Trabajo de Fin de Grado -...

Equation Chapter 1 Section 1

Trabajo de Fin de Grado

Grado en Ingeniería de las Tecnologías

Industriales

Análisis Dinámico y Simulación Numérica de una

Máquina de Ensayos a Fatiga Biaxial Resonante

Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

Autor: Francisco Javier Souto Esquivel

Tutor: Alfredo de Jesus Navarro Robles

iii

Trabajo de Fin de Grado

Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales

Análisis Dinámico y Simulación Numérica de una

Máquina de Ensayos a Fatiga Biaxial Resonante

Autor:

Francisco Javier Souto Esquivel

Tutor:

Alfredo de Jesus Navarro Robles

Catedrático

Dep. de Ingeniería Mecánica y Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

v

Trabajo de Fin de Grado: Análisis Dinámico y Simulación Numérica de una Máquina de Ensayos a Fatiga

Biaxial Resonante

Autor: Francisco Javier Souto Esquivel

Tutor: Alfredo de Jesus Navarro Robles

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

El Secretario del Tribunal

Sevilla, 2016

ix

Agradecimientos

Quisiera comenzar dando las gracias a Alfredo por su valor de meterse a hacer el TFG con un alumno que, en

el momento de hacerlo, vivía en el extranjero; así como su atención y preocupación por, tanto los asuntos del

trabajo, como los del ámbito personal. Si este trabajo llega a buen puerto es, en gran medida, gracias a él.

A mi familia, todo el agradecimiento del mundo por la oportunidad que me han brindado este año, el apoyo

durante estos cuatro años y el cariño desde el día que nací. Ellos son el motivo por el cual siempre he intentado

dar lo mejor de mi en cada situación. A mi padre, por su experiencia y sus consejos; a María, a la que le deseo

la mayor de las suertes en esta nueva etapa; y a mi madre por su santa paciencia, su interés, su comprensión, su

empatía, y mil cosas más por las que no se me ocurre como un dia le podré compensar.

A todos mis amigos, por acompañarme desde el principio y, espero, hasta el final.

A Susana, por aguantar lo que ha aguantado este año.

Gracias a todos ellos soy quien escribe estas palabras hoy.

Francisco Javier Souto Esquivel

Sevilla, 2016

xi

Resumen

El presente trabajo de fin de grado describe el modelo matemático de una máquina de fatiga biaxial resonante

descrita en el artículo “Engineering Steels Under Combined Cyclic and Static Stresses”, por H.J. Gough para

el “Journal of Applied Mechanics” en junio, 1950.

El objetivo de este documento es estudiar el comportamiento dinámico del sistema, haciendo especial hincapié

en el estudio de las frecuencias naturales y de las reacciones indeseadas en la probeta a ensayar. Asimismo, se

pretende proveer de un modelo numérico del sistema basado en lo expuesto anteriormente, de cara a estudiar

la respuesta y sus propiedades ante distintas excitaciones.

En el documento se presenta el planteamiento, implementación y pruebas del sistema a través de un conjunto

de simulaciones que pretenden arrojar la mayor cantidad de información posible sobre este.

xiii

Abstract

This Bachelor Thesis describes a mathematical model based upon a machine for bi-axial fatigue tests first

described in “Engineering Steels Under Combined Cyclic and Static Stresses “, by H.J Gough for the Journal

of Applied Mechanics in June, 1950.

The goal of this paper is to study the dynamic behavior of the system, paying special attention to the

discussion on the natural frequencies of the system and the unwanted reactions in the system specimen. As

well, the paper intends to provide a numerical model of the system based on the analysis previously made, in

order to study the response of the machine under different scenarios.

This document depicts the analytical procedures, implementation and tests on the numerical model through a

full set of simulations that aim to show the biggest possible amount of information about it.

Índice

Agradecimientos ix

Resumen xi

Abstract xiii

Índice xiv

Índice de Tablas xvii

Índice de Figuras xix

Notación xxii

1 Introducción 25

2 Descripción del Sistema Real 27

3 Planteamiento Matemático 31 3.1. Modelo Matemático 31

3.1.1. Pequeños Desplazamientos 31 3.1.2. Barras Elásticas 31 3.1.3. Probeta 31 3.1.4. Determinación de los Grados de Libertad 32

3.2. Obtención de los Parámetros del sistema 33 3.2.1. Longitudes y Masas 33 3.2.2. Rigideces de los Muelles 34 3.2.3. Propiedades de las Ballestas 35 3.2.4. Inercias 36

3.3. Determinación del Lagrangiano 36 3.3.1. Cinemática de los Centros de Gravedad de las barras 36 3.3.2. Energías Cinética y Potencial 37

3.4. Obtención de las Ecuaciones de Movimiento 38 3.5. Cálculo del Centro de Percusión 39 3.6. Frecuencias Naturales del sistema 40

4 Resolución en MATLAB® 45 4.1. Solución del Sistema 45

4.1.1. Principios de Funcionamiento 45 4.1.2. Programa 46

xv

4.2. Tratamiento de los Resultados 52

5 Resultados de la Simulación Numérica 55 5.1. Resultados en Vibración Libre 55 5.2. Resultados en Vibración Forzada 56 5.3. Resultados en Resonancia 58

6 Conclusiones 61

Referencias 64

Anexos 66

xvii

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 3–1. Propiedades del material de las probetas ensayadas por Gough 35

Tabla 4–1 Contenido del struct solución de ode45 52

xix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2-1. esquema y foto de la máquina de fatiga biaxial resonante 27

Figura 2-2. vistas de la máquina a escala 28

Figura 3-1. conjunto de muelles que simulan las rigideces de la probeta ante las solicitaciones 32

Figura 3-2. detalle de las trayectorias real y aproximada del sistema 32

Figura 3-3. modelo matemático del sistema 33

Figura 3-4. giros de la barra superior en T 33

Figura 3-5. geometría de una de las probetas ensayadas por Gough 34

Figura 3-6. sección estimada de las ballestas 36

Figura 3-7. esquema de como la barra 6 transmite el momento a la probeta 40

Figura 3-8. modos del vibración del sistema 42

Figura 5-1. respuesta del sistema en vibración libre 56

Figura 5-2. respuesta del sistema en vibración forzada 57

Figura 5-3. respuesta del sistema en resonancia 58

Figura 6-1. detalle de los rotores desequilibrados del sistema 62

Figura 6-2. respuesta con discos con diferentes masas 62

Notación

A* Conjugado

c.t.p. En casi todos los puntos

c.q.d. Como queríamos demostrar

∎ Como queríamos demostrar

e.o.c. En cualquier otro caso

e número e

IRe Parte real

IIm Parte imaginaria

sen Función seno

tg Función tangente

arctg Función arco tangente

sen Función seno

sinxy Función seno de x elevado a y

cosxy Función coseno de x elevado a y

Sa Función sampling

sgn Función signo

rect Función rectángulo

Sinc Función sinc

∂y ∂x

x◦

Derivada parcial de y respecto

Notación de grado, x grados.

Pr(A) Probabilidad del suceso A

SNR Signal-to-noise ratio

MSE Minimum square error

: Tal que

< Menor o igual

> Mayor o igual

\ Backslash

⇔ Si y sólo si

1 INTRODUCCIÓN

a necesidad de este trabajo surge del interés por el comportamiento dinámico y propiedades de una

máquina descrita en el artículo “Engineering Steels Under Combined Cyclic and Static Stresses”, por

H.J. Gough para el “Journal of Applied Mechanics” en junio, 1950.

El propósito, concretamente, es el de hallar unas ecuaciones de movimiento que describan al sistema de la

forma más fiel posible y, a partir de estas ecuaciones, determinar los modos de vibración, frecuencias naturales

y las reacciones que se producen en la probeta a ensayar como resultado de los momentos aplicados.

Asimismo, se pretende dotar al lector de un modelo matemático implementado en MATLAB®, para permitir

el estudio de este sistema ante distintos estímulos y con diferentes parámetros.

La máquina en cuestión está pensada para trabajar con una excitación de frecuencia cercana a la natural, de

cara a aprovechar sus propiedades amplificadoras. Así, en el presente trabajo se hallan los valores de dichas

frecuencias y se pone a prueba el modelo, para estudiar el efecto de la resonancia y amplificación de la

frecuencia natural en el sistema.

Otra propiedad a tener en cuenta es la posibilidad de evitar reacciones indeseadas en la probeta cuando se

lleven a cabo los ensayos. Por la geometría del sistema, se conoce que una fuerza ejercida en el centro de

percusión de la barra encargada de transmitir los momentos a la probeta produce reacciones en esta nulas.

Dicha hipótesis es estudiada para comprobar su validez, aplicabilidad e impacto sobre el modelo numérico.

El modelo objeto de la simulación numérica es implementado en MATLAB® e integrado para obtener la

respuesta de cada uno de los grados de libertad respecto al tiempo, así como las magnitudes derivadas de estos,

como los ángulos y fuerzas de flexión y torsión de la probeta. Este modelo cuenta con parámetros

aproximados del sistema real que se discuten en el cuerpo del trabajo, estando estos abiertos a la modificación

de los mismos en un futuro basada en, por ejemplo, un ensayo de la máquina real con un equipo de medición

controlando la variación en los grados de libertad propuestos.

L

Introducción

26

2 DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA REAL

a mayor parte de los fallos en estructuras y maquinas que tienen que lidiar con cargas variables

encuentran su motivo en el fenómeno de la fatiga y fractura de los materiales [3]. De las catástrofes

relacionadas con este fenómeno surge la necesidad del estudio de la resistencia de los materiales ante

cargas cíclicas, que se llevara a cabo mediante ensayos de los materiales y modelos probabilísticos de cuando

un determinado material y geometría fracturaría ante un régimen de carga. En este marco, con el afán y la

necesidad de ensayar diferentes materiales ante diferentes solicitaciones, surgen los bancos de ensayo a fatiga

y, entre ellos, el cual es objeto del trabajo.

La MFBR induce ciclos de momentos a la probeta producidos por las fuerzas centrífugas de un rotor

desequilibrado. Este rotor consiste en dos discos con una masa desequilibrada cada uno movidos por un motor

síncrono. El “setting angle” tita (θ), que es el ángulo que forman los planos verticales que contienen a la

probeta y el brazo que le transmite el momento; determina en qué medida las tensiones cíclicas aplicadas son

de torsión o flexión.

Figura 2-1: esquema y foto de la máquina de fatiga biaxial resonante

La máquina también consta de un sistema de suspensión y amortiguamiento compuesto por dos ballestas

horizontales, diseñadas para compensar la inercia del resto de elementos que vibran o rotan. De cara a imponer

tensiones estáticas en la probeta, a estos elementos elásticos se les pueden aplicar unas deflexiones iniciales.

Como se ve en la fig. 2-1, los extremos de las ballestas están sujetos rígidamente a unas mordazas que pueden

deslizar independientemente en unos railes montados en el soporte de la máquina. Estas mordazas pueden

fijarse en cualquier posición, correspondiendo a las deflexiones d1 y d2, las cuales se establecen de forma

minuciosa en régimen estático.

Los rotores desequilibrados provocan que toda la estructura suba y baje, pero la estructura, al no ser simétrica

por las deflexiones iniciales, no oscilará de forma simétrica. Esta diferencia entre las oscilaciones del lado

derecho e izquierdo provocan un giro en la barra horizontal superior, la cual a su vez impone una rotación

L

Descripción del sistema real

28

Figura 2-2: vistas de la máquina a escala

sobre la barra que transmite la carga a la probeta. Así pues, un setting angle de 0º y unas deflexiones d1 y d2

nulas o iguales provocan que la estructura sea simétrica y, consecuentemente, que la probeta experimente

ciclos de carga de flexión pura; con tensiones estáticas o no dependiendo de si d1=d2 es igual a 0 o distinto de

0. Mientras que el mismo escenario, con una tita igual a 90º, presenta iguales resultados, pero con torsión pura.

Cualquier setting angle intermedio o diferencia en las deflexiones iniciales provoca un escenario de carga

cíclica tanto de torsión como flexión combinadas.

Así pues, fijando unas deflexiones y una omega, la maquina estaría lista para funcionar, estando los momentos

de torsión y flexión controlados por las deflexiones iniciales, la velocidad de giro del motor, que es constante;

el valor de las masas sujetas a los discos y el “setting angle”.

Descripción del sistema real

30

3 PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO

l presente capítulo expone el modelo matemático que será objeto de las simulaciones, desde las

simplificaciones del modelo real a la obtención de las ecuaciones de movimiento; así como la

conversión de los datos de un modelo al otro. El objetivo de este capítulo es conseguir un sistema de

ecuaciones diferenciales que, de ser no lineal, debe ser apto para su implementación en MATLAB®.

3.1 Modelo Matemático

El sistema a estudiar está basado en el de la figura 2-1, formado por 6 barras, siendo las dos ballestas

inferiores, las dos barras verticales, el travesaño y la barra que transmite el momento a la probeta. Para el

modelo matemático se toman las siguientes consideraciones.

3.1.1 Pequeños Desplazamientos

Por la naturaleza de la máquina a estudiar como banco de ensayos de probetas a fatiga, podemos asumir que

los desplazamientos y, por ende, las fuerzas y momentos transmitidas a la probeta serán de valor pequeño y

frecuencia elevada, para alcanzar la magnitud de ciclos normal en este tipo de ensayos. Por esto, de ahora en

adelante se considerarán pequeños desplazamientos en el sistema, con todo lo que esto conlleva.

3.1.2 Barras Elásticas

Las dos ballestas inferiores se modelan como dos barras elásticas con un extremo fijo y uno móvil, siendo

estos, respectivamente, el punto de anclaje al soporte de la máquina y el punto en el que la ballesta conecta con

su barra vertical correspondiente y el rotor.

Para el modelado de estos elementos se determina, por el método de Rayleigh-Ritz, un número de funciones

de forma para asemejarse lo máximo posible a la deformada real de la barra; para así calcular sus energías

cinética y potencial. En el sub apartado 2 de este capítulo, cuando se determina el valor de los distintos

parámetros del sistema, se discutirá el número y tipo de funciones de forma elegidas.

3.1.3 Probeta

Para simular el comportamiento de la probeta y su rigidez tanto a flexión como a torsión se toman dos muelles

asociados al movimiento de la barra 5-6 de la forma que se aprecia en la figura 3-1.

E

Planteamiento Matemático

32

Figura 3-1: conjunto de muelles que simulan las rigideces de la probeta ante las solicitaciones

Estos muelles, además de depender de la rigidez del espécimen a las distintas cargas y, por ende, de su

geometría y material; además dependerán del “setting angle” tita, que como se vio en el capítulo anterior

determina en qué medida el ensayo será de flexión, torsión o combinado. De esta forma, con una tita=0 se

tendría una K1 que sería la rigidez a torsión sin más y una K2 con la rigidez a flexión, y con tita=90º lo

opuesto. El valor de estos parámetros y su dependencia respecto a tita es discutida en el sub apartado siguiente.

3.1.4 Elección de los Grados de Libertad

Antes de determinar los grados de libertad, se debe aclarar que, para el cálculo de las ecuaciones de

movimiento, se sigue un planteamiento usando las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por lo tanto, los grados de

libertad deberán ser las coordenadas generalizadas que luego serán objeto de las integraciones y cálculos

pertinentes del procedimiento considerado.

Con la consideración de pequeños desplazamientos impuesta los grados de libertad a tomar serán x1, x2 y x6,

siendo estos respectivamente el desplazamiento vertical de cada una de las mitades de la estructura y por

último el giro del rotor desequilibrado. X1 y x2 están medidos desde el punto de anclaje de las ballestas, de tal

manera que un valor igual a 0 implicaría una deformación nula de la misma. Además, el hecho de que x1 y 2

sean asociados a un desplazamiento vertical implica la imposibilidad de las ballestas de deformarse de

cualquier otra forma que no sea exclusivamente vertical.

La posibilidad de estudiar como otros gdl la inclinación de las barras verticales queda invalidada, ya que, como

se ve en la figura 3-2, se puede asemejar la trayectoria de los puntos 1 y 2 como rectas tangentes a la

trayectoria circular por ser de magnitud pequeña y colindante al punto tangente.

Figura 3-2: detalle de las trayectorias real y aproximadas del sistema

Con estos grados de libertad y unas deflexiones simétricas tendríamos unos movimientos idénticos de x1 y x2

haciendo que el sistema vibre verticalmente, y provocando, con una tita=0, carga de flexión únicamente. Por el

contrario, deflexiones distintas, que luego serán modeladas como posición de equilibrio de x1 y 2, provocarán

unos x1 y x2 distintos, aunque estrechamente relacionados como se estudiará posteriormente; provocando un

giro de las barras superiores y excitando a la probeta, de nuevo con un tita=0, a torsión.

Con estas consideraciones, el modelo que se ha tomado para representar el sistema real queda expuesto en la

figura 3-3.

Figura 3-3: modelo matemático del sistema

En la figura anterior se ven la forma y grados de libertad del sistema, así como una deformada para aclarar el

movimiento propuesto del sistema.

En resumen: se tienen 3 gdls, 6 barras además del rotor desequilibrado y el movimiento propuesto es que las

ballestas se deformen verticalmente, las barras verticales oscilen sin inclinarse y la barra superior gire respecto

a dos ejes, como se ve en la figura 3-4.

Figura 3-4: giros de la barra superior en T

3.2 Obtención de los Valores de los Parámetros

Para poder resolver la integración numérica de nuestro modelo se necesita sustituir cada parámetro por su

valor. Ya que el objetivo del modelo no es el de determinar con precisión la posición de cada punto sino el

estudiar la forma y propiedades de la respuesta, estos parámetros no necesitan de exactitud. Para la elección de

estos se estudian determinados criterios dependiendo de la naturaleza del parámetro, pero siempre con el

propósito de estar en el orden de magnitud correcto, lo que, con cierta seguridad, proporcionará una respuesta

dentro del orden de magnitud establecido.

Los parámetros a sustituir son las masas y tamaños de las barras, las constantes elásticas de los muelles, las

funciones de forma y propiedades de las ballestas y los momentos de inercia de los elementos que giran. Ahora

se detalla cada criterio tomado para determinar sus valores.

3.2.1 Masas y Longitudes

El cálculo de las longitudes se hará a partir de la figura 2-2, donde se ve un dibujo a escala de la máquina real.

A partir de estas medidas, se puede estimar el volumen de cada pieza para, usando una densidad media del

acero al carbono [4], poder determinar la masa de los distintos elementos. De esta forma se consiguen los

siguientes valores:


34

𝜌 = 7860𝑘𝑔

𝑚3

l1=0.5176 m

l2=l1 m

lprin=0.3106 m

l3=0.3106 m

l4=0.3106 m

l5=0.3106 m

l6total=0.4026 m

𝑚 = 𝜌 · 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

m1 =3.2547 kg

m2=m1 kg

m3=0.0002 kg

m4=m3;

m5=4.84 kg

m6=8.78 kg

Se omite el valor de l6 en este apartado pues será estudiado posteriormente, por ser de especial importancia

para evitar la aparición de esfuerzos cortantes en la probeta a estudio.

3.2.2 Rigideces de la Probeta

Para hallar las constantes elásticas de los muelles que simulan el comportamiento de la probeta se ha elegido

asemejarlos a las rigideces de una barra elástica. Así, usando las propiedades de la probeta, tanto del material

que la conforma como de su geometría, se obtienen las rigideces requeridas: a torsión y flexión.

Figura 3-5: geometría de una de las probetas ensayadas por Gough [1]

Tabla 3-1: Propiedades mecánicas del acero s65a, usado por Gough en sus ensayos como material de la

probeta

Propiedades Valores

Tensile limit of proportionality 47,0 tons per sq in

Upper yield point in tension 61,3 tons per sq in

Ultimate tensile strength 64,8 tons per sq in

Elongation at fracture 23,5%

Reduction of área at fracture 67%

Young’s Modulus, E 21,1 psi e-6

Brinnel hardness number 325

Torsional limit of proportionality 31,4 tons per sq in

Yield point in torsion 46,3 tons per sq in

Torsional modulus of rupture 57,3 tons per sq in

Total twist at fracture 2085 deg

Modulus of rigidity, G 11,5 psi e-6

Izod-notched-bar value 90 ft-lb

La geometría que representa la figura 3-5 de la probeta corresponde a una de las usadas por Gough en sus

ensayos. Se ha elegido esta por simpleza y, una vez más, porque el interés de determinar estos parámetros

viene de la necesidad de conocer su orden de magnitud, el cual, como resulta lógico, se asume invariable entre

las distintas probetas.

Para la rigidez a flexion: 𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥 =𝑀

𝜃=

𝐸 𝐼

𝐿, siendo Iy la inercia de la sección.

En cuanto a la rigidez a torsión: 𝐾𝑡𝑜𝑟𝑠 =𝑀

𝜃=

𝐺 𝐽

𝐿, siendo J el módulo de torsión, que, para una sección

circular, como es el caso, coincidirá con el momento de inercia polar, o la suma de los momentos de inercia de

la sección.

Los valores son:

E7=2.006374e11 Pa

G7=79289708870 Pa

Rprob=0.0127/2 m

𝐼7, 𝑧 =1

4𝜋𝑅𝑝𝑟𝑜𝑏4

J7=2I7z 𝑚4

l7=0.03 m

𝐾𝑡𝑜𝑟𝑠 =𝐺7 𝐽7

𝑙7= 6.7501𝑒3

𝑁𝑚

𝑟𝑎𝑑

𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥 =𝐸7 𝐼7𝑧

𝑙7= 8.5403𝑒3

𝑁𝑚

𝑟𝑎𝑑

𝐾1 =𝜃𝜋2

𝐾𝑡𝑜𝑟𝑠 +

𝜋2 − 𝜃

𝜋2

𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥


36

𝐾2 =𝜃𝜋2

𝐾𝑓𝑙𝑒𝑥 +

𝜋2 − 𝜃

𝜋2

𝐾𝑡𝑜𝑟𝑠

3.2.3 Ballestas

La deformada de las ballestas, como ya se dijo, se aproximará por medio de funciones de forma. En este

modelo, por simpleza y rapidez a la hora de computar los resultados, se usará una única función de forma para

la deformada, en concreto la de una viga empotrada rígidamente en un extremo y libre en el otro, bajo el efecto

de una carga en el extremo libre. Esta función de forma, cuyo cálculo queda determinado en [2], es:

𝜓(𝜂) =1

2(3

𝜂12

𝑙12 −

𝜂13

𝑙13 )

Para las propiedades de las ballestas, se toman valores estándar del módulo de Young para el acero al carbono

y se hace un cálculo de la inercia del perfil. El perfil es:

Figura 3-6: sección estimada de las ballestas

E1=2.1e11 Pa

b=0.04 m

h=0.015 m

r=0.081/2 m

𝐼1 = 2(𝑏ℎ4

12+ 𝑏ℎ𝑟2) = 1.9908𝑒 − 6 𝑚4

E2=E1;

I2=I1;.

3.2.4 Inercias

Además de los momentos de inercia de las ballestas, se necesita el momento de inercia de los discos que

soportan los rotores desequilibrados y los momentos de inercia de la barra superior en forma de T, cuya

velocidad angular tendrá dos componentes y, por ende, se necesitan dos inercias. Dichas inercias son:

𝐼𝑎 =1

3𝑀𝑙6

2 = 0.4058 𝑚4

𝐼𝑔 =1

2𝑀𝑟6

2 = 0.2511𝑒 − 4 𝑚4

Rdisco=0.15 m

𝑀𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = 𝜋 𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜2 0,005

𝐼𝑑 =1

2 𝑀𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜2 = 3.9761𝑒 − 6 𝑚4

3.3 Determinación del Lagrangiano

Para determinar las ecuaciones de movimiento se ha decidido utilizar un planteamiento por las ecuaciones de

Euler Lagrange, para el que necesitaremos varios elementos: las energías cinética y potencial, las fuerzas

generalizadas y las funciones de disipación de Rayleigh. En este apartado se discutirá el cálculo de los dos

primeros elementos.

3.3.1 Cinemática de los Centros de Gravedad del Sistema

Antes de entrar en el cálculo de T y V, resulta conveniente determinar la posición y velocidad de determinados

puntos del sistema, como los centros de gravedad de cada barra.

Para la posición de los centros de gravedad de cada barra se contempla únicamente su componente vertical, ya

que es la que tendrá efecto sobre la energía potencial asociada a la gravedad.

𝑥𝑐𝑔3 = 𝑥1 +𝑙32

𝑥𝑐𝑔4 = 𝑥2 +𝑙42

𝑥𝑐𝑔5 =𝑥1 + 𝑙3 + 𝑥2 + 𝑙4

2

𝑥𝑐𝑔6 =𝑥𝑐𝑔5 + 𝑙𝑝𝑟𝑖𝑛

2

En cuanto a las velocidades, se toman como el módulo de la derivada de la posición de los puntos en cuestión.

𝑣𝑐𝑔3 = �̇�1

𝑣𝑐𝑔4 = �̇�2

𝑣𝑐𝑔5 = √(�̇�1 + �̇�2)

2

𝑣𝑐𝑔6 =1

2𝑣𝑐𝑔5

𝑣𝑔𝑖𝑟𝑜 = �̇�6

𝑣𝜃,1 = √(−�̇�6 𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 sin(𝑥6))2 + (�̇�1 + �̇�6 𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 cos(𝑥6))

2

𝑣𝜃,2 = √(−�̇�6 𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 sin(𝑥6))2 + (�̇�2 + �̇�6 𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 cos(𝑥6))

2

El objeto de este sistema, como se ha comentado en varias ocasiones, es el de transmitir una carga cíclica,

tanto de torsión como de flexión a la probeta, así que el estudio de dos magnitudes en particular toma mucha

relevancia: estas son el ángulo alfa y gamma. Estos ángulos, que pueden verse representados para una mayor

aclaración en la figura 3-4, representan los dos posibles giros de la barra 5-6. Además, se calcula la velocidad

angular asociada a estos dos giros, que es de importancia para el cálculo de la energía potencial.


38

𝛼 =𝑥𝑐𝑔5 − 𝑙𝑝𝑟𝑖𝑛

𝑙6

�̇� =𝑣𝑐𝑔5

𝑙6

𝛾 =𝑥1 − 𝑥2

𝑙5

�̇� =�̇�1 − 𝑥2̇

𝑙5

𝜔5−6 = [ �̇� �̇� 0 ]

3.3.2 Energías Cinética y Potencial

Con las magnitudes estudiadas en la subsección anterior se puede proceder al cálculo de las energías cinética y

potencial del sistema.

𝑇 =1

2𝜔5−6

𝑇 𝐼5−6 𝜔5−6 +1

2𝑚3𝑣𝑐𝑔3

2 +1

2𝑚4𝑣𝑐𝑔4

2 + +1

2𝑚𝜃𝑣𝜃,1

2 +1

2𝑚𝜃𝑣𝜃,2

2 +1

2𝐼𝑑𝑣𝑔𝑖𝑟𝑜

2 +1

2𝑚𝑑(�̇�1 + �̇�2)

+1

2

𝑚1

𝑙1 ∫ �̇�1

2 𝜓2(𝜂) 𝑑𝜂𝑙1

0

+1

2

𝑚2

𝑙2 ∫ �̇�2

2 𝜓2(𝜂) 𝑑𝜂𝑙2

0

𝑉 =1

2𝐾2𝛾

2 +1

2𝐾1𝛼

2 + 𝑚3𝑔𝑥𝑐𝑔3 + 𝑚4𝑔𝑥𝑐𝑔4 + 𝑚5𝑔𝑥𝑐𝑔5 + 𝑚6𝑔𝑥𝑐𝑔6 + 𝑚𝜃𝑔(𝑥1 + 𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛 𝑥6)

+ 𝑚𝜃𝑔(𝑥2 + 𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛 𝑥6) +1

2(𝑥1 − 𝑑1)∫ 𝐸1𝐼1𝜓

2(𝜂) 𝑑𝜂𝑙1

0

+1

2(𝑥2 − 𝑑2)∫ 𝐸2𝐼2𝜓

2(𝜂) 𝑑𝜂𝑙2

0

+ 𝑔𝑚1

𝑙1∫ 𝑥1

𝑙1

0

𝜓(𝜂) 𝑑𝜂 + 𝑔𝑚2

𝑙2∫ 𝑥2

𝑙2

0

𝜓(𝜂) 𝑑𝜂

Para modelar el efecto de las deflexiones iniciales, se considera un cambio en la posición de equilibrio de las

coordenadas 1 y 2 quedando estas de la forma que se aprecia en los términos de energía potencial elástica de

las ballestas.

3.4 Obtención de las Ecuaciones de Movimiento

Como se mencionó anteriormente, además de las energías cinética y potencial, se necesitan las fuerzas

generalizadas y las funciones de disipación de Rayleigh.

En cuanto a las primeras se tomarán dos escenarios posibles:

-El sistema se deja en vibración libre, para estudiar las posiciones de equilibrio, las frecuencias naturales y

otras propiedades, lo que conlleva un vector de fuerzas generalizadas nulo.

-El sistema está excitado por el rotor desequilibrado girando a una velocidad angular constante, por lo tanto,

imponemos un movimiento al x6, que estará provocado por una fuerza (en este caso, momento) en x6

desconocida. Así, el vector de fuerzas generalizadas queda nulo en sus dos primeros términos, asociados a x1 y

2, por no haber fuerzas aplicadas directamente sobre estos puntos, y una función incógnita como último

termino. Esta función incógnita representa el momento ejercido sobre el grado de libertad 6, que es el giro del

disco; es decir, Q6 es el momento que ejerce el motor síncrono para imponer una velocidad de giro constante.

Respecto a las funciones de disipación de Rayleigh, estas asociadas al amortiguamiento presente en la

estructura, no se tendrán aún en cuenta. Para determinar el amortiguamiento del sistema se hará a partir de la

relación de amortiguamiento, pues esta puede ser estimada con mayor facilidad. Así, para hallar los términos

referentes al amortiguamiento se debe acudir a la última subsección del capítulo, donde se estudian las

frecuencias naturales, pues será cuando se estudie el sistema en forma matricial.

Una vez tenidos en cuenta todos los términos anteriormente mencionados es hora de aplicar las ecuaciones de

Euler-Lagrange y hallar las ecuaciones de movimiento del sistema.

𝑑

𝑑𝑡(

𝑑𝐿

𝑑�̇�𝑗) −

𝑑𝐿

𝑑𝑞𝑗+

𝑑𝐹

𝑑�̇�𝑗− 𝑄𝑗 = 0

Los resultados obtenidos de la aplicación de Euler-Lagrange son las siguientes ecuaciones:

𝑚𝑡𝑒𝑡𝑎 (2 �̈�1 − 2 𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝜔2 sin(𝜔 𝑡))

2− 10 𝑚3 − 5 𝑚5 −

5 𝑚6

2− 10 𝑚𝑡𝑒𝑡𝑎 −

15 𝑚1

4+

33 𝑚1 �̈�1

35+ 𝑚3 �̈�1 + 𝑚𝑑 �̈�1

+ 𝐼𝑎 (

�̈�12

+�̈�22

)

2 162+

𝐼𝑔 (2 �̈�1 − 2 �̈�2)

2 152+

𝑘2 (2 𝑥1 − 2 𝑥2)

2 152+

𝑘1 (132

+ 142

− 𝑙𝑝𝑟𝑖𝑛 + 𝑥12

+ 𝑥22

)

2 162

− 33 𝐸1 𝐼1 𝑙1 (2 𝑑1 − 2 𝑥1)

280= 0

𝑚𝑡𝑒𝑡𝑎 (2 �̈�2 − 2 𝑅𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝜔2 sin(𝜔 𝑡))

2− 10 𝑚4 − 5 𝑚5 −

5 𝑚6

2− 10 𝑚𝑡𝑒𝑡𝑎 −

15 𝑚2

4+

33 𝑚2 �̈�2

35+ 𝑚4 �̈�2

+ 𝑚𝑑 �̈�2 + 𝐼𝑎 (

�̈�12

+�̈�22

)

2 162−

𝐼𝑔 (2 �̈�1 − 2 �̈�2)

2 152−

𝑘2 (2 𝑥1 − 2 𝑥2)

2 152

+ 𝑘1 (

132

+ 142

− 𝑙𝑝𝑟𝑖𝑛 + 𝑥12

+ 𝑥22

)

2 162 −

33 𝐸2 𝐼2 𝑙2 (2 𝑑2 − 2 𝑥2)

280= 0

En las que ya se ha hecho la siguiente sustitución:

𝑥6 = 𝜔 𝑡

𝑑𝑥6

𝑑𝑡= 𝜔

𝑑2𝑥6

𝑑𝑡2= 0

Como se ve en las ecuaciones, esto convierte los términos dependientes de x6 en la excitación del sistema,

pudiendo evaluar omega=0 para ver las vibraciones libres de los dos primeros grados de libertad.

3.5 Determinación del Centro de Percusión

Por la geometría del sistema estudiado, parece razonable pensar que, a la luz de la figura 3-7, se produzca un

cierto esfuerzo cortante en la probeta debido a la fuerza aplicada sobre la palanca y la geometría de esta.


40

Figura 3-7: esquema de como la barra 6 transmite el momento a la probeta

De cara a producir unos valores fiables en los distintos ensayos de las probetas resulta de vital importancia

que, si se tiene un ensayo a flexión, torsión o mixto; se tenga estos esfuerzos sobre la probeta y nunca otros,

que provocarían una variación en el número de ciclos, tipo de rotura, y tensión real aplicada en cada ciclo.

Para cuantificar la aparición de esfuerzo cortante en la probeta, en el modelo matemático obtenido aquí se

pueden estudiar las reacciones que aparecen en el punto donde estaría la probeta. Una reacción vertical en este

punto no nula implicaría la aparición de un cierto esfuerzo cortante en la probeta.

Se sabe que, conectando las barras verticales y el travesaño en el centro de percusión de la barra 6, se

producirán esfuerzos cortantes nulos en la probeta, ya que una fuerza provocada en el centro de percusión de

un elemento que gira no provoca la aparición de fuerzas de reacción en el centro de giro.

Por tanto, ya que en la máquina se quiere evitar esto, se asume que esta consideración se tomó en el diseño y

las barras se conectan en el centro de percusión. Con lo cual l6 será aquella que cumpla la condición:

Equilibrio de fuerzas verticales:

∑𝐹𝑣 = 𝐹𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 + 𝐹𝑟𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 − 𝑚6𝑔 − 𝑚6

�̈�5𝐿6𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

2𝐿6 = 0

Se impone que la reacción sea igual a 0 y se obtiene:

𝐹𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟 = 𝑚6𝑔 + 𝑚6

�̈�5𝐿6𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

2𝐿6 = 0

Del equilibrio de momentos respecto al eje perpendicular al papel se obtiene:

∑𝑀 = 𝐹𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟𝑙6 − 𝑚6𝑔𝐿6𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

2−

𝐼𝑎�̈�5

𝑙6−

𝐾1𝑥5

𝑙6= 0

Aqui se sustituye Frotor por la obtenida anteriormente y, despejando, se obtiene:

𝐿6 =𝑚6𝑔

𝐿6𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙2 +

𝐼𝑎�̈�5𝐿6

+ 𝐾1𝑥5𝑙6

𝑚6𝐿6𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

2�̈�5𝐿6

+ 𝑚6𝑔

𝐿6 =𝑔𝐿6𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

2𝑔 +�̈�5𝑙6

+𝐼𝑎

�̈�5𝑙6

𝑚 (𝑔 +�̈�5𝐿6𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

2𝑙6)

+𝐾1

𝑥5𝑙6

𝑚 (𝑔 +�̈�5𝐿6𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

2𝑙6)

X5pp se puede aproximar, por ser un mov armonico simple, como -X5w^2. La w se tomará del orden de 300

rad/s, lo que provocará que X5pp/l6 sea notablemente más elevado que el resto de términos, aun sin saber el

valor de la respuesta en X5. Luego, atendiendo al orden de magnitud de cada término, se puede concluir que

los términos 1 y 3 serán despreciables respecto al segundo, que consta de un término con X5pp en el

numerador. Así:

𝐿6 =𝐼𝑎

�̈�5𝑙6

𝑚(𝑔 +�̈�5𝐿6𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

2𝑙6)

De aquí se desprecia g frente a la magnitud del otro sumando, con lo cual se puede simplificar hasta:

𝐿6 =𝐼𝑎

𝑚6𝐿6𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Con los valores numéricos anteriormente obtenidos se tiene una L6=0.2676 m respecto a los 0.402 m de la

barra en total, siendo en este caso aproximadamente 2/3 de la longitud total.

3.6 Determinación de las Frecuencias Naturales

El estudio de las frecuencias naturales de un sistema que vibra es siempre de vital importancia y, en este

sistema en particular, juega un papel aún más importante. La máquina está diseñada para ser un sistema

resonante, que vibre a frecuencias cercanas a la frecuencia natural, y así aprovechar las propiedades

amplificadoras de esta frecuencia.

Por tanto, en el cálculo de las frecuencias naturales se espera encontrar unas frecuencias naturales con valores

dentro del rango de frecuencias posibles de la excitación del sistema; esto es, la velocidad de giro del motor.

Así, una frecuencia natural de 100.000 rpm resultaría descabellada por la dificultad de excitar los rotores

desequilibrados a esta velocidad angular.

Igualmente, es interesante estudiar la dependencia a los parámetros de estas frecuencias naturales, para

entender su naturaleza o posibilidad de cambiar con las variaciones que el modelo pudiera sufrir.

El procedimiento que se sigue para estudiar dichas frecuencias comienza por el paso a un sistema de

ecuaciones en forma matricial:

[𝑀]�̈� + [𝐶]�̇� + [𝐾]𝑥 = 0

Así obtenemos las siguientes matrices K y M:

𝐾 =

[ 𝑘2

𝑙52 +

12𝑘1

2𝑙62 +

33

2802𝐸1𝐼1𝑙1

2𝑘2

2𝑙52 +

𝑘1

4𝑙52

2𝑘2

2𝑙52 +

𝑘1

4𝑙52

𝑘2

𝑙52 +

12𝑘1

2𝑙62 +

33

2802𝐸2𝐼2𝑙2

]

𝑀 =

[ 𝑚𝜃 + 𝑚3 + 𝑚𝑑 +

12 𝐼𝑎

2𝑙62 +

𝐼𝑔

𝑙52 +

33

35𝑙1

𝑚1

𝑙1

12 𝐼𝑎

2𝑙62 −

𝐼𝑔

𝑙52

12 𝐼𝑎

2𝑙62 −

𝐼𝑔

𝑙52 𝑚𝜃 + 𝑚4 + 𝑚𝑑 +

12 𝐼𝑎

2𝑙62 +

𝐼𝑔

𝑙52 +

33

35𝑙2

𝑚2

𝑙2 ]


42

A continuación, con estas matrices obtenemos las frecuencias naturales como la solución al siguiente problema

de autovalores y autovectores:

|𝐾−1𝑀 − 𝜆𝐼| = 0

Siendo

𝜆 =1

𝑤𝑛2

Sin embargo, a partir de aquí el cálculo analítico se complica, por lo que se procede al cálculo numérico de las

frecuencias naturales usando los parámetros anteriormente dispuestos. Con esto obtenemos unas frecuencias

naturales y modos de vibración de la siguiente forma:

Frec1=106.1223 rad/s=1013.4 rpm modo1=[ 1 1 ]

Frec2= 178.4808 rad/s=1704.4 rpm modo2=[-1 1 ]

Los modos de vibración representan las deformadas que se ven la figura X, siendo estas respectivamente

asociadas a la posibilidad de una vibración simétrica o asimétrica.

Figura 3-8: Modos de vibración del sistema

Los valores obtenidos de las frecuencias naturales están dentro del rango de frecuencias corrientes de este tipo

de máquinas, con lo cual inicialmente se dará por correcto, a falta de estudiar su efecto en el modelo numérico

del siguiente capítulo. La frecuencia más interesante es la primera por corresponder al modo de vibración al

que se sabe que vibrará el sistema mayoritariamente.

Aunque el valor analítico de las frecuencias naturales y modos no se puede estudiar, se puede analizar la

dependencia a partir del análisis de las matrices. De esta forma, se puede concluir que las frecuencias naturales

no dependerán de las deflexiones iniciales, mientras que dependerán fuertemente de las rigideces de los

muelles que simulan la probeta. Esto puede resultar inconveniente pues diferentes probetas implican diferentes

rigideces y, por ende, diferentes frecuencias naturales. De igual manera pasará con diferentes titas. Sin

embargo, como se ha dicho, el punto de funcionamiento de la maquina pretende ser en resonancia, cercano a la

frecuencia natural. En ningún momento se especifica que deba ser exactamente a la frecuencia natural, es más,

esto podría no ser conveniente porque el sistema amplificara descontroladamente la entrada produciendo

tensiones en la probeta demasiado elevadas o incluso perjuicios al sistema o su sistema de suspensión.

Calculando las frecuencias naturales de manera análoga a la hecha en este apartado, se pueden tomar

diferentes valores de las rigideces y estudiar su valor. Tras las pruebas de varios valores obtenemos:

-Con una rigidez k1 y 2 100 veces mayor: 0.83e3 y 1.55e3

-Con una rigidez diez veces menor: 76.47rad/s y 86.48rad/s

Así, se concluye que las frecuencias naturales son proporcionales a las rigideces de las probetas, dato que será

de utilidad para, al hacer ensayos con diferentes probetas, asegurarse de estar en el entorno del punto de

funcionamiento ideal.

En este punto se retoma el cálculo de los términos relativos al amortiguamiento del sistema, estimando una

relación de amortiguamiento y partiendo de las matrices y los modos hallados.

Con los modos obtenidos podemos construir una matriz modal siguiendo la transformación a coordenadas

modales que consigue diagonalizar las matrices de masa y rigidez. Esta es:

𝜙 = [−1 11 1

]

𝐾𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 = 1𝑒5 [5,9113 0

0 2,7268]

𝑀𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 = [18,5566 0

0 24,2128]

A partir de estas matrices y de la definición de relación de amortiguamiento podemos obtener los valores de la

matriz de coeficientes de amortiguamiento en coordenadas modales:

𝜉 =𝐶𝑗

2𝑀𝑗√𝐾𝑗

𝑀𝑗

La relación de amortiguamiento es un valor a determinar en futuros ensayos experimentales de la maquina. En

este trabajo, por simpleza y por intentar estar en el orden de magnitud acertado, se tomará una relación de

amortiguamiento del 1%, es decir, eps=0.01. Con esto, obtenemos una matriz en coordenadas modales:

𝐶𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 = [66,2401 0

0 51,3904]

Usando la transformación siguiente se consigue los coeficientes de la matriz en el sistema de coordenadas

inicial. Estos coeficientes se añadirán a las ecuaciones de movimiento para obtener la respuesta del sistema

amortiguado.

𝐶 = [𝜙𝑇]−1𝐶𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝜙−1

𝐶 = [29,4076 −3,7124−3,7124 29,4076

]


44

4 RESOLUCIÓN EN MATLAB®

ste capítulo trata la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales anteriormente

presentado y el posterior procesado de sus resultados. El objetivo de este capítulo es conseguir

soluciones que sean lo más ajustadas posible a las del sistema, así como dar a entender el procedimiento

usado.

4.1 Secciones

Como ya se ha mencionado en varias ocasiones, el software elegido para la resolución del sistema es

MATLAB®®, por disponer de herramientas útiles para este tipo de problemas, como luego se discutirá; y por

ser el software con el que más se trabaja en el grado.

4.1.1 Subsección

Ya dentro del MATLAB®®, se debe elegir uno de los solvers de ODE (ordinary differential equation, o

ecuación diferencial ordinaria) disponibles, los cuales resuelven las ecuaciones diferenciales de manera

iterativa empezando por el estado determinado por las condiciones iniciales, que deben ser dadas. Además de

dichas condiciones, un periodo de tiempo es proporcionado en forma de vector de dos componentes: inicio y

fin. A partir de aquí, MATLAB® resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales como un Problema de Valor

Inicial (PVI).

De los solvers propuestos por MATLAB® se usará el comando ode45, ya que “funciona bien con la mayoría

de problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y, generalmente, debe ser la primera opción para elegir

solver” [5]. De encontrar potenciales errores numéricos o síntomas de que el método resolutivo no es eficiente

se barajará el uso de otros solvers, de lo contrario no.

Los solvers de MATLAB® únicamente resuelven ecuaciones diferenciales de primer orden [5]. Así, ya que las

ecuaciones deberán ser de orden 1 nos vemos obligados a reescribirlas añadiendo variables intermedias de la

forma:

𝑌1 = 𝑦

𝑌2 = �̇�

Este algoritmo está implementado en MATLAB®® a través de la función:

[A,B]=odeToVectorField(eqn)

Este comando aplica el algoritmo anterior a las ecuaciones dadas como argumento que, en nuestro caso, están

escritas en variables simbólicas; y devuelve en A el lado derecho de las ecuaciones anteriormente expuestas y

en B el lado izquierdo, útil para ver las sustituciones que hace el programa. El comando odeToVectorField

E

Resolución en MATLAB®

46

reconoce las variables simbólicas y sus distintas derivadas, mediante la nomenclatura:

x o cualquier nombre- variable

Dx- derivada primera de la variable con respecto a t

D2x-derivada segunda de la variable con respecto a t

Asume, si no se le especifica lo contrario, que la variable independiente es t. Así, se debe tener especial

cuidado al nombrar las variables que usaremos para el argumento de esta operación, evitando siempre el uso

de palabras que empiecen por D.

Por último, para tener unas ecuaciones capaces de ser argumento del ODE solver, se necesita transformar el

sistema escrito en variables simbólicas en una función de MATLAB®®. Esto se puede conseguir de forma

automática a través del comando:

g=MATLAB®function(eqn)

Que devuelve el sistema de ecuaciones almacenado como una función de MATLAB® en la variable g, siendo

“g” asimismo el nombre de la función. Además de pasar como argumento el sistema de ecuaciones se pueden

elegir opciones adicionales expresadas como pareja de argumentos, como:

g=MATLAB®function(eqn,’File’,’mifuncion’)

Esta opción “File” devuelve la función almacenada en la variable g y además crea un fichero .m en el que

almacena la función con el nombre “mifuncion.m”, como se ha especificado en el tercer argumento. Del resto

de funciones posibles, para este código se usará la opción ‘Vars’ para especificar el orden de los argumentos

de entrada para la función de MATLAB® generada.

Con la función, las opciones de ode45 elegidas y los valores iniciales determinados solo se necesita el período

de tiempo en el que resolver el sistema, que se determinará por prueba y error viendo los resultados. El

objetivo es que quede lo suficientemente establecido el régimen permanente como para ver la amplitud

frecuencia y posición de equilibrio del movimiento de los distintos grados de libertad. Para ello se observará la

duración del régimen transitorio causado por la amortiguación y la posición inicial distinta de la posición de

equilibrio, y se añadirán unos segundos para ver los resultados.

4.1.2 Programa

El siguiente código incluye también el empleado para determinar las ecuaciones movimiento de forma

simbólica. Esto, además de salvar una considerable cantidad de tiempo, permite al usuario que use el siguiente

programa ajustar a su antojo los parámetros y obtener los resultados, de la misma manera que haría con la

máquina real. Es de vital importancia para el entendimiento del funcionamiento de la máquina poder obtener,

de forma simple, la solución para diferentes titas, w y deflexiones iniciales.

Los programas creados son 3: para calcular la frecuencia natural, para calcular las ecuaciones de movimiento

y, el principal, para calcular la respuesta del sistema. Aquí solo se añade el principal, estando los otros dos

disponibles como anexo.

clear

clc

% NOMENCLATURA VARIABLES

% p es punto pp doble punto

syms x1 x1p x1pp x2 x2p x2pp x6 x6p x6pp

% DEFINO NUESTRO SISTEMA

omega=300;

c=30;

d1=0.01;

d2=0.005;

tita=pi/3;

dens=7860; %kg/metros cubicos

% l1=4.5*11.502e-2;

% l2=l1;

% lprin=2.7*11.502e-2;

% l3=2.7*11.502e-2;

% l4=2.7*11.502e-2;

% l5=2.7*11.502e-2;

% l6=3.5*11.502e-2; %total

l1=0.5176;

l2=l1;

lprin=0.3106;

l3=0.3106;

l4=0.3106;

l5=0.3106;

l6=0.2676; %total=0.4026

v1=2*l1*0.01*0.04; %metros cubicos

v2=v1;

v3=l3*pi*0.012^4;

v4=v3;

v5=l5*0.0575*0.0345;

v6=0.4026*0.0805*0.0345;

m1=dens*v1;

m2=m1;

m3=dens*v3;

m4=m3;

m5=dens*v5;


48

m6=dens*v6;

md=5;

Ig=(1/3)*m6*0.01^2;

Ia=(1/3)*m6*0.402^2;

Rdisco=0.15;

mdisco=pi*Rdisco^2*0.005;

Id=(1/2)*mdisco*Rdisco^2;

mteta=0.1; %variable

E7=2.006374e11;

G7=79289708870;

Rprob=0.0127/2;

I7z=(1/4)*pi*Rprob^4;

J7=2*I7z;

l7=0.03;

ktors=G7*J7/l7;

kflex=E7*I7z/l7;

k1=(tita/(pi/2))*ktors+((pi/2)-tita/(pi/2))*kflex;

k2=(tita/(pi/2))*kflex+((pi/2)-tita/(pi/2))*ktors;

E1=2.1e11;

b=0.04;

h=0.015;

r=0.081/2;

I1=2*(((b*h^3)/12)+b*h*r^2);

E2=E1;

I2=I1;

% POSICIONES IMPORTANTES

xcg3=x1+(l3/2);

xcg4=x2+(l4/2);

xcg5=((x1+l3)+(x2+l4))/2;

xcg6=(xcg5+lprin)*0.5; %el 0.5 es porque doy por hecho que es la mitad(X)

vcg3=x1p;

vcg4=x2p;

vcg5=((x1p+x2p)/2);

vcg6=0.5*vcg5;

alfa=(xcg5-lprin)/l6;

alfap=vcg5/l6;

gamma=(x1-x2)/l5;

gammap=((x1p-x2p)/l5);

vgiro=x6p;

vteta=(-x6p*Rdisco*sin(x6))^2+(x1p+x6p*Rdisco*cos(x6))^2;

vteta2=(-x6p*Rdisco*sin(x6))^2+(x2p+x6p*Rdisco*cos(x6))^2;

w5_6=[gammap,alfap,0];

w5_6t=[gammap;alfap;0];

I5_6=[Ig,0,0;0,Ia,0;0,0,0];

syms n1 n2

g=-10;

T=0.5*w5_6*I5_6*w5_6t+0.5*m3*vcg3^2+0.5*m4*vcg4^2+0.5*md*(x1p^2+x2p^2)+0.5*Id*x6

p^2+0.5*(mteta)*vteta+0.5*mteta*vteta2+0.5*(m1/l1)*int((x1p*(3*(n1^2/l1^2)-

n1^3/l1^3))^2,n1,0,l1)+0.5*(m2/l2)*int((x2p*(3*(n2^2/l2^2)-

n2^3/l2^3))^2,n2,0,l2);

V=k2*0.5*gamma^2+k1*0.5*alfa^2+m3*g*(xcg3)+g*m4*xcg4+g*m5*xcg5+g*m6*xcg6+g*mteta

*(x1+Rdisco*sin(x6))+g*mteta*(x2+Rdisco*sin(x6))+0.5*(x2-

d2)^2*int(E2*I2*(0.5*(3*(n2^2/l2^2)-n2^3/l2^3))^2,n2,0,l2)+0.5*(x1-

d1)^2*int(E1*I1*(0.5*(3*(n1^2/l1^2)-

n1^3/l1^3))^2,n1,0,l1)+g*(m1/l1)*int(x1*(0.5*(3*(n1^2/l1^2)-

n1^3/l1^3)),n1,0,l1)+g*(m2/l2)*int(x2*(0.5*(3*(n2^2/l2^2)-n2^3/l2^3)),n2,0,l2);

L=T-V;

%DEFINO FUERZAS GENERALIZADAS

Q1=0;

Q2=0;

Q3=0;

Q4=0;

% syms Q6

Q6=0;

%DEFINO FUNCIONES DE DISIPACION


50

dis1=0;

dis2=0;

dis3=0;

dis4=0;

dis6=0;

%MONTO LAS ECUACIONES

ec1_1=diff(L,x1p);

ec1_2=-diff(L,x1)+diff(dis1,x1p)-Q1;

ec2_1=diff(L,x2p);


ec6_1=diff(L,x6p);


trozos_eq_var=[ec1_1,ec1_2,ec2_1,ec2_2,ec6_1,ec6_2];

%PASO A FUNCIONES SIMBOLICAS

syms f1(t) f2(t) f6(t)

trozos_eq_fun=subs(trozos_eq_var,{x1,x2,x6,x1p,x2p,x6p,x1pp,x2pp,x6pp},{'f1(t)',

'f2(t)','f6(t)','D(f1)(t)','D(f2)(t)','D(f6)(t)','D(D(f1))(t)','D(D(f2))(t)','D(

D(f6))(t)'});

dec1=diff(trozos_eq_fun(1),t)+trozos_eq_fun(2);



ecuaciones_convariables=[dec1,dec2,dec6];

%CONVIERTO LOS TERMINOS A LA NOMENCLATURA DE odeToVectorField

syms Df1(t) Df2(t) Df6(t) D2f1(t) D2f2(t) D2f6(t)

ecuaciones_confunciones_casi=subs(ecuaciones_convariables,{'diff(D(f1)(t),t)','d

iff(D(f2)(t),t)','diff(D(f6)(t),t)'},[D2f1(t),D2f2(t),D2f6(t)]);

ecuaciones_confunciones=subs(ecuaciones_confunciones_casi,{'D(f1)(t)','D(f2)(t)'

,'D(f6)(t)'},[Df1(t),Df2(t),Df6(t)]);

ecuaciones_contetaresuelto=subs(ecuaciones_confunciones,{f6,Df6,D2f6},[omega*t,o

mega,0]);

C=[29.4076 -3.7124;-3.7124 29.4076];

ecuaciones_conamor=[ecuaciones_contetaresuelto(1)+C(1,1)*Df1+C(1,2)*Df2;ecuacion

es_contetaresuelto(2)+C(2,1)*Df1+C(2,2)*Df2];

%RESUELVO

[A,B]=odeToVectorField(ecuaciones_conamor);

M=MATLAB®Function(A,'vars',{'t','Y'});

auxi=zeros(1,4);

sol_numerica=ode45(M,[0 25],auxi);

% plot

figure(1)

for i=1:4

s(i)=subplot(2,2,i);

plot(sol_numerica.x,sol_numerica.y(i,:))

grid

end

B

figure(2)

sol_alfa=((0.5.*(sol_numerica.y(1,:)+l3+sol_numerica.y(3,:)+l4)-lprin)./l6);

plot(sol_numerica.x,sol_alfa)

title('Alfa (en rad)')

grid

figure(3)

sol_gamma=((-sol_numerica.y(1,:)+sol_numerica.y(3,:))/l5);

plot(sol_numerica.x,sol_gamma)

title('Gamma (en rad)')

grid

figure(4)

plot(sol_numerica.x,sol_numerica.y(3,:))

title('x1 (en m)')

grid

figure(5)

plot(sol_numerica.x,sol_numerica.y(1,:))


52

title('x2 (en m)')

grid

figure(6)

plot(sol_numerica.x,sol_alfa*k1)

title('Momento en Alfa (en Nm)')

grid

figure(7)

plot(sol_numerica.x,sol_gamma*k2)

title('Momento en Gamma (en Nm)')

grid

De cara a simplificar las derivadas temporales también se pueden declarar funciones simbólicas dependientes

de t que representarán los distintos gdl; sin embargo, la versión de MATLAB® usada (r2012a) no es capaz de

derivar respecto a una función, únicamente respecto a variables. De ahí surge la necesidad de la función subs.

Mediante esta función, se especifica una expresión simbólica, un término a sustituir y el nuevo término. Así, se

pasará de variable simbólica a función simbólica a antojo del usuario, usando la nomenclatura “x” para la

variable y “f” para la función.

Además, la función subs se usará para traducir la nomenclatura proveniente de las derivadas temporales, que

será del tipo D(f1)(t), a la nomenclatura aceptada por odeToVectorField, que será Df1(t).

4.2 Tratamiento de los resultados

El output de ode45 es una variable tipo “struct” en la que se almacena, si no se ha especificado ninguna opción

adicional, como es el caso:

Tabla 3-2: composición del struct resultado de ode45

Nombre de la variable Contenido

sol.x Vector de tiempos determinado por el solver

sol.y Matriz con las soluciones (por columna)

sol.solver Solver elegido para la resolción

Con el vector de tiempos y las soluciones para los grados de libertad x1 y x2 se pueden representar

gráficamente las posiciones y velocidades de estos dos puntos, así como, de manera análoga a la presentada en

el apartado 2.3.1, se pueden obtener los valores de alfa y gamma en función del tiempo.

Además, mediante el modelo matemático considerado podemos determinar los valores que tomarán las fuerzas

ejercidas sobre la probeta, mediante, simplemente, la ecuación que relaciona fuerza y desplazamiento en un

muelle.

𝑀𝛼,𝛾 = 𝛼, 𝛾 𝐾1,2

Los resultados que se espera obtener, previo a ninguna simulación, del sistema consisten en movimientos

oscilatorios de cada grado de libertad y, por ende, de alfa y gamma; con una amplitud constante en régimen

permanente, y de valores pequeños, como se consideró al tomar la simplificación de pequeños

desplazamientos.

La representación de las distintas variables frente al tiempo son objeto del siguiente capítulo, para contemplar

con más perspectiva los resultados y corroborar lo esperado.


54

5 RESULTADOS DE LAS SIMULACIONES

os resultados aquí presentados corresponden a los de la simulación numérica, los cuales se comparan

con los valores y consideraciones tomadas en el planteamiento matemático. Así, se presentarán

respuesta de los grados de libertad, alfa y gamma ante vibración libre y omega constante. La omega

constante toma valores normales y valores para que el sistema entre en resonancia, para discutir la magnitud de

los efectos de la frecuencia natural.

En todos los experimentos a continuación se toma una tita=pi/3 como un valor cualquiera entre 0 y pi/2.

Para las simulaciones se tendrá en cuenta el caso asimétrico del sistema, con unas deflexiones distintas e

iguales a:

D1=0.01 m

D2=0.005 m

Al final del capítulo se discutirá el efecto de los casos simétrico y la inclusión de distintos elementos de

asimetría.

5.1 Respuesta en Vibración Libre

Ya que el sistema bajo estudio está amortiguado, la respuesta que se espera es un movimiento oscilatorio

exponencialmente decreciente típico, provocado por una perturbación inicial al tener una posición inicial

distinta a la de equilibrio. De esta simulación se obtendrá, además del valor de dichas posiciones de equilibrio

de cada gdl, una primera comprobación de la validez y las consideraciones del modelo, como la de pequeños

desplazamientos.

L

Resultados de las Simulaciones

56

Sin más, la respuesta del sistema en vibración libre es:

Figura 5-1: resultados en vibración libre

Se observan unos desplazamientos máximos de 7mm, unos momentos estáticos de aproximadamente 150 Nm

y 34 Nm respectivamente para alfa y gamma y unos resultados tal y como se predijeron. La posición de

equilibrio de los diferentes gdls puede verse como el valor alrededor del cual oscila la respuesta de cada uno de

ellos.

5.2 Respuesta ante Velocidad del Motor Constante

En esta simulación se introduce la vibración forzada por el rotor desequilibrado a una w constante igual a 300

rad/s, lejos de la frecuencia natural (106rad/s) para estudiar la respuesta del sistema sin resonancia, que

después se comparará con los resultados amplificados para cuantificar el efecto de la resonancia. Ya que ahora

el transitorio provocado por las posiciones iniciales distintas a las de desequilibrio no interesa, se representará

para cada magnitud un número de ciclos en régimen permanente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025Alfa (en rad)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6x 10

-3 Gamma (en rad)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3 x1 (en m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3 x2 (en m)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

50

100

150

200

250

300Momento en Alfa (en Nm)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

10

20

30

40

50

60

70Momento en Gamma (en Nm)

Figura 5-2: resultados en vibración forzada

El efecto de una excitación periódica se ve en las distintas magnitudes del sistema provocando unas

vibraciones forzadas de misma w y distinta amplitud. Las amplitudes de los movimientos siguen estando en el

mismo orden de magnitud, aprox. 5mm. Se observa que gamma no tiene vibraciones forzadas como el resto de

grados de libertad. Esto se debe a que el efecto de d1 y d2 induce unas tensiones estáticas, que se aprecian en

los resultados obtenidos, más el sistema rápidamente vence las oscilaciones diferentes de x1 y x2 que

provocan la variación de gamma. El sistema, como se ve en las gráficas de x1 y x2 oscila, en régimen

permanente, de igual manera, pero con distinta posición de equilibrio, lo cual resulta lógico: dos puntos que

reciben la misma fuerza de un rotor desequilibrado y están unidos a elementos suspensorios de idénticas

propiedades, oscilarán de igual manera independientemente que tengan distinta posición de equilibrio. Es

decir, el sistema es capaz de vencer la anti simetría que se presenta al principio, con una de las ballestas

“tirando” con más fuerza hacia arriba, gracias al amortiguamiento y la geometría del mismo. Si además de este

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

Alfa (en rad)

0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

6x 10

-3 Gamma (en rad)

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x 10-3 x1 (en m)

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x 10-3 x2 (en m)

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7

80

100

120

140

160

180

200

220

Momento en Alfa (en Nm)

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60



58

esfuerzo estático en gamma quisiera imponerse uno cíclico se podría optar por varias opciones que se

discutirán más adelante.

El ciclo de carga al que se ve sometido alfa es: 150 ±60 Nm

5.3 Efecto de la Frecuencia Natural

Para intentar cuantificar el efecto de la resonancia en el sistema la siguiente simulación se hará con una

frecuencia igual a la primera frecuencia natural, aquella asociada al modo [1 1], la cual tiene un valor de

aproximadamente 106 rad/s. La amplificación que se observa está altamente condicionada por la relación de

amortiguamiento, que se estimó anteriormente en un 1%. Esta relación de amortiguamiento, probablemente

mayor que la del sistema real, representa una amortiguación mayor y, como consecuencia, una amplificación

menor que la se encontraría en el sistema real.

A la luz de este previo análisis, los resultados son:

Figura 5-3: resultados en resonancia

En cuanto a gamma, encontramos resultados idénticos, por motivos idénticos. Para el resto de valores, el

efecto de la resonancia resulta evidente. Por cuantificar esto, el ciclo de carga al que se ve sometido alfa es de

150 ±900 Nm, frente a los 60 Nm que antes encontrábamos con 300 rad/s, un 1500% más alto. El valor de la

carga estática se mantiene pues, como se comentó con anterioridad y como se comenta en [1] esto depende

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

Alfa (en rad)

0 5 10 15 20 250

1

2

3

4

5

6x 10

-3 Gamma (en rad)

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

x1 (en m)

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

x2 (en m)

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000


0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60


únicamente de las deflexiones, que se han mantenido constantes durante todas las simulaciones. Los

desplazamientos de x1 y 2, aunque notablemente mayores, siguen siendo relativamente pequeños respecto a

las magnitudes del sistema: 2cm de amplitud.

Queda patente con esto, como una menor solicitación al motor y menores masas desequilibradas, en

resonancia, podrían provocar efectos de magnitudes considerables, lo cual resulta realmente conveniente.


60

6 CONCLUSIONES

n este trabajo de fin de grado se ha propuesto un modelo matemático para la maquina descrita en el

artículo “Engineering Steels Under Combined Cyclic and Static Stresses”, por H.J. Gough para el

“Journal of Applied Mechanics” en junio, 1950 [1].

El modelo propuesto contempla los cambios ante los posibles estimulos descritos por Gough: ciclos de carga

producidos por un rotor desequilibrado a velocidad constante, la posibilidad de imponer unas deflexiones

iniciales capaces de controlar las tensiones estáticas, las variaciones del setting angle y, con él, las de las

rigideces afrontadas y el funcionamiento en resonancia dentro de un rango de revoluciones.

En cuanto al cálculo de las frecuencias naturales, se estudia su valor para unas condiciones y la dependencia de

esta a posibles magnitudes variables. Se obtienen, además, el valor de los modos que corroboran las posibles

vibraciones contempladas en el planteamiento matemático del sistema. Así, se determina que las deflexiones,

las cuales están sujetas a la conveniencia de cada ensayo, no juegan ningún papel en la determinación de las

frecuencias naturales, mientras que la rigidez de la probeta sí. Ya que, a través de la resonancia de la maquina

se pueden conseguir ciclos de carga elevados con pocas solicitaciones al motor, resulta de vital importancia

trabajar en un régimen cercano al de la frecuencia natural. Como la rigidez de la probeta varía el valor de esta

frecuencia natural, se estudia como varían esta respecto a las rigideces, concluyendo que son directamente

proporcionales. En cualquier caso, a partir de los códigos de MATLAB® proporcionados se pueden calcular

las frecuencias naturales para unas rigideces dadas.

El estudio del centro de percusión de la barra encargada de transmitir el momento a la probeta determina el

valor correcto de la longitud de la barra para evitar reacciones en el centro de giro, es decir, en la probeta. Esto

es de vital importancia para determinar la longitud l6 que aparecerá en las ecuaciones de movimiento que, de

no haber estudiado este fenómeno, no representaría con fidelidad el comportamiento de la máquina, pues

estaría permitiendo la aparición de un cortante en la probeta. La longitud obtenida es aproximadamente 2/3 de

la longitud total de la barra.

Además, este modelo se ha conseguido implementar en MATLAB® y simular, corroborando la elección de

pequeñas deformaciones y devolviendo resultados dentro de lo normal del comportamiento de la máquina. A

través de estas simulaciones, se ha podido estudiar el comportamiento del ángulo gamma, el cual responde a

no simetrías en el sistema y que, gracias al amortiguamiento y la configuración del sistema, consigue vencer

un escenario de cargas asimétricas, permitiendo a la vibración subsiguiente ser simétrica.

Como posible variación del comportamiento de la máquina, se propone el uso de distintas masas para los

discos del rotor desequilibrado, basado en el croquis que da a entender que se tienen dos discos uno a cada

lado. Sin embargo, cuando en el documento se describe la máquina se habla de masa del rotor desequilibrado

W, sin hacer distinción a la de un lado en particular. Con las deflexiones, por ejemplo, si deja claro que son

“independientes”.

Estas distintas masas provocarían que el sistema, ahora de forma permanente, vibrara por el efecto del motor,

pero añadiría esfuerzos mayores en las barras que componen la máquina, lo que podría hacer inviable esta

E

Conclusiones

62

variación.

Figura 6-1: sistema de rotores desequilibrados

Se introduce el cambio en el modelo de las simulaciones y se comprueba el efecto de sustituir la masa del lado

de x1 a la mitad, para omega=300:

Figura 6-2: respuesta con discos con distintas masas

Como se observa, ahora se tienen ciclos de carga tanto en alfa como en gamma, siendo estos de valor:

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

0.008

0.009

0.01

0.011

0.012

0.013

0.014

0.015

0.016

Alfa (en rad)

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

x 10-3 Gamma (en rad)

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

4

x 10-3 x1 (en m)

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x 10-3 x2 (en m)

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200


6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

-20

0

20

40

60

80

Momento en Gamma (en Nm)

63 Análisis Dinámico y Simulación Numérica de una Máquina de Ensayos a Fatiga Biaxial Resonante

Carga alfa= 150±50Nm

Carga gamma=34±55Nm

Así, se deja al lector con un modelo matemático implementado en MATLAB® y explicado en detalle en el

documento que, a fin de ser afinado a través de la experimentación con el sistema real, arrojará resultados

útiles del sistema real, imprescindibles para un funcionamiento de la máquina correcto y, sobretodo, eficiente.

REFERENCIAS

[1] H.J. Gough, «Engineering Steels Under Combined Cyclic and Static Stresses» Artículo para "Journal of

Applied Mechanics", Junio, 1950.

[2] Dominguez Abascal, Jaime, Mayo Nuñez, Juana, «Tecnología de Máquinas: Teoría,» Apuntes.

[3] J.J. Xiong, R.A. Shenon, «Fatigue and Fracture Reliability Engineering» Libro, Springer, 2011.

[4] Online Materials Information Resource - MatWeb . 2016. [ONLINE] Disponible en:

http://www.matweb.com/index.aspx. [Accedido 12 Agosto 2016].

[5] Choose an ODE Solver - MATLAB® & Simulink - MathWorks España. 2016. [ONLINE] Disponible en:

http://es.mathworks.com/help/MATLAB®/math/choose-an-ode-solver.html. [Accedido 19 Agosto 2016].

Referencias

66

66

Anexos

68

68

ANEXOS

Programa para el cálculo de las ecuaciones con parámetros:

clear

clc

% NOMENCLATURA VARIABLES

% p es punto pp doble punto

syms x1 x1p x1pp x2 x2p x2pp



% DEFINO NUESTRO SISTEMA

syms omega

syms c

syms d1 d2

syms tita

syms l1 l2 lprin l3 l4 l5 l6 l7

syms m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 md

syms Ig Ia Id Rdisco

syms mteta

syms k1 k2

syms E1 I1 E2 I2

% POSICIONES IMPORTANTES

xcg3=x1+(l3/2);

xcg4=x2+(l4/2);

xcg5=((x1+l3)+(x2+l4))/2;


xcg6=(xcg5+lprin)*0.5; %el 0.5 es porque doy por hecho que es la mitad(X)

vcg3=x1p;

vcg4=x2p;

vcg5=((x1p+x2p)/2);

%xcg5p=0.5*(x1p-l3*x3p*sin(x3)+x2p-l4*x4p*sin(x4));

% alpha=asin((xcg5-l3)/l6);

% alphap=(xcg5p/l6)/sqrt(1-alpha^2);

vcg6=0.5*vcg5; %el 0.5 es porque doy por hecho que es la mitad(X)

alfa=(xcg5-lprin)/l6;

alfap=vcg5/l6;

gamma=(x1-x2)/l5;

gammap=((x1p-x2p)/l5);

vgiro=x6p;

vteta=(-x6p*Rdisco*sin(x6))^2+(x1p+x6p*Rdisco*cos(x6))^2;

vteta2=(-x6p*Rdisco*sin(x6))^2+(x2p+x6p*Rdisco*cos(x6))^2;

w5_6=[gammap,alfap,0];

w5_6t=[gammap;alfap;0];

I5_6=[Ig,0,0;0,Ia,0;0,0,0];

syms n1 n2 n7 n7r

x1eq=0.01;

x2eq=0.01;

g=-10;

T=0.5*w5_6*I5_6*w5_6t+0.5*m3*vcg3^2+0.5*m4*vcg4^2+0.5*md*(x1p^2+x2p^2)+0.5*Id*x6

p^2+0.5*mteta*vteta+0.5*mteta*vteta2+0.5*(m1/l1)*int((x1p*(3*(n1^2/l1^2)-

n1^3/l1^3))^2,n1,0,l1)+0.5*(m2/l2)*int((x2p*(3*(n2^2/l2^2)-

n2^3/l2^3))^2,n2,0,l2);

V=k2*0.5*gamma^2+k1*0.5*alfa^2+m3*g*(xcg3)+g*m4*xcg4+g*m5*xcg5+g*m6*xcg6+g*mteta

*(x1+Rdisco*sin(x6))+g*mteta*(x2+Rdisco*sin(x6))+0.5*(x2-

d2)^2*int(E2*I2*(0.5*(3*(n2^2/l2^2)-n2^3/l2^3))^2,n2,0,l2)+0.5*(x1-

d1)^2*int(E1*I1*(0.5*(3*(n1^2/l1^2)-

n1^3/l1^3))^2,n1,0,l1)+g*(m1/l1)*int(x1*(0.5*(3*(n1^2/l1^2)-

n1^3/l1^3)),n1,0,l1)+g*(m2/l2)*int(x2*(0.5*(3*(n2^2/l2^2)-n2^3/l2^3)),n2,0,l2);

L=T-V;

%DEFINO FUERZAS GENERALIZADAS

Q1=0;

Anexos

70

70

Q2=0;

Q3=0;

Q4=0;

Q6=0;

%DEFINO FUNCIONES DE DISIPACION

dis1=0;

dis2=0;

dis3=0;

dis4=0;

dis6=0;

ec1_1=diff(L,x1p);


ec2_1=diff(L,x2p);


ec6_1=diff(L,x6p);


trozos_eq_var=[ec1_1,ec1_2,ec2_1,ec2_2,ec6_1,ec6_2];

syms f1(t) f2(t) f3(t) f4(t) f5(t) f6(t)

trozos_eq_fun=subs(trozos_eq_var,{x1,x2,x3,x4,x5,x6,x1p,x2p,x3p,x4p,x5p,x6p,x1pp

,x2pp,x3pp,x4pp,x5pp,x6pp},{'f1(t)','f2(t)','f3(t)','f4(t)','f5(t)','f6(t)','D(f

1)(t)','D(f2)(t)','D(f3)(t)','D(f4)(t)','D(f5)(t)','D(f6)(t)','D(D(f1))(t)','D(D

(f2))(t)','D(D(f3))(t)','D(D(f4))(t)','D(D(f5))(t)','D(D(f6))(t)'});




ecuaciones_convariables=[dec1,dec2,dec6];


syms Df1(t) Df2(t) Df3(t) Df4(t) Df5(t) Df6(t) D2f1(t) D2f2(t) D2f3(t) D2f4(t)

D2f5(t) D2f6(t)

ecuaciones_confunciones_casi=subs(ecuaciones_convariables,{'diff(D(f1)(t),t)','d

iff(D(f2)(t),t)','diff(D(f3)(t),t)','diff(D(f4)(t),t)','diff(D(f5)(t),t)','diff(

D(f6)(t),t)'},[D2f1(t),D2f2(t),D2f3(t),D2f4(t),D2f5(t),D2f6(t)]);

ecuaciones_confunciones=subs(ecuaciones_confunciones_casi,{'D(f1)(t)','D(f2)(t)'

,'D(f3)(t)','D(f4)(t)','D(f5)(t)','D(f6)(t)'},[Df1(t)

Df2(t),Df3(t),Df4(t),Df5(t),Df6(t)]);

ecuaciones_contetaresuelto=subs(ecuaciones_confunciones,{f6,Df6,D2f6},[omega*t,o

mega,0]);

Anexos

72

72

Programa para el cálculo de modos wn y C

clear

clc

omega=100;

c=100;

d1=0.03;

d2=0.01;

dextra=0.01;

tita=pi/3;

dens=7860; %kg/metros cubicos

% l1=4.5*11.502e-2;

% l2=l1;

% lprin=2.7*11.502e-2;

% l3=2.7*11.502e-2;

% l4=2.7*11.502e-2;

% l5=2.7*11.502e-2;

% l6=3.5*11.502e-2; %total

l1=0.5176;

l2=l1;

lprin=0.3106;

l3=0.3106;

l4=0.3106;

l5=0.3106;

l6=0.2676; %total=0.4026

v1=2*l1*0.01*0.04; %metros cubicos

v2=v1;

v3=l3*pi*0.012^2;

v4=v3;

v5=v3;


v6=0.4026*0.0690*0.0345;

m1=dens*v1;

m2=m1;

m3=dens*v3;

m4=m3;

m5=dens*v5;

m6=dens*v6;

md=5;

Ig=(1/3)*m6*0.01^2;

Ia=(1/3)*m6*0.402^2;

Rdisco=0.15;

mdisco=pi*Rdisco^2*0.005;

Id=(1/2)*mdisco*Rdisco^2;

mteta=0.1; %variable

E7=2.006374e11;

G7=79289708870;

Rprob=0.0127/2;

I7z=(1/4)*pi*Rprob^4;

J7=2*I7z;

l7=0.03;

ktors=G7*J7/l7;

kflex=E7*I7z/l7;

k1=1*((tita/(pi/2))*ktors+((pi/2)-tita/(pi/2))*kflex);

k2=1*((tita/(pi/2))*kflex+((pi/2)-tita/(pi/2))*ktors);

E1=2.1e11;

b=0.04;

h=0.015;

r=0.081/2;

I1=2*(((b*h^3)/12)+b*h*r^2);

E2=E1;

I2=I1;

Anexos

74

74

% % DEFINO NUESTRO SISTEMA

% syms omega

%

% syms c

%

% syms d1 d2

%

% syms tita

%

% syms l1 l2 lprin l3 l4 l5 l6 l7

%

% syms m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 md

%

% syms Ig Ia Id Rdisco

% syms mteta

%

% syms k1 k2

%

% syms E1 I1 E2 I2

K11=(k2/l5^2)+k1*(1/(2*l6^2))*(1/2)+(33/280)*E1*I1*l1*2;

K12=-k2*2*(1/(2*l5^2))+k1*(1/(2*l6^2))*(1/2);

K21=-k2*2*(1/(2*l5^2))+k1*(1/(2*l6^2))*(1/2);

K22=k2*(1/(2*l5^2))*2+k1*(1/(2*l6^2))*(1/2)+(33/280)*E2*I2*l2*2;

K=[K11 K12;K21 K22];

M11=(2*mteta/2)+m3+md+(1/(2*l6^2))*Ia*(1/2)+Ig*(1/(2*l5^2))*2+(33/35)*l1*(m1/l1)

;

M12=(1/(2*l6^2))*Ia*(1/2)-Ig*(1/(2*l5^2))*2;

M21=Ia*(1/(2*l6^2))*(1/2)-Ig*(1/(2*l5^2))*2;

M22=mteta*(1/2)*2+m4+md+Ia*(1/(2*l6^2))*(1/2)+Ig*(1/(2*l5^2))*2+(33/35)*l2*(m2/l

2);

M=[M11 M12;M21 M22];


%-----------------------------------------------------------------

[autovect autoval]=eig(inv(K)*M);

frec_rad=[sqrt(1/autoval(1,1));sqrt(1/autoval(2,2))]

frec_rpm=frec_rad.*(1/(2*pi)).*60

mmodal=[-1 1;1 1];

Kd=mmodal'*K*mmodal;

Md=mmodal'*M*mmodal;

eps=0.01;

Cd=[eps*2*Md(1,1)*sqrt(Kd(1,1)/Md(1,1)) 0;0

eps*2*Md(2,2)*sqrt(Kd(2,2)/Md(2,2))];

C=inv(mmodal')*Cd*inv(mmodal);

Trabajo de Fin de Grado -...

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