Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería...

Trabajo Fin de GradoGrado en Ingeniería Aeroespacial

Diseño de Transferencia Óptimascon Cambio de Plano

Autor: Álvaro Joaquín Rodríguez Hidalgo

Tutor: Rafael Vázquez Valenzuela

Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de FluidosEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2014

Trabajo Fin de GradoGrado en Ingeniería Aeroespacial

Diseño de Transferencia Óptimascon Cambio de Plano

Autor:

Álvaro Joaquín Rodríguez Hidalgo

Tutor:

Rafael Vázquez ValenzuelaProfesor Titular

Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de FluidosEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de SevillaSevilla, 2014

Trabajo Fin de Grado: Diseño de Transferencia Óptimascon Cambio de Plano

Autor: Álvaro Joaquín Rodríguez HidalgoTutor: Rafael Vázquez Valenzuela

El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores:

Presidente:

Vocal/es:

Secretario:

acuerdan otorgarle la calificación de:

El Secretario del Tribunal

Fecha:

Indice

1. Introduccion 9

2. Transferencia de Hohmann 13

2.1. Analisis Coplanar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Analisis No Coplanar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Cambio de Plano en el 2o Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2. Cambio de Plano Repartido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2.1. Estudio de la Distribucion del Cambio de Plano . . . . . . . . . . . 17

2.2.2.2. Comprobacion de los Mınimos. Estudio de la Derivada Segunda . . 21

2.2.2.3. Ahorro en Terminos de Incremento de Velocidad . . . . . . . . . . . 24

2.2.2.4. Estudio de Casos Practicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Transferencia de Hohmann entre Orbitas Elıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Transferencia Bielıptica 41

3.1. Analisis Coplanar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1. Comparacion con la Transferencia de Hohmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2. Analisis No Coplanar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.1. Cambio de Plano en el 2o Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2. Cambio de Plano Repartido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.2.1. Estudio de la Distribucion del Cambio de Plano . . . . . . . . . . . 50

3.2.2.2. Comprobacion de los Mınimos. Estudio de la Derivada Segunda . . 62

3.2.2.3. Ahorro en Terminos de Incremento de Velocidad . . . . . . . . . . . 66

3.2.2.4. Estudio de Casos Practicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. Conclusiones 76

7

1. Introduccion

1. Introduccion

En el vuelo espacial, las maniobras tienen una importancia capital porque permiten a los vehıcu-los espaciales llegar a la orbita de destino de su mision mediante ciertos cambios de orbita [5].Cuando las orbitas inicial y final se cortan en algun punto, el cambio de orbita se puede realizarcon un unico impulso ∆V que se efectua en el punto de corte de las mismas. Sin embargo, cuandolas orbitas no tienen ningun punto en comun, para realizar el cambio de orbita hay que pasar poruna o varias orbitas intermedias. Este ultimo tipo de maniobras se denominan transferencias. Lastransferencias que mas se utilizan en la practica son las de Hohmann, con dos impulsos y una orbitade transferencia elıptica (que se suele conocer como elipse de Hohmann); y las bielıpticas, en lasque se realizan tres impulsos y se pasa por dos orbitas elıpticas de transferencia.

En general, en las misiones reales no es posible alcanzar la orbita objetivo directamente desdeel lanzamiento, por lo que es necesario realizar maniobras. Ademas, debido al efecto de las per-turbaciones, las orbitas se degradan con el tiempo y es necesario corregirlas mediante maniobras.De esta forma, la mayor parte de las misiones que se llevan a cabo utilizan las maniobras orbitalespara pasar de una orbita a otra.

En el estudio de las maniobras orbitales es esencial conocer en profundidad la propulsion delvehıculo para poder simular con una cierta precision el modo en el que se realizan los impulsos [11].Los vehıculos espaciales que se emplean actualmente en las misiones espaciales pueden contar condistintos tipos de propulsion. Los principales son los siguientes:

Motores cohete de combustible solido o lıquido: es lo mas utilizado tradicionalmente.La prin-cipal diferencia que presentan en su uso es que el de combustible solido no puede apagarseuna vez que se ha iniciado la combustion y hay que esperar hasta que se consuma la etapacompleta. En el de combustible lıquido se puede controlar la cantidad de propelente que seintroduce en la camara de combustion y esto permite variar el impulso que se va a conseguir.Muchas veces se utilizan motores cohete con una combinacion de combustible solido y lıquido.

Motores de propulsion continua: este grupo aglutina diversas tecnologıas que son menos utili-zadas, estando algunas de ellas en desarrollo actualmente. Dentro de este grupo encontramoslos motores cohete electrostaticos, como pueden ser los propulsores ionicos; los motores coheteelectromagneticos o las velas solares.

A lo largo de este trabajo se va a analizar el caso de un vehıculo con motores cohete de com-bustible solido, lıquido, o hıbrido. Ademas se va a trabajar con la hipotesis de que el tiempo decombustion de los cohetes es mucho menor que el periodo orbital del vehıculo. Esto nos llevara aconsiderar la propulsion como un impulso instantaneo ∆V .

Asimismo, nos centraremos en el estudio de las transferencias, tanto la de Hohmann comola bielıptica. Walter Hohmann fue un ingeniero y arquitecto aleman que en la decada de 1910 seempezo a interesar en el viaje espacial. En esa epoca Hohmann escribio un artıculo sobre las posiblestrayectorias de vuelo que se podıan utilizar para desplazarse de la Tierra a Marte y a Venus, ydescubrio, que de todas las posibles trayectorias habıa una que requerıa el mınimo gasto energetico.Dicha trayectoria era la que necesitaba menores impulsos y por tanto, menor cantidad de cargade combustible. Esta trayectoria estaba formada por lo que hoy se conoce como transferencia deHohmann.

9

Hohmann termino su obra en 1916 pero debido a la Primera Guerra Mundial se vio obligadoa retrasar su publicacion. En torno al ano 1924 Hohmann volvio a retomar el problema del viajeespacial a Marte con la transferencia de mınima energıa y finalmente publico su trabajo ’Theattainability of celestial bodies’ en 1925. Esta fue una version revisada de su obra original a laque anadio las pautas para realizar una mision tripulada a Marte. Una traduccion al ingles de estetrabajo se pude encontrar en [6].

En este libro Hohmann considero muchas trayectorias de vuelo, especialmente aquellas queeran tangente a una de las orbitas de los planetas, pero no a la segunda. A pesar de ello latransferencia de Hohmann optima es tangente en ambas orbitas en sus respectivos perihelio yafelio. Curiosamente, en las misiones reales para ir a una orbita exterior del sistema solar no sesuele utilizar la transferencia optima, sino una que es tangente a la orbita inicial y que alcanzala orbita final antes de llegar a su afelio. De esta forma se pierde eficiencia pero el tiempo detransferencia se reduce.

Pasaron algunos anos antes de que ciertos paıses empezaran a mostrar interes por el estudio delos vuelos espaciales. El primero de ellos fue Alemania, aunque poco despues tambien empezarona desarrollarse estudios en Estados Unidos y Rusia.

El concepto de transferencia bielıptica surgio varios anos despues de la publicacion de los tra-bajos de Hohmann, concretamente en 1934. Las primeras publicaciones sobre esta transferencia seatribuyen a Ary Abramovich Sternfeld. Sternfeld fue un ingeniero judıo de origen polaco que seeduco en Francia y se convirtio en parte importante de la ciencia aeroespacial moderna. Aunqueinicialmente desarrollo sus estudios en Francia, a partir de 1935 trabajo en Moscu. Las primerasreferencias a la transferencia bielıptica aparecen en sus publicaciones que podemos encontrar en[10].

En este trabajo se van a estudiar en profundidad estas dos transferencias. Vamos a analizar elcaso en el que los planos de las orbitas inicial y final son el mismo y el caso en el que los planosde las orbitas forman un cierto angulo ∆i. Calcularemos el coste en terminos de incremento develocidad y estudiaremos la forma optima de repartir el cambio de plano entre los impulsos, los dosen el caso de Hohmann, y tres en el caso de la bielıptica.

Desde que se empezo a estudiar las posibilidades del vuelo espacial siempre se ha buscadola forma mas eficiente de llevarlo a cabo. Uno de los puntos mas importantes de las misionesespaciales es el lanzamiento, por lo que hay que tener muy presentes las capacidades limitadas delos vehıculos lanzadores. Una disminucion del peso de la carga de pago facilita el lanzamiento delvehıculo y ademas disminuye su coste economico. Hay diferentes formas para conseguir disminuirel peso del vehıculo espacial que se vaya a utilizar en una cierta mision:

Lo primero que hay que intentar conseguir es que todos los sistemas del vehıculo espacial seanlo mas compactos y ligeros posible, al mismo tiempo que cumplan con todos los requisitosnecesarios para la mision.

Otra caracterıstica que repercute notablemente en el peso final del vehıculo es la estructuradel mismo. Esta estructura tiene que ser capaz de soportar las cargas que se producen duranteel lanzamiento. Para cumplir estos requisitos y que el peso sea el mınimo se tendra que disenarla forma de la estructura y se tendran que elegir los materiales adecuados.

Por ultimo, en los casos de vehıculos propulsados por motores cohete de combustible solido o

10

1. Introduccion

lıquido, la cantidad de combustible necesaria para llevar a cabo la mision supone un aumentoimportante del peso del vehıculo.

Un aspecto muy importante para las misiones reales es conocer cual es la forma optima derepartir el cambio de plano y poder analizar la diferencia entre el coste de la transferencia cuandose reparte el cambio de plano, o cuando todo el cambio de plano se realiza en un unico impulso.Si se consigue disminuir el valor de los incrementos de velocidad que tenemos que aplicar, esto setraduce directamente en un ahorro de combustible y, por tanto economico. Otro punto de vista serıael pensar que con la misma cantidad de combustible, y por tanto el mismo coste economico vamosa ser capaces de realizar mas maniobras, lo que aumenta mucho las posibilidades de la mision.Ademas, como hemos visto antes, una disminucion del peso facilita el lanzamiento y disminuye elcoste economico del mismo.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, los principales objetivos de este trabajo son:

Analizar la transferencia de Hohmann, primero el caso coplanar y despues con cambio deplano. Para ello, abordaremos los siguientes objetivos especıficos:

• Calcular el reparto de cambio de plano optimo entre los dos impulsos y hacer un estudiodel coste comparando ambos casos. Analizar algunas transferencias que se pueden utilizaren la practica para ver el ahorro que se puede llegar a conseguir y si merece la penarepartir el cambio de plano.

• Estudiar un caso particular de la transferencia de Hohmann entre orbitas elıpticas ycomprobar si se cumple la regla de optimalidad.

Realizar un analisis parecido para el caso de la transferencia bielıptica, estudiando primeroel caso coplanar y despues el caso con cambio de plano. Para ello se abordaran los siguientesobjetivos especıficos:

• Calcular el reparto del cambio de plano optimo entre los tres impulsos y ver las diferenciasentre los casos con el cambio de plano repartido y haciendo todo el cambio de plano enuno de los impulsos.

• Analizar para esta transferencia los mismos casos practicos de la transferencia de Hoh-mann.

Comparar los resultados obtenidos para los casos de la transferencia de Hohmann y la bielıpti-ca, viendo como cambia el reparto del cambio de plano y en cual de los dos el ahorro que sepuede llegar a conseguir en los impulsos al repartir el cambio de plano es mayor.

Para alcanzar estos objetivos haremos uso de la herramienta de software matematico Matlab.Para calcular el reparto de cambio de plano optimo se tendra que buscar el mınimo de la funciondel coste de la transferencia. En el caso de Hohmann se obtendra una ecuacion no lineal queresolveremos con la funcion ’fzero’. Para la transferencia bielıptica, como el cambio de plano sereparte entre tres impulsos se obtendra un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incognitasy para resolverlo utilizaremos la funcion de Matlab ’fsolve’.

11

Posteriormente se comprobara si los resultados son correctos, por lo que tendremos que calcularla derivada segunda y comprobar que al sustituir los valores que hemos obtenido es positiva en todoslos casos. Para la transferencia bielıptica se tendra que calcular la Matriz Hessiana y comprobarque el determinante es positivo y que la primera componente es positiva para los casos estudiados.

El trabajo esta estructurado en cuatro capıtulos. Tras la introduccion, primero se estudia latransferencia de Hohmann, que es mas simple por contar con una unica orbita de transferencia, ydespues la transferencia bielıptica.

La transferencia de Hohmann se aborda en el segundo capıtulo. Primero estudiamos el casocoplanar y despues el caso con cambio de plano. Una vez que conocemos el reparto del cambiode plano optimo se comprueba que los mınimos que se han obtenido son correctos. Despues seestudia el coste de la transferencia con el cambio de plano repartido de forma optima y se terminaanalizando algunos casos practicos. Al final de este capıtulo veremos la transferencia de Hohmannentre orbitas elıpticas tanto coplanar como con cambio de plano. Este caso se estudia con menosdetalle porque es menos importante al no utilizarse tanto en la practica.

En el tercer capıtulo hacemos un trabajo analogo con la transferencia bielıptica. Se empiezaestudiando el caso coplanar, que es el mas sencillo. Despues calculamos el reparto del cambio deplano optimo y se comprueba que los mınimos obtenidos son correctos. Para terminar analizamoslos costes de la transferencia con el cambio de plano repartido y estudiamos los mismos casospracticos que en la transferencia de Hohmann.

Finalmente, en el cuarto capıtulo se describen las conclusiones obtenidas en el trabajo ası comolas lıneas futuras de investigacion en esta tematica.

12

2. Transferencia de Hohmann


Dada una orbita circular inicial con un radio ri y una orbita circular final de radio rf , latransferencia de Hohmann permite pasar de la orbita inicial a la final a traves de una orbitaelıptica de transferencia tangente a las dos orbitas circulares. Ademas, como explico Hohmann ensu obra original [6] es la transferencia de dos impulsos entre orbitas circulares de mınimo costeenergetico. Se puede consultar una demostracion de este hecho en [9].

Esta transferencia se realiza aplicando un impulso ∆V1 tangente a la trayectoria de la orbitainicial, de forma que sea colineal con el vector velocidad del vehıculo. Este impulso aumenta laenergıa del vehıculo, que pasa a la orbita elıptica de transferencia. Cuando el vehıculo llega alapoapsis de esta orbita de transferencia se le aplica un segundo impulso ∆V2 tambien tangente ala trayectoria de forma que el vehıculo termina orbitando en la orbita circular final. En la figura 1se esquematiza la transferencia.

Como hemos visto en la introduccion, consideramos que los impulsos de velocidad son ins-tantaneos, por lo que la velocidad del vehıculo cambia de forma instantanea pero no ası la posicion.Esto en la practica solo serıa posible si el propulsor del vehıculo le proporcionase un empuje in-finito durante un tiempo infinitesimal. Aunque esta hipotesis es una aproximacion que da buenosresultados, en la realidad, debido a que la maniobra no es infinitesimal, los costes energeticos seranalgo mayores que los calculados.

2.1. Analisis Coplanar

Comenzamos estudiando el caso de una transferencia de Hohmann sin cambio de plano or-bital, de forma que consigamos determinar los impulsos tangenciales (∆V1 y ∆V2) que hay queproporcionar al vehıculo para realizar esta maniobra. Esta transferencia se ilustra en la figura 1.

Figura 1: Transferencia de Hohmann.

El eje mayor de una orbita elıptica viene dada por la siguiente expresion:

13


a =rp + ra

2(2.1)

siendo rp y ra el radio de periapsis y el radio de apoapsis de la orbita respectivamente.

Por tanto, de la figura 1 se deduce:

aH =ri + rf

2(2.2)

Calculamos ahora los impulsos de velocidad, que en el caso coplanar vienen dados por ∆V1 =Vp− Vi y ∆V2 = Vf − Va. Donde Vi y Vf son la velocidad del vehıculo en la orbita circular inicial yfinal, y Vp y Va son las velocidades en el periapsis y apoapsis de la orbita elıptica respectivamente.Las expresiones que definen todas estas velocidades vienen dadas por la ecuacion de las fuerzasvivas (2.3) [2] [13].

V =

√2µ

r− µ

a(2.3)

Vi =

√µ

ri(2.4)

Vf =

√µ

rf(2.5)

Vp =

√2µ

ri− µ

aH(2.6)

Va =

√2µ

rf− µ

aH(2.7)

∆V1 = Vp − Vi =

√2µ

ri− µ

aH−√µ

ri(2.8)

∆V2 = Vf − Va =

√µ

rf−

√2µ

rf− µ

aH(2.9)

Para calcular el coste total de la maniobra en terminos de incremento de velocidad solo habrıaque sumar los dos impulsos. Estas expresiones se pueden adimensionalizar con respecto a la velo-cidad inicial Vi. Para ello definimos el parametro λ =

rfri

, que relaciona los radios final e inicial dela transferencia. De esta forma, en una maniobra con λ > 1, el radio de la orbita final sera mayorque el inicial, mientras que si λ < 1 el radio de la orbita final es menor que el de la inicial.

14


∆V1

Vi=

√2µririµ− 2µriµ(ri + rf )

− 1 =

√2

(1− 1

1 + λ

)− 1 =

√2λ

1 + λ− 1 (2.10)

∆V2

Vi=

√µriµrf−

√2µriµrf

−2µrf

µ(ri + rf )=

√1

λ−

√2

(1

λ− 1

1 + λ

)=

√1

λ−

√2

λ(λ+ 1)(2.11)

∆VTVi

=

√2λ

1 + λ

(1− 1

λ

)+

√1

λ− 1 (2.12)

Esta ultima expresion (2.12) representa el coste total de la transferencia de Hohmann adimen-sionalizado con la velocidad del vehıculo en la orbita circular inicial.

En la figura 2 se representan el coste, en terminos de incrementos de velocidad, de la trans-ferencia de Hohmann coplanar en funcion del parametro λ. Como se observa en esta figura, unade las caracterısticas interesantes de la transferencia de Hohmann es que al aumentar λ, el ∆VT

Vi

alcanza un maximo de 0.536 para λ = 15,58. A partir de este punto va decreciendo hasta alcanzaruna asıntota en ∆VT

Vi=√

2 − 1 con λ → ∞. Este comportamiento se puede deducir de la misma

figura examinando la evolucion de ∆V1Vi

y ∆V2Vi

. La curva de ∆V1Vi

crece con λ y se aproxima a√

2− 1

para λ→∞. Sin embargo, ∆V2Vi

alcanza un maximo de 0.19 en λ = 5,88 y despues decrece hasta 0para λ→∞. Un analisis similar al realizado puede encontrarse en [3].

100

101

102

103

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

λ=rf/r

i[−]

∆v/v

i [−

]

Máx: λ=15.58

Máx: λ=5.88

Figura 2: Coste de la transferencia de Hohmann en funcion de λ.

15

2.2. Analisis No Coplanar


Estudiamos ahora la transferencia de Hohmann con un cambio de plano orbital ∆i. Mientrasque en el caso coplanar los impulsos de la transferencia eran tangentes a la trayectoria, en este casoformaran un cierto angulo (∆i1 y ∆i2 respectivamente) con esta. Esta maniobra es la transferenciade dos impulsos optima para cubrir la transferencia entre orbitas circulares con cambio de plano.En la figura 3 se representa un esquema de esta transferencia.

Figura 3: Transferencia de Hohmann con cambio de plano repartido.

2.2.1. Cambio de Plano en el 2o Impulso

Para minimizar el coste energetico de la transferencia vamos a analizar de que forma hay querepartir el cambio de plano entre los dos impulsos de forma que optimicemos la maniobra. Comoveremos mas adelante, para valores de λ > 1 practicamente todo el cambio de plano se va a realizaren el segundo impulso, por lo que es una buena simplificacion que no penaliza mucho la eficienciade la maniobra.

Dejando todo el cambio de plano para el segundo impulso, el primer impulso sera tangente yse define de la misma forma que en el caso coplanar: ∆V1 = Vp − Vi. Para el segundo impulso nosquedara un triangulo de velocidades como el de la figura siguiente.

Utilizando el teorema del coseno se puede deducir de la figura que el segundo impulso vienedado por:

16


∆V2 =√V 2a + V 2

f − 2VaVf cos(∆i) (2.13)

2.2.2. Cambio de Plano Repartido

2.2.2.1. Estudio de la Distribucion del Cambio de Plano

Ahora vamos a estudiar el caso en el que se reparte el cambio de plano entre los dos impulsos.Tendremos un cambio de plano ∆i1 en el primer impulso y un ∆i2 en el segundo. Siguiendo elmismo razonamiento que antes ambos impulsos vendran dados por las siguientes expresiones:

∆V1 =√V 2p + V 2

i − 2VpVi cos(∆ii) (2.14)

∆V2 =√V 2a + V 2

f − 2VaVf cos(∆i2) (2.15)

siendo ∆i = ∆i1 + ∆i2. El coste total de la maniobra vendra dado por la suma de los dos impulsos.Si ahora adimensionalizamos el impulso total de la maniobra con la velocidad inicial nos queda losiguiente:

∆VTVi

=

√1 +

V 2p

V 2i

− 2VpVi

cos(∆i1) +

√V 2f

V 2i

+V 2a

V 2i

− 2VfVa

V 2i

cos(∆i−∆i1) (2.16)

En esta ultima ecuacion hemos tenido en cuenta que ∆i2 = ∆i−∆i1. Sustituimos las expresionesde las velocidades (2.4-2.7) para que nos quede todo en funcion de λ, ∆i y ∆i1:

∆VTVi

=

√1 +

2λ

1 + λ− 2

√2λ

1 + λcos(∆i1) +

√1

λ+

2

λ(1 + λ)− 2

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

=

√1 + 3λ

1 + λ− 2

√2λ

1 + λcos(∆i1) +

√3 + λ

λ(1 + λ)− 2

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

(2.17)

Para asegurar la maxima eficiencia de la maniobra tenemos que obtener los valores optimosde ∆i1 y ∆i2 que realizamos en el primer y segundo impulso respectivamente. Para ello vamos

17


a calcular el valor de ∆i1 que minimiza el impulso total ∆VT derivando la expresion (2.17) conrespecto a ∆i1 e igualando a cero.

∂(∆VT /Vi)

∂∆i1=

√2λ

1 + λsen(∆i1)√

1 + 3λ

1 + λ− 2

√2λ

1 + λcos(∆i1)

−

1

λ

√2

1 + λsen(∆i−∆i1)√

3 + λ

λ(1 + λ)− 2

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

= 0 (2.18)

Simplificando esta ultima expresion queda:

2λ

1 + λsen2(∆i1)

(3 + λ

λ(1 + λ)− 2

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

)

− 1

λ2

2

1 + λsen2(∆i−∆i1)

(1 + 3λ

1 + λ− 2

√2λ

1 + λcos(∆i1)

)= 0

(2.19)

sen2(∆i1)

(λ(3 + λ)

2− λ

√2(1 + λ) cos(∆i−∆i1)

)− sen2(∆i−∆i1)

(1 + 3λ

2λ−√

2(1 + λ)

λcos(∆i1)

)= 0

(2.20)

Si ahora definimos los siguientes parametros

A =λ(3 + λ)

2B = −λ

√2(1 + λ)

C =1 + 3λ

2λD = −

√2(1 + λ)

λ

podemos escribir la expresion (2.20) como sigue:

sen2(∆i1)(A+B cos(∆i−∆i1))− sen2(∆i−∆i1)(C +D cos(∆i1)) = 0 (2.21)

Una vez que hemos obtenido esta ecuacion no lineal solo tenemos que resolverla. Vamos acalcular mediante metodos numericos el valor de ∆i1 en funcion de λ para varios valores de ∆i.Para ello implementaremos esta funcion en Matlab y con el comando ’fzero’, dados unos valores deλ y ∆i calcularemos ∆i1. Los resultados obtenidos se representan en la figura 4.

Para el caso λ > 1 se observa que el porcentaje de cambio de plano que realizamos en el primerimpulso tiene un maximo que cambia con ∆i, pero que se encuentra entre λ = 1 y λ = 2. Al iraumentando ∆i este maximo tiene un valor menor y se produce para valores de λ mayores (sedesplaza hacia la derecha en la grafica). En todo caso para valores tıpicos de λ como λ ∼ 6,5

18


o λ ∼ 58,8, que se corresponden con las transferencias desde una orbita de aparcamiento cercana ala Tierra (h ∼ 150km) a una orbita geoestacionaria y a la Luna respectivamente, se puede ver queel porcentaje de ∆i que realizamos en el primer impulso es muy inferior al del segundo impulso.De aquı se deduce que la aproximacion que realizamos anteriormente concentrando todo el cambiode plano en el segundo impulso no perjudica en exceso la eficiencia de la maniobra.

Por otro lado, para λ < 1, que es el caso en el que queremos pasar de una orbita circular a otrade un radio menor, vemos que el comportamiento es el opuesto al anterior. Ahora para optimizarla maniobra realizamos la mayor parte del cambio de plano en el primer impulso. Por tanto, paraλ < 1 podrıamos hacer la simplificacion de realizar todo el ∆i en el primer impulso sin que estoafecte mucho a la eficiencia. Ademas, el porcentaje de ∆i1 presenta un mınimo que al aumentar∆i aumenta su valor y se va desplazando hacia valores de λ mas pequenos (el mınimo se desplazahacia la izquierda con ∆i).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

λ=rf/ri[−]

∆i 1[%]

∆i=5º∆i=15º∆i=25º∆i=35º∆i=45º∆i=55º

Figura 4: Porcentaje de cambio de plano que realizamos en el primer impulso.

En la anterior figura, debido a que se ha representado el porcentaje de ∆i1 en vez del valor realde ese cambio de plano, no se aprecia el hecho de que segun la transferencia que realicemos (valorde λ), ∆i1 alcanza un maximo con ∆i. En la figura 5 se representa la variacion de ∆i1 en gradosen funcion de λ para diferentes valores de ∆i. En esta figura se observa que para cada valor de λ, elmaximo de ∆i1 se da para un valor de ∆i distinto. Ademas, tambien es muy interesante comprobarque para que la maniobra sea optima, el mayor cambio de plano que se realiza en el primer impulsono llega a superar los 6o en ningun caso (para cualquier λ y ∆i).

Este hecho se observa claramente en la figura 6, en la que representamos la variacion de ∆i1 engrados frente a ∆i para el caso practico de la transferencia desde una orbita de aparcamiento a unaorbita geoestacionaria (λ ∼ 6,5). En este caso vemos que ∆i1 alcanza un maximo para ∆i = 61,6o.Por este motivo interesara repartir el cambio de plano cuando tengamos un ∆i cercano a este

19


valor. Por ejemplo si hemos realizado un lanzamiento desde Baikonur (con coordenadas geograficas45o57’54”N 63o18’18”E) y por tanto la orbita de aparcamiento tiene una inclinacion i ∼ 45o, estesera uno de los casos en el que mas se note la diferencia entre realizar el cambio de plano repartidoo realizarlo completo en el segundo impulso.

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 30

1

2

3

4

5

6

λ=rf/ri[−]

∆i 1[º]

∆i=5º∆i=15º∆i=25º∆i=35º∆i=45º∆i=55º

Figura 5: Cambio de plano que realizamos en el primer impulso en funcion de λ.

20


0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

∆i [º]

∆i 1

[º]

λ ∼6.5

Figura 6: Cambio de plano que realizamos en el primer impulso frente al cambio de plano totalpara λ = 6,5.

2.2.2.2. Comprobacion de los Mınimos. Estudio de la Derivada Segunda

Antes de continuar estudiando el ahorro en terminos de incremento de velocidad que produceel reparto del cambio de plano entre los dos impulsos se va a analizar la expresion (2.17) y vamosa comprobar que efectivamente lo que hemos obtenido son los valores de ∆i1 que minimizan lafuncion. Primero vamos a representar ∆VT

Vien funcion de ∆i1 y para unos valores fijados de λ y de

∆i.

Del mismo modo que antes hemos tomado como ejemplo un caso practico que se pueda dar enla realidad fijando λ = 6,5 y ∆i = 45o. Los resultados se representan en la figura 7. Como era deesperar, en la grafica superior se observa que la expresion (2.17) es una funcion armonica, y paranuestro problema nos interesa el mınimo que se alcanza en las proximidades de cero, ya que es launica solucion que tiene sentido.

En la grafica inferior se representa con mas detalle el punto en el que se alcanza el mınimo. Elvalor exacto del mınimo es ∆i1 = 2,68o. Ahora podemos comprobar si este valor coincide con loobtuvimos anteriormente. De la figura 4, con λ = 6,5 y ∆i = 45o obtenemos que ∆i1 es un 5.972 %de ∆i, y por tanto ∆i1 = 5,972/100 · 45 = 2,68o. Por tanto, concluimos que efectivamente lo queestabamos calculando era el mınimo de la funcion.

Para dotar de un mayor rigor matematico a este resultado vamos a comprobar de otra forma quelo que estamos obteniendo son mınimos globales. En este caso vamos a garantizar que la derivadasegunda de la funcion (2.17) con respecto a ∆i1 sea positiva. Entonces tenemos que derivar laexpresion (2.18) con respecto a ∆i1.

21


−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 10000.5

1

1.5

2

2.5

3

∆ i1

[º]

∆v/

vi

λ = 6.5; ∆i = 45º

−10 0 10 20 30 40 50 60 70 800

1

2

3

∆ i1

[º]

∆v/

vi

Figura 7: Incremento de velocidad adimensional en funcion de ∆i1.

∂2(∆VT /Vi)

∂∆i2i=

√2λ

1 + λcos(∆i1)

√1 + 3λ

1 + λ− 2

√2λ

1 + λcos(∆i1)

1 + 3λ

1 + λ− 2

√2λ

1 + λcos(∆i1)

−

2λ

1 + λsen2(∆i1)

(√1 + 3λ

1 + λ− 2

√2λ

1 + λcos(∆i1)

)− 12

1 + 3λ

1 + λ− 2

√2λ

1 + λcos(∆i1)

+

1

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

√3 + λ

λ(1 + λ)− 2

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

3 + λ

λ(1 + λ)− 2

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

−

2

λ2(1 + λ)sen2(∆i−∆i1)

(3 + λ

λ(1 + λ)− 2

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

)− 12

3 + λ

λ(1 + λ)− 2

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

(2.22)

Simplificando esta expresion nos queda:

22


∂2(∆VT /Vi)

∂∆i2i=

√2λ

1 + λcos(∆i1)√

1 + 3λ

1 + λ− 2

√2λ

1 + λcos(∆i1)

−

2λ

1 + λsen2(∆i1)(

1 + 3λ

1 + λ− 2

√2λ

1 + λcos(∆i1)

) 32

+

1

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)√

3 + λ

λ(1 + λ)− 2

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

−

2

λ2(1 + λ)sen2(∆i−∆i1)(

3 + λ

λ(1 + λ)− 2

λ

√2

1 + λcos(∆i−∆i1)

) 32

(2.23)

Una vez llegados a este punto solo tenemos que sustituir en la ecuacion (2.23) los valores queobtuvimos de ∆i1 en funcion de λ y ∆i y comprobar que todos son mayores que cero. Los resultadosse muestran en la figura 8 y con ellos podemos confirmar definitivamente que los mınimos de lafuncion ∆VT /Vi estan bien calculados.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

10

20

30

40

50

60

λ=rf/ri[−]

∆i=5º∆i=15º∆i=25º∆i=35º∆i=45º∆i=55º

Figura 8: Derivada segunda del incremento de velocidad adimensional con respecto a ∆i1.

23


2.2.2.3. Ahorro en Terminos de Incremento de Velocidad

A partir de ahora nos centraremos en analizar el impacto que tiene el hecho de repartir el cambiode plano de forma optima entre los dos impulsos de la transferencia de Hohmann. Estudiaremos elahorro que conseguimos en terminos de incremento de velocidad y veremos para que maniobras (λ,∆i) conseguimos un mayor beneficio si se decide repartir el cambio de plano en vez de realizarlocompleto en el segundo impulso (caso de λ > 1) o en el primero (caso de λ < 1).

Empezamos estudiando la diferencia que se obtiene en el incremento de velocidad adimensionaltotal ∆VT /Vi para la transferencia con el cambio de plano repartido y realizando el cambio de planoen el segundo impulso. Vamos a representar los resultados que obtenemos en funcion de λ y paravarios valores del cambio de plano ∆i.

Como se puede ver en las figuras 9 y 10 se realiza esta comparativa para el caso de ∆i = 5o. Laprimera es para λ < 1 y la segunda para λ > 1. Para este valor de ∆i la diferencia entre realizar lamaniobra de una forma u otra es muy pequena. En las graficas la diferencia apenas es apreciable.Esto tiene sentido ya que a pesar de que en la figura 4 vimos que cuando se repartıa un mayorporcentaje del cambio de plano es para ∆i pequenos, en la figura 5 se aprecia que a pesar de sermayor en porcentaje, al final solo llegabamos a hacer algo mas de 2o como maximo en el primerimpulso, un valor pequeno comparado con maniobras con un cambio de plano mayor.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

λ=rf/r

i[−]

∆v/

vi [−

]

∆i=5º

Cambio de inclinación repartidoCambio de inclinación en el primer impulso

Figura 9: Comparativa en terminos de incremento de velocidad al hacer el cambio de plano en elsegundo impulso o repartirlo. λ < 1.

24


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

λ=rf/r

i[−]

∆v/

vi [−

]∆i=5º

Cambio de inclinación repartidoCambio de inclinación en el 2º impulso

Figura 10: Comparativa en terminos de incremento de velocidad al hacer el cambio de plano en elsegundo impulso o repartirlo. λ > 1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.003

0.006

0.009

0.012

0.015

λ=rf/r

i[−]

∆v 0/v

i−∆

v/vi

[−

]

∆i=5º

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

λ=rf/r

i[−]

∆v 0/v

i−∆

v/vi

[−

]

∆i=5º

Figura 11: Ahorro en terminos de incremento de velocidad que conseguimos al repartir el cambiode plano.

La figura 11 viene a representar la diferencia entre el coste de realizar la transferencia con elcambio de plano en el primer impulso (λ < 1) o en el segundo impulso (λ > 1) y el coste que tienerepartiendo el cambio de plano. Por tanto podemos ver el ahorro que se consigue. En el caso deλ < 1 el ahorro alcanza un maximo en λ = 0,849 y decrece cuando λ tiende a 0 y a 1. Para hacerseuna idea de cuanto es el ahorro del que estamos hablando vamos a dimensionalizar esta cantidadmultiplicando por la velocidad inicial para el caso de una orbita de aparcamiento de 150 km dealtitud. La velocidad inicial seria Vi =

√µ/ri = 7,81 km/s, donde µ es el parametro gravitacional

25


de la Tierra. El ahorro que se consigue para λ = 0,5 es 0,00045 · 7,81 = 0,0351 km/s. Teniendo encuenta de la figura 9 que el coste total de la maniobra es de 3.233 km/s, el ahorro es un 1.086 %.

Para el caso de λ > 1, vemos que la grafica alcanza un maximo en λ = 1,165 y tiende a ceroal seguir aumentando λ. Ademas se aprecia que el ahorro que conseguimos es aproximadamenteun orden de magnitud menor que el que conseguıamos con λ < 1. Por ejemplo, para λ = 1,3 elahorro adimensional que conseguimos es de 0.0112, que si lo multiplicamos por la Vi nos queda0,0112 · 7,81 = 0,087 km/s. Como para λ = 1,3 el coste de la maniobra es de 1.148 km/s. Elporcentaje que nos ahorramos es un 7.58 %.

A continuacion vamos a representar las mismas graficas para dos casos de interes practico queson ∆i = 25o y ∆i = 45o.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

λ=rf/r

i[−]

∆v/

vi [−

]

∆i=25º



26


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

λ=rf/r

i[−]

∆v/

vi [−

]

∆i=25º



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

λ=rf/r

i[−]

∆v 0/v

i−∆

v/vi

[−

]

∆i=25º

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

λ=rf/r

i[−]

∆v 0/v

i−∆

v/vi

[−

]

∆i=25º


En las figuras 12 y 13 vemos que la evolucion del coste de la maniobra en funcion de λ esel mismo que tenıamos para ∆i = 5o. Sin embargo, en este caso el ahorro que conseguimos esconsiderablemente mayor, como se deduce del hecho de que las curvas esten mas separadas queantes. La mayor diferencia entre realizar el cambio de plano repartido o no se da en λ = 1,503 paraλ > 1. En el caso de λ < 1, el maximo se da para λ = 0,605.

Si ahora volvemos a calcular cual es el ahorro que conseguimos con una Vi = 7,81 km/s comola de antes, para λ = 0,5 obtenemos un ahorro de 0,032 ·7,81 = 0,2463 km/s. Como el coste de esta

27


maniobra es de 4.834 km/s el porcentaje de ahorro es de un 5.095 %.

Si nos vamos a un valor de λ = 1,3 el ahorro es de 0,0247 · 7,81 = 0,193 km/s, con un costetotal de la maniobra de 3.202 km/s. Por tanto, el porcentaje de ahorro es de un 6.03 %.

Por ultimo, en las figuras 15, 16, y 17 vemos la ventaja de hacer la transferencia repartiendoel cambio de plano para el caso de ∆i = 45o. De estas graficas se puede deducir que para λ < 1el ahorro maximo que conseguimos es muy parecido al caso anterior y este maximo se da enλ = 0,534. Por otra parte, para el caso de λ > 1 el maximo ahorro que conseguimos es menor quepara ∆i = 25o. Este maximo se alcanza en λ = 1,62 que es un valor mayor que antes.

Calculamos a continuacion el valor exacto del ahorro que conseguimos con una Vi = 7,81 km/s.Para λ = 0,5 el ahorro es de 0,03378 · 7,81 = 0,2638 km/s. Vemos que es mas grande que en elcaso anterior. El coste de la maniobra es de 7.029 km/s y por tanto el porcentaje de ahorro es del3.753 %.

Para λ = 1,3 el ahorro es de 0,022·7,81 = 0,172 km/s, que es ligeramente inferior al de ∆i = 25o.El coste total es de 5.401 km/s y el porcentaje de ahorro es del 3.18 %.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

λ=rf/r

i[−]

∆v/

vi [−

]

∆i=45º



28


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

λ=rf/r

i[−]

∆v/

vi [−

]

∆i=45º



0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

λ=rf/r

i[−]

∆v 0/v

i−∆

v/vi

[−

]

∆i=45º

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

λ=rf/r

i[−]

∆v 0/v

i−∆

v/vi

[−

]

∆i=45º


29


Podemos resumir todos los datos que hemos obtenido en las siguientes tablas:

Para λ = 0,5:

∆i = 5o ∆i = 25o ∆i = 45o

∆i1 [o] 3.548 20.15 39.757

Coste (1er Imp.) [km/s] 3.268 5.079 7.293

Coste (Repartido) [km/s] 3.233 4.834 7.029

Ahorro [km/s] 0.035 0.246 0.264

Ahorro [ %] 1.08 5.09 3.75

Para λ = 1,3:

∆i = 5o ∆i = 25o ∆i = 45o

∆i1 [o] 1.991 4.585 4.195

Coste (2o Imp.) [km/s] 1.235 3.395 5.573


Ahorro [km/s] 0.087 0.193 0.172

Ahorro [ %] 7.58 6.03 3.18

Como se puede ver en estos resultados, el coste de la maniobra crece cuanto mayor sea ∆i, ytambien es mayor para el caso de λ < 1 que para λ > 1. En cuanto al ahorro que se consigue, para∆i = 5o es mayor cuando λ > 1. Sin embargo, para ∆i = 25o; 45o ocurre lo contrario. Ademas, enel caso de λ < 1 el ahorro siempre crece con ∆i mientras que cuando λ > 1 vemos que el ahorroalcanza un maximo para un cierto valor de ∆i entre 5o y 45o. Este hecho era esperable ya que enla figura 6 tambien vimos que el valor del cambio de plano en el primer impulso de forma que lamaniobra sea optima alcanzaba un maximo con ∆i, aunque en ese caso se hizo para λ = 6,5.

Por ultimo los porcentajes de ahorro que conseguimos para el caso en el que queramos ir auna orbita final menor que la inicial alcanzan un maximo para un ∆i entre 5o y 45o. En el casomas habitual, en el que vamos a una orbita final mayor que la inicial el porcentaje que ahorramosva disminuyendo con ∆i. En todo caso se tendra que estudiar en cada mision si merece la penarepartir el cambio de plano.

30


2.2.2.4. Estudio de Casos Practicos

A continuacion vamos a estudiar varios casos practicos. En todos ellos vamos a partir de unaorbita de aparcamiento de la Tierra con una altitud h = 150km. La inclinacion de esta orbita deaparcamiento vendra determinada por la mınima inclinacion que se puede conseguir desde tres basesde lanzamiento: Baikonur (45o57’54”N 63o18’18”E), Cabo Canaveral (28o23’39”N 80o36’28”O) yKourou (5o14’14”N 52o45’38”O). Como la mınima inclinacion que se puede alcanzar desde cadabase coincide con su latitud, las inclinaciones de las orbitas de aparcamiento seran respectivamente:45.9o, 28.4o y 5.2o.

Ademas vamos a incluir dos orbitas finales distintas. La primera va a ser una transferencia auna orbita geoestacionaria, por lo que λ = 6,46 y la inclinacion de la orbita final sera de 0o. Lasegunda mision que vamos a analizar es una transferencia a la orbita de la Luna, con λ = 58,88.Como el plano de la orbita de la Luna y el plano de la eclıptica se van desplazando uno con respectoal otro, para este ejemplo practico vamos a suponer que en el momento de la maniobra los nodosde ambos planos coinciden. De esta forma, la orbita de la Luna tiene una inclinacion con respecto ala eclıptica de 5.1o y el plano de la eclıptica esta inclinado 23.5o con respecto al ecuador terrestre.Por tanto, la inclinacion de la orbita final que vamos a alcanzar es de 28.6o. Para alcanzar estainclinacion desde Cabo Canaveral o desde Kourou en una mision real se lanzarıa directamenteal plano lunar. Sin embargo, para realizar el estudio teorico vamos a seguir considerando que lasinclinaciones tras el lanzamiento son las que se fijaron en el parrafo anterior.

Para la transferencia a la orbita geoestacionaria λ = 6,46:

Baikonur ∆i = 45,9o C. Canaveral ∆i = 28,4o Kourou ∆i = 5,2o

∆i1 [o] 2.718 2.148 0.475

Coste (2o Imp.) [km/s] 4.741 4.307 3.966


Ahorro [km/s] 0.036 0.024 1,223 · 10−3

Ahorro [ %] 0.773 0.549 0.031

Para la transferencia a la orbita lunar λ = 58,88:


∆i1 [o] 0.139 1,658 · 10−3 0.185

Coste (2o Imp.) [km/s] 3.987 3.977 3.994


Ahorro [km/s] 8,151 · 10−5 1,150 · 10−8 9,241 · 10−5

Ahorro [ %] 2,044 · 10−3 2,893 · 10−7 2,313 · 10−3

31


Tras ver estos resultados podemos concluir que el ahorro que conseguimos al hacer el cambiode plano repartido en estos casos es pequeno. Aun ası, hay una gran diferencia entre el caso dela transferencia geoestacionaria y la lunar, ya que en el caso de la lunar el ahorro que consegui-mos es despreciable. Y para el caso geoestacionario el ahorro es pequeno pero se debe tener enconsideracion.

Tambien se observa que hay una relacion entre la forma en la que se reparte el cambio de planoy el ahorro que conseguimos en la maniobra. Cuanto mayor es el cambio de plano que realizamosen el primer impulso, mayor es el ahorro.

Otro dato curioso que podemos sacar de estos resultados es el hecho de que en general es mascaro una transferencia de Hohmann a una orbita geoestacionaria que una transferencia a una orbitalunar, una conclusion que en principio no es muy intuitiva. Este hecho se debe a que el coste delprimer impulso va a ir aumentando un poco conforme nos vayamos a una orbita mas lejana. Sinembargo, el segundo impulso se realiza mas lejos de la Tierra y el coste es menor, por lo que alsumar los dos impulsos, obtenemos como resultado que el coste total disminuye para λ grande.

Para terminar vamos a representar algunos datos mas generales para ver cuando nos va a intere-sar repartir el cambio de plano. En primer lugar, como hemos visto que el ahorro que conseguimosesta relacionado con la forma en la que se reparte el cambio de plano, vamos a tomar para λ > 1un lımite en ∆i1 = 5 % de ∆i. De esta forma vamos a decir que nos interesara repartir el cambiode plano si ∆i1 > 5 %, y sera mas eficiente realizar todo el cambio de plano en el segundo impulsoen caso contrario. Como para el caso de λ < 1 casi todo el cambio de plano se realiza en el pri-mer impulso, hemos tomado un lımite en ∆i1 = 95 % de ∆i. De esta forma, si ∆i1 < 95 % nosinteresara repartir y en caso contrario todo el cambio de plano se realizara en el segundo impulso.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 901

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

∆i [º]

λ=r f

/ri[−

]

Límite con ∆i1= 5%

REPARTIR

2º IMPULSO

Figura 18: Transferencias en las que nos interesa repartir el cambio de plano para λ > 1.

32


0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

∆i [º]

λ=r f

/ri[−

]

Límite con ∆i1= 95%

REPARTIR

1er IMPULSO

Figura 19: Transferencias en las que nos interesa repartir el cambio de plano para λ < 1.

Estos resultados son congruentes con los que obtuvimos en los ejemplos anteriores ya que en lafigura 18 vemos que para λ = 6,46 (caso de la transferencia geoestacionaria) y valores de ∆i comolos que utilizamos nos interesara repartir el cambio de plano. Sin embargo, para valores de λ muchomas grandes como los de la transferencia lunar lo mas logico sera realizar todo el cambio de planoen el segundo impulso.

Al obtener ambas graficas se ha observado que las dos presentan una singularidad para elmaximo valor de ∆i que alcanzan. Para poder completar estos puntos y cerrar las graficas se harecurrido a metodos numericos.

El segundo resultado que vamos a representar es una vision general del ahorro adimensionalque conseguimos en las transferencias en funcion de λ y ∆i. Por tanto esta curva tambien sirvepara decidir si nos interesa repartir el cambio de plano en funcion del ahorro que se va a obtener.En la figura 20 se representa una curva de nivel en la que se observa como evoluciona el ahorroadimensional.

En esta grafica se observa que los casos en los que se obtiene un mayor ahorro se encuentran enla zona de ∆i ∼ 35o y λ cercano a 1.

33

2.3. Transferencia de Hohmann entre Orbitas Elıpticas

λ =rf/r

i[km]

∆i [

º]

2 4 6 8 10 12 140

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Figura 20: Ahorro adimensional en funcion de λ y ∆i.


En este apartado vamos a analizar un caso particular de la transferencia de Hohmann entredos orbitas elıpticas coaxiales, es decir, que compartan la misma lınea de apsides [7][1]. Esta trans-ferencia raramente se utiliza en la practica. Primero vamos a estudiar la transferencia coplanarpara despues ver un caso con cambio de plano. La idea es la misma que en las transferencias deHohmann que hemos estudiado anteriormente: tenemos una orbita inicial y una orbita final y parapasar de una a otra se utiliza una elipse de transferencia, tambien denominada elipse de Hohmann.La diferencia en este caso es que tendremos dos posibles orbitas de transferencia debido al hechode que la orbita inicial y final son elıpticas. Una de las orbitas de transferencia va del perigeo dela orbita inicial al apogeo de la final, y la otra orbita de transferencia va del apogeo de la orbitainicial al perigeo de la orbita final. Todo esto se ilustra en la figura 21.

Figura 21: Transferencia de Hohmann entre orbitas elıpticas.

34


La regla de optimalidad, que consiste en elegir la transferencia que pase por el mayor de losapogeos, sirve para seleccionar la transferencia que requiera el menor coste. A continuacion vamosa estudiar el coste de las dos transferencias que se han representado en la figura 21 y vamos acomprobar si en todos los casos se cumple esta regla.

Empezamos definiendo el coste de las maniobras. Como cada una de las dos transferenciasva a tener una velocidad inicial diferente y con la idea de poder comparar ambas, no se van aadimensionalizar los costes en este caso. Teniendo en cuenta la ecuacion (2.3) de las fuerzas vivasel coste de la primera maniobra sera:

∆V1 =

√2µ

rpi− µ

at1−

√2µ

rpi− µ

ai(2.24)

∆V2 =

√2µ

raf− µ

af−√

2µ

raf− µ

at1(2.25)

∆VT1 = ∆V1 + ∆V2 =

√2µ

rpi− µ

at1−

√2µ

rpi− µ

ai+

√2µ

raf− µ

af−√

2µ

raf− µ

at1(2.26)

donde rpi y raf son el radio de perigeo de la orbita inicial y el radio de apogeo de la orbita finalrespectivamente, ai y af son los semiejes mayores de la orbita inicial y final, y at1 es el semiejemayor de la primera orbita de transferencia.

De la misma forma, el coste de la segunda transferencia vendra dado por la siguiente expresion.

∆V1 =

√2µ

rai− µ

at2−

√2µ

rai− µ

ai(2.27)

∆V2 =

√2µ

rpf− µ

af−√

2µ

rpf− µ

at2(2.28)

∆VT2 = ∆V1 + ∆V2 =

√2µ

rai− µ

at2−

√2µ

rai− µ

ai+

√2µ

rpf− µ

af−√

2µ

rpf− µ

at2(2.29)

siendo rai y rpf el radio de apogeo de la orbita inicial y el radio de perigeo de la orbita finalrespectivamente, y at2 es el semieje mayor de la segunda orbita de transferencia.

Teniendo en cuenta la forma en la que hemos definido la primera y la segunda orbita de trans-ferencia en estas ecuaciones, que es la misma que la de la figura 21, segun la regla que comentamosanteriormente la orbita de transferencia optima, es decir, la que requiere un menor coste serıa laprimera.

35


Para comprobar que siempre la primera orbita de transferencia es la optima se va a hacer unestudio para una serie de transferencias. Para ello, primero implementamos en Matlab las expre-siones (2.26) y (2.29). Se va a definir una orbita inicial con un radio de perigeo rpi = 6528,14 km,por lo que la altitud del vehıculo en el perigeo de la orbita inicial va a ser de 150 km. Ademasesta orbita inicial tendra una excentricidad ei = 0,3. Para realizar un estudio completo vamos a irvariando el radio de perigeo de la orbita final entre unos valores rpf = 6528,14− 400000 km. Estolo repetiremos para distintos valores de excentricidad de la orbita final ef = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9.

Los resultados obtenidos se representan en la figura 22, siendo la lınea azul el coste total dela primera transferencia y la roja el coste de la segunda. Se puede ver que para todos los casosanalizados la segunda transferencia tiene un coste superior a la primera, excepto para ef = 0,1y valores pequenos del semieje mayor de la orbita final. Este detalle se representa en la grafica22b. Esto ocurre porque para valores pequenos del radio de perigeo de la orbita final, y con unasexcentricidades ei = 0,3 y ef = 0,1, el radio de apogeo de la orbita inicial es mayor que el radio deapogeo de la orbita final. Por tanto, comprobamos que en esos puntos tambien se cumple la reglade optimalidad al tener un menor coste la orbita de transferencia que va al mayor apogeo, en estecaso la segunda. De esta forma queda demostrado que se cumple la regla de optimalidad para elcaso de transferencias entre orbitas elıpticas coaxiales y coplanares.

A continuacion vamos a estudiar la transferencia entre las orbitas elıpticas con cambio deplano. Se va a analizar un caso concreto con un cambio de plano ∆i = 45o. Esta transferenciano la analizamos con tanta profundidad como la transferencia entre orbitas circulares porque seutiliza menos en la practica. Ademas, veremos que los resultados son parecidos a los que obtuvimosanteriormente.

Ahora los impulsos de velocidad vienen definidos por las siguientes expresiones:

∆V1 =√V 2H1

+ V 2i − 2VH1Vi cos(∆i1) (2.30)

∆V2 =√V 2H2

+ V 2f − 2VH2Vf cos(∆i2) (2.31)

que son analogas a las que vimos en el caso de transferencia de Hohmann entre orbitas circulares(2.14), (2.15). En estas expresiones VH1 es la velocidad al inicio de la orbita de transferencia deHohmann y VH2 es la velocidad al final de la misma. El coste total de la maniobra ∆VT viene dadopor la suma de (2.30) y (2.31).

Al igual que antes, no vamos a adimensionalizar las expresiones porque con cada una de lasdos orbitas de transferencia posibles vamos a tener una velocidad inicial distinta. Para calcular elreparto del cambio de plano optimo derivamos ∆VT con respecto a ∆i1.

36


0 1 2 3 4 5

x 105

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

af

[km]

∆V

T[k

m/s

]

(a) ef = 0,1.

0.5 1 1.5

x 104

0.8

1

1.2

1.4

1.6

af

[km]

∆V

T[k

m/s

]

(b) ef = 0,1.

0 1 2 3 4 5 6

x 105

0

1

2

3

4

5

af

[km]

∆V

T[k

m/s

]

(c) ef = 0,3.

0 2 4 6 8

x 105

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

af

[km]

∆V

T[k

m/s

]

(d) ef = 0,5.

0 2 4 6 8 10 12 14

x 105

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

af

[km]

∆V

T[k

m/s

]

(e) ef = 0,7.

0 1 2 3 4 5

x 106

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

af

[km]

∆V

T[k

m/s

]

(f) ef = 0,9.

Figura 22: Coste total de la primera trasferencia (azul) y de la segunda (roja) en funcion del semiejemayor de la orbita final, para distintos valores de la excentricidad de la orbita final ef .

37


∂∆VT∂∆i1

=VH1Vi sen(∆i1)√

V 2H1

+ V 2i − 2VH1Vi cos(∆i1)

−VH2Vf sen(∆i−∆i1)√

V 2H2

+ V 2f − 2VH2Vf cos(∆i−∆i1)

= 0 (2.32)

Simplificando esta expresion queda:

V 2H1V 2i sen2(∆i1)(V 2

H2+ V 2

f − 2VH2Vf cos(∆i−∆i1))

− V 2H2V 2f sen2(∆i−∆i1)(V 2

H1+ V 2

i − 2VH1Vi cos(∆i1)) = 0(2.33)

sen2(∆i1)

(1

V 2f

+1

V 2H2

− 2

VfVH2

cos(∆i−∆i1)

)

− sen2(∆i−∆i1)

(1

V 2i

+1

V 2H1

− 2

ViVH1

cos(∆i1)

)= 0

(2.34)

Si definimos ahora los siguientes parametros:

A =1

V 2f

+1

V 2H2

B =−2

VfVH2

C =1

V 2i

+1

VH21

D =−2

ViVH1

la expresion (2.34) queda:

sen2(∆i1)(A+B cos(∆i−∆i1))− sen2(∆i−∆i1)(C +D cos(∆i1)) = 0 (2.35)

Con esta ecuacion ya podemos obtener el reparto del cambio de plano optimo para las dostransferencias posibles. Al igual que antes, la primera y la segunda transferencia se definen comose representa en la figura 21, es decir, segun la regla de optimalidad, la primera es con la queobtendremos un coste menor.

Para resolver la ecuacion (2.35) tenemos que definir las velocidades del vehıculo a lo largo dela maniobra, que son diferentes para el caso de la primera o de la segunda orbita de transferencia.Las velocidades con la primera orbita de transferencia son:

Vi =

√2µ

rpi− µ

aiVf =

√2µ

raf− µ

af

38


VH1 =

√2µ

rpi− µ

at1VH2 =

√2µ

raf− µ

at1

Para la segunda orbita de transferencia nos queda:

Vi =

√2µ

rai− µ

aiVf =

√2µ

rpf− µ

af

VH1 =

√2µ

rai− µ

at2VH2 =

√2µ

rpf− µ

at2

Ya podemos resolver la ecuacion (2.35) utilizando la funcion ’fzero’ de Matlab. Los resultadospara el reparto del cambio de plano de la primera de las posibles transferencias se representa enla figura 23. En el caso representado las orbitas inicial y final tienen las siguientes caracterısticas:rp1 = 6528,14 km, e1 = 0,3 y e2 = 0,3.

0 1 2 3 4 5 6

x 105

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

a2

[km]

∆i 1

[%]

Figura 23: Porcentaje del cambio de plano que se realiza en el primer impulso en el caso de laprimera transferencia.

En esta figura se observa que la evolucion del reparto del cambio de plano es muy similar a laque vimos en la transferencia de Hohmann entre orbitas circulares, que representamos en la figura4. El porcentaje del cambio de plano que se realiza en el segundo impulso vuelve a ser muchomayor que la que se hace en el primero. La idea es la misma que hemos visto anteriormente: serealiza la mayor parte del cambio de plano en el impulso que se efectue mas lejos del cuerpo central.Este comportamiento tambien se repite para la segunda transferencia posible en todos los casosestudiados.

39


Los costes que se obtienen tanto con la primera, como con la segunda transferencia realizandoen ambos casos el reparto del cambio de plano optimo se representa en la figura 24.

0 1 2 3 4 5 6

x 105

2

3

4

5

6

7

a2

[km]

∆V

T[k

m/s

]

(a) ef = 0,3.

0 2 4 6 8

x 105

2

3

4

5

6

7

8

a2

[km]

∆V

T[k

m/s

](b) ef = 0,5.

Figura 24: Coste total de la primera trasferencia (azul) y de la segunda (roja) en funcion del semiejemayor de la orbita final, para dos valores de la excentricidad de la orbita final ef .

Como se puede observar, al igual que ocurrıa con el caso coplanar, el coste de la segundatransferencia siempre es mayor que la primera. Ademas, para todos los valores de excentricidad dela orbita final que se han estudiado se repite este comportamiento.

Finalmente se puede concluir que la regla de optimalidad se cumple tanto en el caso coplanarcomo en el caso de la transferencia con cambio de plano, y por tanto, es una forma sencilla, rapida,y efectiva para saber cual es la transferencia entre orbitas elıpticas con un menor coste.

40

3. Transferencia Bielıptica


En esta seccion vamos a estudiar la transferencia bielıptica que nos permite pasar de una orbitacircular inicial a otra orbita circular de un radio mayor. En este caso, a diferencia de la transferenciade Hohmann se utilizan dos orbitas de transferencia elıpticas para llegar a la orbita final y, portanto, se necesitan tres impulsos en vez de dos. A pesar de esto, vamos a ver como hay ciertos casosen los que la transferencia bielıptica mejora el rendimiento de la transferencia de Hohmann.

La transferencia comienza con un impulso ∆V1 tangente a la orbita inicial que inyecta al vehıculoen la primera orbita de transferencia elıptica. Cuando se llega al apoapsis de esta orbita, que seencuentra a una cierta distancia rt del cuerpo central, se realiza un segundo impulso ∆V2 con elque se pasa a la segunda orbita de transferencia, cuyo radio de periapsis coincide con el radio de laorbita final deseada. Por tanto, al llegar al periapsis de la segunda orbita de transferencia se aplicaun tercer impulso contrario a la direccion del movimiento que inyecta definitivamente al vehıculoen la orbita final. En la figura 25 se puede observar un esquema de esta transferencia.

En los proximos apartados vamos a comenzar realizando un analisis coplanar de la transferenciabielıptica para poder compararla con la transferencia de Hohmann. Y despues analizaremos el casode la transferencia bielıptica con cambio de plano.

Figura 25: Transferencia bielıptica coplanar.

41



El caso mas simple de transferencia bielıptica es el coplanar, en el que la orbita circular inicialy la orbita objetivo se encuentran en el mismo plano orbital. Debido a esto, los tres impulsos delos que consta la maniobra seran tangentes a la trayectoria. De la figura 25 podemos observar quese cumplen las siguientes relaciones.

a1 =ri + rt

2(3.1)

a2 =rf + rt

2(3.2)

donde a1 y a2 representan los ejes mayores de la primera y la segunda orbita elıptica de transferenciarespectivamente. La distancia rt es el radio de apoapsis de ambas orbitas de transferencia.

Para calcular los impulsos de velocidad seguimos el mismo planteamiento que con la transferen-cia de Hohmann. Como los impulsos son tangentes se define ∆V1 = Vp1 − Vi, ∆V2 = Va2 − Va1 y∆V3 = −Vf + Vp2 . Donde hay que tener en cuenta que Vi y Vf son las velocidades del vehıculo sonlas velocidades del vehıculo en la orbita inicial y final, Vp1 y Va1 son las velocidades de periapsis yapoapsis de la primera orbita de transferencia, y Vp2 y Va2 son las velocidades de periapsis y apoap-sis de la segunda orbita de transferencia. Hay que recordar que la expresiones de las velocidadesvienen dadas por la ecuacion de las fuerzas vivas (2.3).

Vi =

√µ

ri(3.3)

Vf =

√µ

rf(3.4)

Vp1 =

√2µ

ri− µ

a1(3.5)

Va1 =

√2µ

rt− µ

a1(3.6)

Vp2 =

√2µ

rf− µ

a2(3.7)

Va2 =

√2µ

rt− µ

a2(3.8)

42


Entonces los impulsos de velocidad quedan:

∆V1 = Vp1 − Vi =

√2µ

ri− µ

a1−√µ

ri(3.9)

∆V2 = Va2 − Va1 =

√2µ

rt− µ

a2−√

2µ

rt− µ

a1(3.10)

∆V3 = −Vf + Vp2 = −√µ

rf+

√2µ

rf− µ

a2(3.11)

y el coste total de la maniobra en terminos de incremento de velocidad sera la suma de los tresimpulsos. ∆VT = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3.

Ahora vamos a adimensionalizar estas expresiones con respecto a Vi. Para ello definimos, igualque en el caso de la transferencia de Hohmann, el parametro λ =

rfri

que nos indica si la orbita finales mayor (λ > 1) o menor (λ < 1) que la inicial. Para la transferencia bielıptica solo tiene sentidoque la orbita final sea mayor que la inicial. Por ello solo trabajaremos con λ > 1. Ademas tenemosque definir un nuevo parametro que relaciona el radio de apoapsis de las orbitas de transferencia (rt)con el radio de la orbita inicial: β = rt

ri. Del mismo modo que con λ, solo trabajaremos con valores

de β > λ porque la transferencia carece de sentido en caso contrario. Los impulsos de velocidadadimensionalizados quedan como sigue:

∆V1

Vi=

√2µririµ− µriµa1− 1 =

√2− 2

1 + β− 1 (3.12)

∆V2

Vi=

√2µriµrt− µriµa2−√

2µriµrt− µriµa1

=

√2

β− 2

λ+ β−√

2

β− 2

1 + β(3.13)

∆V3

Vi= −

√µriµrf

+

√2µriµrf

− µriµa2

= −√

1

λ+

√2

λ− 2

λ+ β(3.14)

De esta forma, el coste total de la maniobra en terminos de incremento de velocidad adimen-sionalizado con Vi queda:

∆VTVi

=

√2β

1 + β− 1 +

√2λ

β(λ+ β)−

√2

β(1 + β)−√

1

λ+

√2β

λ(λ+ β)(3.15)

43


Un caso particular de la transferencia bielıptica es la biparabolica, que se caracteriza porquert →∞. Es decir, las orbitas de transferencia seran parabolicas y el segundo impulso se realizara enun punto infinitamente lejos del cuerpo central. Ademas, en este caso el coste total de la maniobravariara con respecto al de la transferencia bielıptica, que hemos descrito en (3.15). Como rt → ∞y β = rt

ri, β →∞ y el coste de la maniobra queda:

∆VTVi

=√

2− 1−√

1

λ+

√2

λ= (√

2− 1)

(1 +

√1

λ

)(3.16)

Este valor del coste total de la maniobra es el mınimo que se puede conseguir con una transfe-rencia bielıptica, ya que, como veremos posteriormente en la figura 26, ∆VT es decreciente con elparametro β. El hecho de que con la transferencia biparabolica se consiga el mınimo coste se puedeexplicar teniendo en cuenta que en el segundo impulso cambiamos en el infinito de una parabolaa otra, y en el infinito la velocidad de las parabolas es cero. De esta forma el coste del segundoimpulso es nulo.

Como hemos dicho rt →∞, y por tanto, a1 →∞ y a2 →∞. Si ahora sustituimos estos valoresen la expresion (3.10) de ∆V2, comprobamos que efectivamente el coste del impulso es nulo. Deesta forma, aunque los impulsos inicial y final tengan que ser mayores que en el caso bielıptico parainyectar al vehıculo en la orbita de transferencia parabolica, el hecho de que el segundo impulso seanulo hace que el coste total ∆VT sea menor.

En la practica la transferencia biparabolica tiene serios problemas, en primer lugar, porque nohay un unico cuerpo en el espacio, y aunque el vehıculo vaya muy lejos del cuerpo que esta orbitando,el coste del segundo impulso nunca llegara a ser nulo debido a la influencia de los otros cuerpos. Porotro lado, el hecho de alejarse infinitamente del cuerpo central supone que el tiempo de transferenciasera infinito, y esto no tiene sentido en la realidad.

3.1.1. Comparacion con la Transferencia de Hohmann

Hasta ahora hemos visto que existen bastantes diferencias entre la transferencia de Hohmann y labielıptica. En este apartado se va a realizar un analisis numerico para comprobar como se traducenestas diferencias en terminos de costes al realizar una maniobra con una u otra transferencia.A partir de estos resultados veremos para que transferencias orbitales nos interesa utilizar unatransferencia de Hohmann y en que casos interesa mas utilizar una transferencia bielıptica. Todoesto lo haremos para maniobras coplanares, es decir, sin cambio de plano orbital.

Comenzamos estudiando el coste de las transferencias. Para ello utilizamos las expresiones (2.12)y (3.15), que representan el coste de la maniobra en terminos de incremento de velocidad adimen-sionalizado para la transferencia de Hohmann y la bielıptica respectivamente. Si representamosestas ecuaciones en funcion de λ y para distintos valores de β en el caso bielıptico se obtiene elresultado que representamos en la figura 26.

44


10 20 30 40 50 60 70 800.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

λ=rf/r

i[−]

∆v/

vi [−

]

HohmannBielíptica

11.94

β=40

15.58

β=15.58

β=80

β=200

β →

Figura 26: Comparacion entre el coste de la transferencia de Hohmann y la transferencia bielıpticaen funcion de λ y para distintos valores de β.

Esta figura es muy interesante porque nos permite conocer el coste de una maniobra tantosi se realiza con una transferencia de Hohmann como con una bielıptica. Por un lado, para latransferencia de Hohmann, se observa que el resultado es analogo al que se obtuvo en la figura 2.El coste alcanza el maximo en λ = 15,58, y para λ→∞ el coste tiende a ∆VT

Vi=√

2− 1.

Por otro lado, para la transferencia bielıptica encontramos tres tramos bien diferenciados: paraλ < 11,94 la bielıptica no mejora a la de Hohmann con ningun valor de β; para 11,94 < λ < 15,58,la transferencia bielıptica mejora a la de Hohmann cuando se toman valores grandes de β. Unanalisis y ecuaciones que describen este hecho vienen dados por [4] citado en [12]; y para valoresde λ > 15,58 la transferencia bielıptica mejora a la de Hohmann siempre que β > λ. Como sepuede ver, el coste de la maniobra va disminuyendo con β hasta alcanzar el mınimo para valores deβ →∞. Los valores λ = 11,94 y λ = 15,58 son conocidos como lımites crıticos del problema de latransferencia [12]. Estos valores se obtienen del corte de la curva de la transferencia de Hohmanncon las curvas de la transferencia bielıptica para β →∞ y β = 15,58 respectivamente.

Ademas, en esta figura 26 tambien se puede observar que las curvas de las transferencias bielıpti-cas presentan una discontinuidad al llegar a λ = β. Para λ > β el radio de la orbita final es mayorque el radio de apoapsis de las orbitas de transferencia. Cuando esto ocurre vemos que el costede la maniobra aumenta bastante. Esta es la razon de que, como dijimos anteriormente, no tengasentido en la practica realizar una transferencia bielıptica con un valor de λ > β.

Un dato curioso que podemos concluir de este analisis es que el coste de una transferencia deHohmann para ir a una orbita geoestacionaria o a una lunar (λ = 6,46 y λ = 58,88 respectivamente)suponiendo que no se realiza un cambio de plano orbital, es aproximadamente el mismo. Y sepuede encontrar una transferencia bielıptica a una orbita lunar cuyo coste sea menor que la de unaHohmann para ir a una orbita geoestacionaria.

45


Teniendo en cuenta todos estos resultados vamos a estudiar si es mas recomendable utilizar unatransferencia de Hohmann o una bielıptica en funcion del cambio de orbita que queramos realizar(es decir, en funcion de los parametros λ y β).

Para ello, primero calculamos el coste de las diferentes transferencias de Hohmann en funcionde λ con la expresion (2.12). Entonces, para cada valor de λ buscamos el valor de β que hace queel coste de la transferencia bielıptica sea igual que la de Hohmann calculada anteriormente. Esto lohacemos con la funcion ’fzero’ de Matlab. Los resultados obtenidos se representan en la figura 27.

A la hora de elegir una u otra transferencia, otra caracterıstica que puede marcar una diferenciaimportante es el tiempo que se emplea en realizarla. Por este motivo, en la figura 25 tambien serepresentan varias curvas en las que la relacion entre el tiempo de transferencia bielıptica y eltiempo de transferencia de Hohmann es constante, es decir, TB/TH = cte. La expresion que defineel tiempo que se tarda en recorrer una orbita es la siguiente:

T = 2π

√a3

µ(3.17)

donde µ es el parametro gravitacional de la Tierra y a es el semieje mayor de la elipse. Por tanto,el tiempo empleado para realizar la transferencia de Hohmann y para realizar la bielıptica son lossiguientes respectivamente:

TH = π

√(ri + rf )3

23µ= π

√r3i

√(1 + λ)3

8µ(3.18)

TB =π√µ

(√(ri + rt)3

23+

√(rf + rt)3

23

)=π√r3i√

8µ

(√(1 + β)3 +

√(λ+ β)3

)(3.19)

Si dividimos estas dos ultimas expresiones nos queda:

TBTH

=

√(1 + β)3 +

√(λ+ β)3√

(1 + λ)3(3.20)

En la figura 27 se representan curvas para TB/TH = 5; 10; 20; y 40.

46


20 30 40 50 60 70 800

50

100

150

200

250

300

λ=rf/r

i[−]

β=r t

/ri[−

]

11.94 15.58

HOHMANN

HOHMANN

TB= 10 T

H

TB= 5 T

H

TB= 20 T

H

BIELÍPTICA

TB= 40 T

H

Figura 27: Estudio del tipo de trasferencia (bielıptica o de Hohmann) que es mas eficiente en funcionde la maniobra que se vaya a realizar.

La figura 27 es congruente con las conclusiones que se alcanzaron tras el analisis de la figura26. En primer lugar, para valores de λ < 11,94 la transferencia bielıptica no es mejor que la deHohmann en ningun caso. Para valores 11,94 < λ < 15,58 hacen falta valores grandes de β paraque la transferencia bielıptica mejore a la de Hohmann. Podemos ver que en λ = 11,94 β tieneuna asıntota tendente a infinito, por lo que para que una transferencia bielıptica iguale el costede una de Hohmann para un valor de λ cercano a 11.94, se tendra que utilizar una transferenciabiparabolica, algo que como dijimos no interesa en la practica. Por ultimo, antes vimos que paraλ > 15,58 la transferencia bielıptica mejora a la de Hohmann cuando β > λ, y esto es lo que reflejala figura 27.

En cuanto al tiempo que se emplea en realizar las maniobras, vemos que si se utilizan trans-ferencias bielıpticas con valores razonables de β, se llega a multiplicar por 5 el tiempo que senecesita para realizar el mismo cambio de orbita con una transferencia de Hohmann. Las curvasde TB/TH = cte son monotonas crecientes con λ. Esto quiere decir que si aumentamos el valorde λ manteniendo constante el valor de β en la transferencia bielıptica, el tiempo que se tardaen completar la transferencia de Hohmann aumenta mas que el tiempo que se tarda en realizarla bielıptica. Dicho de otro modo, si al aumentar λ mantenemos β constante, el valor de TB/THdisminuye. Ademas, en las curvas se observa que al aumentar TB/TH la pendiente de las rectasaumenta. Por este motivo, en una transferencia con λ grande, el hecho de utilizar un valor de βgrande no va a hacer que el tiempo de la transferencia bielıptica crezca tanto con respecto a la deHohmann.

47



A partir de este punto vamos a analizar el caso de las transferencias bielıpticas con un cambiode plano ∆i. Mientras que en el caso coplanar los tres impulsos de la transferencia eran tangentesa la trayectoria, ahora los tres impulsos van a formar un angulo ∆i1, ∆i2 y ∆i3 respectivamentecon el plano de la trayectoria. La geometrıa de esta transferencia se representa en la figura 28.

El objetivo sera analizar el reparto optimo del cambio de plano ∆i entre los tres impulsos deforma que el coste de la maniobra en terminos de incremento de velocidad sea el mınimo posible.Para ello se van a estudiar transferencias bielıpticas con λ > 1 y β > λ, ya que como mencionamosen el capıtulo anterior los demas casos no se utilizan en la practica.

Figura 28: Transferencia bielıptica con cambio de plano.

48


3.2.1. Cambio de Plano en el 2o Impulso

Del mismo modo que ocurrıa con la transferencia de Hohmann, en la inmensa mayorıa de loscasos la transferencia bielıptica mas eficiente va a ser aquella en la que realicemos un gran porcentajedel cambio de plano en el segundo impulso, dejando pequenos cambios de plano para el primer yel tercer impulso. Es decir, ∆i2 � ∆i1,∆i3. Este hecho tiene la misma explicacion que en el casode Hohmann: el segundo impulso es el que se realiza mas lejos del cuerpo central, y ya vimos en lafigura 2 que cuanto mas lejos se realice, menor va a ser el coste del impulso. El lımite se encuentraen el caso de la transferencia biparabolica, con la que nos vamos infinıtamente lejos, y como vimosen el analisis coplanar el coste del segundo impulso es nulo, por lo que interesarıa realizar todo elcambio de plano en este segundo impulso.

En los siguientes apartados cuando analicemos el reparto del cambio de plano optimo verifica-remos que se cumple esta circunstancia. Por tanto, se podra afirmar que una buena aproximacionde la transferencia bielıptica con cambio de plano optimo consiste en aglutinar todo el cambio deplano en el segundo impulso.

Al hacer esta aproximacion el problema es mucho mas sencillo porque el primer y el tercerimpulso se consideran tangentes a la trayectoria y vienen dados por las expresiones que vimos en elcaso coplanar: (3.9) y (3.11) respectivamente. Para calcular el coste del segundo impulso planteamosel triangulo de velocidades y utilizamos el teorema del coseno.

∆V2 =√V 2a1 + V 2

a2 − 2Va1Va2cos(∆i) (3.21)

De esta forma el coste total de la maniobra se obtiene sumando el coste de los tres impulsos, esdecir, las expresiones (3.9), (3.11) y (3.21).

∆VT = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 = Vp1 − Vi +√V 2a1 + V 2

a2 − 2Va1Va2cos(∆i)− Vf + Vp2 (3.22)

Sustituyendo los valores de las velocidades y del cambio de plano ∆i se obtiene el coste quebuscabamos.

49


3.2.2. Cambio de Plano Repartido

3.2.2.1. Estudio de la Distribucion del Cambio de Plano

Analizamos a continuacion la forma mas eficiente de repartir el cambio de plano entre los tresimpulsos de la transferencia bielıptica de forma que el coste total de la maniobra sea el mınimo.Para ello empezamos planteando el triangulo de velocidades de cada impulso y procedemos comoen el caso anterior haciendo uso del teorema del coseno. Los impulsos de velocidad son:

∆V1 =√V 2i + V 2

p1 − 2ViVp1 cos(∆i1) (3.23)

∆V2 =√V 2a1 + V 2

a2 − 2Va1Va2cos(∆i2) (3.24)

∆V3 =√V 2f + V 2

p2 − 2VfVp2 cos(∆i3) (3.25)

Adimensionalizando con respecto a la velocidad inicial Vi y sustituyendo las expresiones de lavelocidad (3.3-3.8) nos queda todo en funcion de los parametros λ = rf/ri, β = rt/ri, ∆i1, ∆i2 y∆i.

∆V1

Vi=

√1 +

V 2p1

V 2i

− 2ViVp1V 2i

cos(∆i1) =

√√√√1 +2β

1 + β− 2

√2β

1 + βcos(∆i1)

=

√√√√1 + 3β

1 + β− 2

√2β

1 + βcos(∆i1)

(3.26)

50


∆V2

Vi=

√V 2a1

V 2i

+V 2a2

V 2i

− 2Va1Va2V 2i

cos(∆i2) =

√√√√ 2

β(β + 1)+

2λ

β(λ+ β)− 4

√λ

β2(1 + β)(λ+ β)cos(∆i2)

=

√√√√ 4λ+ 2β + 2λβ

β(β + 1)(λ+ β)− 4

√λ

β2(1 + β)(λ+ β)cos(∆i2)

(3.27)

∆V3

Vi=

√V 2f

V 2i

+V 2p2

V 2i

−2VfVp2V 2i

cos(∆i3) =

√√√√ 1

λ+

2β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

=

√√√√ λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

(3.28)

En el tercer impulso (3.28) hemos considerado la relacion ∆i3 = ∆i−∆i1−∆i2. Teniendo todoesto en cuenta, el coste total de la maniobra adimensionalizado con la velocidad inicial Vi sera:

∆VTVi

=

√√√√1 + 3β

1 + β− 2

√2β

1 + βcos(∆i1) +

√√√√ 4λ+ 2β + 2λβ

β(β + 1)(λ+ β)− 4

√λ

β2(1 + β)(λ+ β)cos(∆i2)

=

√√√√ λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

(3.29)

Para obtener los valores de ∆i1 y ∆i2 que optimicen la maniobra se tiene que derivar la expresion(3.29) con respecto a ∆i1 y ∆i2, igualandola a cero, de forma que se llegue a un sistema de dosecuaciones con dos incognitas que podamos resolver numericamente. A continuacion realizamosambas derivadas:

∂(∆VT /Vi)

∂∆i1=

√2β

1 + βsen(∆i1)√

1 + 3β

1 + β− 2

√2β

1 + βcos(∆i1)

−

√2β

λ2(λ+ β)sen(∆i−∆i1 −∆i2)√

λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

= 0

(3.30)

51


Si desarrollamos esta expresion nos queda lo siguiente:

2β

1 + βsen2(∆i1)

(λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

)

− 2β

λ2(λ+ β)sen2(∆i−∆i1 −∆i2)

(1 + 3β

1 + β− 2

√2β

1 + βcos(∆i1)

)

= sen2(∆i1)

(λ(λ+ 3β)

2β− 2

√λ2(λ+ β)

2βcos(∆i−∆i1 −∆i2)

)

− sen2(∆i−∆i1 −∆i2)

(1 + 3β

2β− 2

√1 + β

2βcos(∆i1)

)= 0

(3.31)

Definiendo ahora los parametros:

A1 =λ(λ+ 3β)

2βB1 = −2

√λ2(λ+ β)

2β

C1 =1 + 3β

2βD1 = −2

√1 + β

2β

la expresion (3.31) se puede escribir de forma simplificada de la siguiente manera:

sen2(∆i1)(A1 +B1 cos(∆i−∆i1 −∆i2))− sen2(∆i−∆i1 −∆i2)(C1 +D1 cos(∆i1)) = 0 (3.32)

A continuacion repetimos el mismo proceso para la derivada de la expresion (3.29) con respectoa ∆i2.

∂(∆VT /Vi)

∂∆i2=

2

√λ

β2(1 + β)(λ+ β)sen(∆i2)√

4λ+ 2β + 2λβ

β(1 + β)(λ+ β)− 4

√λ

β2(1 + β)(λ+ β)cos(∆i2)

−

√2β

λ2(λ+ β)sen(∆i−∆i1 −∆i2)√

λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

= 0

(3.33)

52


4λ

β2(1 + β)(λ+ β)sen2(∆i2)

(λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

)

− 2β

λ2(λ+ β)sen2(∆i−∆i1 −∆i2)

(4λ+ 2β + 2λβ

β(1 + β)(λ+ β)− 4

√λ

β2(1 + β)(λ+ β)cos(∆i2)

)

= sen2(∆i2)

(λ(λ+ 3β)

2β− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

)

− sen2(∆i−∆i1 −∆i2)

(β(4λ+ 2β + 2λβ)

4λ−√β2(1 + β)(λ+ β)

λcos(∆i2)

)= 0

(3.34)

Definimos los cuatro parametros en este caso:

A2 =λ(λ+ 3β)

2β= A1 B2 = −2

√λ2(λ+ β)

2β= B1

C2 =β(4λ+ 2β + 2λβ)

4λD2 = −

√β2(1 + β)(λ+ β)

λ

Por tanto la expresion (3.34) queda:

sen2(∆i2)(A2 +B2 cos(∆i−∆i1 −∆i2))− sen2(∆i−∆i1 −∆i2)(C2 +D2 cos(∆i2)) = 0 (3.35)

Una vez que hemos llegado a este punto ya contamos con un sistema de dos ecuaciones (3.32 y3.35) con dos incognitas ∆i1 y ∆i2. Para resolver este problema de forma sencilla implementamosambas ecuaciones en Matlab, y utilizando el comando ’fsolve’ vamos obteniendo los valores optimosde ∆i1 y ∆i2 en funcion de λ y para distintos valores de ∆i y β.

Para poder resolver el sistema de ecuaciones de forma numerica, como se ha descrito en elparrafo anterior, se tendran que fijar unas condiciones iniciales para las incognitas ∆i1 y ∆i2. Enel apartado anterior vimos que en casi todos los casos la mayor parte del cambio de plano se vaa realizar en el segundo impulso. Por este motivo, como condiciones iniciales tomaremos un granporcentaje de ∆i para el segundo impulso ∆i2, y la mitad del porcentaje restante para el primerimpulso ∆i1. Hay que tener en cuenta que consideramos como aproximacion que el cambio de planoque hagamos en el primer y el tercer impulso van a ser similares.

En las paginas siguientes se van a representar los resultados obtenidos que reflejan los valoresoptimos del cambio de plano que hay que realizar en cada impulso para que la transferencia tengael menor coste posible. Se ha realizado para unos valores de λ entre λ = 1 y λ = 50, para β = 5,10, 15, 25, y 50, y para unos valores de ∆i = 5o, 15o, 25o, 35o, 45o, y 55o.

53


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50∆ i = 5º

λ=rf/r

i[−]

∆i 1

[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

λ=rf/ri[−]

∆i 2[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(b)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

λ=rf/ri[−]

∆i 3[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(c)

Figura 29: Porcentaje del cambio de plano ∆i = 5o que realizamos en el primer impulso (a), en elsegundo impulso (b) y en el tercer impulso (c).

54


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25∆ i = 15º

λ=rf/r

i[−]

∆i 1

[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5050

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

λ=rf/ri[−]

∆i 2[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(b)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

λ=rf/ri[−]

∆i 3[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(c)


55


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14∆ i = 25º

λ=rf/r

i[−]

∆i 1

[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5070

75

80

85

90

95

100

λ=rf/ri[−]

∆i 2[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(b)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

λ=rf/ri[−]

∆i 3[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(c)


56


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10∆ i = 35º

λ=rf/r

i[−]

∆i 1

[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5075

80

85

90

95

100

λ=rf/ri[−]

∆i 2[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(b)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

λ=rf/ri[−]

∆i 3[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(c)


57


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8∆ i = 45º

λ=rf/r

i[−]

∆i 1

[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5084

86

88

90

92

94

96

98

100

λ=rf/ri[−]

∆i 2[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(b)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

8

9

λ=rf/ri[−]

∆i 3[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(c)


58


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7∆ i = 55º

λ=rf/r

i[−]

∆i 1

[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5086

88

90

92

94

96

98

100

λ=rf/ri[−]

∆i 2[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(b)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6

7

λ=rf/ri[−]

∆i 3[%]

β=5

β=10

β=15

β=25

β=50

(c)


59


En todas estas figuras hemos considerado la transferencia bielıptica para valores de λ > 1 ypara valores de β > λ. Como ya se comento anteriormente no tiene sentido en la practica utilizartransferencias bielıpticas con un valor de β < λ porque el radio de la orbita final serıa mayorque el radio de apoapsis de las elipses de transferencias. En este sentido, cuando comparamos latransferencia de Hohmann y la bielıptica (concretamente en la figura 26), vimos que cuando β < λel coste de la maniobra se dispara. Ademas, el sistema de ecuaciones que hemos resuelto, formadopor (3.32) y (3.35), presenta singularidades en λ = 1 y en λ = β.

En todos los casos que se han representado se puede observar que se cumple que la mayor partedel cambio de plano se realiza en el segundo impulso. El porcentaje de cambio de plano del segundoimpulso suele ser en torno al 90 %, repartiendo el resto del cambio de plano entre el primer y eltercer impulso. Por lo tanto podemos afirmar que la simplificacion que se realizo en el apartadoanterior, consistente en considerar que todo el cambio de plano se concentra en el segundo impulso,produce unos errores que se pueden asumir en una primera aproximacion.

Analizamos ahora como evoluciona el porcentaje de cambio plano, para el caso del repartooptimo, que se realiza en el primer y en el tercer impulso. En el caso del primer impulso el porcentajede cambio de plano que realizamos es aproximadamente constante con λ, excepto para cambios deplano ∆i pequenos y con λ tendiendo a 1. En estos ultimos casos ∆i1 aumenta mucho. Respecto alporcentaje del cambio de plano que se realiza en el tercer impulso, podemos observar la circunstanciade que para valores de ∆i grandes tiene un maximo para un cierto λ y despues siempre se hacecero cuando λ = β. Esto ocurre porque en λ = β, el radio de la orbita final y el radio de apoapsiscoinciden, y por tanto, la transferencia bielıptica es equivalente a una transferencia de Hohmann.El tercer impulso en estos casos no es necesario porque el segundo impulso inyecta el vehıculo enla orbita final. Ademas, se puede comprobar que en cualquier punto en el que λ = β, los valores de∆i1 y ∆i2 que obtenemos de la transferencia bielılptica coinciden con los que calculamos para latransferencia de Hohmann.

Como hemos visto que el porcentaje de cambio de plano que realizamos en el tercer impulsotiene un maximo y despues decrece hasta cero, y que ∆i1 es aproximadamente constante con λ, elporcentaje de cambio de plano que realizamos en el segundo impulso tiene que alcanzar un mınimocuando ∆i3 alcanza su maximo, y tiene que crecer cuando ∆i3 disminuye hasta cero.

En las figuras que se han representado no se aprecia con detalle como varıa el cambio deplano que se debe de realizar en cada impulso en funcion del valor del cambio de plano totalde la transferencia ∆i. Por eso vamos a analizar lo que ocurre para los casos practicos de unatransferencia bielıptica desde una orbita de aparcamiento tıpica a una orbita geoestacionaria y auna orbita lunar. Como vimos en el capıtulo de la transferencia de Hohmann estas transferenciasse caracterizan por unos valores de λ = 6,46 y λ = 58,88 respectivamente. Como valores de βtomaremos β = 10 para el primer caso y β = 70 en el segundo.

Los resultados para el caso de la transferencia lunar se representan en la figura 35. Se puedeobservar que tanto el cambio de plano del primer impulso como el del tercero se hacen cero para∆i = 0o y ∆i = 180o y presentan un maximo, mientras que el cambio de plano que se realiza enel segundo impulso presenta una evolucion monotona creciente. Aunque no se han representadolas figuras para el caso de la transferencia a la orbita geoestacionaria, hay que comentar que laevolucion de las curvas es identica a la de la figura 35 y que lo unico que cambia son los puntos enlos que ∆i1 y ∆i3 alcanzan sus maximos.

60


0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35λ = 58.88; β = 70

∆ i [º]

∆i 1

[º]

(a)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

20

40

60

80

100

120

140

160

180

∆ i [º]

∆i 2

[º]

(b)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

∆ i [º]

∆i 3

[º]

(c)

Figura 35: Reparto del cambio de plano entre los tres impulsos para una transferencia a una orbitalunar con λ = 58,88, β = 70 y en funcion de ∆i. (a) representa el cambio de plano en el primerimpulso, (b) el del segundo impulso y (c) el del tercero.

61


Para el caso de la transferencia lunar el valor de los maximos es: ∆i1 = 0,3309o, que se alcanzaen ∆i = 81o; y ∆i3 = 0,3616o, que tambien se alcanza en ∆i = 81o. Para la transferencia en unaorbita geoestacionaria los maximos son: ∆i1 = 2,01o que se da en ∆i = 65o; y∆i3 = 1,928, quetambien se da en ∆i = 65o.

Viendo estos resultados se puede decir que el reparto del cambio de plano es considerablementemayor en el caso de la transferencia a una orbita geoestacionaria que en el de la lunar. Ademas, lasmaniobras en las que mas nos interesara realizar el cambio de plano repartido seran las que tenganun cambio de plano cercano a ∆i ∼ 65o para la transferencia geoestacionaria y las que tengan uncambio de plano cercano a ∆i ∼ 81o para la transferencia lunar.

3.2.2.2. Comprobacion de los Mınimos. Estudio de la Derivada Segunda

Antes de continuar estudiando el ahorro en terminos de incremento de velocidad que se puedellegar a conseguir repartiendo el cambio de plano de una transferencia bielıptica, vamos a comprobarque los resultados que hemos obtenido en el apartado anterior son correctos. Esto es, vamos aanalizar si realmente los resultados obtenidos son los mınimos globales de la ecuacion (3.29).

Para ello, en primer lugar implementaremos la expresion (3.29) en Matlab, y fijando unos valoresde λ, β, y ∆i, podremos obtener la evolucion de ∆VT /Vi en funcion de ∆i1 y ∆i2. De esta formapodemos ver graficamente como es la funcion, y si tiene un mınimo global, y ademas podremosconocer de forma aproximada donde se encuentra este mınimo. El resultado debe ser el mismo queel que obtuvimos en el apartado anterior.

Vamos a tomar unos valores de λ = 20, β = 25, y ∆i = 25o, y los resultados obtenidos serepresentan en la figura 36. Por un lado, en la figura 36a vemos que la funcion alcanza un unicomınimo global. Ademas, si representamos un rango mas amplio de las variables ∆i1 y ∆i2, veremosque el comportamiento de la funcion ∆VT /Vi se repite debido a que es armonica.

Por otra parte en la figura 36b se ve con mas detalle el punto en el que se alcanza el mınimo.Aproximadamente se encuentra en ∆i1 = 0,485o y ∆i2 = 24,107o. En ese punto ∆VT /Vi = 0,538.

Si ahora nos vamos a las figuras 31a y 31b con los datos que hemos tomado (λ = 20, β = 25),obtenemos unos porcentajes: ∆i1 = 1,954 % y ∆i2 = 96,43 %. Como el cambio de plano total es∆i = 25o: ∆i1 = 0,488o y ∆i2 = 24,107. Viendo estos resultados queda comprobado que el repartode cambio de plano que hemos calculado es el que proporciona el mınimo coste de la transferenciabielıptica.

62


(a) Representacion tridimensional.

∆ i1[º]

∆i 2[º]

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 1010

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

0.56

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

(b) Detalle del mınimo representado como curvas de nivel.

Figura 36: Evolucion del coste total adimensional de la transferencia para λ = 20, β = 25, ∆i = 25o

y en funcion de ∆i1 y ∆i2.

63


Otra forma de comprobar si los resultados son correctos, mas rigurosa desde el punto de vistamatematico, es calcular la Matriz Hessiana de ∆VT /Vi y comprobar que es semidefinida positiva.Para ello hay que obtener la derivada segunda de la expresion (3.29) con respeto a ∆i1 y ∆i2 dosveces, ası como las derivadas segundas cruzadas. A continuacion calculamos dichas derivadas:

∂2(∆VT /Vi)

∂(∆i1)2=

√2β

1 + βcos(∆i1)√

1 + 3β

1 + β− 2

√2β

1 + βcos(∆i1)

−

2β

1 + βsen2(∆i1)(

1 + 3β

1 + β− 2

√2β

1 + βcos(∆i1)

) 32

+

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)√

λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

−

2β

λ2(λ+ β)sen2(∆i−∆i1 −∆i2)(

λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

) 32

(3.36)

∂2(∆VT /Vi)

∂(∆i2)2=

2

√λ

β2(1 + β)(λ+ β)cos(∆i2)√

4λ+ 2β + 2λβ

β(1 + β)(λ+ β)− 4

√λ

β2(1 + β)(λ+ β)cos(∆i2)

−

4λ

β2(1 + β)(λ+ β)sen2(∆i2)(

4λ+ 2β + 2λβ

β(1 + β)(λ+ β)− 4

√λ

β2(1 + β)(λ+ β)cos(∆i2)

) 32

+

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)√

λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

−

2β

λ2(λ+ β)sen2(∆i−∆i1 −∆i2)(

λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

) 32

(3.37)

64


∂2(∆VT /Vi)

∂(∆i1)∂(∆i2)=

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)√

λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

−

2β

λ2(λ+ β)sen2(∆i−∆i1 −∆i2)(

λ+ 3β

λ(λ+ β)− 2

√2β

λ2(λ+ β)cos(∆i−∆i1 −∆i2)

) 32

(3.38)

Por el teorema de la igualdad de las derivadas parciales se deduce que

∂2(∆VT /Vi)

∂(∆i1)∂(∆i2)=

∂2(∆VT /Vi)

∂(∆i2)∂(∆i1)

por tanto, ya tenemos los cuatro componentes de la Matriz Hessiana. Esta matriz queda:

H(∆VT /Vi) =

∂2(∆VT /Vi)

∂(∆i1)2

∂2(∆VT /Vi)

∂(∆i1)∂(∆i2)

∂2(∆VT /Vi)

∂(∆i1)∂(∆i2)

∂2(∆VT /Vi)

∂(∆i2)2

(3.39)

Implementando las expresiones (3.36), (3.37) y (3.38) en Matlab se ha comprobado que eldeterminante de la Matriz Hessiana (3.39) es positivo para todos los casos que estudiamos en elapartado anterior y que la primera componente de la matriz tambien lo es. Por este motivo laMatriz Hessiana es definida positiva en estos casos y podemos concluir que definitivamente losvalores calculados en el apartado anterior son los mınimos que buscabamos.

65


3.2.2.3. Ahorro en Terminos de Incremento de Velocidad

Tras comprobar que el coste mınimo en terminos de incremento de velocidad en las transferenciasbielıpticas se consigue repartiendo el cambio de plano de la forma que vimos anteriormente, vamosahora a profundizar en el estudio de lo que realmente se ahorra. Para llevar a cabo este analisiscompararemos el coste de realizar la transferencia bielıptica repartiendo el cambio de plano dela forma optima, y el coste que supone si se realiza todo el cambio de inclinacion en el segundoimpulso.

Para conocer el coste de la transferencia con el cambio de plano repartido de forma optima,solo tenemos que sustituir valores en la expresion (3.29). Respecto al coste de realizar la maniobracon todo el cambio de plano en el segundo impulso, utilizaremos las expresiones (3.12) y (3.14)(estas ecuaciones corresponden al caso de transferencia coplanar) para calcular el coste del pri-mer y el tercer impulso respectivamente. Para el segundo impulso usaremos la expresion (3.21)adimensionalizada con la velocidad inicial Vi.

A continuacion representamos el coste de algunas transferencias especıficos para ver el ahorroque se puede llegar a conseguir. Teniendo en cuenta las figuras 29-34, observamos que para valoresbajos de β se produce un reparto del cambio de plano mayor, es decir, que el cambio de plano quese realiza en el segundo impulso es menor, y el que se realiza en el primer y tercer impulso es mayor.Por este motivo, hemos tomado unos valores de β = 10 y β = 20.

En las figuras que hemos mencionado y tambien en la 35 vimos que los casos en los que elcambio de plano se repartıa mas entre los impulsos eran los que tenıan un cambio de plano total ∆igrande (los maximos que vimos se alcanzaban para ∆i = 65o y ∆i = 81o). Por ello se ha decididoa analizar dos casos con ∆i = 25o y ∆i = 55o. No se han tomado mayores porque en la practicaes complicado que se superen estos valores. Los resultados obtenidos para estos casos que hemoselegido se representan en las figuras 37-40.

En todas las figuras se representa primero una grafica en la que se compara el coste de latransferencia con el cambio de inclinacion repartido de forma optima y realizando el cambio deinclinacion en el segundo impulso. En segundo lugar se presenta la diferencia entre los dos costes dela maniobra, de forma que se puede apreciar con detalle el punto en el que se consigue la maximadiferencia y el valor de esta.

Como se puede comprobar, se cumplen los comportamientos que hemos comentado antes, esdecir, la diferencia es mayor con β = 10 que con β = 20, y tambien se alcanzan unas diferenciasentre los costes mayores cuando ∆i = 55o.

Para hacerse una idea del ahorro que se puede llegar a conseguir con el reparto del cambio deplano vamos a dimensionalizar los valores maximos del ahorro para los casos que estamos estu-diando. Vamos a suponer que se parte de una orbita de aparcamiento a una altitud de 150 kmde la Tierra, por lo que la velocidad inicial es Vi =

√µ/ri = 7,81 km/s, siendo µ el parametro

gravitacional de la Tierra.

66


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9∆ i = 25º; β = 10

λ=rf/r

i[−]

∆V

T/ V

i[−

]

Cambio de inclinación repartidoCambio de inclinación en el segundo impulso

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6x 10

−3

λ=rf/r

i[−]

∆V

T0/ V

i−

∆V

T/ V

i[−

]

(b)

Figura 37: Representamos para transferencias con ∆i = 25o, β = 10, y en funcion de λ, los costessi realizamos la transferencia con el cambio de plano repartido y los costes haciendo el cambio deplano en el segundo impulso (a) y la diferencia entre los costes, es decir, el ahorro en (b).

67


2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9∆ i = 25º; β = 20

λ=rf/r

i[−]

∆V

T/ V

i[−

]


(a)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

4

6

8

10

12

14x 10

−4

λ=rf/r

i[−]

∆V

T0/ V

i−

∆V

T/ V

i[−

]

(b)


68


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85∆ i = 55º; β = 10

λ=rf/r

i[−]

∆V

T/ V

i[−

]


(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5x 10

−3

λ=rf/r

i[−]

∆V

T0/ V

i−

∆V

T/ V

i[−

]

(b)


69


2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95∆ i = 55º; β = 20

λ=rf/r

i[−]

∆V

T/ V

i[−

]


(a)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

−3

λ=rf/r

i[−]

∆V

T0/ V

i−

∆V

T/ V

i[−

]

(b)


70


En primer lugar, en la figura 37 se representan los costes para unas transferencias con ∆i = 25o

y β = 10. La maxima diferencia entre los costes de la transferencia con el cambio de plano repartidoy con el cambio de plano en el segundo impulso se da para λ = 1,3 y el valor del ahorro que seconsigue lo calculamos de la siguiente forma: 0,0049 · 7,81 = 0,0383 km/s. Como el coste total dela maniobra es de 5.440 km/s el porcentaje de ahorro es del 0.70 %.

En la figura 38 tambien representamos transferencias con ∆i = 25o pero en este caso β = 20.El maximo ahorro lo encontramos para la transferencia con λ = 1,35. El valor de este ahorro queconseguimos lo obtenemos como sigue: 0,0013 · 7,81 = 0,0108 km/s. El coste total de la maniobraes de 5.701 km/s por lo que el porcentaje de ahorro es de 0.19 %.

En la figura 39 cambiamos el valor del cambio de inclinacion a ∆i = 55o, por su parte β = 10de nuevo. En este caso el maximo ahorro lo conseguimos con λ = 3,18. Como vemos, al aumentarel cambio de plano hemos hecho que la transferencia con la que mas ahorramos tenga un valor deλ bastante mayor que antes. El valor de este ahorro es 0,0054 · 7,81 = 0,0425 km/s. Como el costetotal de la maniobra es 5.1015 km/s, el porcentaje de ahorro es del 0.83 %, ligeramente superior alprimero que hemos visto.

Por ultimo, en la figura 40, volvemos a mantener el valor de ∆i = 55o y fijamos β = 20. Conestos datos, la transferencia con la que se consigue un mayor ahorro se da para λ = 5,2 y el valordel ahorro es de 0,0017 · 7,81 = 0,0136 km/s. El coste total de la maniobra vemos que es de 4.770km/s y el porcentaje de ahorro es del 0.29 %.

Para aclarar toda esta informacion que hemos extraıdo de las figuras vamos a exponerla a conti-nuacion en unas tablas, de forma que podamos comparar los resultados de las cuatro transferenciasque hemos analizado.

λ = 1,3; β = 10; ∆i = 25o λ = 1,35; β = 20; ∆i = 25o

∆i1 [o] 1.992 1.081

∆i2 [o] 20.818 22.693

∆i3 [o] 2.191 1.228

Coste (2o Imp.) [km/s] 5.478 5.712

Coste (Repartido) [km/s] 5.440 5.701

Ahorro [km/s] 0.0383 0.0108

Ahorro [ %] 0.70 0.19

λ = 3,18; β = 10; ∆i = 55o λ = 5,2; β = 20; ∆i = 55o

∆i1 [o] 2.009 1.075

∆i2 [o] 50.336 52.074

∆i3 [o] 2.655 1.851

Coste (2o Imp.) [km/s] 5.144 4.784

Coste (Repartido) [km/s] 5.102 4.770

Ahorro [km/s] 0.0425 0.0136

Ahorro [ %] 0.83 0.29

71


Viendo todos estos resultados se pueden sacar muchas conclusiones. En primer lugar vemos queen los casos en los que mas se reparte el cambio de inclinacion son en los que mas se ahorra: enla primera transferencia se reparte mas el cambio de plano que en la segunda y el ahorro que seconsigue es mayor. Lo mismo ocurre con la tercera respecto a la cuarta. Ademas, como ya se predijoy se vio en las figuras, se consiguen ahorros mayores para valores de β pequenos y para cambios deinclinacion elevados.

El hecho de que interesen valores de β pequenos se explica sabiendo que un aumento de βsignifica que la elipse de transferencia es mas grande, y por tanto el segundo impulso se aplica maslejos del cuerpo central. Como vimos anteriormente, cuanto mas lejos se realiza el segundo impulso,menor va a ser su coste, y por tanto, se va a realizar un mayor porcentaje del cambio de planoen este impulso. Como consecuencia el reparto del cambio de plano es menor y el ahorro que seconsigue al realizarlo tambien disminuye.

Otro dato curioso es que al aumentar el valor de λ disminuye el coste de la maniobra. Esto seve mas claro en las graficas, ya que en las tablas vamos cambiando mas parametros ademas delvalor de λ. Este hecho no es muy intuitivo, porque significa que para ir a orbitas mas lejanas, elcoste de la maniobra es menor. Ya vimos en la figura 26 que en la transferencia bielıptica coplanarel coste de la maniobra siempre disminuye excepto para λ > β, que es un caso que no se utiliza enla practica y que no hemos estudiado.

Ademas, observando los porcentajes de ahorro que hemos obtenido nos damos cuenta que engeneral el ahorro que se puede llegar a conseguir repartiendo el cambio de plano en una transferenciabielıptica es menor que el que se puede conseguir en una transferencia de Hohmann. De hecho, unatransferencia de Hohmann es equivalente a una transferencia bielıptica en el lımite λ = β, y hemosvisto que el ahorro que conseguıamos con la transferencia bielıptica aumenta si disminuye el valorde β. La explicacion de este comportamiento tambien se puede razonar desde el punto de vista deque en una transferencia bielıptica con el mismo λ que una de Hohmann, el segundo impulso serealiza mas lejos del cuerpo central. Como dijimos antes en estos casos el reparto del cambio deplano optimo es menor y el ahorro que se consigue al realizar este reparto tambien es mas pequeno.

72


3.2.2.4. Estudio de Casos Practicos

Del mismo modo que hicimos en el capıtulo de la transferencia de Hohmann, vamos a estudiaralgun caso practico que nos permita concluir si en la practica va a interesar repartir el cambio deplano de la transferencia bielıptica o si la complicacion que supone repartirlo no merece la penadesde el punto de vista del ahorro economico que se va a conseguir.

Con vistas a poder comparar los resultados con los obtenidos en la transferencia de Hohmannvamos a estudiar los dos mismos casos, es decir, la transferencia desde una orbita de aparcamiento auna orbita geoestacionaria y a una orbita lunar. Vamos a suponer que para llegar a la orbita de apar-camiento, de 150 km de altitud, se realiza el lanzamiento desde tres bases: Baikonur (45o57’54”N63o18’18”E), Cabo Canaveral (28o23’39”N 80o36’28”O) y Kourou (5o14’14”N 52o45’38”O). Igualque hicimos en la de Hohmann, vamos a suponer que en cada caso la orbita de aparcamiento tie-ne la mınima inclinacion que se puede conseguir desde la base, que coincide con su latitud. Portanto, las inclinaciones de las orbitas de aparcamiento seran: 45.9o, 28.4o y 5.2o. Como vimos conla transferencia de Hohmann, la transferencia a una orbita geoestacionaria se caracteriza porqueλ = 6,46 y la inclinacion final es de 0o. En cuanto a la transferencia lunar vimos que λ = 58,88y, suponiendo de nuevo que coinciden los nodos del plano de la orbita lunar y de la eclıptica, lainclinacion final de la orbita es de 28.6o.

Como hemos visto que al coger valores de β grandes los beneficios que supone el repartir elcambio de plano disminuye (el ahorro que se consigue es menor), vamos a tomar en cada caso unvalor de β cercano a λ. Para la transferencia geoestacionaria usaremos β = 8 y para la lunar β = 65.

En las dos tablas siguientes presentamos para las dos transferencias la forma en la que se reparteel cambio de plano, los costes de la maniobra con el cambio de plano repartido y con el cambio deplano en el segundo impulso, ası como el ahorro que supone repartirlo.

Para la transferencia a la orbita geoestacionaria con λ = 6,46:


∆i1 [o] 2.2711 1.7611 0.3818

∆i2 [o] 42.4024 25.7162 4.6264

∆i3 [o] 1.2255 0.9219 0.1919

Coste (2o Imp.) [km/s] 4.7063 4.3533 4.0817


Ahorro [km/s] 0.0375 0.0234 1.1684·10−3

Ahorro [ %] 0.80 0.54 0.028

73


Para la transferencia a la orbita lunar con λ = 58,88:


∆i1 [o] 0.1258 1.4928·10−3 0.1665

∆i2 [o] 17.0941 0.1976 23.1262

∆i3 [o] 0.0801 9.494·10−4 0.1062

Coste (2o Imp.) [km/s] 3.9602 3.9519 3.9684


Ahorro [km/s] 1.084·10−4 1.527·10−8 1.898·10−4

Ahorro [ %] 2.737·10−3 3.864·10−7 4.783·10−3

Viendo los resultados que hemos obtenido y teniendo en cuenta los de la transferencia deHohmann podemos sacar varias conclusiones. Lo primero es decir que todos los resultados sonparecidos porque hemos estudiado una transferencia bielıptica cercana a la de Hohmann debidoa los valores de β que hemos fijado. A pesar de ello existen algunas diferencias importantes. Sepuede observar que en todas las transferencias bielıpticas el cambio de plano que se realiza en elprimer impulso es menor que el que realizabamos en el caso de Hohmann. Sin embargo, al sumarlos cambios de plano que se realizan en el primer y tercer impulso siempre se supera el cambiode plano que se realizaba en el primer impulso de las transferencias de Hohmann. Por tanto, entodos los casos tambien sucede que el cambio de plano que se realiza en el segundo impulso de lastransferencias bielıpticas es menor que en las de Hohmann.

En cuanto a los costes de la maniobra, se cumple lo que vimos en el caso coplanar, es decir, paraλ = 58,88 (por tanto λ > 15,58) y con β > λ las transferencias bielıpticas tienen un coste menorque las de Hohmann. Para λ = 6,46 (por tanto λ < 11,94) las transferencias bielıpticas presentanun coste mayor que las de Hohmann excepto para el lanzamiento desde Baikonur en el que el costees ligeramente inferior.

En la practica, para elegir una transferencia u otra, ademas de atender al coste de cada unahay que tener en cuenta el tiempo que se emplea para realizar la maniobra. Ahora que estamoscomparando las transferencias de Hohmann y las bielıpticas vamos a estudiar el periodo para amboscasos. Para calcularlo tenemos que recordar que el periodo de una orbita viene definido por (3.17)y que en todos los casos que estamos estudiando se parte de una orbita de aparcamiento con unaaltitud de 150 km sobre la superficie de la Tierra. Por tanto, el tiempo que se tarda en realizar latransferencia de Hohmann geoestacionaria y lunar son los siguientes:

TGEO = π

√√√√( ra+rp2

)3

µ= π

√√√√(42171,78+6528,142

)3

µ= 5,252 hr (3.40)

74


TLUN = π

√√√√( ra+rp2

)3

µ= π

√√√√(384376,88+6528,142

)3

µ= 4,9766 dıas (3.41)

Para el caso de las transferencias bielıpticas nos queda:

TGEO = π

√√√√( ra1+rp12

)3

µ+ π

√√√√( ra2+rp22

)3

µ

= π

√√√√(52225,12+6528,142

)3

µ+ π

√√√√(52225,12+42171,78442

)3

µ= 21,133 hr

(3.42)

TGEO = π

√√√√( ra1+rp12

)3

µ+ π

√√√√( ra2+rp22

)3

µ

= π

√√√√(424329,1+6528,142

)3

µ+ π

√√√√(424329,1+384376,882

)3

µ= 20,5671 dıas

(3.43)

Como vemos, el tiempo que se tarda en realizar las transferencias bielıpticas llega a cuadruplicarel que se necesita en las de Hohmann. Por tanto, este es un aspecto muy importante a considerarcuando se vaya a elegir una u otra. En todo caso habra algunas misiones en las que sea masimportante que otras el tiempo que se tarda en llegar a la orbita de destino.

Por ultimo comentar que el ahorro que se consigue al repartir el cambio de plano en estastransferencias bielıpticas es muy parejo al que se conseguıa con las de Hohmann. En los casosde la transferencia lunar el ahorro es practicamente despreciable y en el caso de la transferenciageoestacionaria el ahorro es pequeno pero se debe tener en cuenta.

75

4. Conclusiones

Tal y como se describio en la introduccion, el objetivo principal de este trabajo es estudiarel reparto del cambio de plano optimo para distintas transferencias, con la finalidad de analizarposteriormente como afecta esto al coste de la maniobra. Despues de haber estudiado en profundidadtanto la transferencia de Hohmann como la transferencia bielıptica con cambio de plano y haberalcanzado resultados satisfactorios, vamos a concluir este trabajo con un analisis de los resultadosobtenidos y las principales conclusiones que pueden extraerse de dichos resultados.

Viendo los resultados que hemos obtenido en todos los casos, la primera conclusion generalque hay que comentar es que en el reparto del cambio de plano entre los impulsos de unatransferencia, el mayor porcentaje del cambio de plano se va a realizar en el impulso que seefectue mas lejos del cuerpo central. Es mas, cuanto mas alejado este el impulso del cuerpocentral, mas porcentaje del cambio de plano se realiza en el y menos en los demas, y portanto, menos se reparte el cambio de plano.

En la transferencia de Hohmann hemos visto que para valores de λ > 1 (es decir, paratransferencias en las que el radio de la orbita final es mayor que el de la orbita inicial), lamayor parte del cambio de plano se va a realizar en el segundo impulso. En muchos casos elporcentaje del cambio de plano que realizamos en el segundo impulso supera el 90 % del total.Ademas, los casos en los que mas se reparte el cambio de plano son aquellas transferenciascon un valor de λ cercano a la unidad. Tambien vimos que al fijar un valor de λ, se puedeencontrar un valor de ∆i con el que el reparto del cambio de plano es maximo.

Para valores de λ < 1 (caso en el que vamos a una orbita con un radio menor que la inicial)ocurre lo contrario, la mayor parte del cambio de plano se realiza en el primer impulso.

En cuanto a los costes, hemos visto que cuanto mayor es el reparto del cambio de plano,mayor es la diferencia entre los costes que se consiguen si repartimos el cambio de plano deforma optima o si realizamos todo el cambio de plano en un unico impulso. Tras obtener estosresultados, hemos comprobado que la aproximacion que se hace al considerar (para λ > 1)todo el cambio de plano en el segundo impulso es buena y da unos resultados aceptables parauna primera aproximacion. Lo mismo se puede decir en el caso de λ < 1 si aproximamosconsiderando que todo el cambio de plano se realiza en el primer impulso.

Para la transferencia de Hohmann entre orbitas elıpticas tambien se cumple la norma de laprimera conclusion. En el caso mas habitual, en el que el radio de perigeo de la orbita inicialsea menor que el radio de apogeo de la final, la mayor parte del cambio de plano se realiza enel segundo impulso. Ademas, tambien hemos comprobado, tanto para el caso coplanar comopara la transferencia con cambio de plano, que siempre se cumple la regla de optimalidad.De las dos transferencias posibles la que va a tener un menor coste va a ser la que pase porel mayor apogeo.

Cuando analizamos la transferencia bielıptica vimos que el reparto del cambio de plano opti-mo era analogo al que obtuvimos con la transferencia de Hohmann. Para todos los casosestudiados, esto es, para λ > 1 y β > λ (son los casos que se utilizan en la practica), el mayorporcentaje del cambio de plano se realiza en el segundo impulso. Este impulso es el que se

76

4. Conclusiones

efectua mas lejos del cuerpo central por lo que tambien cumple lo que vimos en la primeraconclusion. En muchos casos el porcentaje que se realiza en el segundo impulso se encuentraen torno al 90 %. El resto del cambio de plano se reparte entre el primer y el tercer impulso.Ademas, al igual que hemos visto en el caso de Hohmann, fijando unos valores de λ y de β,se puede encontrar un valor de ∆i en el que el reparto del cambio de plano es maximo.

En el lımite λ = β, en el que la transferencia bielıptica es equivalente a una transferenciade Hohmann con el mismo valor de λ, todo el cambio de plano se reparte entre el primer yel segundo impulso. Y, como era de esperar, en estos casos el reparto del cambio de planooptimo de la transferencia bielıptica coincide con el reparto optimo de la transferencia deHohmann.

En cuanto al coste que se consigue ahorrar si se reparte el cambio de plano de forma optimaen vez de realizarlo completo en el segundo impulso, hemos visto que es menor que el ahorroque se puede conseguir en las transferencias de Hohmann. Ademas, cuanto mayor es el valorde β, mas cantidad del cambio de plano se realiza en el segundo impulso; por tanto, menosse reparte el cambio de plano y menor es el ahorro en terminos de incremento de velocidadque se puede llegar a conseguir.

Al comparar las transferencias bielıpticas y las de Hohmann en el caso coplanar, hemos vistoque para valores de λ < 11,94 la bielıptica nunca supera a la de Hohmann; para 11,94 <λ < 15,58 la transferencia bielıptica mejora a la de Hohmann para valores de β grandes; ypara λ > 15,58 la transferencia bielıptica mejora a la de Hohmann siempre que β > λ. Entodo caso, tambien hemos visto que para elegir una u otra transferencia en una mision real,hay que tener muy en cuenta el tiempo que se emplea en realizar la transferencia. Hemoscomprobado que el tiempo de la transferencia bielıptica con un valor de β cercano a λ llegaa cuadruplicar el tiempo empleado en la de Hohmann.

Aunque los resultados obtenidos son de interes para el estudio del reparto del cambio de planooptimo para distintas transferencias, sin duda, se trata de un ambito en el que queda mucho porestudiar. Algunas lıneas de trabajo futuro que serıan interesantes abordar para completar y mejoraralgunos de los resultados que se han obtenido en el trabajo son las siguientes:

Ampliar el estudio del reparto del cambio de plano a transferencias mas complejas, ya seaalguna diferente a la que se ha analizado o combinaciones de estas. Esto provocara queaumente el numero de impulsos a realizar en la maniobra y por tanto la optimizacion delreparto del cambio de plano se convierta en un problema mas complejo.

Estudiar el reparto del cambio de plano optimo sin realizar la hipotesis de que los impulsosson puntuales. Esto supondra que al repetir el analisis para los vehıculos con un sistemapropulsivo formado por motores cohete de combustible solido o lıquido se obtendran valoresmayores para los costes de las transferencias. Ademas permitira estudiar vehıculos espacialescon propulsion continua. En estos casos se podra estudiar en que zonas de la transferenciainteresa realizar un mayor porcentaje del cambio de plano para que el reparto del mismo a lolargo de toda la trayectoria sea optimo.

77

Corroborar los resultados obtenidos en este estudio sobre la optimizacion del reparto del cam-bio de plano utilizando metodos de optimizacion mas potentes y complejos. Esta replicacionpermitirıa comprobar que los resultados que hemos obtenido son precisos y disminuirıa latolerancia de las imprecisiones que se puedan haber cometido con los metodos utilizados eneste estudio.

78

Referencias

Referencias

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