matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

Matriz tranpuestaMatriz inversa

Raúl UresGAL 1

IMERL

14 de marzo de 2013

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

matriz traspuesta

matriz traspuesta

matriz traspuestasi A ∈Mm×n(K) matriz m × nA = (aij) i = 1, . . . ,m

j = 1, . . . , n

llamamos matriz traspuesta de Aa la matriz n ×m

At = (atji) j = i, . . . , n

i = 1, . . . ,m

con atji = aij

At ∈Mn×m(K)

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

matriz traspuesta

ejemplo

ejemplo

A =

(1 2 3 45 6 7 8

)

At =

1 52 63 74 8

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

propiedades de la matriz traspuesta

propiedades de la matriz traspuesta

propiedades de la matriz traspuesta1 (At)t = A2 (A + B)t = At + Bt

3 (αA)t = αAt

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

propiedades de la matriz traspuesta

demostración

demostración 1

A = (aij) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n

At = (atji) j = i, . . . , n

i = 1, . . . ,m

= (aij) j = i, . . . , ni = 1, . . . ,m

(At)t = (atji) i = 1, . . . ,m

j = 1, . . . , n

= (aij) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n

= A

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

propiedades de la matriz traspuesta

demostración

demostración 2

A = (aij) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n

y B = (bij) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n

A + B = (aij + bij) i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n

(A + B)t = (atji + bt

ji) j = i, . . . , ni = 1, . . . ,m

por otro lado At = (aji) j = i, . . . , ni = 1, . . . ,m

y Bt = (bji) j = i, . . . , ni = 1, . . . ,m

⇒ At + Bt = (atji + bt

ji) j = i, . . . , ni = 1, . . . ,m

= (A + B)t

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

propiedades de la matriz traspuesta

demostración

demostración 3

ejercicio

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

trasposición del producto

trasposición del producto

trasposición del productoA ∈Mm×k (K)

B ∈Mk×n(K)

⇒(AB)t = BtAt

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

trasposición del producto

demostración

demostraciónA = (air ) i = 1, . . . ,m

r = 1, . . . , k

At = (air ) r = 1, . . . , ki = 1, . . . ,m

B = (arj) r = 1, . . . , kj = 1, . . . , n

Bt = (brj) j = 1, . . . , nr = 1, . . . , k

AB =(∑k

r=1 air brj

)i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n

= (cij) = i = 1, . . . ,mj = 1, . . . , n

(AB)t = (cij) j = 1, . . . , ni = 1, . . . ,m

=(∑k

r=1 air brj

)j = 1, . . . , ni = 1, . . . ,m

BtAt =(∑k

r=1 brjair

)j = 1, . . . , ni = 1, . . . ,m

= (AB)t

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

inversa de una matriz

inversa de una matriz

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

introducción

recordar

clase pasadadefinimos 3 operaciones

suma entre matrices: A + Bproducto de un escalar por una matriz: αAproducto entre matrices: AB = BA

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

introducción

elemento neutro

elemento neutroel elemento neutro de cada una de estas operaciones es:

suma A + O = Aproducto por un escalar 1A = Aproducto entre matrices:

I =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

...0 0 . . . 1

matriz identidad

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

elementos inversos

opuesto

opuestoel opuesto de A = (aij)

es−A = (−aij)

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

elementos inversos

inversa respecto del producto

inversa respecto del productoA ∈Mn(K) matriz cuadrada n × nllamamos inversa de Aa una matriz A−1 que cumpla:

A−1A = AA−1 = I

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

elementos inversos

ejemplo

existe la inversa? (1 00 0

)tiene inversa?

veamos:

1 00 0

a b a 0c d c 0

6= I ∀a, c

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

elementos inversos

observación

existe la inversa?aunque A 6= Opuede no existir A−1

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

elementos inversos

propiedad

unicidad de la inversasi A tiene una inversa A−1

la inversa es única

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elementos inversos

demostración

demostraciónsupongamos que A−1

1 es una inversa

y A−12 es otra inversa de A

⇒

A−1 = A−11 I = A−1

1 (AA−12 ) = (A−1A)A−1

2 = IA−12 = A−1

2

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elementos inversos

inversa a derecha y a izquierda

inversa a derecha y a izquierdaB es inversa a derecha de Asi

AB = I

C es inversa a izquierda de Asi

CA = I

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

elementos inversos

propiedad

inversas lateralessi B es inversa a derecha de A⇒ B es inversa de AAB = BA = Ilo mismo con la inversa a izquierda

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

cálculo de la inversa

cálculo de la inversa

A =

(1 32 5

)cómo sabemos si existe A−1?si existe, cómo la calculamos?

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

cálculo de la inversa

cálculo de la inversaequivale a encontrar los coeficientes tales que

x11 x12x21 x22

1 3 1 02 5 0 1

quedan dos sistemas de ecuaciones

(S1)

{x11 + 3x21 = 1

2x11 + 5x21 = 0(S1)

{x12 + 3x22 = 0

2x12 + 5x22 = 1

misma matriz de coeficientes, distintos términosindependientes

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

cálculo de la inversa

cálculo de la inversalos escalerizamos en simultáneo(

1 3 1 02 5 0 1

)← F2 − 2F1

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

cálculo de la inversa

cálculo de la inversalos escalerizamos en simultáneo(

1 3 1 00 −1 −2 1

)← F2 − 2F1

podemos despejar directamente, o usar el siguiente truco

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

cálculo de la inversa

cálculo de la inversalos escalerizamos en simultáneo(

1 3 1 00 1 2 −1

)← x − 1

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

cálculo de la inversa

cálculo de la inversalos escalerizamos en simultáneo(

1 3 1 00 1 2 −1

)← F1 − 3F2

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

cálculo de la inversa

cálculo de la inversalos escalerizamos en simultáneo(

1 0 −5 30 1 2 −1

)← F1 − 3F2

⇒ A−1 =

(−5 3

2 −1

)

verificaraveriguar por qué el truco da la matriz inversa

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

otro ejemplo

otro ejemplo

A =

1 0 11 1 11 −1 1

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

otro ejemploplanteamos 1 0 1 1 0 0

1 1 1 0 1 01 −1 1 0 0 1

← F2 − F1

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

otro ejemploplanteamos 1 0 1 1 0 0

0 1 0 −1 1 01 −1 1 0 0 1

← F2 − F1← F3 − F1

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

otro ejemploplanteamos 1 0 1 1 0 0

0 1 0 −1 1 00 −1 0 −1 0 1

← F2 − F1← F3 − F1

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

otro ejemploplanteamos 1 0 1 1 0 0

0 1 0 −1 1 00 −1 0 −1 0 1

← F2 − F1← F3 − F1

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

cáclulo de la inversa

otro ejemploplanteamos 1 0 1 1 0 0

0 1 0 −1 1 00 0 0 −2 0 1

← F3 + F2

⇒ sistema incompatible⇒ no existe A−1

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

más propiedades

inversa de la inversa

inversa de la inversaA ∈Mn(K)

si existe la inversa A−1 de A,entonces existe la inversa A(−1)−1 de A−1

y(A−1)−1 = A

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

más propiedades

demostración

demostraciónejercicio

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

inversa del producto

propiedad

inversa del productoA,B ∈Mn(K) matrices cuadradassi existen A−1 y B−1

entonces existe la inversa del producto AB: (AB)−1

y(AB)−1 = B−1A−1

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

inversa del producto

demostración

demostraciónalcanza con ver que B−1A−1 es inversa a derecha de ABes decir con probar (AB)B−1A−1 = Ipero

(AB)B−1A−1 = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

inversa del producto

inversa de la traspuesta

inversa de la traspuestasi A ∈Mn(K) es invertibleentonces At también es invertibley

(At)−1 = (A−1)t

matriz traspuesta inversa de una matriz propiedades

inversa del producto

demostración

demostraciónalcanza ver que (A−1)t es inversa a derecha de At

At(A−1)t = (A−1A)t = I t = I

propiedad que vimos hoy: AtBt = (BA)t