El problema de Thales Referencia histórica

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Teorema de Thales

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El problema de ThalesSe concede a Thales el mérito de la invención de la demostración matemática rigurosa.

Los griegos sabían que una proposición matemática era verdadera si había sido demostrada. Thales de Mileto era mercader y probablemente había viajado por Egipto, donde había entrado en contacto con escribas y calculistas de la época, de los que aprendió matemática, con sus realizaciones prácticas y sus vinculaciones con la astronomía, la religión y la magia.

Los egipcios tenían razones prácticas para desarrollar fórmulas geométricas exactas: debían medir sus tierras regularmente, porque la crecida anual del río Nilo borraba casi todas las marcas limítrofes.

Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. En efecto, en un viaje a Egipto, Thales midió, en forma indirecta, la altura de la pirámide de Kheops. Con sólo medir la longitud de un bastón, la sombra de éste y la sombra de la pirámide, planteó la proporción que le permitió calcular la altura inaccesible:

altura pirámide = altura bastón sombra pirámide sombra bastón

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Thales de MiletoThales (640-560 a.C.), nacido en Mileto, Asia Menor, era un hombre

esencialmente práctico: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo,geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los siete sabiosde Grecia.Dirigió grandes obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques.Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol visibleen Asia Menor, como asimismo se cree que descubrió la constelación dela Osa Menor y que consideraba a la luna 700 veces menor que el sol.Explicó los eclipses de sol y de luna. Creía que el año tenía 365 días.Enunció el famoso teorema que lleva su nombre.A Thales se le atribuyen, además, los siguientes teoremas de la geometríaelemental:1. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.2. Un círculo es bisectado por algún diámetro.3. Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales.4. Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado

igual.5. Todo ángulo inscripto en una circunferencia recto.

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Los siete sabios de

GreciaEsta denominación fue el título dado por la tradición griega a siete sabios griegos(620-550 a.C.), renombrados por su sabiduría práctica que consistía en una serie de aforismos y dictámenes memorables. Merecieron dicho nombre debido a que sus enseñanzas o frases son una guía de la vida de los hombres. Los siete sabios griegos son los siguientes:

o Cleóbulo de Lindos: se le atribuye la máxima: La moderación es lo mejor. También se conoce su aforismo: Aceptar la injusticia no es una virtud, sino todo lo contrario.

o Solón de Atenas: acuñó la máxima Nada en exceso para guiar el comportamiento práctico de los hombres. Solón adquirió fama como legislador y reformador social en Atenas.

o Quilón de Esparta: autor de la máxima No desees lo imposible. Como político, intentó mejorar los sistema s para controlar mejor a los más altos funcionarios del estado.

o Bías de Priene: La mayoría de los hombres son malos, indica la máxima atribuida a este político griego que alcanzó gran fama como legislador en el s VI a.C.

o Tales de Mileto: Filósofo y matemático, se destacó por su sabiduría práctica, su notable capacidad política y la gran cantidad de conocimientos que poseía. Su máxima Conócete a ti mismo figuraba en el frontón del templo de Apolo en Delfos.

o Pitaco de Mitilene: fue un estadista griego (650 a.C.) que intentó restringir el poder de la nobleza y ejerció el poder apoyándose en las clases populares. Es autor del aforismo: Debes saber escoger la oportunidad.

o Periandro de Corinto: se ocupó de reglamentar y humanizar el trabajo de los esclavos y obligó a la nobleza a restringir la suntuosidad de sus gastos. Es autor de la máxima: Sé previsor con todas las cosas.

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Marco teórico

Teorema de Thales: Si tres o más rectas paralelas son cortadas pordos rectas transversales, los segmentos determinados en una de lastransversales, son proporcionales a los segmentos correspondientessobre la otra recta.

C´B´

A´r´

C B A r

B´C´A´B´

BCAB

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Consecuencia del Teorema de Thales: Toda paralela a un lado de untriángulo determina sobre las rectas que contienen a los otros dos, segmentos proporcionales a ellos. Recíprocamente se demuestra que:

Si una recta corta a dos lados de un triángulo y determina segmentosproporcionales a ellos, entonces es paralela al tercer lado.

AB

CDE

r

RCDDE

BCAB

// AE

Marco teórico

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Figuras semejantes: dos figuras son semejantes cuando tienen exactamente la misma forma y difieren en el tamaño. Si nos referimos a figuras geométricas, esto ocurre cuando los ángulos homólogos son iguales y los segmentos homólogos son proporcionales.Segmentos y ángulos homólogos: dos segmentos o dos ángulos son homólogos cuando se corresponden en la semejanza.Razón de semejanza: Llamamos razón de semejanza al cociente que se obtiene al dividir dos segmentos homólogos.

A C

B D

E

F

res la razón de

semejanzadonde

DE son homólogosyAB

rDEAB

Marco teórico

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Actividad Nº 1

cm8,3EFcm5DE

mc5,20AB

DatosA B C

F

E

Dc

b

a¿Qué valor debes dar a para que resulte a // b // c ?

BC

Proporcionalidad Thales Construcciones Semejanza Homotecia

Teorema de Thales

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A

B

CDF

Datos:

8cmDF16cmCD2cmBC4cmAB

Si te informan que // , ¿son correctos los datos?Si no es así, corrige uno de ellos. ¿Podrías haber corregido otro?Busca todas las posibilidades.

BD AF

Proporcionalidad Thales Construcciones Semejanza Homotecia

Teorema de ThalesActividad Nº 2

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La figura muestra dos lotes contiguos. Sus paredes laterales son paralelas. Teniendo en cuenta la información dada en la figura, calcular la longitud del frente.6x (4x + 5) m

22 m

18 m

Frente

Proporcionalidad Thales Construcciones Semejanza Homotecia

Teorema de ThalesActividad Nº 3

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Aplicando Teorema de Thales y reemplazando:

cm8,3EFcm5DE

mc5,20AB

DatosA B C

F

E

Dc

b

a¿Qué valor debes dar a para que resulte a // b // c ?

BC

EFDE

BCAB 15,58cmBC5

3,820,5BC3,85

BC20,5

Proporcionalidad Thales Construcciones Semejanza Homotecia

Resolución Actividad Nº 1Teorema de

Thales

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Aplicando Teorema de Thales y reemplazando:

168

24 Los datos son incorrectos ( // ) pues

no se cumple la consecuencia del Teorema de Thales.

CDDF

BCAB BD AF

Posibles correcciones:

cm16DF8cmCD2cmBC4cmAB

cm32DFcm16CD

cm2BCcm4AB

Proporcionalidad Thales Construcciones Semejanza Homotecia

Teorema de ThalesResolución Actividad Nº 2

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Aplicando el Teorema de Thales:

5,5xx20110

20x11088x108x110

108x11088x18.6x5)22(4x

54x6x

1822

6x (4x + 5) m

22 m

18 m

Frente

60mfrente27m33mfrente

5)(4.5,56.5,5frente:doreemplazan

5)(4x6xfrente

Proporcionalidad Thales Construcciones Semejanza Homotecia

Teorema de ThalesResolución Actividad Nº 3

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