Breve explicacion de las ecuaciones de friccion para tuberasreales y ecuaciones empricas para el calculo de friccion en

tuberas

Gustavo Adolfo Hernandez Garcia

30 de octubre de 2014

1. Introduccion

En el estudio y diseno de sistemas hidraulicos de tubera, un factor preponderante es la eficien-cia. En la actualidad un diseno poco eficiente implica un sin numero de problemas desde el puntode vista ingenieril, por ejemplo piense en un sistema de bombeo de agua potable en edificios dondese tiene que subir agua desde una cisterna a varios tinacos o tanques en la azotea, si en el sistemahay perdidas significativas, los inquilinos se veran obligados a pagar grandes sumas de dinero alas empresas prestadoras de servicio electrico y de agua potable, tambien la eficiencia en sistemashidraulicos tienen gran importancia en maquinaria y por supuesto en la industria, un sistemamal disenado puede llevar a gastos energeticos enormes por parte la empresa, que se traduce enperdidas millonarias en su capital sin contar en el impacto ambiental. Dado que ahora los sistemashidraulicos son mas sofisticados que nunca para proporcionar la maxima productividad al menorcoste, es necesario estudiar la ciencia que hay de tras del funcionamiento de dichos sistemas, enotras palabras es necesario estudiar la mecanica de fluidos.Una de las variables que esta ntimamente relacionada con la eficiencia de un sistema hidraulico detubera son las perdidas de energa. el objetivo de este trabajo es exponer y explicar brevementelas ecuaciones que modelan un parametro de las perdidas de energa, el coeficiente de friccion deDarcy f .

2. Conceptos Previos

Antes de comenzar a discutir acerca de f es necesario enunciar algunas definiciones.

Numero de Reynolds: en los anos de 1880 Osborne Reynolds descubrio que el regimen deflujo depende principalmente de la razon de fuerzas inerciales a fuerzas viscosas en el fluido. Es-ta razon se llama numero de Reynolds y se expresa para flujo interno en una tubera circular como:

Re =Fuerzasinerciales

Fuerzasviscosas=VpromD

=VpromD

donde,

1

Vprom: Velocidad del flujo promedio [ms

]

D: longitud caracterstica de la geometra (diametro en este caso, en [m])

= : viscosidad cinematica del fluido [m

2

s].

Note que el numero de Reynolds es una cantidad adimensional. Ademas, la viscosidad cinemati-ca tiene la unidad m2/s y se puede ver como difusividad viscosa o difusividad de cantidad demovimiento[1].

Flujo Laminar: El movimiento intensamente ordenado de un fluido, caracterizado por capasno-alteradas de este se menciona como laminar. La palabra laminar proviene del movimiento departculas juntas adyacentes del fluido, en laminas!. El flujo de los fluidos intensamente viscosos,como los aceites a bajas velocidades, por lo general es laminar (se considera laminar si Re es menoro aproximadamente igual 2300).

flujo Turbulento: El movimiento intensamente desordenado de un fluido, que es comun sepresente a velocidades altas y se caracteriza por fluctuaciones en la velocidad se llama turbulentoEl flujo de fluidos de baja viscosidad,como el aire a velocidades altas es por lo comun turbulento. Elregimen de flujo influye significativamente en la potencia requerida para el bombeo. (se consideraturbulento si Re esta entre el intervalo [2300,4000]).

Flujo Transicion: Un flujo que se alterna entre laminar y turbulento se conoce como de tran-sicion. (se considera turbulento si Re es mayor o aproximadamente igual 4000).

Perdidas de presion debido a altura: La perdida de presion y la perdida de carga para todoslos tipos de flujos internos (laminar o turbulento, en tuberas circulares o no-circulares, superficieslisas o rugosas) se expresan como[1]:

hf = fl

d

v2

2g

donde,

hf : energa por unidad de peso, perdidas por friccion.

f : factor de friccion de Darcy.

l : longitud.

d : diametro de la tubera.

v : velocidad promedio.

cuando el flujo es laminar f esta dado por:

f =64

Re Re : nuemrodeReynolds

2

3. Ecuaciones de friccion para tubera reales

A lo largo de toda la historia de la mecanica de fluidos el calculo de f a sido uno de losmayores retos para los eruditos en el tema, en esta seccion se explicara brevemente con algunosapartes historicos, las distintas ecuaciones que modelan a f tanto como para flujos turbulentos,flujo hidraulicamente liso hasta flujos turbulento hidraulicamente rugoso.

3.1. Ecuacion de Blasius para flujos hidraulicamente lisos

Apunte historico, Paul Richard Heinrich Blasius fue un ingeniero aleman que nacio en losanos de 1830 y murio en 1970 en el mismo pas, fue un experto en mecanica de fluidos. Estudiantede Prandtl, que le proporciono las bases matematicas para el estudio del arrastre a traves de lateora de capa lmite.En esa epoca se saba que el f era una funcion del numero de Reynolds, la contribucion de Blasiusfue encontrar una ecuacion emprica de f como funcion inversa a la potencia 0.25 para algunosvalores de Re comprendidos en el intervalo de [5000,100000], en forma matematica,

f =0,316

Re0,25(1)

si se remplaza en la ecuacion (1) en la ecuacion de Darcy se llega al siguiente resultado

p

l= 0,1580,25v1,75d1,25 (2)

La ecuacion (2) indica que la cada de presion por unidad de longitud en una tubera con undiametro dado d es proporcional a la potencia 1.75 de la velocidad de flujo promedio, este ultimoresultado es igual al resultado que llego reynolds en su epoca, en otras palabras la ecuacion (1)a pesar de su limitado rango de aplicacion sirvio para entender el resultado al cual haba llegadoreynolds, ahora bien a partir de la ecuacion (2) se puede deducir la siguiente ecuacion

p

l= 0,2420,25Q1,75d4,75 (3)

Este ultimo resultado implica que para un caudal dado las perdidas se reducen una cierta cantidadsi se le aumenta el diametro de la tubera.

3.2. Diagrama de Nikuradse

Apunte historico, Nikuradse vivio sobre todo en Gottingen y participo en la hidrodinamica .Su experimento mas conocido fue publicado en Alemania en 1933en 1933 Nikuradse mide cuidadosamente la friccion unas turbulentas experiencias de fluidos amedida que fluye por un tubo en bruto, utilizo granos de arena de diferentes rugosidades. Lasconclusiones llegadas pro nikuradse se explicaran a continuacion:

1. Si Re < 2000 (flujo laminar)entonces f vara inversamente con el numero de Reynolds siendoindependiente de la rugosidad relativa.

2. Si el flujo es turbulento entonces f se comporta en forma compleja:

cuando Re 2000 todas las curvas coinciden

3

en la medida que aumenta Re, f va a depender tanto de Re como de la rugosidadrelativa

cuando los valores de Re son extremadamente grande f depende unicamente de larugosidad relativa

a continuacion se muestra el Diagrama de Nikuradse:

Diagrama de Nikuradse

3.3. Diagrama de Moody

Apunte historico, Lewis Ferry Moody Fue un ingeniero mecanico de nacionalidad norteame-ricana de la universidad de princeton, conocido por su famoso diagrama de Moody, un diagramaque captura las relaciones entre el numero de Reynolds, el factor de la friccion y de la rugosidadrelativa de una tubera, este esta en escala logartmica. Fue el primer profesor de hidraulica de launiversidad de ingenieros de Princeton, patento mas de 23 inventos.Moody continuo con el trabajo de Nikuradse. A partir de las observacion del diagrama de Niku-radse pudo reproducir las curvas del factor de friccion para flujo hidraulicamente rugoso, luego contuberas comerciales de distintos diametros conocidos tales como acero blindado, hierro dulce, etc..midio las perdidas de friccion para flujo hidraulicamente rugoso, a partir de all midio la rugosidadrelativa y por ultimo calculo la rugosidad absoluta. Moody concluyo que a pesar que las rugosidadreal de las tubos comerciales eran diferentes a los utilizados por Nikuradse en su experimento, sepoda obtener una rugosidad equivalente a la rugosidad de la arena en cada material, por ultimomoody se dio a la tarea de encontrar rugosidades equivalentes de los materias comerciales, con losdatos obtenido realizo un diagrama que hoy por hoy lleva el nombre de diagrama de mooody odiagrama de rugosidad relativo que se presente a continuacion:

4

Diagrama de moody

3.4. Flujo hidraulicamente liso

figura 3

considere un tubo circular de radio r como se muestra en la figura 3, se puede calcular el fac-tor de friccion f para flujo hidraulicamente liso con la siguiente expresion no emprica:

1

f= 2 log10Re

f 0,8 (4)

donde,

f : factor de friccion

Re: numero de Reynolds

Cabe destacar que la ecuacion (4) fue deducida por Prandtl y Von Karman a partir de la ecuacionde distribucion de velocidades en flujo turbulento, la ecuacion de esfuerzo cortante en pared delgaday relacion entre el factor de friccion y el esfuerzo cortante.

3.5. Flujo hidraulicamente rugoso

as mismo Prandtl y Von Karman encontraron una ecuacion teorica para Flujo hidraulicamenterugoso.

5

Considere un tubo circular de radio r como se muestra en la figura 3 se puede calcular f siempreque el espesor de la subcapa sea menor al tamano real de la rugosidad absoluta de la paredesinternas de la tubera con la siguiente expresion:

1

f= 2 log10(

d

) + 1,14 (5)

donde

f : factor de friccion

Re: numero de Reynolds

d: diametro

: rugosidad

3.6. Introducir: flujo hidraulicamente en transicion

Fue muy complicado para Prandtl y Von Karman deducir una ecuacion para flujo hidraulica-mente en transicion ya que en este caso f es una funcion demasiado complicada en Re, as puesno fue hasta que Colebrook y White establecieron una ecuacion definitiva de para este tipo de flujo.

3.7. Flujo hidraulicamnte en transicion

los ingenieros Colebrook y White encontraron una ecuacion que modelaba f para flujo hidrauli-camnte en transicion a partir de la ecuacion (4):

1f

= 2 log10(

d+

2,41

Ref

) (6)

donde,

f : factor de friccion

Re: numero de Reynolds

d: diametro

: rugosidad

La ventaja de (6) es que era valido para cualquier tipo de flujo turbulento, el problema consiste quef estaba en la expresion de forma implcita, obligando a resolver f utilizando metodos numericos,por esta razon los cientficos y los ingenieros se vieron obligados a encontrar ecuacion empricascomo la que se discutiran en la otra seccion. El caso fue que la ecuacion (6) jugo un papel de sumaimportancia para la compresion del factor de friccion f .

6

4. Ecuaciones empricas para el calculo de f

Como se menciono anteriormente la ecuacion (6) osea la ecuacion de Colebrook y White implica-ban soluciones muy complicadas para f por tanto, algunos investigadores e ingenieros encontraronecuaciones empricas donde f estaba explcito, sin embargo la validez de dichas ecuaciones se limi-tan a un corto rango, pero para el diseno de hidraulico de tuberas, esta ecuacion son perfectamenteaplicables con algunas restricciones.con el fin de ser practicos con las explicacion de las Ecuaciones empricas para el calculo de f serealizara un cuadro donde se introduzca, se enuncie y se restrinja las ecuacion.

NOMBRE INTRODUCCION ECUACIONES RESTRICCION

ecuaciondeMoody

despues de terminal eldiagrama que lleva sunombre Moody escri-bio la ecuacion quese muestra a continua-cion

f = 0,0055[1 + (2000

d+

106

Re)13 la ecuacion de moody

pierde precision parade Re superiores a3(105) y para rugo-sidades relativas muyaltas.

ecuacionde Wood

esta ecuacion fuededucida por DonaldWood en la universi-dad de Kentuky en1960.

f = a+ bRee

a = 0,094( d)0,53) + (

d)

b = 88(

d)0,225

c = 1,62(

d)0,134

al igual que conmoody la ecuacionde Wood se restringeen a rugosidadesrelativas del ordende 105 y para Reentre el intervalo de[3(104), 107]

Ecuacionde Barr

antes de la utiliza-cion de los compu-tadores, Barr estable-cio una ecuacion bas-tante compleja para f

1f

= 2 log10((A

piB1) + (

C

piD2E))

A = 0,325 0,027 log1 0pi1B = 0,93 0, 0068 log1 0pi1C = 2,95 0, 29 log1 0pi2D = 0,914 0, 0052 log1 0pi2

E = 1 +pi01,44

11pi01,54

pi1 =0,958866Q2/3

(hfg/l)1/5k

pi2 = 1,32786Q3/5(hfg/l)

1/5

si bien la ecuacionde Barr era bastanteacertada, con el iniciode la epoca de los or-denadores los cientfi-cos e ingenieros se abs-tuvieron de utilizarlapor su complejidad.

7

ecuaciondeSwamee-jain

esta ultima ecuacion,fue la ultima ecuacionemprica y por tantolas popular, los inves-tigadores Prabhata K.sawamme y akalankK Jain, queran obte-ner una ecuacion me-nos compleja que la deBarr y para ello resol-vieron la ecuacion deColebrook-White cal-culando el factor deficcion f para los ex-tremos de un flujo tur-bulentos. a la ecuacionque llegaron fue la si-guiente

f =0,25

[log(

3,7d) +

5,74

Re0,9]2

se comprobo que pararango de 106

d

102 y 5103 Re 108 esta ecuacion tieneun error de no mas de1 por-ciento.

4.1. ecuacion de Hazen-Williams

Otra forma de realizar estudios y disenos de sistemas hidraulicos de tubera, es empleandola ecuacion de Hazen-Williams, cabe resalta que esta ecuacion es emprica, es independiente alanalisis de darcy y es aplicable solamente al flujo de agua. Considere un seccion de tubera conradio hidraulico R donde fluye agua a una velocidad media v, entonces se puede calcular v como,

v = 0,849ChwR0,63S0,54 (7)

donde,

S: son las perdidas por unidad de peso (altura) por unidad de longitud

Chw: coeficiente de rugosidad del tubo

Una interesante conclusion que se puede llegar con la ecuacion (7) trabajandola un poco, es plantearque las perdidas de altura por unidad de longitud son directamente proporcional a la velocidad

media a la potencia 1.851hflv1,851 es decir,

hf =6,824l

C1,851HW d1,167

v1,851 (8)

la ecuacion de Hazen-Williams tiene ciertas restricciones:

1. el fluido debe de ser agua a temperaturas normales

2. El diametro debe ser superior o igual a 75 mm (3 pulg)

3. la velocidad en las tuberas debe de ser superior a 3 m/s (10 pies/seg)

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5. conclusion

Al explicar el factor de friccion de darcy se pudo encontrar que dado a la complejidad de suecuacion era imposible despejar la variable f , por tanto los investigadores e ingenieros interesadosen el tema tuvieron la necesidad de encontrar ecuaciones teoricas y empricas u otros metodos paracalcular f .todo comenzo con las deducciones de las ecuaciones de ficcion para tuberas reales, en este ca-so la ecuacion de Blausius, el diagrama de Nikuradse, el diagrama de Moody y los trabajos dePrandtl y Von Karman y Colebrook y White jugaron un papel importante, sin embargo aunque seencontro ecuacion explcitas para f su solucion segua siendo compleja, por esta razon una seriede investigadores e ingenieros encontraron ecuaciones empricas para f pero con cierto margen deerror.si bien es importante estudiar la historia de la ciencia, en la practica las ecuaciones mencionadasson obsoletas ya que en la actualidad la ecuacion de Darcy se resuelve facilmente mediante lautilizacion de metodos computacionales.

Referencias

[1] Yunus, C., John, C. (2006). Mecanica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones. Mc Grawhill,Mexico, 3.

[2] Saldarriaga, J. (2007).Hidraulica de tuberas: abastecimiento de agua, redes, riegos (pp. 187-226). Alfaomega.

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