Matemática y Tecnología Alumno: Juan Andrés Michel

Universidad de San Andrés Trabajo práctico N° 1

Análisis Matemático

Ejercitación integradora: Límites y derivadas

1. Calcular los siguientes límites

a)

3

21

1lim

1x

x

x

c)

1

1lim 1

1x x

b)

4 3 2

3 20

2 6 4limx

x x x

x x

d)

3

3

5 6 1lim

4 8x

x x

x

2. Analizar la continuidad de las siguientes funciones. Graficar. En el caso que exista

discontinuidad evitable, redefinir para que sea continua.

a)

b)

c) Hallar el valor de “a” y de “b” para que sea continua la siguiente función:

3. Calcular, si existen, los siguientes límites.

a)

21

lim2

x

x

x

x

c)

2

4

3 4lim

4x

x x

x

b) 3

0lim 1 2 x

xx

d)

0

2lim

1 1x

x

x

4. La población de cierta ciudad con un alto índice de emigración será dentro de “t” años

( ) 2

3000040000

( 4)tP

t

. ¿Cuál será la población pronosticada a largo plazo?

5. Calcular, aplicando la definición de derivada en un punto:

a) (2)´f siendo

2

( )

12

2xf x x

b) ( 1)´f

siendo 2

( ) 2 3xf x x

6. Obtener, aplicando reglas de derivación, las funciones derivadas de:

a) ( ) 3

12xf x x

x c)

3

( )

2

2x x

x xf

b) ( ) 2

ln2

2

x

x x

x xf

e x d)

( )

5 ln

8 2x

xf

x

7. Dadas las funciones f y g , hallar f g en cada caso y derivarla:

a) ( )xf senx

( ) 3 1xg x

b) ( )

x

xf e ( ) 4 3xg x

c) 10

( )xf x 2

( ) 2 1xg x

d) 3

( )

x

xf xe 2

( )xg sen x

8. Hallar las funciones derivadas de:

a) cos(2 )y x d)

2

3

2 5x

xy

b) senxy e e) 2 ln3xy

c) ln x

ysenx

f) ln( )xy e senx

9. Hallar la ecuación explícita de las rectas tangentes y de las rectas normales a las curvas

definidas por las siguientes funciones en los puntos cuyas abscisas se indican.

a) 6 2

( ) 3 1xf x x en 1 1x ; 2 0x

b) 2

( )

x

xf e en 1 0x

10. Para cada una de las siguientes funciones, verificar su correspondiente función derivada.

a) ( ) 2

1 ln

(ln )x

xf

x

b) ( )

1

1x

xf

x

( ) 3

2 ln´

(ln )x

xf

x x

( )2

1´

(1 ) 1xf

x x