1. PorALEXANDRA LOAIZA ZAMORAUNIVERISDAD DEL QUINDIOFACULTAD CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTESPROGRAMA CIENCIAS DE LA INFORMACIN Y LA DOCUMENTACIN,ARCHIVISTICA Y BIBLIOTECOLOGIAMayo de 2013 2. PorALEXANDRA LOAIZA ZAMORAPresentadoIng. GIOVANNI SALAZAR OVALLEUNIVERISDAD DEL QUINDIOFACULTAD CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTESPROGRAMA CIENCIAS DE LA INFORMACIN Y LADOCUMENTACIN, ARCHIVISTICA Y BIBLIOTECOLOGIAMayo de 2013FATORIZACIN 3. FACTORIZACION la factorizacin (o factoreo) es la descomposicin de unaexpresin matemtica (que puede ser un nmero, unasuma, una matriz, un polinomio.) en forma demultiplicacin. Existen diferentes tcnicas de factorizacin, dependiendode los objetos matemticos estudiados; el objetivo essimplificar una expresin o reescribirla en trminos debloques fundamentales, que reciben el nombre defactores, como por ejemplo un nmero en nmerosprimos, o un polinomio en polinomios irreducibles. 4. Factor Comn: Se le llama as al factor que aparece en cada uno de lostrminos de un polinomio. EJEMPLO 1: (Hay factor comn entre los nmeros)8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)El factor comn es el nmero 4: El Mximo Comn Divisorentre los nmeros. 5. EJEMPLO 2: (Hay factor comn entre las letras)7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)El factor comn es x2.: La x elevada a la menor potencia conque aparece.EJEMPLO 3: (Hay factor comn entre los nmeros y entre lasletras)9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)El factor comn es 3x2: El MCD entre los nmeros y la xelevada a la menor potencia. 6. EJEMPLO 4: (Con fracciones)4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 -x4)El factor comn es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCDdel denominador, y la x a la menor potencia. 7. FACTORIZACION DE UN BINOMIOCUADRADO PERFECTO Los binomios cuadrados perfectos son de la forma:(a+b) = (a+b)*(a+b):a +2ab+b2 Realizando la multiplicacin de forma algebraicapodemos comprobar que el resultado sea correcto 8. Ejemplo 1:Factorizar a2-4ab+4b2 Obtenemos la raz cuadrada del primer trmino:Raz cuadrada del tercer trmino:Doble producto de las races del primer y tercer trmino:(2)(a)(2b)= 4ab Como podemos observar el doble producto de lamultiplicacin de las races es igual al segundo trmino;por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Porlo tanto a2-4ab+4b2 podemos expresarlo como (a-2b)2. 9. Ejemplo 2: (Con fracciones)x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)x 3/59/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25tambin (de 5) Ejemplo 3: (Con potencias distintas de 2)x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)x3 2x6 es tambin un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que(x3)2 es igual a x6 10. DIFERENCIA DE CUADRADOS Se extrae la raz cuadrada al minuendo y alsustraendo y se multiplica la suma de estas races porla diferencia de la raz del minuendo y la delsustraendo. 11. Ejemplo 1:Factorizar 1-a2 Realizando los pasos que se mencionan en la regla,tenemos: Raz cuadrada del minuendo:Raz cuadrada del sustraendo:Multiplicamos la suma de estas races (1+a) por ladiferencia de la raz del minuendo y del sustraendo (1-a). Por lo tanto: 1-a2=(1+a)(1-a) 12. Ejemplo 2:(Con potencias distintas de 2)x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)x3 2x6 es tambin un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6Ejemplo 2:(Fcil)x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)x 3Los dos trminos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factorizamultiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases". 13. FACTORIZACION DE TRINOMIOS EJEMPLO 1: (Trminos positivos)x2 + 6x + 9 = (x + 3)2x 32.3.x6xBusco dos trminos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9.Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x("doble producto del primero por el segundo"). Di igual que el otrotrmino. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de lafactorizacin es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2 14. EJEMPLO 2: (Con fracciones)x2 + 8/3 x + 16/9 = (x + 4/3)2x 4/32. 4/3 . x8/3 xLa fraccin 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y4/3. 15. EJEMPLO 3: (Con potencias diferentes a "2")x6 + 10x3 + 25 = (x3 + 5)2x3 52.x3.510x3Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un"cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares(4, 6, 8, etc.) tambin son "cuadrados", ya que x4, porejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por unapropiedad de las potencias (potencia de potencia). 16. FACTORIZACION POR AGRUPACION Dado un polinomio en el cual no existe un factorcomn no constante a todos los sumandos que locomponen, en algunos casos es posible obtener lafactorizacin de dicho polinomio, realizando una"agrupacin conveniente" de aquellos sumandos queposeen un factor comn. 17. Para factorizar factor comn por agrupacin detrminos: 1. Se mira si el polinomio tiene un monomio comn. 2. Si no tiene, se asocia teniendo en cuenta los signos detal manera que cada grupo tenga un monomio comn. 3. Se factoriza el polinomio comn que genera lafactorizacin de la agrupacin anterior. Ejemplo 1: . 7ax + ay 7bx by = (7ax +ay) (7bx + by) = a(7x + y) b(7x + y) = (7x +y)(a b 18. .Ejemplo 2: a2 b2 5a + 5b = (a2 b2) (5a 5b) = (a + b) (a b) 5(a b) = (a b) (a + b 5) Ejemplo 3: 4ay 2by + 2az bz = 2y(2a b) + z(2a b) = (2a b) (2y + z)