EET Nº 455 – ESPERANZA – Santa Fe MÁQUINAS, MÉTODOS Y CONTROL DIMENSIONAL DEL PROCESAMIENTO

Curso: 4º B – Electromecánica Año: 2010

Prof.: Ing. José Passerino Vencimiento: / /

ALUMNO:

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 5

MOVIMIENTOS CIRCULAR UNIFORME Y VARIADO: Aceleración Centrípeta – Velocidad angular – Frecuencia – Período – Aceleración

tangencial – Aceleración angular

OBJETIVO:

El desarrollo es este TP tiene como objeto la comprensión de los movimientos rotatorios. Las causas que lo provocan y las variables que están involucradas en estos movimientos.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

APOYO TEÓRICO:

Se debe recordar que en los movimientos rectilíneos el vector velocidad, aún pudiendo variar su rapidez, o sea su magnitud, la dirección permanecía constante, generando una trayectoria rectilínea.

También debemos tener presente que todo cambio de velocidad v, es producido por una

aceleración, cuya expresión es a = v/t (m/s2), donde t es el tiempo empleado para el cambio de

velocidad. (las expresiones en negrita corresponden a magnitudes vectoriales)

Al ser la velocidad una magnitud vectorial, su variación no sólo se reduce a un cambio de

magnitud, sino que también puede cambiar su dirección. En los movimientos de trayectorias circulares, obviamente la dirección del móvil (y por ende la de

su velocidad) va cambiando instante a instante. Esto implica que el vector v ya no tendrá la dirección

coincidente con la de la trayectoria como ocurre en los movimientos rectilíneos. Como consecuencia de

esto, se produce momento a momento cambios de dirección del móvil, aún cuando su rapidez permanezca constante.

Se puede obtener la dirección del vector v como la diferencia vectorial entre una velocidad final y

la inicial, v = v0 – vf. Se comprende que si al vector de la velocidad inicial se la suma el vector de

cambio de velocidad se obtiene el vector de la velocidad final: v0 +v = vf

El cambio de velocidad se produce en un determinado tiempo t, lo que da origen al vector

aceleración a. Al ser el tiempo un escalar, la dirección del vector aceleración dependerá del de la velocidad, siendo por lo tanto sus direcciones coincidentes.

v

v0

Vf

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En los libros de Física recomendados, podemos estudiar como determinar el vector aceleración en

función de las constantes de un movimiento circular. Esta aceleración a tendrá como dirección la del radio de curvatura en el instante considerado, y su sentido siempre será hacia el centro instantáneo de

rotación. Por ese motivo se la denomina aceleración centrípeta.

La magnitud de este vector ac dependerá de las siguientes constantes: El radio r de curvatura (que

en el caso de la circunferencia es constante) y de la rapidez de v (magnitud de la velocidad) tangencial.

ac = v2/r. (m/s2)

Podemos además expresar un movimiento rotativo o circular en función de otro concepto que es la

velocidad angular. Un punto al describir una trayectoria circunferencial, su radio de curvatura barre un

determinado ángulo en un cierto tiempo. Por tal motivo se define a la velocidad angular como la

variación angular (ángulo barrido) en un determinado tiempo t. Su expresión es la siguiente:

= /t (rad/s) Notemos que tiene un formato similar al de la velocidad tangencial, pero se reemplaza distancias recorridas por el ángulo barrido. Este ángulo se mide en radianes (no se utilizan grados sexagesimal).

El radián es una magnitud adimensional por lo que suele expresarse en (1/s ó s-1)

La velocidad angular se determina midiendo el ángulo descripto en una vuelta o revolución.

Sabemos que la circunferencia contiene 2 radianes (o sea aproximadamente 6,2832 radianes).

Al tiempo empleado en dar una revolución se lo denomina período y se lo indica como T y lógicamente se mide en segundos (s). A la inversa del período, se la llama frecuencia y se la representa por f. La unidad de frecuencia es (1/s) pero es común en ciertas especialidades denominarlas Hertz (Hz)

f = 1/T (1/s) (Hz) o bien T = 1/f (s)

= /t (rad/s) = 2T = 2f (1/s)

Generalmente los elementos de máquinas que giran, o los motores indican su velocidad de rotación

en rpm, (revoluciones por minuto). Si bien se trata de una frecuencia angular, no es la unidad

adecuada para la resolución de problemas, incluso la unidad de tiempo minuto no se condice con la unidad del sistema internacional que es el segundo. Por tal motivo debemos llevar a las rpm (rev/min)

a (r/s) o sea (1/s). En esos casos, para determinar es necesario previamente reducir a segundos

dividiendo por 60.

La velocidad angular y la velocidad v tangencial están relacionadas entre sí por el radio R de

rotación. Esto deriva de analizar el perímetro de una vuelta, equivalente al ángulo barrido de 360º que

en los problemas se toman exclusivamente en radianes, (2 radianes) y relacionarlo con el tiempo

empleado, es decir el período T.

V = (longitud del arco recorrido = perímetro de la circunferencia = 2R) / (Período = Tiempo en

recorrer esa vuelta = T)

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Escrito en forma compacta es V = 2R/T. Pero por lo visto más arriba 2T es . Por ese motivo

nos queda que:

v = .R (1/s)(m) = (m/s)

Es decir que la velocidad tangencial se obtiene del producto de la velocidad angular por el radio de

la trayectoria. En sistemas de transmisión por poleas-correas o por engranajes, las velocidades tangenciales de

dos ruedas en contacto deben ser iguales, mientras que las velocidades angulares variarán en función de sus respectivos radios.

1 ≠2 mientras que vt1 =vt2

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

Al igual que en los movimientos rectilíneos, se pueden tener casos en que la velocidad no es constante. Esto como ya se explicó, estará generado por una aceleración. Si ésta es constante, la velocidad variará proporcionalmente con el tiempo. En el caso de que un Movimiento Circular varíe la

rapidez constantemente, el movimiento se denomina MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

(MCUV).

Las ecuaciones para este movimiento son semejantes a la de los movimientos rectilíneos, pero en lugar de caracteres latinos se utilizan los griegos, tal como se acostumbra a nombrar ángulos.

Las correspondencias son las siguientes:

Posición Inicial → Ángulo Inicial x0 → 0

Posición Final → Ángulo Final xf → f

Variación de distancia → Variación Angular x (xf - x0) → (f - 0)

Velocidad tangencial vt → Velocidad angular

D1

vt

21

D2

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Aceleración tangencial at → Aceleración angular

Las ecuaciones ahora tendrán estas expresiones

Posición en función del tiempo x(t) = x0 + v0.t + ½ ax t²

Posición angular en función del tiempo (t) = 0 + 0.t + ½ t²

Velocidad tangencial en función del tiempo v(t) = v0 + ax.t

Velocidad angular en función del tiempo (t) = 0 + t

Como se observa la velocidad tangencial varía con el paso del tiempo y como v = .R, también

variará la angular pues = v/R.

La causa de la variación de es la aceleración angular , donde esta aceleración vale:

= /t [(rad/s) /s] = rad.s-2= 1/s2)

La aceleración angular es la variación de velocidad angular respecto del tiempo.

La relación entre la aceleración tangencial y la angular, está dada por la expresión

at = .R (1/s2 x m = ms-2)

Otra expresión que puede ser útil, es el cálculo de la velocidad final, no en función del tiempo, sino en función del cambio de posición. En el caso de los MRUV la expresión usada era:

vf² = v0²+2(Xf - x0 ).a

La expresión correspondiente para MCUV es:

f² = 0²+2(f - 0 ).

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN

PROBLEMA 1 La Luna gira alrededor de la Tierra, dando una revolución cada 27,3 días. Suponiendo

que la órbita sea circular y tenga un radio de 385.000 (km).

¿Cuál es la magnitud de la aceleración centrípeta de la Luna hacia la Tierra?

PROBLEMA 2

Calcular la rapidez de un satélite artificial de la Tierra, suponiendo que se está moviendo

a una altura de 225 (km) sobre ésta, y que la aceleración gravitacional g a esa altura es de 9,20

(m/s2). Tomar el radio de la tierra R = 6.400 (km).

PROBLEMA 3

Algunas estrellas neutrónicas (estrellas extremadamente densas) giran con una rapidez

angular de aproximadamente 1 (rev/s). Si una de esas estrellas tiene un radio de 20 (km).

¿Cuál será la aceleración de un objeto que se encuentra en el ecuador de dicha estrella?

PROBLEMA 4

Un campo magnético desvía a una partícula cargada perpendicularmente a la dirección de

su movimiento. Un electrón sufre una aceleración radial de 3,0 x 1014 (m/s2) en dicho campo.

¿Cuáles su rapidez si el radio de su trayectoria curva es de 0,15 (m)?

PROBLEMA 5

En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, un electrón gira alrededor de un

protón en una órbita circular de 5,28 x10-ll (m) de radio, con una rapidez de 2,18 x106 (m/s).

¿Cuál es la aceleración del electrón en el átomo de Hidrógeno?

PROBLEMA 6

¿Cuál es la aceleración de un objeto, debida a la rotación de la Tierra?

a) en el ecuador.

b) a una latitud de 60o

c) En cuánto debería aumentar la rapidez de la Tierra para que un cuerpo en el

ecuador requiera una aceleración igual a g para ser mantenido sobre la

superficie

PROBLEMA 7

Un chico hace girar una piedra en un círculo horizontal a una altura de 1,80 (m) sobre el

piso, valiéndose de una cuerda de 1,20 (m) de largo. La cuerda se corta y la piedra sale disparada en

forma horizontal llegando a una distancia de 9,10 (m).

¿Cuánto valía la aceleración centrípeta durante su movimiento circular?

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PROBLEMA 8

Una partícula P se mueve en sentido antihorario sobre un círculo de 3,00 (m) de radio,

con rapidez constante, y completa 1,00 (rev) en20 (s). La partícula pasa por el origen O en t=0.

Partiendo del origen O.

Determinar:

a) la magnitud y la dirección de los vectores de posición después de 5,0 - 7,5

y 10,0 (s).

b) la magnitud y la dirección del desplazamiento que ocurren en el intervalo

comprendido entre t= 5,0 (s) y t = 10 (s) y

c) el vector de velocidad instantánea al iniciarse y al terminar el intervalo. PROBLEMA 9

Un ventilador arranca y al cabo de 10 (s) su velocidad es de 120 rpm. Sus palas tienen

una longitud de 75 cm respecto del centro. Determinar:

a. La aceleración angular necesaria para alcanzar esa velocidad.

b. El valor de la aceleración tangencial.

c. La velocidad tangencial en el último instante

PROBLEMA 10

Un motor que gira a 1200 rpm aumenta su velocidad a 1800 rpm en 360 revoluciones.

Determinar:

a) La aceleración angular necesaria.

b) La velocidad tangencial en la periferia de la polea de Ø 220 mm.

c) La aceleración centrípeta final. PROBLEMA 11

Las aspas de un molino giran a 90 rpm cuando el viento deja de soplar y la velocidad baja

a 15 rpm. El tiempo empleado en bajar la velocidad fue de 2 minutos.

Determinar:

a) La aceleración angular que generó el cambio de velocidad.

b) La cantidad de vueltas que dio en ese intervalo de tiempo.

c) La aceleración centrípeta para la masa de la rueda cuyo diámetro es 300 mm.

d) La aceleración centrípeta para un punto extremo del aspa con Ø 2400 mm.

PROBLEMA 12

Una rueda dentada de diámetro D1=100 (mm), tiene una aceleración centrípeta aC =

500 (m/s2) y mueve a otra rueda de diámetro D2=400 (mm). Esta última es solidaria a un tambor de

izaje de diámetro D3=120 (mm). Determinar:

a) ¿A cuántas r.p.m. gira el primer engranaje?

b) ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda 2?

c) ¿A cuántas r.p.m. gira el tambor?

d) ¿Cuál es la velocidad de izaje del tambor?