ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DE DEPRESIÓN

 Son ángulos formados por dos líneas imaginarias llamadas: línea visual o línea de visión y la línea horizontal. En estos casos, el observador se encuentra por debajo del objeto observado o bien, se encuentra por encima de dicho objeto.

Para estas mediciones se utilizan sencillos aparatos que colocados sobre un trípode (3 puntos determinan un solo plano) el simple giro realizado de la mirilla sobre el punto a observar nos señala los grados girados respecto a la horizontal. En el caso del ángulo de depresión, el observador se encuentra por encima del lugar a observar y del modo anterior su representación.

Características del plano cartesiano

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘X’ y uno de las ‘Y’, respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

EL sentido de rotación de un Angulo :

Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:

Un punto denominado centro de rotación.

Un ángulo

Un sentido de rotación.

Estas transformaciones pueden ser positivas o negativas dependiendo del sentido de giro. Para el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj, y será negativo el giro cuando sea en sentido de las manecillas.

4. ¿Que son ángulos interiores y exteriores de un triangulo?:

Un triangulo tiene tres ángulos interiores, denominados en la figura: α, β, γ. En geometría, un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que compartiendo un extremo común, está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene sólo un ángulo interno por cada vértice y está situado del lado opuesto del polígono. Si todos los ángulos interiores de un polígono no superan los 180 grados sexagesimales o radianes, se clasifican como polígonos convexos. Si existe por lo menos un ángulo superior a 180 grados o radianes, se trata de un polígono cóncavo. Si todos los ángulos interiores de un polígono convexo son iguales y todos sus lados tienen la misma

longitud, se trata de un polígono regular. En caso contrario, se trata de un polígono irregular

Es un ángulo que se forma con uno de los lados del triángulo (en general de cualquier polígono) y la prolongación de un lado contiguo. Es suplementario del ángulo interno contiguo y, en consecuencia --en el triángulo--, es la suma de los dos internos no contiguos. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Un ángulo interior y exterior de un triángulo son suplementarios, es decir, suman 180º. α = 180º - A

5.¿Que son ángulos alternos interiores y exteriores?

Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas, los ángulos alternos internos son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas, los ángulos alternos externos son los que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

.6. ¿ Que son ángulos opuestos por el vértice?

Son los ángulos que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Los ángulos 1 y 3 son iguales.

Los ángulos 2 y 4 son iguales.

7. valores de la función seno y coseno de los ángulos ubicados en el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrante

Primer: Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el

ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes,

los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de

longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer

cuadrante de un ángulo cero.

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas,

podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo  .

Para  , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:

Si aumentamos progresivamente el valor de  , las distancias   y   

aumentarán progresivamente, mientras que   disminuirá.

Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se

desplaza sobre ella.

El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de

posición.

Los segmentos:   y   están limitados por la circunferencia y por tanto su

máximo valor absoluto será 1, pero   no está limitado, dado que D es el punto

de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento

en el que el ángulo   rad, la recta será la vertical que pasa por O. Dos

rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia   será infinita.

El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el

punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.

Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

Segundo:

Cuando el ángulo   supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir

según el segmento  , el coseno aumenta según el segmento  , pero en el

sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su

valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para un ángulo   inferior a   rad se hace infinita en el sentido

positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa porO y la vertical

que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real,

cuando el ángulo supera los   rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación

de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de

las y, la tangente   por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su

valor absoluto disminuye a medida que el ángulo   aumenta progresivamente

hasta los  rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de  ,  , disminuye

progresivamente su valor desde 1, que toma para   rad, hasta que valga

0, para   rad, el coseno, , toma valor negativo y su valor varia desde 0

para   rad, hasta –1, para   rad.

La tangente conserva la relación:

incluyendo el signo de estos valores.

Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el

eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos:

Tercer: En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo   

rad a   rad, se produce un cambio de los valores del seno, el coseno y la

tangente, desde los que toman para   rad:

Cuando el ángulo   aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto

en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado

negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el

primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento  , el

coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.

El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja

del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno,  .

Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa

por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la

tangente,  , aumenta igual que en el primer cuadrante

Cuando el ángulo   alcance   rad, el punto C coincide con O y el coseno

valdrá cero, el segmento   será igual al radio de la circunferencia, en el lado

negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa

por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de

las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:

que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que a medida que el coseno

se acerca a valores cercanos a cero, la tangente tiende a infinito.

Cuarto : En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo   

entre   rad y   rad, las variables trigonométricas varían desde los valores

que toman para   rad:

hasta los que toman para   rad pasando al primer cuadrante, completando una

rotación:

8-¿Cómo se nombra un vector en forma binomica y polar?

Polar : se caracterizan por tamaño o modelo ( r ) y un angulo ( θ ).el vectores polares solo se necesita saber el angulo que tiene desde la coordenada i (y) asta el vector de la medición empezando desde el lado positivo y ensentido contrario a las manecillas del reloj, una coordenada en polares seria [ r = 5.2 , θ= 60 ° ] para calcular de polares a rectangulares de igual forma para calcular de rectangulares a polares se necesitan las siguientes ecuaciones, si somos observadores la figura que se crea es un triangulo de ahi viene el seno cose y tangente sus formulas solas sig.

SEN= CATETO OPUESTO / HIPOTENUSA ( r )

COSENO =CATETO ADYACENTE / HIPOTENUSA ( r )

TANGENTE = CATETO OPUESTO / CATETO ADYACENTE

.

Números complejos en forma binómica  al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica. El número a se llama parte real del número complejo. el número b se llama parte imaginaria del número complejo. si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a. si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

Números complejos en forma polar módulo de un número complejo el módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. se designa por |z|.  z=a+bi r=|z|=raiz cuadrada de (a elevado al cuadrado + b elevado al cuadrado) el argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. se designa porde un número complejo en forma polar.  z = r |z| = r,r es el módulo. arg(z) =α, α es el argumento