UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”

ECUACIONES DIFERENCIALES

TRABAJO COLABORATIVO 1

Presentado por:

LISAURA HIGUERA

GRUPO 100412_33

Presentado a:

Joseph Vladimir Gutiérrez Rojas

TUTOR

INTRODUCCION

En este primer acercamiento lograremos una visión amplia de los diferentes temas a lo

largo de la primera unidad los cuales constituyen uno de los más poderosos instrumen-

tos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de

la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución,

transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros.

OBJETIVOS

Asimilar los conceptos básicos de la Introducción a las Ecuaciones Diferenciales,

resolviendo problemas de ecuaciones diferenciales de primer grado.

Resolver los tipos más elementales de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Comprender lo que significa una ecuación diferencial de primer orden y si tiene solu-

ción, cómo encontrarla.

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecua-

ción:

A. 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑠𝑒𝑛 (𝑦) = 0.

B. y′′ + y′ + y = 0.

C. 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 5𝑦 = 𝑒𝑥

D. (2𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (𝑦2𝑥 − 𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦

E.𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥2

ecuación linealidad orden

. 𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒔𝒆𝒏 (𝒚) = 𝟎

No es lineal, por el término sen(𝑦). El orden es

uno

. y′′+y′+ y =0

Es lineal, ya que los coeficientes de y′′ y de y

dependen de x. Su orden es dos.

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 + 𝒅𝒚

𝒅𝒙− 𝟓𝒚 = 𝒆𝒙.

Es lineal, pues los coeficientes de y′′, y′ y de y

dependen de x Su orden es dos.

(𝟐𝒚 + 𝟏)𝒅𝒙 + (𝒚𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝒙)𝒅𝒚

Es necesario llevarla a la forma están-dar, es de-

cir, a

𝑎1(𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥), para esto dividimos

todo por 𝑑𝑥.

2𝑦 + 1 + (𝑦2𝑥 − 𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

(𝑦2𝑥 − 𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦 + 1 = 0

Es no lineal ya que, los coeficientes de y′ depen-

den de x e y. Su orden es uno.

𝒙𝒚′ − 𝒚 = 𝒙𝟐

Dividiendo la ecuación en x

𝑦′ − 𝑥𝑦 = 𝑥

Es lineal, pues los coeficientes de y′ y de y de-

penden de x. Su orden es uno.

F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial

01

)(2

2 xx

yy

dx

dy

𝑌 = 𝑋−1

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−1

𝑥2

Reemplazando

−1

𝑥2+ (

1

𝑥)

2

+1

𝑥⁄

𝑥−

1

𝑥2= 0

−1

𝑥2 +1

𝑥2 +1

𝑥2 −1

𝑥2 = 0

0=0

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

A. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

−2𝑥

𝑦

𝑦𝑑𝑦 = −2𝑥𝑑𝑥 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜

∫ 𝑦𝑑𝑦 = −2 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑦2

2= −𝑥2+c

𝑦2=-2𝑥2+c sacando raíz cuadrada

𝑦 = −𝑥√2+c

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

2𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦2 − 2𝑥 = 0

2𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑦2 + 2𝑥

2𝑥𝑦𝑑𝑦 = (−𝑦2 + 2𝑥)𝑑𝑥

Llevamos la ecuación a la forma: (𝑥,)𝑥+𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=0

2𝑥𝑦𝑑𝑦 + (𝑦2 − 2𝑥)𝑑𝑥 = 0

M(x, y) = (𝑦2 − 2𝑥)

N(x, y) = 2𝑥𝑦

Las derivadas parciales 𝑑𝑀

𝑑𝑦= 2𝑦

𝑑𝑁

𝑑𝑥= 2𝑦

Como

𝑑𝑀

𝑑𝑦=

𝑑𝑁

𝑑𝑥= 2𝑦 es exacta

𝒇(𝒙, 𝒚) = ∫(𝒚𝟐 − 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 + ∫ [−(𝟐𝒙𝒚 + 𝒚) −

𝝏

𝝏𝒚∫(𝒙 − 𝒚𝟐) 𝒅𝒙] 𝒅𝒚

𝒇(𝒙, 𝒚) =𝒙𝟐

𝟐− 𝒙𝒚𝟐 + ∫ [−(𝟐𝒙𝒚 + 𝒚) −

𝝏

𝝏𝒚(𝒙𝟐

𝟐− 𝒙𝒚𝟐)] 𝒅𝒚

𝒇(𝒙, 𝒚) =𝒙𝟐

𝟐− 𝒙𝒚𝟐 + ∫[−(𝟐𝒙𝒚 + 𝒚) + 𝟐𝒙𝒚)] 𝒅𝒚

𝒇(𝒙, 𝒚) =𝒙𝟐

𝟐− 𝒙𝒚𝟐 + ∫ −𝒚 𝒅𝒚

𝒙𝟐

𝟐− 𝒙𝒚𝟐 −

𝒚𝟐

𝟐+ 𝑪

D. Resuelva la ecuación diferencial

y

x

x

y

dx

dy

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥+ (

𝑦

𝑥)−1

(Ecuación 1) Transformamos

Cambiando variable

𝑣 =𝑦

𝑥 → 𝑦 = 𝑣. 𝑥 Derivando parcialmente:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑣 + 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥 (Ecuación 2)

Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1

𝑣 + 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥= 𝑣 + 𝑣−1

𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥= 𝑣−1

Separando variables

𝑣𝑑𝑣 =𝑑𝑥

𝑥 Integrando en ambos lados:

∫ 𝑣𝑑𝑣 = ∫𝑑𝑥

𝑥

1

2𝑣2 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐

𝑣2 = 2𝑙𝑛𝑥 + 𝑐

(𝑦

𝑥)

2

= 2𝑙𝑛𝑥 + 𝑐

E. Resuelva la ecuación diferencial

√𝑦𝑥4 + 𝑦′ = 0 Determine el valor de y (1) siendo y(x) la solución que satisface y (0)=0

Tenemos que

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦′ = √𝑥

4𝑦 = −√𝑥

4 √𝑦4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑥

14𝑦

14

Separando variables

1

𝑦14

𝑑𝑦 = −𝑥14𝑑𝑥

Integrando tenemos

∫ 𝑦−14 𝑑𝑦 = − ∫ 𝑥

14𝑑𝑥

4

3𝑦 3

4⁄ = −4

5𝑥

54 + 𝐶

𝑦 34⁄ = −

3

5𝑥

5

4 + 𝐶 con y(0)=0

0 34⁄ = −

3

50

54 + 𝐶

1 = −3

5+ 𝑐

𝑐 = 1 +3

5=

8

5

La solución es

𝑦 34⁄ = −

3

5𝑥

54 +

8

5

El valor para x=1 es

𝑦 34⁄ = −

3

5+

8

5= 1

𝑦(1) = 1

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte

sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Supon-

ga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos

veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río

a razón de 2 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m

3/s de agua bien mez-

clada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes

en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

v(𝑡): Cantidad de contaminante en cualquier instante de tiempo (en 𝑚3 )

𝑅𝑒: Rapidez con la que entra el contaminante al lago (en 𝑚3/𝑑𝑖𝑎)

𝑅𝑠: Rapidez con la que sale el contaminante al lago 𝑑𝑣

𝑑𝑡= Re − Rs

Como tan solo dos veces al día se vierten contaminantes al lago (de 4 a 6 de la mañana

y de 4 a 6 de la tarde), esto quiere decir que el contaminante entra bajo la relación de

4ℎ/𝑑𝑖𝑎

𝑅𝑒=(4ℎ/𝑑𝑖𝑎)(3600𝑠/1ℎ)(2𝑚3/𝑠)=28800[𝑚3/𝑑𝑖𝑎]

𝑅𝑠=(8000𝑚3/𝑠)(86400𝑠𝑑𝑖𝑎)(𝐴/6000×106[𝑚3𝑚3])= 0,1152𝐴

La ecuación diferencial que modela la situación es: 𝑑𝑣

𝑑𝑡= Re − Rs =

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 28800 − 0.1152A

CONCLUSIÓN

A través de los ejercicios y actividades de esta actividad, se tuvo la oportunidad de

verificar la comprensión del material abordado en la primera unidad del curso de

ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales son herramienta fundamental en el proceso de modela-

do matemático en los campos de la ingeniería (de sistemas, industrial, de alimentos)

y a su vez en el campo de la administración y la economía, resolviendo así proble-

mas que modelan fenómenos socioeconómicos y científicos

REFERENCIAS BIBLOGRÁFICAS

BUCHELI CHAVES, Carlos Iván. Módulo de Ecuaciones Diferenciales. Universidad Na-

cional Abierta y a Distancia, Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería. San Juan

de Pasto 2010.

BECERRIL ESPINOSA, José Ventura. ELIZARRARAZ MARTINEZ, David. Ecuaciones

Diferenciales, Técnicas de Solución y Aplicaciones. Universidad Autónoma Metropolitana.

Primera Edición México 2004