Trabajo Estadistica Inferencial - Intervalos de Confianza

Tema 2: Estimación para la media

1. Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una determinada marca dio un contenido promedio de nicotina de 3 miligramos y una desviación estándar de 1 miligramo.a) Obtenga e intérprete un intervalo de confianza del 96,6% para el verdadero contenido promedio de nicotina en

estos cigarrillos.b) El fabricante garantiza que el contenido promedio de nicotina es 2.5 miligramos, ¿qué puede decirse de acuerdo

con el intervalo hallado?

2. Los siguientes números representan el tiempo (en minutos) que tardaron 15 pacientes en ser atendidos en un consultorio: 14, 21, 10, 8, 12, 10, 0.5, 17, 9, 12, 13, 7, 20a) Calcula el tamaño de muestra para un NC del 92%.b) Con los datos de los 15 pacientes, determina e interpreta un intervalo del 98.54% de confianza para el verdadero

tiempo promedio. Analiza los datos antes de iniciar los cálculos, que dato extraño observas, que sugieres?c) El coordinador médico jefe asegura que el tiempo promedio empleado es de máximo 8 minutos. ¿qué se puede

decir de acuerdo con el intervalo hallado?d) Determine un I de C del 90% para la verdadera desviación estándar

3. La variabilidad del valor de las acciones de cierta empresa es una variable importante. Se toma una muestra de 9 valores cuyos resultados en pesos fueron:3000, 3200, 3500, 2800, 2700, 3000, 2900, 1700, 1500.

a) Determine un I de C del 95.86 % para el verdadero promedio.b) Determine un I de C del 95% para la verdadera varianza

4. Con el fin de estudiar el comportamiento de los costos variables de producción de una lamina de eternit, se tomo una muestra de 49 unidades, la cual arrojo una media de $14.400 y una desviación estándar de $3300. Determine un I de C del 96.6 % para el verdadero promedio.

5. De un lote de 5000 unidades se extrae una muestra piloto de 10 aspirinas, de las cuales observamos su peso expresado en gramos, obtenemos:

1,19; 1,23; 1,18; 1,21; 1,27; 1,17; 1,15; 1,14; 1,19; 1,2. Suponiendo que los datos se distribuyen Normal: a) Obtenga el verdadero tamaño de muestra para un nivel de confianza del 96% y error permisible del 1.5% de la

media muestral

b) Si de la muestra calculada en el numeral anterior se obtuvo una media de 1.2 gramos y una varianza de 0.0015, determine un intervalo de confianza del 93% para el verdadero peso promedio de dichas aspirinas.

c) Determina un I de C del 98% para la verdadera varianza

6. Una Cía. productora de carnes frías ofrece al público salchichas con queso en paquetes de 250 gramos en promedio. Si una muestra de 12 paquetes arrojo la siguiente información: 245, 234, 255, 235, 240, 243, 252, 254, 251, 249, 250, 232.

a) Determine un intervalo de confianza del 98.64 % para el verdadero promedio

b) Determine el verdadero tamaño de muestra si el error máximo permisible es del 2.2% de la media muestral y el NC es del 99%.

c) Determine un I de C del 90% para la verdadera desviación estándar d) Con que nivel de confianza la media poblacional está en el intervalo (244.7 ; 259.23)

7. Cierta empresa ensambladora de motos tiene en inventario 3000 motos. Con el fin de estimar el consumo promedio de gasolina se sometieron a prueba 32 motos arrojando una media de 125millas/galón y una varianza de 81.

a) Calcule el tamaño de muestra necesario si el error máximo permisible es del 2% de la media muestralb) Determine un intervalo de confianza para el verdadero promedio, si el N.C es de 93.72%

RESUMEN

Población Infinita Población finitaI. de c. para la proporción

pϵ [ p̂ ± Zα /2√ p̂ q̂n ] pϵ [ p̂ ± Zα /2√ p̂ q̂n √ N−nN−1 ]

n con muestra piloto

n=Zα /22 p̂ q̂

e2n=

N Zα /22 p̂ q̂

Zα /22 p̂ q̂+(N−1)e2

n sin muestra piloto

n=Zα /22

4e2n=

N Zα /22

Zα /22 +4 (N−1)e2

I. de C. para la media µ ϵ [X ±Z α2 S√n ] µ ϵ [X ±Z α

2

S√n √ N−n

N−1 ]Tamaño de muestra n=

(Zα /2S )2

e2n=

N (Zα /2S )2

S2Zα /22 ±(N−1)e2

TRABAJO DE ESTADÍSTICA: ESTIMACIÓN POR INTERVALOS (UNIDAD III)

Presentado por:

YENIFER DE LOS REYES CASSIANIDAYANA ORTIZ ALCÁZAR

Presentado a:

MG.

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARFACULTAD DE

BARRANQUILLA, 22 de Abril del 2014.

ESTIMACIÓN PARA UNA PROPORCIÓN

1. Sólo una parte de los clientes solicitan el servicio de baño en un restaurante. Si de una muestra piloto de 64 clientes que entran al restaurante, 41 de ellos solicitan el baño, ¿cuál es el tamaño de muestra que se debe tomar con un error inferior a 0,05 y una confianza del 97%?

Debemos tener en cuenta que se ha hecho una muestra piloto y que además no se conoce el tamaño exacto de la población, y por tanto tenemos que:

e=0,05

p̂= 4164

=0,640625⟹ q̂=1− p̂=0,359375

Entonces utilizamos la fórmula:

n=Z∝/22 ∙ p̂ ∙ q̂

e2

Ahora, para el nivel de confianza del 97% tenemos que:

100% ∙ (1−∝ )=97%⟹1−∝= 97100

⟹1−∝=0,97

⟹∝=0,03

⟹∝2=0,015

⟹Z1−∝/2=Z1−0,015=Z0,985=2,17

Por lo tanto:

n=Z∝/22 ∙ p̂ ∙ q̂

e2⟹n=

(2,17 )2 ∙ (0,640625 ) ∙ (0,359375 )(0,05 )2

⟹n=433,6418652

Entonces, se debería tomar una muestra mínima de 434 clientes para trabajar con un 97% de confianza.

2. Un investigador está interesado en estimar la proporción de almacenes pequeños que están al día con el certificado de cámara de comercio. ¿Qué tamaño de muestra debe tomar para estimar la anterior proporción, con una confianza del 93,3%, para que el valor estimado no difiera del valor real en más de 0,03?

No se conoce tampoco el tamaño de la población, y por tanto se considera infinita. Lo que tenemos que hacer es construir un intervalo de confianza del 93,3% para la proporción de almacenes pequeños que están al día con el certificado de cámara de comercio. Los datos que nos dan son:

e=0,03

1−∝=93,3%

Ahora, para el nivel de confianza del 93,3% tenemos que:

100% ∙ (1−∝ )=93,3%⟹1−∝=93,3100

⟹1−∝=0,933

⟹∝=0,067

⟹∝2=0,0335

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0335=Z0,9665=1,8316

Por lo tanto:

n=Zα /22

4e2⟹n=

(1.8316 )2

4 ∙ (0,03 )2

⟹n=931 ,877

⟹n≈932

El investigador debería tomar una muestra mínima de 932 almacenes, para trabajar con una confianza del 97%.

3. Se desea analizar la opinión sobre el nivel de atención al cliente de una empresa de salud prepagada, la cual tiene 5000 personas afiliadas.

a) Determine el tamaño de muestra necesario para un nivel de confianza del 95.96% y un error máximo permisible del 3%

Los datos que tenemos son:

e=3%=0,03

1−∝=95,96%

N=5.000

Como no se tiene muestra piloto pero se conoce el tamaño exacto de la población, entonces utilizamos la fórmula:

n=N ∙Zα /2

2

Zα /22 +4 (N−1)e2

Ahora, para el nivel de confianza del 97% se sabe que:

100% ∙ (1−∝ )=95,96%⟹1−∝=95,96100

⟹1−∝=0,9596

⟹∝=0,0404

⟹∝2=0,0202

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0202=Z0,9798=2,05

Por lo tanto:

n=N ∙Zα /2

2

Zα /22 +4 (N−1)e2

⟹n=(5.000 ) ∙ (2,05 )2

(2,05 )2+ [4 ∙ (4.999 ) ∙ (0,03 )2 ]

⟹n=946,5559104

⟹n≈947

El tamaño mínimo de la muestra entonces debe ser de 947 clientes.

b) Si de la muestra anterior el 35% no están satisfechos con la atención, determine un intervalo de confianza del 98,12% para la verdadera proporción de personas insatisfechas.

Ahora con base en los 947 clientes, tenemos que los datos son:

e=3%=0,03

N=5.000

n=947

1−∝=98,12%

Como interesa estimar la proporción de personas insatisfechas, entonces tomamos:

p̂=35%=0,35⟹ q̂=1− p̂=0,65

Ahora, para el nivel de confianza del 98,12% se sabe que:

100% ∙ (1−∝ )=98,12%⟹1−∝=98,12100

⟹1−∝=0,9812

⟹∝=0,0188

⟹∝2=0,0094

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0094=Z0,9906=2,35

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción entonces será:

p∈[ p̂ ±Zα /2√ p̂ q̂n √ N−nN−1 ]

Por lo tanto:

4. En una población de 4000 habitantes, se desea estudiar la proporción de habitantes afiliados a una EPS “Coomevamal”. Si una muestra piloto arrojo que el 25% de sus habitantes mayores de edad no están afiliados a un sistema de seguridad social,

a) Cuál es el tamaño de muestra si el N.C es del 93.72% y el margen de error es del 2%

Teniendo en cuenta que se ha hecho una muestra piloto, interesando la proporción habitantes que SÍ están afiliados; y que además se conoce el tamaño de la población, entonces los datos que tenemos son:

e=2%=0,02

1−∝=93,72%

N=4.000

p̂=1−25%=1−0,25=0,75⟹ q̂=25%=0,25

Como no se tiene muestra piloto pero se conoce el tamaño de la población, entonces utilizamos la fórmula:

n=N ∙ Zα /2

2 ∙ p̂ q̂

Zα /22 ∙ p̂ q̂+(N−1)e2


100% ∙ (1−∝ )=93,72%⟹1−∝=93,72100

⟹1−∝=0,9372

⟹∝=0,0628

⟹∝2=0,0314

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0314=Z0,9296=1,4728

Por lo tanto:

n=4.000 ∙ (1,4728 )2 ∙ (0,75∙0,25 )

[ (1,4728 )2∙ (0,75 ∙0,25 ) ]+[3.999 ∙ (0,02 )2 ]⟹n=810,867644

⟹n≈811

El tamaño mínimo de la muestra entonces debe ser de 811 habitantes.

b) Si del n calculado en el numeral anterior 400 individuos no están afiliados, determine un I. de C. del 96.16% para el verdadero porcentaje de individuos afiliados a la EPS “Coomevamal”.

Con base en los 811 habitantes, tenemos ahora los siguientes datos:

e=2%=0,02

N=4.000

n=811

1−∝=96,16%

Como interesa estimar la proporción de personas afiliadas a la EPS, entonces tomamos:

p̂= 400811

=0,49322⟹ q̂=1− p̂=0,50678


100% ∙ (1−∝ )=96,16%⟹1−∝=96,16100

⟹1−∝=0,9616

⟹∝=0,0384

⟹∝2=0,0192

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0192=Z0,9808=2,07

Utilizando la fórmula para el intervalo de confianza de la proporción:

p∈[ p̂ ±Zα /2√ p̂ q̂n √ N−nN−1 ]

Tenemos entonces que:

p∈[ (0,49322 )± (2,07 ) √ (0,49322 ) (0,50678 )811

∙√ 4.000−8113.999 ]Por lo tanto:

⟹0,46076≤ p≤0,52567

5. Con el fin de estudiar el porcentaje de ausentismo en una empresa estatal portuaria, de un registro histórico se encontró que de 5000 obreros 500 han faltado a su trabajo. Determine un intervalo de confianza del 97 % para la proporción de operarios que faltan a su trabajo si el margen de error es del 4%.

Teniendo en cuenta que se ha hecho una muestra piloto, interesando la proporción de operarios que faltan a su trabajo en una empresa estatal portuaria; entonces los datos que tenemos son:

e=4%=0,04

1−∝=97%

n=500

N=5.000

p̂= 5005.000

=0,1⟹ q̂=1− p̂=0,9

Ahora, para el nivel de confianza del 97% ya sabemos que:

100% ∙ (1−∝ )=97%⟹∝=0,03⟹∝2=0,015

⟹Z1−∝/2=Z1−0,015=Z0,985=2,17

Como se tiene muestra piloto y se conoce el tamaño de la población, entonces utilizamos la fórmula para el intervalo de confianza de la proporción:

p∈[ p̂ ±Zα /2√ p̂ q̂n √ N−nN−1 ]


p∈[ (0,1 )± (2,17 ) √ (0,1 ) (0,9 )500

∙√ 5.000−5004.999 ]Por lo tanto:

⟹0,07237≤ p≤0,12762

6. El gerente financiero de una gran cadena de tiendas de departamentos seleccionó una muestra aleatoria de 200 de sus clientes que utilizan tarjetas de crédito y encontró que 136 habían incurrido en cargos por intereses durante el año anterior debido a la falta de pago de sus saldos.

a) Calcule un intervalo de confianza de 93% para la verdadera proporción de clientes que utilizan tarjetas de crédito, quienes han incurrido en cargos por intereses durante el año anterior.

Teniendo en cuenta que ya se ha hecho una muestra piloto, interesando la proporción de clientes que utilizan tarjetas de crédito y que hayan incurrido en cargos por intereses durante el año anterior; entonces los datos que tenemos son:

e=2%=0,02

1−∝=93%

n=200

p̂=136200

=0,68⟹ q̂=1−0,68=0,32

Ahora, para el nivel de confianza del 93 % se tiene que:

100% ∙ (1−∝ )=93%⟹1−∝= 93100

⟹1−∝=0,93

⟹∝=0,07

⟹∝2=0,035

⟹Z1−∝/2=Z1−0,035=Z0,965=1,812

Como se tiene muestra piloto pero esta vez no se conoce el tamaño de la población, entonces utilizamos la fórmula:

pϵ [ p̂ ± Zα /2√ p̂ q̂n ]Tenemos entonces que:

p∈[ (0,68 )± (1,812 ) ∙√ (0,68 ) (0,32 )200 ]

Por lo tanto:

⟹0,62023≤ p≤0,73977

b) Si la longitud deseada del intervalo de 90% es 0.05, ¿cuál tamaño muestral es necesario para asegurar este?

Los únicos datos que tenemos en este caso son:

1−∝=90%

p̂=0,68

q̂=1− p̂=0,32


100% ∙ (1−∝ )=90%⟹1−∝= 90100

⟹1−∝=0,9

⟹∝=0,1

⟹∝2=0,05

⟹Z1−∝/2=Z1−0,05=Z0,950=1,645

Ya se sabe que el intervalo de confianza de la proporción será:

p∈[ p̂−Zα /2√ p̂ q̂n , p̂+Zα /2√ p̂ q̂n ]Pero ahora se quiere que la longitud de dicho intervalo sea de 0,05; es decir:

( p̂+Zα /2√ p̂ q̂n )−( p̂−Zα /2√ p̂ q̂n )=0,05

⟹ p̂+Zα /2√ p̂ q̂n − p̂+Zα /2√ p̂ q̂n =0,05

⟹2(Zα /2√ p̂ q̂n )=0,05

⟹Zα /2√ p̂ q̂n =0,025

⟹Zα /22 ∙ p̂ q̂n

=(0,025 )2

⟹n=Zα /22 ∙ p̂ q̂

(0,025 )2

Por lo tanto:

n=(1,645 )2∙ (0,68 ) ∙ (0,32 )

(0,025 )2⟹n=942,13

El tamaño de la muestra entonces debe ser de 943 clientes, para asegurar que la longitud del intervalo de confianza sea de 0,05.

7. En una población de 3000 habitantes se seleccionó una muestra del 20% de la población para determinar la prevalencia de dengue en la población. Teniendo en cuenta un Nivel de confianza del 90%, y una proporción del 35%. ¿Cuál sería el margen de error?


1−∝=90%

n=20% de 3.000=600

N=3.000

p̂=35%=0,35⟹ q̂=1− p̂=0,65


100% ∙ (1−∝ )=90%⟹∝=0,1⟹∝2

=0,05

⟹Z1−∝/2=Z1−0,05=Z0,950=1,645

Teniendo en cuenta que se tiene una muestra piloto y se conoce el tamaño de la población, entonces de la fórmula:

pϵ [ p̂ ± Zα /2√ p̂ q̂n √ N−nN−1 ]⟹ e=±Zα /2√ p̂ q̂n √ N−n

N−1

Por lo tanto:

e=± (1,645 ) √ (0,35 ) ∙ (0,65 )600 √ 3.000−6002.999

Por lo tanto:

e=±0,02865

El margen de error e sería de 0,03 aproximadamente.

8. Una empresa productora de piezas para computadora desea estimar el porcentaje de unidades no conformes de un lote de 3500 unidades.

a) Determine el tamaño de muestra necesario para un N.C. del 98.54% y un error máximo permisible del 4%

Los datos para este caso son:

e=4%=0,04

1−∝=98,54%

N=3.500

Ahora, para el nivel de confianza del 98,54 % se tiene que:

100% ∙ (1−∝ )=98,54%⟹1−∝=98,54100

⟹1−∝=0,9854

⟹∝=0,0146

⟹∝2=0,0073

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0073=Z0,9927=2,44

Como no se tiene una muestra piloto entonces utilizamos la fórmula:

n=N Zα /2

2

Zα /22 +4 (N−1)e2

⟹n=(3.500 ) ∙ (2,44 )2

(2,44 )2+4 ∙ (3.500−1 ) ∙ (0,04 )2

⟹n= 20.837,65,9536+22,3936

⟹n=735,0849

El tamaño de la muestra entonces debe ser de 736 unidades, para asegurar un nivel de confianza del 98,54%.

b) Si de la muestra calculada 40 unidades son no conformes, determine un intervalo de confianza para la verdadera proporción de no conformes para un N.C. del 95.86 %

Ahora los datos son:

1−∝=95,86%

n=736

N=3.500

p̂= 40736

=0,054348

q̂=1− p̂=0,945652


100% ∙ (1−∝ )=95,86%⟹1−∝=95,86100

⟹1−∝=0,9586

⟹∝=0,0414

⟹∝2=0,0207

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0207=Z0,9793=2,04

Dado que no se tiene una muestra piloto, y lo que interesa es la proporción de unidades no conformes, entonces usamos:

pϵ [ p̂ ± Zα /2√ p̂ q̂n √ N−nN−1 ]


p∈[ (0,054348 )± (2,04 ) ∙√ (0,054348 ) (0,945652 )736

∙√ 3.500−7363.499 ]Por lo tanto:

⟹0,03919≤ p≤0,0695

ESTIMACIÓN PARA LA MEDIA

1. Una muestra aleatoria de 36 cigarrillos de una determinada marca dio un contenido promedio de nicotina de 3 miligramos y una desviación estándar de 1 miligramo.

a) Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 96,6% para el verdadero contenido promedio de nicotina en estos cigarrillos.


n=36

X=3

S=1

1−∝=96,6%

Como no se conoce el tamaño de la población, entonces utilizamos la fórmula:

μϵ [X ±Z∝/2S

√n ]Ahora, para el nivel de confianza del 96,6% se tiene que:

100% ∙ (1−∝ )=96,6%⟹1−∝=96,6100

⟹1−∝=0,966

⟹∝=0,034

⟹∝2=0,017

⟹Z1−∝/2=Z1−0,017=Z0,9830=2,12

Por lo tanto:

⟹ μϵ [ (3 )± (2,12 ) ∙ 1√36 ]

⟹2,646666≤μ≤3,533333

Se tiene entonces una seguridad del 96,6% de que el verdadero contenido promedio de nicotina se encuentra entre 2,646666 y 3,533333 miligramos.

b) El fabricante garantiza que el contenido promedio de nicotina es 2,5 miligramos, ¿Qué puede decirse de acuerdo con el intervalo hallado?

Si el fabricante afirma que el contenido promedio de nicotina es de 2,5 miligramos, entonces estaría diciendo que:

μ=2,5

Pero ya sabemos con una confianza del 96,6% que el verdadero contenido promedio de nicotina se encuentra entre 2,646666 y 3,533333 miligramos, y dado que:

2,646666≤2,5≤3,533333

Entonces 2,5 se encuentra en el intervalo hallado, y por lo tanto no se puede rechazar como posible valor del parámetro μ .

2. Los siguientes números representan el tiempo (en minutos) que tardaron 13 pacientes en ser atendidos en un consultorio: 14, 21, 10, 8, 12, 10, 0.5, 17, 9, 12, 13, 7, 20.

a) Calcula el tamaño de muestra para un Nivel de Confianza del 92%.

Tenemos los siguientes datos:

n=13

1−∝=92%

Para el nivel de confianza del 92% tenemos que:

100% ∙ (1−∝ )=92%⟹1−∝= 92100

⟹1−∝=0,92

⟹∝=0,08

⟹∝2=0,04

⟹Z1−∝/2=Z1−0,04=Z0,960=1,751

La media muestral es:

X=14+21+10+8+12+10+0,5+17+9+12+13+7+2013

=11,8077

Calculamos la desviación típica muestral S, para estimar la poblacional σ :

S=5,2971

Por lo tanto, el intervalo para el verdadero tiempo promedio sería:

⟹ μϵ [ (11,8077 )± (1,751 ) ∙ 5,2971√13 ]

⟹9,235216≤μ≤14,380184

b) Con los datos de los 13 pacientes, determina e interpreta un intervalo del 98.54% de confianza para el verdadero tiempo promedio. Analiza los datos antes de iniciar los cálculos, ¿Qué dato extraño observas? ¿Qué sugieres?

Se puede observar que los tiempos arrojados por los pacientes son muy dispersos en cuanto a sus valores, es decir, no son cercanos ni tienden a un valor único puntual. Así por ejemplo, se observa que uno de los pacientes tardó 0,5 minutos en ser atendido, y otro tardó 20 minutos.

Ahora para un nivel de confianza del 98,54% tenemos que:

100% ∙ (1−∝ )=98,54%⟹∝=0,0146⟹∝2=0,0073

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0073=Z0,9927=2,44

Entonces esta vez el intervalo para el verdadero tiempo promedio sería:

⟹ μϵ [ (11,8077 )± (2,44 ) ∙ 5,51339√13 ]

⟹8,0766≤μ≤15,5388

Entonces notamos que el intervalo aumentó su longitud, es decir, aumenta el margen de error, debido a que Z∝ /2 aumentó y a que la desviación típica muestral S es demasiado alta, lo cual es consecuencia de la notable dispersión de los tiempos arrojados por la muestra.

c) El coordinador médico jefe asegura que el tiempo promedio empleado es de máximo 8 minutos. ¿Qué se puede decir de acuerdo con el intervalo hallado?

Que es incorrecto afirmar eso, puesto que ese tiempo está fuera del intervalo hallado, y el valor verdadero oscila entre 8,0766 y 15,5388 minutos.

Además lo que dice el coordinador médico jefe es que:

μ≤8

Pero ya sabemos que:

8∉ [8,0766 ;15,5388 ]

Por lo que podemos asegurar que μ≠8 :

d) Determine un Intervalo de Confianza del 90% para la verdadera desviación estándar.

Ya sabemos que:

n=13⟹n−1=12 X=11,8077

S=5,2971

1−∝=90%

Para el nivel de confianza del 90% ya se sabe que:

100% ∙ (1−∝ )=90%⟹∝=0,1

⟹∝2=0,05∧1−∝

2=0,95

Entonces, con n−1 grados de libertad, y con un nivel de confianza del 90% tenemos que:

⟹ χ122 (0,05 )=5,23

⟹ χ122 (0,95 )=21,03

Por lo tanto, el intervalo para la desviación estándar será:

⟹(n−1 )S2

χ1−∝/22 ≤σ2≤

(n−1 )S2

χ∝/22 ⟹

(12 ) ∙ (5,2971 )2

(21,03 )≤σ2≤

(12 ) ∙ (5,2971 )2

(5,23 )

⟹16,0109≤σ 2≤64,38073

⟹√16,0109≤σ ≤√64,38073

⟹4,00136≤σ ≤8,02376

3. La variabilidad del valor de las acciones de cierta empresa es una variable importante. Se toma una muestra de 9 valores cuyos resultados en pesos fueron:

3000, 3200, 3500, 2800, 2700, 3000, 2900, 1700, 1500.

a) Determine un Intervalo de Confianza del 95.86 % para el verdadero promedio.


n=9

1−∝=95,86%


100% ∙ (1−∝ )=95,86%⟹1−∝=95,86100

⟹1−∝=0,9586

⟹∝=0,0414

⟹∝2=0,0207

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0207=Z0,9793=2,04


X=3.000+3.200+3.500+2.800+2.700+3.000+2.900+1.700+1.5009

=2.700


S=628,93207

Por lo tanto, el intervalo para el verdadero valor promedio de las acciones, sería:

⟹ μϵ [ (2.700 )± (2,04 ) ∙ 628,93207√9 ]

⟹2.272,3262≤ μ≤3.127,6738

b) Determine un Intervalo de Confianza del 95 % para para la verdadera varianza.

Tenemos ahora que:

n=9⟹n−1=8 S=667,0832

1−∝=95%


100% ∙ (1−∝ )=95%⟹1−∝= 95100

⟹1−∝=0,95

⟹∝=0,05

⟹∝2=0,025∧1−∝

2=0,975


⟹ χ82 (0,025 )=2,18

⟹ χ82 (0,975 )=17,53

Por lo tanto, el intervalo para la varianza será:

⟹(n−1 )S2

χ1−∝/22 ≤σ2≤

(n−1 )S2

χ∝/22 ⟹

(8 ) ∙ (667,0832 )2

(17,53 )≤σ 2≤

(8 ) ∙ (667,0832 )2

(2,18 )

⟹203.080,431≤σ 2≤1.633 .027,507

4. Con el fin de estudiar el comportamiento de los costos variables de producción de una lámina de eternit, se tomó una muestra de 49 unidades, la cual arrojó una media de $14.400 y una desviación estándar de $3300. Determine un Intervalo de Confianza del 96.6 % para el verdadero promedio.


n=49

X=14.400

S=3.300

1−∝=96,6%

Para el nivel de confianza del 96,6% tenemos que:

100% ∙ (1−∝ )=96,6%⟹1−∝=96,6100

⟹1−∝=0,966

⟹∝=0,034

⟹∝2=0,017

⟹Z1−∝/2=Z1−0,017=Z0,9830=2,12

Por lo tanto, el intervalo para el verdadero costo promedio de una lámina de eternit sería:

⟹ μϵ [X ±Zα /2 S√n ]⟹ μϵ [ (14.400 )± (2,12 ) ∙ 3.300√49 ]

⟹13.400,57143≤μ≤15.399,42857

5. De un lote de 5.000 unidades se extrae una muestra piloto de 10 aspirinas, de las cuales observamos su peso expresado en gramos, obtenemos

1,19; 1,23; 1,18; 1,21; 1,27; 1,17; 1,15; 1,14; 1,19; 1,2

Suponiendo que los datos se distribuyen normalmente:

a) Obtenga el verdadero tamaño de muestra para un nivel de confianza del 96% y error permisible del 1,5% de la media muestral.


N=5.000

e=1,5%=0,015

1−∝=96%


100% ∙ (1−∝ )=96%⟹1−∝= 96100

⟹1−∝=0,96

⟹∝=0,04

⟹∝2=0,02

⟹Z1−∝/2=Z1−0,02=Z0,9800=2,05375

Como se tiene muestra piloto y se conoce el tamaño exacto de la población, entonces utilizamos la fórmula:

n=N (Zα /2S )2

S2Zα /22 ±(N−1)e2


X=1,19+1,23+1,18+1,21+1,27+1,17+1,15+1,14+1,19+1,210

=1,193


S=0,03607

Por lo tanto:

n=N (Zα /2 ∙ S )2

(S2 ∙ Zα /22 )±(N−1)e2⟹n=

(5.000 ) ∙ (2.05375 ∙0,03607 )2

[ (0,03607 )2 ∙ (2.05375 )2 ]+(4.999 ) ∙ (0,015 )2

⟹n=24,27605

⟹n≈25

El tamaño mínimo de la muestra entonces debe ser de 25 aspirinas, por lo menos.

b) Si de la muestra calculada en el numeral anterior se obtuvo una media de 1.2 gramos y una varianza de 0.0015, determine un intervalo de confianza del 93% para el verdadero peso promedio de dichas aspirinas.

Ya tenemos los datos siguientes:

n=10

N=5.000

X=1,193≈1,2

e=1,5%=0,015

1−∝=93%

S2≈0,0015⟹S≈0,03873


100% ∙ (1−∝ )=93%⟹1−∝= 93100

⟹1−∝=0,93

⟹∝=0,07

⟹∝2=0,035

⟹Z1−∝/2=Z1−0,035=Z0,965=1,812

Por lo tanto, el intervalo para el verdadero peso promedio de esas aspirinas, será:

⟹ μϵ [X ±Zα /2 S√n √ N−nN−1 ]

⟹ μϵ [ (1,2 )± (1,812 ) ∙ 0,03873√10

∙√ 5.000−104.999 ]⟹1,177827≤μ≤1,222172

c) Determine un Intervalo de Confianza del 98 % para para la verdadera varianza.

Tenemos ahora que:

n=10⟹n−1=9 S≈0,03873

1−∝=98%


100% ∙ (1−∝ )=98%⟹1−∝= 98100

⟹1−∝=0,98

⟹∝=0,02

⟹∝2=0,01∧1−∝

2=0,99


⟹ χ92 (0,01 )=2,09

⟹ χ92 (0,99 )=21,67

Por lo tanto, el intervalo para la varianza será:

⟹(n−1 )S2

χ1−∝/22 ≤σ2≤

(n−1 )S2

χ∝/22 ⟹

(9 ) ∙ (0,03873 )2

(21,67 )≤σ2≤

(9 ) ∙ (0,03873 )2

(2,09 )

⟹0,000623≤σ2≤0,00646

6. Una compañía productora de carnes frías ofrece al público salchichas con queso en paquetes de 250 gramos en promedio. Si una muestra de 12 paquetes arrojo la siguiente información:

245, 234, 255, 235, 240, 243, 252, 254, 251, 249, 250, 232.

a) Determine un intervalo de confianza del 98.64 % para el verdadero promedio


n=12

μ=250

1−∝=98,64%

Para el nivel de confianza del 98,64% tenemos que:

100% ∙ (1−∝ )=98,64%⟹1−∝=98,64100

⟹1−∝=0,9864

⟹∝=0,0136

⟹∝2=0,0068

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0068=Z0,9932=2,47


X=245+234+255+235+240+243+252+254+251+249+250+23212

=245

Calculamos la desviación típica poblacional σ :

σ=9,246621

Por lo tanto, el intervalo para el verdadero promedio sería:

⟹ μϵ [ (245 )± (2,47 ) ∙ 9,246621√12 ]

⟹238,407≤μ≤251,593

b) Determine el verdadero tamaño de muestra si el error máximo permisible es del 2,2% de la media muestral y el nivel de confianza es del 99%.

Los datos que tenemos en este caso son:

1−∝=90%

S=9,246621

e=2,2%=0,022


100% ∙ (1−∝ )=99%⟹∝=0,01⟹∝2

=0,005

⟹Z1−∝/2=Z1−0,005=Z0,995=2,576

Como no se conoce la población, entonces el tamaño de la muestra vendrá dado por la fórmula:

n=(Zα /2S )2

e2

Por lo tanto:

n=(2,576 ∙9,246621 )2

(0,022 )2⟹n=1.172.229,024

El tamaño de la muestra entonces debe ser, por lo menos, de 1.172.230 paquetes de salchichas, para una confianza del 99% de seguridad.

c) Determine un Intervalo de Confianza del 90% para la verdadera desviación estándar.

Ya sabemos que:

n=12⟹n−1=11 X=245

S=9,246621

1−∝=90%

Para el nivel de confianza del 90% ya se sabe que:

100% ∙ (1−∝ )=90%⟹∝=0,1

⟹∝2=0,05∧1−∝

2=0,95

Entonces, con 11 grados de libertad, y con un nivel de confianza del 90% tenemos que:

⟹ χ112 (0,05 )=4,57

⟹ χ112 (0,95 )=19,68

Por lo tanto, el intervalo para la desviación estándar será:

⟹(n−1 )S2

χ1−∝/22 ≤σ2≤

(n−1 )S2

χ∝/22 ⟹

(11) ∙ (9,246621 )2

(19,68 )≤σ2≤

(11 ) ∙ (9,246621 )2

(4,57 )

⟹47,7896≤σ2≤205,7987

⟹√47,7896≤σ ≤√205,7987

⟹6,913≤σ ≤14,3457

d) Con que nivel de confianza la media poblacional está en el intervalo (244,7 ;259,23 )

Si el intervalo de confianza para la media poblacional, es:

μ∈[X ±Zα /2 S√n ]Entonces la longitud del intervalo viene dada por:

2(Zα /2 S√n )Así:

⟹2(Zα /2 S√n )=259,23−244,7

⟹2(Zα /2 ∙ S√n )=14,53

⟹Zα /2 ∙9,246621

√12=14,53

2

⟹Zα /2 ∙2,67=14,532

⟹Zα /2=14,532 ∙2,67

⟹Z1−α /2=2,721

Por lo tanto:

1−α2=0 ,99674⟹ α

2=0,00326

⟹α=0,00652

⟹1−α=0 ,99348

Por lo tanto, nivel de confianza de este intervalo es del 99,348%.

7. Cierta empresa ensambladora de motos tiene en inventario 3000 motos. Con el fin de estimar el consumo promedio de gasolina se sometieron a prueba 32 motos arrojando una media de 125millas/galón y una varianza de 81.

a) Calcule el tamaño de muestra necesario si el error máximo permisible es del 2% de la media muestral


N=3.000

n=32

X=125

S2=81⟹S=9

e=2%=0,02

Para un error del 2%, entonces el nivel de confianza es del 98%, por tanto:

100% ∙ (1−∝ )=98%⟹1−∝= 98100

⟹1−∝=0,98

⟹∝=0,02

⟹∝2=0,01

⟹Z1−∝/2=Z1−0,01=Z0,990=2 ,326

Utilizamos la fórmula:

n=N (Zα /2S )2

S2Zα /22 ±(N−1)e2

Por lo tanto, la muestra necesaria es:

n=(3.000 ) (9 ∙2,326 )2

(9 )2 (2,326 )2± (3.000−1 ) (0,02 )2⟹n=2.991,81

Entonces el tamaño necesario para la muestra es de 2.992 motos, para que el error máximo permisible sea del 2%.

b) Determine un intervalo de confianza para el verdadero promedio, si el nivel de confianza es de 93.72%.

Así los datos son los siguientes:

N=3.000

n=32

X=125

S=9

1−∝=93,72%


100% ∙ (1−∝ )=93,72%⟹1−∝=93,72100

⟹1−∝=0,9372

⟹∝=0,0628

⟹∝2=0,0314

⟹Z1−∝/2=Z1−0,0314=Z0 ,9686=1,86

Por lo tanto, el intervalo para el verdadero peso promedio de esas aspirinas, será:

⟹ μϵ [X ±Zα /2 S√n √ N−nN−1 ]

⟹ μϵ [ (125 )± (1,86 ) ∙ 9√32

∙√ 3 .000−322.999 ]⟹122,0561≤ μ≤127,9439

Trabajo Estadistica Inferencial - Intervalos de Confianza

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