REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POULARA PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

PORTUGESA-GUANARE

ESTÁTICA DE FLUIDOS

Alumnos:

Jesús Morales

Jhovanny

Deivis

Douglas Duran

Enso Montana

Leidys Peres

PRESIÓN EN UN PUNTO

Se conoce que la presión es la fuerza que ejerce un fluido por unidad de área

y que la presión en cualquier punto de un fluido es la misma en todas las

direcciones, con la misma magnitud, tomándose como una cantidad escalar.

Esto se puede demostrar cuando se toma un elemento de fluido en forma de

cubo y se le aplican presiones en su superficie tal como se muestra en la figura:

Ecuación Básica De La Estática De Fluidos

Una columna de líquido de una altura determinada ejercerá una presión

específica en el fondo de la columna y en las paredes laterales de la columna en

la zona cercana al fondo. Para calcular dicha presión, sólo se tendrán en cuenta

la altura de la columna, la densidad del fluido en el interior de la columna y la

aceleración de la gravedad, pero no influirá la forma de la columna. Si tenemos

un líquido estático de densidad constante r, cualquier elemento dentro del mismo

estará en equilibrio. Vamos a consideren un elemento de fluido con forma de

Para la segunda ley de newton:

Para: 𝑃3 y 𝑃4

disco de área horizontal A y altura dh. La masa de este elemento es:

dr=p*dV=pA*dh.

Y su peso:

dw=pg*A*dh

Las fuerzas que actúan sobre este elemento son perpendiculares a su superficie

en cada punto. En un plano horizontal la resultante de las fuerzas es cero, puesto

que el elemento de fluido no se mueve:

𝑭𝒊𝒙𝒊∑

= 𝟎

Esto es, las fuerzas horizontales que actúan sobre el disco son debidas a la

presión del líquido circundante sobre el elemento y, por simetría, la presión debe

ser la misma en todas las direcciones contenidas en el plano horizontal.

Verticalmente, el elemento de fluido también está en reposo, por lo que la

resultante de las fuerzas debe ser también cero:

𝑭𝒊𝒚𝒊∑

= 𝟎

En este caso, las fuerzas verticales no sólo son debidas a la presión que ejerce

el líquido circundante sobre las caras del disco, sino que también está presente

el peso del propio disco.

Supongamos que la presión ejercida sobre la cara inferior del disco es 𝒑 y

sobre la cara superior es 𝒑 + 𝒅𝒑. La resultante de las fuerzas verticales es:

𝒑𝑨 − (𝒑 + 𝒅𝒑)𝑨 − 𝒅𝒘 = 𝟎

𝒑𝑨 = (𝒑 + 𝒅𝒑)𝑨 + 𝒑𝒈. 𝑨. 𝒅𝒉 = 𝟎

Operando la ecuación anterior, obtenemos la siguiente ecuación diferencial de

primer orden:

𝒅𝒑

𝒅𝒉= −𝒑𝒈

El significado físico de esta ecuación es que la presión varía con la profundidad

(o altura) dentro del líquido en función del peso específico del mismo (g = rg), el

cual es constante en todo el fluido. Según esto, la causa de esta variación es el

peso por unidad de área transversal de las capas del líquido que se encuentran

por encima del elemento de fluido considerado. La condición que se debe cumplir

es que el fluido debe ser incompresible, para que la densidad permanezca

constante.

Si consideramos 𝑝1como la presión que hay a una profundidad (altura) ℎ1 y

𝑃2como la presión a otra profundidad ℎ2, la solución de la ecuación diferencial

anterior es:

𝑷𝟐 − 𝑷𝟏 = −𝑷𝒈(𝒉𝟐 − 𝒉𝟏)

La cual se denomina Ecuación Básica de la Estática de Fluidos.

Entonces si 𝒉𝟏 = 𝒉𝟐 se cumple que 𝒑𝟏 = 𝒑𝟐, lo que significa que la presión

es la misma en todos los puntos de un plano horizontal dentro del líquido.

La ecuación básica de la estática de fluidos nos proporciona la diferencia de

presión que hay en dos puntos dentro de un fluido que se encuentran a

diferentes profundidades, independientemente de la forma del recipiente.

Si esto es así, dos puntos dentro de un fluido se pueden conectar por una

tubería hecha con tramos verticales y horizontales.

Por ejemplo, consideremos un tubo en forma de U. A lo largo del camino entre

los puntos A y B hay una diferencia de presión correspondiente a:

𝜟𝒑 = 𝒑𝒈 ∗ 𝒚𝒊

Para cada segmento vertical de altura 𝒚𝒊, mientras que en los segmentos

horizontales no hay cambio de presión. Entonces, la diferencia de presión entre

los puntos A y B es 𝒓𝒈 veces la suma algebraica de los segmentos verticales

que hay entre A y B, o bien:

𝑷𝑩 − 𝑷𝑨 = −𝑷𝒈(𝒉𝑩 − 𝒉𝑨)

Unidades y escala para la medida de la presión.

La presión puede expresarse con respecto a cualquier nivel de referencia

arbitraria. Los niveles arbitrarios de referencia más usuales son el cero absoluto y

la presión atmosférica local. Cuando la presión se expresa como una diferencia

entre su valor y el vacío completo, se conoce como presión absoluta, mientras que

cuando se expresa como la diferencia entre su valor y la presión atmosférica local,

se conoce como presión manométrica. Los dispositivos de medición de presión

llamados manómetros, son utilizados para medir la presión manométrica, entre

ellos cabe mencionar, el manómetro de Bourdon, y el manómetro estándar.

(fig. 1 a y b)

En La siguiente figura se ilustra la información y las relaciones entre las

unidades comunes de medidas de presión. La atmósfera estándar es la presión

media a nivel del mar, 29.92 pulg Hg

Unidades de presión:

Las unidades de presión expresan una unidad de fuerza sobre unidad de área.

Las más usadas son 𝐾𝑔/𝑐𝑚2, psi, (lbf/𝑝𝑢𝑙𝑔2), Pascal (𝑁/𝑚2), bar, atmósfera,

Torr (mm de columna de Hg).

La siguiente tabla resume los factores de conversión de las unidades de

presión más comunes.

Equilibrio relativo:

Cuando el fluido se encuentra en el interior de un recipiente, sin ocuparlo

totalmente, cuenta con una completa libertad de movimiento para desplazarse

por el interior del mismo, este movimiento ocasiona que el líquido vaya

tomando una cierta inclinación que depende de la aceleración a que se halla

sometido el sistema.

Se dice que cuando un fluido se mueve con aceleración lineal o rotación uniforme

este se encuentra en equilibrio relativo. En este tipo de movimiento no hay

deslizamiento entre capas de fluido, un ejemplo muy común para imaginarse esto

es una baraja de naipes deslizándose en donde cada carta tiene la misma

velocidad, por ello es importante tomar en cuenta que en condiciones de

movimiento relativo los fluidos se mueven como si fueran un sólido.

Fuerzas de un fluido en reposo sobre superficies planas y curvas

Sea la superficie de la figura, se desea determinar la fuerza sobre su superficie

superior, si ésta está bajo la presión de un líquido mientras que por el otro lado

no tiene presión aplicada.

Como ya se dijo la fuerza hidrostática actúa perpendicularmente a cualquier

superficie en el fluido.

La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento

diferencial:

Para ello se debe tomar en cuenta que la relación entre la presión y la altura

viene dada por:

Si se usan presiones manométricas, en general P0es cero, luego:

Y como la geometría de la placa se expresa en función de 𝑥 e 𝑦, ℎ se puede

expresar como:

En este caso la ecuación de la fuerza será:

La distancia a un centroide se define como:

Por lo tanto la fuerza se puede expresar como:

Donde ℎ es la distancia vertical desde la superficie libre hasta el centroide del

área. El punto de aplicación de la fuerza debe ser tal que el momento de dicha

fuerza con respecto a cualquier eje resulte igual al momento de la fuerza

distribuida respecto al mismo eje. Si llamamos a las coordenadas del punto de

aplicación de la fuerza resultante a 𝑥’, 𝑦’.El valor de la coordenada y’ se puede

obtener igualando momentos alrededor del eje 𝑥, siendo este horizontal.

Luego la coordenada y’ será:

Donde el momento de inercia del área A se define como:

Donde el momento de inercia del área A se define como:

Este momento de inercia se puede determinar a partir del momento de inercia

respecto al centroide con la ayuda del teorema de transferencia de ejes

paralelos:

Sustituyendo estos valores en la ecuación para la coordenada 𝑦’ obtenemos:

Y el valor de la coordenada x’, se puede obtener igualando momentos

alrededor del eje 𝑦:

Luego la coordenada 𝑦’ será:

Donde el producto de inercia del área 𝐴 se define como:

Utilizando el teorema de transferencia para el producto de inercia:

Obtenemos:

Nótese que si la superficie tiene un área simétrica x’ coincide con x.

En resumen tenemos que:

1. La magnitud de la fuerza está dada por la ecuación:

2. La dirección de la fuerza es perpendicular a la superficie.

3. La línea de acción de la fuerza resultante pasa a través del punto (𝑥’, 𝑦’) ,

cuyas coordenadas se obtienen con las expresiones:

Fuerzas de un fluido en reposo sobre superficies curvas

La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie

curva respecto de una plana radica en el hecho de ser 𝑑𝐹 perpendicular en todo

momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección

diferente.

Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los

componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas

adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la

ecuación para la superficie.

La fuerza de presión en este caso está dada por:

La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento

diferencial:

Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes:

Donde 𝒊, 𝒋, 𝒌 son los vectores unitarios de las direcciones 𝒙, 𝒚, zrespectivamente.

Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:

Donde 𝑿 𝜽, 𝒀𝜽 y 𝒁𝜽 son los ángulos entre 𝒅𝑨 y los vectores unitarios 𝒊, 𝒋 y

𝒌, respectivamente. Por lo tanto 𝒅𝑨𝒙, 𝒅𝑨𝒚 y 𝒅𝑨𝒛, son las proyecciones del

elemento 𝒅𝑨 sobre los planos perpendiculares a los ejes 𝒙, 𝒚 y 𝒛 respectivamente.

Aquí se pueden diferenciar dos casos:

• Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una superficie

curva es igual a la suma vectorial de las fuerzas de presión ejercidas sobre la

proyección de la superficie curva en los planos verticales.

• La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es

igual al peso del líquido que se encuentra verticalmente por encima de dicha

superficie hasta la superficie libre.

Esto ya que si analizamos la expresión para la fuerza vertical y tomando en

cuenta que 𝒉 = 𝑷 𝜸 obtenemos lo siguiente:

𝑷𝒂𝒕𝒎 = 𝟏𝟎𝟏. 𝟑𝟐𝟓𝑲𝒑𝒂

𝑨 =𝝅

𝟒𝑫𝟐

EJERCICIOS

Cuáles son las fuerzas horizontal y vertical originadas por la

presión atmosférica sobre la superficie exterior de un codo sin tener

en cuenta los efectos de la atmósfera sobre las bridas?.

Solución:

𝚺𝑭𝒙 = 𝟎

𝚺𝑭𝒚 = 𝟎

𝑭𝟏 = 𝑷𝒂𝒕𝒎 ∗ 𝑨𝟏

𝑭𝟐 = 𝑷𝒂𝒕𝒎 ∗ 𝑨𝟐

𝑨𝟏 =𝛑

𝟒(𝟎. 𝟏𝟓𝒎)𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕𝟕𝒎𝟐

𝑨𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟕𝟕𝒎𝟐

𝑨𝟐 =𝛑

𝟒(𝟎. 𝟎𝟕𝟓𝒎)𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟒𝒎𝟐

𝑨𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟒𝒎𝟐

𝑭𝟏 = 𝟏𝟎𝟏. 𝟑𝟐𝟓𝒙𝟏𝟎𝟑𝑵

𝒎𝟐∗ 𝟎. 𝟎𝟏𝟕𝟕𝒎𝟐 = 𝟏𝟕𝟗𝟑. 𝟒𝟓𝑵

𝐅𝟏 = 𝟏𝟕𝟗𝟑. 𝟒𝟓𝐍 = 𝐅𝐢𝐱

𝑭𝟐 = 𝑷𝒂𝒕𝒎 ∗ 𝑨𝟐 = 𝟏𝟎𝟏. 𝟑𝟐𝟓𝒙𝟏𝟎𝟑𝑵

𝒎𝟐∗ 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟒𝒎𝟐

𝑭𝟐 = 𝟒𝟒𝟓. 𝟖𝟑𝑵

𝑭𝟐𝒙 = 𝑭𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎∘ → 𝟒𝟒𝟓. 𝟖𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎∘ = 𝟑𝟖𝟔. 𝟏𝟎 𝑵

𝑭𝟐𝒙 =386.10N

𝑭𝟐𝒚 = 𝑭𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎∘ → 𝟒𝟒𝟓. 𝟖𝟑 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎∘ = 𝟐𝟐𝟐. 𝟗𝟐 𝑵

𝑭𝟐𝒚 = 𝟐𝟐𝟐. 𝟗𝟐 𝑵

𝑭𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑭𝟏𝒙 + 𝑭𝟐𝒙

𝑭𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟑𝟖𝟔. 𝟏𝟎 + 𝟏𝟕𝟗𝟑. 𝟒𝟓 = 𝟐𝟏𝟕𝟗. 𝟓𝟓𝑵.

𝑭𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝟏𝟕𝟗. 𝟓𝟓𝑵