Radioderterminación y Radar

Curso 2008-09

Trabajo de Prácticas: Phased Arrays

Alumno: José Manuel Rodríguez García

Profesor: Juan Pedro Roa Gómez

Campos radiados por agrupaciones

Se define una agrupación como un conjunto de N antenas iguales que radian o reciben simultáneamente. El diagrama de radiación del conjunto se obtiene como la interferencia de los campos radiados por cada una de las antenas, mientras que en recepción la señal recibida es una combinación lineal de las señales que capta cada antena. Las agrupaciones de antenas permiten sintetizar el diagrama de radiación a un haz directivo estrecho el cual puede ser orientado, mecánicamente o electrónicamente, en muchas direcciones. La orientación se consigue mediante el control de la fase de la corriente de alimentación de los elementos que forman la agrupación. Las agrupaciones con la capacidad de modificar la orientación del haz, se conocen como phased arrays. La agrupación de antenas de fase, en comparación con otras antenas más simples como pueden ser los reflectores, son más caras y complicadas de diseñar. Sin embargo, la flexibilidad inherente de la agrupación de antenas de fase para orientar el haz y también la necesidad de especializarse en múltiples funciones para los sistemas de radar han hecho que este tipo de antenas sea atractivo para aplicaciones de radar.

Agrupaciones lineales

En este apartado se van a considerar únicamente las agrupaciones lineales rectilíneas con espaciado constante entre las antenas. A continuación se obtendrá el diagrama de radiación del conjunto a partir de la transformada de Fourier de la distribución de corrientes, y se comprobará que coincide con la interferencia de los campos radiados por los elementos de la agrupación.

1. Distribución de corrientes en una agrupación lineal sobre el eje z

Sean N antenas iguales equiespaciadas una distancia d sobre el eje z, situadas en las

posiciones z`n = nd y alimentadas con corrientes In, donde n = 0, 1, ..., N-1. Si la distribución de corrientes con fasor de alimentación unitario sobre la antena básica situada

en z = 0 es , y si cada antena se excita con un fasor de corriente In, la distribución de corrientes sobre el conjunto de la agrupación puede escribirse como

Expresando el sumatorio anterior como la convolución de la corriente en la antena básica

con un tren de funciones delta de pesos In, equivalente a la secuencia discreta I(n), tenemos

El vector de radiación es la transformada de Fourier tridimensional de la distribución de corrientes. Aplicando el teorema de convolución a la ecuación anterior resulta

donde es el vector de radiación de la antena básica situada en el origen, cuando el fasor de alimentación es la unidad.

Como la secuencia unidimensional I(n) es separable, su transformada de Fourier 3-D es el producto de transformadas en cada dirección

La frecuencia digital ωz en la dirección z es el producto de la frecuencia espacial analógica

kz por el periodo de muestreo en la dirección z, que es igual a d

donde θ es el ángulo respecto al eje de la agrupación. La expresión final para el vector de radiación es

Normalmente los fasores de alimentación In presentan una fase progresiva entre cada par de antenas consecutivas, de forma que suele escribirse

donde los coeficientes an son en general números complejos, que toman valores reales en el caso más habitual en que la fase de la alimentación sea progresiva.

Combinando las dos ecuaciones anteriores resulta, finalmente

Del valor del vector de radiación pueden obtenerse todas las características de radiación de la antena. Por ejemplo, el campo eléctrico radiado por la agrupación será

donde es el campo radiado por la antena básica con alimentación unitaria. Está ecuación puede interpretarse como la interferencia de los campos radiados por cada una de las antenas que componen la agrupación.

2. Interferencia de los campos radiados por las antenas de la agrupación

En la figura 2 se representa la diferencia de caminos en campo lejano para cada una de las antenas. Puede observarse que, en la hipótesis de rayos paralelos, la diferencia de caminos entre la antena situada en el origen y la n-ésima es

Para simplificar los cálculos, la expresión anterior suele escribirse en función de un ángulo eléctrico ψ

que representa la diferencia de fase entre las contribuciones en campo lejano de dos antenas consecutivas. Esta diferencia de fase es igual a la suma del desfase por diferencia de caminos, kd∙cosθ, más la fase progresiva de la alimentación α. Utilizando esta notación, la expresión del campo eléctrico radiado por la agrupación es

En la última ecuación puede observarse que el diagrama de campo radiado por la agrupación es igual al producto del diagrama de la antena básica, , multiplicado por un factor que tiene en cuenta la interferencia de las N ondas generadas por las N antenas. Este factor depende únicamente de la separación entre los elementos de la agrupación, de la alimentación y de la frecuencia de trabajo, y se denomina factor de la agrupación (FA)

El factor de la agrupación definido anteriormente y expresado en función del ángulo ψ es

una función que depende únicamente de los coeficientes de la alimentación an. Para obtener el diagrama de radiación en función de las direcciones del espacio real θ, se sustituye ψ por su valor, con lo que se incluye la dependencia con el espaciado, la fase progresiva y la frecuencia de trabajo.

El factor de la agrupación FA(ψ) presenta las siguientes propiedades:

Es una función periódica del ángulo ψ, de periodo 2π, tal que los coeficientes de su

serie de Fourier son los coeficientes de la alimentación an.Esta propiedad permite sintetizar diagramas de radiación de agrupaciones, pues basta escoger unos coeficientes de la alimentación iguales a los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier del factor de la agrupación deseado.

Por tanto, el factor de la agrupación es la transformada de Fourier de la secuencia

discreta de los coeficientes de la alimentación, an.Ello es coherente con el hecho de que el diagrama de radiación de una antena es la transformada de Fourier de su distribución de corriente, y de que el factor de la agrupación puede interpretarse como el diagrama de radiación de una agrupación de antenas isótropas.

Si los coeficientes de la alimentación an son reales y positivos, el máximo del factor de la agrupación se encuentra en el origen ψ = 0.La interpretación física de esta afirmación radica en que el máximo del diagrama se encuentra en la dirección en que los campos radiados por cada antena se suman en fase, la cual corresponde a un desfase nulo (ψ = 0) en la interferencia cuando los

coeficientes an son reales y positivos.

Como el ángulo θ, que indica la dirección de radiación en el espacio, sólo toma valores reales entre 0 y π, los cuales corresponden a un intervalo de variación de ψ

resulta que solamente la parte de FA(ψ) comprendida en el intervalo pertenece al diagrama de radiación. A este intervalo se le llama el margen visible.

La longitud del margen visible es 2kd y está centrado en ψ = α, de forma que su tamaño es proporcional al espaciado de la agrupación, normalizado con respecto a la longitud de onda, y su posición en el eje ψ varía con la fase progresiva.

Para coeficientes de alimentación reales y positivos, cuando el margen visible incluye el origen ψ = 0, |α| ≤ kd, el máximo del diagrama de radiación se encuentra en la dirección del espacio

Según la ecuación anterior, puede controlarse la dirección del máximo de radiación variando la fase progresiva α. Ello es debido al hecho de que una fase lineal en las corrientes provoca un desplazamiento en su transformada de Fourier, que es el diagrama de radiación.Este es el principio de funcionamiento de las agrupaciones con barrido de fase (phased arrays), en las que la dirección del máximo se varía de forma electrónica mediante un control –por medios analógicos o digitales- de la fase progresiva.

Como el factor de la agrupación es periódico con periodo 2π, si el máximo está en ψmáx existen máximos periódicos en los múltiplos enteros de 2π, ψ = 2mπ + ψmáx. Cuando estos máximos periódicos se encuentran dentro del margen visible, si kd + α ≤ 2π o kd + α ≥ 2π, aparecen múltiples máximos de radiación en el espacio real, denominados lóbulos de difracción.

Agrupaciones bidimensionales

Hasta ahora, hemos considerado únicamente las agrupaciones lineales, en las que las antenas se sitúan a lo largo de una recta (por ejemplo, el eje z), produciendo un diagrama de radiación con simetría de revolución alrededor del eje de la agrupación. Sin embargo, son también muy habituales las agrupaciones en las que las antenas se sitúan sobre una superficie bidimensional, tanto plana como curvada. Estas agrupaciones de dos dimensiones permiten obtener una gama más amplia de diagramas de radiación, al conformar y dirigir el haz en las dos coordenadas esféricas del espacio (θ, φ), sin las restricciones que impone la simetría de revolución.

En este apartado se va a estudiar únicamente el caso más sencillo y uno de los más habituales en la práctica: las agrupaciones planas rectangulares equiespaciadas con alimentación separable.

3. Agrupación plana, rectangular y equiespaciada

Sea una agrupación rectangular de M x N antenas iguales, situadas sobre el plano (x,y),

paralelamente a los ejes, con espaciado dx en la dirección x y dy en la dirección y, y

alimentadas con corrientes Imn. El factor de la agrupación será el resultado de la interferencia en campo lejano de la radiación de todas las antenas. Por analogía con la agrupación lineal, el factor de una agrupación rectangular es

Para una alimentación con fase progresiva αx en la dirección x y αy en y

y definiendo los ángulos ψx y ψy, que representan el desfase eléctrico entre las contribuciones en campo lejano de dos elementos consecutivos en los planos (x,z) y (y,z) respectivamente

resulta el factor de la agrupación

Análogamente al factor de una agrupación lineal, FA(ψx,ψy) es la transformada de Fourier

en dos dimensiones de la secuencia amn, mientras que esta última es el conjunto de los coeficientes de la serie de Fourier bidimensional de la función periódica de dos variables

FA(ψx,ψy).

Para una alimentación separable amn = am·an, tenemos

Nótese que el factor de una agrupación plana rectangular separable puede interpretarse también como el factor de una agrupación lineal en x cuya antena básica es una agrupación lineal en y, o bien como el factor de una agrupación lineal en y cuya antena básica es una agrupación lineal en x.

Si las alimentaciones son reales y positivas, , el máximo del factor de la agrupación se encuentra en el origen y, despejando, la dirección del máximo de radiación en el espacio real es

Obsérvese que cuando las fases progresivas son nulas, αx = αy = 0, la dirección del máximo

está definida por θmáx = 0, π y φmáx cualquiera, lo cual corresponde a un haz perpendicular a la agrupación (en la dirección del eje z). Este resultado es lógico, teniendo en cuenta que si la fase progresiva es nula la interferencia constructiva de todos los elementos se produce en el eje perpendicular al plano de la agrupación.

En general, variando la longitud de onda λ, o los espaciados eléctricos dx/λ y dy/λ, o las

fases progresivas αx y αy, se pueden controlar los ángulos θmáx y φmáx para dirigir el haz en la dirección deseada. También pueden generarse varios haces principales si se utilizan espaciados mayores que la longitud de onda para que aparezcan lóbulos de difracción. Una aplicación práctica importante se encuentra en las agrupaciones con barrido electrónico, (phased-arrays), muy utilizadas en sistemas radar: la agrupación es capaz de barrer el espacio con el haz principal hasta localizar un blanco y fijar este haz sobre él para seguir su movimiento. En algunos casos se generan nuevos haces para seguir barriendo el espacio.

Simulaciones

fig8_5.m

En este programa se calcula el patrón de radiación y patrón de potencia de radiación para una agrupación lineal de N antenas equiespaciadas. Como sabemos el patrón de radiación normalizado es:

el cual representa el módulo del campo eléctrico de la agrupación respecto sin (Ψ), que sería la dirección o camino que radia cada elemento, tal y como puede verse en la siguiente figura:

Por tanto, el programa a simular únicamente consiste en ver los diferentes valores obtenidos para |E(sin Ψ)| para diferentes valores de Ψ, que va desde –π a π, y representarlo en una gráfica, mostrando de este manera el patrón de radiación. Así pues los resultados obtenidos en la simulación son:

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

sine angle - dimensionless

Arr

ay p

atte

rn

1. Patrón de radiación normalizado para una agrupación lineal; N=8; d=λ

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

sine angle - dimensionless

Pow

er p

atte

rn [

dB]

2. Patrón de potencia de radiación normalizado para una agrupación lineal; N=8; d=λ

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Array pattern

3. Patrón de radiación en polar

-40 dB

-30 dB

-20 dB

-10 dB

0 dB

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Power pattern [dB]

4. Patrón de radiación de potencia en polar

Como podemos ver en la primera figura aparece reflejado el módulo normalizado del campo eléctrico que toma la agrupación para diferentes valores sin (Ψ), lo primero a destacar es que en sin (Ψ) = 0 se encuentra el máximo, que corresponde al lóbulo principal si entra dentro del margen visible. Si observamos bien la función obtenida tiene la forma de una sinc periódica (periodo 2π), además, se ve claramente que sigue una distribución de corriente uniforme, siendo el polinomio de la agrupación:

De la expresión anterior se deduce que los ceros del polinomio en el plano Z son las raíces N-ésimas de la unidad, salvo z = 1, y por tanto se encuentran equiespaciados sobre el círculo unidad. Lógicamente, el número de ceros del polinomio es uno menos que el número de raíces N-ésimas de la unidad y, por tanto, N-1.

En la figura 2 cogemos los valores obtenidos del campo eléctrico y lo pasamos a decibelios, con esta figura se puede ver perfectamente el valor de NPLS, nivel de lóbulo principal a secundario, que en este caso vale aproximadamente 13dB, es el valor que se obtiene cuando se utiliza una distribución de corriente uniforme.

En la figura 3 aparece el patrón de radiación, se puede observar que el lóbulo principal aparece para Ψ = ±90º, aparece varios lóbulos secundarios, y aparecen también lóbulos de difracción en Ψ = 0º y 180º, ya que gracias a que la distancia es lo suficientemente grande, entra dentro del margen visible los máximos periódicos. Para ver esto de forma más clara vamos a tomar diferentes valores de λ:

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Array pattern

5. Patrón de radiación en polar para d = 0.5λ

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Array pattern

6. Patrón de radiación en polar para d = 3/2λ

Por tanto, a la vista de los resultados, si aumenta el espaciado normalizado con la longitud de onda, d/λ, aumenta el margen visible 2kd y por tanto el tamaño del círculo, con lo que aparece un mayor número de lóbulos (más estrechos) en el diagrama de radiación. Si el espaciado aumenta suficientemente para que los máximos periódicos entren en el margen visible, aparecen lóbulos de difracción. En general, un aumento del espaciado o de la frecuencia implica un mayor número de lóbulos secundarios y un menor ancho de haz, pero no modifica el nivel de lóbulo principal a secundario.

Por último, en la figura 4 aparece reflejado la potencia de radiación, en donde como se ha comentado en el punto anterior, un aumento de λ va a provocar que el haz principal se haga más estrecho y aparezca mayor número de lóbulos secundarios, sin embargo, el NPLS se mantiene igual, tal y como se puede ver a continuación.

-40 dB

-30 dB

-20 dB

-10 dB

0 dB

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Power pattern [dB]

7. Patrón de potencia de radiación en polar para d = 0.5λ

-40 dB

-30 dB

-20 dB

-10 dB

0 dB

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Power pattern [dB]

8. Patrón de potencia de radiación en polar para d = 3/2λ

rect_array.m

En esta simulación vamos a obtener el patrón de ganancia de una agrupación rectangular de antenas en el espacio visible U, V. El esquema de la agrupación que vamos a simular aparece en la siguiente figura:

1. Geometría de una agrupación rectangular

Tenemos una agrupación de antenas de tamaño N x M. El producto de , dondees el vector del elemento ith en la agrupación y es el vector unidad para campo lejano del punto de observación, que puede ser dividido en dos componentes, una en la componente x y otra en la componente y. Las componentes del campo eléctrico debido a los elementos distribuidos a lo largo de las direcciones x e y respectivamente, vienen dado por:

El campo eléctrico total en punto lejano de observación es:

El objetivo de la simulación va a ser obtener el valor del campo eléctrico total generado por la agrupación, como se puede ver este campo está formada por dos componentes, por lo que necesitaremos utilizar la transformada discreta de Fourier en dos dimensiones para obtener de este modo el patrón de radiación de la agrupación rectangular.

Como se puede apreciar en la figura 1, existen dos ángulos que marcan la orientación del array, estos son el ángulo de elevación θ y el ángulo en azimut Φ. El valor de estos ángulos van afectar al campo obtenido de radiación, tal y como aparece en las ecuaciones anteriores, además va afectar al espacio visible, ya que como sabemos:

En donde el margen visible para este tipo de antenas es:

Una vez realizada una breve introducción teórica, pasamos a mostrar lo resultados de la simulación:

2. Patrón de radiación en 3-D para Nxr = 25, Nyr = 25, dolxr = 0.5, dolyr = 0.5, theta0 = 0, phi0 = 0

V

U

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3. Contorno de la agrupación rectangular

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

antenna spacing pattern

y - units

x -

units

4. Geometría de la agrupación

Como podemos observar de la figura 2 y 3 de la simulación, la mayor concentración de energía va a estar concentrada en el espacio visible correspondiente a U = 0 y V = 0, esto es debido a que los ángulos de orientación tienen el valor θ = 0 y Φ = 0. Por tanto, vamos ahora a observar cómo cambia el diagrama de radiación para distintos valores de θ y Φ, manteniendo el resto de parámetros para la simulación iguales.

5. Patrón de radiación en 3-D para θ = 60, Φ = 0

Como se puede apreciar en la figuras 5 y 6, la modificación del ángulo de elevación ha producido que el campo total radiado se hay modificado, en este caso se ha desplazado hacia la dirección U, haciendo que cambie el punto donde se de mayor concentración de energía en este caso corresponde a U = sin(60)∙cos(0) = 0.866 y V = 0.

V

U

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

6. Contorno de la agrupación rectangular para θ = 60, Φ = 0

7. Patrón de radiación en 3-D para θ = 60, Φ = 60

En este caso como también hemos modificado el ángulo en azimut a 60º, ha producido un desplazamiento en la dirección U y en la dirección V, de este modo el punto de máxima radiación se encontraría en U = sin(60)∙cos(60) = 0.433 y V = sin(60)∙ sin(60) = 0.75, tal y como se ve en la figura de abajo,

V

U

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

8. Contorno de la agrupación rectangular para θ = 60, Φ = 0

Como conclusión final, hemos podido ver que cambiando el ángulo de orientación de los elementos que forman la agrupación, es posible modificar el diagrama de radiación haciendo que el haz principal cambie de posición, de este modo si el radar localiza un blanco mediante el empleo de este tipo de antenas puede seguirlo, para ello irá cambiando la fase de los elementos que componen el array orientando el haz principal hacia la dirección deseada, donde está el blanco.