TIPO 130 A UNIVERSIDAD SIMÓN BO LÍVAR DIVISIÓN DE … · hallar el valor de a para que: 3 ()() 1...
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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%) TIPO 130 A Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______ Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS 1. a) Sean f y g dos funciones tales que: 8 ) ( 3 ) ( 1 1 - = = ® ® x g y x f Lim Lim x x Indicando las propiedades utilizadas, hallar el valor de a para que: 3 ) ( ) ( ) ( 1 = + ® x g x f x af Lim x b) Definir formalmente 2 2 3 2 1 - = + - - ® x x Lim x c) Dibujar una función f con dominio [ ] 2 , 2 - , 1 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( = = = - = - f f f f , discontinua en - 1 y en 1, continua a la derecha en - 1 y por la izquierda en 1. d) Hallar 2 3 1 2 2 - + +¥ ® x x Lim x e) Sabiendo que 1 ) ( 3 3 2 + - < < - x x x f x , para 2 ¹ x . Hallar ) ( 2 x f Lim x ® (1 Pto c/u) 2. Hallar los siguientes limites: a) ) ( 1 ) cos( 0 x sen x Lim x - ® (3 Ptos) b) 0 , 0 con , 2 2 2 2 0 > > - + - + ® b a b b x a a x Lim x (4 Ptos) c) 3 ) 6 2 ( 3 - - ® x x sen Lim x (3 Ptos) d) ) 3 2 )( 2 1 ( ) 2 )( 1 ( x x x x Lim x - + + - -¥ ® (4 Ptos) 3. Dada la función f definida por: ï ï î ï ï í ì > - - + £ < + £ + = 3 2 3 1 3 1 1 2 ) ( 2 x si x x x si b ax x si x x f Hallar los valores de a y b para que f sea continua en todo R I (6 Ptos) 4. a) Enunciar el Teorema del valor intermedio. (2 Ptos) b) Probar que existe un ) 3 , 2 ( Î c , tal que: 5 ) ( = c f , donde ï î ï í ì ³ + - < - + = 1 2 2 1 3 ) cos( ) ( 2 3 t si t t t si t t t t f (3 Ptos)
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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS
Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas
MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)
TIPO 130 A
Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______
Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado
JUSTIFIQUE TODAS SUS RESPUESTAS 1. a) Sean f y g dos funciones tales que:
8)(3)(11
-==®®
xgyxf LimLimxx
Indicando las propiedades utilizadas, hallar el valor de a para que:
3)()(
)(
1
=+® xgxf
xafLimx
b) Definir formalmente
22
32
1
-=+
-
-® x
xLimx
c) Dibujar una función f con dominio [ ]2,2- ,
1)2()1()1()2( ===-=- ffff , discontinua en -1 y en 1, continua a la
derecha en -1 y por la izquierda en 1.
d) Hallar 23
12
2
-
+
+¥® x
xLimx
e) Sabiendo que 1)(33 2 +-<<- xxxfx , para
2¹x .
Hallar )(2
xfLimx®
(1 Pto c/u)
2. Hallar los siguientes limites:
a) )(
1)cos(
0 xsen
xLimx
-
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(3 Ptos) b) 0,0con,
22
22
0>>
-+
-+
®ba
bbx
aaxLimx
(4 Ptos)
c) 3
)62(
3 -
-
® x
xsenLimx
(3 Ptos) d) )32)(21(
)2)(1(
xx
xxLimx -+
+-
-¥®
(4 Ptos)
3. Dada la función f definida por:
ïï
î
ïï
í
ì
>-
-+£<+
£+
=
32
3131
12
)(
2
xsix
xxsibax
xsix
xf
Hallar los valores de a y b para que f sea continua en todo RI
(6 Ptos)
4. a) Enunciar el Teorema del valor intermedio.
(2 Ptos)
b) Probar que existe un )3,2(Îc , tal que: 5)( =cf , d o n d e
ïî
ïí
ì
³+-
<-
+
=
122
13
)cos(
)(23 tsitt
tsit
tt
tf (3 Ptos)
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS
Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas
MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)
TIPO 130 A
Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______
Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado
1. a) Sean f y g dos funciones
tales que:
8)(3)(11
-==®®
xgyxf LimLimxx
Indicando las propiedades utilizadas, hallar el valor de a para que:
3)()(
)(
1
=+® xgxf
xafLimx
Solución:
5383
3
3
)()(
)(
3)()(
)(
51
5
1
-=Û=-
Û
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+÷÷
ø
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xgxf
xfa
xgxf
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Lim
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x
x
b) Definir formalmente
22
32
1
-=+
-
-® x
xLimx
Solución:
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de
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-Þ<+<
>$>"
22
310
:,0,0
2
x
xx
talque
c) Dibujar una función f con dominio [ ]2,2- ,
1)2()1()1()2( ===-=- ffff , discontinua en -1 y en 1, continua a la
derecha en -1 y por la izquierda en 1. Solución:
(1 Pto c/u)
-1 1 0 ¥+ ¥- -2 2
1
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS
Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas
MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)
TIPO 130 A
Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______
Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado
d) Hallar 23
12
2
-
+
+¥® x
xLimx
Solución:
2
2
2
2
2
2
2
2
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11
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1
23
1
x
x
x
x
x
x
x
x
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Luego:
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1
23
11
23
1
2
2
2
2
=
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+
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x
x
x
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e) Sabiendo que 1)(33 2 +-<<- xxxfx , para 2¹x .
Hallar )(2
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Solución:
Como ( ) ( )1333 2
22
+-==-®®
xxx LimLimxx
, entonces por el teorema del
emparedado
3)(2
=®
xfLimx
2. Hallar los siguientes limites:
a) )(
1)cos(
0 xsen
xLimx
-
®
(3 Ptos)
Solución:
( )( )( )
( )1)cos()(
1)(cos
1)cos()(
1)cos(1)cos(
)(
1)cos(
2
+
-=
+
+-=
-
xxsen
x
xxsen
xx
xsen
x
( )
( )1)cos(
)(
1)cos()(
)(2
+-=
+
-=
x
xsen
xxsen
xsen
b) 0,0con,22
22
0>>
-+
-+
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aaxLimx
(4 Ptos)
Solución:
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öçè
æ ++
÷ø
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æ ++
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æ ++
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æ ++
÷ø
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æ -+
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-+
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aax
bbx
aax
bbx
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22
22
22
22
22
22
22
22
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS
Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas
MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)
TIPO 130 A
Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______
Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado
Luego:
( )
( )0
2
0
1)cos(
)(
1)cos(
)(
)(
1)cos(
0
0
0
=-=+
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®
®
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x
xsenLim
x
xsenLim
xsen
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x
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22
22
22
222
222
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-+
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22
022
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c) 3
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3 -
-
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(3 Ptos)
Solución:
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3
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-
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Luego:
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2
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d) )32)(21(
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(4 Ptos)
Solución:
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21
12
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)2)(1(
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xx
x
x
x
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x
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1
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21
12
11
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-¥®
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xxLim
xx
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x
x
3. Dada la función f definida por:
ïï
î
ïï
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=
32
3131
12
)(
2
xsix
xxsibax
xsix
xf
Hallar los valores de a y b para que f sea continua en todo RI
Solución: 3.1.- f es continua en ( )1,¥- , ya que es un polinomio.
f es continua en ( )3,1 , ya que es un polinomio.
(6 Ptos)
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS
Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas
MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)
TIPO 130 A
Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______
Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado
f es continua en ( )+¥,3 , ya que es el cociente de funciones continuas y la
función del denominador no se anula en ( )+¥,3 .
3.2.- Continuidad en 1=x , ÷ø
öçè
æ=
®)1()(
1fxfLim
x
3.2.1.- 321)1( 2 =+=f
3.2.2.- )(1
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( ) 32)( 2
11
=+=-®-®
xLimxfLimxx
y ( ) babaxLimxfLimxx
+=+=+®+® 11
)( ,
Luego el limite existe si se satisface: ba +=3 Por lo tanto f es continua en 1=x , si se satisface: )1(3 fba ==+
3.3.- Continuidad en 3=x , ÷ø
öçè
æ=
®)3()(
3fxfLim
x
3.3.1.- baf += 3)3(
3.3.2.- )(3
xfLimx®
( ) babaxLimxfLimxx
+=+=-®-®
3)(33
y 12
31)(
33
-=÷÷ø
öççè
æ
-
-+=
+®+® x
xLimxfLim
xx
Luego el limite existe si se satisface: 13)3( -=+= baf
Por lo tanto f es continua en 1=x y 3=x , si se satisface:
îíì
-=
=Û
îíì
-=
=+Û
îíì
-=
=+Û
îíì
-=+
=+
2
5
2
3
42
3
13
3
a
b
a
ba
a
ba
ba
ba
f es continua en todo RI , si se toman los valores 2-=a y 5=b
4. a) Enunciar el Teorema del valor intermedio.
Solución: Sea f una función continua en el intervalo [ ]ba, y sea un w un valor entre
)(y)( bfaf , entonces existe un ( )bac ,Î , talque: wcf =)(
(2 Ptos)
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DIVISIÓN DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS
Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas
MATEMATICAS I (MA-1111) 2do Parcial (30%)
TIPO 130 A
Nombre: ________________________________ Carnet: _______________ Sección: ______
Nota: Se tomará en consideración la redacción, el procedimiento y el resultado
b) Probar que existe un )3,2(Îc , tal que: 5)( =cf , d o n d e
ïî
ïí
ì
³+-
<-
+
=
122
13
)cos(
)(23 tsitt
tsit
tt
tf
Solución: 11)3(y2)2( == ff , como )3(5)2( ff << y la función es continua en
[ ]3,2 , ya que es un polinomio en ese intervalo, se puede aplicar el teorema del
valor intermedios y en consecuencia, existe un ( )3,2Îc , talque: 5)( =cf
(3 Ptos)
