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Índice de contenido

Contenido

TOMA DE DECISIONES SIN MUESTREO..........................................................................1

1. Introducción al análisis de decisiones........................................................................1

2. Análisis de decisiones sin muestreo...........................................................................1

3. Formulación del ejemplo prototipo...........................................................................3

3.1. Criterio optimista.........................................................................................................3

3.2. Criterio conservador.....................................................................................................3

3.3. Criterio del pago máximo (MiniMax)............................................................................4

3.4. Criterio de la máxima posibilidad.................................................................................5

3.5. Regla de decisión de Bayes...........................................................................................6

3.6. Análisis de sensibilidad.................................................................................................7

4. Ejercicios aplicativos.................................................................................................8

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TOMA DE DECISIONES SIN MUESTREO

1. Introducción al análisis de decisiones

A diferencia de los modelos matemáticos determinísticos, los modelos y técnicas del análisis de decisiones incorporan la incertidumbre existente en determinados entornos y situaciones tales como:

Una empresa lanzara un nuevo producto y se enfrenta a las siguientes preguntas: ¿Cuál será la probable reacción de los consumidores? ¿Cuánto debe producir? ¿Cuánta publicidad se necesita para lanzar el producto con éxito?

Una cooperativa invierte en bonos, ¿Cómo será el entorno económico? ¿Cuáles son las tasas de interés?

Una empresa evalúa si invertir o no en cierto país. ¿contara con condiciones favorables para la inversión a lo largo de duración del proyecto? ¿Cuánto deberá invertir?

De esa manera, el análisis de decisiones se desarrolló con el fin de estudiar este tipo de decisiones dadas en ambientes de gran incertidumbre. Esta herramienta nos otorga una metodología apropiada para tomar decisiones racionales cuando los resultados son inciertos.

Si bien la teoría de juegos también permite enfrentar decisiones en ambientes de incertidumbre, ambas técnicas están elaboradas para distintas aplicaciones.

Por otro lado, tenemos que se evalúa la cuestión del momento adecuado para tomar una decisión, si esta debe ser antes o luego de realizar muestreos o experimentaciones, lo cual se asocia a un determinado costo y a una reducción del nivel de incertidumbre sobre los resultados. Por tanto, tenemos ya dos tipos de toma de decisiones: con experimentación o muestreo y sin experimentación o muestreo.

2. Análisis de decisiones sin muestreo

De modo general tenemos que el tomador de decisiones debe elegir una alternativa de entre un conjunto de alternativas posibles. Decimos que este conjunto de alternativas posibles contiene todas las alternativas factibles. Esta decisión se realiza frente a la incertidumbre dado que el resultado está afectado por factores aleatorios, los cuales están fuera del control de del tomador de

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decisiones. De esa manera, esos factores aleatorios logran determinar qué situación se encontrara en el momento en que se ejecute la acción. A cada una de esas situaciones se les denomina estado de la naturaleza.

Para el caso de cada combinación de una opción y un estado de naturaleza, el tomador de decisiones se haya frente al pago resultante, donde este último viene a ser una medida cuantitativa del valor de las consecuencias del resultado para el que toma la decisión. En caso que las consecuencias del resultado no sean completamente ciertas aunque el estado de la naturaleza este dado, el pago se convierte en un valor esperado, estadísticamente hablando, de la medida de las consecuencias. De ese modo, se emplea una tabla de pagos para indicar el pago de cada combinación de opción y estado de la naturaleza. A continuación resumiremos los elementos antes trabajados:

El tomador de decisiones necesita elegir una de las opciones posibles

La naturaleza elegirá uno de los estados de la naturaleza posibles

Cada combinación de una opción y un estado de la naturaleza da como resultado un pago, el cual es un elemento de la tabla de pagos

Esta tabla de pagos debe usarse para encontrar una opción óptima para el tomador de decisiones, usando el criterio adecuado.

Cabe resaltar que el tomador de decisiones casi en todos los casos posee cierta información que deberá tomar en cuenta para evaluar la posibilidad relativa de los estados de la naturaleza. Es bastante común que esta información pueda traducirse en una distribución de probabilidad; en ese caso se asumen que el estado de la naturaleza es una variable aleatoria, en cuyo caso esta distribución se conoce como distribución a priori. Estas distribuciones a priori son con mucha frecuencia subjetivas, dado que dependen de la experiencia o intuición de un individuo. Así, las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza se llaman probabilidades a priori.

Una herramienta que se emplea para resumir esquemáticamente el proceso de toma de decisiones es un árbol de decisión, en el, se empieza colocando las decisiones posibles, para luego colocar los estados de la naturaleza, y finalmente los resultados; de modo que tenemos un árbol con 3 niveles: decisiones, estados de la naturaleza y resultados.

Otra herramienta muy usada consiste en los diagramas de influencia, los cuales muestran gráficamente las relaciones entre las decisiones, los eventos fortuitos (estados de la naturaleza), y las consecuencias para las decisiones asumidas.

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3. Formulación del ejemplo prototipo

Para poder entender de mejor manera el análisis de decisiones, y de modo particular, la metodología sin muestreo, formularemos un ejemplo ilustrativo:

Imaginemos el caso de un apostador de partidos de futbol, el cual ha adquirido una apuesta de 40 soles que consiste en que el equipo A gane. Antes que se dé el partido, el se enfrenta a 2 opciones, quedarse con su apuesta o venderla por el mismo monto a la que la adquirió. Los estados de la naturaleza son 2: que el su equipo gane, o que pierda. Sucede que el equipo A se ha enfrentado en veces anteriores al equipo al que se enfrenta ahora, y ha ganado las 2/5 veces, de modo que las probabilidades a priori son de 0.4 y 0.6. Si el equipo gana, el apostador obtendrá 100 soles. Resumiremos a continuación el caso:

Fuente: elaboración propia

3.1. Criterio optimista

Consiste en elegir aquella opción que otorga el mejor resultado posible; para problemas de maximización se optan por la decisión que nos arroje el resultado más grande, mientras que en problemas minimización se opta por la que nos arroje el resultado mínimo. Este criterio no involucra probabilidades, y posee múltiples debilidades. Según este criterio se optaría por la opción de entrar a la apuesta, con una ganancia de 100.

3.2. Criterio conservador

Este criterio se centra en evaluar cada alternativa desde el peor resultado que pueda arrojar; así, la alternativa de decisión que se escoge es aquella que proporciona el mejor de todos los resultados peores posibles. Por ello, para alternativas que involucren minimización, este enfoque identifica la alternativa que minimizaría el resultado máximo de cada opción. Según este criterio optamos por vender la apuesta.

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3.3. Criterio del pago máximo (Mínima)

Para cada opción posible, se debe encontrar el pago mínimo sobre todos los estados posibles de la naturaleza. Posteriormente se debe hallar el máximo de entre los pagos mínimos. Finalmente, debemos elegir la opción cuyo pago mínimo corresponde al máximo.

La lógica detrás de este criterio es que se logra proporcionar la mejor garantía del pago que se obtendrá. Sin que importe cual sea el estado de la naturaleza verdadero en el caso de nuestro ejemplo, el pago por vender la apuesta no puede ser menor que 40, lo cual proporciona la mejor garantía disponible. De esta forma, el criterio toma el punto de vista pesimista de que, sin importar que acción se elija, es posible que ocurra el peor estado de la naturaleza para esta opción, por lo que debemos elegir la mejor opción que proporciones el mejor pago para el peor estado de la naturaleza.

Cuando se está compitiendo frente a un oponente racional y malévolo, este razonamiento es bastante valido. Sin embargo, este criterio no suele ser usado en juegos contra la naturaleza dado que es demasiado conservador en este contexto. En efecto, supone que la naturaleza es un oponente consiente que quiera infligir todo el daño posible. Tenemos entonces, que la naturaleza no es un oponente malévolo de modo que el tomador de decisiones no debe enfocarse solo en pero pago de cada acción. Ello es cierto cuando el peor de los pagos se genera por un estado de la naturaleza relativamente poco probable.

Resumimos el criterio esquemáticamente:

Fuente: Elaboración propia

Según esto, como el pago mínimo por vender la apuesta (40 soles) es mayor que la de apostar (-40), se elegiría la opción de vender la apuesta.

A continuación los criterios que seguirán usan de las probabilidades para determinar estrategias óptimas. Para lo cual se necesitara de algunas condiciones adicionales, como:

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Fuente: Métodos Cuantitativos para los negocios, Senes y Cam

Donde P(si) representa la probabilidad de que acontezca el estado de la naturaleza ‘j’

3.4. Criterio de la máxima posibilidad

Según este criterio, debemos identificar el estado más probable de la naturaleza, el cual es aquel que posee probabilidad a priori más alta. Para este estado de la naturaleza, se debe hallar la opción con el máximo pago. Finalmente elegimos la alternativa de decisión.

Un aspecto a resaltar de este criterio es que el estado más importante de la naturaleza es el que tiene más posibilidades de ocurrir, de modo que la acción elegida es la mejor para este estado. Así, basar nuestra decisión en el supuesto de que este estado de la naturaleza ocurrirá tiende a dar mejor posibilidad de un resultado favorable que suponer cualquier otro. Más aun, el criterio no se basa en estimaciones subjetivas cuestionables de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza que no sean el hecho de identificar el estado más probable.

Una gran desventaja de este criterio es que se deja de lado mucha información relevante. No considera otro estado de la naturaleza distinto al más probable. En un problema con muchos estados posibles, la posibilidad de que ocurra el más probable puede ser bastante pequeña, de modo que centrarse en el puede ser bastante riesgoso. Así, el criterio no permite jugar con un pago alto que tiene una probabilidad baja, sin importar cuán atractivo sea tomar el riesgo.

Resumiremos el caso esquemáticamente usando nuestro ejemplo:

Fuente: elaboración propia

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Este método se asemeja al método del Valor Esperado con Información Perfecta.

Como se observa, el estado de la naturaleza más probable es que el equipo A pierda, osea que se pierda la apuesta, dado este estado de la naturaleza, elegimos el máximo pago, el cual viene a ser 40 soles, que implica vender la apuesta. En este caso, siguiendo ambos criterios, la decisión optima se mantiene siendo la misma, es decir, la de vender la apuesta por 40 soles.

3.5. Regla de decisión de Bayes

La regla de decisión de Bayes tiene un criterio que es usado con mayor frecuencia el cual nos dice que usando las mejores estimaciones disponibles de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza, siendo estos en este caso las probabilidades a priori , entonces para elegir una determina acción se procede a calcular el valor esperado del pago de cada acción posible ,obteniendo el valor esperado de las dos acciones se elegirá la acción que tenga el mayor o el máximo pago esperado.

Plateamos un ejemplo

Un ingeniero es dueño de unos terrenos en los que puede haber petróleo. Un geólogo consultor ha informado que piensa que existe una posibilidad entre cuatro de encontrar petróleo. Otra posibilidad es sembrar caña en estos terrenos. El costo de la perforación es de 100.000 dólares. Si encuentra petróleo el ingreso esperado será de 800.000 dólares. Si no se encuentra petróleo se incurre en una pérdida de 100.000 dólares. Por otro lado la siembra de caña producirá un ingreso de 90.000 dólares.

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVA Petróleo Seco

Perforar 700 -100

Sembrar caña 90 90

Probabilidad a priori 0.25 0.75

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Para nuestro ejemplo

E [pago (perforar)] = 0.25*(700) + 0.75*(-100) = 100E [pago (siembra)] = 0.25*(90) + 0.75*(90) = 90Como 100 > 90, entonces la decisión es perforar

Ventaja y desventaja

La mayor ventaja de este criterio es que incorpora toda la información disponible (pagos, estimaciones de las probabilidades de los estados de la naturaleza).

La mayor crítica es que las probabilidades a priori no dejan de ser subjetivas.

3.6. Análisis de sensibilidad

Nos centraremos en el análisis de sensibilidad sobre las probabilidades a priori ya que queremos saber cómo cambia nuestra decisión al cambiar las probabilidades a priori. Para dichos fines aremos lo siguiente:

Supongamos que sabemos con buena certeza que 0.15 <P (petróleo) < 0.35. Esto implica que 0.65 <P (seco) < 0.85.

P (petróleo): probabilidad de encontrar petróleo

P (seco): probabilidad de que este seco

Comenzamos el Análisis de Sensibilidad aplicando el criterio de Bayes para los dos casos extremos.

Sea p=probabilidad a priori de encontrar petróleo,

El pago esperado de perforar para cualquier valor de p es

E [Pago (perforar)] = 700p – 100(1 – p) = 800p – 100.

La línea inclinada en la figura muestra la gráfica de este pago esperado contra p.

Como el ingreso por la siembra de caña sería 90 para cualquier p, la línea horizontal de la figura da E [Pago (siembra)] contra p. Los cuatro puntos de la figura muestran el pago esperado para las dos alternativas de decisión cuando p = 0.15 o p = 0.35.

Cuando p = 0.15, la decisión se inclina hacia la siembra de caña por un amplio margen (un pago esperado de 90 contra sólo 20 por la perforación).

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Sin embargo, cuando p = 0.35, la decisión es perforar con un margen amplio (pago esperado 5 180 contra sólo 90 por la siembra de caña).

Entonces, la decisión es muy sensible a la probabilidad a priori de encontrar petróleo. Este análisis de sensibilidad revela que es importante hacer algo más, si es posible, para desarrollar una estimación más precisa del valor verdadero de p.

El punto en la figura donde se cruzan las dos rectas, es el punto de cruce donde la decisión cambia de una alternativa (sembrar) a la otra (perforar) cuando la probabilidad a priori aumenta. Para encontrar este punto se establece

E [Pago (perforar] =E [Pago (venta)]

800p - 100 =90

p = 190/800

p= 0.2375

Conclusión:

Se debe sembrar caña en el terreno si p < 0.2375. Se debe perforar en busca de petróleo si p >0.2375.

4. Ejercicios aplicativos

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1. Warren Buffy es un inversionista muy rico que ha amasado su fortuna con su legendaria perspicacia y quiere hacer una inversión. La primera opción es una inversión conservadora con buen desempeño si la economía mejora y sólo sufrirá una pérdida pequeña si la economía empeora. La segunda es una inversión especulativa que se desempeña muy bien si la economía mejora, pero muy mal si empeora. La tercera es una inversión contracíclica que perdería algún dinero en una economía que mejora, pero se desempeñaría muy bien si empeora.Warren cree que existen tres escenarios posibles en las vidas de estas inversiones potenciales: 1) economía que mejora, 2) economía estable y 3) economía que empeora. Es pesimista sobre el rumbo de la economía y ha asignado probabilidades a priori respectivas de 0.1, 0.5 y 0.4, a estos tres escenarios. También estima que sus ganancias en estos escenarios son las que se presentan en la tabla siguiente:

¿Qué inversión debe hacer Warren según los siguientes criterios?

a) Criterio de pago maximin

En este criterio debemos encontrar el pago mínimo de cada alternativa (inversión conservadora, inversión especulativa, inversión contracíclica), obteniendo como resultado los valores (-10, -30, -10) y luego de estos 3 valores obtener el máximo valor que es -10. Por ende, según este criterio Warren debe elegir la inversión conservadora o inversión contracíclica

b) Criterio de la posibilidad máxima

En este criterio debemos encontrar el estado de la economía (economía en mejoría, economía estable, economía que empeora) con mayor probabilidad, en este caso es economía estable (0.5) y luego la opción con un mayor pago (5, 10, 0) obteniendo 10. Por ende, según este criterio Warren debe elegir una inversión especulativa.

c) Regla de decisión de Bayes

Aquí hallamos el valor esperado de los pagos de cada opción posible y elegimos aquella con el máximo pago esperado:

E[Pago(conservadora)] = 0.1*30 + 0.5*5 + 0.4*(-10) = $ 1.5 millones

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E[Pago(especulativa)] = 0.1*40 + 0.5*10 + 0.4*(-30) = $ -3 millones

E[Pago(contracíclica)] = 0.1*(-10) + 0.5*0 + 0.4*15 = $ 5 millones

Finalmente el máximo valor es $ 5 millones, por ende Warren debe elegir una inversión contracíclica, la cual es la mejor opción ya que la regla de Bayes incorpora toda la información a diferencia de los otros criterios, lo cual nos da una mejor estimación.

2. Reconsidere el problema anterior. Warren Buffy decide que la regla de decisión de Bayes es el criterio más confiable. Cree que 0.1 es correcto como probabilidad a priori de una economía que mejora, pero no sabe cómo dividir el resto de las probabilidades entre la economía estable y la que empeora. Por lo tanto, quiere realizar un análisis de sensibilidad respecto a estas dos probabilidades.

a) Aplique de nuevo la regla de decisión de Bayes cuando la probabilidad a priori de una economía estable es 0.3 y la de una economía que empeora es 0.6

E[Pago(conservadora)] = 0.1*30 + 0.3*5 + 0.6*(-10) = $ -1.5 millones

E[Pago(especulativa)] = 0.1*40 + 0.3*10 + 0.6*(-30) = $ -11 millones

E[Pago(contracíclica)] = 0.1*(-10) + 0.3*0 + 0.6*15 = $ 8 millones

Finalmente el máximo valor es $ 8 millones, por ende Warren debe elegir una inversión contracíclica.

b) Aplique de nuevo la regla de decisión de Bayes cuando la probabilidad a priori de una economía estable es 0.7 y la de una economía que empeora es 0.2

E[Pago(conservadora)] = 0.1*30 + 0.7*5 + 0.2*(-10) = $ 4.5 millones

E[Pago(especulativa)] = 0.1*40 + 0.7*10 + 0.2*(-30) = $ 5 millones

E[Pago(contracíclica)] = 0.1*(-10) + 0.7*0 + 0.2*15 = $ 2 millones

Finalmente el máximo valor es $ 5 millones, por ende Warren debe elegir una inversión especulativa.

c) Grafique la ganancia esperada de las tres alternativas de inversión contra la probabilidad a priori de una economía estable (con probabilidad a priori de

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economía que mejora fija en 0.1). Use la gráfica para identificar el punto de cruce donde la decisión cambia de una inversión a otra.

E[Pago(conservadora)] = 0.1*30 + p*5 + (0.9 - p)*(-10) = 15p – 6

E[Pago(especulativa)] = 0.1*40 + p*10 + (0.9 - p)*(-30) = 40p – 23

E[Pago(contracíclica)] = 0.1*(-10) + p*0 + (0.9 - p)*15 = 12.5 – 15p

d) Use el álgebra para obtener los puntos de cruce que se mencionan en el inciso anterior

Hallamos los puntos de cruce: E[Pago(contracíclica)] = E[Pago(conservadora)]

12.5 – 15p = 15p - 6 p = 0.617

E[Pago(conservadora)] = E[Pago(especulativa)] 15p - 6 = 40p - 23

p = 0.68

Conclusión: Elegir inversión contracíclica si p<0.617 Elegir inversión conservadora si 0.617<p<0.68 Elegir inversión especulativa p>0.68