Casos EspecialesDel Método Simplex

DOCENTE:

Arq. Lucila Aguilar Rivero

INTEGRANTES:

Arzápalo Alcocer Jesús A. Chay Tun Rodrigo Rene

Uc Caamal Carlos Alberto

INGENIERÍA INDUSTRIAL 3° “A”

19-04-16

Casos especiales en la aplicación del método simplex

Consideraremos casos especiales que pueden presentarse en la aplicación del método simplex, entre los que se encuentran:

Degeneración. Opciones óptimas. Soluciones no acotadas. Soluciones inexistentes (o infactibles).

Degeneración En la aplicación de la condición de factibilidad,

una coincidencia de la razón mínima se debe descomponer en forma arbitraria para los fines de determinar la variable que sale. Cuando suceda esto una o más veces de las variables básicas, será necesariamente igual a cero en la siguiente iteración. En este caso, decimos que la nueva solución es degenerada.

EJEMPLO NO. 1:

Maximizar z = 3x1 +9x2

Sujeto ax1 + 4x2 £ 8x1 + 2x2 £ 4x1,x2 ³ 0

Tres rectas cruzan el optimo. Como éste es un problema bidimensional, se dice que el punto esta más que determinado (o sobre determinado), ya que solo necesitamos dos rectas para identificarlo. Por este motivo, concluimos que una de las restricciones es redundante. Desafortunadamente no existen técnicas confiables para identificar restricciones redundantes directamente a partir de la tabla.

Desde el punto de vista teórico, la

degeneración tiene dos implicaciones. La primera

tiene que ver con el fenómeno del ciclaje o

reciclaje. Si se observan las iteraciones 1 y 2 el l

valor de la función objetivo no ha mejorado (z=18).

Por lo tanto, es posible, en términos generales, que

el procedimiento simplex repetiría la misma

sucesión de iteraciones, sin mejorar nunca el valor

de la función objetivo ni poner fin a los cálculos.

El segundo punto teórico se presenta en el examen

de las iteraciones 1 y 2. Ambas iteraciones, pese a

diferir en la clasificación de las variables como

básicas y no básicas, producen valores idénticos de

todas las variables y el valor de la función objetivo,

es decir,

x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 0, z = 18

Por lo tanto, se genera un argumento relacionado

con la posibilidad de suspender los cálculos en la

iteración 1 (cuando aparece la degeneración),

aunque no es óptima. Este argumento no es válido

porque, en general, una solución puede

ser temporalmente degenerada.

EJEMPLO 2: Ejemplo 

Maximizar Z = 2x1+ x2 S.A. 4x1   +   3x2   #   12 4x1   +   x2   #   8 4x1   +   x2   #   8 xj³0 (j =1,2) 

En forma estándar e igualando a cero la función objetivo 

Maximizar Z -2x1- x2    =    0 S.A. 4x1   +   3x2   +   x3         =   12 4x1   +   x2      +   x4      =   8 4x1   +   x2         +   x5   =   8 xj³0 (j =1, 2, 3, 4,5)    

Primera tabla simplex. Construyendo la tabla inicial simplex. 

Segunda tabla simplex. Solución degenerada porque la variable básica X5 tiene un valor de cero. 

  Tercera tabla simplex. Solución óptima no-degenerada. 

 Solución optima no-degenerada: X1   =   3/2 X2   =   2 Valor óptimo de la función objetivo Z   =   5 

OPCIONES OPTIMAS:Cuando la función objetivo es paralela a una restricción de enlace (o sea, una restricción

que se satisface en el sentido de la igualdad a través de la solución óptima), la función objetivo tomara el mismo valor optimo en más de un punto de solución. Por esta razón reciben el nombre de opciones optimas.

Ejemplo No. 1: (Infinidad de soluciones)

Maximizar z = 2x1 + 4x2Sujeto a

x1 + x2 £ 5x1 + x2£ 4x1, x2³ 0

En términos algebraicos sabemos que el método simplex es capaz de encontrar soluciones en puntos extremos exclusivamente.

Como es de esperarse, el método simplex sólo determina los puntos extremos B y C. Matemáticamente podemos determinar todos los puntos (x1, x2), del segmento de recta BC, como un promedio ponderado no negativo de los puntos B y C. Esto es, dada la relación 0 £ ¥ £ 1 yB: x1 =0, x2=5/2C: X1=3, x2=1 

EJEMPLO 2: Ejemplo. 

Maximizar Z   =    4x1+ 14x2 S.A. 2x1   +   7x2   #   21 7x1   +   2x2   #   21 xj³0 (j =1,2) 

En forma estándar e igualando a cero la función objetivo. 

Maximizar Z   -4x1-14x2    =0 S.A. 2x1   +   7x2   +   x3      =   21 7x1   +   2x2      +   x4   =   21 xj³0 (j =1, 2, 3, 4) 

Primera tabla simplex. Construyéndo la tabla inicial simplex. 

 Segunda tabla simplex. Primera solución óptima. 

 Tercera tabla simplex. Segunda solución óptima 

 

Conclusión: Se trata de un problema de soluciones óptimas multiples. Primera solución óptima X1   =   0 X2   =   3 Valor óptimo de Z = 42 

Segunda solución óptima X1   =   7/3 X2   =   7/3 Valor óptimo de Z = 42 

a) Una de las variables no-básicas tiene un coeficiente cero en el renglón de la función objetivo.  

 

b) Al menos uno de los coeficientes de la columna identificada en el inciso (a) es positivo.  

 

c) Otra solución óptima es generada introduciendo a la base a la variable identificada en el inciso (a) y procediendo con la aplicación del algoritmo del método simplex.  

Los problemas con soluciones óptimas multiples se identifican, si al obtener las solución óptima se presenta: 

SOLUCION NO ACOTADA En algunos modelos de programación lineal los valores de las variables se pueden aumentar

en forma indefinida sin violar ninguna de las restricciones, lo que significa que el espacio de soluciones es no acotado cuando menos en una dirección. Como resultado, el valor de la función objetivo puede crecer (caso de maximización) o de crecer (caso de minimización) en forma indefinida. En este caso decimos que el espacio de soluciones y el valor "óptimo" de la función objetivo son no acotados.

La falta de explicación en un modelo puede señalar solo una cosa: el modelo está mal construido. Evidentemente resulta irracional hacer que un modelo produzca una ganancia " infinita". Las irregularidades mas probables en estos modelos son: 1) N ose toman en cuenta una mas restricciones redundantes, y 2) No se determinan correctamente los parámetros ( constantes ) de algunas restricciones.

La regla general para reconocer la falta de acotación es la siguiente. Sien cualquier iteración los coeficientes de las restricciones de una variable no básica son no positivos, entonces el espacio de soluciones no esta acotado en esa dirección. Además, si el coeficiente de la función objetivo de esa variable en el caso de la maximización o positivo en el caso de la minimización, entonces el valor de la función objetivo tampoco esta acotado.

Ejemplo No. 1: (Función objetivo no acotada)Maximizar z = 2x1 + x2

Sujeto ax1 - x2 £ 102x1 £ 40x1, x2 ³ 0 Iteración inicial

En la tabla inicial x1 y x2 son los candidatos para entrar en la solución. Como x1 tiene el coeficiente más negativo. Normalmente se selecciona como la variable que entra. Sin embargo, nótese que todos los coeficientes de las restricciones por debajo de x2 son negativos o cero, esto significa que x2 se puede hacer crecer en forma indefinida sin que se infrinja ninguna de las restricciones. Como cada incremento de una unidad en x2, aumentará z en 1, un incremento infinito en x2también dará lugar a un incremento infinito en z. Por lo tanto, concluimos que el problema no tiene solución acotada. Este resultado se puede apreciar en la figura 3-6. El espacio de soluciones no está acotado en la dirección de x2 y el valor de z puede crecer en forma indefinida.

EJEMPLO 2:

Ejemplo: Problema con solución óptima no-acotada, siempre existirá una mejor solución. Maximizar Z = 2x1+ x2 S.A. x1   -   x2   #   10 2x1   -   x2   #   40 xj³0 (j =1,2) 

En forma estándar e igualando a cero la función objetivo Maximizar Z -2x1- x2   =   0 S.A. x1   -   x2   +   x3      =   10 2x1   -   x2      +   x4   =   40 xj³0 (j =1, 2, 3, 4) 

Primera tabla simplex. Construyendo la tabla inicial simplex. 

 

Segunda tabla simplex. 

 Tercera tabla simplex. Solución óptima no-Acotada 

Conclusión: En esta solución se puede definir variable entrante pero ya no variable saliente porque siempre existirá una mejor solución, si esto sucede se concluye que se trata de un problema de solución óptima no-acotada. 

Si las restricciones no se pueden satisfacer en forma simultanea, se dice que el modelo no tiene solución factible. Esta situación nunca puede ocurrir si todas las restricciones son del tipo (suponiendo constantes no negativas en el segundo miembro) ya que la variable de holgura produce siempre alguna solución factible. Sin embargo, cuando empleamos los otros tipos de restricciones, recurrimos al uso de variables artificiales que, por su mismo diseño, no ofrecen una solución factible al modelo original. Aunque se toman medidas (a través del uso de la penalización) para hacer que las variables artificiales sean cero en el nivel óptimo, esto sólo puede ocurrir si el modelo tiene un espacio factible. Si no lo tiene, cuando menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima. Esta es nuestra indicación que el problema no tiene solución factible.

Desde el punto de vista practico un espacio infactible apunta a la posibilidad de que el modelo no se haya formulado correctamente en virtud de que las restricciones estén en conflicto. También es posible que las restricciones no estén destinadas a cumplirse en forma simultanea, en este caso, quina se necesite una estructura del modelo totalmente deferente que no admita todas las restricciones al mismo tiempo.

SOLUCION INFACTIBLE

Ejemplo No. 1, de espacio de solución infactible

Maximizar z = 3x1 + 2x2

Sujeto a2x1 + x2 £ 2

3x1 + 4x2 ³ 12x1, x2 ³ 0

Las iteraciones simplex de la tabla 3-4 muestran que la variable artificial R es positiva (= 4) en la solución óptima. Esta es una indicación de que el espacio de soluciones es infactible. La figura 3-7 muestra el espacio de soluciones infactible.El método simplex, haciendo posible que la variable artificial sea positiva, ha invertido en esencia la dirección de la desigualdad de 3x1+ 4x2 ³ 12    a    3x1 + 4x2 £ 12. El resultado lo podemos llamar la solución pseudoóptima, como se muestra en la figura 3-7. 

EJEMPLO 2: Ejemplo. 

Maximizar Z   =    3x1+ 2x2 S.A. 2x1   +   x2   #   2 3x1   +   4x2   ³   12 xj³0 (j =1,2) 

Resolviendo por el Método Penal Obteniendo la forma estándar, igualando a cero la función objetivo y penalizando la función objetivo. 

Maximizar Z   -   3x1-   2x2    +   M W1   =   0 S.A. 2x1   +   x2   +   x3            =   2 3x1   +   4x2      -   x4   +   W1   =   12 xj³0 (j =1, 2, 3, 4) 

Primera tabla. Construyéndo la tabla inicial 

 Segunda tabla simplex. Generando la tabla inicial básica. 

 Tercera tabla simplex. Obteniendo la solución óptima 

a) Una o más de las variables artificiales es básica, con un valor diferente de cero.  

 

b) El valor óptimo de la función objetivo (Z) tiene una M.  

c) Si se presenta uno o los dos incisos anteriores se concluye que se trata de un caso especial del método simplex de  no-existencia de soluciones.  

Conclusión: Se trata de un problema de no-existencia de soluciones. 

Los problemas con no-existencia de soluciones se identifican, si al obtener las solución óptima, por el método penal, se presenta: 

a) La variable artificial W1 = 4 es básica con unvalor diferente de cero.  

b) En el valor óptimo de la función objetivo Z = -4M+4 aparece un coeficiente M.   

c) Por lo que se trata de un caso especial del método simplex de no-existencia de soluciones.  

Para el caso que nos ocupa se identifica: 

FUENTES DE INFORMACIÓN: http://148.204.211.134/polilibros/portal/polilibros/P_Terminados/

InvOperChave/Documentos/Unidad4/UNIDAD42.htm http://148.204.211.134/polilibros/portal/polilibros/

P_Terminados/InvOper1Virg/InvOperac/UMD/Unidad%204/Ejercicios/ejercicios4_1al4_6.htm