UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

RESISTENCIA DE MATERIALESINTEGRANTES: QUIROZ VIERA CESAR MANUEL RODRIGUEZ SILVA LUIS ENRIQUE TERRONES CAVOS ROGEL LEODAN VASQUEZ PEREZ DANTE

TORSIONDEDUCCIÓNDE FORMULAS

ÁRBOL DE SECCIÓN CIRCULAR

PROYECCIONES DEL ÁRBOL DE SECCIÓN CIRCULAR

Consideremos una fibra a una distancia del eje del árbol la cual girará un ángulo θ, produciéndose una deformación tangencial , igual a DE. La longitud de esta deformación es el arco de círculo de radio y ángulo y está dado por:

En estas condiciones, la distorsión está dada por:

A continuación se aplica la ley de Hooke, para esfuerzos cortantes:

El esfuerzo constante máximo , tiene lugar en el exterior de las fibras.

En una sección M-N en la figura inicial perpendicular a su eje.

Un elemento diferencial de área que estará sometido a una fuerza resistente .

ha de ser perpendicular a de forma que produzca la máxima resistencia a la torsión.

Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, apliquemos la condición de .

El par resistente , es la suma de los momentos con respecto al centro de todas las fuerzas diferenciales :

Sustituyendo por su valor en la ecuación (3) resulta:

Como el momento polar de inercia de la sección recta es = J, tenemos que:

La ecuación anterior se puede escribir de esta forma:

La fórmula de torsión se obtiene sustituyendo el valor de en la ecuación (3) por su equivalente dado por la ecuación (5).

Al sustituir por el radio “r” del árbol tenemos:

Estas ecuaciones son válidas para secciones macizas y huecas en las que tenemos:

Eje macizo:

Eje hueco:

En muchas aplicaciones prácticas, los árboles son utilizados para transmitir potencia. Del estudio de dinámica sabemos que la potencia transmitida por un par constante que gira a una velocidad angular constante esta dada por:

Donde esta medida en radianes por unidad de tiempo. Si el árbol gira a una frecuencia de revoluciones por unidad de tiempo, entonces:

reemplazando en la formula potencia:

El momento torsionante transmitido está dado por:

PROBLEMA ILUSTRATIVO

Un árbol macizo de un tren de laminación tiene que transmitir una potencia de 20 kW a 2 . Determinar su diámetro de manera que el esfuerzo cortante máximo no exceda a 40 y que el ángulo de torsión, en una longitud de 3 m, sea como máximo de 6°. Emplee un valor de G de 83 .

Solución:

Este problema es un ejemplo de diseño de un elemento de maquina en el que se ha de tener en cuenta tanto la resistencia como la rigidez, se comienza por determinar, según la formula (9), el momento torsionante al que está sometido el árbol.

Para satisfacer la condición de resistencia se aplica la formula (7) que da el esfuerzo cortante máximo,

De donde:

Ahora, de la expresión del ángulo de torsión de la formula (5), se deduce el diámetro necesario que satisface la condición de rigidez,

O bien,

De donde

Por tanto:

El diámetro mayor de 58.7 mm satisface, pues, a las dos condiciones de resistencia y de rigidez.

ACOPLAMIENTOS POR MEDIO DE BRIDAS

Una conexión o acoplamiento rígido muy empleado entre dos árboles es el que se representa en la figura, y

que consiste en unas bridas o discos que forman cuerpo con cada árbol, y

que se unen entre sí mediante pernos o tornillos. El par torsor se

transmite por la resistencia al esfuerzo cortante de los pernos.

Suponiendo que el esfuerzo se distribuye uniformemente en cada perno viene dada por la fórmula del esfuerzo cortante simple P = A. τ, es decir, (π.d2/4) τ, y actúa en el centro del perno, tangente a la circunferencia de radio R donde se situaba estos. El par torsor que resiste cada perno es PR, y para un numero cualquiera n de pernos, la capacidad del acoplamiento viene dada por.T=P.R.n=(π.d^2)/4* τ.R.n

Cuando un acoplamiento tiene dos series concéntricas de pernos. Llamando P2 yP2, y la resistencia del acoplamiento es:

PROBLEMA

Un acoplamiento por medio de bridas tiene 6 pernos de 10 mm situados en una circunferencia de 300 mm de diámetro y cuatro pernos del mismo diámetro, en otro circulo concéntrico de 200 mm de diámetro. ¿Qué par torsor puede transmitir sin que el esfuerzo cortante exceda de 60 MPa en los pernos?

Resolucion:

Datos:

- Circunferencia 1:D1 = 300 mm

d1 = 10 mm

n1 = 6

- Circunferencia 2:D2 = 200 mm

d2 = 10 mm

n2 = 4

τ=60MPa

T = P1R1n1 + P2R2n2 ….(1)

- Como d1 = d2

→ → P1 = 1.5P2 ....(2)

Ademas

→ P1 = A1 → P1=60xx() 𝞽 → P1 = 4.712 KN

Reemplazando en (2):

P2 = 3.141 KN Reemplazando los valores en (1)

T = P1R1n1 + P2R2n2

T = 4.712xx0.150x6+ 3.141xx0.100x4

T = 5.5 KNxm

Torsión de tubos de pared delgada

Las resultantes de estos esfuerzos cortantes longitudinales son:

 

Y

En donde q se suele llamar flujo de cortante.

Considerando el equilibrio longitudinal del elemento se tiene:

La fuerza tangencial que actúa en una longitud , contribuye al par resistente con un

momento diferencial con respecto a un determinado centro. El momento torsionante es

independiente del centro de momentos que se considere, igualando T a la suma de los

momentos diferenciales

Donde es el doble del área del triángulo rayado cuya base es y cuya altura es el radio r. Puesto que q es constante, el valor de la integral es q veces el área encerrada por la línea media de la pared del tubo:

Es esfuerzo cortante medio, en cualquier punto de espesor t, viene dado por:

EJEMPLO:

Un tubo de 3 mm de espesor tiene una forma elíptica, como se indica en la figura. Hallar el momento de torsión que producirá en él un esfuerzo cortante de 60mk/m2

A= πab = π = 8.84 x 10-3

T=t(2A.t)= 60x106x2x8.84x10-3x0.003

T= 3.18 kN.m

RESORTES HELICOIDA

LES

En la figura se representa un resorte helicoidal de espiras cerradas, estirado bajo la acción de una fuerza axial P. El resorte está formado por un alambre o varilla redonda de diámetro d enrollada en forma de hélice de radio medio R.

Para determinar los esfuerzos producidos por P se cortar el resorte por una sección de exploración m-n, y determinar las fuerzas resistentes que se necesitan para el equilibrio de una de las porciones separada por esta sección. Después se analiza la distribución de esfuerzos que originan estas fuerzas resistentes.

𝑇=𝑇 1+𝑇 2= 4𝑃𝜋 𝑑2

+16 (𝑃𝑅)𝜋 𝑑3

T=16PRπd31+d4R

𝑇=16𝑃𝑅𝜋 𝑑3 (1+ 𝑑

4 𝑅 )

𝑇𝑚𝑎𝑥=16 𝑃𝑅𝜋 𝑑3 ( 4𝑚−14𝑚−4

+ 0,615𝑚 )  

Según investigaciones de Wahl

DISTENCIÓN DE UN RESORTE

En la figura se supone por un momento que todo el resorte, excepto la pequeña longitud dL, es rígido, el extremo A girara hacia D un pequeño ángulo dϴ. Como este ángulo es muy pequeño, el arco AD=AB* dϴ puede considerarse como una recta perpendicular a AB, de donde, por la semejanza de los triángulos ADE y BAC se tiene: O sea De donde: Reemplazando e integrando.

Sustituyendo L por 2πRn, que es la longitud de n espiras de radio R, y J por π/32 resulta:

Ejemplo:Dos resortes de acero dispuestos en serie soportan una carga P, como se indica en la figura. El resorte tiene 20 espiras de alambre de 20 mm, y un diámetro medio de 150 mm. El resorte inferior tiene 15 espiras de alambre de 10 mm y un radio medio de 130 mm. Calcular el máximo esfuerzo cortante en cada resorte si la deformación total, alargamiento en este caso, es de 80 mm y G = 83 GN/m2.

Solución. La deformación total es la suma de deformaciones de ambos resortes, ya que están sometidos a tracción P.

Conocida P se pueden determinar los esfuerzos. Para el resorte superior, m 0 2R/d = 2(0.075)/0.020 = 7.5 y 4m= 30, por lo que aplicando la fórmula de Wahl resulta.

Análogamente, para el resorte inferior en el que m = 2(0.065)/0.010 = 13 y 4m =52, se tiene.