Trabajo Calculo
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ε-δ ε-δ ε-δ δ≥0→
En los ejercicicos del 1 al 16 aplicando la definición (ε-δ) determinar los números δ≥0 para los ε dados
2.- limx→−3
(2 x2−1 )=17 , ε=0.02
limx→-3(2x2-1) =17 , ε=0.02
De la definición (ε-δ)
∀ε˃0 ∃ δ tal que
0˂ǀx+3ǀ˂ δ ⇒ ǀ2x2-18ǀ ˂ ε , dom f(x)=R
Transfomando ǀ2x2-18ǀ en factores que contengan ǀx+3ǀ
2ǀx+3ǀǀx-3ǀ acotando ǀx-3ǀ para un δ1=1
ǀx+3ǀ˂1 -7 ˂x-3 ˂ -5 →ǀx-3ǀ˂5 cota superior
2ǀx+3ǀǀx-3ǀ ˂ ε → ǀx+3ǀ˂ ε ∕10 δ2
δ ≤ 0.002 rpta
GRUPO 10
Sea f y g funcionesreales devariables reales .Si limx→0
f ( x )=L ,ϵ R+¿¿ y limX→0
g ( x )=L2R+¿¿
demostrar que existen a y b δ ε R, tales que, si
0<|x−x0|<δ , x ϵ Dom (f /g )⟹α<f ( x )g ( x )
<b
De (ϵ−δ ) se tiene
limx→0
f (x)g(x )
=L1
L2 Se tiene
0<|x|<δ⇒| f (x)g (g )−
L1
L2|<ϵ x∈Domf / g
| f (x )g(x)|−|L1
L2|<ϵ ; L1
L2(positivo)
| f (x )g(x)|<∈+L1
L2⟹−(ϵ+ L1
L2)< f (x )
g(x )<∈+
L1
L2
α=−(ϵ+ L1
L2)
b=∈+L1
L2
RPTA : si existeα ,b , δ
GRUPO 11
limh→ 0
f (a−2h )−f (a)h , si f ( x )= 1
3√ x2, x ≠0
f (a−2a )− f (a )h
=g (h )
∴ f (a−2h )=a−2h−1a−2h
∴ f (a )=a−1a
En g (h) se tiene:
g (h )=( a−2h−1
a−2h )−( a−1a )
h
g (h )=a−2ha−a−(a−1 ) (a−2h )a (a−2h )h
= −2a (a−2h )
limh→ 0
f (a−2h )−f (a)h =lim
h→0g (h )=−2
a2
GRUPO 12
34.- lim
x→ 1−¿( x4−1x3+
3√|x|−1)¿¿
Analizando, máximo entero x−1−¿ ¿
|x|=n ;n≤ x<1+n
n=0
limx→1−¿ (x2+1 )(x+1 )(x−1)
(x−1)(x2+ x+1)=
(x2+1)(x+1)(x2+ x+1)
=43 ¿
¿
GRUPO 13
44.- limx→1
1+x3
sen (1−x4 )=
( x+1 ) ( x2−x−1 )sen¿¿
(1+ x ) (x2−x+1 ) (1−x ) ( 1+x2 )sen [ ( 1−x2 ) (1+x ) ] (1−x ) ( 1+ x2 )
¿ x2−x−1(1−x ) (1+x2 )
= x2−x+1(1−x ) ( 1+ x2 )
=(−12 )−(−1 )+1
¿¿
rpta=34
94.- limx→0
x2arcSen x+ tan x−sen xx3
limX→ 0
arc sen xx
+ sen xx3 cos x
− sen xx3
¿1+ sen xx
(1−cosx )x2
1cos x
¿1+ 12
rpta¿3/2
GRUPO
98.- limx→0 ( x2
3√8+x3−√4 x+x2 )Por conveniencia hallamos el límite su inversa
limx→0
3√8+x3
x2 −√4+XX2 sumanos y restamos2
3√8+x3−2x2 −
(√x2+4−2)x2 racionalizando
x3
x2 FR(a ,b)− x2
x2 FR(a ,b)2
0FR (a ,b)
− 1FR(a ,b)2
=−14
=L1
L1= 1
L
∴L=−4
GRUPO 14
20.- limx→±∞
(√ x2+3 x−x )racionalizando f ( x )
Por limites laterales
limx→±∞
¿ 3 x√ x2+3 x+x
3 x
|x|(√1+ 3x+1)
= 3
√1+ 3x+1
∴L1=3 /2
limx→±∞
3
(−1)(√1+ 3x+1)
=−32
∴L2=−3/2
como L1≠ L2Notiene limite
GUPO 15
2.- lim
x→ 4+¿ √16−x2
x−4 ¿
¿
√( 4−x ) ( 4+x )x−4
=−√4+xx−4
=−√80
=−∞
limx→ 4+¿ √16−x2
x−4 =−∞¿
¿
GRUPO 16
22.- limx→1
x3+x2−x+1( x−1 )3
limx→1
( x−1 )2 ( x+1 )( x−1 )3
= x+1x−1
=−∞
definicion (ε−δ )∀M≫0∃δ>0 con x∈Domf ( x )tal que x∈ ⟨−∞ ,1 ⟩
0<|x−1|<δ 1⟹1+ xx−1
←M
2x−1
+1←M
2X−1
<1−M
X−12
> 11−M
X−1> 21−M
−δ 1=2
1−M
δ 1=2
M−1
GRUPO 17
37.-f ( x )={ x2
√x2−4,|x|>2………f 1
x3
4−x2 ,|x|<2………f 2
i) para f 1 Doom ⟨−∞,2 ⟩U ⟨2 ,+∞ ⟩ f 1es uaecuacion simetricaconrespecto al eje y asintotas verticales
f ( x )= x2
√(x+2)(x−2)
limx→−2−¿ 4
0−¿ (−4) =+∞¿¿
¿
limx→2+¿ 4
√4¿¿ ¿¿¿
¿
no tiene asintotahorizoontal asintota oblicua 1
M 1= limX→+∞
f 1 ( x )x
limx→+∞ ( x
√x2−4 )=1
b1= limx→+∞
[ f ( x )−mx ]=[ x2
√x2−x ]
limx→+∞
4 x
√x2−4 (x+√x2−4 )=0
∴ y=x (asintotaoblicua)
asintota oblicua2
M 2= limX→−∞
x√ x2−4
=−1
b2= limx→−∞
4 x
√x2−4 (x+√ x2−4 )=0
∴ y=−x asintotaizquierda
ii) para f 1 Dom ⟨−2,2 ⟩ f 2es simetria respectoal origen f 2 (−x )=−f 2 ( x ) y=0⟹ x=0
asimetrias verticales f 2 ( x )= x2
(2−x)(2+ x)
limx→−2+¿ x2
(2−x)(2+ x)=−∞; lim
x →2−¿ x2
(2−x)(2 +x)=+∞ ¿
¿¿
¿
no tiene simetriahorizontal∋oblicua por quex tiendea±∞
19.- limX→+∞ ( 5+X+X2
2+X2 )2x
por el calculodirecto obtnemos la formaineterminadamente 1+∞luego :
f ( x )= x2+ x+1x2+2
h ( x )+1=f ( x )−1
para limx→∞
[ (1+h( x))1/n (x)]g ( x ). h(x)
limx→∞
℮2 x (f ( x )−1)
tenemos limx→∞
2 x ( x+5 x−2x2+2 )
limx→∞
2x2+10 x−4
x2+2=2
RPTA :℮2
GRUPO 20
4.- sea f una funcion tal que ∀∈>,∃δ>0 , si0<|h|<δ⟹|f (x0+h )−f (x0−h )|<∈analizar la continuidad de f en x0
limx→x0
f (x )=L= limh→∨¿ f (x0+h )
¿¿
analizando se tiene:
0<|h|<δ⟹¿
∴L=f (x0−h)
f (x0 )≠ f ¿)
noexiste continuidad en x0
GRUPO 21
19.-estudiar la continuidad de la funcion(x)
2 x2x− [2 x ]−1
, en [0 , 32 ]
analizamos ⟦2 x ⟧
2 x∈ [0,3 ]
[ 0 , 12 ⟩⟹ ⟦2x ⟧=0
[12,1 ⟩ ⟹ ⟦2 x ⟧=1
[1, 32 ]⟹ ⟦2 x ⟧=2
entonces queda :
{2xx−1
x ϵ [1 , 12 ⟩
xx−1
x ϵ [12,1 ⟩
2 x2 x−3
x ϵ [1 , 32 ]
analizamos 12y1
para x=12
f ( 12 )=lim
x→12
f ( x ) ; f (12 )=−1
limx→ 1
2
−¿
¿ 2¿
¿
limx→ 1
2
+¿
=−1¿
¿
f ( 12 )≠ lim
1→12
f ( x ) ;noes continuo x=12
para x=1
f (1) limx→1−¿ f ( x ) ;f (1)=−2¿
¿
limx→ 1−¿ f ( x )=−∞¿
¿
limx→ 1+¿ f ( x )=−2 ¿
¿
f (1 )≠ limx→1
f (x )noes continuoen x=1