Trabajo Monográfico 50 EDO 1 Orden

7/23/2019 Trabajo Monográfico 50 EDO 1 Orden

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ECUACIONES DIFERENCIALES

1.-Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia

radiactiva. Después de 6 horas su masa disminuyó en un 3.

!i en un instante cual"uiera la rapide# de desintegración es

proporcional a la cantidad de sustancia presente$ determinar

la cantidad "ue "ueda después de %& horas.

RESOLUCIÓN.

1



ECUACIONES DIFERENCIALESInicialmente tenemos 100 mg de sustancia radiactia. Si C!t" denota la cantidad desustancia radiactia en el instante t# sa$emos %ue al ca$o de t & ' ( %uedan

( )6 100 3 97C gr = − =

De esta sustancia.

La ra)ide* de desintegraci+n es )ro)orcional a la cantidad de sustancia )resente# estoes,

-



ECUACIONES DIFERENCIALESdC

KC dt

=

Siendo la constante de )ro)orcionalidad# la soluci+n de la ecuaci+n ser/,

( ) kt C t Ae=



ECUACIONES DIFERENCIALESDonde A son constantes# de la condici+n inicial tenemos,

0*(0) 100t C Ae= =

100 A→ =

Entonces )ara t&',

2



ECUACIONES DIFERENCIALES6(6) 100 97k C e= =

1(0.97)

6k Ln→ =

0.005k → ≈ −

3



ECUACIONES DIFERENCIALESNuestra ecuaci+n )ara cual%uier instante de tiem)o t ser/,

0.005( ) 100 t C t e

−

=

Entonces la cantidad )ara -2 (oras ser/,

0.005(24)(24) 100C e−=

'



ECUACIONES DIFERENCIALES0.12(24) 100 88.5C e mg −→ = ≈

%.-!e sabe "ue un cierto material radioactivo se desintegra

proporcionalmente a la cantidad presente. !i inicialmente hay

'0 miligramos de material presente y después de dos horas seobserva "ue el material ha perdido el 10 de su masa

original$ hallar(

4




a) una e*presión para la masa de material presente en un

momento t

b) la masa después de cuatro horas

Soluci+n,

a" Llamaremos 5 !t " a la masa del material en un instante t,

6



ECUACIONES DIFERENCIALES 7enemos el 89I,

( )

(0) 50

dX KX t

dt

X

= −

=

(2) 45 X =

:



ECUACIONES DIFERENCIALESSolucionamos la ecuaci+n di;erencial,

( ) kt X t Ce−=

Donde C son constantes del 89I tendremos,

10



ECUACIONES DIFERENCIALES0

(0) 50

50

k X Ce

C

−= =

→ =

< )ara t&-,

11



ECUACIONES DIFERENCIALES2(2) 50 45

1(0.9)

2

0.05

k X e

K Ln

K

−= =

→ =

→ ≈

La soluci+n del 89I# ser/,

1-



ECUACIONES DIFERENCIALES0.05(t) 50 t X e−=

$" Luego de cuatro (oras,

0.05(4)(4) 50 X e−=

0.05(4)(4) 50 X e−=

1




3. +ncuentre el valor de la constante a$ de tal ,orma "ue las

,amilias

3

1Y C X =

$

22

2 X aY C + =

sean ortogonales(

SOLUCIÓN,

12



ECUACIONES DIFERENCIALESComo a%u= se tienen dos curas# se de$er/n denotar de manera di;erente las deriadasde cada una de ellas> sean,

? la deriada de la )rimera cura

@-? la deriada de la segunda cura

De acuerdo con la denici+n de curas ortogonales# )ara %ue estas curas seanortogonales de$e satis;acerse %ue el )roducto de las deriadas sea igual a B1# esto es,

13



ECUACIONES DIFERENCIALES?. @-? & B1 !1"

Deriando im)l=citamente res)ecto de # la cura

3

1Y C X =

!-"

2

13 l Y Y C =

. !"

1'



ECUACIONES DIFERENCIALESLa constante C1 de$e eliminase del sistema %ue se ;orma con las ecuaciones !-" !"

Sustituendo !" en !-" se tiene,

3 l

Y Y X =

Des)eando ?

14




3

l Y Y

X =

!2"

Deriando im)l=citamente res)ecto de # la cura

22

2 X aY C + =

. !3"

22 2 0l

X aYY + =

. !'"

16



ECUACIONES DIFERENCIALESDes)eando @-? de la ecuaci+n !'"

2

l X Y

aY

−=

!4"

Sustituendo las ecuaciones !2" !4" en la ecuaci+n !1"

* 13

Y X

X aY

−= −

1:




Sim)licando des)eando la constante !a"

1

3a =

&.-+ncuentre las trayectorias ortogonales de la ,amilia

3 2Y CX =

SOLUCIÓN,

Se de$e comen*ar )or determinar la ecuaci+n di;erencial asociada a la ;amilia de curas

-0



ECUACIONES DIFERENCIALES3 2Y CX =

!1"

Dic(o (a* )osee una sola constante ar$itraria# )or lo tanto# la ecuaci+n se deria solo unae*.

Deriando im)l=citamente la ecuaci+n !1" res)ecto de resulta

23 2l

Y Y CX = !-"

-1



ECUACIONES DIFERENCIALESComo la ecuaci+n !-" an contiene la constante ar$itraria C# dic(a ecuaci+n nore)resenta la ecuaci+n di;erencial asociada. 8or lo tanto# la constante ar$itraria C de$eeliminarse a )artir del sistema %ue se ;orma con las ecuaciones !1" !-".

A%u= $asta con des)ear C de la ecuaci+n !-" sustituir en la ecuaci+n !1"# resultando

3

2

l

XY Y =

!"

--



ECUACIONES DIFERENCIALESLa ecuaci+n !" re)resenta la ecuaci+n di;erencial asociada a la ;amilia

3 2Y CX =

-




-2




'.- !e lan#a un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con

velocidad inicial v0. !uponiendo "ue no hay resistencia delaire$ pero tomando en cuenta la variación del campo

gravitacional con la altura$ encontrar la menor velocidad

-3




inicial v0 "ue necesita el cuerpo para "ue no regrese a la

tierra. +sta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de

escape.

-'




SOLUCIÓN,

-4




2

2( )

( )

dv mgRm w x

dt x R= − = −

+

Donde el signo menos indica %ue la direcci+n de la ;uer*a es (acia el centro de la tierra.

Cancelando m# resoliendo la ecuaci+n di;erencial resultante )oniendo comocondiciones iniciales# en t & 0# & 0 & 0# se llega a,

-6




2 2

0

22 0

( )

gRv v gR

x R= − + ≥

+

8or lo tanto,

2

0 2v gR≥

De a%u= concluimos %ue la elocidad de esca)e,

-:




0 2v gR=

0




6. a ,uer#a resistente del agua "ue opera sobre un bote es

proporcional a su velocidad instantnea y es tal "ue cuando la

velocidad es de %0 la resistencia es de &0 constantes de '0

/eton una masa de &%0 g. y el pasa2ero de 0 g

a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l

cual"uier instante suponiendo "ue el bote parte del reposo.

1



ECUACIONES DIFERENCIALES. A)licando la segunda le de neGton# tenemos,

x F ma=∑

Fm, Fuer*a del motor& 30N

Fr, Fuer*a de resistencia del agua&

<a %ue la elocidad es de -0 la ;uer*a 20# entonces,

-




220

2

k

K

= =

→ =

7enemos,

x F ma=∑



ECUACIONES DIFERENCIALES Fm Fr ma− =

420 80 500m = + =

50 500 , 2dvkv k dt

− = =

2




500 50 2dv

vdt

= −

50 2 500

dv dt

v

=

−

3




2( 25) 500

dv dt

v= −

−

( 25) 250

dv dt C

v= − +

−∫ ∫ | 25 |250

t Ln v C − = − +

25025t

v ke−

→ = +

'



ECUACIONES DIFERENCIALES <a %ue )arte del re)oso,

9 !0"& 0

0 25

25

k

k

= +

→ = −

La ecuaci+n de la elocidad,

4




250

250250

25 25

( ) (25 25 ) 25 25(250)

t

t t

v e

x t e dt t e

= −

= − = +∫

<a %ue )arte del re)oso

6



ECUACIONES DIFERENCIALES0 25(250)

25(250)

C

C

= +

= −

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