INGENIERÍA INDUSTRIALTRABAJO COLABORATIVO No. 3100410_ CALCULO DIFERENCIAL

Presentado por

SOBIETH SOLER CÓD. 28821022

NOHORA MONTEJO CASTILLO CÓD. 46375908

YULI MILENA URBINA GÓMEZ CÓD. 36954841

TUTORFAIBER ROBAYO

UINIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

CALCULO DIFERENCIAL2008

INTRODUCCIÓN

Con el desarrollo del trabajo colaborativo No. 3 se pretende profundizar en los temas que trata la tercera unidad del modulo de cálculo diferencial, de tal manera que se conozca y aprenda el tema DERIVACION Y APLICACIONES, tratados en esta fase, Aplicando los lineamientos propuestos para la solución de dichos planteamientos, y teniendo en cuenta el trabajo en equipo, y la participación interactiva de cada uno de los compañeros de este grupo colaborativo.

TRABAJO COLABORATIVO No. 3UNIDAD No. 3 – Derivación y aplicaciones.

HALLAR LA PENDIENTE A LA RECTA TANGENTE A LA CURVA:

1. Para cuando x = 3

La pendiente de la recta tangente a la curva para cuando es x = 3 es m = 27 el cual proviene de reemplazar x en la derivada de la función.

2. f (x) = 4sen(2x) Para x = π/8

f (x) = 4sen(2x) Para x = π/8 f´ (x) = 4cos(2x) f´ (x) = 2(4cos(2x)) f´ (x) = 8cos(2x)

Convertir π/8 a grados

f´ (x) = 8cos(2(22.5º)) f´ (x) = 8cos(45º)

f´ (x) = 8 *

f´ (x) = 4

La pendiente de la recta tangente a la curva para cuando es x = π/8 es m = 4 el cual proviene de reemplazar x en la derivada de la función.

RESOLVER LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:

3. Si Hallar f ‘(2)

Se lleva a la inversa para eliminar el exponente negativo

4. Si cual será el valor de x =? para g´(x) = 16

Reemplazando g´(x) por 16

5. f (x) = 2x +

f (x)=

(x) (2) + .

(x)=3 + .

(x)=3 +

6.

Hallamos la derivada mediante la aplicación de la regla de la cadena y la derivada de cociente:

Sea , entonces

Por otra parte:

Aplicando la regla de la cadena tenemos:

Reemplazamos u en la ecuación:

7.

Hallamos la derivada mediante la aplicación de la regla de la cadena, la derivada de producto de funciones, y la derivada de funciones trigonométricas:

Sea y

Sea y

Aplicamos la regla de la cadena:

8.

Aplicamos la formula:

NOTA= Como la derivada de una constante respecto a u es 0 Entonces la derivada de la función es:

9.

Sea

Sea y

Por lo tanto:

10.

Sea

Sea

12. La diagonal de un rectángulo está aumentando a razón de 6 cm/seg. A que razón aumenta el área en el momento en que la diagonal mide 10 cm.

De acuerdo a la figura, tenemos que:

Reemplazando b y h en la ecuación del área, tenemos que:

Llamemos x a la variación de la diagonal d, por lo tanto:

La variación del area en razon de la longitud de la diagonal sera:

Por otra parte, el cambio de la longitud en razon del tiempo sera:

De acuerdo a esto, la variación del área en razón del tiempo será:

Para x=10

Es decir, el área en el momento en que la diagonal mide 10 cm aumenta a razón de 120 cm2/s, multiplicado por el producto del seno y el coseno del ángulo que la diagonal forma con la base del rectángulo.

13. Un cilindro circular recto se está llenado a razón de 10 cm3/min. El cilindro esta verticalmente ubicado, el radio es de 80 cm y su altura es de 2 metros. A qué razón cambia su altura, en el momento en que ésta mide 35 cm.

El área transversal del cilindro esta dada por:

El área es constante.

El volumen esta dado por:

La razon de cambio del volumen con respecto al tiempo sera entonces:

El volumen aumenta a razón de 10 cm3/min:

La razón de cambio de la altura será:

Esta razón de cambio es constante en cualquier altura del espejo del liquido con respecto a la base.

14. Un cuerpo se mueve bajo la función de movimiento x = 3t 2 − 5t + 8 Cual será la velocidad y la aceleración en el momento t = 10 seg.

x = 3t 2 − 5t + 8

Derivada posición (x) = velocidad y su derivada es la aceleración.

V= 6t-5 V= 6(10 seg)-5a=6 V= 60-5

V=55

15. Hallar los valores extremos y determinar si son máximos y/o mínimos de la función:

f (x) = 4sen(3x) Para el intervalo [0, π/2]

X f(π/6)= 4Sen 3(π/6) f(π/3)= 4Sen 3π/30 0 =4 Sen (π/2) F(π/3)=0π/6 4 f(π/6)=4π/4 2,828 f(π/4)=4Sen (3π/4) f(π/2)=4Sen. 3π/2π/3 0 f(π/4)= 2,828 f(π/2)=4π/2 4

Mínimo = 0Máximo = 4

16.Describir la gráfica de la función: f (x) = x3 + 6x2 + 2x − 8 Su monotonía y su curvatura

f (x) = x3 + 6x 2 + 2x − 8

f’(x) =3x2 + 12x + 2

f’’(x) = 6x + 12 f’’(x)>0 para todo xЄR, luego la grafica es cóncava hacia arriba.

Monotonía:

f’(x) =3x2 + 12x + 2

(-, -5) es Decreciente y (-5,) es Creciente

17.Un Arquitecto desea construir el frente de una casa en forma parabólica, cuya ecuación es: y + x2 −12 = 0. La puerta principal debe ser rectangular, de tal forma que dos de sus vértices tocan la curva que forman el frente de la casa. La puerta debe cubrir la mayor área posible. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones de la puerta?

y = -x2 + 12 y’ = -2x x =0 y”=-2. Punto de inflexión.

A=2xy0. y = 12 –x2

Luego: 12 –x2 =0 y

A = 2xy como . y = 12 –x2

entonces A = 2x(12-x2) luego A = 24x – 2x3 dA/dx = 24 – 6x2 entonces, 6(4-x2) podemos decir que : 4-x2 = 0 entonces, (2-x)(2+x) =0 luego x =2

Largo L= 2x = 4Alto h= 12-x2 si x=2 reemplazamos y tenemos que h = 8

A =2xy =2 *2*8 = 32.

18.Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 8 cm. ¿Cuál será el área más grande que pueda tener el triángulo?

A = b.h/2 c2 = a2 + b2

19.Un rectángulo está inscrito en un círculo de radio 1, ¿Cuáles serán las dimensiones del rectángulo de tal manera que presentan la mayor áreaposible?

A = xy

Aplicando Teorema de Pitágoras

8cm

8cm

900 α

θ

20. Sea I(x) = 600x –x3/20 La función ingreso total, por venta de x artículos.¿Cuál será el ingreso marginal cuando se venden 20 artículos?

I(x) = 600x –x3/20dx/dx = 600 –60x2/400Cuando x = 20 tenemos: 600 –60(20)2/400 → I(x)=540

CONCLUSIONES

Aplicación de los conocimientos adquiridos en la unidad 3, referente a límites derivación y aplicación..

Participación interactiva del grupo colaborativo

BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFÍA

Módulo Cálculo Diferencial, primera edición, UNAD, 2006

Introducción al Análisis Matemático, J. M. Ortega, Ed UAB

Problemas, conceptos y métodos de Análisis Matemático, M. Guzmán y B.

Rubio, 3 tomos, Ed. Pirámide.

www.wikipedia.com

www.elprisma.com