Trabajo Final Vibraciones

8/18/2019 Trabajo Final Vibraciones

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1.1.* en el blo(ue correspondiente al tiempo de de nir∆ t y e l tiempo desimulacion

1.1.+ en los blo(ues correspondientes a integración, dar los valores iníciales xt = 0 ; ´ xt = 0 de cada

caso.

1.1. obtener el resultado num-rico y grá cos para cada caso contrastar consoluciones analíticas

y veri car puntos del ob/etivo especí co.

1.1.0 escribir el reporte resaltando lo anterior y aciendo comentario críticosobre coincidencias y

diferencias entre resultados analíticos y num-ricos, así como sobre

cual(uier aspecto interesante del proceso num-rico de simulación.

1.# sistema amortiguado: variación en la ra2ón de amortiguamiento

Objetivos específcos:

Observar el comportamiento del sistema, pasando de no vibratorio a vibratorio,al variar los

valores de su coe ciente de su amortiguamiento.Veri car como varia, de acuerdo al amortiguamiento, la rigide2 deretorno a la posición de e(uilibrio estático o el decremento logarítmico,seg3n se apli(ue.

Veri car la relación entre la frecuencia natural libre y amortiguada.

Cálculos previos:

1.#.1 asumir un sistema masa resorte amortiguador, sin e citación

m ́x+c ´ x+kx= 0

1.#.# usar los valores ya establecidos para m y " y calcular el coe ciente deamortiguamiento critico cc veri car consistencia de unidades.

1.#.% asumir los valores arbitrarios para el coe ciente de amortiguamiento delsistema, c considerar tres casos:

a ¿c >c c , ε >1

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b ¿c= cc , ε= 1

c ¿c


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7 m 8 7 s.• 9denti car los valores obtenidos en las grá cas amplitud vs frecuencia

y fase vs frecuencia, para al menos dos valores del coe ciente deamortiguamiento.

4álculos previos:

#.1.1 Asumir un sistema masa5 resorte5 amortiguador, una e citaciónarmónica:

; m sen < t

#.1.# =sar los valores ya establecidos para m , K y c > < cc?. 4alcular la

de6e ión estática x

s ; m 8k

.

#.1.% Asumir los valores arbitrarios para la frecuencia de e citación delsistema,


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Cn los blo(ues correspondientes a integración, dar los valoresiníciales

x

t x 0 , x

t . @ugerencia: Cn este caso usar x x

%8#.

#.1.+ Cn el blo(ue correspondiente a la e citación de nir ; m y < >trescasos?.

#.1. Obtener resultados num-ricos y grá cos para cada uno de los incisosde #.1.%.

4ontrastar con soluciones analíticas y veri car puntos del ob/etivoespecí co. Aclarar especialmente diferencias entre vibración transitoriay estable.

#.1.0 Cscribir reporte resaltando lo anterior y aciendo comentario críticosobre coincidencias y diferencias entre resultados analíticos ynum-ricos.

@e agrego un cuarto caso e tra de análisis de vibraciones de un sistema masaD resorte sin amortiguamiento, con una fuer2a de e citación periódica,despu-s del sistema amortiguado.

Ccuaciones por caso

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1.1 Vibración librem ́x(t )+kx(t )= 0

x= xSen(ωnt +∅)

x= 1 Senωnt + 2cos ωnt

Caso a)

xt = 0 ; x 0= 0 ; ´ xt = 0

´ xt = c 1 ωn osωnt − 2 ωnSenωnt

x (0 )= 1 Sen 0 + 2cos 0

x0 = 2

´ x(0 )=( 0 )= c 1 ωn os 0 − 2 ωnSen 0

0 = 1 ωn; 1 = 0

x(t )= x0 osωnt Posición

́x(t )=− x0 ωnSenωnt Velocidad

´ x(t )=− x0 (ωn2 ) osωnt Aceleración

Caso b)

xt = 0 ; ´ xt = 0 = vo= ́x

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x0 = 0 = 1 Sen (0 )+ 2 cos (0 )

0 = 2

́x(0 )= v0= ´ x= 1 ωn os 0− 2 ωnSen (0 )

´ x0 = 1 ωn

1= ´ xωn

x (t )= ´ xωn

Senωnt Posición

´ x (t )= ́x osωnt Velocidad

´ x (t )=− ́xωnSenωnt Aceleración

Caso c)

xt = 0 = x0 ; ´ xt = v o= ́x

x(0 )= x0 = 1 Sen (0 )+ 2 cos (0 )

x0 = 2

́x(0 )= v0= ́ x= 1 ωn os (0 )− 2 ωnSen (0 )

́x= 1 ωn

1= ´ xωn

x(t )= ´ xωn

Senωnt + x0 osωnt Posición

́x(t )= ́x osωnt − x0 ωnSenωnt Velocidad

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´ x (t )=− ´ xωnSenωnt − x0 ωn 2 osωnt Aceleración

1.# @istema Amortiguadom ´ x (t )+ ´ x (t )+kx(t )= 0

x= ! e " t ; ́x= ! " e " t ; ́x= ! " 2 e "t

m " 2+c " +k = 0

"2 + cm

"+k = 0

"=

− cm

+¿−√ c 2m2 − 4 k m2

" = − c2 m

#√ c2

22m

2 − k m

"1=− c2 m

+√ c24 m2 − k m " 2 = − c2 m −√ c

2

4 m2 −

k m

ε= cc c

ε= c2 mωn

c= ε 2 mωn

"= − 2 m ω n $2 m

+√(2 m ω n $ )24 m2 − mω n 2m " =− ωn$# √ ωn 2 $ 2 − ωn 2

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"=− ωn$#ωn √ $ 2 − 1

Caso a)

c >c c , $ >1 por lo tantohay solucionesreales y diferentes

x(t )= %1 e(− $ +√ $2− 1)ωnt + %2 e(− $ − √ $

2− 1)ωnt

Proponiendo xt = 0= x0, ´ xt = 0= 0

x(0 )= x0= %1+ %2

´ & (0 )= 0 = % 1 (− $ +√ $2

− 1 )ωne(− $ +√ $ 2 − 1 )ωnt

+ % 2 (− $ − √ $2

− 1 )ωn e(− $ − √ $ 2 − 1 )ωnt

0 = %1 (− $ +√ $ 2 − 1 )ωn + % 2 (− $ − √ $ 2 − 1 )ωn

0 =− % 1 $ + %1 √ $ 2 − 1 − %2 $ − %2 √ $ 2 − 1

0 =− $ ( % 1 + %2 )+√ $ 2 − 1 ( %1 + % 2 )

0 =− $ % 1 − $ % 2 + %1 √ $ 2 − 1 − %2 √ $ 2 − 1

0 = %1 (√ $ 2 − 1 − $ )− %2 (√ $ 2 − 1 + $ )

%1 = %2 (√ $ 2− 1 + $ )(√ $ 2− 1− $ )

%2= %1 (√ $ 2− 1 − $ )(√ $ 2 − 1+ $ )

& 0 = % 2 (√ $ 2 − 1 + $ )

(√ $ 2 − 1 − $ ) + % 2

& 0 = %2 (√ $ 2− 1 + $ )+ %2 (√ $ 2− 1 + $ )

(√ $ 2− 1 − $ )

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& 0 = %2 √ $ 2 − 1 + %2 $ + % 2 √ $ 2 − 1 − % 2 $

√ $ 2 − 1 − $

x0=2 %2 [√ $ 2− 1− $ ]

2 √ $ 2− 1

%2= & 0 [√ $ 2− 1− $ ]

2 √ $ 2− 1

& 0 = %1 + & 0√ $ 2 − 1 − $

2 √ $ 2 − 1

%1 =2 x0 √ $

2 − 1− x0[√ $ 2− 1− $ ]2 √ $ 2− 1

Ecuación de Posición

x(t )=2 x0 √ $

2− 1− x0 [√ $ 2− 1− $ ]e(− $ +√ $2− 1 )ωnt

2 √ $ 2− 1+

x0 [√ $ 2− 1− $ ]e(− $− √ $2− 1 )ωnt

2 √ $ 2− 1

Ecuación de velocidad

́x(t )={2 x0 √ $ 2 − 1− x0[√ $ 2 − 1− $ ]2 √ $ 2− 1 }[− $ +√ $ 2− 1 ]ωn e (− $ +√ $ 2− 1 )t +{ x0 [√ $2− 1− $ ]

2 √ $ 2− 1 }[− $ − √ $ 2− 1 ]ωn

Ecuación de Aceleración

́x(t )={2 x0 √ $ 2 − 1− x0[√ $ 2 − 1− $ ]2 √ $ 2− 1 }[− $ +√ $ 2− 1 ]2 ωn 2 e (− $ +√ $ 2− 1)t +{ x0[√ $2 − 1− $ ]

2 √ $ 2− 1 }[− $ − √ $ 2− 1]2

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Caso b)c= cc , $ = 1

" 1 =− ωn," 2 =− ωn

Proponiendo

x (0 )= x0 , ´ x (0 )= 0

x (t )= % 1 e−ωnt + % 2 t e− ωnt

x(0 )= x0= %1 e(0 )+ %2 (0 )e (0 )= %1

x0= %1

´ x (t )= % 1 (− ωn )e−ωnt + % 2 t (−ωn )e−ωnt + % 2 e−ωnt

́x(t )=− %1 ωn e −ωnt − %2 e− ωnt − ωnt% 2 e−ωnt

́x(0 )= 0 =− %1 ωn − %2, %1= − %2ωn


x(t )= x0 e−ωnt − %2ωn

t e−ωnt

́x(t )=− ωn x 0 e−ωnt ∓ [ − %2ωn t (− ωn )e−ωnt +e− ωnt (− %2ωn )]

Ecuación de velocidad

́x(t )=− ωn x 0 e−ωnt ∓ %2 t e−ωnt − %2ωn

e− ωnt

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́x(t )=− ωn 2 x0 e−ωnt ∓ %2 t (− ωn )e− ωnt +e− ωnt %2− %2ωn

(− ωn )e− ωnt

́x(t )=− ωn 2 x0 e−ωnt − %2 tωne −ωnt + %2 e−ωnt + %2 e−ωnt


́x(t )=− ωn 2 x0 e−ωnt − %2 tωne −ωnt +2 %2 e− ωnt

Caso c)c < c ε


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%1 ε= %2 √ ε 2− 1

%2= %1 ε√ ε2− 1

%2= x0 ε√ ε2− 1

Ecuación de Posición

x0 cos (ωn √ ε2− 1 t )+ ε x0√ ε2− 1

sen (ωn √ ε2− 1 t ] x (t )= e−ωnεt ¿

x0 ¿ ́x(t )= e− ωnεt ¿

+e− ωnεt (− ωnε ) Ecuacion de velocidad

La ecuación de aceleración queda:

− x0 cos (ωn √ ε2 − 1 t ) (ωn √ ε2 − 1 )2

− ε x 0√ ε2 − 1

sen (ωn √ ε2 − 1 ) (ωn √ ε2 − 1 )2 +[− x0 sen (ωn √ ε2 − 1 t ) (ωn √ ε´ x (t )= e− ωnεt ¿

4aso e tra: Vibración for2adam ́x(t )+ x(t )= pm senω f t

x part = xm senω f t

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− mωf 2 xm senωft +k xm senωft − pm senωft

xm= pm

k − mωf 2 xm=

pmk

1−( ωf ωn

)2

xm= ( m

1−( ωf ωn

)2

xcomp= c 1 senωnt +c 2 cosωnt

x= c 1 senωnt +c 2cos ωnt + xm senωft

Factor de amplificación:

xm pmk

= xm( m

= 1

1 −( ωf ωn

)2

́x(t )= c 1 ωncosωnt − c 2 ωnsenωnt + xm ωfcosωft

́x(t )=− c 1 ωn 2 senωnt − c 2 ωn 2 cosωnt − xm ωf 2 senωft

Proponiendo:

x(0 )= x0 ; ́x(0 )= ´ x0

x(0 )= x0= c 2

́x(0 )= ´ x0= c 1 ωn + xm ωf ∴ c 1= ´ x0− xm ωf

ωn

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La ecuación de posición es:

x(t )= ´ x0− xm ωf

ωn senωnt + x0 cosωnt + xm senωft

́x(t )={( ´ x0− xm ωf ωn )ωncosωnt }− x0 ωnsenωnt + xm ωfcosωft

La ecuación de velocidad queda así:

´ x (t )= { ( ´ x0 − xm ωf )cosωnt }− x0 ωnsenωnt + xmωfcosωft

́x(t )=−{( ´ x0− xm ωf ωn )ωn 2 senωnt − x0 ωn 2 cosωnt − xm ωf 2 senωft

La ecuación de aceleración es:

´ x (t )=− ( ´ x0 − xm ωf )ωnsenωnt − x0 ωn 2 cosωnt − xm ωf 2 senωft

Si ωn = ωf


x(t )=( ´ x

0− x

mωn

ωn )senωnt − x0 cosωnt + xm senωnt

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xm=

pmk

1− 1 2 = )

se dice*ue la fuer+a aplicada p m estaenresonancia conel sistema

́x(t )= { ( ´ x0− xm ωn )cosωnt }− x0 ωnsenωnt + xm ωncosωnt

La ecuación de velocidad es:

́x(t )= ´ x0 cos ωnt − xo ωnsenωnt

´ x (t )=− ( ´ x0 − xm ωn )ωnsenωnt − x 0 ωn 2 cosωnt − xm ωn 2 senωnt

´ x(t )= ´ x0 ωnsenωnt − x0 ωncosωnt aceleracion

xm=

pmk

1−( ωf ωn

)

xm sera positiva ,lo *uedetermina *uela fuer+a p m estaen fase conla vibra

Y la ecuación de posición es:

x(t )= ´ x0− xm ωf ωn senωnt + x0 cosωnt + xm senωft


´ x (t )= { ( ´ x0 − xm ωf )cosωnt }− x0 ωnsenωnt + xmωfcosωft

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La ecuación de aceleración es:

´ x (t )=−{ ( ´ x 0 − xm ωf )ωnsenωnt − x0 ωn 2 cosωnt − xm ωf 2 senωnt

ωf >ωn

xm=

pmk

1−( ωf ωn

)

xm seranegativa , lo*uedetermina *ue la fuer+a p m esta fuerade fase


x(t )= ´ x0+ xm ωf

ωn senωnt + x0 cosωnt − xm senωft


́x(t )= { ( ´ x0+ xm ωf )cosωnt }− x0 ωnsenωnt − xmωfcosωft

Y la ecuación de aceleración es:

´ x (t )=−{ ( ´ x 0 + xm ωf )ωnsenωnt − x 0 ωn 2 cosωnt + xmωf 2 senωnt

#.1 ;uer2a armónica:Fuerza directamente aplicada sobre el momento inercial!"t)#

@istema masa resorte amortiguador, con e citación armónica

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m ́x+c ´ x+fmsen -t

; m '"g " E8m y c F c c c 1# ; m 1 E

7 s f m 8" 1 8' # m

a? $F$n $ $n8' #.'#

-dt f 1 sen-dt +f 2cos ¿

xc= e− ε-nt ¿

xc= xm e−ε-nt sen (-dt − . )

x p= xf sen (-t − . )

´ x p= xf -fcos (-ft − . )

´ x p=− xf - f 2sen (-ft − . )

$rimera condici%n&

-ft − . = 0 ∴ -ft = 0

'e(unda condici%n&

-ft − . = π 2∴ -ft = . + π

2

sen -ft = sen(. + π 2 )= cos.@ustituyendo

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m{− xf - f 2 sen (- f t − . ) }+c { xf - f cos (- f t − . )}+k {fsen (sen- f t − . )}= pf sen.

1 ¿ c x f - f = pf sen.

2 ¿− m xf - f 2 +k xf − pf cos.

tan. = c - f /k − m- f 2

xf = pf /√ (c - f )2−( k − m- f

2 )2

!ividiendo entre "

xf = pf k

/√ (c - f /k )2 −(( k − m- f

2 )/k )2

xf = pf k

/1−( - f 2 / - n)

2 +(2 ε - f - n

)2

/ 0 ! 0x f / pf

k = 1

√1 −( - f 2 / - n)2 +(2 ε - f - n )2

@olución general xg= xc + x p

√[1−( -f -n )]2+¿(2 ε -f -n )2

x= e− ε-nt

{f 1 sen-d +f 2 cos-dt }+ pf /k ∗(sen-ft − . )

¿

!eriva y obtener la velocidad volver a derivar y obtener laaceleración y aplicar las condiciones iníciales para

)age 19 of 91


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xt = 0 usar x 0= xs2

x0= e− ε-nt {f 1 sen-dt +f 2 cos-dt }+

( p f k )(sen (-ft − . ))√[1− -f -n 2]+(2 ε -f -n )2

x0= f 2 −

( pf k

).

√[1− -f -n2

]2

+(2 ε -f -n

)2

f 2 = x0 +( pf

k ).

√[1 − -f -n 2 ]2 +(2 ε -f -n )2

x= e− ε-nt [(f 1 -dcos-dt − f 2 -dsen-dt )+ pf k (-fcos-ft )/√(1 −( -f -n )2)2+( -f -n )2]G

Hf1sen$dt Gf#cos$dtI G( pf k )(sen -ft − . )

√[1 − -f -n 2]2 +(2 ε -f -n )2e−ε-nt (− ε-n )

* +CC,-. * F-/ + ' *.*/ *'& , / C, .F-/ -/ , +

)age 20 of 91


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$osici%n&

/ 1= ε ωn x0

ω d

2 εω f

ω n¿

[1 −( ω f ωn )2

]2

+¿

√ ¿

/ 2 = x0 +( 1 f k ).¿

ωω

(¿¿d t )(¿¿d t )+ / 2 cos ¿

2 εω f ωn

¿

[1 −( ω f ω n )2

]2

+¿

√ ¿

/ 1 sen ¿+( 1 f k )sen (ω f t − . )

¿¿

x= e− εω n t ¿

elocidad&

)age 21 of 91


22/91

ωω

(¿¿d t )(¿¿d t )− / 2 ω d sen ¿

2 εω f

ω n¿ωω

(¿¿d t )(¿¿d t )+ / 2 cos ¿

2 εω f ω n

¿

[1−(

ω f

ωn)

2

]2

+¿

√ ¿

/ 1 sen ¿+( 1 f k

)sen (ω f t − . )¿

¿

[1−( ω f ωn )2]

2

+¿− ε ω n e− ε ω n t ¿

√ ¿

/ 1 ω d cos ¿+

( 1 f k

)ω f cos (ω f t )

¿¿ ́x= e−ε ω n t ¿

celeraci%n&

)age 22 of 91


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ωω

2 εω f ω n

¿[1 −( ω f ω n )2]

2

+¿

√ ¿ωω

(¿¿d t )(¿¿d t )− / 2 ω d sen ¿

2 εω f ω n

¿

[1 −( ω f ω n )2

]2

+¿

√ ¿

/ 1 ωd cos ¿+( 1 f k

)ω f cos (ω f t )¿

¿

(¿¿d t )−( 1 f

k )ω f

2sen (ω f t )

¿ − ε ω n e− εω n t ¿

(¿¿d t )− / 2 ω d2

cos ¿− / 1 ω d2

sen ¿¿

x= ¿e− εω n t ¿¿́

5

ωω

(¿¿d t )(¿¿d t )− / 2 ω d sen ¿

2 εω f

ω n¿

ε ωn¿¿ωω

(¿¿d t )(¿¿d t )+ / 2 cos ¿

2 ε ω f ω n

¿

[1−( ω f ωn )2]

2

+¿

√ ¿

/ 1 sen ¿+( 1 f k

)sen (ω f t − . )¿

¿

[1−( ω f ωn )2]

2

+¿+¿

√ ¿

/ 1 ω d cos ¿+( 1 f

k )ω f cos (ω f t )

¿¿

ε ω n e− ε ω n t ¿

Caso a) $ f F$ n ; $ f $ n8'

Simplificando y sustituyendo valores sugeridos ( $ f $ n8'? en / 1 y / 2 seobtiene,

/ 1 = ε ω n & 0

ω n √ 1 − 2 ε2=

ε & 0√ 1 − 2 ε2

)age 23 of 91


24/91

& s= 1 f k

& 0 = & s

2

& 0 = 1 f 2 k

/ 2 = & 0 +

1 f k

tan −1( 512 ε)

√(1−( ω n

5ω n)

2

)2

+(2 εωn5ωn)

2

/ 2 = 1 f 2 k

+

1 f k

tan −1( 512 ε)

√ 0.9216 +0.16 ε2

Sustituyendo valores sugeridos ( $ f $ n8'? y despejando∅

se obtiene,

tan ∅=2 ε(ω f ω n)1− ω f

2

ω n2

∅= tan − 1( 512 ε)La ecuación de posición es la siguiente:

)age 24 of 91


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& = e− εω n t [{ ε 1 f 2 k √ 1− 2 ε2 sen (ω n √ 1− 2 ε2 t )+( 1 f 2 k + 1 f k tan − 1( 512 ε)√ 0.9216 +0.16 ε 2 )cos (ω n √ 1− 2 ε2 t )}+ 1 f k sen(ω f t −√ 0.9216La ecuación de velocidad es la siguiente :

´ & = e− εω n t [{εω n 1 f 2 k cos (ω n√ 1 − 2 ε 2 t )−( 1 f 2 k + 1 f k tan − 1( 512 ε)√ 0.9216 +0.16 ε2 )(ω n√ 1 − 2 ε2 )sen (ωn √ 1 − 2 ε2 t )}+ 1 f k √ 0.92

La ecuación de aceleración es la siguiente:

´ & = e− ε ω n t

[{− ε ω n

2 1 f √ 1 − 2 ε

2

2 k sen (ωn √ 1 − 2 ε2

t )−( 1 f 2 k +

1 f k

tan −1( 512 ε)

√ 0.9216 +0.16 ε2 )ω n

2

(1 − 2 ε2

)cos (ω n √ 1 − 2 ε

)age 25 of 91


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Caso b) ω f = ω nωω

(¿¿d t )

(¿¿d t )+ / 2 cos ¿2 ε

ω f ωn

¿

[1 −( ω f ω n )2

]2

+¿

√ ¿

/ 1 sen ¿+( 1 f k

)sen (ω f t − . )¿

¿ x= e− εω n t ¿

$osici%n&

ωω

(¿¿d t )+( 1 f k

)sen (ω f t − . )

2 ε

(¿¿d t )+[ x0 +( 1 f k ).2 ε ]cos ¿[ ε x 0√ 1 − 2 ε2 − ( 1 f k )ω f 2 ε ]sen ¿

x= e−ε ω nt ¿

elocidad&

)age 26 of 91


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ωω

(¿¿d t )+( 1 f k

)ω f cos (ω f t )

2 ε

(¿¿d t )−[ x0 +( 1 f k

).

2 ε ]ω d sen ¿ωω

(¿¿d t )+( 1 f

k )sen (ω f t − . )

2 ε

(¿¿ d t )+[ x0 +

( 1 f k

).

2 ε

]cos ¿

[ ε x0√ 1− 2 ε 2 − ( 1 f k )ω f 2 ε ]sen ¿e− εω n t [ ε x0√ 1− 2 ε2 − ( 1 f k )ω f 2 ε ]ω d cos ¿− ε ωn ¿

´ x= e− εω n t ¿

)age 27 of 91


28/91

ωωωω

( 1 f

k )ω f ω d cos

(¿¿d t )

2 ε

(¿¿d t )−( 1 f k

). ω d sen (ω d t )

2 ε +¿

ωωω

(¿¿d t )+( 1 f k

).cos (ω d t )

2 ε +

( 1 f k

)sen (ω f t − . )

2 ε

( 1 f k )ω f sen

(¿¿d t )2 ε + x0 c os ¿

ε x0 sen (¿¿d t )√ 1− 2 ε 2

− ¿

¿( 1 f k

)ω f ωd cos (¿¿d t )

2 ε − x0 ω d sen ¿− e

− εω n t ε ω n ¿

ε x0 ω d cos (¿¿ d t )√ 1− 2 ε2

− ¿

¿´ x= e−ε ω n t ¿

)age 28 of 91


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ωω

(¿¿d t )−( 1 f k

). ω n √ 1 − 2 ε2 sen (ωd t )

2 ε

(¿¿d t )− x0 ω n√ 1− 2 ε2 sen ¿ε x0 ω n cos ¿´ x= e− ε ω n t ¿

5

ω

ε2 x0 ω n sen (¿¿d t )√ 1− 2 ε 2

−( 1 f

k )ωn ω f sen(ωd t )

2¿¿ω

(¿¿d t )+( 1 f

k )ω n .cos (ω d t )

2 +

( 1 f k )ωn sen (ω f t − . )

2

e− ε ω n t ¿

ωωω

ω

(¿¿d t )−( 1 f k

)e−ε ω nt ω n .cos (ωd t )

2−

e− ε ω n t ( 1 f k

)ωn sen (ω f t − . )

2

ε2 x0 ω n sen (¿¿d t )√ 1 − 2 ε2

+( 1 f k )ωn ω f sen (ωd t )

2 − e−ε ω n t ε x0 ω n cos ¿

(¿¿d t )− e− ε ω n t ( 1 f

k ). ω n √ 1− 2 ε

2 sen (ω d t )

2 ε − e− ε ω n t ¿

(¿¿ d t )− e− ε ω n t x0 ω n√ 1− 2 ε 2 sen ¿ ́x= e− ε ω n t ε x0 ω n cos ¿

)age 29 of 91


30/91

ωω

ε2 x0 ω n sen (¿¿d t )√ 1 − 2 ε2

+( 1 f k )ωn ω f sen (ω d t )

2−

( 1 f k

)ω n .cos (ω d t )

2−( 1 f k )ω n sen (ω f t − . )

2

(¿¿d t )−( 1 f k ). ω n √ 1 − 2 ε2 sen (ω d t )

2 ε − ¿

− x0 ωn √ 1 − 2 ε2 sen ¿

́x= e−ε ω nt ¿

celeraci%n&

ω

ω

ε2 x0 ω n ωd sen (¿¿d t )√ 1− 2 ε 2

+( 1 f k )ω n ω f ω d cos (ωd t )

2+

( 1 f k

)ω n ω d .sen (ωd t )

2−

( 1 f k

)ωn ω f .cos (ω f t )

2

(¿¿d t )−( 1 f k

). ω n ω d √ 1 − 2 ε2 cos (ω d t )2 ε

−¿

− x0 ωd ω n √ 1− 2 ε2cos ¿

́x= e−ε ω nt ¿

ωω

ε2 x0 ω n sen (¿¿d t )√ 1 − 2 ε2

+( 1 f k

)ωn ω f sen (ω d t )

2−

( 1 f k )ωn .cos (ωd t )

2−

( 1 f k

)ωn sen (ω f t − . )

2

(¿¿d t )−( 1 f k

). ω n √ 1 − 2 ε2 sen (ωd t )

2 ε −¿

− x0 ω f √ 1− 2 ε2 sen ¿

́x=− ε ω n e−ε ω n t

¿

)age 30 of 91


31/91

Caso c)& ωf >ωn

C lculos pre:ios

xo= 1f 2 k

ωd = ωn √ 1− 2 ε2

ϕ= 2 εωfωn

(ωn )2

− (ωf )2

ϕ=2 ε (10 ωn )ωn(ωn )2 − (ωn )2

ϕ=− 2.22 ε

f 1= εωnxo

ωn √ 1− 2 ε 2 = ε1f

2 k √ 1 − 2 ε2

f 2= 1f 2 k

+

1f k

(−2.22 ε)

√[(1− 10 ωnωn )2]2+(2 ε 10 ωnωn )2

f 2 = 1f 2 k

+

1f

k (−2.22 ε)

√ 9801 +(2 ε 10 )2= f 2 = 1f

2 k −

1f

k (2.22 ε)

√ 9801 +400 ε2

$osici%n

)age 31 of 91


32/91

& = e− εωnt [{ ε1f 2 k √ 1− 2 ε2 sen (ωn √ 1 − 2 ε2 t )+( 1f 2 k − 1f k (2.22 ε)√ 9801 +400 ε2)cos (ωn √ 1− 2 ε 2 t )}+ 1f k Sen (10 ωn√ 9801 +40elocidad

´ & = e− εωnt [{εωn1f 2 k cos (ωn √ 1 − 2 ε2 t )−( 1f 2 k − 1f k (2.22 ε)√ 9801 +400 ε2 )(ωn √ 1 − 2 ε2 )Sen(ωn √ 1 − 2 ε2 t )}+ 1f k 10√celeraci%n&

´ & = e− εωnt [{− ε (ωn )2 √ 1− 2 ε 2 1f 2 k Sen(ωn √ 1− 2 ε2 t )−( 1f 2 k − 1f k (2.22 ε )√ 9801 +400 ε2 )(ωn )2 (1 − 2 ε2 )cos (ωn √ 1−

Primera parte: Graficas de los Sistemas IdealesSISTEMA SIN AMORTIGUAMIENTO

a) Xt=0==X0 , Xt=0==0

)age 32 of 91


33/91

Se vericará l a rel ación e ntre l a a mplitud d e la vibración y los va lores d e las co ndiciones i níciales a tr avés de grácos

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 1. Esta gráca represen ta la forma de onda de la posición del sistema masa-resorte sin amortiguamiento y si n excitación, sepuede a preciar que el movimiento es a rmónico y no pierde a mplitud debido a l a f alta d el amortiguamiento.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 2. En e sta g ráca se repr esenta a hora l a forma d e o nda d e l a ve locidad d el sistema si n a mortiguamiento, se p uede apreciaral igual que l a g ráca anterior, que e l movimiento e s a rmónico y n o p ierde amplitud debido a l a f alta d e a mortiguamiento.

)age 33 of 91


34/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 3. Esta gráca represen ta la forma de onda de la aceleración de igual forma maniesta las mismas características de lasgrácas anteriores debido a la ausencia del amortiguamiento.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 4 . Grácas un icadas d el sistema si n a mortiguamiento a nterior con s us resp ectivos d atos d e va lores i níciales, para o bservaruna relativa entre ellas.

b) Xt=0==0 , Xt=0==V0

)age 34 of 91


35/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 5. Este caso corresponde a d iferentes c ondiciones i níciales, pero s e d estaca que se s iguen los mismos p rocedimientos e

iniciativas y se maniesta la misma fenomenología.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 6 . Gráco d e ve locidad, bajo e stas c ondiciones i níciales la ve locidad se vio incrementada e n co mparativa co n las

condiciones anteriores.

)age 35 of 91


36/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-10

-5

0

5

10

ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 7. Gráco de aceleración, mismo co mportamiento y a l igual la m agnitud de la a celeración incrementó.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-10

-5

0

5

10

TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 8. Conjunción de grácos del caso 2. Se observan las tres f ormas de onda u nicadas.

c) Xt=0==X0 , Xt=0==V0

)age 36 of 91


37/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 9. Nuevamente se cambian las co ndiciones i níciales, pero si gue si endo el mismo si stema m asa-resorte. En e sta g ráca

comenzamos nuevam ente con l a forma de onda de la velocidad.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-1

-0.5

0

0.5

1

VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 1 0. Gráco d e ve locidad p ara el caso t res. La velocidad e s la m ayor de los t res d iferentes c asos.

)age 37 of 91


38/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-15

-10

-5

0

5

10

15

TIEMPO

A M P L I T U D

ACELERACION

Grá

ca 1 1. Gráco de aceleración. De i gual manera e n e ste ca so l as t res m agnitudes so n las m ayores d e l os t res c asos con diferentes

condiciones iníciales .

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-15

-10

-5

0

5

10

15TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 12.conjunción de las t res magnitudes, para poder observar su forma de onda simultáneamente.

Con amorti(uamiento

Cn este caso el sistema será masa5resorte5amortiguador, sin e citación. @erántres casos, variando los valores de relación entre C y Cc.

a) C>Cc , la razón am ort >1

)age 38 of 91


39/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 13. Los r esultados de esta gráca arrojan que existe amortiguamiento considerable, t anto así com o para no permitir queexistieran o scilaciones d e l a m asa, como se observa; la cu rva e s es tabiliza d e m anera r ápida.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 14. Zoom del gráco 13.

)age 39 of 91


40/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 15. En e ste ca so e xiste ve locidad q ue de la m isma m anera s e e stabiliza h acia c ero, por que e l amortiguamiento a bsorbió lavelocidad d e l a m asa.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D


)age 40 of 91


41/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 17. Lo m ismo o curre con la a celeración de la m asa, el amortiguamiento desacelera a l a m asa.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 18. Zoom de la gráca 17

)age 41 of 91


42/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 19. Conjunción de las t res m agnitudes d el mismo ca so.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 20. Zoom del gráco 19

c) C


43/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 21. En este n uevo caso se p uede observar que la forma d e o nda del desplazamiento t iende a t ener considerablesoscilaciones, debido a q ue el amortiguamiento e s m enor, el amortiguamiento t arda m ás e n d etener el movimiento.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

)age 43 of 91


44/91


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4VELOCIDAD

TIEMPO

Gráca 23. Así como la p osición, la velocidad de pierde gradualmente. Disminuye la velocidad poco a poco hasta el estado estático.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 24. la m asa desacelera con forme e l amortiguador act úa, la d esaceleración es l enta p orque en este ca so e l amortiguamientoes l igero.

)age 44 of 91


45/91

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-8

-6

-4

-2

0

2

4

6ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 25. Zoom gráco 24.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 26. Conjunción de las tres magnitudes, posición, velocidad y a celeración

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-8

-6

-4

-2

0

2

4

6TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

)age 45 of 91


46/91

Gráca 27. Zoom gura 26.

b) C=Cc , la razón am ort =1

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 28. Est e es e l caso en el que e l amortiguamiento es m ayor de l os t res ca sos. Como se observa e l amortiguamiento e sgrande y l leva al paro rápidamente a la m asa.

)age 46 of 91


47/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 29. Zoom de la gráca 28.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 30. La velocidad también disminuye d rásticamente.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0VELOCIDAD

TIEMPO

A

M P L I T U D


)age 47 of 91


48/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

TIEMPO

A M P L I T U D

ACELERACION

Gráca 32. De i gual forma l a a celeración es rápi damente d isminuida por el gran a mortiguamiento.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

TIEMPO

A M P L I T U D

ACELERACION


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

TIEMPO

A M

P L I T U D

TOTAL

Gráca 34. Conjunción de las formas de onda de las t res magnitudes físicas.

)age 48 of 91


49/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

TIEMPO

A M P L I T U D

TOTAL

Gráca 3 5. Zoom de la g raca 3 4 pa ra ap reciar más cl aramente las m agnitudes.

F+*/ / -.,C

@e asumirá el sistema masa5resorte5amortiguador, pero a ora con e citaciónarmónica. @e observara el comportamiento del sistema, en amplitud y fase, enfrecuencia inferior a resonancia.

a) W


50/91


51/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 38. L a a celeración sólo a l inicio t iene u na ligera d iferencia e n u n p ico, pero ya las s iguientes se comportan de manera

periódica debido a la fuerza de excitación.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 39. Conjunción de m agnitudes p ara est e ca so, estas m agnitudes si empre est án e n desfase entre las t res.

B) W=Wn

)age 51 of 91


52/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 40. En esta p arte, se o bserva qu e l a forma d e onda t iene cambios m uy p equeños y amplitud reducida, pero e s pe riódica y

mantiene las características de l sistema e xcitado a rmónicamente.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5

0

5

10

TIEMPO

A M P L I T U D

VELOCIDAD

Gráca 41. La velocidad d e e ste ca so e s m uy si milar a l a d e ca sos a nteriores se m antiene e n a mplitudes ce rcanas a 1. Y la forma d e

onda sigue si endo periódica d ebido a la exc itación armónica.

)age 52 of 91


53/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

TIEMPO

A M P L I T U D

ACELERACION

Gráca 42. La velocidad de es te ca so e s todavía m ayor a la d e ca sos a nteriores e sta se m antiene e n a mplitudes ce rcanas a 1 0 la

aceleración resulta ser m uy brusca. La f orma de onda sigue siendo periódica debido a la excitación armónica.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

TIEMPO

A M P L I T U D

ACELERACION

Gráca 43. Cambio e n la e scala e n cu anto a mplitud de la g ráca 42.

)age 53 of 91


54/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-250

-200

-150

-100

-50

0

50TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 4 4. Conjunción de las t res m agnitudes p ara est a ca so.

c) W>Wn (126.5>12.65)

l

l

l

l

l

)age 54 of 91


55/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 45. C uando se d an las co ndiciones d e e ste ca so se d ispara la frecuencia d el sistema, como s pu ede ob servar la frecuencia

de respuesta d el sistema e s grand ísima y l a a mplitud del sistema se redujo

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 4 6. En e ste zo om de l a g ráca 4 5, se o bserva que en realidad esta forma d e o nda no tiene un a forma con cisa y m antiene

deferencias e n su s on dulaciones, por lo q ue bajo e stas c ondiciones d e ca so l a f recuencia p rovoca d icha p erturbación al sistema.

)age 55 of 91


56/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 47. Ocurre q ue la ve locidad también se ve disminuida en amplitud, pero la f recuencia t ambién es d emasiado g rande. Es

necesario u n ca mbio e n e scala p ara vi sualizar m ejor l a forma d e o nda.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 48. Bajo es te ca mbio e n e scala se p uede apreciar mejor la forma d e on da, debido a que e n la g raca 47 la frecuencia e s

alta. La forma d e o nda d enota rui do por lo q ue en este ca so l a ve locidad también se v e a fectada p or l as c ondiciones i níciales

propuestas.

)age 56 of 91


57/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-100

0

100

200

300

400

500ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 49. Con las conclusiones anteriores se podría inferir que l a a celeración también esta p erturbada bajo e stas condiciones, elsiguiente g ráco mostrará l a forma d e o nda m ás cl ara.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-100

0

100

200

300

400

500ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 50. La aceleración también no está del todo bien denida bajo las condiciones iníciales de este caso. Se observa u n ruido ensu forma de onda, debido al tipo de frecuencias.

)age 57 of 91


58/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-100

0

100

200

300

400

500

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 51. Conjunción de las tres diferentes magnitudes.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-100

0

100

200

300

400

500

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 52. Zoom de l a gráca 5 1 a diferente frecuencia, p ara una m ejor apreciación de las t res m agnitudes en su forma de onda.

)age 58 of 91


59/91

Segunda parte: Graficas Basada en los CálculosSISTEMA SIN AMORTIGUAMIENTO

a) Xt=0==X0 , Xt=0==0

a) Xt=0==X0 , Xt=0==0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

,

POCISION

Gráca 1. La gráca resulta exacta a l del modelo ideal y se mantienen las mismas características de onda y se denota la falta deamortiguamiento

)age 59 of 91


60/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

TIEMPO

A M P L I T U D

VELOCIDAD

Gráca 2. R esultando con los mismos valores y características al del caso ideal, también la aceleración muestra los mismosparámetros q ue en el caso ideal.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

TIEMPO

A M P L I T U D

ACELERACION

Gráca 3. La graca de aceleración también mantiene l os m ismos resultados e n este caso.

)age 60 of 91


61/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 4.Se co ncluye que e n e ste c aso las si mulaciones d el caso calculado y el caso ideal resultaron se r las mismas.

b) Xt=0==0 , Xt=0==V0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 5. El resultado e s el esperado, de m odo qu e e ste g ráco de posición cumple co n lo est ablecido en e l modo ideal

)age 61 of 91


62/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 6. La velocidad también denoto u na onda armónica n o a fectada p or amortiguamiento, y su r esultado e s eq uivalente a l caso

ideal

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-10

-5

0

5

10

TIEMPO

A M P L I T U D

ACELERACION

Gráca 7 . Muestra resu ltados e quivalentes, el gráco de aceleración.

)age 62 of 91


63/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-10

-5

0

5

10

TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 8 . Se co ncluye con los resu ltados o btenidos ba jo e ste ca so co n su s respectivas co ndiciones i níciales, son los e sperado s

bajos los d el caso ideal. Existió e l mismo co mportamiento co n las m ismas m agnitudes.

c) Xt=0==X0 , Xt=0==V0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 9. En e stas nuevas condiciones los resultados s iguen siendo los precisos y tienen las mismas reacciones.

)age 63 of 91


64/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-1

-0.5

0

0.5

1

VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 10. La velocidad n o e s l a e xcepción, se siguen manteniendo los resultados ideales.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-15

-10

-5

0

5

10

15

ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 11.La aceleración de igual forma se mantiene b ajo los m ismos r esultados y co mportamientos q ue en el caso ideal.

)age 64 of 91


65/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-15

-10

-5

0

5

10

15

TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 1 2. Se co ncluye que e n los t res c asos f ue fácil resolver l a p roblemática d e las e cuaciones y l as s imulaciones e n los c asos

ideales co mo e n los q ue se t uvo que m antener un cá lculo, y los resul tados o btenidos eran l os e sperados.

Con amorti(uamiento

a) C>Cc , la razón am ort >1

SISTEMA AMORTIGUADO

a) C>Cc , la razon am ort >1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

I

I

)age 65 of 91


66/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 13. Ahora los resultados en el sistema masa-resorte-amortiguador se analizarán. Se puede percibir que efectivamente laforma d e o nda tiende a estabilizarse i nmediatamente d ebido a l a presencia de un riguroso amortiguamiento y que e s e l resultado e scomplaciente e n su equivalente i deal.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 14 . Zoom del gráco 1 3.C

)age 66 of 91


67/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 15. Esta e s l a g ura de la g ráca de velocidad y en comparativa co n su equivalente i deal es p rácticamente l a m isma.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0 VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D


)age 67 of 91


68/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 17. Esta e s l a gura d e l a gráca de aceleración y en comparativa co n s u e quivalente i deal es p rácticamente l a m isma, soloun detalle d e o scilaciones compuestas a ntes de alcanzar l a e stabilidad.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 18. Zoom de la g ráca 15, para u na mejor apreciación.

)age 68 of 91


69/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 19. Se concluye que en los tres ca sos l as simulaciones g rácas alcanzan u n grado de concordancia muy a ceptable al

observar los dos r esultados totales; tanto este el calculado, com o el del caso ideal y los resultados obtenidos e ran los esperados.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 20 .Zoom 1 d el graco 19 .

)age 69 of 91


70/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 21, Zoom 2 d el gráco 19, para u na mejor apr eciación del detalle.

b) C=Cc , la razón am ort =1b) C=Cc , la razon am ort =1

,

)age 70 of 91


71/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 22. Es o btiene l a respu esta d eseada. En e ste c aso sólo va ria u n l igeramente e l tiempo donde t oco cero l a a mplitud de la

posición de estabi lización. De i gual manera se estabilizo inmediatamente.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION


)age 71 of 91


72/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

TIEMPO

A M P L I T U D

VELOCIDAD

Gráca 2 4. Este m odelo es p rácticamente el mismo qu e en el modelo en el caso i deal al amplitud m áxima es d e ap roximadamente

0.225 e n a mbos ca sos y tarda e l mismo t iempo en llegar a l a e stabilización.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

TIEMPO

A M P L I T U D

VELOCIDAD

Gráca 2 5. En e ste Z oom del gráco 2 4 d e pu ede co mprobar el parecido con m ás de talle.

)age 72 of 91


73/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 26. El modelo d e l a a celeración resulta t ambién ser el mismo.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 27. En est e Zoom del gráco 26

)age 73 of 91


74/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 28. Este e s el gráco conjugado de las f ormas d e o nda de cada magnitud de este ca so, al compararlo co n e l casohomónimo, tenemos q ue sigue siendo p rácticamente las m ismas d eclaraciones.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D


c) C


75/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 30. Las oscilaciones son mucho más d adas, entonces el amortiguamiento e s m enor al de los a nteriores e n e ste m ismo ca so.El modelo ideal y est e m odelo so n m uy pa recidos.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 3 1.la ve locidad d e igual manera t iene u n co mportamiento m uy s imilar al del caso i deal. Las a mplitudes p erece n d escribir lasmismas a mplitudes y f recuencias.

)age 75 of 91


76/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 32. En e l caso de la a celeración se p uede describir lo m ismo. De igual manera es p rácticamente la m isma g ráca a l

coincidente i deal y m aniesta los mismos t iempos y a mplitudes.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-8

-6

-4

-2

0

2

4

6ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 33.Zoom de la g ráca 3 2, para u na mejor apr eciación.

)age 76 of 91


77/91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

TIEMPO

A M P L I T U D

TOTAL

Gráca 34. Unicación de las t res f ormas d e o nda de este ca so. Se co ncluye q ue resulto la m isma g eneración de curvas en ambos

casos, manteniendo la co mparativa si empre co n los ca sos h omónimos i deales.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

TIEMPO

A M P L I T U D

TOTAL

Gráca 3 5. Zoom del graco 3 4, donde se pueden ap reciar las t res f ormas de onda de manera si multánea co n un minuciosoacercamiento.

FUERZA ARMONICA

a) W


78/91

wd

I

II

I

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 36. El comportamiento d e esta g ráca de posición es e l mismo a p artir del tiempo 200, lo c ual la hace c orrecta, aunque alprincipio se prese nte un ligero ruido, se piensa que es debido a ligeras diferenc ias de decimales.

)age 78 of 91


79/91

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 3 7. Zoom del gráco 3 6, para una m ejor contemplación d e su cu rva.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-20

-15

-10

-5

0

5

10VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 38. En los p rimeros m ilisegundos t ambién se com porta d e u na manera a mortiguada con picos d e a mplitud respectivamenteelevados e n comparación con la fuerza de excitación armónica, pero de spués de este primer pl ano se estabiliza la curva.

)age 79 of 91


80/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-20

-15

-10

-5

0

5

10VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 39 . Z oom del gráco de ve locidad.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-200

-150

-100

-50

0

50

100

150ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 40. En los p rimeros m ilisegundos t ambién se com porta d e u na manera a mortiguada con picos d e a mplitud respectivamenteelevados, desp ués toma su característica armónica.

)age 80 of 91


81/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-200

-150

-100

-50

0

50

100

150ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 41. Zoo m de la aceleración en su parte ruidosa.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

TIEMPO

A M P L I T U D

TOTAL

Gráca 42. En e ste c aso b ajo su s r espectivas condiciones iníciales, solo va rio d urante l os primeros m ilisegundos de tiempo de laforma d e o nda pero de spués se establecieron para t omar sus val ores n ormales.

)age 81 of 91


82/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

TIEMPO

A M P L I T U D

TOTAL

Gráca 43. Zoom de la graca 42.

0 10 20 30 40 50 60 70-150

-100

-50

0

50

100

150

TIEMPO

A M P L I T U D

TOTAL

Gráca 44. Nuevo acercamiento d e la g ráca 42, pera u na mejor apreciación del momento ruidoso.

b) W=Wn

)age 82 of 91


83/91

wd

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 45. En e ste c aso la posición si resulta se r muy s imilar, mantiene la m ismas amplitudes y la m isma f recuencia, este c aso muymotivador.

)age 83 of 91


84/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-2

0

2

4

6

8

10VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 47. La cu rva d e velocidad presenta propiamente el mismo comportamiento como la parte ideal, maniesta las mismascaracterísticas, de hecho s on casi exactamente i guales.

)age 84 of 91


85/91


86/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-250

-200

-150

-100

-50

0

50ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 5 0. Zoom del graco d e ace leración 49.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-250

-200

-150

-100

-50

0

50TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-250

-200

-150

-100

-50

0

50TOTAL

TIEMPO

A M P L

I T U D

)age 86 of 91


87/91

Gráca 51. Finalmente se muestran las t res f ormas d e o nda d e m anera co njunta se puede denotar que el comportamiento fuebastante s imilar al del caso homólogo i deal.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-15

-10

-5

0

5

10

15TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 5 2. Zoom de la g ráca a nterior, para p oder l ograr una mejor vi sualización

c) W>Wn

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 53. El comportamiento co mparándolo c on el caso ideal, en este, es d iferente l os p rimeros 10 0 m ilisegundos, después

logrando una si militud muy fuerte d espués de ese tiempo.

)age 87 of 91


88/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

TIEMPO

A M P L I T U D

POCISION

Gráca 5 4. Zoom del gráco d e po sición

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 55. De igual forma t ambién en esta p arte so lo ca mbia los p rimeros 1 00 m ilisegundos, tomando demasiada si militud d espués

de este t iempo, siguiendo las mismas características.

)age 88 of 91


89/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5VELOCIDAD

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 5 6. Aumento en la esca la d el gráco d e vel ocidad 55, para po der apreciar la forma de onda de una manera m ás ad ecuada.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-100

0

100

200

300

400

500ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 57. En e ste ca so l a forma d e o nda d e la a celeración es p rácticamente la m isma. A excepción los p rimeros 1 0 milisegundos

aproximadamente, pro est o e s casi insignicante, porque e l resto d e la o nda e s el mismo e n a mbas grácas.

)age 89 of 91


90/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-100

0

100

200

300

400

500ACELERACION

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 58. Zoom del gráco d e a celeración del gráco 57 para p oder evi tar la so bre-frecuencia q ue presenta e s m odelo y d e e sta

manera a preciar mejor la forma d e o nda.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-100

0

100

200

300

400

500TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 59. Pr ácticamente el resultado de las o ndas ge neradas e s el mismo en esta r epresentación y en su h omónima d e la i deal

solo mostrando unos ligeros detalles de variación que podrían prácticamente despreciarse p or su diminuto cambio. En tonces

concluimos qu e los m odelos de las f orma d e o nda de este caso son l as a decuadas y son correctas

)age 90 of 91


91/91

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-100

0

100

200

300

400

500TOTAL

TIEMPO

A M P L I T U D

Gráca 59. Un cabio en la e scala en la g raca anterior pe rmite librarnos d e la e xcesiva frecuencia y p oder i denticar mejor l as tres

formas de onda del modelo a nterior y di agnosticar l as magnitudes.

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