trabajo 2

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UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIÁTEGUI FÍSICA III – INGENIERÍA CIVIL

I N G E N I E R I A C I V I L – U J C M

FÍSICA III – TRABAJO N°02

Docentes:

Lic. LORENZO REBAZA

Alumno:

APAZA MAMANI JHON MICHAEL, cod. 111021012p

MAMANI FERNANDEZ MARGOT ELIZABETH, cod. 083020125

RAMOS PEREIRA MATILDE LORENA, cod. 111021035p

TEMAS:

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE FOURIER

AÑO 2015

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ÍNDICE

TRANSFORMADA DE LAPLACE 03

Definición Linealidad de la transformada de Laplace Primera propiedad de traslación Segunda propiedad de traslación Principales funciones de Laplace

TRANSFORMADA DE FOURIER 31

Definición Propiedades de la Transformada de Fourier para señales discretas

CONCLUSIONES 42

BIBLIOGRAFÍAS 43

ANEXOS 44

Derivada De Una Transformada De Laplace Aplicación de las transformadas a los circuitos eléctricos.


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TRANSFORMADA DE LAPLACE

Para comenzar con la exposición primero vamos a demostrar de donde viene la transformada de Laplace, para ello vamos a tener en cuenta la siguiente fórmula matemática, que es la trasformada de Laplace:

F ( s )=∫0

∞

f ( t ) e−st dt……… ..(1)

La función F de la variable independiente s se la llama transformada de Laplace de la función original f de la variable independiente t. Para demostrar (1) tenemos que tener en cuenta SERIES DE POTENCIAS pues la transformada de Laplace es un caso especial de SERIES DE POTENCIAS, esta serie tiene la forma:

∑n=0

∞

an xn………… (2)

El resultado de la sumatoria de (2), si converge, converge a una función de x:

∑n=0

∞

an xn=A (x )

anes una función de la variable independiente n, entonces podemos expresar esto de la siguiente manera funcional:

f :→ ………………………….(3)

Donde nosotros tomamos un elemento del conjunto de los naturales y atravez de una función llegamos a:

f :❑→f f (n )=a(n)

Ahora vamos a expresar (2) de manera funcional

∑n=0

∞

a(n) xn=A (x )

Esta sucesión es una sucesión discreta ¿Por qué es discreta?, pues simple porque el dominio de lo que estamos siguiendo hasta ahora va desde los naturales a los reales (3), esto significa que entre los valores 1 y 2 no hay ningún valor.

Análogamente trabajaremos la SERIE DE POTENCIAS pero en un dominio continuo y en este caso entre los valores 1 y 2 tenemos muchos valores, redefinimos la manera funcional de (2) cambiando la variable n (discreta) por una variable t (continua) y t está definida en un intervalo:


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0< t<∞

Como ahora la serie de potencias está definida en dominio continuo en lugar de trabajar una sumatoria vamos a trabajar con integrales llamando a (n ) como f (t)

∫0

∞

f ( t ) x tdt=F ( x )………… (4)

(4) es lo que conocemos como integrales impropias. En esta integral hay ciertas cosas que tenemos que cambiar, y mirando (1) nos damos una idea de los cambios que tenemos que realizar, claramente tenemos que trabajar x t

En la integral impropia (4) “x” es una constante entonces:

x=e ln x

e y ln xson funciones inversas entonces al operar regresamos a la x. Pero como dijimos nosotros queremos sustituir x t entonces:

x t=[e ln x ]t

Aparte de esta transformación hay otras cosas que tenemos que tener en cuenta, si x es un valor que es mayor que 1 cuando evaluemos la integral vamos a notar que x t va a crecer

demasiado rápido con respecto a f ( t ) porque tiene un comportamiento exponencial. La única chance que tenemos para que (4) converja es que el valor de x sea menor a 1 y mayor que 0:

0<x<1

Con este intervalo definido para x tenemos que el ln x :

ln 0=−∞ ; ln 1=0

Entonces:

ln x<0

Como la variable x del logaritmo natural es continua vamos a definir una nueva variable que sea igual al ln x:

−S=ln x con S>0

Para hacer ver que el resultado es negativo escribimos –S. Ya tenemos listo todo, ahora replanteamos (4) con las nuevas correspondencias:


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∫0

∞

f ( t ) x tdt=∫0

∞

f ( t ) [e ln x ]tdt=∫0

∞

f ( t ) [ e−S ]tdt=∫0

∞

f ( t ) e−St dt

∫0

∞

f ( t ) e−St dt=F (s)

Y llegamos al resultado que esperábamos. Observemos algo MUY IMPORTANTE de las transformadas de Laplace, nosotros dentro de la integral tenemos f ( t ) (una función de la variable independiente t) y nos devuelve F ( s )(una función de la variable independiente s).

Nosotros sabemos que:

Con todo esto visto estamos en condiciones de de presentar la definición formal de la transformada de Laplace.

Definición de Transformada de Laplace

Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:

L {f ( t )}=F( s )=∫0

∞f ( t ) e−st dt

donde s es una variable compleja s=σ+iw .

Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.


f(x) OPERADOR

h(x)

Transformada f(t) F(s)

DERIVADA f(x) 𝑓′(𝑥)

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Se observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:

0 0

( ) lim ( )h

s t s t

he f t dt e f t dt

∫ ∫

Algunas propiedades

La transformada de Laplace, como trabaja con integrales hereda algunas propiedades de ella:

1) Suma de transformadas de Laplace (s1)

F ( s )+G ( s)=£ (f +g )=£ ( f )+£ (g )=∫0

∞

f ( t ) e−st dt+∫0

∞

g (t ) e−st dt

2) Trasformada de Laplace de una constante por una función (s2)

cF (s )=£ (cf (t))=c £ ( f (t ))=c∫0

∞

f (t )e− st dt

PROPIEDADES OPERACIONALES

Una vez estudiada la definición de Transformada de Laplace y caracterizadas algunas

condiciones para que una función f tenga Transformada de Laplace L[f] definida en un dominio

del plano complejo Df, pasamos a estudiar algunas propiedades básicas de esta transformada

integral. La primera propiedad que vamos a estudiar es la linealidad.

Linealidad de la transformada de Laplace


La transformada de Laplace es un método para resolver ecuaciones diferenciales. El proceso de resolución consta de traspasos principales:

Paso 1: El problema “duro” dado se transforma en una ecuación “sencilla” que la llamaremos ecuación subsidiaria

Paso 2: La ecuación subsidiaria se resuelve a través de manipulaciones algebraicas.

Paso 3: La solución de la ecuación subsidiaria se transforma en sentido inverso, a fin de obtener la solución del problema dado

El método se utiliza ampliamente en las matemáticas de la Ingeniería, en donde se tienen numerosas aplicaciones. Resulta particularmente útil en problemas en los que la fuerza impulsora (mecánica o eléctrica, veremos más adelante ejemplos orientados a la mecánica) tienen discontinuidades

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Esta propiedad será muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes

constantes, a la vez que permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones.

Teorema1: Sean f, g ∈ E y a, b ∈ C. Entonces para todo z ∈ Df ∩ Dg se verifica que

L[af + bg](z) = aL[f](z) + bL[g](z).

La demostración se sigue inmediatamente de la linealidad de la integral. Consideremos:


L [af+bg ] [z ]=∫0

+∞

e−zt (af ( t )+bg ( t ))dt

L [af+bg ] [z ]= limx→+∞

∫0

x

e− zt (af ( t )+bg( t ))dt

L [af+bg ] [z ]=a limx→+∞

∫0

x

e− zt ( f ( t )+b limx→+∞

∫0

x

e− zt g( t ))dt

L [af+bg ] [z ]=aL[ f ]( z )+bL[ g ]( z )

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A partir de la linealidad de la Transformada de Laplace podemos obtener nuevas

Transformadas de funciones elementales, como muestran los siguientes ejemplos.

Ejemplos:

Función seno. Sea ω ∈ R y consideremos la función

f (t )=sen (wt )= eiwt−e−iwt

2 i

L [ f ] z= 12 i

¿

L [ f ] z= 12 i ( 1

z−iw− 1

z+iw )L [ f ] z= w

z2+w2

Función seno hiperbólico. Sea ω ∈ R y consideremos la función

f (t )=sinh (wt )= ewt−e−wt

2

L [ f ] z=12¿

L [ f ] z=12 ( 1

z−w− 1

z+w )L [ f ] z= w

z2−w2

Se dice que la función f ∈ E es derivable a trozos si es continua, existen las derivadas laterales

de f en cada punto de [0,+∞) y en cada subintervalo [a, b] ⊂ [0,+∞) existen a lo sumo una

cantidad finita de puntos donde f no es derivable.

Si f es derivable a trozos, definimos f0: [0,+∞) → C como f0(x) = f0+(x) para todo x ∈ [0,+∞). Es

claro entonces que f0 es una función continua a trozos, que coincidirá en casi todos los puntos

con la derivada ordinaria. Se tiene entonces el siguiente resultado.

Teorema 2: Bajo las condiciones anteriores se verifica para todo z ∈ Df.


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[ f ' ] z=z [ f ] (z )−f (0)

Sean z ∈ Df y x > 0 y consideremos

0 < x1 < x2 <... < xn−1 < x

Los puntos de discontinuidad de f0 en el intervalo (0, x) y fijemos x0 = 0 y

Xn = X. Entonces, dividiendo el intervalo de integración y utilizando la fórmula de integración

por partes.

Tomando límites cuando x → +∞, y teniendo en cuenta que z ∈ D∗f y que por tanto existen

A,B ∈ R, A > 0, Rez > B, tales que:

(1.5)

Procediendo por inducción a partir de la fórmula (1.5) se prueba una fórmula general para la

derivada k-ésima de la función f en el caso de que fk−1) sea derivable a trozos para k ∈ N. Esta

fórmula viene dada para todo z ∈ D∗f por

(1.6)

Donde las derivadas sucesivas de f en 0 se entienden como derivadas por la derecha. Las

fórmulas 1.5 y 1.6 serán claves para resolver ecuaciones y sistemas diferenciales lineales con

coeficientes constantes, como veremos en el apartado de aplicaciones de este tema.

Transformada de la integral


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Sea f ∈ E y definamos la función

g (t )=∫0

t

f (s)ds

Que obviamente está bien definida y es continua para todo t ∈ [0,+∞). La relación entre las

Transformadas de Laplace de ambas funciones viene dada por el siguiente resultado.

Teorema 3: En las condiciones anteriores, para todo z ∈ D∗f ∩{z ∈ C : Rez > 0} se verifica

L[g ] ( z )=L [ f ] ( z )z

Sea x > 0 y consideremos

0 = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = x de manera que f no es continua en xi para 1≤ i < n. Obviamente

g es derivable en (xi, xi+1)

Para 1 ≤ i < n. Entonces

Teniendo en cuenta la continuidad de g y g(0) = 0. Vamos a comprobar que

Para ello y dado que f ∈ E, existirán reales B y A > 0 de manera que |f(t)| ≤ AeBt para todo t ≥ 0.

Sea

Transformada de la convolución


limx→+∞

g( x )e−zx

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Sean f, g ∈ E y definamos f(t) = g(t) = 0 para todo t < 0. Se define la convolución de f y g como

la función

Puede verse con el cambio de variable y = t − s que f * g = g * f. El principal interés de la

convolución respecto a la Transformada de Laplace se concreta en el siguiente resultado.

Teorema 4: En las condiciones anteriores, para toda z ∈ Df ∩ Dg se verifica la fórmula

L[f * g](z) = L[f](z)L[g](z).

En primer lugar, existen números reales B y Ai > 0, i = 1, 2, de manera que para todo t ≥ 0 se

verifica

|f(t)| ≤ A1eBt y |g(t)| ≤ A2eBt.

Entonces para todo t ≥ 0

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN

Si F ( s )=L {f (t ) } y aes caualquier numeroreal , entonces

L {eat f (t )=F (s−a)}

A veces es útil, para enfatizar, emplear el simbolismo

L {eat f (t )}=L {f (t)}

Ejemplo:

a) L {e5t t3 }=L {t 3 }=3 !

s4=¿

b) L {e−2 t cos ( 4 t ) }=L {cos ( 4 t ) }a=−2

∴ s−a=s−(−2 )=s+2


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L {cos ( 4 t ) }= s

s2+16=¿

Forma inversa del primer teorema de traslación

Si f ( t )=L−1 {F ( s ) }

La forma inversa del teorema es:

L−1 {F ( s−a )=L−1{}=eat f ( t )

Ejemplo:

a) Completar el cuadrado para determinar L−1

Evalúe L−1 { s

s2+6 s+¿}

Solución. Si s2+6 s+¿ tuviera factores reales, emplearíamos fracciones parciales; pero como

este término cuadrático no se factoriza, completamos su cuadrado.

b) Completar el cuadrad y linealidad L−1

Evalúe L−1 { 1

(s−3)3+ 1

s2+2 s−8}


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SOLUCIÓN Completamos el cuadrado en el segundo denominador y aplicamos la

linealidad como sigue:

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

Función escalón unitario En ingeniería se presentan con mucha frecuencia funciones que

pueden estar “encendidas” o “apagadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un

sistema mecánico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar después de cierto

tiempo. Por ello, es conveniente definir una función especial, llamada función escalón

unitario.

La función se define como sigue:

La función escalón de Heaviside , también llamada función escalón unitario, debe su nombre

a Oliver Heaviside. Es una función continua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo,

y 1 para cualquier argumento positivo:

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales, representando una

señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda prendida indefinidamente.

Es la integral de la función delta de Dirac.


http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_delta_de_Dirac

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral

http://es.wikipedia.org/wiki/Se%C3%B1al

http://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_de_se%C3%B1ales

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_de_control

http://es.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside

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Función escalón considerando u(0) = 1/2

El valor de u(0) es causa de discusión. Algunos lo definen como u(0) = 0, otros u(0) = 1. u(0) =

1/2 es la opción usada más coherente, ya que maximiza la simetría de la función, y permite

una representación de la misma a través de la función signo:

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para u(0), de la siguiente forma:

Una forma de representar esta función es a través de la integral

La función escalón unitario o función de Heaviside se define como


http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_signo

http://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Dirac_distribution_CDF.png

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Observación: la función de heaviside se definió sobre el intervalo , pues esto es

suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general para

.

Ejemplo:

Trazar la gráfica de la función .

Solución

La función está dada por

y su gráfica se muestra en la figura

Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función , definida para

, ésta función se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Trazar la gráfica de la función .

Solución

La función está dada por


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La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una

manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Use la función de Heaviside para reescribir la función

Solución

Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside

Observación: la función

Se escribe usando la función de Heaviside como


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SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION

Si F ( s )=L {f (t ) } y a>0 , entonces

L {f ( t−a ) A ( t−a ) }=e−asF (s)}

Ejemplo:

Evalúe L {( t−2 )3 A (t−2 )}

Solución.

Identificamos a=2, entonces según el teorema tenemos:

L {( t−2 )3 A (t−2 ) }=e−2 s L {t3 }=e−2 s 3 !

s4= 6

s4e−2 s

Con frecuencia se desea hallar la transformada de Laplace sólo de la función escalón unitario.

Esto se puede hace, partiendo del segundo teorema de traslación. Si identificamos f(t) = 1

entonces f(t - a) = 1, F(s) =L { 1 } = 1/s y así:

L {A ( t−a ) }= e−as

s

Forma alternativa del segundo teorema de traslación

Con frecuencia sucede que debemos determinar la transformada de Laplace de un producto

de una función g por una función escalón unitario A (t - a), cuando la función g carece de la

forma f(t - a) desplazada que se requiere en el segundo teorema de traslación. Para hallar la

transformada de Laplace de g(t) A (t - a) es posible “arreglar” a g(r) con manipulaciones

algebraicas, para forzarla a adquirir la forma deseada f(t - a); pero como esas maniobras son

tediosas y a veces no son obvias, es más sencillo contar con una versión alternativa al teorema

Emplearemos A (t - a) y la sustitución u = r - a, para obtener:

L {g(t)A ( t−u ) }=∫a

∞

e−st g (t)dt=¿∫0

∞

e−s (u+a ) g(u+a)u¿

Esto es,


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L {g(t)A (t−u ) }=e−asL {g(t+u)}

Ejemplo:

Evalúe L {sen (t)A ( t−2π ) }Solución.

Hacemos g(t) = sen (t), a = 29π y tenemos g(t + 2π) = sen (t + 2π = sen t porque la función

seno tiene periodo 2π. De acuerdo con la ecuación con la forma alternativa del teorema de

traslación

L {sen (t)A (t−2π ) }=e−2πsL {sen ( t ) }= e−2 πs

s2+1

Forma inversa del teorema de traslación

Si f ( t )=L−1{f (s)}, la forma inversa del segundo teorema de traslación, cuando a>0, es:

L−1 {e−asF (t )=f (t−a)A ( t−u ) }Ejemplo:

Evalúe L−1 {e−πs /2

s2+9}


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Existencia de la transformada de Laplace

Ahora veremos que no es necesario que la función sea continua. Este hecho tiene importancia practica, ya que son precisamente las entradas (fuerzas impulsoras) discontinuas para las que las que la transformación de Laplace se vuele particularmente útil. Basta con requerir que la función de la variable independiente t sea seccionalmente continua sobre todo un intervalo finito para t ≥0 , entonces las únicas discontinuidades que puede tener una función seccionalmente continua son los saltos finitos; estas se conocen como discontinuidades ordinarias:

LA DEMOSTRACIÓN DE ESTE TEOREMA LA VEREMOS MAS ADELANTE, YA QUE NECESITAMOS SABER EL PRIMER TEOREMA DE TRASLACION Y ALGUNAS PROPIEDADES MAS.

Primer teorema de traslación

Primero vamos a calcular la transformada de Laplace de 1:

£ ( f (1))=∫0

∞

1e−St dt=limb→∞

∫0

b

1e−St dt=¿ limb→∞ [−1

Se−St ]

0

b

¿=limb→∞

1

S(−e−Sb+1)

Entonces:

£ (1 )= 1S ………….(5)

Para que esto converja condicionamos a “S” con: S>0

Podemos generalizar (5) utilizando (s2):


t

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£ (cf (1))=c∫0

∞

1e−St dt= limb→∞

c∫0

b

1e−St dt=¿ limb→∞

c [−1S

e−St ]0

b

¿=limb→∞

c1S(−e− Sb+1)

Entonces:

£ (cf (1))= cS ………..(6)

Para que esto converja condicionamos a “S” con: S>0

Prestar especial atención aquí porque voy a calcular la transformada de Laplace de:

f (t ) eat

£ ( f (t)eat )=∫0

∞

f ( t ) eat e−St dt=¿∫0

∞

f ( t ) e−( s−a) tdt=¿∫0

∞

f ( t ) e−( s−a) tdt ¿¿

Hacemos un cambio de variable y replanteando:

w=s−a

∫0

∞

f ( t ) e−wt dt(7)

Si miramos con buen ojo a (7), veremos que es la transformada de Laplace:

∫0

∞

f ( t ) e−wt dt ≡∫0

∞

f (t ) e−st dt

Solo que:

∫0

∞

f ( t ) e−wt dt=F(w) y ∫0

∞

f ( t ) e−st dt=F (s)

Pero como w=s−a:

∫0

∞

f ( t ) e−(s−a)tdt=F (s−a)

Y por ultimo concluimos que:

£ ( f (t)eat )=F(s−a)

Es lo que se conoce como teorema de translación, y nos dice que cuando se tiene una función de la variable independiente t y multiplicado esta por eat provocamos un


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corrimiento de la función en (s-a). Para entender esto imaginamos una función de la variable independiente t igual al tiempo (el dominio de esa función es el tiempo), la multiplicamos por eat y esto va a provocar un corrimiento en la línea del tiempo hacia “a” (entonces tenemos un corrimiento provocado poreat ).

Ahora vamos a calcular la transformada de Laplace de eat solo que la función de la variable independiente igual a 1:

£ ( f (1)eat )

Sabemos que:

£ ( f (1))=1S

Aplicando el teorema de traslación (porque a la función la multiplicamos por eat y como sabemos esto provoca el corrimiento de la función hacia a):

£ ( f (1)eat )= 1s−a

El cual sería el resultado de la transformada de Laplace de eat

Teorema de la existencia para las transformadas de Laplace

Sea la función f de la variable independiente t seccionalmente continua sobre todo el intervalo del semieje t>0 y que satisface:

|f (t)|≤ M eat

Para toda t ≥0 y para algunas constantes a y M; entonces la transformada de Laplace de f (t) existe para toda s>a. Como la función f de la variable independiente t seccionalmente continua; e−St f (t) es integrable sobre cualquier intervalo finito del eje t. Suponiendo que s>a se obtiene:


Teoremas y propiedades que necesitaremos para demostrar el teorema de existencia.

£ ( f (1)) 1S

£ ( f (1)eat ) 1s−a

£ (c . f (1)) cS

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|£ (f ( t ))|=|∫0

∞

f (t)e−St dt|≤∫0

∞

|f (t )|e−St dt ≤∫0

∞

Meat e−St dt

Vemos que a la integral ∫0

∞

M eat e−St dt la podemos expresar como:

£ (M f (1)eat )=∫0

∞

M eat e−St dt

Aplicando las transformadas y teoremas que hemos visto anteriormente (transformada de una constante multiplicado por f(1) y el primer teorema de traslación) tenemos que:

£ (M f (1)eat )=∫0

∞

M eat e−St dt=M∫0

∞

eat e−St dt=¿=M∫0

∞

e−(S−a)tdt=¿ MS−a

¿¿

Entonces:

|£ (f ( t ))|=|∫0

∞

f (t)e−St dt|≤∫0

∞

|f (t )|e−St dt ≤∫0

∞

Meat e−St dt= MS−a

Que era lo que queríamos demostrar. En donde se necesito la condición de que S>a

Transformada de Laplace del seno y coseno

Vamos a ver una manera diferente de calcular la transformada de Laplace del cos(at) y el sen(at).No vamos a utilizar la definición de la transformada de Laplace para calcular eso, para ello vamos a recurrir a la formula de euler:

cos (at )= eiat+e−iat

2=1

2(e iat+e−iat)

£ (cos (at))=12£ (e iat+e−iat )=1

2¿

Por el teorema de traslación sabemos cuál es la transformada de eat, entonces:

£ (cos (at))=12 [ 1

s−ia+ 1

s+ia ]Calculando el común denominador (multiplicación del complejo por su conjugado):


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£ (cos (at))=12 [ (s+ia )+(s−ia)

(s−ia )(s+ia) ]=12 [ 2 s

s2+a2 ]=¿

Finalmente:

£ (cos (at))=¿

De manera análoga por formulas de Euler procedemos a calcular el sen(at):

£ (sin (at))= 12i [ 1

s−ia− 1

s+ia ]Calculando:

£ (sin (at))= 12i [ ( s+ia )−(s−ia)

( s−ia )(s+ia) ]= 12 i [ 2ia

s2+a2 ]=¿

Finalmente:

£ (sin (at))=¿

Transformada de Laplace de t n

Todavía no hemos trabajado transformadas de Laplace de polinomios, por ello vamos a empezar calculando t n haciéndolo por definición:

£ (t n )=∫0

∞

t n e−St dt

Para resolver esta integral vamos a utilizar el método de integración por partes, realizamos cálculos auxiliares:

Y recordando el método de integración por partes:


dvu

CALCULO AUXILIAR

∫0

∞

t n e−St dt

CALCULO AUXILIAR

u=tn ;du=n tn−1

∫ d v=∫e−St dt

v=−1s

e−St

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£ (t n )= −t n e−St

S |0

b

b→∞

lim ¿−∫0

∞−1s

e−St nt n−1¿dt = −t ne−St

S |0

b

b→∞

lim ¿(i1)+nS∫0

∞

e−St tn−1¿dt …….(i2)

Vamos a analizar (i1):

Para el extreme inferior = 0

−0n e−S0

S=−0

S=0

Para el extreme superior = ∞

−t n e−St

St →∞

lim ¿=∞ne−S ∞

S=∞0

S¿

Pero como ∞ 0 es indeterminado vamos a trabajar un poco más:

Los posibles casos son:

Resultado Condición∞ Si el grado de P(t) es mayor que el grado de Q(t)0 Si el grado de Q(t) es mayor que el grado de P(t)ab

Si el grado de P(t) es igual que el grado de Q(t), siendo a y b los coeficientes de los términos de mayor grado de P(t) y Q(t)


Indeterminación

de tipo: ∞∞Q(t)

P(t)−t n

SeStt →∞

lim ¿=−∞n

SeS ∞=−∞∞

¿

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En nuestro caso el grado de Q(t) es mayor que el grado de P(t), porque sabemos que la exponencial (Q(t)) crece más rápido que t n (P(t)), entonces:

−t n

S eStt→∞

lim ¿=0¿

Con esto queda claro que (i1) se hace cero cuando lo evaluamos en infinito y en cero, ahora solo nos queda trabajar con (i2):

nS∫0

∞

e−St t n−1dt

Esto no es más que la transformada de Laplace de t n−1; nS £ (t n−1 )

Replanteando tenemos que:

£ (t n )= nS£ ( tn−1 )

nS

£ (t n−1 )=n(n−1)s2 £ (t n−2 )

n(n−1)s2 £ (t n−2 )=n(n−1)(n−2)

s3 £ (t n−3 )=⋯=n!sn

£ (t 0 )

Pero como t 0=1 :

n !

sn£ (1 )

Y sabemos que:

£ (1 )= 1S

A partir de las transformadas demostradas formamos la siguiente tabla:

f(t) F(s)


£ (t n )=n!

sn£ (1 )= n !

sn+1

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£ (1 ) 1S

£ (c ) cS

£ (cos (at)) ¿£ (sin (at)) ¿

£ (t n ) n !

sn+1

Obtención de la transformada de Laplace a partir de una grafica de función

La función que vemos en la grafica está definida por trozos, en el intervalo para t de 0 a 1 tenemos una función (todavía no sabemos cuál) y cuando va de 1 al infinito dicha función vale 0

Para calcular cual es la función en el intervalo para t de 0 a 1 suponemos que:

f ( t )= y ; x=t

Para encontrar la ecuación de la recta hacemos:

x+ y=1

Para: x=0

y=1

Para: y=0

x=1→x+ y=1verifica

Entonces:


t

f(t)

1

1

27


f ( t )=1−t

Ahora trabajamos con la definición de la transformada de Laplace y como en nuestra grafica tenemos una función dividida en trozos tenemos que:

∫0

1

f (t ) e−St+¿∫1

∞

f ( t ) e−St=¿∫0

1

(1−t)e−St+¿∫1

∞

0e−St ¿¿¿

Solo nos resta trabajar con: ∫0

1

(1−t )e−St ; integramos por partes

£ (1−t )=(1−t)e−St

S |0

1

−∫0

1−1s

e−St−dt=¿=(1−t)e−St

S |0

1−1s∫0

1

e−St dt=1S−1

s∫0

1

e−St dt= 1S+ 1

S2 e−St|0

1

=1S+¿ 1

S2 [e−S−1 ]=1S+ e−S

S2 −1S2 ¿¿

Entonces:

F (1−t )=1S+ e−S

S2 −1S2

Transformada de Laplace: Aplicaciones

Un sistema dinámico puede definirse conceptualmente como un ente que recibe unas acciones externas o variables de entrada, y cuya respuesta a estas acciones externas son las denominadas variables de salida. Las acciones externas al sistema se dividen


CALCULO AUXILIAR

u=1−t ;du=−dt

∫ d v=∫e−St dt

v=−1s

e−St

28


en dos grupos, variables de control, que se pueden manipular, y perturbaciones sobre las que no es posible ningún tipo de control. La Figura 3 ilustra de un modo conceptual el funcionamiento de un sistema de control.

El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplio y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente la TRANSFORMADA DE LAPLACE.

¿Por qué Transformada de Laplace?

En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo, esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso. El problema es que las ecuaciones diferenciales que representan el comportamiento dinámico de los procesos naturales son muy complejas y es ahí donde entra en juego la transformada de Laplace que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio

Ejemplo: Suspensión de automóviles

Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere:

Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.

A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso. Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.


Desplazamiento, salida del sistema

Fuerza de entrada

m

bk

z(t)f(t)

∑ F=ma

f ( t )−kz ( t )−bdz ( t )dt

=md2 z ( t )dt 2

29


Después:

Función de transferencia

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). Entonces resumiendo este enunciado tenemos que la función de transferencia:

Representa el comportamiento dinámico del proceso Nos indica cómo cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada

Para el ejemplo de la suspensión del automóvil tenemos que:


Salida del proceso

(respuesta al

estímulo)

Entrada del proceso

(función forzante o

estímulo)

Proceso

f ( t )−kz ( t )−bdz( t )dt

=md2 z( t )dt2

Aplicando la transformada de Laplace a cada término(considerando condiciones iniciales igual a cero )F ( s )−kZ ( s )−bsZ ( s )=ms2 Z (s )F ( s )=Z( s ) [ms2+bs+k ]Z ( s )F ( s )

=1

ms2+bs+k

Y ( s )X ( s )

=Cambio en la salida del procesoCambio en la entrada del proceso

Y ( s )X ( s )

=Respuesta del procesoFunción forzante

30


Convolucion

Si f y g de la variable independiente t son las transformadas inversas de F(s) y G(s), respectivamente, y satisfacen las hipótesis del teorema de existencia, entonces la transformada inversa h(t) del producto H(s) F(s)G(s) es la convolucion de f (t) y g(t ) denotando ( f∗g )( t) y se define por:

h (t )=( f∗g ) ( t )=∫0

t

f (∂ )g ( t−∂ ) . d ∂

Las propiedades de la convolucion de transformadas son:

f∗g=g∗f (ley conmutativa)

f∗(g1+g2 )=f∗g1+ f g2(ley distributiva)

( f∗g )∗v=f∗(g∗v)(ley asociativa)

TRANSFORMADA DE FOURIER

Consideramos una señal periódica, cuya representación espectral son impulsos de frecuencia n/T0. Si T0, implica que f00, por lo tanto, las frecuencias de las componentes espectrales

pasan de ser una variable discontinua, a una variable continua. En otras palabras, la sumatoria de la serie de Fourier Exponencial pasa a ser una integral:

Se define por


kbsms 2

1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

Salida

(Desplazamiento del coche)

Entrada

(Bache)

31


Se observa que

X (ω+2πk )= ∑n=−∞

∞

x (n )e− j(ω+2 πk)n= ∑n=−∞

∞

x (n )e− jωn e− j 2 π kn=X (ω )

Es decir, es periódica con periodo 2.

Se obtiene que

Nuevamente esta transformada existe si x(n) es absolutamente sumable, esto es,

La energía se define por

Ex= ∑n=−∞

∞

|x (n)|2

y usando el teorema de Parseval, se obtiene que:

A Sxx=|X (ω )|2

se le llama espectro de densidad de energía.

Si x(n) es real, entonces |X (−ω)|=|X (ω )|

es de simetría par, ∠X (−ω )=−∠X (ω )

es de simetría non y Sxx tiene simetría par.

Sea por ejemplo, la señal x (n )=0 .5nu(n )

. Note que:

∑n=−∞

∞|x (n )|=∑

n=0

∞|0 .5n|= 1

1−0. 5<∞

, concluimos que X() existe. Ésta es:


X (ω)= ∑n=−∞

∞

x (n)e− jωn

x (n )=∫−π

πX (ω )e− jωndω∑

n=−∞

∞

|x (n )|<∞

Ex=1

2 π∫−π

π|X (ω )|2dω

32


Ejemplo. Determinar la energía, la transformada de Fourier y el espectro de densidad de energía de la secuencia:

x (n )=¿ {A 0≤n≤L−1¿ ¿¿¿, con A>0

La señal es absolutamente sumable, su transformada es:


X (ω)= ∑n=−∞

∞x (n)e− jωn=∑

n=0

∞0 .5ne− jωn=∑

n=0

∞(0 . 5e− jω )n

como |0 .5e− j⋅ω|<1

X (ω)=1

1−0 . 5e− jω

entonces

Sxx(ω )=1

1−0.5e− jω⋅1

1−0 .5e jω=

11−cos ω+0 . 25

Ex= ∑n=−∞

∞|x (n)|2=∑

n=0

L−1

|A|2=A2 L

33


X (ω)=∑n=0

L−1

Ae− j⋅ω⋅n=A1−e− jωL

1−e− jω

a1+a1r+a1r2+. . .a1r

n=a1−a1r

n+1

1−r

X (ω)=Ae− jωL

2 ejω2 e

jωL2 −e

− jωL2

ejω2 −e

− jω2

=Ae− jω

2(L−1)sen

ωL2

senω2

La magnitud y fase están dadas por:

Propiedades de la Transformada de Fourier para señales discretas


|X (ω )|=¿ {|A|⋅L ω=0 ¿¿¿¿

∠X (ω)=∠ A−ω2(L−1)+∠

senωL2

senω2

34


Es importante hacer notar que X() es periódica con periodo 2, y este intervalo es suficiente para especificar a X().

Linealidad: a1x1 (n)+x2 (n) F⃗ a1 X1(ω)+X2(ω )

Simetría:

Si x(n) es real

a)

X R(ω )= ∑n=−∞

∞

x (n )cos ωn

X I (ω )=− ∑n=−∞

∞

x (n) senωn

b)X R

y |X (ω )|

tienen simetría par

X I y

∠X (ω)tienen simetría non

c) X∗(ω)=X (−ω )

Si x(n) es real y par :

X R(ω )=x (0 )+2∑n=1

∞

x (n )cosωn

X I (ω )=0

X R(ω )=0

Si x(n) es real e impar :


35


X R(ω )=−2∑n=1

∞

x (n )senωn

Si x(n) es imaginaria

a)

X R(ω )= ∑n=−∞

∞

x I(n )senωn

(non)

X I (ω )= ∑n=−∞

∞

xI (n)cos ωn

(par)

Si x(n) es imaginaria y non :

X R(ω )=2∑n=1

∞

xI (n )senωn

(non)

X I (ω )=0

Si x(n) es imaginaria y par :X R(ω )=0

X I (ω )=xI (0 )+2∑n=1

∞

xI (n )cos ωn

(par)

Desfasamiento en el tiempo: x (n−k ) F⃗ e− jωk X (ω )

Desfasamiento en la frecuencia:e− jω0 n

x( n) F⃗ X (ω−ω0)

Reverso en el tiempo: x (−n) F⃗ X (−ω)

Teorema de convolución:x1(n )∗x2 (n) F⃗ X 1(ω )X2(ω )

Por ejemplo sea x1(n )=x2( n)={ 1 1

↑1 }

X1 (ω )=X 2(ω )=1+2 cosω

X1 (ω )X2(ω ) =(1+2cos ω)2=3+4 cos ω+2cos2ω

=3+2 (e jω+e− jω)+ (e j 2ω+e− j2ω)


36


Finalmente: x1(n )∗x2 (n)={ 1 2 3

↑2 1 }

Teorema de modulación:

x (n )cos ωn F⃗12X (ω+ω0 )+

12

X (ω−ω0 )

Teorema de Parseval:

∑n=−∞

∞x1(n )x2

¿ (n)= 12 π∫−π

πX1(ω)X2

¿ (ω )dω

Diferenciación:

nx (n ) F⃗ jdX (ω )dω

Señal en tiempo continuo Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

Seña

l per

iódi

ca

Serie

s de

Fur

ier

Continua y periódica Discreta y periódica

Seña

l ape

riodi

ca

Tran

sfor

mad

a de

Fur

ier

xa (F )=∫−∞

∞xa ( t )⋅e

−2 jπ Ft d (t ) xa ( t )=∫−∞

∞xa (F )⋅e2 jπ Ft d (F )

Continua y aperiódica Continua y aperiódica

Señal en tiempo discreto Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia


⇔ck=

1T p∫T p

xa( t )−2 π kF0 t d ( t ) xa=∑

k=−∞

∞

ck e2 jπ kF0 t

⇔

37


Seña

l pe

riódi

caSe

ries

de

Furie

r

Discreta y periódica Discreta y aperiódica

Seña

l ape

riodi

ca

Tran

sfor

mad

a de

Fur

ier

xa (F )= ∑n=−∞

∞

x (n)e− jwnx (n )= 1

2⋅π∫2⋅πx (w )e jwn d (w )

Discreta y periódica Continua y periódica

Transformada de Fourier Discreta

La DFT de N puntos de una secuencia x(n) de longitud LN se define por:

X ( k )=∑n=0

N−1

x (n)e− j 2 πk

nN k=0 , 1 ,…, N−1

y su IDFT es:

x (n )= 1N∑k=0

N−1

X ( k )ej 2 πk

nN n=0 , 1,…,N−1

Si x(n) es una sucesión aperiódica de energía finita con FT:

X (ω)= ∑n=−∞

∞

x (n)e− jωn

, y X() es

muestreada a N frecuencias equiespaciadas

wk=2 πkN

k=0, 1, …, N-1, entonces

Sea xp(n) una sucesión periódica con periodo N, ésta puede ser representada por una serie de Fourier como:

xP=∑n=0

N−1

ck ej2 πk

nN −∞<n<∞


⇔ck=

1N∑n=0

N−1

x (n )e− j

2 πN

k⋅nx (n )=∑

k=0

N−1

ck ej2 πN

k⋅n

⇔

X ( k )≡X (ω )|ω= 2⋅π⋅k

N

= ∑n=−∞

∞x (n)e

− j 2 πknN k=0 , 1 ,…, N−1

38


donde

ck=1N∑n=0

N−1

xP( n)e− j 2 π⋅k n

N

, k=0, 1, …, N-1. Si se define una sucesión x(n) igual a xP(n) en un periodo, la DFT de esta última es X(k)=NcK.

Por consiguiente, la DFT puede interpretarse como el espectro discreto de xP(n). Esto es, si

xP(n )= ∑r=−∞

∞

x (n−rN ), entonces

X K=∑n=0

N−1

xP(n )e− j2 πk

nN=Nck

, k=0, 1, …, N-1

Por ejemplo, sea x(n),

Obtener la DFT de 3 puntos.

Usando la definición, se obtiene

X ( 0)=6 X (1 )=√3e− j

π6 X (2 )=√3e

jπ6

Otro ejemplo, es la exponencial mostrada que es equivalente a la analógica mostrada. En la primera DFT, N=200, a x(n) se le añaden 100 ceros. En la segunda la x(n) tiene 20 muestras 0, L=20 y N=200. Este efecto se revisará al final del capítulo.

A continuación se exhiben algunas de las propiedades de la transformada de Fourier, junto a transformaciones de algunas señales simples.

Tabla 1 Propiedades de la transformada de Fourier


x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿x (n )=xa( nT )=¿ {e−nT , n=0, 1, .. . , 99¿ ¿¿¿

39


*Tabla extraída del libro de análisis de Sistemas Lineales, Ricardo Rojas Reischel.

Tabla 2 Transformada de Fourier


40


*Tabla extraída del libro de análisis de Sistemas Lineales, Ricardo Rojas Reischel.

Ejemplo Determinar la Transformada de Fourier de una señal cosenoidal.

Sea v(t)=cos(ωot)

V(f)=F[v(t)], transformada de Fourier de la señal v(t).

Mediante Euler, se obtiene la representación en Serie exponencial de la señal v(t):

v ( t )=12e

jω0 t+12e− jω0 t

Los coeficientes de esta serie quedan definidos según:

Aplicando la definición de la transformada de Fourier a la señal v(t) se logra:

V ( f )=∫−∞

∞

v ( t )e− j2 π ft dt

V ( f )=∫−∞

∞

cos (ω0 t )e− j2 π ftdt

V ( f )=12∫−∞

∞

e− j2 π ( f−f 0)t dt+1

2∫−∞

∞

e− j2π ( f +f

0)tdt


La transformada de Fourier de una señal sinusoidal (u otra señal periódica), consiste en impulsos localizados en cada frecuencia armónica de la señal. La fuerza (energía) de cada impulso es igual a la amplitud del coeficiente de la serie en la forma exponencial

41


Resolviendo las integrales se llega al resultado final:

V ( f )=12δ( f−f 0 )+

12δ( f + f 0 )

Figura 1. Espectro de una señal cosenoidal.

CONCLUSIÓN

La transformada de Laplace es denominada así en honor a

Pierre-Simon Laplace.

La transformada de Laplace es una Integral Impropia.

La función Escalón Unitario también es conocida como

función Heaviside.

Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le

conoce como transformada inversa de Laplace.

Para calcular la transformada inversa de Laplace se utiliza la

integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.


|V(f)|

f0 f -f0

42


La linealidad es una propiedad muy útil para resolver

ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes,

a la vez permitirá el cálculo de la transformada de algunas

funciones.

BIBLIOGRAFÍAS

Dennis G. Zill Sexta Edición, 609 páginas, México

http://repositorio.uned.ac.cr/reuned/bitstream/

120809/452/1/MC0192%20Ecuaciones%20diferenciales

%20-%202011%20-%20Matem%C3%A1tica.pdf

http://www.unizar.es/pde/fjgaspar/TransLaplace.pdf

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/

TRANSFORMADA DE LAPLACE/ AMPLIACION DE MATEMATICAS/ ING. TECNICA

INDUSTRIAL


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43


ANEXOS

DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición

Sea f(t) continua en (0,∞) y de orden exponencial a y sea f´ seccionalmente continua en [0,∞). Entonces

[f´(t)] = s F(s) - f(0+), (s > α )


44


Si se cumplen las condiciones anteriores, salvo que f(t) tiene discontinuidad por salto en t = a > 0 , entonces :

[ f´(t)] = s F(s) - f(0+) - e-as [f(a+)-f(a-)]

Análogo si existen varias discontinuidades por salto.

Si f, f’ , ... , f(n-1) son continuas en (0,∞) y de orden exponencial α y f(n) es seccionalmente continua en [0,∞), entonces :

[f(n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+) - sn-2 f’(0+) - ··· - f(n-1) (0+) , (s > α )Así para n = 2

[f’’ (t)] = s [f’] - f’ (0+) = s [ s F(s) - f (0+)] - f’(0+) ⇒⇒ [f’’ (t)] = s2 F(s) - s f (0+) - f’(0+).

En general, inducción.

Aquí se intuye la utilidad de la transformada de Laplace para resolver problemas de

valor inicial. Se reemplaza la “derivación respecto a t “, por “multiplicación por s”,

transformándose una ecuación diferencial con coeficientes constantes, en una

algebraica.

Ejemplo: Calcular [senat] ,usando la expresión para [ f “]


45


Transformada de Laplace de las derivadas de una función

La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:

L {f ' ( t )}=sF ( s )−f (0 )

donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.

La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:

L {f ''(t )}=s2F ( s )−sf (0 )−f ' (0)

En forma similar:

L {f (n )( t )}=sn F (s )−sn−1 f (0 )−sn−2 f '(0 )−⋯− f (n−1)(0 )

Demostración:

limt→∞

(e−st f ( t ))=0

L {f '( t ) }=∫0

∞

e−st f '( t )dt=e− st f ( t )|0∞−∫

0

∞(−se−st ) f ( t )dt

¿−f ( 0)−s∫0

∞

e− st f ( t )dt= sF (s )−f ( 0)

Supongamos que:

L {f (n−1)( t )}=sn−1 F( s )−sn−2 f (0)−sn−3 f ' (0 )−⋯−f (n−2 )(0 )

Entonces:

limt→∞

(e−st f (n−1)( t ))=0


46


L {f (n)( t )}=∫0

∞

e−st f (n )( t )dt=e−st f (n−1)( t )|0∞−∫

0

∞(−se−st ) f (n−1 )( t )dt

¿−f (n−1)(0)−s∫0

∞

e−st f (n−1)( t )dt= sL {f (n)(t )}−f (n−1)(0 )=

sn F ( s )−sn−1 f (0 )−sn−2 f ' (0)−⋯−f (n−1)(0 )

APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS.

TRANSFORMANDO LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. En este caso se plantean las ecuaciones diferenciales en la forma normal y se aplican las transformadas a estas ecuaciones. Veamos un ejemplo sencillo. Para el circuito de la figura 1, la ecuación de malla es:

Ecuación que podemos escribir:

Aplicando la definición de la transformada:


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Llamando:

Y recordando la transformada de la derivada de una función y la transformada de la integral de una función:

Obtenemos una ecuación algebraica de la cual podemos despejar I(s):

Para obtener i (t) debemos hallar la “antitransformada” de I(s), proceso que no hemos discutido aún.

Fig. 1.- Aplicación de las transformadas a los circuitos eléctricos

EXPRESANDO LOS CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE s:

Básicamente consiste en aplicar las transformadas a las ecuaciones individuales de los elementos de los circuitos, y plantear las ecuaciones de Kirchhoff a las transformadas de las funciones corriente y voltaje.


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Aplicando esta forma al circuito de la figura 1 obtenemos el circuito transformado de la figura 2

Figura 2.- Aplicación de las transformadas a los circuitos eléctricos.

Para el circuito transformado la ecuación de malla queda:

Es lógico que esperemos la misma respuesta obtenida antes en la transformación de la ecuación diferencial; pero caigamos en cuenta de la enorme ventaja que tiene el circuito transformado sobre la transformación de la ecuación diferencial. Por ejemplo, en el circuito transformado podemos aplicar todos los teoremas de circuitos que hemos estudiado para simplificar o aclarar la solución, cosa difícil de hacer en la ecuación transformada.


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La tabla 1 nos muestra un resumen de los diferentes elementos eléctricos y como se transforman.

TABLA 1 TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS

También veamos en la tabla siguiente los equivalentes de Norton de los transformados de la inductancia y la capacidad. Par facilitar la asimilación de estos circuitos, recuerde que la inductancia y la capacidad son elementos duales, y, por lo tanto, sus circuitos transformados serán duales, también partimos de la ecuación del condensador:

Transformándola:

Para la inductancia la ecuación dual será:


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Transformándola:

Pero aún no hemos completado la solución del circuito: sólo hemos obtenido la transformada de la respuesta; nos falta encontrar la “antitransformada”, o sea la función en el tiempo.

MÉTODOS PARA HALLAR UNA ANTITRANSFORMADAPodemos emplear dos métodos:

1. Aplicar directamente la definición:


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Pero esta integral esconde sutilezas y dificultades que sólo se superaran conociendo mucho más la naturaleza y el comportamiento de s, la “variable compleja”. Por lo tanto, no emplearemos por el momento ese método.

2. Recurriendo a una “tabla de transformadas”. Es un procedimiento similar al usado en Cálculo Integral para hallar ciertas integrales cuando se recurre a una “tabla de integrales”. La relación f(t) y F(s) es biunívoca, o sea, que a una F(t) corresponde un sola F(s) y viceversa, por lo que el procedimiento de la tabla de transformadas es válido completamente. Parece, y lo es, un recurso teóricamente pobre el de recurrir a una tabla para solucionar una integral, por eso trataremos de dar algunas ideas sobre el cálculo directo de las antitransformadas en capítulos posteriores; pero por ahora nos interesa mucho más la solución de los circuitos y la interpretación correcta de esa solución, para lo cual vasta aplicar la transformada de Laplace como un método implemente operacional. Ahora veamos en la tabla 2 las transformadas que tenemos hasta el momento :

TABLA 2 TRANSFORMADAS DE LAS FUNCIONES


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TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL:

Para que lo anterior sea verdad es necesario que se cumpla:


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La expresión anterior es una forma que emplearemos para representar el límite de la expresión cuando t tiende al infinito, es decir:

Se asegura que el límite de esa expresión cuando , es cero, recordando que

y haciendo . En tal caso:

Este es un buen ejemplo para tratar de entender el papel del parámetro a en la transformada de Laplace. En efecto, se comprende, entonces, que se quiere decir cuando se afirma que a es un parámetro de libre escogencia, cuyo papel es conseguir

que f (t) tenga una transformada. Para la función , debemos

escoger mayor que a, para lograr la transformada; pero obsérvese que esto siempre es anterior, posible.

TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN DESPLAZADA EN EL TIEMPO.

La idea de una función desplazada en el tiempo se ilustra el figura 1. Obsérvese que no

basta cambiar , siendo el desplazamiento, para obtener esa función desplazada lo que se debe cumplir es que la función desplazada sea una réplica fiel de la f (t), pero “desplazada”, corrida como el nombre lo insinúa. En la figura 2, se muestra la función rampa, t, y su función desplazada.

Figura 1 Función desplazada en el tiempo.


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Figura 2 Función rampa desplazada en el tiempo.

Para evitar errores se acostumbra usar la función paso para dar la correcta definición

de estas funciones. Así la función rampa se suele expresar En la figura 3, vemos como el producto de la función t(ahora considerada completa) y la función paso, nos da la función rampa que hemos venido considerado hasta ahora.

Figura 3 La función rampa por la función paso.

Usando la función paso desplazada, una función desplazada quedaría (ver figura 4:


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Figura 4 Una función desplazada en el tiempo.

Sin embargo, esta nomenclatura a veces complica extraordinariamente la escritura de algunas expresiones. Tanto la complica que sólo la veremos cuando exista peligro de ambigüedad. Pasemos entonces a calcular la transformada de una función desplazada:

Para efectuar la última integral hacemos un cambio de variable:

Como el diferencial de una constante es cero, tendremos:


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En las integrales definidas se dice, que la variable de integración es “muda”, con lo cual quiere afirmarse que su “nombre” (la letra o letras que la designan) no tiene importancia y no influye en el resultado de la integral, como en los siguientes casos:

Pues bien, en la integral con f (t`), tenemos exactamente la definición de la transformada de f (t), sólo que la variable t se reemplaza por la variable t´. El resultado no depende de si la variable se llama t ó se llama t´.

CASO DE ESTUDIO Estudiaremos como aplicar los métodos de análisis para el circuito de la Fig. 4.Notar la ausencia total de generadores de condiciones iniciales en el circuito en el dominio S, (Fig. 5) una consecuencia de exigir todas las condiciones iniciales igual a cero.

Primero procedemos a computar . La impedancia equivalente de los tres elementos más a la derecha:

Luego, por división de voltaje:


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CONCLUSIONES

Se puede apreciar claramente como el uso de transformadas de Laplace resulta en una poderosa herramienta para el análisis de circuitos de segundo orden. Mediante la cual, el análisis de circuitos se simplifica al trabajar en el dominio S, en el cual se trabaja como si se estuviera en estado estacionario, y con la función de transferencia encontrada se puede obtener mucha información sobre el comportamiento del circuito, en ella tienen especial importancia tanto los polos como los ceros para indicar características como sea respuesta en frecuencia, estabilidad, frecuencia de quiebre, entre otros.


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