TRABAJO UNIDAD 5 Marquez Patiño Jose Adrian

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TEZIUTLAN

ALUMNO: MARQUEZ PATIÑO JOSE ADRIAN

DOCENTE: ING. ALFREDO CARRASCO

MATERIA: CONTROL

GRUPO: “A”

CARRERA: MECATRONICA

Márquez Patiño José Adrián CONTROL

1

Análisis de sistemasde control en el espacio de estados

IntroducciónUn sistema moderno complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entresí de una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la comple-jidad de las expresiones matemáticas, además de recurrir a computadoras que realicen una granparte de los tediosos cálculos que son necesarios. El enfoque en el espacio de estados para elanálisis de sistemas es el más conveniente desde este punto de vista.

Mientras la teoría de control convencional se basa en la relación entrada-salida, o función detransferencia, la teoría de control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de unsistema en términos de n ecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan en unaecuación diferencial vectorial de primer orden. El uso de la notación matricial simplifica enor-memente la representación matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en el núme-ro de variables de estado, de entradas o de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones.De hecho, el análisis de sistemas complicados con múltiples entradas y salidas se realiza median-te procedimientos sólo ligeramente más complicados que los requeridos para el análisis de siste-mas de ecuaciones diferenciales escalares de primer orden.

Este capítulo y el siguiente abordan el análisis y el diseño de sistemas de control en el espa-cio de estados. En este capítulo se presenta el material básico de análisis en el espacio de estados,que incluye la representación de sistemas en el espacio de estados, la controlabilidad y la obser-


2

INDICE COMO HIPERVINCULO A LA IZQUIERDA DEL PDF

vabilidad. En el Capítulo 10 se abordan los métodos básicos de diseño de sistemas de controlbasados en la realimentación del estado.

Representaciones en el espacio de estados desistemas definidos por su función de transferenciaExisten muchas técnicas para obtener representaciones en el espacio de estados de sistemas defi-nidos por su función de transferencia. En el Capítulo 2 presentamos algunos métodos. Esta sec-ción aborda las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, ob-servable, diagonal o de Jordan. (Los métodos para obtener representaciones en el espacio deestados de funciones de transferencia se analizan en los Problemas A-9-1 a A-9-4.)

Representación en el espacio de estados en formas canónicas. Considérese unsistema definido mediante:

(n)y ! a1

(n.1)y ! ñ ! an.1y5 ! any % b0

(n)u ! b1

(n.1)u ! ñ ! bn.1u5 ! bnu (9-1)

donde u es la entrada e y es la salida. Esta ecuación también puede escribirse como:

Y(s)

U(s)%

b0sn! b1s

n.1! ñ ! bn.1s ! bn

sn! a1s

n.1! ñ ! an.1s ! an

(9-2)

A continuación se presentan las representaciones en el espacio de estados del sistema definidomediante las Ecuaciones (9-1) o (9-2), en su forma canónica controlable, en su forma canónicaobservable y en su forma canónica diagonal (o de Jordan).

Forma canónica controlable. La siguiente representación en el espacio de estados se deno-mina forma canónica controlable:

Cx51x52ó

x5n.1

x5nD%C

0 1 0 ñ 0

0 0 1 ñ 0

ó ó ó ó0 0 0 ñ 1

.an .an.1 .an.2 ñ .a1D C

x1

x2

óxn.1

xnD!C

0

0

ó0

1D u (9-3)


3

y % [bn . anb0 bn.1 . an.1b0 ñ b1 . a1b0]Cx1

x2

óxnD! b0u (9-4)

La forma canónica controlable es importante cuando se analiza el método de asignación de polospara el diseño de sistemas de control.

Forma canónica observable. La siguiente representación en el espacio de estados se deno-mina forma canónica observable:

Cx51x52óx5nD%C

0 0 ñ 0 .an

1 0 ñ 0 .an.1

ó ó ó ó0 0 ñ 1 .a1

DCx1

x2

óxnD! C

bn . anb0

bn.1 . an.1b0

ób1 . a1b0

D u (9-5)

y % [0 0 ñ 0 1]Cx1

x2

óxn.1

xnD! b0u (9-6)

Obsérvese que la matriz de estado de n # n de la ecuación de estado obtenida mediante la Ecua-ción (9-5) es la transpuesta de la ecuación de estado definida por la Ecuación (9-3).

Forma canónica diagonal. Considérese el sistema representado por la función de transfe-rencia definida mediante la Ecuación (9-2). Se considera el caso en el que el polinomio deldenominador sólo contiene raíces distintas. En este caso, la Ecuación (9-2) se puede escribircomo:

Y(s)

U(s)%

b0sn! b1s

n.1! ñ ! bn.1s ! bn

(s ! p1)(s ! p2) ñ (s ! pn)

% b0 !c1

s ! p1!

c2

s ! p2! ñ !

cn

s ! pn

(9-7)

La forma canónica diagonal de la representación en el espacio de estados de este sistema vienedada por


4

Cx51x52óx5nD%C

.p1 0

.p2...

0 .pnDC

x1

x2

óxnD!C

1

1

ó1D u (9-8)

y % [c1 c2 ñ cn]Cx1

x2

óxnD! b0u (9-9)

Forma canónica de Jordan. A continuación se considera el caso en el que el polinomio deldenominador de la Ecuación (9-2) contiene raíces múltiples. En este caso la forma canónica dia-gonal anterior debe modificarse a la forma canónica de Jordan. Suponga, por ejemplo, que todoslos pi, excepto los tres primeros, son diferentes entre sí, o sea, p1 % p2 % p3. En este caso, laforma factorizada de Y(s)/U(s) se hace

Y(s)

U(s)%

b0sn! b1s

n.1! ñ ! bn.1s ! bn

(s ! p1)3(s ! p4)(s ! p5) ñ (s ! pn)

El desarrollo en fracciones simples de esta última ecuación se convierte en

Y(s)

U(s)% b0 !

c1

(s ! p1)3 !

c2

(s ! p1)2 !

c3

s ! p1!

c4

s ! p4! ñ !

cn

s ! pn

Una representación en el espacio de estados de este sistema en su forma canónica de Jordan seobtiene mediante

Cx51x52x53x54óx5nD%C

.p1 1 0 0 ñ 0

0 .p1 1 0 0

0 0 .p1 0 ñ 0

0 ñ 0 .p4 0

ó ó ...0 ñ 0 0 .pn

DCx1

x2

x3

x4

óxnD!C

0

0

1

1

ó1D u (9-10)

y % [c1 c2 ñ cn]Cx1

x2

óxnD! b0u (9-11)


5

EJEMPLO 1 Considere el sistema definido por

Y(s)

U(s)%

s ! 3

s2! 3s ! 2

Obtenga las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, en la for-ma canónica observable y en la forma canónica diagonal.

Forma canónica controlable:

Cx51(t)

x52(t)D%C0 1

.2 .3DCx1(t)

x2(t)D!C0

1D u(t)

y(t) % [3 1]Cx1(t)

x2(t)DForma canónica observable:

Cx51(t)

x52(t)D%C0 .2

1 .3DCx1(t)

x2(t)D!C3

1D u(t)

y(t) % [0 1]Cx1(t)

x2(t)DForma canónica diagonal:

Cx51(t)

x52(t)D%C.1 0

0 .2DCx1(t)

x2(t)D!C1

1D u(t)

y(t) % [2 .1]Cx1(t)

x2(t)DValores propios de una matriz A de n # n. Los valores propios de una matriz A de

n # n son las raíces de la ecuación característica

�jI . A� % 0

Los valores propios también se denominan raíces características. Por ejemplo, considérese la ma-triz A siguiente:

A %C0 1 0

0 0 1

.6 .11 .6DLa ecuación característica es

�jI . A� % Gj .1 0

0 j .1

6 11 j ! 6 G% j3

! 6j2! 11j ! 6

% (j ! 1)(j ! 2)(j ! 3) % 0

Los valores propios de A son las raíces de la ecuación característica, .1, .2 y .3.

Diagonalización de una matriz de n # n. Obsérvese que, si una matriz A de n # ncon valores propios distintos, está dada por


6

A %C0 1 0 ñ 0

0 0 1 ñ 0

ó ó ó ó0 0 0 ñ 1

.an .an.1 .an.2 ñ .a1D (9-12)

la transformación x % Pz, donde

P %C1 1 ñ 1

j1 j2 ñ jn

j21 j2

2 ñ j2n

ó ó ójn.1

1 jn.12 ñ jn.1

nD

j1, j2, ..., jn % n valores propios distintos de A

transformará P.1AP en la matriz diagonal o

P.1AP %Cj1 0

j2...

0 jnD

Si la matriz A definida mediante la Ecuación (9-12) contiene valores propios múltiples, ladiagonalización es imposible. Por ejemplo, si la matriz A de 3 # 3, donde

A %C0 1 0

0 0 1

.a3 .a2 .a1D

tiene los valores propios j1, j1, j3 la transformación x % Sz, donde

S %C1 0 1

j1 1 j3

j21 2j1 j2

3D

producirá

S.1AS %Cj1 1 0

0 j1 0

0 0 j3D

que está en la forma canónica de Jordan.


7

EJEMPLO 2 Considere la siguiente representación en el espacio de estados de un sistema.

Cx51x52x53D%C

0 1 0

0 0 1

.6 .11 .6DCx1

x2

x3D!C0

0

6D u (9-13)

y % [1 0 0]Cx1

x2

x3D (9-14)

Las Ecuaciones (9-13) y (9-14) se escriben en una forma estándar como

x5 % Ax ! Bu (9-15)

y % Cx (9-16)donde

A %C0 1 0

0 0 1

.6 .11 .6D , B %C0

0

6D , C % [1 0 0]

Los valores propios de la matriz A son

j1 % .1, j2 % .2, j3 % .3

Por tanto, los tres valores propios son distintos. Si se define un nuevo conjunto de variables deestado z1, z2 y z3 mediante la transformación

Cx1

x2

x3D%C1 1 1

.1 .2 .3

1 4 9DCz1

z2

z3Do bien

x % Pz (9-17)donde

P %C1 1 1

j1 j2 j3

j21 j2

2 j23D%C

1 1 1

.1 .2 .3

1 4 9D (9-18)

entonces, sustituyendo la Ecuación (9-17) en la Ecuación (9-15), se obtiene

Pz0 % APz ! Bu

Premultiplicando ambos miembros de esta última ecuación por P.1, se obtiene

z0 % P.1APz ! P.1Bu (9-19)o bien

Cz51z52z53D%C

3 2.5 0.5

.3 .4 .1

1 1.5 0.5DC0 1 0

0 0 1

.6 .11 .6DC1 1 1

.1 .2 .3

1 4 9DCz1

z2

z3D!C

3 2.5 0.5

.3 .4 .1

1 1.5 0.5DC0

0

6D u


8

Al simplificar se deduce

Cz51z52z53D%C

.1 0 0

0 .2 0

0 0 .3DCz1

z2

z3D!C3

.6

3D u (9-20)

La Ecuación (9-20) es también una ecuación de estado que describe el mismo sistema definidomediante la Ecuación (9-13).

La ecuación de salida, Ecuación (9-16), se modifica a

y % CPzo bien

y % [1 0 0]C1 1 1

.1 .2 .3

1 4 9DCz1

z2

z3D% [1 1 1]C

z1

z2

z3D (9-21)

Observe que la matriz de transformación P, definida mediante la Ecuación (9-18), modifica la ma-triz de coeficientes de z en la matriz diagonal. Como se aprecia claramente en la Ecuación (9-20),las tres ecuaciones de estado escalares no están acopladas. Observe también que los elementos dela diagonal principal de la matriz P.1AP en la Ecuación (9-19) son idénticos a los tres valorespropios de A. Es muy importante señalar que los valores propios de A son idénticos a los deP.1AP. A continuación se demuestra esto para un caso general.

Invariancia de los valores propios. Para comprobar la invariancia de los valores pro-pios bajo una transformación lineal, se debe demostrar que los polinomios característicos|jI . A| y |jI . P.1AP� son idénticos.

Como el determinante de un producto es el producto de los determinantes, se obtiene

�jI . P.1AP� % �jP.1P . P.1AP�

% �P.1(jI . A)P�

% �P.1� �jI . A� �P�

% �P.1� �P� �jI . A�

Si se tiene en cuenta que el producto de los determinantes |P.1| y |P| es el determinante delproducto |P.1P|, se obtiene

�jI . P.1AP� % �P.1P� �jI . A�

% �jI . A�

Por tanto, se ha demostrado que los valores propios de A son invariantes bajo una transformaciónlineal.

No unicidad de un conjunto de variables de estado. Se ha planteado que un con-junto de variables de estado no es único para un sistema específico. Supóngase que x1, x2, ..., xn


9

forman un conjunto de variables de estado. Se puede tomar como otro conjunto de variables deestado cualquier conjunto de funciones

x4 1 % X1(x1, x2, ..., xn)

x4 2 % X2(x1, x2, ..., xn)ó

x4 n % Xn(x1, x2, ..., xn)

siempre y cuando, a cada conjunto de valores x4 1, x4 2, ..., x4 n, le corresponda un conjunto único devalores x1, x2, ..., xn, y viceversa. Por tanto, si x es un vector de estado entonces, x̂, donde

x̂ % Px

es también un vector de estado, siempre y cuando la matriz P sea no singular. Los diferentesvectores de estado aportan la misma información acerca del comportamiento del sistema.

Transformación de modelos de sistemascon MATLABEn esta sección se considera la transformación del modelo del sistema basado en su función detransferencia al espacio de estados, y viceversa. Se comenzará el análisis con la transformaciónde una función de transferencia al espacio de estados.

Se escribe la función de transferencia en lazo cerrado como

Y(s)

U(s)%

numerador polinomial en s

denominador polinomial en s%

num

den

Una vez que se tiene esta expresión, la orden de MATLAB

[A, B, C, D] % tf2ss(num,den)

producirá una representación en el espacio de estados. Es importante señalar que la representa-ción en el espacio de estados para cualquier sistema no es única. Existen muchas (en realidadinfinitas) representaciones en el espacio de estados para el mismo sistema. La orden tf2ss deMATLAB ofrece una de las posibles representaciones en el espacio de estados.

Formulación en el espacio de estados de sistemas basados en su función detransferencia. Considérese el sistema definido por la función de transferencia

Y(s)

U(s)%

10s ! 10

s3! 6s2

! 5s ! 10(9-22)

Existen muchas representaciones posibles en el espacio de estados para este sistema. Una repre-sentación posible en el espacio de estados es

Cx51x52x53D%C

0 1 0

0 0 1

.10 .5 .6D Cx1

x2

x3D!C

0

10

.50D u

y % [1 0 0]Cx1

x2

x3D! [0] u


10

Otra representación posible en el espacio de estados (entre muchas alternativas) es

Cx51x52x53D%C

.6 .5 .10

1 0 0

0 1 0D Cx1

x2

x3D!C

1

0

0D u (9-23)

y % [0 10 10]Cx1

x2

x3D! [0] u (9-24)

MATLAB transforma la función de transferencia obtenida mediante la Ecuación (9-22) en larepresentación en el espacio de estados obtenida mediante las Ecuaciones (9-23) y (9-24). Para elsistema del ejemplo que se considera aquí, el Programa MATLAB 9-1 producirá las matrices A,B, C y D.

MATLAB Programa 9-1

num = [10 10];den = [1 6 5 10];[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

A %

6 –5 –101 0 00 1 0

B =100

C =0 10 10

D =0

Transformación del espacio de estados a una función de transferencia. Paraobtener la función de transferencia a partir de las ecuaciones en el espacio de estados, se utilizala orden siguiente:

[num,den] % ss2tf[A,B,C,D,iu]

iu debe especificarse para los sistemas con más de una entrada. Por ejemplo, si el sistema tienetres entradas (u1, u2, u3), entonces iu debe ser 1, 2 o 3, en donde 1 implica u1, 2 implica u2 y 3implica u3.

Si el sistema sólo tiene una entrada, entonces se puede utilizar

[num,den] % ss2tf[A,B,C,D]

o bien

[num,den] % ss2tf[A,B,C,D,1]

(Véanse el Ejemplo 9-3 y el Programa MATLAB 9-2.)


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Para el caso en que el sistema posee entradas y salidas múltiples, véase el Ejemplo 9-4.

EJEMPLO 3 Obtenga la función de transferencia del sistema definido mediante las ecuaciones en el espacio deestados siguiente:

Cx51x52x53D%C

0 1 0

0 0 1

.5.008 .25.1026 .5.03247DCx1

x2

x3D!C0

25.04

.121.005D u

y % [1 0 0]Cx1

x2

x3DEl Programa MATLAB 9-2 producirá la función de transferencia para el sistema dado. La funciónde transferencia obtenida es

Y(s)

U(s)%

25.04s ! 5.008

s3! 5.0325s2

! 25.1026s ! 5.008

MATLAB Programa 9-2

A = [0 1 0;0 0 1;–5.008 –25.1026 –5.03247];

B = [0;25.04; –121.005];

C = [1 0 0];

D = [0];

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D)

num =

0 –0.0000 25.0400 5.0080

den =

1.0000 5.0325 25.1026 5.0080

7% ***** El mismo resultado se puede obtener introduciendo

% la orden siguiente *****

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,1)

num =

0 –0.0000 25.0400 5.0080

den =

1.0000 5.0325 25.1026 5.0080


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EJEMPLO 4 Considere un sistema con entradas y salidas múltiples. Cuando el sistema tiene más de una salida,la orden

[NUM,den] % ss2tf[A,B,C,D,iu]

produce funciones de transferencia para todas las salidas para cada entrada. (Los coeficientes delnumerador se devuelven en la matriz NUM con el mismo número de filas que de salidas.)

Considere el sistema definido mediante

Cx51x52D%C

0 1

.25 .4DCx1

x2D!C1 1

0 1DCu1

u2D

Cy1

y2D%C1 0

0 1DCx1

x2D!C0 0

0 0DCu1

u2DEste sistema contiene dos entradas y dos salidas. Hay cuatro funciones de transferencia implícitas:Y1(s)/U1(s), Y2(s)/U1(s), Y1(s)/U2(s) y Y2(s)/U2(s). (Al considerar la entrada u1, se supone que laentrada u2 es cero, y viceversa.) Véase la salida del Programa MATLAB 9-3.

MATLAB Programa 9-3

A = [0 1;–25 –4];B = [1 1;0 1];C = [1 0;0 1];D = [0 0;0 0];[NUM,den] = ss2tf(A,B,C,D,1)

NUM =

0 1 40 0 –25

den =

1 4 25

[NUM,den] = ss2tf(A,B,C,D,2)

NUM =

0 1.0000 5.00000 1.0000 –25.0000

den =

1 4 25

Esta es la representación en MATLAB de las cuatro funciones de transferencia siguientes:

Y1(s)

U1(s)%

s ! 4

s2! 4s ! 25

,Y2(s)

U1(s)%

.25

s2! 4s ! 25

Y1(s)

U2(s)%

s ! 5

s2! 4s ! 25

,Y2(s)

U2(s)%

s . 25

s2! 4s ! 25


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Solución de la ecuación de estado invariantecon el tiempoEn esta sección se obtendrá la solución general de la ecuación de estado lineal e invariante en eltiempo. Primero se considera el caso homogéneo y luego el no homogéneo.

Solución de las ecuaciones de estado para el caso homogéneo. Antes de resol-ver las ecuaciones diferenciales matriciales, se repasa la solución de la ecuación diferencialescalar

x5 % ax (9-25)

Al resolver esta ecuación, se supone una solución x(t) de la forma

x(t) % b0 ! b1t ! b2t2! ñ ! bkt

k! ñ (9-26)

Sustituyendo esta solución supuesta en la Ecuación (9-25), se obtiene

b1 ! 2b2t ! 3b3t2! ñ ! kbkt

k.1! ñ

% a(b0 ! b1t ! b2t2! ñ ! bkt

k! ñ) (9-27)

Si la solución supuesta se quiere que sea la solución verdadera, la Ecuación (9-27) debe ser váli-da para cualquier t. Por tanto, igualando los coeficientes de las potencias iguales de t, se obtiene

b1 % ab0

b2 %1

2ab1 %

1

2a2b0

b3 %1

3ab2 %

1

3 # 2a3b0

ó

bk %1

k!akb0

El valor de b0 se determina sustituyendo t % 0 en la Ecuación (9-26), o

x(0) % b0

Por tanto, la solución x(t) se escribe como

x(t) %A1 ! at !1

2!a2t2

! ñ !1

k!aktk ! ñB x(0)

% eatx(0)

A continuación se resuelve la ecuación diferencial matricial

x0 % Ax (9-28)

donde x % vector de dimensión nA% matriz de coeficientes constantes de n # n

Por analogía con el caso escalar, se supone que la solución está en la forma de una serie depotencias vectorial en t, o

x(t) % b0 ! b1t ! b2t2! ñ ! bkt

k! ñ (9-29)

Al sustituir esta solución supuesta en la Ecuación (9-28), se obtiene


14

b1 ! 2b2t ! 3b3t2! ñ ! kbkt

k.1! ñ

% A(b0 ! b1t ! b2t2! ñ ! bkt

k! ñ) (9-30)

Si la solución supuesta se quiere que sea la solución verdadera, la Ecuación (9-30) debe ser váli-da para todo t. Por tanto, igualando los coeficientes de las potencias iguales de t en ambos miem-bros de la Ecuación (9-30), se obtiene

b1 % Ab0

b2 %1

2Ab1 %

1

2A2b0

b3 %1

3Ab2 %

1

3 # 2A3b0

ó

bk %1

k!Akb0

Al sustituir t % 0 en la Ecuación (9-29), se obtiene

x(0) % b0

Así, la solución x(t) se escribe como

x(t) % AI ! At !1

2!A2t2

! ñ !1

k!Aktk

! ñB x(0)

La expresión entre paréntesis en el segundo miembro de esta última ecuación es una matriz den # n. Debido a su similitud con la serie infinita de potencias para una exponencial escalar, se ladenomina matriz exponencial y se escribe

I ! At !1

2!A2t2

! ñ !1

k!Aktk

! ñ % eAt

En términos de la matriz exponencial, la solución de la Ecuación (9-28) se puede escribir como

x(t) % eAtx(0) (9-31)

Como la matriz exponencial es muy importante en el análisis en el espacio de estados de lossistemas lineales, a continuación se examinarán sus propiedades.

Matriz exponencial. Se puede demostrar que la matriz exponencial de una matriz A den # n,

eAt%

ä

;k%0

Aktk

k!

converge absolutamente para todo t finito. (Por tanto, es fácil realizar los cálculos en un compu-tador para evaluar los elementos de eAt utilizando el desarrollo en serie.)

Debido a la convergencia de la serie infinitaä

;k%0

Aktk/k!, la serie puede diferenciarse término


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a término para producir

d

dteAt

% A ! A2t !A3t2

2!! ñ !

Aktk.1

(k . 1)!! ñ

% ACI ! At !A2t2

2!! ñ !

Ak.1tk.1

(k . 1)!! ñD% AeAt

%CI ! At !A2t2

2!! ñ !

Ak.1tk.1

(k . 1)!! ñDA % eAtA

La matriz exponencial tiene las siguientes propiedades:

eA(t!s)% eAteAs

Esto se demuestra del modo siguiente:

eAteAs% A

ä

;k%0

Aktk

k! BAä

;k%0

Aksk

k! B%

ä

;k%0

Ak Aä

;i%0

tisk.i

i!(k . i)!B%

ä

;k%0

Ak (t ! s)k

k!

% eA(t!s)

En particular, si s % .t, entonces

eAte.At% e.AteAt

% eA(t.t)% I

Por tanto, la inversa de eAt es e.At. Como la inversa de eAt siempre existe, eAt es no singular. Esmuy importante recordar que

e(A!B)t% eAteBt, si AB % BA

e(A!B)tÇ eAteBt, si AB Ç BA

Para demostrar esto, considérese que

e(A!B)t% I ! (A ! B)t !

(A ! B)2

2!t2 !

(A ! B)3

3!t3

! ñ

eAteBt%AI ! At !

A2t2

2!!

A3t3

3!! ñBAI ! Bt !

B2t2

2!!

B3t3

3!! ñB

% I ! (A ! B)t !A2t2

2!! ABt2 !

B2t2

2!!

A3t3

3!

!A2Bt3

2!!

AB2t3

2!!

B3t3

3!! ñ


16

Por tanto,

e(A!B)t. eAteBt

%BA . AB

2!t2

!BA2

! ABA ! B2A ! BAB . 2A2B . 2AB2

3!t3

! ñ

La diferencia entre e(A!B)t y eAteBt desaparece si A y B conmutan.

Método de la transformada de Laplace para la solución de las ecuaciones deestado en el caso homogéneo. Primero se considera el caso escalar:

x5 % ax (9-32)

Tomando la transformada de Laplace de la Ecuación (9-32), se obtiene

sX(s) . x(0) % aX(s) (9-33)

donde X(s) % �[x]. Al despejar X(s) en la Ecuación (9-33) se deduce

X(s) %x(0)

s . a% (s . a).1x(0)

La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación da la solución

x(t) % eatx(0)

El método anterior para la solución de la ecuación diferencial escalar homogénea se extiendea la ecuación de estado homogénea:

x0 (t) % Ax(t) (9-34)

Tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de la Ecuación (9-34), se obtiene

sX(s) . x(0) % AX(s)

donde X(s) % �[x]. Por tanto,

(sI . A)X(s) % x(0)

Premultiplicando ambos miembros de esta última ecuación por (sI . A).1, se obtiene

X(s) % (sI . A).1x(0)

La transformada inversa de Laplace de X(s) produce la solución x(t). Así,

x(t) % �.1[(sI . A).1]x(0) (9-35)

Obsérvese que

(sI . A).1%

I

s!

A

s2 !A2

s3 ! ñ

Por tanto, la transformada inversa de Laplace de (sI . A).1 da

�.1[(sI . A).1] % I ! At !A2t2

2!!

A3t3

3!! ñ % eAt (9-36)


17

(La transformada inversa de Laplace de una matriz es la matriz formada por las transformadasinversas de Laplace de todos los elementos.) A partir de las Ecuaciones (9-35) y (9-36), la solu-ción de la Ecuación (9-34) se obtiene como

x(t) % eAtx(0)

La importancia de la Ecuación (9-36) radica en el hecho de que ofrece una forma convenien-te de encontrar la solución cerrada para la matriz exponencial.

Matriz de transición de estados. Se puede escribir la solución de la ecuación de es-tado homogénea

x0 % Ax (9-37)

como

x(t) % �(t)x(0) (9-38)

donde �(t) es una matriz de n # n y es la solución única de

�0 (t) % A�(t), �(0) % I

Para verificar esto, obsérvese que

x(0) % �(0)x(0) % x(0)

y

x0 (t) % �0 (t)x(0) % A�(t)x(0) % Ax(t)

Por tanto, se confirma que la Ecuación (9-38) es la solución de la Ecuación (9-37).A partir de las Ecuaciones (9-31), (9-35) y (9-38), se obtiene

�(t) % eAt% �.1[(sI . A).1]

Obsérvese que

�.1(t) % e.At% �(.t)

En la Ecuación (9-38), vemos que la solución de la Ecuación (9-37) es simplemente una transfor-mación de la condición inicial. Por tanto, la matriz única �(t) se denomina matriz de transiciónde estados. La matriz de transición de estados contiene toda la información sobre el movimientolibre del sistema definido mediante la Ecuación (9-37).

Si los valores propios j1, j2, ..., jn de la matriz A son distintos, entonces �(t) contendrá las nexponenciales

ej1t, ej

2t, ..., ej

nt

En particular, si la matriz A es diagonal, entonces

�(t) % eAt%C

ej1t 0

ej2t

...0 ej

ntD (A: diagonal)


18

Si hay una multiplicidad en los valores característicos, por ejemplo, si los valores caracterís-ticos de A son

j1, j1, j1, j4, j5, ..., jn

entonces �(t) contendrá, además de las exponenciales ej1t, ej

4t, ej

5t, ..., ej

nt, términos como tej

1t y

t2ej1t.

Propiedades de la matriz de transición de estados. A continuación se resumen laspropiedades importantes de la matriz de transición de estados �(t). Para el sistema lineal e inva-riante con el tiempo

x0 % Axpara el cual

�(t) % eAt

se tienen las propiedades siguientes:

1. �(0) % eA0% I

2. �(t) % eAt% (e.At).1

% [�(.t)].1 o �.1(t) % �(.t)

3. �(t1 ! t2) % eA(t1!t

2)% eAt

1eAt2 % �(t1)�(t2) % �(t2)�(t1)

4. [�(t)]n% �(nt)

5. �(t2 . t1)�(t1 . t0) % �(t2 . t0) % �(t1 . t0)�(t2 . t1)

EJEMPLO 5 Obtenga la matriz de transición de estados �(t) del sistema siguiente

Cx51x52D%C

0 1

.2 .3DCx1

x2DObtenga también la inversa de la matriz de transición de estados, �.1(t).

Para este sistema,

A %C0 1

.2 .3DLa matriz de transición de estados �(t) se obtiene mediante

�(t) % eAt% �.1[sI . A).1]

Como

sI . A %Cs 0

0 sD.C0 1

.2 .3D%Cs .1

2 s ! 3Dla inversa de (sI . A) se obtiene mediante

(sI . A).1%

1

(s ! 1)(s ! 2) Cs ! 3 1

.2 sD

%Cs ! 3

(s ! 1)(s ! 2)

1

(s ! 1)(s ! 2)

.2

(s ! 1)(s ! 2)

s

(s ! 1)(s ! 2)D


19

Por tanto,

�(t) % eAt% �.1[sI . A).1]

%C2e.t

. e.2t et. e.2t

.2e.t! 2e.2t

.e.t! 2e.2tD

Si se tiene en cuenta que �.1(t) % �(.t), se obtiene la inversa de la matriz de transición deestados del modo siguiente:

�.1(t) % e.At%C

2et. e2t et

. e2t

.2et! 2e2t

.et! 2e2tD

Solución de ecuaciones de estado para el caso no homogéneo. Se comenzaráconsiderando el caso escalar

x5 % ax ! bu (9-39)

Si se reescribe la Ecuación (9-39) como

x5 . ax % bu

Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por e.at, se obtiene

e.at[x5(t) . ax(t)] %d

dt[e.atx(t)] % e.atbu(t)

Al integrar esta ecuación entre 0 y t se obtiene

e.atx(t) . x(0) %It

0e.aqbu(q) dq

o bien

x(t) % eatx(0) ! eat It

0e.aqbu(q) dq

El primer término del segundo miembro es la respuesta a las condiciones iniciales y el segundotérmino es la respuesta a la entrada u(t).

Ahora se considera la ecuación de estado no homogénea descrita mediante

x0 % Ax ! Bu (9-40)

donde x % vector de dimensión nu % vector de dimensión rA% matriz de coeficientes constantes de n # nB % matriz de coeficientes constantes de n # r

Escribiendo la Ecuación (9-40) como

x0 (t) . Ax(t) % Bu(t)

y premultiplicando ambos miembros de esta ecuación por e.At, se obtiene

e.At[x0 (t) . Ax(t)] %d

dt[e.Atx(t)] % e.AtBu(t)


20

Al integrar la ecuación anterior entre 0 y t se obtiene

e.Atx(t) . x(0) %It

0e.AqBu(q) dq

o bien

x(t) % eAtx(0) ! It

0eA(t.q)Bu(q) dq (9-41)

La Ecuación (9-41) también se escribe como

x(t) % �(t)x(0) !It

0�(t . q)Bu(q) dq (9-42)

donde �(t) % eAt. La Ecuación (9-41) o (9-42) es la solución de la Ecuación (9-40). La soluciónx(t) es claramente la suma de un término formado por la transición del estado inicial y un tér-mino que surge del vector de entradas.

Método de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones de es-tado del caso no homogéneo. La solución de la ecuación de estado no homogénea

x0 % Ax ! Bu

también puede obtenerse mediante el método de la transformada de Laplace. La transformada deLaplace de esta última ecuación da

sX(s) . x(0) % AX(s) ! BU(s)

o bien

(sI . A)X(s) % x(0) ! BU(s)

Premultiplicando ambos miembros de esta última ecuación por (sI . A).1, obtenemos

X(s) % (sI . A).1x(0) ! (sI . A).1BU(s)

Al usar la relación dada por la Ecuación (9-36) da

X(s) % �[eAt]x(0) ! �[eAt]BU(s)

La transformada inversa de Laplace de esta última ecuación se obtiene a partir de la integral deconvolución, del modo siguiente:

x(t) % eAtx(0) ! It

0eA(t.q)Bu(q) dq

Solución en términos de x(t0). Hasta aquí se ha supuesto que el tiempo inicial es cero.Sin embargo, si el tiempo inicial está dado mediante t0, en lugar de 0, la solución para la Ecua-ción (9-40) debe modificarse a

x(t) % eA(t.t0)x(t0) !I

t

t0

eA(t.q)Bu(q) dq (9-43)


21

EJEMPLO 6 Obtenga la respuesta en el tiempo del sistema siguiente:

Cx51x52D%C

0 1

.2 .3DCx1

x2D!C0

1D u

donde u(t) es la función escalón unitario que se presenta en t % 0, o

u(t) % 1(t)Para este sistema,

A %C0 1

.2 .3D , B %C0

1DLa matriz de transición de estados �(t) % eAt se obtuvo en el Ejemplo 9-5 como

�(t) % eAt%C

2e.t. e.2t e.t

. e.2t

.2e.t! 2e.2t

.e.t! 2e.2tD

La respuesta a la entrada escalón unitario se obtiene entonces como

x(t) % eAtx(0) !It

0 C2e.(t.q)

. e.2(t.q) e.(t.q). e.2(t.q)

.2e.(t.q)! 2e.2(t.q)

.e.(t.q)! 2e.2(t.q)DC

0

1D [1] dq

o bien

Cx1(t)

x2(t)D%C2e.t

. e.2t e.t. e.2t

.2e.t! 2e.2t

.e.t! 2e.2tDC

x1(0)

x2(0)D!C12 . e.t

!12 e.2t

e.t. e.2t D

Si el estado inicial es cero, o x(0) % 0, entonces x(t) se puede simplificar a

Cx1(t)

x2(t)D%C1

2. e.t

!1

2e.2t

e.t. e.2t D

Algunos resultados útiles en el análisisvectorial-matricialEn esta sección se presentarán algunos resultados útiles en el análisis matricial que se usan en la Sección . Específicamente, se estudiará el teorema de Cayley-Hamilton, el polinomio míni-mo, el método de interpolación de Sylvester para calcular eAt y la independencia lineal de vecto-res.

Teorema de Cayley-Hamilton. El teorema de Cayley-Hamilton es muy útil para com-probar teoremas que involucran ecuaciones matriciales o para resolver problemas que contienenecuaciones matriciales.

Considérese una matriz A de n # n y su ecuación característica:

�jI . A� % jn! a1j

n.1! ñ ! an.1j ! an % 0

El teorema de Cayley-Hamilton expresa que la matriz A satisface su propia ecuación característi-ca, o que

An! a1A

n.1! ñ ! an.1A ! anI % 0 (9-44)

Para demostrar este teorema, considérese que adj(jI . A) es un polinomio en A de gradon . 1. Es decir,

adj(jI . A) % B1jn.1

! B2jn.2

! ñ ! Bn.1j ! Bn


22

donde B1 % I. Dado que

(jI . A) adj(jI . A) % [adj(jI . A)](jI . A) % �jI . A�Ise obtiene

�jI . A�I % Ijn! a1Ij

n.1! ñ ! an.1Ij ! anI

% (jI . A)(B1jn.1

! B2jn.2

! ñ ! Bn.1j ! Bn)

% (B1jn.1

! B2jn.2

! ñ ! Bn.1j ! Bn)(jI . A)

En esta ecuación se ve que A y Bi (i % 1, 2, ..., n) sí conmutan. Por tanto, el producto de(jI . A) y adj(jI . A) se hace cero si cualquiera de ellas es cero. Si se sustituye A por j en estaúltima ecuación, es evidente que jI . A se hace cero. Por tanto, se obtiene

An! a1A

n.1! ñ ! an.1A ! anI % 0

Esto prueba el teorema de Cayley-Hamilton, o la Ecuación (9-44).

Polinomio mínimo. El teorema de Cayley-Hamilton asegura que toda matriz A de n # nsatisface su propia ecuación característica. Sin embargo, la ecuación característica no necesaria-mente es la ecuación escalar de grado mínimo que A satisface. El polinomio de grado mínimoque tiene a A como raíz se denomina polinomio mínimo. Es decir, el polinomio mínimo de lamatriz A de n # n se define como el polinomio h(j) de grado mínimo,

h(j) % jm! a1j

m.1! ñ ! am.1j ! am, m m n

tal que h(A) % 0, o

h(A) % Am! a1A

m.1! ñ ! am.1A ! amI % 0

El polinomio mínimo representa una función importante en el cálculo de polinomios de una ma-triz de n # n.

Supóngase que d(j), polinomio en j, es el máximo común divisor de todos los elementos deadj(jI . A). Se puede demostrar que si se elige 1 como el coeficiente del término de mayorgrado en j de d(j), el polinomio mínimo h(j) se obtiene mediante

h(j) %�jI . A�

d(j)(9-45)

[Véase el Problema A-9-8 para la obtención de la Ecuación (9-45).]Se observa que el polinomio mínimo h(j) de una matriz A de n # n se determina mediante el

procedimiento siguiente:

1. Forme adj(jI . A) y escriba los elementos de adj(jI . A) como polinomios factoriza-dos en j.

2. Determine d(j) como el máximo común divisor de todos los elementos de adj(jI . A).Seleccione 1 como el coeficiente del término de mayor grado en j de d(j). Si no hay uncomún divisor, d(j) % 1.

3. El polinomio mínimo h(j) se obtiene, entonces, como adj�jI . A� dividido entre d(j).

Matriz exponencial eAt. En la resolución de problemas de ingeniería de control, con fre-cuencia resulta necesario calcular eAt. Si se tiene la matriz A de forma numérica, MATLAB ofre-ce una forma simple de calcular eAT, donde T es una constante.


23

Además de los métodos de cálculo, existen varios métodos analíticos para la determinaciónde eAt. A continuación se presentan tres de estos métodos.

Cálculo de eAt: método 1. Si la matriz A se transforma en una forma diagonal, entonces eAt

se obtiene mediante

eAt% PeDtP.1

% P Cej

1t 0

ej2t

...0 ej

ntDP.1 (9-46)

donde P es una matriz de diagonalización para A. [Para la obtención de la Ecuación (9-46), véa-se el Problema A-9-11.]

Si la matriz A se transforma en una forma canónica de Jordan, entonces eAt se obtiene me-diante

eAt% SeJtS.1

donde S es una matriz de transformación que convierte a la matriz A en su forma canónica deJordan J.

Como ejemplo, considérese la siguiente matriz A:

A %C0 1 0

0 0 1

1 .3 3DLa ecuación característica es

�jI . A� % j3. 3j2

! 3j . 1 % (j . 1)3% 0

Por tanto, la matriz A tiene un valor propio múltiple de orden 3 en j % 1. Se puede demostrarque la matriz A tiene un vector propio múltiple de orden 3. La matriz de transformación queconvertirá la matriz A a su forma canónica de Jordan viene dada por

S %C1 0 0

1 1 0

1 2 1DLa inversa de la matriz S es

S.1%C

1 0 0

.1 1 0

1 .2 1DSe observa, así, que

S.1AS %C1 0 0

.1 1 0

1 .2 1DC0 1 0

0 0 1

1 .3 3D C1 0 0

1 1 0

1 2 1D%C

1 1 0

0 1 1

0 0 1D% J


24

Si se tiene en cuenta que

eJt% C

et tet 12t2et

0 et tet

0 0 et Dse encuentra que

eAt% SeJtS.1

%C1 0 0

1 1 0

1 2 1DCet tet 1

2t2et

0 et tet

0 0 et DC1 0 0

.1 1 0

1 .2 1D%C

et. tet

!12t2et tet

. t2et 12

t2et

12t2et et

. tet. t2et tet

!12t2et

tet!

12t2et

.3tet. t2et et

! 2tet!

12t2etD

Cálculo de eAt: método 2. El segundo método para calcular eAt utiliza el método de latransformada de Laplace. Refiriéndose a la Ecuación (9-36), eAt se obtiene del modo siguiente:

eAt% �.1[(sI . A).1]

Por tanto, para obtener eAt, primero se invierte la matriz (sI . A). Esto genera una matriz cuyoselementos son funciones racionales de s. Después se toma la transformada inversa de Laplace decada elemento de la matriz.

EJEMPLO 7 Considere la matriz A siguiente:

A %C0 1

0 .2DCalcule eAt mediante los dos métodos analíticos presentados previamente.

Método 1. Los valores propios de A son 0 y .2(j1 % 0, j2 % .2). La matriz P de transforma-ción se obtiene como

P %C1 1

0 .2DDe esta forma, a partir de la Ecuación (9-46), eAt se obtiene del modo siguiente:

eAt%C

1 1

0 .2DCe0 0

0 e.2tDC1 1

2

0 .12D%C

1 12(1. e.2t)

0 e.2t DMétodo 2. Como

sI . A %Cs 0

0 sD.C0 1

0 .2D%Cs .1

0 s ! 2D


25

se obtiene

(sI . A).1%C

1

s

1

s(s ! 2)

01

s ! 2 DPor tanto,

eAt% �.1[(sI . A).1] %C

1 12(1 . e.2t)

0 e.2t DCálculo de eAt: método 3. El tercer método se basa en la interpolación de Sylvester. (Para

la fórmula de interpolación de Sylvester, véase el Problema A-9-12.) En primer lugar se conside-ra el caso en el que las raíces del polinomio mínimo h(j) de A son distintas. Después se abordael caso de las raíces múltiples.

Caso 1: El polinomio mínimo de A sólo contiene raíces distintas. Se supondrá que el gradodel polinomio mínimo de A es m. Utilizando la fórmula de interpolación de Sylvester, se de-muestra que eAt se obtiene resolviendo la ecuación determinante siguiente:

G1 j1 j2

1 ñ jm.11 ej

1t

1 j2 j22 ñ jm.1

2 ej2t

ó ó ó ó ó1 jm j2

m ñ jm.1m ej

mt

I A A2 ñ Am.1 eAt G% 0 (9-47)

Si se despeja eAt en la Ecuación (9-47), eAt se obtiene en términos de Ak (k % 0, 1, 2, ..., m . 1) yej

it (i % 1, 2, 3, ..., m). [Por ejemplo, la Ecuación (9-47) se desarrolla con respecto a la última

columna.]Obsérvese que despejar eAt en la Ecuación (9-47) es lo mismo que escribir

eAt% a0(t)I ! a1(t)A ! a2(t)A

2! ñ ! am.1(t)A

m.1 (9-48)

y determinar ak(t) (k % 0, 1, 2, ..., m . 1) resolviendo el siguiente conjunto de m ecuaciones paraak(t):

a0(t) ! a1(t)j1 ! a2(t)j21 ! ñ ! am.1(t)j

m.11 % ej

1t

a0(t) ! a1(t)j2 ! a2(t)j22 ! ñ ! am.1(t)j

m.12 % ej

2t

óa0(t) ! a1(t)jm ! a2(t)j

2m ! ñ ! am.1(t)j

m.1m % ej

mt

Si A es una matriz de n # n y tiene valores propios distintos, el número de las ak(t) que hay quedeterminar es m % n. Sin embargo, si A contiene valores propios múltiples, pero su polinomiomínimo sólo tiene raíces simples, el número m de las ak(t) a determinar es menor que n.

Caso 2: El polinomio mínimo de A contiene raíces múltiples. Como ejemplo, considéreseel caso en el que el polinomio mínimo de A contiene tres raíces iguales (j1 % j2 % j3) y el restodistintas (j4, j5, ..., jm). Aplicando la fórmula de interpolación de Sylvester, se demuestra que eAt

se obtiene a partir de la ecuación determinante siguiente:


26

G0 0 1 3j1 ñ

(m . 1)(m . 2)

2jm.3

1

t2

2ej

1t

0 1 2j1 3j21 ñ (m . 1)jm.2

1 tej1t

1 j1 j21 j3

1 ñ jm.11 ej

1t

1 j4 j24 j3

4 ñ jm.14 ej

4t

ó ó ó ó ñ ó ó1 jm j2

m j3m ñ jm.1

m ejmt

I A A2 A3 ñ Am.1 eAtG% 0 (9-49)

La Ecuación (9-49) se desarrolla con respecto a la última columna para despejar eAt.Obsérvese que, como en el caso 1, despejar eAt en la Ecuación (9-49) es igual que escribir

eAt% a0(t)I ! a1(t)A ! a2(t)A

2! ñ ! am.1(t)A

m.1 (9-50)

y determinar ak(t) (k % 0, 1, 2, ..., m . 1) a partir de

a2(t) ! 3a3(t)j1 ! ñ !(m . 1)(m . 2)

2am.1(t)j

m.31 %

t2

2ej

1t

a1(t) ! 2a2(t)j1 ! 3a3(t)j21 ! ñ ! (m . 1)am.1(t)j

m.21 % tej

1t

a0(t) ! a1(t)j1 ! a2(t)j21 ! ñ ! am.1(t)j

m.11 % ej

1t

a0(t) ! a1(t)j4 ! a2(t)j24 ! ñ ! am.1(t)j

m.14 % ej

4t

ó

a0(t) ! a1(t)jm ! a2(t)j2m ! ñ ! am.1(t)j

m.1m % ej

mt

Es evidente la extensión a otros casos en los que, por ejemplo, hay dos o más conjuntos de raícesmúltiples. Obsérvese que, si no se encuentra el polinomio mínimo de A, puede sustituirse el poli-nomio característico por el polinomio mínimo. Por supuesto, el número de cálculos se incremen-ta.

EJEMPLO 8 Sea la matriz

A %C0 1

0 .2DCalcule eAt utilizando la fórmula de interpolación de Sylvester.

A partir de la Ecuación (9-47), se obtiene

G1 j1 ej

1t

1 j2 ej2t

I A eAt G% 0


27

Al sustituir j1 por 0 y j2 por .2 en esta última ecuación, se obtiene

G1 0 1

1 .2 e.2t

I A eAt G% 0

Si se desarrolla el determinante, se deduce

.2eAt! A ! 2I . Ae.2t

% 0

o bien

eAt%

12

(A ! 2I . Ae.2t)

%1

2 EC0 1

0 .2D!C2 0

0 2D.C0 1

0 .2D e.2tF%C

1 12

(1 . e–2t)

0 e.2t DUn enfoque alternativo es usar la Ecuación (9-48). En primer lugar se determinan a0(t) y a1(t) a

partir de

a0(t) ! a1(t)j1 % ej1t

a0(t) ! a1(t)j2 % ej2t

Como j1 % 0 y j2 % .2, las dos últimas ecuaciones se convierten en

a0(t) % 1

a0(t) . 2a1(t) % e.2t

Al resolver para a0(t) y a1(t) se obtiene

a0(t) % 1, a1(t) %1

2(1 . e.2t)

Luego, eAt se puede escribir como

eAt% a0(t)I ! a1(t)A % I !

1

2(1 . e.2t)A %C

1 12

(1 . e.2t)

0 e.2t DIndependencia lineal de vectores. Se dice que los vectores x1, x2, ..., xn son lineal-

mente independientes sic1x1 ! c2x2 ! ñ ! cnxn % 0

donde c1, c2, ..., cn son constantes, implica que

c1 % c2 % ñ % cn % 0

O bien, se dice que los vectores x1, x2, ..., xn son linealmente dependientes si y sólo si xi seexpresa como una combinación lineal de xj ( j % 1, 2, ..., n; j Ç i), o

xi %

n

;j%1jÇi

cjxj


28

para un conjunto de cj constantes. Esto significa que, si xj se puede expresar como una combina-ción lineal de los otros vectores en el conjunto, es linealmente dependiente de ellos, o no es unelemento independiente del conjunto.

EJEMPLO 9 Los vectores

x1 %C1

2

3D , x2 %C1

0

1D , x3 %C2

2

4Dson linealmente independientes ya que

x1 ! x2 . x3 % 0

Los vectores

y1 %C1

2

3D , y2 %C1

0

1D , y3 %C2

2

2Dson linealmente independientes ya que

c1y1 ! c2y2 ! c3y3 % 0

implica que

c1 % c2 % c3 % 0

Observe que si una matriz n # n es no singular (es decir, tiene un rango n o el determinante esdiferente de cero), entonces n vectores columna (o fila) son linealmente independientes. Si la ma-triz n # n es singular (es decir, tiene un rango menor que n o el determinante es cero), entonces nvectores columna (o fila) son linealmente dependientes. Para demostrar esto, considere que

[x1 x2 x3] %C1 1 2

2 0 2

3 1 4D% singular

[y1 y2 y3] %C1 1 2

2 0 2

3 1 2D% no singular

ControlabilidadControlabilidad y observabilidad. Se dice que un sistema es controlable en el tiempo

t0 si se puede transferir desde cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado, mediante unvector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

Se dice que un sistema es observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado x(t0), esposible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo detiempo finito.

Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad, que juegan un papel im-portante en el diseño de los sistemas de control en el espacio de estados. De hecho, las condicio-


29

nes de controlabilidad y observabilidad determinan la existencia de una solución completa paraun problema de diseño de un sistema de control. La solución a este problema puede no existir siel sistema considerado no es controlable. Aunque la mayor parte de los sistemas físicos son con-trolables y observables, los modelos matemáticos correspondientes tal vez no posean la propie-dad de controlabilidad y observabilidad. En este caso, es necesario conocer las condiciones enlas cuales un sistema es controlable y observable. Esta sección aborda la controlabilidad y lasiguiente analiza la observabilidad.

En lo que sigue, se deducirá en primer lugar la condición para garantizar controlabilidadcompleta del estado. A continuación, se obtendrán formas alternativas de dicha condición y unanálisis análogo de la controlabilidad completa de salida. Finalmente se presenta el concepto deestabilizabilidad.

Controlabilidad completa del estado de sistemas en tiempo continuo. Sea elsistema en tiempo continuo

x5 % Ax ! Bu (9-51)

donde x % vector de estados (vector de dimensión n)u % señal de control (escalar)A% matriz de n # nB % matriz de n # 1

Se dice que el sistema descrito mediante la Ecuación (9-51) es de estado controlable en t % t0, sies posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cual-quier estado final en un intervalo de tiempo finito t0 m t m t1. Si todos los estados son controla-bles, se dice que el sistema es de estado completamente controlable.

Ahora se obtendrá la condición para controlabilidad completa del estado. Sin pérdida de ge-neralidad, se supone que el estado final es el origen en el espacio de estados y que el tiempoinicial es cero, o t0 % 0.

La solución de la Ecuación (9-51) es

x(t) % eAtx(0) !It

0eA(t.q)Bu(q) dq

Aplicando la definición de controlabilidad completa del estado recién establecida, se tiene que

x(t1) % 0 % eAt1x(0) !I

t1

0eA(t

1.q)Bu(q) dq

o bien

x(0) % . It1

0e.AqBu(q) dq (9-52)

Si se tienen en cuenta las Ecuaciones (9-48) o (9-50), e.At se puede escribir como

e.Aq%

n.1

;k%0

ak(q)Ak (9-53)

Al sustituir la Ecuación (9-53) en la Ecuación (9-52) se obtiene

x(0) % .

n.1

;k%0

AkB It1

0ak(q)u(q) dq (9-54)


30

Si se define

It1

0ak(q)u(q) dq % bk

entonces la Ecuación (9-54) se convierte en

x(0) % .

n.1

;k%0

AkBbk

% .[B AB ñ An.1B]Cb0

b1

óbn.1

D (9-55)

Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces, dado cualquier estado inicialx(0), la Ecuación (9-55) debe satisfacerse. Esto requiere que el rango de la matriz n # n

[B AB ñ An.1B]sea n.

De este análisis, se puede concluir la condición para controlabilidad completa del estado dela forma siguiente. El sistema obtenido mediante la Ecuación (9-51) es de estado completamentecontrolable si y sólo si los vectores B, AB, ..., An.1B son linealmente independientes, o la matrizn # n

[B AB ñ An.1B]es de rango n.

El resultado recién obtenido se extiende al caso en el que el vector de control u es de dimen-sión r. Si el sistema se describe por

x5 % Ax ! Bu

donde u es un vector de dimensión r, se demuestra que la condición para controlabilidad comple-ta del estado es que la matriz n # nr

[B AB ñ An.1B]

sea de un rango n, o que contenga n vectores columna linealmente independientes. La matriz

[B AB ñ An.1B]

se conoce comúnmente como matriz de controlabilidad.

EJEMPLO 10 Sea el sistema dado por

Cx51x52D%C

1 1

0 .1DCx1

x2D!C1

0D u

Como

[B AB] %C1 1

0 0D% singular

el sistema no es de estado completamente controlable.


31

EJEMPLO 11 Sea el sistema dado por

Cx51x52D%C

1 1

2 .1DCx1

x2D!C0

1D [u]

Para este caso,

[B AB] %C0 1

1 .1D% no singular

Por tanto, el sistema es de estado completamente controlable.

Forma alternativa de la condición para la controlabilidad completa del estado.Considérese el sistema definido por

x5 % Ax ! Bu (9-56)

donde x % vector de estado (vector de dimensión n)u % vector de control (vector de dimensión r)A% matriz n # nB % matriz n # r

Si los valores propios de A son distintos, es posible encontrar una matriz de transformación P talque

P.1AP % D %Cj1 0

j2...

0 jnD

Obsérvese que, si los valores propios de A son distintos, los vectores propios de A también sondistintos; sin embargo, lo contrario no es cierto. Por ejemplo, una matriz simétrica real de n # ncon valores propios múltiples tiene n vectores propios distintos. Obsérvese también que cadacolumna de la matriz P es un vector propio de A asociado con ji (i % 1, 2, ..., n).

Si se define

x % Pz (9-57)

al sustituir la Ecuación (9-57) en la Ecuación (9-56), se obtiene

z5 % P.1APz ! P.1Bu (9-58)

Definiendo

P.1B % F % ( fij)


32

se puede reescribir la Ecuación (9-58) como

z51 % j1z1 ! f11u1 ! f12u2 ! ñ ! f1rur

z52 % j2z2 ! f21u1 ! f22u2 ! ñ ! f2rur

ó

z5n % jnzn ! fn1u1 ! fn2u2 ! ñ ! fnrur

Si todos los elementos de cualquier fila de la matriz F n # r son nulos, entonces la variable deestado correspondiente es no controlable por cualquiera de las ui. Por tanto, la condición de con-trolabilidad completa del estado es que, si los vectores propios de A son distintos, el sistema esde estado completamente controlable si y sólo si ninguna fila de P.1B tiene todos sus elementoscero. Es importante señalar que, a fin de aplicar esta condición para controlabilidad completa delestado, se debe poner en forma diagonal la matriz P.1AP de la Ecuación (9-58).

Si la matriz A de la Ecuación (9-56) no posee vectores propios distintos, es imposible ladiagonalización. En este caso, se transforma A en una forma canónica de Jordan. Por ejemplo, siA tiene valores propios j1, j1, j1, j4, j4, j6, ..., jn y tiene n . 3 vectores propios distintos, laforma canónica de Jordan de A es

J % Cj1 1 0 0

0 j1 1

0 0 j1

j4 1

0 j4

j6...

0 jn

DLas submatrices cuadradas de la diagonal principal se denominan bloques de Jordan.

Supóngase que encontramos una matriz de transformación S tal que

S.1AS % J

Si se define un nuevo vector de estado z mediante

x % Sz (9-59)

entonces la sustitución de la Ecuación (9-59) en la Ecuación (9-56) da

z5 % S.1ASz ! S.1Bu

% Jz ! S.1Bu (9-60)

La condición para controlabilidad completa del estado del sistema de la Ecuación (9-56)se expresa del modo siguiente. El sistema es de estado completamente controlable si y sólo si (1)si no hay dos bloques de Jordan en J de la Ecuación (9-60) que estén asociados con los mismosvalores propios, (2) los elementos de cualquier fila de S.1B que corresponden a la última fila decada bloque de Jordan no son todos cero y (3) los elementos de cada fila de S.1B que correspon-den a valores propios distintos no son todos cero.


33

EJEMPLO 12 Los sistemas siguientes son de estado completamente controlable:

Cx51x52D%C

.1 0

0 .2DCx1

x2D!C2

5D u

Cx51x52x53D%C

.1 1 0

0 .1 0

0 0 .2DCx1

x2

x3D!C0

4

3D u

Cx51x52x53x54x55D%C

.2 1 0 0

0 .2 1

0 0 .2

.5 1

0 0 .5DCx1

x2

x3

x4

x5D!C

0 1

0 0

3 0

0 0

2 1DCu1

u2D

Los sistemas siguientes no son de estado completamente controlable:

Cx51x52D%C

.1 0

0 .2DCx1

x2D!C2

0D u

Cx51x52x53D%C

.1 1 0

0 .1 0

0 0 .2DCx1

x2

x3D!C4 2

0 0

3 0DCu1

u2D

Cx51x52x53x54x55D%C

.2 1 0 0

0 .2 1

0 0 .2

.5 1

0 0 .5DCx1

x2

x3

x4

x5D!C

4

2

1

3

0D u

Condición para controlabilidad completa del estado en el plano s. La condiciónpara controlabilidad completa del estado se puede plantear en términos de funciones de transfe-rencia o matrices de transferencia.

Se puede demostrar que una condición necesaria y suficiente para controlabilidad completadel estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz detransferencia. Si ocurre una cancelación, el sistema no puede controlarse en la dirección del mo-do cancelado.

EJEMPLO 13 Sea la función de transferencia siguiente:

X(s)

U(s)%

s ! 2.5

(s ! 2.5)(s . 1)

Es evidente que ocurre una cancelación del factor (s ! 2.5) en el numerador y el denominador deesta función de transferencia. (Por tanto, se pierde un grado de libertad.) Debido a esta cancela-ción, este sistema no es de estado completamente controlable.


34

La misma condición se obtiene si se escribe esta función de transferencia en la forma de unaecuación de estado. Una representación en el espacio de estados es

Cx51x52D%C

0 1

2.5 .1.5DCx1

x2D!C1

1D u

Como

[B AB] %C1 1

1 1Del rango de la matriz [B AB] es 1. Por tanto, llegamos a la misma conclusión: el sistema no es deestado completamente controlable.

Controlabilidad de la salida. En el diseño práctico de un sistema de control, se puedenecesitar controlar la salida en lugar del estado del sistema. Una controlabilidad completa delestado no es condición necesaria ni suficiente para controlar la salida del sistema. Por esta razón,es conveniente definir de forma independiente la controlabilidad completa de la salida.

Sea el sistema descrito mediante

x5 % Ax ! Bu (9-61)

y % Cx ! Du (9-62)

donde x % vector de estado (vector de dimensión n)

u % vector de control (vector de dimensión r)

y % vector de salida (vector de dimensión n)

A% matriz n # n

B % matriz n # r

C% matriz m # n

D% matriz m # r

Se dice que el sistema descrito mediante las Ecuaciones (9-61) y (9-62) es de salida completa-mente controlable si es posible construir un vector de control sin restricciones u(t) que transfieracualquier salida inicial y(t0) a cualquier salida final y(ti) en un intervalo de tiempo finitot0 m t m t1.

Es posible demostrar que la condición para controlabilidad completa de la salida es la si-guiente. El sistema descrito mediante las Ecuaciones (9-61) y (9-62) es de salida completamentecontrolable si y sólo si la matriz m # (n ! 1)r

[CB CAB CA2B ñ CAn.1B D]

es de rango m. (Para una demostración, véase el Problema A-9-16.) Obsérvese que la presenciadel término Du en la Ecuación (9-62) siempre ayuda a establecer la controlabilidad de la sali-da.

Sistema no controlable. Un sistema no controlable tiene un susbsistema que está des-conectado físicamente de la entrada.

Capítulo 9. Análisis de sistemas de control en el espacio de estados 681Márquez Patiño José Adrián CONTROL

35

Estabilizabilidad. Para un sistema parcialmente controlable, si los modos no controla-bles son estables y los modos inestables son controlables, el sistema se dice entonces que esestabilizable. Por ejemplo, el sistema definido por

Cx51x52D%C

1 0

0 .1D Cx1

x2D!C1

0D u

no es de estado controlable. El modo estable que se corresponde con el valor propio .1 no escontrolable. El modo inestable que corresponde al valor propio 1 es controlable. Este sistema sepuede estabilizar mediante una realimentación adecuada. Así que este sistema es estabilizable.

ObservabilidadEn esta sección analizaremos la observabilidad de los sistemas lineales. Sea el sistema no forza-do descrito mediante las ecuaciones siguientes:

x5 % Ax (9-63)

y % Cx (9-64)

donde x % vector de estado (vector de dimensión n)y % vector de salida (vector de dimensión m)A% matriz n # nC% matriz m # n

Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t0) se determina a partir de laobservación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito, t0 m t m t1. Por tanto, el sistema escompletamente observable si todas las transiciones del estado afectan eventualmente a todos loselementos del vector de salida. El concepto de observabilidad es útil al resolver el problema dereconstruir variables de estado no medibles a partir de variables que sí lo son en el tiempo míni-mo posible. En esta sección, se tratan sólo sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Por tanto,sin pérdida de generalidad, se supone que t0 % 0.

El concepto de observabilidad es muy importante porque, en la práctica, la dificultad que seencuentra con el control mediante realimentación del estado es que algunas de las variables deestado no son accesibles para una medición directa, por lo que se hace necesario estimar lasvariables de estado no medibles para construir las señales de control. En la Sección 10-5 se de-mostrará que tales estimaciones de las variables de estado son posibles si y sólo si el sistema escompletamente observable.

Al analizar las condiciones de observabilidad, se considera el sistema sin excitación como elque se obtiene mediante las Ecuaciones (9-63) y (9-64). La razón de esto es la siguiente. Si elsistema se describe mediante

x5 % Ax ! Bu

y % Cx ! Du

entonces,

x(t) % eAtx(0) ! It

0eA(t.q)Bu(q) dq


36

e y(t) es

y(t) % CeAtx(0) ! C It

0eA(t.q)Bu(q) dq ! Du

Como las matrices A, B, C y D se conocen al igual que u(t), los dos últimos términos del segun-do miembro de esta última ecuación son cantidades conocidas. Por tanto, se pueden restar delvalor observado de y(t). Así, a fin de investigar una condición necesaria y suficiente para obser-vabilidad completa, basta con considerar el sistema descrito mediante las Ecuaciones (9-63) y(9-64).

Observabilidad completa de sistemas en tiempo continuo. Sea el sistema descri-to mediante las Ecuaciones (9-63) y (9-64). El vector de salida y(t) es

y(t) % CeAtx(0)

Refiriéndose a la Ecuación (9-48) o (9-50), se tiene que

eAt%

n.1

;k%0

ak(t)Ak

Donde n es el grado del polinomio característico. [Obsérvese que las Ecuaciones (9-48) y (9-50)con m sustituido por n se pueden obtener a partir del polinomio característico.]

Por tanto, se obtiene

y(t) %

n.1

;k%0

ak(t)CAkx(0)

o bien

y(t) % a0(t)Cx(0) ! a1(t)CAx(0) ! ñ ! an.1(t)CAn.1x(0) (9-65)

Así, si el sistema es completamente observable, dada la salida y(t) durante un intervalo de tiempo0 m t m t1, x(0) se determina únicamente a partir de la Ecuación (9-65). Se demuestra que estorequiere que el rango de la matriz nm # n

CC

CAó

CAn.1Dsea n. (Véase el Problema A-9-19 para la obtención de esta condición.)

A partir de este análisis, se puede expresar la condición para observabilidad completa delmodo siguiente. El sistema descrito por las Ecuaciones (9-63) y (9-64) es completamente obser-vable si y sólo si la matriz n # nm

[C* A*C* ñ (A*)n.1C*]

es de rango n, o tiene n vectores columna linealmente independientes. Esta matriz se denominamatriz de observabilidad.


37

EJEMPLO 14 Sea el sistema descrito por

Cx51x52D%C

1 1

.2 .1DCx1

x2D!C0

1D u

y % [1 0]Cx1

x2D¿Es este sistema controlable y observable?

Como el rango de la matriz

[B AB] %C0 1

1 .1Des 2, el sistema es de estado completamente controlable.

Para la controlabilidad de salida, se calcula el rango de la matriz [CB CAB]. Como

[CB CAB] % [0 1]

el rango de esta matriz es 1. Por tanto, el sistema tiene una salida completamente controlable.Para verificar la condición de observabilidad, examine el rango de [C* A*C*]. Como

[C* A*C*] %C1 1

0 1Del rango de [C* A*C*] es 2. Por tanto, el sistema es completamente observable.

Condiciones para observabilidad completa en el plano s. Las condiciones paraobservabilidad completa también se pueden expresar en términos de funciones de transferencia omatrices de transferencia. La condición necesaria y suficiente para observabilidad completa esque no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. Siocurre una cancelación, el modo cancelado no se puede observar en la salida.

EJEMPLO 15 Demuestre que el siguiente sistema no es completamente observable.

x5 % Ax ! Bu

y % Cx

donde

x %Cx1

x2

x3D , A %C0 1 0

0 0 1

.6 .11 .6D , B %C0

0

1D , C % [4 5 1]

Tome en cuenta que la función de control u no afecta a la observabilidad completa del sis-tema. Para examinar la observabilidad completa, simplemente se hace u % 0. Para este sistema,se tiene que

[C* A*C* (A*)2C*] %C4 .6 6

5 .7 5

1 .1 .1D


38

Considere que

G4 .6 6

5 .7 5

1 .1 .1 G% 0

Por tanto, el rango de la matriz [C* A*C* (A*)2C*] es menor que 3. Así, el sistema no escompletamente observable.

De hecho, en la función de transferencia del sistema ocurre una cancelación. La función detransferencia entre X1(s) y U(s) es

X1(s)

U(s)%

1

(s ! 1)(s ! 2)(s ! 3)

y la función de transferencia entre Y(s) y X1(s) es

Y(s)

X1(s)% (s ! 1)(s ! 4)

Por tanto, la función de transferencia entre la salida Y(s) y la entrada U(s) es

Y(s)

U(s)%

(s ! 1)(s ! 4)

(s ! 1)(s ! 2)(s ! 3)

Es evidente que los dos factores (s ! 1) se cancelan uno al otro. Esto significa que no hay condi-ciones iniciales x(0) diferentes de cero que no se determinen a partir de la medición de y(t).

Comentarios. La función de transferencia no presenta cancelación si y sólo si el sistemaes de estado completamente controlable y es completamente observable. Esto significa que lafunción de transferencia cancelada no transporta toda la información que caracteriza al sistemadinámico.

Forma alternativa de la condición para observabilidad completa. Sea el sistemadescrito por las Ecuaciones (9-63) y (9-64), vuelto a escribir como

x5 % Ax (9-66)

y % Cx (9-67)

Supóngase que la matriz de transformación P transforma A en una matriz diagonal, o

P.1AP % D

donde D es una matriz diagonal. Si se define

x % Pz

de esta forma, las Ecuaciones (9-66) y (9-67) pueden escribirse

z5 % P.1APz % Dz

y % CPz

Por tanto,

y(t) % CPeDtz(0)


39

o bien

y(t) % CPCej

1t 0

ej2t

...0 ej

ntD z(0) % CPC

ej1tz1(0)

ej2tz2(0)

óej

ntzn(0)D

El sistema es completamente observable si ninguna de las columnas de la matriz CP m # n estáformada sólo por elementos cero. Esto se debe a que, si la i-ésima columna de CP está formadasólo por elementos cero, la variable de estado zi(0) no aparecerá en la ecuación de salida y, portal razón, no puede determinarse a partir de la observación de y(t). En este caso, x(0), que serelaciona con z(0) mediante la matriz P no singular, no puede determinarse. (Recuérdese queesta prueba sólo se aplica si la matriz P.1AP está en forma diagonal.)

Si la matriz A no se transforma en una matriz diagonal, mediante una matriz de transforma-ción adecuada S, se puede transformar A en su forma canónica de Jordan, o

S.1AS % J

donde J está en la forma canónica de Jordan.Se define

x % Sz

En este caso, las Ecuaciones (9-66) y (9-67) pueden escribirse

z5 % S.1ASz % Jz

y % CSzPor tanto,

y(t) % CSeJtz(0)

El sistema es completamente observable si (1) no hay dos bloques de Jordan en J asociados conlos mismos valores propios, (2) no hay columnas de CS que correspondan a la primera fila decada bloque de Jordan que estén formadas por elementos cero y (3) no hay columnas de CS quecorrespondan a valores propios distintos que estén formadas por elementos cero.

Para aclarar la condición (2), en el Ejemplo 9-16 hemos enlazado mediante trazos disconti-nuos las columnas de CS que corresponden a la primera fila de cada bloque de Jordan.

EJEMPLO 16 Los sistemas siguientes son completamente observables.

Cx51x52D%C

.1 0

0 .2DCx1

x2D , y % [1 3]Cx1

x2D

Cx51x52x53D%C

2 1 0

0 2 1

0 0 2DCx1

x2

x3D , Cy1

y2D%C3 0 0

4 0 0DCx1

x2

x3D

Cx51x52x53x54x55D%C

2 1 0 0

0 2 1

0 0 2

.3 1

0 0 .3DCx1

x2

x3

x4

x5D , C

y1

y2D%C1 1 1 0 0

0 1 1 1 0DCx1

x2

x3

x4

x5D


40

Los sistemas siguientes no son completamente observables.

Cx51x52D%C

.1 0

0 .2DCx1

x2D , y % [0 1]Cx1

x2D

Cx51x52x53D%C

2 1 0

0 2 1

0 0 2DCx1

x2

x3D , Cy1

y2D%C0 1 3

0 2 4DCx1

x2

x3D

Cx51x52x53x54x55D%C

2 1 0 0

0 2 1

0 0 2

.3 1

0 0 .3DCx1

x2

x3

x4

x5D , C

y1

y2D%C1 1 1 0 0

0 1 1 0 0DCx1

x2

x3

x4

x5D

Principio de dualidad. A continuación se analiza la relación entre controlabilidad y ob-servabilidad. Se introducirá el principio de dualidad, debido a Kalman, para aclarar las analogíasevidentes entre controlabilidad y observabilidad.

Sea el sistema S1 descrito mediante

x5 % Ax ! Bu

y % Cx

donde x % vector de estado (vector de dimensión n)

u % vector de control (vector de dimensión r)

y % vector de salida (vector de dimensión m)

A% matriz n # n

B % matriz n # r

C% matriz m # n

y el sistema dual S2 definido mediante

z5 % A*z ! C*v

n % B*z

donde z % vector de estado (vector de dimensión n)

v % vector de control (vector de dimensión m)

n % vector de salida (vector de dimensión r)

A*% transpuesta conjugada de AB*% transpuesta conjugada de BC*% transpuesta conjugada de C

El principio de dualidad plantea que el sistema S1 es de estado completamente controlable (ob-servable) si y sólo si el sistema S2 es de estado completamente observable (controlable).

Para verificar este principio, se escriben las condiciones necesarias y suficientes para contro-labilidad completa del estado y observabilidad completa de los sistemas S1 y S2.


41

Para el sistema S1:

1. Una condición necesaria y suficiente para controlabilidad completa del estado es que elrango de la matriz n # nr

[B AB ñ An.1B]

sea n.2. Una condición necesaria y suficiente para observabilidad completa es que el rango de la

matriz n # nm

[C* A*C* ñ (A*)n.1C*]

sea n.

Para el sistema S2:

1. Una condición necesaria y suficiente para controlabilidad completa del estado es que elrango de la matriz n # nm

[C* A*C* ñ (A*)n.1C*]

sea n.2. Una condición necesaria y suficiente para observabilidad completa es que el rango de la

matriz de n # nr

[B AB ñ An.1B]

sea n.

Si se comparan estas condiciones, la verdad de este principio es evidente. A partir de él, la obser-vabilidad de un sistema determinado se verifica probando la controlabilidad del estado de sudual.

Detectabilidad. Para un sistema parcialmente observable, si los modos no observablesson estables y los modos observables son inestables, se dice que es detectable. Obsérvese que elconcepto de detectabilidad es dual al concepto de estabilizabilidad.


42

DISEÑO DEL SISTEMA DE CONTROL CON REALIMENTACIÓN DEL VECTOR DE ESTADO COMPLETO En esta sección se considera la realimentación del vector de estado completo para conseguir

la situación deseada de los polos del sistema en lazo cerrado.

El primer paso en el proceso de diseño en variables de estado requiere que se suponga que

todos los estados están disponibles para la realimentación; esto es, que se tiene acceso al

estado completo, x(t), para todo t. La entrada al sistema, u(t), está dada por

El objetivo del proceso de diseño mediante la realimentación del vector de estado completo

es determinar la matriz de ganancia K. Lo bueno del proceso de diseño mediante variables

de estado es que el problema separa de forma natural una componente de realimentación

del vector de estado completa y una componente de diseño del observador.

Estos dos procesos de diseño se pueden llevar a cabo de manera independiente, y, de hecho,

el principio de separación es una prueba de que esta aproximación es óptima.

Se mostrará que la estabilidad del sistema en lazo cerrado se garantiza si la ley de control

estabiliza el sistema (en el supuesto de que se pueda acceder al estado completo) y el

observador es estable (el error de seguimiento es asintótícamente estable). Los

observadores se tratan en la Sección l L6. En la Figura 11.5 se muestra el diagrama de

bloques de un sistema con realimentación del vector de estado completa.

Con el sistema definido por el modelo en variables de estado


43

Y la ley de control realimentada dada por

Se determina que el sistema de control en lazo cerrado es

Como se expuso en la Sección 6.4, la ecuación característica asociada con la Ecuación

(11.5) es

Si todas las raíces de la ecuación característica se encuentran en el semiplano izquierdo,

entonces el sistema en lazo cerrado es estable. En otras palabras, para cualquier condición

inicial x(t0), se sigue que

Dado el par (A, B), siempre se puede determinar K para situar todos los polos del sistema

en lazo cerrado en el semiplano izquierdo sí y sólo si el sistema es completamente

controlable; esto es, si y sólo si la matriz de controlabilidad Pe tiene rango completo

(para un sistema de una entrada una salida, el rango completo implica que Pe es invertible).

La adición de una entrada de referencia se puede considerar como

Donde r(t) es la entrada de referencia. En la Sección 11.8 se volverá a tratar el tema de las

entradas de referencia. Cuando r(t) = O para todo t > t0, el problema del diseño de control

se denomina problema de regulador. Esto es, se desea calcular K de manera que todas las

condiciones iniciales sean forzadas a cero de un modo determinado (como se determinó en

las especificaciones de diseño).

Cuando se utiliza esta realimentación de variables de estado, las raíces de la ecuación

característica se sitúan de manera que el comportamiento transitorio obtenga la respuesta

deseada.


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EJEMPLO 11.5. Diseño de un sistema de tercer orden

Se considera el sistema de tercer orden con la ecuación diferencial

Si la matriz de realimentación en variables de estados

Entonces el sistema en lazo cerrado es

La matriz de realimentación de estados es

y la ecuación característica es

Si se desea una respuesta rápida con una sobre elongación pequeña, se selecciona la

ecuación característica de manera


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Bibliografía Kuo, B. C. (s.f.). Sistemas de Control Automatico.

Nise, N. S. (2004). Sistemas de Control para Ingenieria 1ed. Mexico: CONTINENTAL.

Ogata, K. (2010). Ingeniería de Control Moderna 5ed. Madrid: PEARSON.


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TRABAJO UNIDAD 5 Marquez Patiño Jose Adrian

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