D E D I C AT O RI A

El presente trabajo dedicamos a los profesionales que luchan en logro

de sus objetivos…A ellos por darnos un buen ejemplo

valorable al cual anhelamos seguir sus pasos para lo

posterior ser ejemplos de la generación venidera…

INTRODUCCION

La mecánica es la ciencia que estudia el efecto que las fuerzas producen sobre los cuerpos. Para su estudio la mecánica se divide en mecánica de sólidos y mecánica de fluidos. La mecánica de sólidos comprende el estudio de los cuerpos rígidos y de los cuerpos deformables. El concepto de cuerpo rígido es teórico, pues todos los cuerpos se deforman al ser sometidos a fuerzas. Sin embargo, desde el punto de vista ingeniería, en muchas aplicaciones se puede suponer que los cueros son indeformables, sin introducir errores significativos.

La estática y la dinámica, que estudian el equilibrio y el movimiento de los cuerpos respectivamente, se desarrollan bajo la suposición de que los sólidos son cuerpos rígidos. Cuando se requiere conocer los cambios dimensionales o de forma, que experimentan los cuerpos sometidos a fuerzas, así como su capacidad para soportarlas, se invoca a la mecánica de los cuerpos deformables o resistencia de materiales. En este primer capítulo se aborda el estudio de los cuerpos en equilibrio, tema de estudio de la estática

El presente trabajo se ha organizado en 3 secciones

La primera de ellas está centrada en el estudio del comportamiento del cuerpo, bajo la acción de fuerzas; los cuales no se mueven y se considera que las deformaciones que se puedan presentar no son significativas para el caso que se analiza por lo cual se pueden despreciar. Este tipo de situaciones corresponden el campo conocido como equilibrio estático, objeto de estudio de la estática

A continuación se aborda el estudio básico algunas situaciones en las cuales se tienen cuerpos bajo la acción de fuerzas que pueden no tener movimiento pero las deformaciones que sufren son muy importantes en su análisis. Ésta sección se denomina "mecánica de los sistemas deformables" y se dedica al estudio de los conceptos fundamentales de la resistencia de materiales

Finalmente, se adopta como objeto de estudio los casos en los cuales los cuerpos sometidos a la acción de fuerzas, se mueven como resultado de estas acciones, considerándose que las posibles deformaciones que lleguen a presentarse no afectan su movimiento, ésta parte corresponde a la dinámica, la cual, a su vez se ha dividido en cinemática y cinética.

CAPITULO I

CABLES SOMETIDOS A CARGAS CONCENTRADAS

LOS CABLES

Los cables son elementos flexibles que tienen diversas aplicaciones en Ingeniería. Como elementos estructurales sirven para soportar cargas; se utilizan en algunos medios de transporte como ascensores, teleféricos, etc. y también como conductores en las líneas de transmisión eléctrica.

En esta sección se analizarán los cables que, estando sujetos en sus extremos soportan cargas que pueden ser concentradas o distribuidas, bien sea uniformemente a lo largo de la horizontal o a lo largo de su longitud.

Los cables como elementos estructurales lineales (las dimensiones de su sección son muy pequeñas comparadas con su longitud). Tienen la característica de ser sumamente flexibles. Razón por la cual para su estudio no se considera su resistencia a flexión y se los diseña para soportar cargas en forma axil, con esfuerzos únicamente de tracción. Al estar sometidos a un sistema de fuerzas los cables alcanzan el equilibrio adaptando su forma a la del funicular de cargas. El estudio estático de estos sistemas se reduce al estudio de la curva funicular.

Siendo que la forma del cable depende de las cargas que actúen en él, para estudiar la forma de un cable debemos distinguir diferentes acciones que lo solicitan. En general los cables se encuentran sometidos principalmente a:- cargas concentradas en diferentes puntos de su extensión- cargas verticales distribuidas por unidad horizontal de longitud (Ej. peso del tablero de un puente colgante)- cargas verticales distribuidas por unidad de longitud del cable (Ej. peso propio del cable) Cuando un cable sujetado en sus extremos es sometido a cargas concentradas adopta una forma poligonal. Si el cable soporta una carga distribuida por unidad horizontal de longitud, su forma es parabólica. Mientras que si está sometido a una fuerza uniformemente distribuida por unidad de longitud del mismo, toma la forma de catenaria.

CABLES SOMETIDOS A CARGAS CONCENTRADASSi un cable, fijo en sus extremos, está sometido a cargas concentradas, éste adquiere una forma poligonal.

Pilón trabajando a compresión

Muerto para anclaje de cable

Cable tensionado

Parábola, bajo carga uniforme

Catenaria, bajo su propio peso

Para determinar la tensión en cada tramo se empieza por determinar las reacciones. Estas comprenden cuatro incógnitas lo cual hace que el sistema sea estáticamente indeterminado. Para poder obviar esta indeterminación es necesario conocer la posición de un punto del cable. Supongamos que se conoce la posición de la carga P2 con coordenadas (x2, y2), Entonces tomando la porción de cable ACD se tiene: lo cual indica que la componente horizontal de la tensión en cualquier tramo es constante. Lo cual indica que la componente horizontal de la tensión en cualquier tramo es constante.

Figura 1

Figura 2

De la figura 1; tomando momentos con respecto al punto B se obtiene una relación entre Ax y Ay. En la figura 2; tomando momentos con respecto al punto D se obtiene otra relación entre Ax y Ay que con la anterior se pueden resolver simultáneamente para determinar Ax y Ay.

Una vez determinadas las reacciones en A se obtiene By, y como Bx = -Ax quedan completamente las reacciones. Habiéndose determinado las reacciones se puede tomar cualquier porción del cable para hallar la tensión correspondiente.

Figura 3

−a

Por ejemplo, tomando la porción AC, figura 3, se tiene que

y

Como:

y puesto que x2, x1 y y2 son conocidos se puede determinar la posición vertical y1 de la carga P1. Repitiendo el procedimiento para cualquier otro tramo se obtiene la tensión en este y la posición de la carga concentrada correspondiente.

EJERCICIOSUn cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de 50kN/m. Si la altura máxima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero del puente es de 30m y se cuenta con cables de acero con resistencia última a tracción de 1800N/mm2, determinar el diámetro del cable mínimo que puede ser usado. Despreciar el peso del cable.Jugando con la altura del cable con respecto al tablero podría determinar el menor volumen de acero de cable a usar. Exprese volumen como longitud por área transversal y grafique versus altura del pilón.

Ejercicio 5.1 Una barra de secci´on uniforme, con momento central de inercia I y ma- terial el´astico lineal de m´odulo de elasticidad E, est´a empotrada verticalmente en un suelo r´ıgido horizontal tal como se muestra en la figura. Est´a sometida a una sobrecarga horizontal por empuje de una capa de terreno de espesor a, cuya intensidad p depende de la posici´on a lo largo del eje de la viga en la forma

p(x) = q

an(a − x)n

donde q es una constante con dimensiones de fuerza por unidad de longitud , n = 0,2 y x es la distancia al empotramiento. Determinar: a) La ley de esfuerzos cortantes; b) La ley de momentos flectores; c) El desplazamiento del punto C .[SUGERENCIA: Calcule las integrales utilizando la variable auxiliar xt = a − x]. Soluci ́ on

C

0.8a

p(x) = q≥1

x ¥n

ax

41

Ejercicio 5.2 Una pletina acodada ABC de secci´on rectangular de 3 mm de canto y15 mm de espesor, de acero de m´odulo de elasticidad 200 GPa, mide 2a = 200 mm en horizontal y a = 100 en vertical. Se somete a una carga horizontal P = 10 N en su extremo C, como indica la figura. Se pide: (a) Determinar las leyes de esfuerzos; (b) Determinar las m´aximas tensiones normales de tracci´on y de compresi´on ; (c) Determinar el desplazamiento horizontal y vertical del punto de aplicaci´on de la carga. Soluci ́ on

C P

a

Ejercicio 5.4 La estructura de la figura et´a formada por tres barras id´enticas AB, BC y BD. Est´a empotrada en A y sometida a una carga uniformemente repartida a lo largo de BC , de valor absoluto q: (a)Determinar los giros en los puntos B, C y D. (b) Determinar los desplazamientos de los puntos B, C y D. NOTA: Despr´eciense los desplazamientos producidos por los esfuerzos axiles.

D

q

B C

A

CAPITULO 2

CABLES SOMETIDOS A CARGAS DISTRIBUIDAS

CABLES CON CARGAS DISTRIBUIDASCuando un cable soporta cargas distribuidas, estas se pueden considerar como cargas concentradas suficientemente próximas, de tal manera que el cable adquirirá una forma curva (polígonal con infinito número de lados).  Supongamos inicialmente que la carga es uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal, tal es el caso de un puente colgante que se muestra en la fig. 4.

Fig. 4

Sea w la carga uniforme a lo largo de la horizontal. Para determinar la forma que adquiere el cable con este tipo de carga se toma una porción de cable desde su punto mas bajo hasta un punto de coordenadas (x ; y), Fig. 5 La tensión en este punto T será tangente a la curva.

Fig. 5

Fig. 6

Tomando momentos con respecto al punto (x ; y) se tiene que:

Entonces se obtiene,

Que es la ecuación de una parábola, con origen en el punto más bajo del cable. y con ello es posible determinar el valor de T0, conociendo la posición de un punto del cable. Para determinar la tensión en cualquier punto, considerando el triángulo de fuerzas de la porción del cable se tiene que:

De la misma manera se deduce que la máxima tensión estará en el punto más alto del cable y que la mínima tensión estará en el punto mas bajo y es To. La longitudes del punto más bajo del cable, a un punto de coordenadas (x ; y) , será:

Esta serie converge para valores de y/x <0,5. Generalmente y/x es mucho menor de 0,5 de tal manera que se obtiene una buena aproximación con los dos primeros términos de la serie.

Ejercicios:

Para las vigas siguientes que se encuentran en equilibrio, calcular las reacciones en sus apoyos A y B. Si la carga es trapecial se suman las dos cargas bases y se dividen

entre 2 y lo que resulta se multiplica por su longitud:

47

CAPITULO III

CABLES SOMETIDOS A SU PROPIO PESO

48

CATENARIAS

Cuando un cable es suspendido sin carga, es decir soportando su propio peso, la carga distribuida a lo largo de la horizontal deja de ser uniforme; sin embargo, si el cable es homogéneo, la carga es uniforme a lo largo de su longitud. La fig. 7 representa un cable soportando su propio peso y la distribución de la carga a lo largo de la horizontal

Fig. 7

Como no se conoce la distribución de la carga a lo largo de la horizontal ni, obviamente el centroide bajo la curva de carga, no se puede utilizar el mismo método de la sección anterior.

Fig. 8

La figura 8 muestra la porción del cable entre el punto más bajo (que no es el origen de coordenadas) y un punto de coordenadas (x ; y), y las fuerzas actuantes

49

}

Fig. 9

Del triángulo de fuerzas se deduce que: ………………1

Donde:

Como el peso del cable está uniformemente distribuido a lo largo de su longitud es necesario obtener una expresión para la longitud de la porción del cable

considerado. Puesto que

y teniendo en cuenta la ecuación 1 se tiene que:

Por consiguiente

50

Integrando, se obtiene:

Puesto que para x=0, s=0, entonces C1=0, y

…………………………………………2

De la ecuación 1 se tiene que:

Integrando se obtiene:

Tomando el origen de coordenadas tal que cuando x=0, y sea C, entonces C2=0

……………………………………………3

51

Que es la ecuación de una catenaria con parámetro C.

Elevando al cuadrado las ecuaciones 2 y 3, y substrayendo, se tiene que:

………………………………………………….4

Ya que:

Ahora bien, para determinar el valor de la tensión T en cualquier punto, considerando el triángulo de fuerzas en la figura 8 se ve que:

Teniendo en cuenta la ecuación 4; se obtiene:

o ……………………………….5

Lo cual indica que la tensión, en cualquier punto, es directamente proporcional a la distancia vertical medida desde el eje x.

Ejemplo 5.1 La viga biapoyada de la figura tiene secci´on uniforme de ´area A y est´a he- cha de una combinaci´on de materiales lineales con m´odulo de elasticidad medio E. Si est´a sometida a un axil cuyo diagrama es el que se muestra en la figura, determinar el desplazamiento del apoyo izquierdo y del punto medio de la viga.

N1A C B N1 /2

`

29

33

A

I

uy y 0

B C (A − x) x(A − x)dx

fuxB= uxA + EA 2

+ 2 EA 3 2

− 2 2EA 3 2

⇒ uxA = − 8 EA

donde los tres u´ltimos t´erminos del segundo miembro de la primera ecuaci´on son, de izquierda a derecha: el ´area del rect´angulo, el ´area del tri´angulo positivo y el ´area del tri´angulo negativo. Las bases de los tri´angulos se han determinado por razones de se- mejanza; el desplazamiento es negativo con los ejes est´andar, es decir que A se deplaza hacia la izquierda. N´otese que existen varias formas de calcular el ´area por descompo- sici´on en ´areas simples; se ha utilizado la m´as obvia, pero ser´ıa m´as simple utilizar un trapecio de altura 3N1/3 y bases A y A/2 menos un rect´angulo de altura N1/2 y base A. El desplazamiento del punto central se obtiene de forma an´aloga, siendo entonces el´area la que corresponde a los dos u´ltimos t´erminos de la ecuaci´on anterior, por lo que se

1 N1A

obtiene uxC = − 8 E

.

Ejemplo 5.8 Determinar los giros en los extremos y la flecha en centro para una viga biapoyada de longitud A sometida a una sobrecarga uniforme de valor q dirigida hacia abajo.

qA B

`

Soluci´on: Empezamos por calcular las reacciones, que son iguales entre s´ı y a ↑ qA/2. El momento flector es pues M = (qA/2)x − (qx)(x/2) = qx(A − x)/2. Como existe simetr´ıa de carga, la deformada debe ser sim´etrica con respecto al centro de la viga, y, por tanto, el giro en el centro debe ser nulo. Por lo tanto, aplicando la forma integral (72) para el giro entre el extremo izquierdo A y el centro C resulta

¸ A/2 q

q.

1 1.A/2

θC = 0 = θA + x(A − x)dx ⇒ θA = − Ax2 − x3

0 2EIqA3

2EI 2 3 0

y, en consecuencia, θB = −θA = 24E

. Aplicando ahora la expresi´on (77) para los

co-

rrimientos entre el centro y el extremo derecho B, para el cual el desplazamiento es nulo,resulta

B = 0 = u C +fθC (x − x ) +

¸ A

A/2

q

2EI

5qA4

I

I

y6 − 2

34

e integrando con la ayuda de Maxima resulta uyC = − 384EI

Ejemplo 5.10 En una viga biapoyada de longitud A sometida a un momento concen- trado M0 en su extremo derecho, determinar los giros en los extremos, la distribuci´on de flechas y la posici´on y valor de la flecha m´axima (en valor absoluto)

M0

A

Soluci´on: La ley de momentos es inmediata porque el momento es nulo en el extremo izquierdo y M0 en el derecho y debe variar linealmente entre ambos:

A x B

M0 x/` M0

Sabemos que los desplazamientos en A y B son nulos, por lo que podemos ponerA 1 M0 M0AuB − uA = 0 = θAA + 3

× 2

A

E←

I

⇒ θA = − 6E

donde se ha tomado momentos

respecto a B del tri´angulo total de momentos (sombreado claro). Ahora podemos calcularel giro en B sumando al de A el ´area del tri´angulo de momentos dividida por EI :

1 M0 M0AθB = θA + 2

A

E←

I

⇒ θB = 3E

A continuaci´on buscamos la flecha en el punto x

0 x 1 M0xusando la ecuaci´on de desplazamientos entre A y x: uy (x) = fuyA + θAx + 3

× 2

x

AE←

I ⇒

u (x) = M0x

(A2

EI A− x ) La deformada correspondiente es una par´abola cu´bica que se

anula en x = 0 y en x = ±A, es negativa en todo el intervalo que corresponde a la viga y

tiene un m´ınimo en ´el. El m´ınimo se obtiene derivando e igualando a cero la derivada, i.e.,

35

A2 − 3x2 = 0 ⇒ x = A/

√3 es la posici

´on de la flecha m´axima, y el valor correspondiente

M0A2

es |uy |m´ax = 9√

3EI

36

INDICE

Introducción…………………………………………………………… 2

CAPITULO I

CABLES SOMETIDOS A CARGAS CONCENTRADAS

Los cables………………………………………………………………..3

Cables sometidos a cargas concentradas..…………………………. 4

Ejercicios resueltos……………………………………………………... 5

CAPITULO IICABLES SOMETIDOS A CARGAS DISTRIBUIDAS

Cables con cargar distribuidas ..………………………………………. 6

Ejercicios resueltos……………………………………………….. …….8

CAPITULO III

CABLES SOMETIDOS A SU PROPIO PESO

Catenarias……………………………………………………………….9

Ejercicios resueltos…….……………………………………………….16

Conclusión………………………………………………………………

Bibliografías…………………………………………………………….

37

CONCLUSION

38

Sugerencias