UNPRG Facultad de Ingeniera Civil, Sistemas y Arquitectura

TRABAJO Y ENERGIA DEL SOLIDO RIGIDOContinuando con el anlisis cintico de movimiento de cuerpos rgidos desarrollamos el mtodo de trabajo y energa.Este mtodo, cuando se aplica al movimiento de un cuerpo rgido, relaciona el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas y pares al cambio de energa cintica de un cuerpo. Al igual que en el caso del movimiento de una partcula, el mtodo de trabajo y energa es conveniente para hallar el cambio en la velocidad del cuerpo a medida que ste se desplaza entre dos posiciones espaciales.

TRABAJO DE LAS FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE UN CUERPO RIGIDOEl trabajo de una fuerza durante un desplazamiento de su punto de aplicacin desde A1 hasta A2 es:

o,

Donde F es la magnitud de la fuerza, es el ngulo que forma con la direccin de movimiento de su punto de aplicacin A y s es la variable de integracin que mide la distancia recorrida por A a lo largo de su trayectoria.

Al calcular el trabajo de las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo rgido, es a menudo conveniente determinar el trabajo de un par sin considerar por separado el trabajo de cada una de las fuerzas que lo forman. Considere las dos fuerzas y que forman un par de momento y que actan sobre un cuerpo rgido. Cualquier desplazamiento pequeo del cuerpo rgido que lleve a A y B, respectivamente, hacia A' y B" puede dividirse en dos partes: En una parte los puntos A y B experimentan iguales desplazamientos ; el trabajo de es igual en magnitud y opuesto en signo al trabajo de y su suma es cero.En la otra, A' permanece fija mientras que B' se mueve hacia B" a lo largo de un desplazamiento de magnitud ds2=rd; Aqu slo trabaja la fuerza , y su trabajo es:

(Trabajo de un par de momento que acta sobre un cuerpo rgido).Donde d es el pequeo ngulo, expresado en radianes, que el cuerpo gira.El trabajo del par durante una rotacin finita del cuerpo rgido se obtiene integrando ambos miembros desde el valor inicial 1 del ngulo hasta su valor final 2:

Cuando el momento M del par es constante, tenemos:

Existen fuerzas que se encuentran en los problemas de cintica que no realizan trabajo. Son fuerzas aplicadas en puntos fijos o que actan en una direccin perpendicular al desplazamiento de su punto de aplicacin. Entre las fuerzas que no trabajan se han listado las siguientes:La reaccin en un pasador sin friccin cuando el cuerpo soportado gira alrededor del pasador.

La reaccin en una superficie sin friccin cuando el cuerpo en contacto se mueve a lo largo de la superficie.

El peso del cuerpo cuando su centro de gravedad se mueve horizontalmente.

ENERGIA CINETICA DE UN CUERPO RIGIDO

MOVIMIENTO GENERAL

La energa cintica de un cuerpo se puede obtener al sumar las energas cinticas de las partculas constituyentes. Entonces la energa cintica de un cuerpo que ocupa la regin V, como se muestra en la figura, es

En donde v es la velocidad del elemento diferencial (partcula) de masa dm. Si el cuerpo es rgido, las velocidades de los elementos diferenciales no son independientes, pero estn determinadas por la velocidad de un, punto de referencia A (un punto del cuerpo) y la velocidad angular a del cuerpo por

Donde r es el vector de posicin de dm con respecto de A. Hay dos opciones convenientes para el punto de referencia: el centro de masa G del cuerpo y el centro instantneo para velocidades.

PUNTO DE REFERENCIA: CENTRO DE MASAMediante el uso del centro de masa G como punto de referencia tenemos:

En donde r' representa el vector de posicin de dm con respecto a G, y v es la velocidad de G. Sustituyendo en la ecuacin para el movimiento general y desarrollando tenemos:

PUNTO DE REFERENCIA: CENTRO INSTANTNEO Si A es el centro instantneo de velocidades, entonces VA =0 y v =xr. La ecuacin se puede entonces escribir como:

MOVIMIENTO EN UN PLANO

PUNTO DE REFERENCIA: CENTRO DE MASASi el movimiento tiene lugar en un plano, entonces y hG son perpendiculares al piano de movimiento. Adems, la magnitud de la cantidad de movimiento angular alrededor de G est dada por la ecuacin hG=I, donde I es el momento de inercia del cuerpo alrededor de G (ms precisamente, alrededor del eje en G que es perpendicular al plano de movimiento).

El primer trmino del lado derecho se denomina energa cintica de traslacin, y el segundo se conoce como energa cintica de rotacin.En el caso particular de un cuerpo en traslacin ( = 0):

En el caso de una rotacin centroidal

En el caso de una rotacin no centroidal:

representa el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje fijo que pasa por 0.

Se concluye que la energa cintica de un cuerpo rgido en movimiento plano puede descomponerse en dos partes:

1) La energa cintica asociada con el movimiento del centro de masa G del cuerpo, y

2) La energa cintica asociada con la rotacin del cuerpo alrededor de G.

PUNTO DE REFERENCIA: CENTRO INSTANTNEOSi el punto A es el centro instantneo para velocidades, la magnitud de la cantidad de movimiento angular alrededor de A es hA = IAx.

Esta ecuacin se utiliza comnmente para calcular la energa cintica de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo en A, pero no es necesario que A est fija; es suficiente que su velocidad sea cero en el instante de inters.

ENERGIA POTENCIAL DEL SOLIDO RIGIDO

Al igual que en la partcula para el slido rgido se utiliza las mismas ecuaciones ya que el peso y la fuerza elstica son fuerzas conservativas que solo dependen de la posicin inicial y final.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA (o trabajo realizado por la fuerza de gravedad)

ENERGIA POTENCIAL ELASTICA

En el caso de un resorte torsional:

PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIAEl principio de trabajo y energa para un sistema de partculas:

Donde los subndices 1 y 2 se refieren a las posiciones inicial y final del sistema, respectivamente, es el trabajo realizado por las fuerzas externas (incluyendo los pesos de las partculas), es el trabajo realizado por las fuerzas internas, y T=T2-T1 es el cambio de energa cintica del sistema.Si se considera que un cuerpo rgido est conformado de partculas, la ecuacin se puede aplicar directamente al movimiento de un cuerpo rgido, o a un sistema de cuerpos rgidos conectados, como s describe enseguida.

PARA UN SOLO CUERPO RGIDOEl principio del trabajo y la energa se utilizar ahora para analizar el movimiento plano de cuerpos rgidos. Este mtodo en particular se adapta bien a la solucin de problemas en los que intervienen velocidades y desplazamientos. Su ventaja principal radica en el hecho de que el trabajo de fuerzas y la energa cintica de partculas son cantidades escalares. Para aplicar el principio del trabajo y la energa en el anlisis del movimiento de un cuerpo rgido, se supondr que el cuerpo rgido est compuesto por un gran nmero n de partculas de masa mi.

Donde:

La energa cintica total:

Se obtiene al sumar cantidades escalares positivas, y ella misma es una cantidad escalar positiva.

La expresin representa el trabajo de todas las fuerzas que actan sobre las distintas partculas del cuerpo, ya sea que estas fuerzas sean internas o externas. Sin embargo, el trabajo total de las fuerzas internas que mantienen unidas las partculas de un cuerpo rgido es cero. Considere dos partculas A y B de un cuerpo rgido y las dos fuerzas iguales y opuestas F y F que se ejercen entre s.

Mientras que, en general, los pequeos desplazamientos de las dos partculas son diferentes, las componentes d estos desplazamientos a lo largo de AB deben ser iguales; de otra forma, las partculas no permaneceran a la misma distancia una de otra y el cuerpo no sera rgido. Por lo tanto, el trabajo de F es igual en magnitud y opuesto en signo al trabajo de F, y su suma es cero. As, el trabajo total de las fuerzas internas que actan sobre las partculas de un cuerpo rgido es cero, y la expresin se reduce al trabajo de las fuerzas externas y stas actan sobre el cuerpo durante el desplazamiento considerado.

SISTEMA DE CUERPOS RGIDOS CONECTADOS.Como se explic antes, las fuerzas internas en un cuerpo rgido no realizan trabajo, pero las conexiones internas entre cuerpos rgidos pueden tener o no tener capacidad para realizar trabajo. Las cuerdas y pasadores que no son extensibles son ejemplos de conectores internos que no realizan trabajo, mientras que los resortes y la friccin dan lugar a fuerzas internas que pueden realizar trabajo. Por lo tanto, el principio de trabajo y energa para el movimiento de un sistema conectado de cuerpos rgidos debe usarse en su forma general

En esta ecuacin, T representa la energa cintica del sistema, que es igual a la suma de las energas cinticas de los cuerpos que lo constituyen.

CONSERVACIN DE LA ENERGACuando un cuerpo rgido, o un sistema de cuerpos rgidos, se mueven bajo la accin de las fuerzas conservativas, el principio del trabajo y la energa se expresa en una forma modificada.

Aqu es precisa agregar que el mtodo del trabajo y la energa debe complementarse con la aplicacin del principio de d'Alembert cuando se van a determinar reacciones en ejes fijos, rodillos o bloques corredizos.

TRABAJO Y ENERGIA DE UN CUERPO RIGIDO EN TRES DIMENSIONES

ENERGIA CINETICA DE UN CUERPO RIGIDO EN TRES DIMENSIONESCASO GENERAL:Considere un cuerpo rgido de masa m en movimiento tridimensional. La velocidad absoluta de cada partcula del cuerpo se expresa como la suma de la velocidad del centro de masa G del cuerpo y de la velocidad de la partcula relativa al sistema de referencia Gxyz con origen en G y de orientacin fija, la energa cintica del sistema de partculas que forman al cuerpo rgido puede escribirse de la forma.

Donde el ultimo termino representa la energa cintica T del cuerpo relativa al sistema de referencia centroidal Gxyz. Puesto que , se escribe:

Si los ejes de coordenadas se eligen de manera que coinciden en el instante considerado con los ejes principales x,y,z del cuerpo, la relacin que se obtuvo se reduce a:

Donde:

VELOCIDAD ANGULAR PARALELA A UN EJESi es paralela a uno de los ejes de coordenados, la ecuacin se reduce a:

Esta ecuacin es anloga a la que se utiliza a la que se utiliza en el movimiento en un plano, pero, en este ltimo, siempre permaneci paralela al eje a un eje, mientras en la otra requiere que est en la direccin del eje solo en el instante de inters.

CUERPO RIGIDO CON UN PUNTO FIJO

En el caso particular de un cuerpo rgido que gira en el espacio tridimensional alrededor de un punto fijo O, la energa cintica del cuerpo puede expresarse en trminos de sus momentos y productos e inercia con respecto a los ejes con origen en O. Si se recuerda la definicin de la energa cintica en un sistema de partculas y se sustituye , se escribe

Si los ejes principales x,y,z del cuerpo en el origen O se eligen como los ejes coordenados.

DINAMICA Ing. Civil