Trabajo de Postgrado La Delegacion, Sustitucion, Administrativas Entre Otras
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POSTGRADO EN INGENIERÍA COMPUTACIONAL
TRABAJO FIN DE POSTGRADO
RECIPIENTES A PRESIÓN DE COMPOSITE CON
‘LINER’ METÁLICO
JESÚS FRANCO OLIVA
Dirigido por Alfonso Corz Rodríguez
Algeciras, septiembre de 2011
Recipientes a presión de composite con ‘liner’ metálico
Postgrado Ingeniería Computacional. Universidad de Cádiz Página 1
RESUMEN
El primer objetivo de este trabajo es el de realizar el análisis de un cilindro de
material compuesto, sobre el que actúa una presión exterior, obteniéndose una
valoración del incremento de la resistencia a pandeo cuando se utiliza un ‘liner’
metálico. Como extensión de dicho análisis, también se ha evaluado la influencia que el
‘liner’ tiene cuando el cilindro está sometido a una presión interna.
Como segundo objetivo, se han establecido las bases para la realización de análisis
no lineales que permitan simular el comportamiento de los modelos en la fase de pos-
pandeo. Estos conocimientos y destrezas nos permitirán abrir futuras líneas de trabajo,
debido a que dichos análisis no lineales constituyen una herramienta imprescindible
para el estudio de los mecanismos de fallo por pandeo en materiales compuestos.
El estudio del fenómeno de pandeo responde a la demanda que existe en el campo
del diseño de vehículos submarinos, donde la estructura que mejor se adapta a las
exigencias de dichos vehículos es la cilíndrica. La extensión del estudio al caso de
solicitación con presión interior, responde a las exigencias que se presentan en los
depósitos que utilizan algunos submarinos, en los que se almacena hidrógeno como
combustible para su propulsión. Los recipientes de almacenaje han de ser capaces de
soportar altas presiones internas, para almacenar la mayor cantidad posible de
combustible y, al mismo tiempo, han de ser capaces de resistir la presión hidrostática de
inmersión, provocando esta situación la necesidad de evaluar la mejora que aporta el
‘liner’ en ambas situaciones.
Los análisis para la evaluación del aporte del ‘liner’ se realizan mediante el método
de los elementos finitos, consistiendo estos en: análisis estáticos para el caso de presión
interna, y de pandeo lineal para el caso de la presión externa. El análisis de pandeo no
lineal se efectúa sobre el cilindro sin ‘liner’, ya que su objetivo es simplemente el de
dominar la técnica, correspondiéndose con un análisis de elementos finitos estático bajo
la teoría de grandes deformaciones.
Recipientes a presión de composite con ‘liner’ metálico
Postgrado Ingeniería Computacional. Universidad de Cádiz Página 2
TABLA DE CONTENIDO
1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. MATERIAL COMPUESTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Constantes ingenieriles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Criterio de fallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1. Criterio de la máxima tensión . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2. Criterio de la máxima deformación . . . . . . . . . . . 20
2.3.3. Criterio de Tsai-Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.4. Criterio de Tsai-Wu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. MÉTODO ELEMENTOS FINITOS . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Descripción del elemento utilizado . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Análisis lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3. Análisis no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1. Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2. Método del ‘arc-len’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. 4 ENSAYO VIRTUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1. Cilindro de referencia del ensayo . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2. Modelo de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3. Ensayo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1. Valoración del aporte del ‘liner’ para presión externa . . 49
4.3.2. Valoración del aporte del ‘liner’ para presión interna . . 52
4.4. Ensayo no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5. CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS . . . . . . . 57
6. BIBLOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7. PUBLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
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INDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 Submarino Clase S-80 (AIP) . . . . . . . . . . . . . . . 5
Figura 1.2 Detalle 'liner' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 2.1 Rigidez/Peso de distintos materiales. . . . . . . . . . . . 10
Figura 2.2 Distintos tipos de materiales compuestos. . . . . . . . . . 11
Figura 2.3 Proceso de ‘filament-winding’. . . . . . . . . . . . . . . 12
Figura 2.4 Esquema de laminado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Figura 2.5 Esquema de laminado simétrico. . . . . . . . . . . . . . 13
Figura 2.6 Ejemplos de definición de secuencias de apilado. . . . . . 14
Figura 3.1 Geometría y sistema de referencia elemento shell181. . . 24
Figura 3.2 Interpretación resultados en el elemento. . . . . . . . . . 26
Figura 3.3 Distintas curvas carga/deformación. . . . . . . . . . . . 28
Figura 3.4 Zona de pos-pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 3.5 Una iteración algoritmo Newton Raphson . . . . . . . . . 34
Figura 3.6 Evolución algoritmo Newton Raphson . . . . . . . . . . . 35
Figura 3.7 Múltiples pasos de carga en algoritmo Newton Raphson. . 36
Figura 3.8 Puntos límites en pos-pandeo. . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 3.9 Punto donde diverge algoritmo Newton Raphson . . . . . 37
Figura 3.10 Restricción con superficies esféricas . . . . . . . . . . . . 39
Figura 3.11 Restricción con plano normal fijo . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 3.12 Restricción con plano normal actualizado . . . . . . . . . 40
Figura 3.13 Aproximación mediante el arc-len de Forde-Stiemer . . . 41
Figura 3.14 Un paso de carga método de Forde-Stiemer . . . . . . . . 42
Figura 4.1 Esquema recipiente ensayado . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 4.2 Esquema cámara de ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 4.3 Modelo elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Figura 4.4 Esquema del apilado sin 'liner' . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 4.5 Resultados análisis lineal del modelo ensayado . . . . . 49
Figura 4.6 Esquema apilado con 'liner' . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 4.7 Punto de control para análisis no lineal . . . . . . . . . . 54
Figura 4.8 Curvas carga-desplazamiento análisis no lineal . . . . . . 56
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INDICE DE TABLAS
Tabla 2.1 Propiedades de las fibras de Carbono, Vídrio y Kevlar A 20 º . . . . . 15
Tabla 2.2 Propiedades típicas de las resinas de epoxi y poliéster. . . . . . . . . 15
Tabla 2.3 Contenidos volumétricos en función del proceso de fabricación. . . . 18
Tabla 4.1 Propiedades resistentes lámina composite . . . . . . . . . . . . . . 47
Tabla 4.2 Comparación carga crítica ensayo/simulación . . . . . . . . . . . . . 48
Tabla 4.3 Propiedades mecánicas materiales ‘liner’. . . . . . . . . . . . . . . 50
Tabla 4.4 Resultados análisis lineal a presión externa . . . . . . . . . . . . . . 51
Tabla 4.5 Propiedades resistentes lámina composite . . . . . . . . . . . . . . . 52
Tabla 4.6 Resultados análisis lineal a presión interna . . . . . . . . . . . . . . 53
Tabla 4.7 Resultados análisis no lineal para distintos tamaño de defecto . . . . 55
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1 INTRODUCCIÓN
Durante décadas la investigación sobre materiales compuestos ha tenido su
exponente más importante en la ingeniería aeronáutica. Sin embargo, hay otros campos
de suma importancia que también demandan la atención de este tipo de tecnología: es el
caso de los vehículos submarinos (Committee on Future Needs in Deep Submergence,
2004) [12]. La utilización de materiales compuestos en los modernos submarinos,
mejoran aspectos importantes como la resistencia a la corrosión, o la disminución de
masa y por tanto de inercia, permitiendo incrementar sus prestaciones. También, dichos
materiales facilitan la disminución de espesores en el casco, dotando a estos vehículos
de mayor espacio interior para la tripulación y el equipamiento. Para un vehículo
submarino que tiene que operar a cientos de metros de profundidad, el pandeo
provocado por la presión hidrostática condiciona el rendimiento de su estructura y, por
tanto, la profundidad de operación. Siendo la forma estructural cilíndrica, la que mejor
se adapta a las exigencias de estos vehículos. Un estudio de esta problemática puede ser
consultado en (CHO-CHUNG et al. 2002) [7], cuyo objetivo es la optimización del
diseño del casco de presión de submarinos, fabricados mediante paneles sándwich de
material compuesto.
Figura 1.1 - Submarino Clase S-80 (AIP)
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Por otro lado, el actual desarrollo de la tecnología asociada a la utilización del
hidrógeno como vector energético, tropieza con el problema del almacenamiento de
dicho combustible. En cualquiera de las tecnologías empleadas, se está realizando un
gran esfuerzo para conseguir una mayor densidad de almacenamiento, a base de
incrementar la resistencia a presión interna de los recipientes. Podemos encontrar
antecedentes de estudios realizados al respecto en (V. P. McCONNELL, 2002) [22],
donde se hace mención a los avances que han realizando los principales fabricantes de
automóviles, para conseguir mejores sistemas de almacenamiento de hidrógeno. O en el
estudio publicado por (KAWAHARA & McCLESKEY, 1996) [1], en el que se describe
el diseño, fabricación y ensayo de un recipiente del alto rendimiento (COPV), para
almacenamiento de helio como sistema de propulsión en un satélite.
La nueva serie de submarinos, no nucleares, que se están desarrollando
actualmente están dotados de sistemas AIP (Air Independent Propulsión), utilizando
como combustible durante la inmersión, el hidrógeno almacenado en recipientes a
presión. Dichos recipientes pueden estar ubicados fuera del casco de presión del
submarino y, por lo tanto, sometidos a la presión hidrostática correspondiente a la
profundidad donde se esté operando en ese momento (A. PSOMA & G. SATTLER,
2002) [14]. Con lo cual, dichos recipientes han de ser capaces de soportar la presión
interna necesaria para almacenar la mayor cantidad de combustible y, al mismo tiempo,
ser capaces de resistir la presión externa hidrostática a la profundidad de la inmersión.
Cuando un recipiente es sometido a una presión externa, puede llegar a entrar en
un estado de inestabilidad, provocándose el pandeo del mismo. El problema del pandeo
de recipientes de materiales compuestos no ha sido tratado tan ampliamente como el
correspondiente a la presión interna, sin embargo, podemos encontrar antecedentes de
estudios sobre el mismo en (BISAGNI, 2000) [6], donde se aborda el problema del
pandeo y pos-pandeo de cilindros de material compuesto sometidos a compresión axial.
Y en (HILBURGER & STARNES, 2004) [5], que trata sobre estudios experimentales y
analíticos del efecto de las imperfecciones iniciales en la respuesta a inestabilidades por
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cargas de compresión, en cilindros de pared delgada realizados con material compuesto.
Más recientemente, en (CHUL-JI et al, 2010) [3], se analiza el fallo por pandeo bajo
presión externa, de cilindros de material compuesto de moderado espesor, fabricados
mediante ‘filamente winding’. Y por último, referenciamos el excelente trabajo de
(ROSS et al, 2009) [2], en el que se describen y analizan ensayos realizados sobre 44
cilindros de material compuestos, sometidos a presión externa. Los cilindros analizados
estaban fabricados con material compuesto, en los que se utilizaron tres tipos de fibras
de carbono y dos tipos de fibras de vidrio. Los resultados experimentales fueron
contrastados con modelos numéricos utilizando los programas de elementos finitos:
MisesNP y Ansys.
El desarrollo de la propulsión utilizando el hidrógeno como combustible, ha hecho
necesario el desarrollo de recipientes a presión con valores de presión interna de hasta
1000 bares, al objeto de tener una densidad de energía almacenada que haga utilizable
este sistema de almacenamiento. Por otra parte, hay que tener en cuenta que la Tierra
está cubierta en un 70% de agua, y que sus mares tienen una profundidad media de 3500
metros, llegándose en el punto más profundo a 11034 m en el abismo Challenger, en las
Fosa de las Marianas. Los actuales submarinos tripulados alcanzan una profundidad de
400 m, lo cual hace pensar que solo hemos explorado apenas un 0.1% de esa imponente
masa de agua, por lo tanto, parece lógico que en los próximos años se realice un gran
desarrollo de todo lo relacionado con un aumento de la profundidad operacional de los
vehículos submarinos en general (ROSS et al, 2009) [2].
Como consecuencia, se presentan condiciones que hacen inviable la utilización
razonable de materiales metálicos para este tipo de elementos. Unos cálculos realizados
en (ROSS, 2006) [21], nos dan para un diámetro de 10 m, un espesor en acero de alta
calidad de 2.3 m para una profundidad de 11000 m, frente a unos cálculos estimativos
de una pared de composite, GFRP, de 1m. Por lo tanto, vemos que es necesario mejorar
el conocimiento de este tipo de elementos, de cara a un futuro inmediato, que permita
un desarrollo económico y seguro de la exploración submarina.
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El tipo cilindro analizado está construido mediante la técnica de ‘filament
winding’, la cual necesita de un molde sobre el que bobinar la fibra impregnada en
resina. Con el término ‘liner’ se hace referencia a ese molde. El ‘liner’ puede ser de
distintos materiales, algunos que incluso permiten su eliminación al final del proceso,
quedando solo el material compuesto. En nuestro caso, al ser metálico, quedaría
permanentemente adherido al material compuesto, formando una capa más en el interior
del cilindro y aportando rigidez al conjunto. Para dar más generalidad al estudio, hemos
considerado un ‘liner’ fabricado con distintos materiales: titanio, acero y aluminio.
Figura 1.2 - Detalle 'liner'
En este trabajo se realiza un estudio de un cilindro de material compuesto
sometido a presión exterior/interior, valorándose el aporte que supone considerar un
‘liner’ metálico como elemento colaborador, junto con el material compuesto. Como
referencia para realizar los análisis, se ha tomado un cilindro del que se disponen de
ensayos, que nos han permitido validar el modelo de elementos finitos que hemos
construido. Estos ensayos han sido obtenidos del trabajo publicado por (MYUNG-HUN
et al, 2010) [4], en el cual se realizan ensayos de cilindros de material compuesto,
fabricados mediante la técnica de ‘filament winding’. Dichos cilindros son idénticos al
de nuestra simulación, pero sin disponer de un ‘liner’ metálico que le aporte resistencia.
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Los análisis para evaluar el aporte del ‘liner’ han sido realizados mediante
simulaciones lineales. Sin embargo, las nuevas técnicas de análisis empiezan a permitir
que la realización de simulaciones no lineales sean viables para estudiar modelos reales.
Aunque no exentas de gran dificultad y elevado coste computacional. Es por ello que,
hemos incluido en este trabajo el análisis no lineal del cilindro ensayado, con el objetivo
de situar nuestra capacidad de simulación al nivel del estado del arte actual. Para reducir
la complejidad del modelo, el análisis no lineal se ha realizado sobre el cilindro de
material compuesto sin el ‘liner’. La simulación no lineal mejora a la lineal en dos
aspectos importantes: nos permite obtener la carga crítica con mayor exactitud y
predecir el comportamiento del cilindro en la fase de pospandeo. Convirtiéndose en una
técnica imprescindible para estudiar el fallo en materiales compuestos sometidos a
pandeo.
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2 MATERIAL COMPUESTO
2.1 Descripción
Un material compuesto se puede definir como la combinación a escala
macroscópica de dos o más materiales, con interfaces de separación entre ellos, para
formar un nuevo material. Estos materiales adquieren notables capacidades en ciertas
propiedades de gran utilidad en las aplicaciones en las que se centra este estudio:
recipientes a presión de uso tanto en superficie como sumergidos a grandes
profundidades. Dichas propiedades son la resistencia mecánica, la resistencia a la
corrosión y el peso. En la figura 2.1 se puede ver la posición de los materiales
compuestos, frente a otros tipos de materiales. Dicha gráfica evidencia que los
materiales compuestos tienen un reducido peso, manteniendo la rigidez con valores
equivalente al de las aleaciones ingenieriles.
Figura 2.1 - Rigidez/Peso de distintos materiales
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Básicamente, el compuesto que nos interesa estará constituido por dos tipos de
materiales, uno en forma de fibras largas y continuas, la cuales aportan las capacidades
resistentes, y otro en forma de adherente que envolverá a las fibras para dar cuerpo y
consistencia al conjunto y que se denomina matriz. Existen otros tipos de compuestos
en los que el refuerzo se consigue mediante fibras de corta longitud, o incluso mediante
partículas. En la figura 2.2 se puede ver un esquema de la clasificación de los materiales
compuestos.
Figura 2.2 - Distintos tipos de materiales compuestos
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En cuanto a la forma de fabricación, también existen distintos métodos. El que
mejor se adapta a las exigencias de los recipientes, dadas las formas de estos, es el
denominado método de ‘filament winding’. El cual consiste en bobinar sobre un molde,
denominado ‘liner’, la fibra impregnada de la matriz. En la figura 2.3 se puede observar
un esquema y un proceso real de fabricación.
Figura 2.3 - Proceso de 'filament winding'
El material producido mediante este método de ‘filamente winding’ consistirá en
un laminado, de espesor prácticamente uniforme, formado por múltiples láminas o
capas. En cada una de dichas láminas las fibras tendrán una orientación distinta, que
vendrá marcada por las exigencias resistentes del modelo. En la figura 2.4 vemos un
esquema de una zona cualquiera del laminado.
Figura 2.4 - Esquema de laminado
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La unidad básica de un laminado se denomina lámina, en nuestro caso, en dichas
láminas el refuerzo será mediante fibras largas y paralelas entre sí, constituyendo lo que
se denomina una lámina unidireccional. El espesor de una lámina puede estar
comprendido entre una décima de milímetro y un milímetro.
El laminado estará formado por un conjunto de láminas, apiladas unas sobre
otras, y entre las que debe existir continuidad de la matriz en la dirección perpendicular
al laminado. Cada lámina puede tener sus fibras con una orientación distinta a la del
resto. Este mecanismo de orientar las fibras en cada lámina, proporciona al ingeniero la
posibilidad de diseñar laminados optimizados para cada tipo de uso.
Un tipo de laminado que se suele utilizar con mucha frecuencia es el
denominado laminado simétrico. Para definirlo, es necesario establecer el concepto de
plano medio o plano de simetría. Este plano separa en dos mitades, del mismo espesor,
al laminado. Sobre este plano medio se define un sistema de referencia en el que los ejes
x e y estarán contenidos en dicho plano y el z será perpendicular al laminado. En la
figura 2.5 se representa un laminado simétrico.
Figura 2.5 – Esquema laminado simétrico
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Para definir el apilado del laminado se emplean los siguientes criterios
(NAVARRO, 2011) [8]:
a) Se definen las láminas desde el exterior hacia el interior del laminado
b) Se indica con un número el ángulo que forman las fibras con la dirección de
referencia (normalmente el eje x) y, mediante un subíndice, el número de
láminas seguidas que poseen esta orientación.
c) Cuando se define la secuencia de apilamiento de todas las láminas del laminado,
se emplea el subíndice T, indicando que el laminado ha sido definido en su
totalidad. Cuando se trata de un laminado simétrico, solo se expresará la
secuencia de apilado de uno de los lados y se utiliza el subíndice S para indicar
que el lamiado es simétrico. Si una lámina estuviese justo en el plano de
simetría, ésta se destacaría en la nomenclatura mediante una raya superior sobre
el valor del ángulo. Ejemplos de definición de secuencias de apilado de
laminados se pueden ver en la figura 2.6
Figura 2.6 - Ejemplos de definición de secuencias de apilado
En cuanto a los materiales empleados en la fabricación, las fibras más utilizadas
son de las de carbono y vidrio; también para usos específicos se utilizan fibras orgánicas
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como las de Kevlar. En la tabla 2.1 se muestran las propiedades de distintos tipos de
fibras.
Tabla 2.1 - Propiedades de las fibras de Carbono, Vidrio y Kerlar a 20ºC
Para la fabricación de la matriz los materiales más utilizados son las resinas
epoxi y poliéster, con gran variedad en sus propiedades mecánicas y químicas. En la
tabla 2.2 se recogen las principales propiedades de las resinas epoxi y poliéster.
Tabla 2.2 - Propiedades típicas de las resinas epoxi y poliéster
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Debido a nivel de prestaciones mecánicas y a su precio en el mercado, se suelen
combinar fibras de carbono con matriz de epoxi y fibras de vidrio con matriz de
poliéster. El material compuesto utilizado en nuestro estudio está formado por la
primera combinación: fibra de carbono y matriz de resina epoxi.
2.2 Constantes ingenieriles
Las capacidades resistentes del laminado dependen de las propiedades
mecánicas de las láminas que forman el laminado. En nuestro caso, dichas propiedades
mecánicas se establecen mediante las reglas de la micromecánica de materiales
compuestos de fibra larga.
Las láminas de material compuesto son, por definición, un material heterogéneo,
estando sus propiedades mecánicas condicionadas por las de la fibra y la matriz. La
micromecánica de láminas nos permite obtener los parámetros que marcan el
comportamiento mecánico de las láminas, asemejándolas a un material homogéneo
ortótropo equivalente.
Los materiales ortótropos tienen un comportamiento elástico caracterizado por
una serie de constantes elásticas asociadas a tres direcciones mutuamente
perpendiculares. El comportamiento elástico de un material ortótropo queda
caracterizado por nueve constantes independientes: 3 módulos de elasticidad
longitudinal (E1, E2, E3), 3 módulos de rigidez (G12, G23, G31) y 3 coeficientes de
Poisson (ν 12, ν23, ν31). Que en el caso de una lámina quedan reducidas a 4: E1, E2, G12 y
ν12 ; siendo G21=G12 y
. Donde la dirección de las fibras se indica mediante
el subíndice 1 y la dirección transversal a las fibras con el subíndice 2; ν21 es el
coeficiente de Poisson en la dirección de las fibras y ν12 es el mismo coeficiente en la
dirección transversal.
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Previamente a la obtención de las propiedades mecánicas de una lámina en
función de las de sus constituyentes, establecemos una definición de los parámetros que
marcan los contenidos de fibra y matriz. Así, se define como contenido másico de
refuerzo (Mf) de una lámina a:
(2.1)
Denominando Mm al contenido másico de matriz:
(2.2)
Verificándose que Mf + Mm = 1
Análogamente, para el volumen:
(2.3)
(2.4)
Verificándose que Vf + Vm = 1
Los contenidos volumétricos de fibras más usuales que se obtienen en los
materiales compuestos dependen, en gran medida, de su sistema de fabricación. En la
tabla 2.3 se resumen algunos valores típicos de este parámetro en función del tipo de
proceso de fabricación:
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Tabla 2.3 - Contenidos volumétricos en función del proceso de fabricación
A continuación se indican las expresiones que permiten obtener las propiedades
mecánicas de una lámina unidireccional, también denominadas constantes ingenieriles
de la lámina.
Densidad
(2.5)
Módulo de elasticidad en la dirección de las fibras
( ) (2,6)
Módulo de elasticidad en dirección transversal a las fibras
(
( )
) (2.7)
Módulo de rigidez
(
( )
) (2.8)
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Coeficiente de Poisson en la dirección de las fibras
(2.9)
2.3 Criterio de fallo
Para determinar el nivel de cargas que provoca la rotura de una lámina ortótropa,
existen diversos criterios de rotura. Los más utilizados son (PARIS et al, 2006) [9]:
Teoría de la máxima tensión
Teoría de la máxima deformación
Criterio de Tsai-Hill
Criterio de Tsai-Wu
En general, una lámina dentro de un laminado se encuentra sometida a un estado
de tensión biaxial y de cortante, soportando tensiones σ1, σ2 y σ12 distintas de cero.
Para identificar los límites resistentes, se utiliza la siguiente nomenclatura:
Xt = Resistencia a la tracción en la dirección de las fibras.
Xc= Resistencia a la compresión en la dirección de las fibras.
Yt= Resistencia a la tracción en la dirección transversal a las fibras.
Yc= Resistencia a la compresión en la dirección transversal a las fibras.
S = Resistencia a cortadura.
Xεt= Máxima deformación normal de tracción admisible en la dirección 1
Xεc= Máxima deformación normal de compresión admisible en la dirección 1
Yεt= Máxima deformación normal de tracción admisible en la dirección 2
Yεc= Máxima deformación normal de compresión admisible en la dirección 2
Sε= Máxima deformación tangencial admisible.
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2.3.1 Criterio de la máxima tensión
Predice que el fallo no se producirá si:
σ1 < Xt (σ1>0) (2.10)
σ2 < Yt (σ2>0) (2.11)
|σ12| < S (2.12)
para estados de tracción y:
|σ1| < Xc (2.13)
|σ2| < Yc (2.14)
para estados de compresión.
2.3.2 Criterio de la máxima deformación
Predice que el fallo se producirá si no se satisface alguna de las siguientes
expresiones:
ε 1< Xεt (ε1>0) (2.15)
ε 2< Yεt (ε2>0) (2.16)
|γ12|<Sε (2.17)
para los estados de tracción y:
|ε 1|< Xεc (ε1<0) (2.18)
|ε 2|< Yεc (ε2<0) (2.19)
para los estados de compresión.
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2.3.3 Criterio de Tsai-Hill
Este criterio para una lámina viene regido por la siguiente expresión:
(2.20)
donde X, Y y S son las resistencias mecánicas en la dirección de las fibras, en la
dirección transversal a las fibras y de cortadura respectivamente.
2.3.4 Criterio de Tsai-Wu
Este criterio, aplicado a una lámina, se rige mediante la expresión:
(2.21)
donde
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
[ (
) (
) ] (2.28)
Este criterio es el que se ha utilizado en este trabajo para detectar el fallo en las
láminas del compuesto.
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3 MÉTODO ELEMENTOS FINITOS
Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que gobiernan el
comportamiento de las placas y láminas utilizadas en la fabricación de los materiales
compuestos, no pueden ser resueltas de forma exacta, cuando las geometrías y
condiciones de contorno son complejas. El uso de métodos numéricos facilita la
solución de estas ecuaciones. Entre los distintos métodos numéricos disponibles, el
métodos de los elementos finitos es el más efectivo para analizar estos problemas.
De forma básica, el método transforma el problema desde un espacio de
variables infinito, a un espacio con un número finito de incógnitas. Para ello, se divide
el dominio (estructura) en trozos denominados elementos. En nuestro caso, dichos
trozos tendrán forma triangular o cuadrangular, con un determinado espesor, tal que, se
adapten a la geometría de las láminas de material compuesto. A los vértices de los
elementos se les denomina nodos, siendo dichos nodos los nexos de unión entre los
elementos.
Las variables fundamentales de nuestro problema serán los desplazamientos. El
objetivo primero del método será la obtención de los desplazamientos en los nudos.
Posteriormente, a partir de dichos desplazamientos se obtendrán el resto de variables
secundarias: deformaciones, esfuerzos y tensiones. Quedando el problema totalmente
resuelto.
La formulación necesaria para conseguir el objetivo se basa en la interpolación
de estas variables sobre la geometría de los elementos, a partir de sus valores en los
nudos. La interpolación se realiza mediante funciones polinómicas, siendo las más
comunes las de primer y segundo orden. A partir de este punto y mediante la aplicación
del principio de los trabajos virtuales, se obtienen las expresiones de las rigideces de
cada elemento, que consistirán en matrices cuyas dimensiones dependen del número de
nodos de cada elemento y del número de grados de libertad en cada nodo. En nuestro
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caso, tenemos seis gdl en cada nodo: desplazamientos en X, Y y Z; y rotaciones
alrededor de dichos respectivos ejes. También se obtendrán los vectores de cargas y
restricciones de los elementos, correspondientes a las condiciones de contorno sobre la
estructura.
La unión, formalmente denominada ensamblaje, de todos los elementos para
formar el modelo completo de la estructura, condicionada a que en cada nodo ha de
haber un equilibrio de fuerzas, produce la obtención de un sistema de ecuaciones que
nos permite obtener los desplazamientos en dichos nodos. A parir de dichos
desplazamientos y mediante las funciones de interpolación se obtienen el resto de
variables secundarias del problema.
Cuando estudiamos el cilindro sometido a presión interna, estaremos frente a un
problema estático lineal, y la formulación empleada para resolverlo produce un sistema
de ecuaciones de coeficientes constante, abordable mediante los clásicos algoritmos
directos o iterativos disponibles para tal fin.
Pero cuando estudiamos al cilindro sometido a presión externa, estamos frente a
un problema de pandeo. Dicho problema de pandeo se puede abordar mediante
métodos lineales o no lineales. La utilización de métodos lineales obliga a la
manipulación del sistema hasta desembocar en un problema de autovalores y
autovectores, para el que también existen conocidos algoritmos. Si lo que se intenta
resolver es el problema del pandeo no lineal, el sistema que se obtiene dispondrá de una
matriz de coeficientes dependiente de los propios desplazamientos incógnitas. En tal
caso, hay que emplear métodos especiales para su resolución. En este trabajo se
describe el más aceptado, denominado método ‘arc-len’.
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3.1 Descripción del elemento utilizado
El elemento utilizado para modelar el recipiente es el Shell-181, de la librería de
Ansys (Ansys Element Reference) [10]. Dicho elemento dispone de un comportamiento
basado en la teoría de Reissner-Mindlin, por lo que permite abordar problemas no solo
de láminas delgadas, sino también de láminas gruesas.
La geometría por defecto del elemento es la de cuadrilátero, constituido por
cuatro nodos con seis grados de libertad en cada uno: traslación en las direcciones X, Y
y Z; y rotaciones alrededor de dichos respectivos ejes. Cuando se le activa el
comportamiento de membrana, solo permite los grados de libertad de traslación.
También permite una forma degenerada con solo tres nodos, tomando el aspecto de
triángulos, útil para relleno cuando se utiliza con los algoritmos de generación de
mallas.
La elección de este elemento para nuestro análisis viene condicionada por las
necesidades de modelar un material compuesto, simulando el comportamiento no lineal
del mismo. Este elemento dispone de opciones en su configuración que le permiten
adaptarse a dichas necesidades.
La representación geométrica de este elemento y el sistema de coordenadas que
utiliza se muestran en la figura 3.1
Figura 3.1 - Geometría y sistemas de referencia elemento shell181
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Las funciones de forma (funciones de interpolación) para la formación de la matriz de
rigidez son (Ansys Theory Manual) [11]:
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Donde , y son los desplazamientos en las direcciones X, Y y Z; y , y
son las rotaciones respecto a dichos ejes. I, J, K y L son los nodos del elemento.
Siendo s y t las coordenadas naturales.
En nuestro análisis necesitamos aplicar una presión sobre los elementos, esta
carga repartida normal al elemento se interpola sobre las caras del mismo mediante una
ley bilineal y sobre los ejes mediante una ley lineal.
Cuando este elemento es utilizado para modelar materiales compuestos, permite
asignar propiedades geométricas y de material a cada una de las capas. Esto nos ha
permitido poder tratar el ‘liner’ como una capa más del compuesto. Así mismo, se
pueden obtener como resultados de los análisis, las tensiones de Von Mises o el valor
del índice del criterio de fallo de Tsai-Wu en cada una de las capas.
En la Figura 3.2 se puede observar un esquema de la forma en que son tratados
los resultados, pudiéndose incluso obtener dichos resultados para las zonas superior,
media o inferior de cada lámina.
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Figura 3.2 - Interpretación resultados en el elemento
La formulación de este elemento considera los siguientes comportamientos:
Los esfuerzos de lámina son calculados para el plano medio del
elemento.
La deformación cortante perpendicular a la placa se considera constantes
en todo el espesor.
Se consideran las deformaciones por tensión cortante.
También se considera el cambio de espesor debido al propio proceso de
deformación.
Las tensiones se pueden obtener para las fibras superior, media o inferior
de cada capa.
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3.2 Análisis lineal
Un análisis lineal de inestabilidad implica la realización de un cálculo de los
autovalores y autovectores del sistema (ecuación 3.7). El análisis de pandeo mediante
autovalores predice la carga crítica de pandeo de una estructura ideal lineal y elástica, es
decir, el punto de bifurcación en la curva carga-desplazamiento de la estructura.
[ ] [ ]){ } { } (3.7)
Donde
[ ] = Matriz de rigidez tangente
[ ] = Matriz de rigidez geométrica (stress stiffness matrix)
= Autovalores (el menor se corresponde con la carga crítica)
{ } = Autovectores
Este método se corresponde con el método clásico del análisis de pandeo
elástico. El el análisis de pandeo mediante autovalores y autovectores de un cilindro
hueco de radio R, de espesor de pared constante h y sometido a compresión pura debida
a una fuerza axil, el resultado se corresponderá con la solución clásica (TIMOSHENKO
& GERE, 1985) [13] (ecuación 3.7). Donde es el valor crítico clásico.
√ )
(3.8)
Sin embargo, las imperfecciones geométricas y las variaciones de propiedades
del material, hacen que la mayoría de las estructuras que podemos encontrar en la vida
real no alcancen esta carga crítica clásica de pandeo, sino que la carga real de pandeo
será menor que la prevista por el análisis lineal. Por ello, este análisis solo debe hacerse
como paso previo de un análisis no lineal, o como una primera aproximación a la carga
crítica de una estructura, ya que proporciona valores de la carga crítica mayores a los
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reales y que son, por tanto, no seguros. Además, mediante un análisis lineal se puede
analizar una estructura con una curva de comportamiento carga-desplazamiento como
la mostrada en la figura 3.3a, mientras que si el comportamiento mostrado por la
estructura es el de la figura 3.3b, un método lineal no podrá completar el análisis de
forma correcta.
Figura 3.3 -Distintas curvas Carga/deformación
Hemos tenido en cuenta en nuestro análisis lineal de pandeo, el fenómeno de
‘stress stiffening’. Este es el fenómeno por el cual las fuerzas de membrana (axiles),
influyen en la rigidez a deflexión lateral. Dicho fenómeno de 2º orden conocido como
‘stress stiffening’, se tiene en cuenta al realizar el análisis de pandeo de autovalores,
ejecutando un cálculo tensional previo, mediante un análisis estático lineal, para incluir
los efectos de las tensiones de membrana en la matriz de rigidez geométrica (‘stress
stiffness matrix’), que se sumará a la matriz obtenida con la teoría de primer orden.
El menor de los autovalores nos proporciona la carga crítica de pandeo, y su
autovector es el modo de pandeo. Los autovectores obtenidos están normalizados de
manera que el componente más grande es 1,0. Por tanto, las tensiones asociadas a los
modos de pandeo, deben ser interpretadas como una distribución relativa de tensiones y
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no directamente como el estado tensional. Hacemos notar que la inestabilidad, cuando el
primer autovalor es negativo, se presenta para una carga aplicada en el sentido opuesto.
Existen varios métodos para la extracción de los autovalores. Los más utilizados
para matrices simétricas son:
1. El método reducido: Este método emplea matrices reducidas, asociadas a una
serie de g.d.l. maestros que han de ser elegidos previamente. El proceso de
solución es más rápido que con otros métodos, pero menos exacto, ya que las
matrices reducidas sólo permiten obtener una solución aproximada. Es adecuado
para encontrar todos los modos de modelos pequeños o medio tamaño (menores
de 10000 gdl). También es adecuado para encontrar pocos modos (alrededor de
40) de grandes modelos, con la adecuada selección de los gdl maestros. Aunque
la exactitud de la solución dependerá de los gdl maestros seleccionados.
2. El método de sub-espacios: Este método permiten obtener un determinado
número de autovalores y autovectores, fijado de antemano. En este caso, no
resulta necesario definir g.d.l. maestros. Es adecuado para encontrar pocos
modos de grandes modelos. Se recomienda su uso siempre que el modelo esté
mallado con elementos tanto sólidos como tipo láminas, pero estos elementos
han de tener unas geometrías regulares, sin ángulos interiores muy pequeños.
Puede dar buenos resultados de rendimiento aunque el sistema no disponga de
gran cantidad de memoria.
3. El método de Block Lanczos: Válido en los mismos casos que el método del
sub-espacio, pero tiene una convergencia más rápida. Aplicable en problemas de
autovalores con matrices simétricas grandes. Es el más eficiente en el caso de
que haya autovalores próximos. Se pueden resolver grandes modelos,
obteniendo para los mismos más de 40 autovalores. Produce buenos resultados
incluso si los elementos tienen geometría no tan regular como la exigida en el
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método del sub-epacio. Sus necesidades de memoria rondan el 50% más de
memoria que el método del sub-espacio.
También se utilizan variantes de estos métodos, que permitan un mayor rendimiento
en el análisis, como es la combinación del método de Block Lanczos con el algoritmo
de solución del gradiente conjugado. Existen otros métodos aplicables cuando las
matrices no son simétricas o cuando se hace necesario incluir el amortiguamiento en la
simulación.
En nuestro análisis hemos optado por la utilización del método de Block Lanczos.
Como ya se ha comentado anteriormente, el método de extracción de autovalores de
Block Lanczos permite operar con problemas de gran tamaño de autovalores con
simetría. Típicamente, este algoritmo es aplicable al tipo de problemas resolubles con el
método de autovalores del subespacio, pero consigue una tasa de convergencia más
rápida.
El algoritmo de pivote por bloques de Lanczos , como se detalla en (GRIMES,
1994) [15], es la base teórica de este extractor de autovalores. El algoritmo de Block
Lanczos es una variación del algoritmo de Lanczos clásico, donde las recursiones de
Lanczos se efectúan usando un bloque de vectores, en lugar de un solo vector. Más
detalles sobre el método clásico de Lanczos se pueden encontrar en (RAJAKUMAR &
ROGERS, 1991) [16].
El uso del método de Lanczos por bloques (o método Block Lanczos) para resolver
grandes modelos (más de 100.000 gdl) con muchas restricciones, puede requerir una
cantidad de memoria bastante significativa. Por esta razón, algunos programas, como es
el caso de Ansys, utilizan los Multiplicadores de Lagrange para tratar las ecuaciones de
restricción en el extractor de Lanczos por bloques, en lugar de eliminar dichas
ecuaciones explícitamente antes de formar las matrices completas.
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El método de Block Lanczos es especialmente potente cuando busca frecuencias
de autovalores en partes determinadas del espectro de autovalores de un sistema. Siendo
esta característica muy útil en el problema del pandeo, ya que en este caso los
autovalores suelen estar próximos entre sí.
3.3 Análisis no lineal
Básicamente, el objetivo de un análisis no lineal de pandeo es estimar la carga
máxima que una estructura puede alcanzar antes de que se vuelva inestable o colapse.
Hay que hacer notar que lo perseguido es el valor máximo de las cargas, siendo su tipo
y distribución fijados de antemano para cada análisis.
Una vez que se ha alcanzado el punto donde la estructura inicia el pandeo, hecho
que ocurre cuando la carga adquiere el valor que denominamos como ‘carga crítica’
(punto A en la figura 3.4), se inicia una fase que se denomina pos-pandeo (‘post-
buckling’). Durante esta fase de pos-pandeo, la estructura puede colapsar
inmediatamente, con lo cual la carga crítica nos condicionaría el diseño; o bien, puede
adoptar nuevas formas que le permitan incrementar su rigidez, hasta el punto de que
llegue a soportar cargas mayores incluso que la crítica, siendo en ese caso importante el
estudio de dicha fase de pos-pandeo. Sobre todo, si la deformación que ha de sufrir la
estructura para poder soportar de nuevo una carga igual a la crítica (punto A’ en la
figura 3.4), es pequeña; dicha fase entre los puntos A y A’, se denomina ‘Snap-
through’. Por lo tanto, cuando el ‘Snap-through’ es suficientemente pequeño, el colapso
correspondiente al punto A no tiene por qué ser definitivo, permitiéndose que la
estructura soporte mayores cargas que la crítica, sin dejar de ser funcional.
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Figura 3.4 - Zona de pos-pandeo
Para un correcto análisis no lineal, se hace necesaria la introducción de defectos
iniciales en la geometría del modelo. Dichos defectos persiguen poner de manifiesto las
debilidades de la estructura frente a las cargas aplicadas. Ya que, si la geometría es
perfectamente cilíndrica y la presión exterior perfectamente homogénea, como ocurre
en nuestro caso, no se producirá inestabilidad, por muy elevada que sea la presión.
Como se ha comentado, estos defectos deben buscar las formas más vulnerables ante el
fenómeno de pandeo, para las cargas aplicadas. Precisamente, los modos de pandeo
derivados del análisis lineal, son las formas que cumplen con dicha condición. Por ello,
es habitual utilizarlos como defecto sobre la geometría inicial del modelo. El escalado
de dichos defectos debe hacerse adecuadamente. Así, para amplitudes muy pequeñas del
defecto, la solución no lineal se aproxima a la lineal. Mientras que, conforme
aumentamos el escalado del defecto, iremos consiguiendo valores de carga crítica
menores que la obtenida por el análisis lineal. Produciéndose el mecanismo de pandeo
únicamente para cierto rango de valores del defecto, ya que, a partir de cierta magnitud
de los mismos, la estructura en su proceso de deformación con el aumento de las cargas,
no presentará los cambios bruscos e instantáneos típicos del mecanismo de pandeo.
Junto al mecanismo de no linealidad geométrica, pueden también existir no
linealidades en el comportamiento del material (plasticidad, viscoplasticidad, etc…),
así como en las condiciones de contorno (contactos). En nuestro análisis solo hemos
considerado las no linealidades geométricas.
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3.3.1 Método de Newton-Raphson
El proceso de discretización de los elementos finitos produce una serie de
ecuaciones simultáneas:
[ ]{ } { } (3.9)
donde:
[ ] = Matriz de rigidez
{ } = Vector de desplazamientos incógnitas
{ } = Vector de cargas aplicadas
Si la matriz de coeficientes [K], es ella misma función de los grados de libertad, que
son incógnita, entonces la ecuación 3.8 es una ecuación no lineal. El método de
Newton-Raphson es un proceso iterativo para resolver las ecuaciones no lineales que
puede ser escrito como (BATHE, 1996) [17]:
[ ]{ } { } {
} (3.10)
{ } { } { } (3.11)
donde:
[ ] = Jacobiano de la matriz de rigidez (matriz tangente)
i = Subíndice que representa la iteración de equilibrio actual
{ } = Vector de las fuerzas restauradoras debido a los desplazamientos en
los nodos.
Ambos [ ] y {
} se evalúan basándose en los valores dados por { }. La
parte derecha de la ecuación 3.9 es el residuo o vector de cargas desequilibradas. En la
figura 3.5 se muestra la iteración i-ésima del algoritmo de Newton-Raphson aplicado a
un problema de un solo grado de libertad.
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Figura 3.5 - Una iteración algoritmo Netown Raphson
El mecanismo de resolución descrito necesita de múltiples iteración para obtener
una solución que converja, dicha convergencia de presenta cuando el vector residuo es
cero o está cerca del cero, con una tolerancia fijada de antemano. El algoritmo general
para realizar las iteraciones es como sigue:
1. Se supone { } =0
2. Calcular la matriz de rigidez tangente [ ] y el vector de cargas
restauradoras { } a partir del vector { }
3. Calcular { } mediante la ecuación 3.10
4. Añadir { } a { } para obtener la nueva aproximación { }, ecuación
3.11
5. Repetir los pasos desde el 2 al 4 hasta obtener la convergencia
La solución obtenida al final del proceso iterativo corresponderá con el nivel de
carga { }. Dicha solución obtenida estará en equilibrio, de forma que el vector de
cargas restauradoras { } igualaría al vector de cargas aplicadas { }, o al menos
estaría dentro de cierta tolerancia. Ninguna de las iteraciones intermedias estaría en
equilibrio. En la figura 3.6 se puede ver gráficamente la evolución del proceso iterativo.
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Figura 3.6 - Evolución algoritmo Netown Raphson
El proceso de Newton-Raphson garantiza la convergencia, sí y solo si, la
solución en cualquier iteración { } está cerca del equilibrio. Para conseguir esto, el
nivel de carga total { } se aplica de forma gradual, empezando por un porcentaje
pequeño de dicha carga e incrementándola en sucesivos pasos hasta llegar al nivel total.
Al aplicar el algoritmo iterativo antes descrito a cada paso de carga, se provocará que al
final del paso, la solución esté en equilibrio o cerca de él. Descomponiendo el problema
en el número adecuados de pasos de carga, se garantizará en todo momento la
convergencia del método. Además, este mecanismo de descomposición de la aplicación
de la carga en pasos, también es obligado cuando intervienen no linealidades
dependientes de la trayectoria, como la plastificación. Con este planteamiento de los
pasos de carga, la ecuación 3.9 quedaría:
[ ]{ } {
} { } (3.12)
donde:
[ ] = Es la matriz tangente para la iteración i del paso de carga n
{ } = Vector de fuerzas totales aplicadas en el paso n
{ } = Vector de las fuerzas restauradoras de la iteración i del paso de carga n
Esta variación del método que acabamos de describir se denomina “Procedimiento
Incremental de Newton-Raphson”. En la Figura 3.7 se esquematiza la evolución del
mismo.
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Figura 3.7 - Múltiples pasos de carga en algoritmo Newton Raphson
Como se ha observado, la matriz tangente es recalculada en cada iteración, en tal
caso, el método pasa a denominarse “Solución completa de Newton-Raphson”. No
obstante, el recalculo de la matriz tangente puede restringirse a la primera o segunda
iteración de cada paso de carga, pasando el método a denominarse en ese caso
“Procedimiento Modificado de Newton-Raphson”. Cuanto menos recálculo de la
matriz tangente se realicen, más lenta es la convergencia, pero menos cálculos habrá
que realizar en cada iteración.
Además de las variantes comentadas, existen otras modificaciones del método de
Newton-Raphson como la búsqueda lineal y el “descenso adaptativo” (‘adaptive
descent’). Estas variantes persiguen igualmente la mejora de la convergencia.
3.3.2 Método del ‘arc-len’
Las estructuras con comportamientos no lineales contienen a menudo puntos
límite en los cuales la trayectoria de equilibrio tiene tangente horizontal, como se
observa en la figura 3.8. La región comprendida entre dos puntos críticos es inestable,
porque la recta tangente a la trayectoria de equilibrio es negativa, lo que indica un
aumento de los desplazamientos al disminuir las cargas. Como ya se ha comentado, a
este fenómeno se le denomina ‘snap-through’. Otro mecanismo que se observa en el
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pos-pandeo se presenta al descargar la estructura, cuando la carga cae por debajo del
segundo punto límite, se produce otro salto brusco de desplazamientos que se denomina
‘snap-back’.
Figura 3.8 - Puntos límites en pos-pandeo
La presencia de puntos críticos de estabilidad y trayectorias de equilibrio
inestables, son las principales dificultades que las soluciones numéricas deben superar
para capturar completamente la respuesta no lineal. En dichos puntos límites la matriz
de rigidez tangente es nula (figura 3.9), provocando el fallo del método de Newton-
Raphson. Por ello, predecir “snap-through” y “snap-back” es difícil y resulta
computacionalmente costoso. También es difícil hallar cuánta carga adicional puede
soportar con seguridad una estructura bajo estas circunstancias. El método del “arc-
length” se presenta como el adecuado para predecir la respuesta correcta de estructuras
con comportamientos complejos del tipo ‘snap-through’.
Figura 3.9 - Punto donde diverge algoritmo Newton Raphson
En realidad el método ‘arc-len’ se desglosa en una familia de métodos de
resolución de ecuaciones no lineales llamados genéricamente métodos del ‘arc-len’. El
método general del ‘arc-len’ usado para análisis estructural surge como una variación
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del método general de Newton-Raphson, ideada para superar las dificultades de éste
para pasar por puntos críticos. Fue desarrollado originalmente por (RIKS, 1971) [18],
(WEMPNER,1971) [19]. La técnica se asemeja mucho al método de Newton-Raphson,
excepto en que en este caso el incremento de carga aplicado pasa a ser una incógnita
adicional en el problemas.
En este método, la carga pasa a ser referenciada mediante un factor de carga (λ),
que toma valores entre 0 y 1. En una iteración cualquiera del método, el valor de la
carga a aplicar se denota por λ·Fa. Básicamente, el método consiste en añadir al
algoritmo de Newton-Raphson una ecuación de restricción, que fija la longitud del
vector incremental que une los puntos representativos de los estados inicial y final de
cada incremento de carga, en el espacio de cargas y desplazamientos; en contrapartida a
esta nueva ecuación, el incremento del factor de carga pasa a ser considerado como una
incógnita adicional. Resultando ahora un nuevo vector de incógnitas, formado por los
gdl y por el factor de carga { }, de dimensiones n+1.
La restricción antes comentada consiste en definir una superficie que corte a la
curva de carga-desplazamiento. Una manera de garantizar dicha intersección se
consigue utilizando superficies cerradas alrededor del punto de equilibrio (figura 3.10).
La más sencilla de estas superficies es una (hiper) esfera de radio l, cuya ecuación
sería:
( ) ( )
(3.13)
Donde
= Vector grados de libertad del modelo
= Factor para homogenizar unidades
= Incremento del factor de carga en la iteración
= Longitud del arco de la superficie de restricción
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Figura 3.10 - Restricción con superficie esférica
Es posible, de manera más sencilla, obtener convergencia en la mayoría de los
casos utilizando en lugar de superficies cerradas, un (hiper) plano normal a la tangente
de la curva de equilibrio, en el punto de equilibrio anterior (figura 3.11). Expresado por
la condición de ortogonalidad siguiente:
( ) (3.14)
donde
= Vector grados de libertad del modelo, para la primera
iteración del paso de carga
= Vector normal al
= Factor de carga de la primera iteración del paso de
carga
= Componente del vector normal correspondiente al
factor de carga.
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Figura 3.11 - Restricción con plano normal fijo
Puede asegurarse la convergencia si se utiliza en cada iteración un plano distinto,
normal no a la tangente inicial del paso de carga, sino a una secante actualizada (figura
3.12), sin más que utilizar la condición siguiente:
( ) (3.15)
Figura 3.12 - Restricción con plano normal actualizado
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El método del ‘arc-len’ usado por Ansys está sustentado en los trabajos de
(FORDE & STEIMER, 1987) [20], y es una evolución de inicial debido a Risk y
Wempner basándose en principios de ortogonalidad. En dicho procedimiento la
ecuación no lineal 3.10, se replantea asociada al factor de carga total λ:
[ ]{ } { } {
} (3.16)
donde λ está comprendido en el rango -1.0 ≤ λ ≤ 1.0.
Si escribimos el factor proporcional de carga λ de forma incremental, tendremos
para el paso de carga n y la iteración i:
[ ]{ } { } ){
} { } { } (3.17)
Figura 3.13 - Aproximación mediante el arc-length de Forde-Stiemer
Observando la figura 3.13, el desplazamiento incremental { } puede escribirse en
dos partes:
{ } { } {
} (3.18)
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Definiéndose cada una de dichas partes mediante:
{ } [
] { } (3.19)
{ } [
] { } (3.20)
En cada iteración del ‘arc-len’, se utilizarán las ecuaciones 3.19 y 3.20 para
obtener { } y {
}. Además, la ecuación de restricción 3.13 del método de Riks-
Wempner, pasa a tomar la siguiente forma:
{ } { } (3.21)
donde es la suma de todos los desplazamientos incrementales del paso de
carga.
En la figura 3.14 se puede ver con más detalle la evolución del método de Forde-
Stiemer usado por Ansys:
Figura 3.14 - Un paso de carga método de Forde-Stiemer
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El radio del arco utilizado durante las iteraciones de un mismo paso de carga, se
mantiene constante e igual al de la primera iteración de paso de carga. El radio del arco
de la primera iteración del primer paso de carga, se denomina ‘radio inicial o de
referencia del arc-len’, y es fijado por el analista. El radio de la primera iteración de los
subsecuentes pasos de carga, deben ser calculados por el programa en base a valor en el
paso de carga anterior y del comportamiento del algoritmo.
Utilizando las ecuaciones 3.18 y 3.19 se obtiene la solución convergida para
cada paso de carga ). De las distintas alternativas que existen para la
manipulación de dichas ecuaciones, el método propuesto por Forde y Steimer aproxima
el mediante lo que se denomina ‘iteración esférica explicita’. Resultando la
siguiente expresión para el factor de carga incremental:
{ }
{ }
{ } { }
(3.22)
donde el residuo para la iteración explicita en una esfera (ri) , es calculado de antemano
como producto escalar de unos vectores normal y tangencial en un punto arbitrario a la
curva carga-desplazamiento.
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4 ENSAYO VIRTUAL
4.1 Cilindro de referencia del ensayo
Como referencia para realizar el modelo de elementos finitos, se ha tomado un
cilindro del que conocemos los resultados de ensayos publicados (MYUNG-HUN et al,
2010) [4]. El ensayo publicado consiste en someter al cilindro a una presión externa,
obteniéndose como resultado del mismo, la presión crítica de pandeo. Dicho cilindro, de
unos 70 cm de largo y 30 cm de diámetro, fue ensayado en una cámara similar a la
mostrada en la figura 4.2.
Figura 4.1 - Esquema recipiente ensayado
El cilindro dispone en un extremo de una brida que lo une a la cámara, y en el
otro extremo dispone de un cierre formado por una tapa de acero, siendo únicamente su
cuerpo de material compuesto. El cuerpo del cilindro es totalmente de material
compuesto, no disponiendo de ‘liner’. El sistema de ensayo consiste en llenar de agua la
cámara, y posteriormente presurizarla hasta producir una presión externa sobre el
cilindro, suficiente para que éste pandee.
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Figura 4.2 - Esquema cámara de ensayo
El cilindro ensayado está fabricado con un compuesto formado por un apilado
consistente en una zona interior de 6.6 mm de espesor (82.5% del material), formada
por capas orientadas alternativamente a ±30°; y otra zona exterior de 1.4 mm de espesor
(17.5% del material), formada por capas orientadas a 90°. Obteniéndose finalmente un
compuesto de 8 mm de espesor total. Siendo la fibra utilizada la T700 y la resina de
tipo epoxy. Se ensayaron cuatro cilindros iguales, obteniéndose una presión crítica de
pandeo promediada de 4.3 MPa
4.2 Modelo de elementos finitos
Se ha realizado un modelo de elementos finitos del cilindro descrito en el
apartado anterior. Dicho modelo ha sido realizado mediante el software comercial
ANSYS Inc. Ver 13. En dicho modelo se ha considerado la tapa de cierre de acero y el
cuerpo del cilindro de material compuesto. No ha sido necesario modelar la brida, ya
que su aporte se ha conseguido mediante la imposición de las condiciones de contorno
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adecuadas. Tal y como se ha producido en el ensayo, se ha aplicado una presión externa
tanto sobre la virola de material compuesto, como sobre la tapa de acero. En la figura
4.3 se puede observar una vista del modelo, en la que se ha eliminado parte de mismo
para una mejor visualización.
Figura 4.3 - Modelo elementos finitos
Se ha utilizado el elemento tipo SHELL181, de la librería de elementos del
programa, el cual tiene cuatro nodos y seis gdl por nodo. Este elemento permite
modelar un material compuesto con múltiples capas, con distinto material, distinto
espesor y distinta orientación de las fibras en cada una de las capas. Las propiedades
mecánicas de la lámina de compuesto han sido obtenidas de la publicación del ensayo,
dichas propiedades se pueden consultar en la tabla 4.1.
Propiedades de la
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Propiedades de la lámina
(ply)
E1 = 120 Gpa
E2 = E
3= 8.5 Gpa
G12
= 3.4 Gpa
G13
= G23
= 2.7 Gpa
ν12
= 0.25
ν13
= ν23
= 0.42
Tabla 4.1 - Propiedades mecánicas lámina composite
Utilizando las capacidades del elemento finito utilizado, se ha modelado un
apilado consistente en una capa exterior de 1.4 mm de espesor, con la fibra orientada a
90º; y en el interior 32 capas con la fibra orientada alternativamente a ±30º, sumando
6.6 mm de espesor. Resultando un apilado final de 8 mm de espesor. La tapa de acero se
ha modelado con el mismo tipo de elemento. En este caso de una sola capa de material
isótropo (acero). El tamaño medio del elemento se ha fijado en 1 cm. Dando lugar a una
malla de 7532 elementos. Un detalle del apilado se puede ver en la figura 4.4.
32 capas ±30° (6.6 mm)
capas 90° (1.4 mm)
Figura 4.4 - Esquema del apilado sin 'liner'
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Con el objeto de validar el modelo virtual con los modelos ensayados, se ha
realizado un análisis de pandeo lineal, comparándose el resultado del mismo con la
presión crítica obtenida en los ensayos. Para este análisis de autovalores y
autovectores, se utiliza el método Block Lanczos, obteniéndose la presión crítica de
pandeo para el primer modo de pandeo, el cual se puede ver en la figura 4.5, donde se
observan los clásicos lóbulo. La presión crítica de pandeo de 4.33 MPa obtenida en la
simulación, coincide con el valor promedio de los ensayos (Tabla 4.2)
Ensayo
Carga critica
ensayos
(MPa)
Carga critica
promedio ensayos
(MPa)
Carga crítica
simulación
(MPa)
1º 4.3
4.3 4.3 2º 4.4
3º 4.4
4º 4.1
Tabla 4.2 – Comparación carga critica ensayo/simulación
En general, un análisis lineal modela bien el inicio de un mecanismo de pando o
colapso, cuando las deformaciones anteriores al pandeo o colapso, son pequeñas. En
caso de que no sea así, lo aconsejable es realizar un análisis no lineal. En nuestro
problema, dada la forma y simetrías del modelo, es de esperar que el pandeo se
produzca con deformaciones pequeñas. Éste es quizás el motivo fundamental de la
bondad del análisis lineal de nuestro modelo.
Además, el pandeo en los ensayos, se suele producir a presiones más bajas que
las obtenidas en un análisis lineal, debido a la existencia de defectos de fabricación, que
no son contemplados en el modelo. En este caso, la técnica de ‘filamente-winding’
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utilizada para fabricar los cilindros, ayuda a evitar dichos defectos de fabricación, ya
que permite generar geometrías con muy pocos defectos.
Figura 4.5 - Resultados análisis lineal del modelo ensayado
Con este análisis conseguimos validamos nuestro modelo virtual del cilindro,
constatando que tanto la geometría, el apilado y las propiedades del material compuesto,
la aplicación de la presión, el tipo de elemento utilizado, la densidad de malla y las
condiciones de contorno en la brida, son las correctas.
4.3 Ensayo lineal
4.3.1 Valoración del aporte del ‘liner’ para presión externa
El siguiente paso consiste en añadir el ‘liner’ al modelo que ya tenemos
construido, para valorar la mejora que provoca en su comportamiento. Para dar más
generalidad al estudio, hemos utilizado tres tipos de materiales metálicos para modelar
el ‘liner’. Las propiedades mecánicas de dichos materiales se pueden consultar en la
tabla 4.3.
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Material 70 % límite plastificación
(MPa)
Módulo elástico
(GPa)
Coeficiente
Poisson
Aluminio 6061-T6 212.31 68.9 0.33
Titánio TI-6AL-4V 676.92 113.8 0.34
Acero 4130 553.85 205.8 0.27
Tabla 4.3 - Propiedades mecánicas materiales ‘liner’
La incorporación del ‘liner’ al modelo la realizamos considerando una capa más
en el interior del apilado, con un espesor de 1.5 mm. El tipo de elemento finito que
estamos utilizando, nos permite definir para cada capa, un material distinto. Tal que, las
capas que ya teníamos definidas quedaran constituidas por material ortótropo y ésta
nueva de material isótropo. En la figura 4.6 se puede ver un detalle de dicho apilado.
Se han construido tres modelos, cada uno de ellos incorporando un ‘liner’
metálico de titanio, acero y aluminio respectivamente. Se han realizado análisis lineales
de pandeo, similares al realizado para validar el modelo inicial, sobre cada uno de los
32 Capas a ±30º (6.6 mm)
Capa exterior a 90º (1.4 mm) ‘Liner’ (1.5 mm)
Figura 4.6 - Esquema apilado con 'liner'
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nuevos modelos con ‘liner’. Obteniéndose una presión crítica en cada caso. En la tabla
4.4 se pueden ver los resultados obtenidos, donde en la primera fila tenemos el resultado
del ensayo, del cilindro sin ‘liner’. Y en las tres siguientes podemos ver los resultados
al utilizar un ‘liner’ del material indicado.
Análisis de pandeo a presión externa
Material
‘Liner’
Mod. E
(Gpa)
Presión crítica
(MPa)
Factor de
Mejora
Sin ‘liner’ - 4.33 -
Aluminio 6061-T6 68.9 13.58 3.1
Titanio TI-6AL-4V 113.8 17.04 3.9
Acero 4130 205.8 21.55 5.0
Composite - 6.65 1.5
Tabla 4.4 - Resultados análisis lineal a presión externa
Se ha construido un cuarto modelo, en el que en lugar de incorporar un ‘liner’
metálico’, se ha considerado una capa interna de compuesto, del mismo espesor que el
‘liner’ y con las fibras a 90º. Resultado un cilindro completamente de material
compuesto y del mismo espesor total que los que tienen ‘liner’ metálico, cuyos
resultados se muestran en la última fila de la tabla 4.4. Esto nos permite comparar el
aporte del ‘liner’ metálico en igualdad de espesor.
También se ha añadido una columna en la que se indican los factores de mejora
respecto al cilindro sin ‘liner’. Se aprecia que si aumentamos en 1.5 mm el espesor del
compuesto el factor es de 1.5, en cambio, si añadimos un ‘liner’ metálico del mismo
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espesor, dicho factor puede llegar a valer 5.0. Además, el factor de mejora tiene una
relación proporcional al módulo elástico del material utilizado como ‘liner’
4.3.2 Valoración del aporte del ‘liner’ para presión interna
Además de la valoración del aporte del ‘liner’ a presión externa, se han realizado
análisis del cilindro con el ‘liner’, soportando una presión interna, en los que se ha
obtenido la presión interna máxima soportada por el conjunto. Para lo cual se han
tenido que utilizar los criterios de fallo adecuados a cada material. Así, en el material
compuesto se ha utilizado el criterio de Tsai-Wu, mientras que en el ‘liner’ metálico se
ha utilizado el criterio de Von Mises.
En la tabla 4.5 se pueden consultar los valores de la resistencia de la lámina, para
su utilización con el criterio de Tsai-Wu, en el material compuesto. Solo se indican los
valores a tracción, ya que son los únicos que tienen utilidad en este caso. Para la
evaluación del criterio de Von Mises, se utiliza como tensión admisible el 70% de la
tensión de plastificación del material metálico, dichas tensiones se pueden consultar en
la tabla 4.6.
Resistencia del Ply (MPa)
Xt 2060
Yt 32
Yz 32
XY 45
XZ 45
YZ 64
Tabla 4.5 - Propiedades resistentes lámina composite
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El análisis del cilindro sometido a presión interna, consiste de un análisis
estático convencional. Se han evaluado las tensiones en la zona central del cilindro, para
obtener valores promedio evitando las perturbaciones que se pueden producir en los
extremos, debidas a las condiciones de contorno impuestas. Al igual que antes, también
incluimos aquí el caso de ‘liner’ de composite, para realiza la comparación.
En la tabla 4.6, se pueden ver los resultados de los análisis. El titanio se muestra
como el material que mejor se comporta. No obstante el incremento de la resistencia a
presión interna, al utilizar el ‘liner’ metálico, no es tan acusado como en el caso
anterior.
Análisis estático a presión interna
Material
‘Liner’
70% tensión
plastificación
(Mpa)
Fallo en Presión
máxima (MPa)
Factor de
Mejora
Sin ‘liner’
- 8.2 -
Aluminio 6061-T6 212.31 ‘Liner’ 8.2 1.0
Titanio TI-6AL-4V 676.92 Composite 14.5 1.8
Acero 4130 553.85 ‘Liner’ 12.0 1.5
Composite
- 8.8 1.1
Tabla 4.6 - Resultados análisis lineal a presión interna
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4.4 Ensayo no lineal
También se ha realizado un análisis no lineal del cilindro sometido a presión
externa. Tal y como se comentó en la introducción, el objetivo de este análisis ha sido el
de dominar la técnica, aprovechando el modelo que tenemos validado, contrastando el
resultado con el obtenido en los ensayos.
En este caso, el análisis no lineal ha consistido en un análisis estático bajo
grandes deformaciones, utilizando el método ‘arc-len’ descrito anteriormente. Como ya
se ha comentado, debido a la simetría de carga y geometría en el modelo, se ha hecho
necesaria la imposición de un defecto inicial para facilitar que se desencadene el
mecanismo de pandeo. Se ha tomado como plantilla para modelar dicho defecto, el
primer modo obtenido en el análisis lineal.
Debido a que bajo esta situación, la evolución de la deformación del modelo
adopta formas proporcionales a dicho primer modo, se ha tomado como punto para
evaluar la amplitud de la deformación en centro de un lóbulo del propio modo. (Figura
4.7)
Figura 4.7 - Punto de control para análisis no lineal
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El análisis se ha repetido ajustando el tamaño del defecto máximo a los valores
indicados en la tabla 4.7 , observándose que conforme el defecto va disminuyendo la
solución converge con la del análisis lineal y por lo tanto con la del ensayo.
Defecto
máximo (mm)
Pcrt
(Mpa)
0.5 4.11
0.1 4.25
0.03 4.34
Pcrt
promedio ensayo 4.3 MPa
Tabla 4.7 - Resultados análisis no lineal para distintos tamaño de defecto
En la figura 4.8 se muestran las curvas obtenidas para las distintas
amplitudes del defecto. En ellas se puede observar la zona de ‘snap-through’, con los
puntos A y A’ referenciados en la figura 3.4. Una vez que la carga alcanza el valor
crítico, se produce una deformación brusca que llegará a alcanzar unos 18 mm de
amplitud, en el punto de control. A partir de dicha situación habrá que seguir
incrementando la carga para que el modelo siga deformándose.
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Figura 4.8 - Curvas carga-desplazamiento análisis no lineal
Se puede observar en la figura 4.8 el punto donde se produce la bifurcación, en
cada una de las curvas. Siendo dicho punto el que nos marca la carga crítica de pandeo.
Vemos que cuando el defecto inicial es del orden de 0.03 mm, y por lo tanto muy
pequeño, dicha carga crítica prácticamente coincide con el valor obtenido en el análisis
lineal (4.3 MPa). Para valores del defecto inicial algo mayores, aunque susceptibles de
que se puedan producir en el proceso normal de fabricación, la carga crítica toma
valores menores que la obtenida mediante el análisis lineal.
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5 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS
De los análisis realizados sobre el modelo representativo del cilindro ensayado,
se deduce que la utilización de un ‘liner’ metálico incrementa notablemente la
resistencia bajo la acción de presión externa. No siendo tan notable la mejora bajo la
acción de presión interna. Además, los mejores resultados en cada caso se obtienen con
distintos materiales en el ‘liner’. En el caso de solicitación con presión externa, es el
acero el que mejor resultado presenta; mientras que en el caso de solicitación con
presión interna, es el titanio.
En el análisis no lineal realizado sobre el cilindro sin ‘liner’, hemos constatado
que el método del ‘arc-len’ se muestra como una excelente herramienta para sobrepasar
los puntos límites en la curva carga-desplazamiento y predecir el comportamiento del
modelo en la fase de pos-pandeo. La utilización de esta metodología hace abordable este
tipo de análisis, aunque con un alto coste computacional, y no exentos de dificultades
para conseguir la convergencia.
La notable mejora conseguida al utilizar un ‘liner’ metálico bajo solicitación de
presión externa, invita a profundizar en dicho estudio, haciendo intervenir mecanismos
de fallo que contemplen la delaminación que se ha de producir, tanto entre las propias
láminas de material compuesto, como entre el material compuesto y el ‘liner’, cuando
las deformaciones alcancen valores suficientes en las fase de pos-pandeo. Bajo estas
condiciones, las técnicas de análisis no lineal se hacen imprescindibles.
El hecho de que no sean las mismas soluciones constructivas, las que produzcan
los mejores resultados para los dos estados de solicitación: presión interior y exterior,
demanda la utilización de algoritmos de optimización que sopesen las mejoras en ambos
casos y permitan obtener diseños óptimos, para los recipientes que han de soportar
simultáneamente ambas situaciones de carga. Este es el caso de los recipientes
utilizados para los sistemas AIP, ubicados fuera del casco de presión del submarino.
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Por último, como resultado de este trabajo se presentó al IX Congreso Nacional
de Materiales Compuestos celebrado en julio de 2011 (Gerona), la ponencia:
RECIPIENTES A PRESIÓN DE COMPOSITE, CON ‘LINER’ METÁLICO A
PRESIÓN EXTERIOR.
Recipientes a presión de composite con ‘liner’ metálico
Postgrado Ingeniería Computacional. Universidad de Cádiz Página 59
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1. J.FRANCO, A.CORZ; Recipientes a presión de composite, con ‘liner’ metálico
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