Tp unidad 1 unm toledo christian

Análisis Matemático II - Unidad Nº I: Nociones de Geometría Analítica

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MORENO INGENIERIA ELECTRÓNICA DEPTO. CIENCIAS BÁSICAS Y TECNOLOGÍA MORENO

CÁTEDRA: ANÁLISIS MATEMÁTICO II CURSO: 2º A AÑO: 2015 PROF.: Lic. Toledo, Christian A.

TEMA: NOCIONES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Vectores.-

1) Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores ∨∨∨

−+= k5j4i2r1 , ∨∨∨

++= k3j2ir2 . 2) Hallar un vector de origen P(x1, y1, z1) y extremo Q(x2, y2, z2), determinando luego su módulo.

3) Determinar los ángulos α, β y γ que el vector ∨∨∨

++= kzjyixrr

forma con los sentidos positivos de los

ejes de coordenadas, y demostrar que cos2α + cos2β + cos2γ = 1. 4) Determinar un conjunto de ecuaciones de la recta (ecuaciones paramétricas de la recta) que pasa por los puntos P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2).

5) Si ∨∨∨

++= kAjAiAA 321

r y

∨∨∨

++= kBjBiBB 321

r, demostrar que 332211 BABABAB·A ++=

rr.

6) Si 0B·A =rr

y 0||A|| ≠r

y 0||B|| ≠r

, demostrar que BArr

⊥ .

7) Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado por ∨∨∨

−−= k3j6i2Ar

y ∨∨∨

−+= kj3i4Br

.

8) Siendo 0BAvrr

=× y 0||A|| ≠r

y 0||B|| ≠r

, demostrar que B//Arr

.

9) Demostrar que 2222 ||B||||A||||B·A||||BA||rrrrrr

=+× . 10) Hallar los productos vectoriales siguientes:

a) ∨∨

× ji d) ∨∨

× jk g) ∨∨

× ki j) ∨∨∨

−× k3ij2

b) ∨∨

× kj e) ∨∨

× ii h) ∨∨

× k3j2

c) ∨∨

× ik f) ∨∨

× jj i)

−×

∨∨

k2i3


2

11) Dados ∨∨∨

−−= kj3i2Ar

y ∨∨∨

−+= k2j4iBr

, hallar:

a) BArr

× b) ABrr

× c) ( ) ( )BABArrrr

−×+ ¿Qué puede concluir en los casos a y b?

12) Si ∨∨∨

+−= k2ji3Ar

, ∨∨∨

−+= kji2Br

y ∨∨∨

+−= k2j2iCr

, hallar:

a) ( ) CBArrr

×× b) ( )CBArrr

×× ¿Qué puede concluir al respecto? 13) Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A

r y B

r es || BA

rr× ||.

14) Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por ∨∨∨

−−= k3j6i2Ar

y ∨∨∨

−+= kj3i4Br

. Compare el resultado con el problema 7.

15) Si ∨∨∨

++= kAjAiAA 321

r ,

∨∨∨

++= kBjBiBB 321

r ,

∨∨∨

++= kCjCiCC 321

r demostrar que

( )

321

321

321

CCC

BBB

AAA

CB·A =×

16) Demostrar que ( ) ( ) ( )BA·CAC·BCB·A ×=×=× . 17) Demostrar que ( ) ( ) C·BACB·A ×=× . 18) Demostrar que ( ) 0CA·A =× .

19) Sean ∨∨∨

++= kzjyixr 1111

r ,

∨∨∨

++= kzjyixr 2222

r y

∨∨∨

++= kzjyixr 3333

r los vectores de posición de

los puntos P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) y P3(x3, y3, z3). Hallar la ecuación del plano que pasa por P1, P2 y P3. Introducción a la Geometría Analítica del espacio.- 20) Demostrar que las coordenadas del centro geométrico (baricentro o centro del área), es decir, el punto de intersección de las medianas, del triángulo de vértices A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) y C(x3, y3, z3) son:

++++++

3

zzz,

3

yyy,

3

xxx 321321321

Grafique la situación. 21) Hallar los cosenos directores y los ángulos de dirección de una recta cuyas componentes son 2, –3, 6. 22) Hallar el ángulo θ formado por las rectas AB y CD siendo A(–3, 2, 4), B(2, 5, –2), C(1, –2, 2) y D(4, 2, 3). 23) Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A(3, –1, 4), B(1, 2, –4) y C(–3, 2, 1).


3

Grafique. 24) Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias al punto fijo (2, –3, 4) son el doble de la correspondiente al (–1, 2, –2). 25) Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los dos puntos fijos (0, 3, 0) y (0, –3, 0) sea igual a 10. El Plano.- 26) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 1, –1), (–2, –2, 2) y (1, –1, 2). Grafique. 27) Hallar el menor ángulo formado por los planos 3x + 2y – 5z – 4 = 0 y 2x – 3y + 5z – 8 = 0. 28) Hallar las ecuaciones de los planos bisectores del diedro formado por los planos 6x – 6y + 7z + 21 = 0 y 2x + 3y – 6z – 12 = 0. 29) Hallar las ecuaciones de los planos paralelos al de ecuación 2x – 3y – 6z – 14 = 0 y que disten 5 unidades del origen. 30) Demostrar que los planos 7x + 4y – 4z + 30 = 0, 36x – 51y + 12z + 17 = 0, 14x + 8y – 8z – 12 = 0 y 12x – 17y + 4z – 3 = 0 son las cuatro caras de un paralelepípedo rectángulo. La Recta en el espacio.-

31) Demostrar que las rectas 1

3z

3

1y

5

4xy

1

7z

3

5y

2

1x −=

−

−=

+

−

−=

−=

+ son perpendiculares.

32) Representar la recta 3x – 2y + 3z – 4 = 0, x – 2y – z + 4 = 0. 33) Demostrar que las rectas de ecuaciones x – y – z – 7 = 0, 3x – 4y – 11 = 0 y x + 2y – z – 1 = 0, x + y + 1 = 0 se cortan. 34) Hallar el ángulo formado por la recta x + 2y – z + 3 = 0, 2x – y + 3z + 5 = 0, y el plano 3x – 4y + 2z – 5 = 0. 35) Escribir, en forma paramétrica, las ecuaciones de la recta de intersección de los planos 3x + 3y – 4z + 7 = 0 y x + 6y + 2z – 6 = 0. 36) Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, –2, 2) y cuyos ángulos de dirección son 60º, 120º y 45º. Superficies.- 37) Demostrar que el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los puntos fijos (2, 3, 4) y (2, –3, 4) es constante e igual a 8, es un elipsoide. Hallar su centro y las longitudes de los semiejes. 38) Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos fijos (–4, 3, 1) y (4, 3, 1) sea igual a 6. 39) Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto fijo (2, –1, 3) es el doble de la correspondiente al eje x.


4

40) Hallar la ecuación del paraboloide de centro O(0, 0, 0), eje OZ y que pasa por los puntos (3, 0, 1) y (3, 2, 2). 41) Hallar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al eje “y” sea el triple de la correspondiente al eje “z”. Hallar la naturaleza de la superficie resultante. 42) Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada en la rotación de la hipérbola x2 – 2z2 = 1 alrededor del eje “z”. 43) Estudiar y representar las siguientes superficies determinando la naturaleza de las mismas:

a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y + 6z – 2 = 0 h) 2x2 – 3y2 – 4z2 – 12x – 6y – 21 = 0

b) x2 + y2 + z2 – 12x – 6y + 8z +36 = 0 i) 4x2 + 3z2 – 4y + 12z + 12 = 0

c) ( ) ( ) ( )

19

3z

16

2y

36

1x 222

=−

+−

+−

j) 2x2 + 3y2 – 8x + 12y + 3z + 23 = 0

d) x2 +16y2 + z2 – 4x + 32y = 5 k) x2 + 2y2 = 4z2

e) 136

z

9

y

16

x 222

=−+ l) z2 + 2y2 – 4(x + 3)2 = 0

f) 2x2 – 3y2 + 4z2 – 8x – 6y + 12z – 10 = 0 ll) y2 = 4x

g) 5z2 – 9x2 – 15y2 + 54x + 60y + 20z = 166 m) z = 4 – x2

Sistemas de Coordenadas.- 44) Explicar en qué consiste las coordenadas polares, tanto en el plano como en el espacio. Ejemplifique y/o grafique. 45) Representar los siguientes puntos en un diagrama polar:

π

6,2 ;

π−

6,3 ;

π−

2,5 ;

π

2

3,0 ; (5, 75º) ; (– 4, 300º) ; (0, 60º) ;

π−−

6

5,2

46) a) Hallar la ecuación de distancia en coordenadas polares entre los puntos P1(ρ1, θ1) y P2(ρ2, θ2). b) Hallar la distancia entre los pares de puntos siguientes:

i) (5, 45º) y (8, 90º) ii) (– 5, – 120º) y (4, 150º) iii)

π

6,50 y

π−

2,50

47) a) Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el polo y los puntos P1(ρ1, θ1) y P2(ρ2, θ2). b) Hallar el área de los triángulos cuyos vértices son el polo y los pares de puntos del ítem 46-b. 48) Dibujar las siguientes curvas polares:

a) ρ = 10 cos θ (circunferencia) d) ρ2 = 9 cos 2θ (lemniscata)


5

b) ρ = θ (espiral de Arquímedes) e) ρ = 5 + 5cos θ (cardioide) c) ρ = 10 sen 3θ (rosa de tres pétalos)

49) Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto (4, 120º) y sea perpendicular a la que une (4, 120º) con el polo (0, 0). 50) Escribir las siguientes ecuaciones polares en coordenadas rectangulares. Grafique.

a) ρ2 – 2ρ (cos θ – sen θ) – 7 = 0 b) θ−

=ρcos1

4 c)

θ−=ρ

sen21

1

51) Explicar en qué consiste las coordenadas cilíndricas. Ejemplifique y/o grafique. 52) Explicar en qué consiste las coordenadas esféricas. Ejemplifique y/o grafique. 53) Hallar las coordenadas rectangulares del punto cuyas coordenadas esféricas son (4, –45º, 30º). 54) Hallar las coordenadas rectangulares del punto cuyas coordenadas polares espaciales son (3, 120º, 120º, 135º). 55) Hallar las coordenadas rectangulares, polares y esféricas del punto cuyas coordenadas cilíndricas son (6, 120º, 4). 56) Expresar la ecuación x2 + y2 + 2z2 – 2x – 3y – z + 2 = 0 en coordenadas cilíndricas. 57) Expresar la ecuación 2x2 + 3y2 – 6z = 0 en coordenadas esféricas. 58) Expresar la ecuación ρ + 6 sen φ cos θ + 4 sen φ sen θ – 8 cos φ = 0 en coordenadas rectangulares. 59) Expresar la ecuación escrita en coordenadas cilíndricas z = ρ2 cos 2θ, en coordenadas rectangulares. 60) Expresar la ecuación x2 + y2 – z2 = 25 en coordenadas polares. 61) Expresar la ecuación escrita en coordenadas polares cos γ = ρ cos α cos β, en coordenadas rectangulares. 62) Deducir la fórmula de la distancia entre dos puntos P1(ρ1, θ1, φ1) y P2(ρ2, θ2, φ2) en coordenadas esféricas. 63) Describir la superficie cuya ecuación en coordenadas cilíndricas es z = ρ. Grafique. 64) Encontrar la ecuación en coordenadas cilíndricas del elipsoide 4x2 + 4y2 + z2 = 1. 65) Describir la superficie cuya ecuación en coordenadas esféricas es ρ = k (k ∈ ℝ+). Grafique. 66) Describir la superficie cuya ecuación en coordenadas esféricas es θ = c (0 ≤ c ≤ 2π). Grafique. 67) Describir la superficie cuya ecuación en coordenadas esféricas es φ = c (0 ≤ c ≤ π). Grafique. 68) Encontrar la ecuación en coordenadas esféricas, para el hiperboloide de dos hojas con ecuación x2 – y2 – z2 = 1. 69) Encontrar una ecuación rectangular para la superficie cuya ecuación esférica es ρ = sen θ sen φ.


6

Grafique. 70) ¿Cómo pueden hallarse los puntos en que una superficie corta a los ejes rectangulares si se da su ecuación en coordenadas polares? ¿en coordenadas esféricas? ¿en coordenadas cilíndricas? 71) Hallar la ecuación general de un plano en coordenadas polares espaciales. 72) Hallar la ecuación general de una esfera en coordenadas polares espaciales. Soluciones.-

1) ∨∨∨

−+= kjiR 72

76

73

r

2) ( ) ( ) ( )∨∨∨

−+−+−=−= kzzjyyixxrrPQ 12121212

3) 222 zyx

xarccos

++=α ,

222 zyx

yarccos

++=β ,

222 zyx

zarccos

++=γ

4) 12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

−

−=

−

−=

−

−

7)

+−±==

∨∨∨∨

kjiC||C||

C76

72

73r

r

10) a) ∨

k d) – ∨

i g) –∨

j j) – 5∨

k

b) ∨

i e) 0r

h) 6∨

i

c) ∨

j f) 0r

i) 6∨

j

11) a) ∨∨∨

++ k11j3i10 b) ∨∨∨

−−− k11j3i10 c) ∨∨∨

−−− k22j6i20

12) a) ∨∨∨

−+ k5j7i24 b) ∨∨∨

−+ k15j15i15

14)

+−±

∨∨∨

kji 76

72

73

19) ( ) ( ) ( ) 0rrrr·rr 13121 =−×−−rrrrrr

⇒ 0

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

131313

121212

111

=

−−−

−−−

−−−

21) '24º737

2cos =α⇒=α , '23º115

7

3cos =β⇒

−=β , º31

7

6cos =γ⇒=γ

22) θ = 60º 30,7’


7

23) '7,44º45A = , '9,16º55B = , '4,58º78C =

24) Esfera de centro

−− 4,

3

11,2 y radio 70

3

2r =

25) 25x2 + 16y2 + 25z2 = 400 (elipsoide de centro el origen) 26) x – 3y – 2z = 0 27) θ = 48º 51,6’ 28) 64x – 9y – 17z + 15 = 0 y 20x – 75y + 115z + 279 = 0 29) 2x – 3y – 6z ± 35 = 0 33) El punto de intersección es (1, –2, –4). 34) δ = 32º 25’ 35) x = 6t , t2y 3

1 −= , z = 2 + 3t

36) 2

2z

1

2y

1

1x −=

−

+=

−

37) ( ) ( )

17

4z

16

y

7

2x 222

=−

++−

elipsoide de centro (2, 0, 4) y semiejes 7,4,7 .

38) ( ) ( )

17

1z

7

3y

9

x 222

=−

−−

− hiperboloide de revolución de 2 hojas, con centro en (0, 3, 1) y eje real // al

eje x.

39) ( ) ( ) ( )

12z1zy

340

2

940

2

940

2

31

=−

−+

+−

hiperboloide de revolución de 1 hoja, con centro en (2, 1/3, –1) y eje

de revolución el eje de coordenadas x.

40) 4

y

9

xz

22

+= paraboloide elíptico.

41) 8x2 + 9y2 – z2 = 0 cono de vértice el origen y eje el eje z. 42) x2 + y2 – 2z2 = 1 hiperboloide de 1 hoja. 43) a) Esfera de centro (2, –1, 3) y r = 4. b) Esfera de centro (6, 3, –4) y tangente al eje x. c) Elipsoide de centro (1, 2, 3) y semiejes 6, 4, 3. d) Elipsoide de centro (2, –1, 0) y semiejes 5, 5/4, 5. e) Hiperboloide de 1 hoja.


8

f) Hiperboloide de 1 hoja con centro

−−

2

3,1,2 . Eje paralelo al eje y.

g) Hiperboloide de 2 hojas con centro (3, 2, –2). Eje paralelo al eje z. h) Hiperboloide de 2 hojas con centro (3, –1, 0). Eje paralelo al eje x. i) Paraboloide de vértice (0, 0, –2). j) Paraboloide de vértice (2, –2, –1). k, l) Conos. ll, m) Cilindros parabólicos.

46) a) ( )122122

2121 cos2PP θ−θρρ−ρ+ρ=

b) i) 5,7 ii) 6,4 iii) 86,6

47) a) Área = ( )1221 sen2

1θ−θρρ

48) a) Circunferencia ( ∀θ ∈ [–π, π] )

b) Espiral de Arquímedes ( ∀θ ∈ [0, 3π] )


9

c) Rosa de tres pétalos ( ∀θ ∈ [–π, π] )

d) Lemniscata ( ∀θ ∈ [–π, π] )

e) Cardioide ( ∀θ ∈ [–π, π] )

49) ρ cos(θ – 120º) = 4 50) a) x2 + y2 – 2x + 2y – 7 = 0 circunferencia de centro (1, –1) y radio 3.


10

b) y2 – 8x – 16 = 0 parábola de vértice (–2, 0) y simétrica con respecto al eje x. c) x2 – 3y2 – 4y – 1 = 0 hipérbola.

53) ( )32,2,2 −

54)

−−−

2

23,

2

3,

2

3

55) Rectangulares: ( )4,33,3 −− Polares: ( )'19º56,'7º46,'35º114,132 Esféricas: ( )'19º56,º120,132 56) ρ2 – ρ(2 cos θ + 3 sen θ) + 2z2 – z + 2 = 0 57) 2ρ sen2φ cos2θ + 3ρ sen2φ sen2θ – 6 cos φ = 0 58) x2 + y2 + z2 + 6x + 4y – 8z = 0 59) z = x2 – y2 60) ρ2(1 – 2 cos2γ) = 25 61) z = xy

62) ( )[ ]2121122122

21 coscossensencos2d φφ+φφθ−θρρ−ρ+ρ=

64) z2 = 1 – 4ρ2 68) ρ2(sen2θ · cos 2θ – cos2φ) = 1

69) 4

1z

2

1yx 2

22 =+

− esfera.

71) ρ(A cos α + B cos β + C cos γ) + D = 0 72) ρ2 + ρ(G cos α + H cos β + I cos γ) + K = 0 Bibliografía.-

• Kindle, J. (1994). Geometría Analítica. Mc Graw Hill, México.

• Smith P. y Gale A. (1980). Elementos de Geometría Analítica. Librería y Editorial Nigar S.R.L.,

Bs. As.

• Spiegel, M. (1991). Análisis Vectorial. Mc Graw Hill, México.

• Stewart, J. (2002). Cálculo Multivariable (4ª ed). Thomson Editores, Colombia.

• Aportes de los prácticos prof. Lic. Niekraszewicz Leonardo A.


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