la definicion. Como el valor medio de cos2 θ para un ciclo completo es 1

2 ,es decir:

〈cos2 θ〉 = 1

2π

∫ 2π

0cos2 θ · dθ = 1

2→∫ 2π

0cos2 θ · dθ = π,

la integral queda reducida a

J =2π · αw

,

o bien, despejando α,

α ≡ H = J · w2π.

Y la frecuencia de oscilacion sera pues:


∂H

∂J= ν =

w

2π=

1

2π

√

k

m

que es la expresion conocida de la frecuenca de un oscilador armonico lineal.

13.3.2. Ejercicio 5

Enunciado: Ejemplo de aplicacion de variables angulo–accion.Resolver el problema de Kepler utilizando variables angulo-accion. Transformar luego a

las variables de Delaunay.Sugerencia: tratar el problema en el espacio para visualizar todas las propiedades de la

solucion.Resolucion: (ver Vucetich pag. 291 ) El movimiento en un campo central, V ≡ V (r), es

otro ejemplo en que puede resolverse la ecuacion de Hamilton-Jacobi en forma general. Elcaso particular del problema de Kepler es importante por su aplicacion a la mecanica celeste.

Escribimos la lagrangiana T − V en coordenadas esfericas y definiendo

pi =∂L

∂qi,

encontramos las cantidades canonicas conjugadas y podemos escribir tanto la energıa cineticacomo el potencial en funcion de las variables del espacio de fases.

Ahora bien, tenemos la hamiltoniana (cambiamos la formulacion para encarar el problemapor medio de las variables angulo-accion):

H =1

2m

(

p2r +p2θr2

+p2φ

r2 sin2 θ

)

+ V (r),

que conduce a la ecuacion de Hamilton-Jacobi correspondiente (o ecuacion para la funcionprincipal de Hamilton -genera una transformacion canonica a una kamiltoniana nula):

1

2m·[

(

∂S

∂r

)2

+1

r2

(

∂S

∂θ

)2

+1

r2 sin2 θ

(

∂S

∂φ

)2]

+ V (r) +∂S

∂t= 0.

Puesto que estamos considerando un sistema conservativo (se trata de un problema inde-pendiente del tiempo, entonces S(~q, ~α; t) = T (α1; t) +W (~q, ~α)), la forma particular para laseparacion de variables es S = −α1 · t+W (~q, ~α), donde observamos que resulta lineal en t.

Si reemplazamos S = −α1 ·t+W (r, θ, φ, α1, α2, α3) en la ecuacion de Hamilton-Jacobi ten-dremos una ecuacion para la funcion caracterıstica de Hamilton (genera una transformacioncanonica a una kamiltoniana constante de valor α1):

1

2m·[

(

∂W

∂r

)2

+1

r2

(

∂W

∂θ

)2

+1

r2 sin2 θ

(

∂W

∂φ

)2]

+ V (r) = α1 = H ≡ E,

entonces α1 = E y ∂S∂t

= −E.Nuevamente, esta ecuacion puede resolverse por separacion de variables.Busquemos una solucion de la forma

W = R(r) + Θ(θ) + Φ(φ),


entonces reemplazando en la ecuacion para la funcion caracterıstica de Hamilton, tendremos(uno se pregunta si lo que esta buscando es simplemente intentar y magicamente ver quela solucion propuesta es correcta, sin embargo antes que intentar separar variables se puedesaber si el problema es separable y entonces no hacer intentos en vano, para ello existen lascondiciones de Staeckel, ver ejercicio 2):

1

2m·[

(

dR

dr

)2

+1

r2

(

dΘ

dθ

)2

+1

r2 sin2 θ

(

dΦ

dφ

)2]

+ V (r) = E

que podemos reescribir como

(

dR

dr

)2

+1

r2

(

dΘ

dθ

)2

+ 2m · V (r)− 2m ·E = − 1

r2 sin2 θ

(

dΦ

dφ

)2

→

−r2 sin2 θ(

dR

dr

)2

− sin2 θ

(

dΘ

dθ

)2

− 2m · r2 sin2 θ (V (r)− E) =

(

dΦ

dφ

)2

donde vemos que el lado derecho de la igualdad solo depende de φ (que era lo que buscabamoscon la solucion propuesta dentro del contexto de la tecnica de separacion de variables). En-tonces

(

dΦ

dφ

)

= α3 = Lz. (13.26)

Sigamos:

−r2 sin2 θ(

dR

dr

)2

− sin2 θ

(

dΘ

dθ

)2

− 2m · r2 sin2 θ (V (r)− E) = α23,

r2(

dR

dr

)2

+ 2m · r2 (V (r)− E) = − α23

sin2 θ−(

dΘ

dθ

)2

,

donde la parte izquierda de la igualdad solo depende de r y la parte derecha solo depende deθ, luego las formas finales en este proceso de separacion de variables de la parte espacial dela ecuacion de Hamilton-Jacobi son:

α23

sin2 θ+

(

dΘ

dθ

)2

= α22 = L2, (13.27)

(

dR

dr

)2

+ 2m · (V (r)− E) +α22

r2= 0,

(

dR

dr

)2

+α22

r2+ 2m · V (r) = 2m · E = 2m · α1 (13.28)

donde E, Lz, L son las constantes de separacion del problema, o constantes de integracion.Ahora integramos las ecuaciones 13.26, 13.27 y 13.28 y obtenemos:

Φ = Lzφ,(

dΘ

dθ

)2

= L2 − L2z

sin2 θ→ Θ =

∫

√

L2 − L2z

sin2 θdθ,


(

dR

dr

)2

= 2m · E − L2

r2− 2m · V (r) → R =

∫

√

2m ·E − L2

r2− 2m · V (r)dr,

y ası se halla la funcion caracterıstica de Hamilton para el movimiento en un campo centralF = −dV (r)

dr(aun no abordamos el problema particular de Kepler V (r) = −k

r):

W = Φ(φ) + Θ(θ) +R(r) = Lzφ+

∫

√

L2 − L2z

sin2 θdθ +

∫

√

2m · E − L2

r2− 2m · V (r)dr,

o si se quiere, la funcion principal de Hamilton:

S = −E·t+Φ(φ)+Θ(θ)+R(r) = −E·t+Lzφ+∫

√

L2 − L2z

sin2 θdθ+

∫

√

2m ·E − L2

r2− 2m · V (r)dr.

Esta es una solucion completa de la ecuacion de Hamilton-Jacobi, que depende, ademas, delas 3 constantes arbitrarias E, Lz, L. Es posible dar una interpretacion geometrica (utilizadaen Mecanica Celeste) bastante directa a estas constantes de integracion, para ello solo restaelegir el sistema de coordenadas.

Si el sistema es elegido de forma tal que el Lz se encuentre en la direccion del eje z,tendremos la figura 13.1. En primer lugar, el angulo entre el eje z y el impulso angular totales la inclinacion de la orbita i. Ahora bien, la interpretacion de las variables que son utilizadasen Mecanica Celeste (conjugadas de (Lz, L,E)) requiere aplicar el teorema de Jacobi Pi = αipara la funcion caracterıstica de Hamilton, entonces tenemos que

∂W (~q, ~α)

∂αi= βi,

por lo que empezamos a derivar respecto de las constantes naturales del problema (Lz, L,E)que encontramos. Para el primer caso derivamos respecto de αi = α3 = Lz, y hay que hacerlobajo el signo integral, para lo cual recurrimos a la regla de Leibniz, recordemos entonces laregla de Leibniz:

Sea

F (x) =

∫ a(x)

b(x)f(x, t)dt → F ′(x) = f (x, b(x)) · b′(x)− f (x, a(x)) · a′(x) +

∫ a(x)

b(x)

∂f(x, t)

∂xdt

y

F ′(x) =

∫

∂f(x, t)

∂xdt

en el caso de la integral indefinida.

Ası, en nuestro caso particular encontramos al derivar respecto de Lz, lo siguiente:

φ+

∫

1

2

(

−2 · Lz/ sin2 θ)

√

L2 − L2z

sin2 θ

dθ = β3 = cte

donde a β3 la llamamos φ0 y entonces tendremos finalmente:


Figura 13.1: Elementos de la orbita en el espacio (figura tomada de la referencia “Introducciona la Mecanica Analıtica”, Vucetich).


φ−∫

1√

L2 − L2z

sin2 θ

Lz

sin2 θdθ = φ0.

El angulo φ0 corresponde a la interseccion del plano de la orbita con el plano xy: la lınea delos nodos, como se demuestra esto, es lo que sigue a continuacion.

Ahora bien, podemos integrar y obtener el valor de φ0 en funcion de L y Lz constantes y dela variable φ. Sin embargo vamos a proceder de forma distinta. Vamos a integrar directamentela expresion de W , recordemos:

W = Lzφ+

∫

√

L2 − L2z

sin2 θdθ +

∫

√

2m ·E − L2

r2− 2m · V (r)dr,

entonces, antes de hacer ∂W∂Lz

= φ0 y despues integrar para encontrar la solucion para φ0,hacemos al reves. Primero integramos para encontrar la solucion para W y luego derivamosrespecto de Lz para obtener φ0.

Entonces, sea

I =

∫

√

L2 − L2z

sin2 θdθ,

el unico termino de W que nos interesa en este caso.

Hacemos el cambio cos2 i = L2z

L2 , luego

I = L

∫

√

sin2 θ − cos2 idθ

sin θ.

Ahora bien:

d cos θ

dθ= − sin θ → −d cos θ

sin θ= dθ,

sin θ =√

1− cos2 θ,

luego

sin2 θ − cos2 i = 1− cos2 θ − cos2 i = sin2 i− cos2 θ,

−L∫

√

sin2 i− cos2 θd cos θ

sin2 θ= −L

∫

√

sin2 i− cos2 θd cos θ

1− cos2 θ.

Otro cambio: cos θ = sin i · sinψ, entonces:

d cos θ

dψ= sin i · cosψ → d cos θ = sin i · cosψ · dψ,

−L sin2 i ·∫

√

sin2 i− cos2 θ

sin2 i · (1− cos2 θ)d cos θ = −L sin2 i ·

∫

√

sin2 i− cos2 θ

sin2 i · (1− cos2 θ)sin i · cosψ · dψ.

Ademas:


Figura 13.2: Triangulo esferico (figura tomada de la “Wikipedia”).

cos2 θ = sin2 i · sin2 ψ → 1− cos2 θ = 1− sin2 i · sin2 ψy reemplazamos, obteniendo:

−L sin2 i ·∫

√

sin2 i− sin2 i · sin2 ψsin2 i ·

(

1− sin2 i · sin2 ψ) sin i · cosψ · dψ = −L sin2 i ·

∫

cos2 ψ

1− sin2 i · sin2 ψdψ.

Ahora, el cambio de variables cos θ = sin i · sinψ tiene una justificacion, la cual resultaclara si apelamos a los elementos de la trigonometrıa esferica, figura 13.2, donde sabemos que:

cos c = cos a · cos b+ sin a · sin b · cosC,sin a

sinA=

sin b

sinB=

sin c

sinC.

En nuestro caso, los parametros del triangulo esferico se corresponderıan con: a = φ−Ω,b = π/2 − θ y c = ψ; A = ξ (vertice donde estarıa el objeto) y B = i, que no son mas quelas variables del sistema esferico estandar, ver figura 13.3, solo que ahora estamos metiendolas constantes de integracion como datos, para encontrarles a las mismas, una interpretacionplausible.

Luego, de la ley del seno, encontramos

sinψ =sin(

π2 − θ

)

sin i,

e inmediatamente sinψ · sin i = cos θ. Luego la nueva variable ψ, serıa el angulo que forma elplaneta con la lınea de los nodos, sobre el plano de la orbita, esta variable ya tiene nombrepropio: la longitud del planeta.

Finalmente, podemos resolver la integral habiendo comprendido el por que de nuestroscambios de variable:

−L sin2 i ·∫

cos2 ψ

1− sin2 i · sin2 ψdψ

usando algun integrador online5 calculamos la expresion:

5Insistimos con este recurso, ya que pese a que otras veces el resultado fue poco feliz, en este caso sirvio demucho: http://integrals.wolfram.com/index.jsp.


Figura 13.3: Los conjuntos de nivel correspondientes a las coordenadas esfericas (r, θ, φ). Laesfera roja muestra los puntos con r = 2, constante; el cono azul nos muestra los puntos deangulo θ = π/2 constante, y el semiplano amarillo, los puntos con angulo φ = −π/3 constante.El z − axis es el vertical y el x − axis esta marcado con verde. Los tres conjuntos de nivelse intersectan en el punto P con esas coordenadas (referenciado como una esferita negra);las coordenadas cartesianas para P son aproximadamente (0.707, -1.225, 1.414) (referenciatomada de la Wikipedia).


∫

cos2 x

a− b · sin2 xdx =x−

√a−b·arctan

(√a−b·tan x√

a

)

√a

b,

y por tanto, haciendo los reemplazos: a = 1, b = sin2 i, tendremos

∫

cos2 ψ

1− sin2 i · sin2 ψdψ =ψ −

√

1− sin2 i · arctan(

√

1− sin2 i · tanψ)

sin2 i,

entonces

−L sin2 i ·∫

cos2 ψ

1− sin2 i · sin2 ψdψ = −L sin2 i ·

ψ − cos i · arctan (cos i · tanψ)sin2 i

,

llegando al resultado buscado:

−Lψ + L cos i · arctan (cos i · tanψ) .Ademas, podemos escribir tan (φ− Ω) = tanψ ·cos i, ya que el cos i no hace mas que llevar

el factor tanψ al plano xy donde se encuentra el angulo φ−Ω que coincide en este plano conψ, es decir, ψ es equivalente a φ−Ω pero sobre el plano de la orbita, al ser multiplicado porcos i, lo baja al plano xy donde φ−Ω. Luego, si los angulos coinciden por medio de un cosenodirector de angulo i, tambien coincidiran sus tangentes por medio del mismo coseno director.

Por lo tanto, haciendo el reemplazo correspondiente tenemos:

−Lψ + L cos i · arctan (cos i · tanψ) = −Lψ + Lz · (φ− Ω) ,

sabiendo que L cos i = Lz.Ahora, sustituyendo en la expresion de la funcion caracterıstica de Hamilton nos queda6:

W = −Lz · Ω− Lψ +

∫

√

2m · E − L2

r2− 2m · V (r)dr,

de la que tenemos integrada la parte que nos interesa.Luego, es sencillo resolver

∂W

∂Lz= −Ω, (13.29)

que era la que habıamos llamado β3 = φ0.Por otro lado

∂W

∂L= −ψ0,

que se traduce en:

ψ +

∫

L√

2m · E − L2

r2− 2m · V (r)

dr

r2= ψ0, (13.30)

6Hay un problema de consistencia de signos, segun esta expresion para W , se debe cancelar el termino Lzφy sin embargo siguiendo las cuentas, no se cancela, se suma dando 2 · Lzφ, chequear la deduccion anterior.


Figura 13.4: Relaciones entre angulos en el problema espacial de Kepler (figura tomada de lareferencia “Introduccion a la Mecanica Analıtica”, Vucetich).

que no es mas ni menos que la ecuacion de la orbita (ya que ψ describe el movimiento sobreel plano de la orbita y al escribirlo en funcion de r que es la otra variable independiente,tenemos la ecuacion de la orbita -figura 13.4, cotejar problema 3). En general, las relacionesanteriores entre angulos son validas para cualquier movimiento central, ya que no hemos enningun momento reemplazado la forma generica del potencial V (r). En el caso particular delproblema de Kepler, la solucion puede completarse como sigue. Si se elige el lımite inferiorde integracion como la menor de las raıces del polinomio (las raıces provocan que la integraldiverja, entonces consideramos el intervalo entre raıces para poder resolver la integral):

2m · E − L2

r2+ 2m · k

r,

el angulo ψ0 correspondera a la direccion del periastro en el plano de la orbita, llamadoargumento del periastro y denotado ω (figura 13.1). Una cantidad mas conveniente paratrabajar es la longitud del periastro:

= ω +Ω,

u otra cantidad tambien muy usada es la anomalıa verdadera para describir el movimientodel cuerpo en las variables de la mecanica celeste:

w = ψ − ω.

Finlamente, la integracion se completa haciendo ∂W∂E

= t − t0 (lineal en t, para que seacompatible con las ecuaciones de Hamilton de kamiltoniano K = E):


∫ r

r0

m · dr√

2m · E − L2

r2+ 2m · k

r

= t− t0. (13.31)

Aquı t0 se llama el instante de pasaje por el periastro y es la ultima constante de inte-gracion. Por lo tanto haciendo un paralelo, las identificaciones son las siguientes:

Ctes. naturales Ctes. fısicas asociadas Ctes. (geometrico) Ctes. en Mec. Celeste

α1 E β1 = −t0 t0: instante de pasaje por el periastro

α2 L β2 = −ψ0 = −ω ω: argumento del periastro

α3 Lz β3 = φ0 = −Ω Ω: lınea de los nodos

Lo que hemos hecho fue vincular las constantes de integracion naturales del problema conconstantes fısicas, y darle a las constantes de integracion un sentido de definicion geometrico,identificandolas con aquellas del problema de los dos cuerpos en la Mecanica Celeste7.

Resolviendo las integrales de las ecuaciones 13.29, 13.30 y 13.31, se resuelve el problema.

Que la descripcion por medio de variables angulares haya sido tan elegante, recae en lanaturaleza periodica del problema (ya que estamos considerando solo E < 0), y esto sugiereun camino diferente al tomado hace un momento, ya que si se conoce de antemano que elsistema a tratar tiene movimientos periodicos, una tecnica alternativa en Hamilton–Jacobiresulta muy efectiva para estos casos, la de aplicacion de variables angulo–accion (como pideel enunciado): no se usaran las constantes de integracion naturales del problema (que salendirectamente del proceso de separacion de variables (Lz, L,E)), sino que combinaciones deellas nos permitiran definir nuevas constantes (acciones) que resulten mas apropiadas paraeste tipo de situaciones.

La ventaja esta en que nos permitira obtener las frecuencias del movimiento sin necesidadde hallar la solucion completa del problema (por tal motivo el presente ejercicio precede alque pide hallar las frecuencias sin hallar la solucion).

Retomemos entonces el problema a partir de las ecuaciones 13.26, 13.27 y 13.288:

(

dΦ

dφ

)

= α3,

α23

sin2 θ+

(

dΘ

dθ

)2

= α22,

(

dR

dr

)2

+α22

r2− 2m ·

(

k

r

)

= 2m · α1.

Ahora resolvamos, comenzando por escribir la definicion de las acciones:

J ′3 =

1

2π

∮

pφ dφ,

7Hemos visto entonces, que las variables canonicas conjugadas de Lz, L y E son respecivamente−Ω,−ω, t−t0(las cuales resultan ser tambien constantes salvo por la asociada a E, ya que la funcion caracterıstica deHamilton me llevaba a una kamiltoniana equivalente a la energıa total del sistema E).

8Ahora, debido a que escogeremos otro conjunto de constantes de integracion (acciones) y no tomaremoslas naturales, la kamiltoniana estara dada por un valor constante, combinacion de estas nuevas constantes deintegracion, y por lo tanto, las variables conjugadas nuevas (angulo) tendran un comportamiento lineal con eltiempo.


J ′2 =

1

2π

∮

pθ dθ,

J ′1 =

1

2π

∮

pr dr.

Para ello debemos encontrar las expresiones de pφ, pθ y pr, que escribimos como:

∂W∂φ

= pφ donde ∂W∂φ

= ∂Φ∂φ

= α3 = Lz,

∂W∂θ

= pθ donde ∂W∂θ

= ∂Θ∂θ

=

√

α22 −

α23

sin2 θ=√

L2 − L2z

sin2 θ,

∂W∂r

= pr donde ∂W∂r

= ∂R∂r

=√

2m · α1 +2m·kr

−(

α2r

)2=

√

2m ·E + 2m·kr

−(

Lr

)2.

Entonces reemplazando en la definicion de las acciones:

J ′3 =

1

2π

∮

Lz dφ,

J ′2 =

1

2π

∮

√

L2 − L2z

sin2 θdθ, (13.32)

J ′1 =

1

2π

∮

√

2m · E +2m · kr

−(

L

r

)2

dr. (13.33)

La primera integral es facil (para no apelar al trillado y pocas veces cierto “trivial”) deresolver, la integral para J ′

2 se obtiene de sustituciones apropiadas donde podemos hacer usode los desarrollos utilizados anteriormente en la pequena introduccion a las variables de laMecanica Celeste, y la tercera se resuelve elegantemente por el metodo de los residuos9.

Comencemos,

J ′3 =

1

2π

∮

Lz dφ = Lz,

es inmediata, ya que φ va hasta 2π en una revolucion completa (azimutal).Ahora procedemos con el calculo de J ′

2 (ver Goldstein pag. 573 ): esbozaremos un metodoen el que solo intervienen reglas elementales de integracion. Si representamos por i el angulopolar del vector momento angular total (si quedan dudas, volver a la figura 13.1), tendremos:

cos i =LzL,

entonces, la ecuacion 13.32 podra tambien escribirse como (ya lo hemos hecho anteriormente,en el presente ejercicio):

J ′2 =

L

2π

∮

csc θ ·√

sin2 θ − cos2 idθ.

El camino de integracion cerrado completo es el que recorre θ yendo desde un lımite −θ0a θ0 y vuelta atras, siendo sin θ0 = cos i, o sea θ0 = (π2 )− i, que se puede deducir con facilidadde las figuras 13.5.

9Notar que las acciones son efectivamente una recombinacion muy particular de las constantes de integracionnaturales del problema, que aquı aparecen vıa las constantes fısicas que tienen asociadas.


xy

z

plano de

−\theta_0

\theta_0

la orbita

z

xy

i

\theta_0

objeto

Figura 13.5: Deduccion de sin θ0 = cos i.

Por lo tanto, la integral extendida al camino cerrado tendra un valor cuadruplo de laintegral entre 0 y θ0, resultando ser:

J ′2 =

4L

2π

∫ θ0

0csc θ ·

√

sin2 i− cos2 θdθ.

Es decir,√1− cos2 i · csc2 θ = csc θ ·

√

sin2 θ − cos2 i = csc θ ·√

−1 + sin2 θ + 1− cos2 i =

csc θ ·√

sin2 i− cos2 θ.

Notemos ademas, que:

∮

=

∫ θ0

−θ0+

∫ −θ0

θ0

=

∫ 0

−θ0+

∫ θ0

0+

∫ 0

θ0

+

∫ −θ0

0= 2

∫ 0

−θ0+2

∫ θ0

0= 4

∫ θ0

0

debido a que el integrando es impar.

Si hacemos nuevamente la sustitucion que ya hemos justificado geometricamente:

cos θ = sin i · sinψ,

transformamos la integral en:

J ′2 =

2L

πsin2 i ·

∫ π2

0

cos2 ψ · dψ1− sin2 i · sin2 ψ ,

ya que cos θ0 = cos (π/2− i) = sin i, ademas como cos θ0 = sin i · sinψ0, luego sinψ0 = 1 →ψ0 =

π2 .

10

Por ultimo, con la sustitucion u = tanψ, entonces dudψ

= 1 + u2 y por tanto, la integralqueda en la forma:

10Notar que aunque hemos hecho uso de la relacion cos θ = sin i · sinψ para obtener el lımite superior, nopodemos hacer lo mismo para el lımite inferior, ya que de reemplazar θ = 0 obtendrıamos un absurdo. Nose como demostrar θ = 0 → ψ = 0.


J ′2 =

2L

πsin2 i ·

∫ ∞

0

du

(1 + u2) (1 + u2 · cos2 i) =2L

π

∫ ∞

0du ·

[

1

1 + u2− cos2 i

1 + u2 · cos2 i

]

que sale de hacer:

cos2 ψ · dψ1− sin2 i · sin2 ψ =

du

(1 + u2)

cos2 ψ(

1− sin2 i · sin2 ψ) ,

luego

du

(1 + u2)

1(

1cos2 ψ

− u2 · sin2 i) =

du

(1 + u2)

1(

1 + u2 − u2 · sin2 i) =

du

(1 + u2) (1 + u2 · cos2 i) .

Finalmente, esta ultima expresion:

2L

π

∫ ∞

0du ·

[

1

1 + u2− cos2 i

1 + u2 · cos2 i

]

,

contiene solo integrales conocidas, que resueltas brindan el siguiente resultado:

J ′2 = L · [1− cos i] = L− Lz.

Ahora nos queda simplemente la integral para la accion definida como J ′1. Conociendo los

resultados anteriores, J ′3 = Lz y J ′

2 = L− Lz → L = J ′2 − J ′

3, podemos escribir 13.33 como:

J ′1 =

1

2π

∮

√

2m · E +2m · kr

− (J ′2 + J ′

3)2

r2dr. (13.34)

Efectuada esta integracion, podremos despejar la energıa E ≡ H en funcion de las 3 vari-ables de accion J ′

1, J′2, J

′3. Notemos que J ′

2 y J′3 solo pueden figurar en el hamiltoniano a traves

de la combinacion J ′2 + J ′

3 y por tanto, las frecuencias correspondientes (J ′2 = Jθ, J

′3 = Jφ),

νθ, νφ deben ser iguales (ya que las frecuencias estan dadas por la derivada del hamiltoni-ano respecto de las acciones), lo que indica degeneracion. Este resultado no ha incluıdo laley de proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia para la caıda kepleriana; todomovimiento debido a una fuerza central es, al menos, simplemente degenerado. La degen-eracion es, desde luego, consecuencia del hecho que el movimiento esta confinado a un planonormal al vector momento angular ~L constante. El movimiento en este plano implica que θ yφ esten relacionados de tal manera que cuando φ realice un perıodo 2π completo, θ varıe unciclo completo entre los lımites π

2 ± i. Por lo tanto, las frecuencias de θ y φ son necesariamenteiguales.

La integral de la ecuacion 13.34 se puede calcular rapido y elegantemente utilizando elmetodo de los residuos. Como estamos considerando movimientos periodicos (por tal motivola ventaja de la reformulacion en variables angulo–accion), resulta que los mismos son desdeluego, acotados, y esto solo puede tener lugar cuando la energıa E es negativa y como elintegrando es igual a pr = mr, los lımites del movimiento estaran definidos por las raıces r1 yr2 de la cantidad subradical (cantidad bajo la raız). Si r1 es la cota interior, un ciclo completocomprendera ir de r1 a r2 y volver de nuevo a r1. En la mitad exterior del viaje (de r1 a r2),


pr resulta positiva y deberemos tomar la raız cuadrada positiva. En cambio, en el viaje deretorno a r1, pr es negativa y la raız cuadrada debera ser tomada en forma analoga, es decir,negativa. La integracion requiere, pues, las dos ramas de una funcion bivalente, siendo r1 yr2 los puntos de ramificacion. En consecuencia podemos representar el plano complejo comouna de las hojas de una superficie de Riemann, cortado a lo largo del eje real de r1 a r2.

Como el camino de integracion encierra el segmento rectilıneo entre los puntos de rami-ficacion, no podemos aplicar directamente el metodo de los residuos. No obstante, podemostambien considerar que dicho camino encierra el resto del plano complejo, siendo ahora el sen-tido del recorrido para la integracion el inverso (sentido horario). Para visualizar este cambiode punto de vista conviene considerar al plano complejo proyectado estereografcamente sobreuna superficie esferica que tenga el origen en su polo sur, y el punto del infinito en el polonorte. El eje real se convierte en un cırculo meridiano que une los dos polos. Todo camino deintegracion sobre la esfera divide entonces a su superficie en dos zonas. Podemos considerarque el camino encierra a una u otra, segun cual sea el sentido de integracion. Luego, en estaregion el integrando es funcion uniforme y no hay ningun inconveniente para la aplicaciondel metodo de los residuos. Solo hay dos puntos singulares a saber, el origen y el infinito ypodemos tomar el camino de integracion segun dos circunferencias descritas en sentido horarioy que encierren a estos dos puntos. Ahora bien el signo de la raız cuadrada del integrandodebe ser negativo para la region a lo largo del eje real por debajo de r1. Si representamos elintegrando en la forma:

−√

A+2B

r− C

r2,

el residuo en el origen es

R0 = −√−C2π

.

Por encima de r2, el signo de la raız cuadrada en el eje real resulta ser positivo y se obtiene elresiduo mediante la tecnica normal de cambiar la variable de integracion en la forma z = r−1

− 1

2π

∮

1

z2

√

A+ 2Bz − Cz2dz.

El desarrollo entorno a z = 0 nos da el residuo R∞ = − B

2π√A.

La integral total es el producto de −2π · i por la suma de los residuos:

J ′1 = i ·

(√−C +

B√A

)

,

o sea, sustituyendo los coeficientes A,B y C, donde:

A = 2m · E,B = m · k,

C =(

J ′2 + J ′

3

)2

tendremos:

J ′1 = i ·

(

√

− (J ′2 + J ′

3)2 +

m · k√2m · E

)

,


que nos da la dependencia funcional de H ≡ E respecto de las variables accion11. Primeroaclaremos que siendo

J ′1 = −

(

J ′2 + J ′

3

)

+ ik

√

m

2E,

y recordando que E < 0 → −E = E∗ > 0 y escribimos:

J ′1 = −

(

J ′2 + J ′

3

)

+ k

√

m

2E∗ ,

teniendo comprendido que el argumento de la raız es positivo, ahora sı despejamos E yobtenemos:

−[

J ′1

k√m

+(J ′

2 + J ′3)

k√m

]−2

= 2E,

E = −1

2

(

k√m

J ′1 + J ′

2 + J ′3

)2

= −1

2

k2 ·m(J ′

1 + J ′2 + J ′

3)2 .

Enconces como E ≡ H el hamiltoniano expresado en variables angulo–accion nos queda:

H = −1

2

m · k2(J ′

1 + J ′2 + J ′

3)2 . (13.35)

(Ver Vucetich pag. 303.) De esta ecuacion comprobamos (como, por otra parte, ya sabıamos)que el sistema es degenerado, pero no simplemente degenerado (potencial central) sino com-pletamente degenerado (problema de Kepler), tenemos entonces una unica frecuencia (lopodıamos haber previsto de antemano, ya que sabemos que con una fuerza inversamente pro-porcional al cuadrado de la distancia la orbita es cerrada para las energıas negativas, y portanto el movimiento es simplemente periodico, esto es, completamente degenerado):

w1 =∂H

∂J ′1

,

w2 =∂H

∂J ′2

,

w3 =∂H

∂J ′3

,

w1 = w2 = w3 = n =m · k2

(J ′1 + J ′

2 + J ′3)

3 ,

y por lo tanto el movimiento es periodico (las frecuencias son conmensurables). Sin encontrarla solucion completa (por ejemplo, faltan las amplitudes del movimiento), encontramos lasfrecuencias.

Si evaluamos la suma de las J en funcion de la energıa, ecuacion 13.35, el perıodo de laorbita resulta estar en concordancia con la tercera ley de Kepler, como debe ser (el perıodo

11Podrıamos haber encontrado J ′1 como funcion de L,Lz , E, pero escribir el hamiltoniano como funcion de

las acciones es lo que buscabamos ası que el escribir todas las acciones como funcion de las constantes deintegracion naturales del problema serıa por mera completitud.


va con E− 32 , recordemos que la tercera ley de Kepler nos dice P 2 ∝ a3 con a el semieje mayor

de la orbita y en nuestro caso, el semieje es inversamente proporcional a la energıa).

Para completar la transformacion canonica, calculemos las variables angulo.

Notemos primero que si en la funcion caracterıstica de Hamilton de argumentos (r, θ, φ,E,L,Lz)reescribimos las viejas coordenadas generalizadas en funcion de las nuevas (r, θ, φ) → (t −t0,−Ω,−ω) (donde las nuevas coordenadas generalizadas son variables conjugadas de (E,L,Lz)),la funcion caracterıstica de Hamilton deberıa tener la forma

W (t− t0,−Ω,−ω,E,L,Lz) = −LzΩ− Lω + E(t− t0),

ya que de esta forma se satisfacen las ecuaciones de transformacion para una F2, lease∂F2∂P

= Q.

Ahora, sabiendo como combinan el conjunto (E,L,Lz) las acciones:

J ′3 ≡ Lz,

J ′2 + J ′

3 ≡ L,

−1

2

m · k2(J ′

1 + J ′2 + J ′

3)2 ≡ E,

podremos reescribir W en funcion de los nuevos impulsos y por ser una F2, nuevamente laderivada deW respecto de estos nuevos impulsos (acciones) me daran las nuevas coordenadasgeneralizadas (angulos), que es lo que estamos buscando.

Entonces sea:

F2 = −J ′3 · Ω−

(

J ′2 + J ′

3

)

· ω − m · k22(J ′

1 + J ′2 + J ′

3)2 · (t− t0) ,

donde esta F2 nos cambia las variables de la forma que sigue:

(t− t0,−Ω,−ω,E,L,Lz) → (w′1, w

′2, w

′3, J

′1, J

′2, J

′3)

y a un nuevo hamiltoniano K dado por:

K = H +∂F2

∂t= − m · k22

(J ′1 + J ′

2 + J ′3)

2 − m · k22(J ′

1 + J ′2 + J ′

3)2 = − m · k2

(J ′1 + J ′

2 + J ′3)

2 .

Luego las variables conjugadas de las acciones son los angulos dados por:

w′3 = −Ω− ω + n (t− t0) ,

w′2 = −ω + n (t− t0) ,

w′1 = n (t− t0) ,

con w′1 la anomlıa media de la orbita12. Las variables angulares salen, como ya sabemos, de

considerar las ecuaciones de transformacion correspondientes a este tipo de funcion generatriz:

pi =∂F2

∂qi, Qi =

∂F2

∂Pi;

12Notar que todas dependen linelamente del tiempo, porque ahora K(J ′1, J

′2, J

′3).


K = H +∂F2

∂t,

por ejemplo:

Qi =∂F2

∂Pi,→ ∂F2

∂J3= −Ω+

2m · k22(J ′

1 + J ′2 + J ′

3)3 · (t− t0)− ω = −Ω− ω + n (t− t0) = w′

3.

En lugar de las variables J ′i , w

′i, en astronomıa es usual emplear otras variables, mas

comodas. La dependencia del tiempo de las variables w′i, puede simplificarse si en su lugar se

utilizan diferencias. Esto se logra elegantemente con otra transformacion canonica, generadapor:

F ′2 = J1 · w′

1 + J2 ·(

w′2 − w′

1

)

+ J3 ·(

w′3 − w′

2

)

,

genera una transformacion canonica a un conjunto de variables llamadas variables de Delau-nay :

pi =∂F ′

2

∂qi=∂F ′

2

∂w′i

→ p1(Pi) = J1 − J2 = J ′1 = −L+ k

√

m

−2E,

p2(Pi) = J2 − J3 = J ′2 = L− Lz,

p3(Pi) = J3 = J ′3 = Lz,

de donde se tiene

(J1 − J2) + (J2 − J3) + J3 = −L+ k

√

m

−2E+ L− Lz + Lz = k

√

m

−2E= J1,

(J2 − J3) + J3 = L− Lz + Lz = L = J2,

J3 = Lz.

Y por ultimo Qi =∂F2∂Pi

:

w1 = w′1 = n (t− t0) ,

w2 = w′2 − w′

1 = −ω + n (t− t0)− n (t− t0) = −ω,

w3 = w′3 − w′

2 = −Ω− ω + n (t− t0) + ω − n (t− t0) = −Ω.

Este nuevo conjunto de variables tiene la ventaja de que solo w1 es una funcion explıcitadel tiempo13; w2, w3 son constantes del movimiento. Las variables de Delaunay, o conjun-tos construıdos con ellos, son sumamente importantes en la teorıa de perturbaciones de laMecanica Celeste o en la aproximacion semicıclica en Mecanica Cuantica.

Todas las variables canonicas pueden desarrollarse en series de Fourier de las variables deDelaunay. Estos desarrolos, sumamente complejos, son la base de la teorıa de perturbacionesen la Mecanica Celeste.

13Ahora, el nuevo hamiltoniano solo es funcion explıcita de J1.

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