Trabajo Final Lucas Garcia

Ingeniería mecánica U.T.N. – F.R.B.B Mecánica Racional

Lucas Garcia 2010

- 2 -

PROBLEMA 1: (Vibraciones; Cinemática y Cinética del cuerpo rígido)

La figura muestra esquemáticamente la estructura esencial de un

cierto tipo de indicador de giro aeronáutico.

Los resortes AC y BD de constante elástica m

NK 1,628.2 cada uno

están pretensados e imponen fuerzas verticales iguales en A y B,

manteniendo horizontal al eje AB mientras el avión viaja en

trayectoria recta. El disco posee una masa Kgm 4536,0 y se

considera delgado.

DETERMINAR:

1) ¿A cuántas revoluciones del disco el sistema entra en

resonancia?, frecuencia natural, período y amortiguamiento

crítico cC del sistema.


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- 3 -

DATOS: m

NKK BDAC 1,628.2

KgmDISCO 4536,0

Disco se considera delgado.

m

Kn

Kg

m

seg

mKg

n4536,0

2,256.52

seg

radn 646,107

En revoluciones por minuto rpmn 943,1027

Por lo tanto el sistema entra en resonancia cuando rpmnf 943,027.1

Frecuencia Natural:

2

nnf

2

646,107

seg

rad

fn

seg

radfn 132,17

Período:

n

T

2

seg

radT

646,107

2 segT 058,0

Amortiguamiento Crítico cC del sistema: mKCc 2


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- 4 -

nc mC 2

seg

radKgCc 646,1074536,02

seg

KgCc 656,97

2) En las condiciones del punto 1 ¿De qué amortiguamiento

(C ) deberá dotarse al sistema si se deseara disminuir la

amplitud de las oscilaciones libres a una razón de 3

1 por

ciclo? Calcular el decrecimiento logarítmico ( ) y la

frecuencia circular natural reducida ( ).

2

1ln2

Y

Y

T

mC

1

1

31

ln2

Y

Y

T

mC 3ln

2

T

mC (A)

Donde:

2T (B) ;

2

2

m

C

m

K (D)

Siendo T el pseudo período y la frecuencia circular natural reducida.

Reemplazando (A) en (D):

2

2

3ln)2(

m

T

m

m

K

23ln

Tm

K

De (B) obtengo que: T

2 (E), ahora reemplazando (E) en la última expresión queda:


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- 5 -

23ln2

Tm

K

T

223ln2

Tm

K

T

m

K

TT

22

3ln2

m

K

T

22

23ln2

1

m

KT

222 )3(ln)2(

m

KT

22 )3(ln)2(

)(4536,0

2,5256

)3(ln)2(

2

22

Kg

m

seg

mKg

T

segT 059,0

Obtenido el pseudo período y reemplazando en (A) se obtiene el amortiguamiento C :

3ln2

T

mC 3ln

)(059,0

)(4536,02

seg

KgC

seg

KgC 892,16

Decrecimiento logarítmico ( ):

Tm

C

Y

Y

2ln

2

1

segKg

seg

Kg

059,04536,02

892,16

3ln

098,1

Luego calculamos la frecuencia natural reducida ( ):


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- 6 -

T

2

)(059,0

2

seg

seg

rad494,106

3) En el esquema de la figura, si rpm000.101 , determinar

a) el ángulo que rotará la horquilla cuando el avión ejecuta

un giro horizontal hacia la derecha con un radio de m8,304 a

una velocidad de h

Km6,643 y

b) la energía cinética del disco.


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- 7 -

R GIRO = 304.8 (m)

VC

DATOS:

rpmDISCO 000.10 1 60

000.1021

seg

rad197,047.11

seg

rad0;197,047.1;01

seg

radiii )'(0)'(197,1047)'(0 3211

(Radio de giro del avión) mRG 8,304


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- 8 -

(Velocidad del avión) )(3600

)(1

)(1

)(10006,643

seg

h

Km

m

h

KmV

seg

mV 777,178

seg

miV )'(777,178 1

Ahora calculamos el valor que tiene 2 :

?2

Sabemos que: GRV 2

GR

V2

)(8,304

777,178

2m

seg

m

seg

rad586,02

seg

rad586,0;0;02

seg

radiii )'(586,0)'(0)'(0 3212

Cálculo del momento giroscópico:

12'2'21 IMo

Donde '2'2I (es el ZZI de la tabla) queda:

Rm2

1 2

DISCO'2'2 I (m) 0,05080,4536(Kg)2

1

2

'2'2 I

2

'2'2 000585,0 mKgI


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- 9 -

Reemplazando valores en la ecuación, obtenemos el valor del momento giroscopio:

seg

radiimKgMo )'(197,1047)'(586,0000585,0 23

2

1

2

2

1

2

1seg

rad '657,613m Kg0,000585 iMo

obteniendose como resultado:

mNiM o )'(358,0 11

Sabiendo que 21 RR FF y

2

1

2

1

KF

KF

R

R y haciendo sumatoria de momentos con

respecto al punto “o”, queda:

)(762,0)(762,0211 mFmFM RRo

reemplazando 21 RR FF :

)(762,0)(762,0111 mFmFM RRo

)(524,1)(358,01

mFmN R

de acá obtenemos el valor de la fuerza:

)(524,1

)(358,01 m

mNFR

)(234,0

1NFR

Sabemos que:

m

N

N

K

FKF

R

R

1,2628

)(234,0111

1

1

)(000089,01 m

Ahora hallamos el ángulo de giro


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- 10 -

)(762,0

)(000089,0

m

mtg ''' 09,2400

En radianes )(101679,1 4 Rad

Cálculo de la energía cinética del disco:

3

21

)(2

1

2

111

2

1

2

11

e

GoTo

e

To

e

oGo rVmIVme

Donde:

* El primer sumando, es la energía cinética de arrastre o de traslación y es la que tendría el sistema en el supuesto que toda la masa estuviera concentrada en el centro de reducción, siendo generada por la velocidad de este último, que en nuestro caso es la velocidad del avión.

* El segundo sumando, se le da el nombre de energía cinética relativa o de rotación y está originada por el movimiento relativo del disco respecto del centro de reducción.

* Finalmente, el tercer sumando recibe el nombre de fuerza viva compuesta y su valor depende del centro de reducción. Esta energía, en nuestro caso, es nula ya que se ha tomado como centro de reducción al baricentro G del sistema.


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- 11 -

Calculamos 1e :

2

1

2

11 777,1784536,02

1

2

1

seg

mKgeVme o

)(803,72481 Joulese

seg

rad

seg

rad

tgtg

197,1047

586,0

1

2

``42,551̀0

Donde 1oI = ''2''2I (girado un ángulo ) mnjnimij ICCI `

'3'32323'2'32223'1'32123'3'22322'2'22222

'1'22122'3'12321'2'12221'1'12121''2''2o1I

ICCICCICCICCICC

ICCICCICCICCI

'1'3

'1'2

'1'1

I

I

I

'2'3

'2'2

'2'1

I

I

I

'3'3

'3'2

'3'1

I

I

I

=

0

0

'1'1I

0

0

'2'2I

'3'3

0

0

I

De tabla obtengo

2

'2'2

2

'3'3'1'1

2

1

4

1

DISCO

DISCO

RmI

RmII


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- 12 -

Pero nosotros necesitamos el momento de inercia respecto del eje de giro instantáneo 1oI

1oI = ''2''2I = '3'32323'2'22222'1'12121 ICCICCICC

Donde C son los cósenos directores:

Sentido antihorario:

000559,0)90cos(

999,0cos

090cos

2323

2222

2121

CC

CC

CC

Obtenidos los cósenos directores puedo calcular 1oI :

22

2222

1

)(0508,0)(4536,04

1)000559,0(

)(508,0)(4536,02

1)999,0(

4

1)0(

mKg

mKgRmI DISCOo

)(0005841,0 2

1 mKgI o

Ahora calculamos 2e :

2

122

1ToIe 22

21

2

12 (2

1 oIe


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- 13 -

)(2

12

21

2

12 oIe

2

2222

2 )586,0()197,1047()(0005841,02

1

seg

radmKge

)(268,3202 Joulese

Por lo tanto la energía cinética total del sistema será:

Jouleseeee 268,320803,724821

)(071,7569 Joulese

4) Encontrar el invariante vectorial, escalar y el tipo de

movimiento para las condiciones del punto 3. Expresar la

velocidad y aceleración de un punto P genérico del disco

utilizando los métodos de movimiento relativo y movimiento

absoluto para comparar resultado. Hallar la aceleración

angular del disco.

Invariante vectorial:

El vector rotación T es la resultante de todas las rotaciones que afectan al sistema y esa

resultante será la misma cualquiera sea el centro de reducción adoptado; por esta razón se lo

suele llamar “invariante vectorial del sistema”.

n

i

iT

1

21 T

seg

radiiiT '586,0'197,047.1'0 321

Invariante escalar:

Los vectores velocidad de un sistema material rígido proyectados en un determinado instante

sobre la dirección del vector rotación, son una constante que recibe el nombre de “invariante

escalar”, y viene dado por:


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- 14 -

ˆ1 oV

Si

ainstantáneRotación de Mov.

Rotación) de eje del punto es 1 (Rotación de Mov.00

1

1

oT

o

V

oV

En nuestro caso 0 debido a que las rotaciones son concurrentes, por lo tanto tenemos

como resultado un movimiento de rotación instantánea.

Los invariantes vectorial y escalar son de gran importancia ya que nos definen el tipo de movimiento.

Cálculo de la velocidad y aceleración de P:

POR EL METODO ABSOLUTO:

Utilizamos la forma impropia de la ley de distribución de velocidades, la cual viene dada por la siguiente expresión:

poTop rVV 11 siendo:

P. a o1 desdeposición Vector =

. vectorialInvariante =

reducción. de centro del Veloc.

P. pto. del Veloc.

1

1

po

T

o

p

r

V

V

en este caso 1oV es la velocidad del avión

seg

miVo )'(777,178 11

seg

radiiiTT '586,0'197,047.1'0 32121

'cos'0' 3211 iRiisenRr DISCODISCOpo


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- 15 -

seg

miiseniir poT 'cos0508,0'0508,0'586,0'197,047.1 31321

seg

misenisenir poT '197,53'029768,0'cos197,53 3211

seg

miseniseniVp '197,53'029768,0'cos197,53777,178 321

ahora calculamos la aceleración de P utilizando la forma impropia de la ley de distribución de

aceleraciones, la cual viene dada por la siguiente expresión:

poTTpoDISCOop rraa 111

siendo:

. vectorialInvariante

P. a o1 desdeposición Vector

disco. delangular n Aceleració

reducción. de centro deln Aceleració

P. pto. deln Aceleració

1

1

T

po

DISCO

o

p

r

a

a

Calculo de 1oa :

m

seg

m

aR

Va o

G

o

o8,304

777,1782

22

1

2

1

1


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- 16 -

21 859,104seg

mao

221 '859,104seg

miao

Calculo de la aceleración angular del disco:

dt

d TDISCO

dt

dDISCO

21

dt

id

dt

idDISCO

'' 3221

dt

idi

dt

d

dt

idi

dt

dDISCO

''

'' 3

2322

121

dt

idDISCO

'21

Aplicando las fórmulas de Poisson:

'

'22

2 idt

id

seg

radii

dt

id'1'586,0

'23

2

seg

radiii

dt

id'0'0'586,0

'321

2

seg

radiiiDISCO '0'0'586,0 3211

seg

radiii

seg

radDISCO '0'0'586,0197,047.1 321

21 '657,613seg

radiDISCO

Obtenida DISCO , calculamos:

2311 'cos0508,0'0508,0'657,613

seg

miiseniropDISCO


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- 17 -

2321 '0'cos173,31'0

seg

miiiropDISCO

siguiendo con los cálculos,

seg

miiseniir poT 'cos0508,0'0508,0'586,0'197,047.1 31321

seg

miisenir poT '197,53'029768,0'cos197,53 3211

luego

2321321 '197,53'029768,0'cos197,53'586,0'197,047.1

seg

miiseniiir poTT

23211 'cos738,707.55'cos173,31'756,707.55

seg

miiisenr poTT

Reemplazando todos los resultados anteriormente obtenidos en la ecuación de la ley de

distribución de aceleraciones hallamos pa :

'0'cos173,31'0'859,104 3212 iiiiap

2321 'cos738,707.55'cos173,31'756,707.55

seg

miiisen

2321 'cos738,707.55'cos346,62859,104'756,707.55

seg

miiisena p

POR EL METODO RELATIVO:

En este caso la velocidad de P viene dada por la siguiente expresión:

parrprelp VVV ..


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- 18 -

Siendo:

.“arrastra” lo ternala que

a debido cuerpo el tieneque la esy arrastre de velocidadla es

quieta. esta móvil

ternala que como tomase decir, es ,únicamente con girando

esta disco el que suponiendo saca sey relativa velocidadla es

.

1

.

parr

prel

V

V

poprel rV 11.

seg

miiseniV prel 'cos0508,0'0508,0'197,047.1 312.

seg

miseniiV prel '197.53'0'cos197,53 321.

Ahora para calcular la parrV . nuevamente utilizamos la forma impropia de la ley de distribución

de velocidades:

pooparr rVV 121.

Donde 1oV es la velocidad del avión

seg

miVo )'(777,178 11

seg

miisenir po 'cos0508,0'0508,0'586,0 31312

seg

miisenir po '0'029768,0'0 32112


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- 19 -

seg

miiseniV parr '0'029768,0'777,178 321.

Luego

parrprelp VVV ..

seg

miiseniiseniiVp '0'029768,0'777,178'197.53'0'cos197,53 321321

seg

miseniseniVp '197.53'029768,0'cos197,53777,178 321

Como se puede apreciar, los resultados obtenidos por el método absoluto son iguales a los

obtenidos por el método relativo.

Para el cálculo de la aceleración utilizamos la siguiente expresión:

pcomparrprelp aaaa ...

Siendo:

.1en origen con ambos ,giratorios

',',',0 otros dey giratorios no ,,,0 ejes

unos departir a calculado fuera si como P den aceleracioen

diferencia la representay movil ternala derotacion lapor

aparece Coriolis, de o ariacomplementn aceleracio la es

. movil ternalapor arrastrado fuese este si como P pto. del

naceleracio la decir, es P, de arrastre den aceleracio la es

quieta. estuviese movil ternala si como P de

n aceleracio la decir, es P, de relativan aceleracio la es

321321

.

.

.

o

iiiiii

a

a

a

pcom

parr

prel

De la expresión anterior tenemos que:

poporeloprel rraa 11111..1.

Donde:


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- 20 -

11111..1 ooooorelo rraa

Pero como el punto 1o es el centro de reducción 0..1 reloa y 01 ya que .1 cte

De esta manera la prela . queda:

poprel ra 111.

seg

miisenir po 'cos0508,0'0508,0'197,047.1 31211

seg

miseniir po '197,53'0'cos197,53 32111

23212. '197,53'0'cos197,53'197,047.1

seg

miseniiia prel

2321. 'cos738,707.55'0'738,707.55

seg

miiisena prel

popooparr rraa 122121.

Donde 02 y 1oa se calcula de la siguiente manera:

m

seg

m

aR

Va o

G

o

o8,304

777,1782

22

1

2

1

1

21 859,104seg

mao

221 '859,104seg

miao

seg

miisenir po 'cos0508,0'0508,0'586,0 31312

seg

miisenir po '0'029768,0'0 32112


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- 21 -

2232. '029768,0'586,0'859,104

seg

miseniia parr

2321. '0'859,104'017444,0

seg

miiisena parr

prelpcom Va .2. 2

2313. '197,53'cos197,53'586,02

seg

miseniia pcom

2321. '0'cos346,62'0

seg

miiia pcom

Ahora sumando las tres aceleraciones obtenidas:

pcomparrprelp aaaa ...

2321 'cos738,707.55'0'738,707.55

seg

miiisenap

2321 '0'859,104'017444,0

seg

miiisen

2321 '0'cos346,62'0

seg

miii

Ordenando:

2321 'cos738,707.55'cos346,62859,104'755,707.55

seg

miiisena p

Nuevamente se puede apreciar que los resultados obtenidos por el método absoluto son

iguales a los obtenidos por el método relativo.


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- 22 -

PROBLEMA 2: (Teoría especial de la relatividad)

En un marco de referencia inercial S , se hacen las siguientes

observaciones:

1) En el origen, el ingeniero de producción entrega a un tornero el

plano de una pieza muy complicada para ser torneada, momento en

el que activa su cronómetro.

2) 10 segundos más tarde, el tornero requiere una instrucción,

en )(109 8 mx .

El gerente de producción observa los acontecimientos desde el origen

de otro marco de referencia inercial S , que se desplaza a una

velocidad de c98,0 .

CALCULAR:

a) El factor relativista .

b) Las coordenadas de los dos sucesos es S .

c) Las coordenadas de espacio y tiempo de estos sucesos en el

marco del gerente.


Lucas Garcia 2010

- 23 -

Cálculo del factor relativista :

2

2

1

1

c

v

2

2298,01

1

c

c

025,5

Las coordenadas de los dos sucesos en el marco S serán:

mxsegt

xt

8109,10 :2 Suceso el Para

0,0 :1 Suceso el Para

Para saber las coordenadas de los sucesos en S se utilizan las leyes de transformación de

Lorentz, en las cuales reemplazo los valores correspondientes al marco S :

Lorentz deción Transforma

2

c

vxtt

vtxx


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- 24 -

Para el Suceso 1, reemplazamos en las ecuaciones anteriores 0,0 xt

sabemos que cv 98,0 , donde

km

m

seg

kmc

1

1000000.300

seg

mc 8103

vtxx

010398,00025,5 8

seg

mx

0x

2c

vxtt

2

8

8

103

010398,0

0025,5

seg

m

seg

m

t

0t


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- 25 -

Para el Suceso 2, reemplazamos en las ecuaciones de Lorentz segt 10 , mx 8109

vtxx

seg

seg

mmx 1010398,0109025,5 88

mx 10100251,1

2c

vxtt

2

8

88

103

10910398,0

10025,5

seg

m

mseg

m

segt

segt 4765,35

Software utilizados

Microsoft Office Word 2003.

AutoCad 2006

Microsoft Paint.

Bibliografía

Monografía de la cátedra, Mecánica Racional, Prof. Dr. Ing. Liberto Ercoli, 2006.

Trabajo Final Lucas Garcia

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