Texto Propedéutico de Matemática Para Cuarto y Sexto

7/25/2019 Texto Propedutico de Matemtica Para Cuarto y Sexto

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PROPEDUTICO PARA ESTUDIANTES DEL CENTRO EDUCATIVO TCNICOLABORAL KINAL.

Introduccin

El siguiente texto ha sido elaborado con el fin de preparar acadmicamente a losalumnos que estudian en el Centro Educativo Tcnico Laboral Kinal, tanto de primeringreso como a los que se gradan de perito y bachillerato. En el primer mdulo, loscontenidos son los bsicos o elementales que todo alumno debe dominar para poderrecibir una formacin mucho ms completa y poder ayudarlos con temas que les servirnpara cualquier carrera del nivel medio, pero principalmente para las carreras tcnicas quese imparten en este establecimiento. Fueron discutidos por el equipo acadmico deciencias exactas, y elaborado por quien se suscribe, tomando en cuenta que necesitamosque todos los alumnos que se inscriban en nuestro establecimiento dominen en buenaforma todos estos contenidos. El grado de dificultad consideramos est bastante elevado,pero en este curso tenemos la ventaja que se estudian 40 horas de matemtica y 40 defsica, (10 horas semanales en cada curso) que son equivalentes a 14 semanas del cursoordinario sin interrumpir ningn perodo, razn por la que se considera bastanteambicioso, pero esperamos que sean alcanzados nuestros objetivos.

Se puso en prctica el primero ao en el mes de noviembre, pero quienes impartierondicho curso no lograron terminar su contenido, por lo que se seguir utilizando en elcurso de laboratorio.

Con el fin de que lleven un curso paralelo tanto cuarto como quinto y sexto, para elefecto se agreg el mdulo II, el cual conlleva ms contenido necesario que incluyepreparacin para evaluaciones a las diferentes universidades como solicitud a becasinternacionales. En el mismo mdulo II se agregaron temas del Contenido del textoCollegeBoard Puerto Rico y Amrica Latina, por considerarlos necesarios, ya que esel inicio del razonamiento que necesitamos. Este texto incluye los temas que evalanpara poder optar a las becas Juan Bautista Gutirrez. Incluimos tambin temas quetrajeron los alumnos sobre exmenes de admisin la Universidad de San Carlos deGuatemala.

Prof. Ceferino Rodrguez Melgar


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PROLOGO.

En este texto se hace nfasis en el uso del razonamiento en lugar del conocimiento pararesolver problemas matemticos. Esta diferencia estriba en que el ejercicio deconocimiento se resuelve con la informacin retenida en la memoria, conceptos o ideas

aprendidas durante los aos anteriores e incluso de este mismo ao, o con las destrezasdesarrolladas. Sin embargo, un ejercicio de razonamiento matemtico requiere procesarinformacin para inferir, demostrar, probar, discriminar, concluir, contrastar, argumentary evaluar. Los ejercicios que se incluyen en estas secciones de matemticas estndirigidos a proveer a los estudiantes una amplia oportunidad de poner en prcticaestrategias de solucin de problemas, que le ayuden a potenciar sus habilidades pararazonar matemticamente. Existen mltiples estrategias para resolver problemasmatemticos, algunas de las cuales son:

Reconocer un patrn Hacer una figura o un diagrama Elaborar una lista o tabla

Utilizar ecuaciones o frmulas Practicar tanteo y error Resolver un problema similar ms simple Resolver un problema equivalente Trabajar de atrs hacia delante (encadenamiento hacia atrs) Buscar un modelo Trazar una meta Identificar submetas Identificar la simetra Utilizar las propiedades de los nmeros y de las operaciones Localizar coordenadas

La mayor parte de los ejercicios se relaciona con el siguiente contenido temtico: Aritmtica Conjuntos numricos Nmeros enteros y sus propiedades La recta numrica Cuadrado de un nmero y races cuadradas Fracciones y nmeros racionales Teora de nmeros (factores, mltiplos y nmeros primos) Razones, proporciones y porcentajes Problemas de conteo

lgebra I Uso de variables para expresar relaciones Representaciones algebraicas Relaciones de equivalencia o igualdad Evaluacin de expresiones algebraicas Ecuaciones de primer grado en una variable Desigualdades de primer grado en una variable Ecuaciones cuadrticas


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Patrones algebraicos

lgebra II Valor absoluto Ecuaciones racionales

Exponentes enteros y racionales Variacin directa y variacin inversa Funciones (conceptos relacionados con dominio y campo de valores, evaluacin

de funciones, funciones como modelos, grficas y sus transformaciones, funcinlineal, y funcin cuadrtica)

Geometra Puntos, rectas y planos ngulos Tringulos (equiltero, issceles, escaleno y rectngulo) Teorema de Pitgoras

Tringulos especiales Tringulos congruentes Tringulos semejantes Desigualdad del tringulo Cuadrilteros reas y permetros Otros polgonos (ngulos de un polgono, permetro y rea sombreada) Crculos (radio, dimetro, arcos, circunferencia y rea) Figuras slidas (volumen) Transformaciones geomtricas Patrones geomtricos

Sentido espacial Estadstica y probabilidad Interpretacin de tablas y grficas Media aritmtica Mediana Moda Probabilidad de un evento simple

Las secciones de razonamiento matemtico de este texto contienen dos tipos deejercicios:

ejercicios convencionales de seleccin mltiple con cuatro y cinco opciones; y

ejercicios para resolver y escribir la respuesta.Se espera que los ejercicios de esta Gua le ayuden a identificar, ampliar y experimentarestrategias para abordar diferentes tipos de razonamiento, como parte de la solucin deproblemas en matemticas.


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Contenido

MDULO I ........................................................................................................................ 9

Nmeros ............................................................................................................................. 9

Conjuntos ....................................................................................................................... 9

Subconjuntos ................................................................................................................ 10

Representacin ............................................................................................................. 10

Cardinalidad ................................................................................................................. 10

Conjuntos Numricos ................................................................................................... 10

Nmeros Naturales ....................................................................................................... 10

Nmeros Cardinales ..................................................................................................... 11

Nmeros Enteros .......................................................................................................... 12

Por qu no acepto el cambio del punto decimal por la coma ....................................... 12

Nmeros Racionales ..................................................................................................... 15Forma Racional o Fraccionaria .................................................................................... 15

Forma Mixta ................................................................................................................. 16

Forma Decimal ............................................................................................................. 16

Decimales Finitos ..................................................................................................... 17

Decimales Peridicos ............................................................................................... 17

Decimales Semiperidicos ....................................................................................... 18

Actividad 1 ............................................................................................................... 19

Nmeros Irracionales ............................................................................................... 20Nmeros Reales ............................................................................................................ 21

Propiedades de la operatoria con los nmeros Reales .............................................. 21

Leyes de los signos ................................................................................................... 22

Jerarqua de operaciones .......................................................................................... 22

Actividad 2 ............................................................................................................... 23

Criterios de Divisibilidad ............................................................................................. 25

Mnimo Comn Mltiplo ............................................................................................. 26

Mximo Comn Divisor ............................................................................................... 26Nmeros racionales ...................................................................................................... 27

Actividad 3 ............................................................................................................. 27

Actividad 4 ............................................................................................................... 29

Actividad 5 ............................................................................................................... 30

Potenciacin y Radicacin ........................................................................................... 31


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Potencias .................................................................................................................. 31

Leyes de los exponentes ........................................................................................... 31

Actividad 6 ............................................................................................................... 34

Races ....................................................................................................................... 35

Propiedades de los radicales..................................................................................... 36Simplificacin de radicales ...................................................................................... 38

Racionalizacin ........................................................................................................ 39

Actividad 7 ............................................................................................................... 42

Notacin Cientfica ...................................................................................................... 43

Potencias de 10 ............................................................................................................. 44

Evaluacin I ............................................................................................................. 45

Captulo 2 ......................................................................................................................... 50

Proporcionalidad .......................................................................................................... 50Razones ........................................................................................................................ 50

Razn Aritmtica ..................................................................................................... 51

Razn Geomtrica .................................................................................................... 51

Proporcin .................................................................................................................... 53

Proporcin Aritmtica .............................................................................................. 53

Proporcin Geomtrica ............................................................................................ 54

Actividad 2.1. ........................................................................................................... 55

Proporcionalidad Directa (Regla de tres simple directa) ............................................. 55Proporcionalidad Inversa (Regla de tres simple inversa) ............................................. 57

Actividad 2.2 ............................................................................................................ 59

Porcentaje ..................................................................................................................... 61

Actividad 2.3 ............................................................................................................ 62

Evaluacin II ............................................................................................................ 64

Captulo 3 ......................................................................................................................... 68

Introduccin al lgebra................................................................................................ 68

Signos del lgebra ....................................................................................................... 68

Actividad 3.1 ............................................................................................................ 69

Expresiones Algebraicas .............................................................................................. 70

Trmino algebraico ...................................................................................................... 70

Clasificacin de las Expresiones Algebraicas .............................................................. 71

Trminos Semejantes ................................................................................................... 72


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Productos Algebraicos.................................................................................................. 72

Actividad 3.2 ............................................................................................................ 72

Multiplicacin .......................................................................................................... 72

Multiplicacin en columnas ..................................................................................... 80

Actividad de conocimientos algebraicos .................................................................. 86Soluciones a Actividad de conocimientos algebraicos ............................................ 88

Evaluacin III ........................................................................................................... 96

Productos notables ........................................................................................................ 99

Cuadrado de un binomio .......................................................................................... 99

Cuadrado de la forma (x + a)(x + b)....................................................................... 102

Cuadrado de la suma por la diferencia de dos cantidades iguales(x + a)(x a) .... 103

Actividad 3.3 .......................................................................................................... 104

Cubo de un binomio ............................................................................................... 105Cuadrado de un trinomio ........................................................................................ 106

Actividad 3.4 .......................................................................................................... 106

Factorizacin .............................................................................................................. 108

Trmino Algebraico ............................................................................................... 108

Factores: ................................................................................................................. 109

Como identificar el caso de factorizacin que hay que usar ...................................... 109

Factor comn .......................................................................................................... 109

Actividad 3.5 .......................................................................................................... 111Binomios .................................................................................................................... 112

Diferencia de cuadrados ......................................................................................... 112

Actividad 3.6 .......................................................................................................... 113

Suma y diferencia de cubos .................................................................................... 113

Actividad 3.7 .......................................................................................................... 114

Trinomios ................................................................................................................... 115

Trinomio cuadrado perfecto ................................................................................... 115

Actividad 3.8 .......................................................................................................... 116

Trinomio de la forma x2 + bx + c .......................................................................... 116

Actividad 3.9 .......................................................................................................... 119

Trinomio de la forma ax2+ bx + c ......................................................................... 119

Otra forma de factorizar el trinomio ax2+ bx + c .................................................. 120

Actividad 3.10 ........................................................................................................ 123


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Agrupacin de trminos ............................................................................................. 123

Actividad 3.11 ........................................................................................................ 124

Cubo perfecto de binomios ........................................................................................ 125

Actividad 3.11 ........................................................................................................ 125

Problemas diversos ................................................................................................ 126Sntesis de casos de factorizacin .............................................................................. 126

Identificacin de polinomios y pasos a seguir en la factorizacin ......................... 126

Evaluacin IV......................................................................................................... 130

MODULO II .................................................................................................................. 133

Captulo 4 ....................................................................................................................... 133

Habilidades cognoscitivas .......................................................................................... 133

Ejemplos de ejercicios de habilidad cognoscitiva ...................................................... 134

Secuencias numricas o alfabticas ........................................................................... 134Transformaciones lgicas con tres variables.............................................................. 134

Razonamiento condicional ......................................................................................... 135

Habilidad espacial ...................................................................................................... 135

Habilidad cuantitativa ................................................................................................ 136

Prueba sobre Habilidad cognoscitiva ..................................................................... 137

Prueba sobre habilidad matemtica bsica ............................................................. 140

Secuencias complejas ................................................................................................. 144

Matrices ...................................................................................................................... 144Diagramas .................................................................................................................. 144

Razonamiento prctico ............................................................................................... 146

Razonamiento condicional ......................................................................................... 146

Prueba de habilidad sobre secuencias complejas ................................................... 147

Prueba de Conocimiento matemticos intermedios ............................................... 151

Ejercicios de seleccin mltiple ................................................................................. 156

Ejercicios de razonamiento ........................................................................................ 160

Evaluacin V .......................................................................................................... 163

Evaluacin VI......................................................................................................... 169

Evaluacin VII ....................................................................................................... 173

Conceptos y trminos que debe conocer .................................................................... 175

Porcentaje ................................................................................................................... 175

Velocidad promedio ................................................................................................... 177


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Conceptos de Geometra ............................................................................................ 179

Propiedades de las rectas paralelas ............................................................................. 180

Ejercicios de comparacin de expresiones matemticas ............................................ 193

Evaluacin VIII ...................................................................................................... 195

Evaluacin IX ......................................................................................................... 202Respuestas a evaluaciones y pruebas ..................................................................... 203

Respuestas del mdulo II ....................................................................................... 204

Bibliografa ............................................................................................................. 206


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MDULO I

Simbologa Matemtica

< es menor que = es igual a

> es mayor que es distinto dees menor o igual que es equivalente aes mayor o igual que es semejante a es perpendicular a es congruente con// es paralelo a pertenece a

Angulo

Aproximado Para todo

NmerosJunto con la historia de la humanidad, la historia de las matemticas y la numeracin haevolucionado optimizndose cada vez ms. En muchas culturas distintas se realiz lanumeracin de variados modos pero todos llegaban a una misma solucin, definir unaunidad y aumentarla en conjunto con el conteo, y posteriormente, cuando ya exista unacantidad incmoda de representar se involucraba un nuevo smbolo que representaba a

todas las unidades anteriores, a este ltimo smbolo se le conoce como base, y sin lugar aduda la base mas usada a nivel internacional ha sido la base de 10, como lo hace elsistema de numeracin que ocupamos actualmente, aparentemente a causa que tenemos10 dedos y cada dedo representa una unidad y la manera mas primitiva de contar.

Conjuntos

Cuando nos comunicamos en nuestra vida cotidiana y utilizamos el trmino conjunto", seguramente nos estamos refiriendo a un grupo de objetos de alguna naturalezadeterminada. Bueno, en matemticas esta expresin no est para nada alejada de lo que

t entiendes por un conjunto, la diferencia radica en que los conjuntos que aprenderemosson aquellos que estn formados por nada mas y nada menos que nmeros. Los nmerosson elementos fundamentales en el estudio de las matemticas, ya que gracias a ellos sepueden precisar o determinar exactamente respuestas a algunas de las preguntas del serhumano, es por esto que es tan importante analizarlos, trabajarlos y lo que haremos eneste captulo, agruparlos.


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Subconjuntos

Los subconjuntos son esencialmente conjuntos, pero el prefijo sub que aparece, nosinfiere que existe un conjunto mas grande del que estamos hablando, uno en del cualnuestro conjunto es un subconjunto, es decir, nuestro conjunto est contenidocompletamente en otro conjunto. Por ejemplo; si queremos formar el conjunto formado

por todas las personas involucradas en nuestro curso propedutico, encontraremos en ela profesores, alumnos, coordinadores y autoridades del establecimiento. Un subconjuntode este ser el grupo de todos los alumnos, ya que estos por s solos forman un conjunto,pero este est contenido en el primer conjunto nombrado.

Representacin

Para representar un conjunto cualquiera, generalmente se usa una lnea que encierra a ungrupo de cosas, llamados diagramas, las cuales forman el conjunto. Una manera anlogaes ordenarlos, separados con comas y escribirlos entre llaves.

Cardinal idad

Cuando queremos hablar de cantidades dentro de los conjuntos, o aclarar si un conjuntoes mas grande o no que otro, introducimos un trmino que llamamos cardinalidad, lacual representamos por el smbolo #, esta solo depende del nmero de objetos de nuestroconjunto. Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto de la figura es 4.

Conjun tos Numric os

Son todos aquellos conjuntos que estn formados por nmeros, estos se dividenprincipalmente en:

Nmeros Naturales

Los nmeros naturales son los que normalmente ocupamos para contar, se representanpor el smbolo N. Y sus elementos son:


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N = ...6,5,4,3,2,1 . Ntese que no se incluye el cero.Nota: El conjunto de los nmeros dgitos no es subconjunto de los nmerosnaturales, ya que en los nmeros naturales no existe el cero.

Explicacin: Como se sabe que el conjunto de los nmeros naturales su utiliza para

contar, el cero no se cuenta, pues cualquier conjunto, al empezar a contar (Si la cuenta esde uno en uno), iniciamos con el nmero uno, jams con el cero.

Algunos subconjuntos de N son:

Los nmeros pares = ,...10,8,6,4,2 estos los podemos representar como 2n n NLos nmeros impares = ,...15,13,11,9,7,5,3,1 , los cuales los podemos representar como(2n1) n NLos nmeros primos = ,...17,13,11,7,5,3,2 , son todos aquellos nmeros que sondivisibles solo por s mismos y por 1, excluyendo a este ltimo.

Los nmeros compuestos, Son todos aquellos que NO son primos.Observa que:La cardinalidad de N es infinita.

Este conjunto es cerrado" bajo la suma y la multiplicacin, es decir, para todo par denmeros en N, su suma y su multiplicacin tambin es un nmero natural.

Este conjunto NO es cerrado" bajo la resta y la divisin, ya que para todo par denmeros en N, su diferencia y divisin NO es necesariamente un nmero natural.

2 es el nico nmero par que es primo, ya que cumple con la condicin que todo nmeroes primo si es divisible por l mismo y por la unidad.

Nmeros Cardinales

Son los que indican una cantidad, es decir, expresan cuantos elementos existen endeterminado conjunto, razn por la cual debe contener el cero puesto que si no existeningn elemento, la cardinalidad debe ser 0.Cuando en el conjunto de los nmeros naturales incluimos el 0, se denomina comoNmeros Cardinales, se representa por el smbolo

0N , y sus elementos son:

,...11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,00N .

Algunos subconjuntos de0N son:

Los nmeros Naturales y todos los subconjuntos de este.

Los nmeros dgitos; = 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 . Este conjunto es finito y su cardinalidad es10.


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Nmeros Ent eros

Es el conjunto formado por todos los nmeros sin cifra decimal, es decir, los nmerosnaturales, sus inversos aditivos, y el neutro aditivo. Se representan con la letra Z. ,...6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5...,

Algunos subconjuntos de z son:Los nmeros naturalesLos nmeros cardinalesLos nmeros dgitos, etc.

Observa que:

A diferencia de los nmeros Naturales, este conjunto si es cerrado" bajo la suma, laresta y la multiplicacin; es decir, para todo par de nmeros enteros, su suma,multiplicacin y diferencia es siempre un nmero entero.

Este conjunto no conserva a la divisin, ya que una divisin entre dos nmeros enterosno es necesariamente un nmero de Z

Se dice que un nmero a tiene inverso aditivo, si existe un b tal que, a + b = 0, tal que bes tambin conocido comoa.

Para cualquier nmero x existe un nico que cumple que x+(ese nico)= x, a ese nmero

lo conocemos como neutro aditivo, (tambin conocido como 0).

Al inverso aditivo se le conoce con el nombre de SIMTRICO

Se han hecho cambios en escritura, nombres de letras y algunas otras, para el beneficiode los estudiantes, para que puedan comprender mejor y les sea ms fcil su aprendizaje.Especficamente quiero referirme al cambio, en matemtica, del punto decimal por lacoma.

Por quno acepto el camb io del punto d ecimal por la coma

Quiero expresar que acepto los cambios cuando son de beneficio para la mayora,pero el cambio del punto decimal, que ese es su nombre, no es coma decimal, loconsidero nocivo para los estudiantes, pues los hace a que no aprendan ni a leer niescribir cantidades correctamente, pues he comprobado que aunque se les dictecantidades no muy grandes, como por ejemplo mil catorce, tienen problemas para


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escribirlas, escriben ya sea 114, 100014 o bien mil 14 y esto es por la influencia quetienen los medios de comunicacin

Antes de escribir cantidades grandes, dar una breve explicacin del porqu no he

aceptado el cambio de sustituir el punto decimal por la coma.En la actualidad, algunos programas sustituyeron el punto decimal por la coma,inclusive en los noticieros se escucha decir por ejemplo cero coma veinticinco porciento. Tambin se lee en los medios de comunicacin cantidades escritas de lasiguiente forma 14,5 millones, utilizan nmeros y letras para expresar una cantidad;esto confunde a los alumnos y creen que no es importante saber leer y escribircantidades con nmeros. Dar la explicacin de la importancia del punto y la coma parapoder leer mejor una cantidad.

El punto separa las cifras decimales de las enteras, por ejemplo para escribir cantidadesde dinero es Q.50.00 que se lee cincuenta quetzales exactos, es decir, sin ningn centavo,no hay decimales, pero por conveniencia se utilizan los ceros a la derecha del punto paraindicar que no existen. Para escribir cantidades muy grandes, es preferible separar losmiles con una coma, los millones con un subndice 1, los billones con un subndice 2, lostrillones con un subndice 3, etc. Por ejemplo, la cantidad que escrib arriba 14,5millones, que lo correcto sera decir catorce punto cinco millones, la podemos escribircorrectamente sin utilizar letras 14 como son millones, de una vez escribimos elsubndice 1. 141, an sin escribir ms, el alumno sabr que son catorce millones y comolos millones llevan seis cifras hacia la derecha, solo bastara con llenar con los seis cerossi es que no hubiese ms cifras, pero como existe el 5, lo escribimos 14 1500,000.Aunque sera ms fcil decir catorce millones y medio. Otro ejemplo,5,0003000,0002000,0001000,000, es un nmero bastante grande, pero al leerlo de laforma que acabo de explicar, ya sabemos que las comas separan los millares, por lo queindica que son cinco mil, luego observamos que existe un subndice 3, por lo que sontrillones.

Actualmente se tienen que utilizar cantidades muy grandes en informtica, pues se hablade la capacidad de los hardware utilizados en computacin, cantidades matemticas muygrandes en las cuales se utilizan prefijos como: Mega, Giga, Tera, y al preguntarles,saben qu significa, pero no como se escribe con nmeros. Es importante que el alumnosepa que Kilo significa 103=1,000; mega 106 = 11000,000; Giga 109= 1,0001000,000;Tera 1012 = 12000,0001000,000, lo cual sera ms difcil leer escribiendo solamentepuntos 1.000.000.000.000,00

Me extender un poco ms para poder dar una explicacin ms completa.

Para leer cantidades, siempre sern unidades, decenas y centenas, perodependern del lugar donde estn escritas. Por ejemplo.

3482395641, esta cantidad se separa cada tres cifras por una coma, contando de derechaa izquierda, sin importar que en el lado izquierdo quede una, dos o tres cifras. Esconveniente tambin identificar, cada 6 cifras, un subndice numeral para indicar


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millones, billones, trillones, etc.

3,4821395,641. Para leer esta cantidad, observamos los signos, ej:

Se lee el 3 pero como tiene una coma, es tres mil.

Luego leemos el 482, pero como tiene como subndice 1, son millones.Tres mil cuatrocientos ochenta y dos millones.

Luego leemos el otro grupo 395 pero como tiene una coma, son miles, trescientosnoventa y cinco mil, unindolo se lee: tres mil cuatrocientos ochenta y dos millonestrescientos noventa y cinco mil y a continuacin, el ltimo grupo de nmeros 641,seiscientos cuarenta y uno

La cantidad completa es: tres mil cuatrocientos ochenta y dos millones trescientosnoventa y cinco mil seiscientos cuarenta y uno.

Ejemplo 2Leer el nmero 21035,003Como el dos no tiene coma, no est en posicin de millares. Tiene como subndice ununo, est en posicin de millones. Se lee dos millones.A continuacin leemos la otra cantidad. Las tres cifras siguientes 035. Como el cero a laizquierda no cuenta, decimos treinta y cinco, como son miles, treinta y cinco mil y acontinuacin el otro grupo de nmeros 003. Como los ceros a la izquierda no cuentan, selee nicamente tres.

Siendo el nmero completo: Dos millones treinta y cinco mil tres.

De igual manera, cuando nos dicen una cantidad, podemos nosotros escribirla connmeros. Ej.:

Escribir con nmeros Tres mil quinientos veinticuatro.Escribimos primero el 3, como dice tres mil, le escribimos una coma y luego lassiguientes cifras que son quinientos veinticuatro 524

3,524Ejemplo 2Escriba con nmeros Cinco millones veinticuatro mil novecientos catorce.

Principiamos escribiendo el cinco 5. Como son millones, le escribimos como subndiceel uno 51. la siguiente cantidad es veinticuatro, pero como sabemos que en cada grupo denmeros debe constar de tres cifras, escribimos 024 y una coma por ser miles 5 1024, yluego el novecientos catorce 51024,914.

Me viene a la mente un nio que lleg a mi casa llevando canillitas de leche y me dijo:le traigo a su mam las canillitas, (a quien se refera era a mi suegra) aqu est la


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cantidad, son quinientas veinticinco y me entreg un papel con la cantidad escrita50025.

Nmeros Racionales

Como te habrs dado cuenta en los conjuntos anteriormente mencionados, tenemos elproblema de que sus elementos se pueden escapar fcilmente de ellos, nos referimos aque basta que dos nmeros Naturales se resten (4 5, por ejemplo), para obtener algnnmero negativo y entonces ya estaremos fuera de N, o para el caso de los enteros, bastaque dos de ellos que no sean divisibles entre s ( 3 y 2, por ejemplo), se dividan yentonces ya no tendremos un nmero entero.Para resolver este problema, existe el conjunto de los nmeros Racionales, representadospor el smbolo Q y que cumple que para cada par de nmeros racionales, la suma, resta,divisin y multiplicacin (sin considerar al 0), es siempre un nmero de Q, a este tipo de

conjuntos se les conoce como Cuerpo. Lo podemos representar como:

0,,/ qNqpq

pQ

Para cada elemento de este cuerpo aparecen en el mismo, los llamados inversosmultiplicativos, que son aquellos que al multiplicarse por el elemento obtenemos el 1(neutro multiplicativo).

Por ejemplo:1

5

1*5

, por lo tanto el inverso multiplicativo de 5 es 51

.

De igual forma, el inverso multiplicativo de 34

es 43

El inverso multiplicativo es conocido como RECPROCO.

Existen distintas formas de expresar los elementos de este conjunto.

Forma Racional o Fraccionaria

Esta forma nos expresa porciones" de algn entero. En su estructura tenemos una lneafraccionaria, un numerador (nmero sobre la lnea fraccionaria), y un denominador(nmero bajo la lnea fraccionaria). El denominador nos indica la cantidad de partes enque dividimos un entero y el numerador nos muestra cuantas de ellas vamos a considerar.Por ejemplo:


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La figura, es una representacin Fraccionaria, que tambin se conoce con el nombre de

Racional.En el primer caso dividimos un crculo en 8 partes iguales, y de ellas ocupamos 3, lo

cual representamos por:83

Y en el segundo caso dividimos un rectngulo en 6 partes

iguales, considerando slo 3 de ellas, lo cual representamos por: 63

Forma MixtaHay ocasiones en que el numerador de una fraccin es mayor que el denominador. Enestas situaciones dividimos el numerador por el denominador, del resultado de estadivisin consideramos el cociente como la parte entera, y el residuo como numerador dela fraccin que la acompaa.

Por ejemplo:

Consideremos la fraccin5

8

, entonces al efectuar la divisin se tiene.

185

y su residuo

es 3. Por lo tanto podemos escribir esta fraccin como: 53

15

8

Forma Decimal

Toda fraccin tiene su representacin como nmero decimal, para obtenerlo bastadividir, sin dejar resto, el numerador con el denominador.

Por ejemplo, consideremos la fraccin 49

, procedemos a dividir

25.249

Para pasar un nmero decimal a fraccin existen 3 posibles casos:


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Decimales Finitos

Cuando las cifras decimales de un nmero son finitas, por ejemplo 4.376 es un decimalfinito pues tiene solo 3 dgitos a la derecha del punto decimal, pero 4.333333333333. . .con infinitos nmeros 3, uno tras otro, no es un decimal finito pues tiene infinitos dgitos

despus del punto decimal. A estos nmeros se les conoce como peridicos, es decir, susdecimales pueden escribirse en perodos, de la siguiente forma 4. 3 .La manera de pasar los decimales finitos a fraccin es simplemente escribir una fraccincuyo numerador sea el mismo nmero pero sin punto decimal y cuyo denominador seaun 1 con tantos ceros como dgitos tiene el nmero despus del punto, por ejemplo:

1000

5326326.5

Hay 3 cifras decimales por eso se escriben 3 ceros

100

23232.2

Hay 2 cifras decimales

10

155.1

Hay 1 cifra decimal

Esto es debido a que cuando uno divide por 10, 100, 1000, etc., lo nico que le sucede aldividendo es que se corre el punto hacia la izquierda tantos espacios como ceros posee eldivisor.

Decimales Peridicos

Los decimales peridicos son aquellos en que los nmeros despus del punto decimal serepiten infinitamente sin alterar su orden, por ejemplo:

1.333333333333333 es un nmero decimal donde el 3 se repite infinitas veces

despus del punto, este nmero lo escribiremos de la forma:__

3.1

4.3243243243243243243 es un nmero decimal donde el nmero 324 se repite

infinitamente despus del punto, este nmero lo escribiremos de la forma:

_____

324.4

La fraccin que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el nmeroescrito sin punto ni lnea peridica menos la parte entera dividido por tantos 9 comodecimales peridicos halla, por ejemplo:


18/206

18

9

12

9

1133.1__

Como slo hay un decimal peridico, se escribe un 9 como

denominador

99

131

99

113232.1___

Como hay dos cifras decimales peridicas, se escribe 99 como

denominador.

999

4320

999

44324324.4_____

Como hay tres cifras decimales peridicas, se escribe 999

como denominador.

999

12423

999

1212435435.12_____

Decimales Semiperidicos

Los decimales semiperidicos son aquellos en que hay cifras decimales que aparecensolo una vez y las dems se repiten infinitamente, por ejemplo:

1.233333333333333 es un nmero decimal donde el 3 se repite infinitas veces

despus del 2, este nmero lo escribiremos de la forma:__

32.1


infinitamente despus del 32, este nmero lo escribiremos de la forma:_

132.3


infinitamente despus del 5, este nmero lo escribiremos de la forma:___

325.2 .

Ntese que la lnea solamente se escribe sobre un perodo

La fraccin que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el nmeroescrito sin punto ni lnea peridica menos la parte no peridica del nmero, dividido portantos nueves como decimales peridicos halla y tantos ceros, despus de los nueves,como dgitos no peridicos halla despus del punto. Por ejemplo:

90

119

90

1313223.1_

Como hay una cifra decimal peridica, se escribe un 9 y existe

una cifra decimal no peridica, se escribe un 0


19/206

19

900

2305

900

2562561156.2_

Como hay una cifra decimal peridica, se escribe un 9 y

existen dos cifras decimales no peridicas, se escriben dos ceros

80.123333333333 = 80.123 Como hay una cifra decimal peridica, se escribe un 9 ycomo existen dos cifras decimales no peridicas se escriben dos ceros despus del 9.80123 8012900

990

6062

990

616123231.6___

Como hay dos cifra decimales peridicas, se escriben dos 9 y

existe una cifra decimal no peridica, se escribe un 0

90

1086

90

120120660.12_

Como hay una cifra decimal peridica, se escribe un 9 y

existe una cifra decimal no peridica, se escribe un 0

9900

34994

9900

353353474753.3___

Algunos subconjuntos de Q son:

Los nmeros Naturales, ya que todo nmero natural n lo podemos escribir como n

Los nmeros Cardinales.

Los nmeros Enteros ya que todo nmero entero z lo podemos escribir como z, etc. . .

Actividad 1

Elabore lo que se le indica a continuacinConvierta las siguientes fracciones a decimales

1.

2.

3. 4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. 11.

12.

13.

14.


20/206

20

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Convertir decimales a fracciones

1. 5.352. 0.83. 10.284. 0.745. 9.876. 0.147. 2.288. 0.99. 5.310.0.4111.0.38

12.0.1613.9.8514.7.4215.9.2916.6.7517.10.8618.0.7919.0 7520.32521.0.625

Convierta los siguientes nmeros decimales peridicos a fracciones

1. 1. 3 2. 3.32 3. 2.42 4. 5.53 5. 0.6256. 0.046 7. 0.135 8. 12.45 9. 6.428 10.0.051

11.43.8325 12.7.642 13.0.15 14.2.23 15.6.283 16.3.1462 17.10.213 18.26.382 19.5.1416 20.15.63

Nmeros Irracionales

Es el conjunto de todos los nmeros que no pertenecen al mundo de los racionales, esdecir, no se pueden escribir ni como enteros ni como fraccin ya que tienen infinitosdecimales sin ninguna relacin. Una forma de enunciar sus elementos es:


21/206

21

QiiI /

Algunos elementos de este conjunto son: 2,,e , etc.Observa que:

Entre el conjunto de los nmeros racionales y el de los irracionales no existe ningn

elemento en comnAdems, NO es un cuerpo, ya que sus elementos al sumarse, restarse, multiplicarse odividirse, pueden obtener un nmero racional, como por ejemplo:

12

2

2

1

2

Y estos resultados no son nmeros irracionales.

Nmeros Reales

Es el conjunto que obtenemos entre la unin de todos los conjuntos que acabamos de ver,pero como te habrs dado cuenta, en los nmeros racionales estn ya incluidos losnaturales y los enteros, entonces basta decir que:R=QUI.

Q R

N Z I

En la figura puedes observar grficamente este hecho.

Figura 1.3: Diagrama de los conjuntos numricos bsicos

Propiedades de la operatoria con los nmeros Reales

Conmutatividad:Para todo Rba , , se cumple que:


22/206

22

a + b = b + a y a * b = b * a

Asociatividad:Para todo Rcba ,, , se cumple que:a + (b + c) = (a + b) + c y a *(b * c) = (a * b) * c

Distributividad:Para todo Rcba ,, , se cumple que:a * (b + c) = a * b + a * c

Leyes de los signos

Las leyes de los signos se emplean para efectuar multiplicaciones y divisiones, astambin en la resolucin de smbolos de agrupacin, tomando en cuenta que aun nohabiendo operaciones de multiplicaciones y divisiones, a todos los smbolos de

agrupacin les afecta el signo que est escrito en el lado izquierdo de los mismos. Paraorientarte se adjunta el siguiente cuadro:

+ * + = +- * - = ++ * - = -- * + = -

O si te es ms sencillo, considera que Signos iguales dan ms y signos diferentes danmenos.

Jerarqua de operaciones

Siempre al momento de desarrollar un ejercicio donde aparezcan sumas, restas,multiplicaciones, divisiones, potencias, etc., debes tener presente que existe unaprioridad en el desarrollo de estas, es decir; hay operaciones que deben realizarse antesque otras para obtener el resultado correcto. Este orden es el siguiente:1. Potencias y races.

2. Multiplicaciones y divisiones.3. Sumas y restas.Adems si aparecen smbolos de agrupacin dentro de algn ejercicio nos indicar quedebemos realizar primero las operaciones que estn dentro de l.Por ejemplo:

6 + 4 * (1423* 3) - 26 2


23/206

23

Primero debemos realizar el parntesis (la potencia, luego la multiplicacin y despus laresta). Luego la multiplicacin por 4 y la divisin 26 2. Posteriormente terminamoscon las sumas y restas.6 + 4 * (1423* 3) - 26 2 = 6 + 4 * (14 - 8* 3) - 26 2= 6 + 4 * (14 - 24) - 26 2

= 6 + 4 * (-10) - 13= 64013 = 47

EJERCICIOS CON JERARQUA DE OPERACIONES1.- {2 [(2 + 35) + 25 + (2 * 2 / 1) (5 * 8 / 2) (9 + 5)]} (2 + 1)={2 [(0) + 5 + (4)(20) (14)]} (5) =[2 (5 + 4280)] 5 =[2 (-271)] 5 =(-542) 5 =-2710.

2.- {25 [(7+5*2) +3 (3*3) (20/5)]} (9-2) ={5 [(17)+ 3 (9)(4)]} (7) =[5 (4913) + 274] (7) =(24565 + 274) (7) =(24588) (7) =172,116.

3.- {8 [9-4+6) + 36 + (9*2/2) (60*2/4) (9+1)]} (4-2) ={8 [21 + 6 + 9(30) (10)]} (14) =[8 (136300)] (14) =[8 (-164) (14) =(-1312) (14) =-18368.

4.- {(4*3) [(10+15) (5*12) + 16 (16-4*3)]} / 6 ={(6) [(25) (3600) + 44]} / 6 =[(6) (9000) 0] / 6 =9000.

Actividad 2


24/206

24

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las leyes de los signos y la jerarqua deoperaciones.

a) Resuelve los siguientes ejercicios combinados:1. 2 3 3 5 =2. ( 6 3 1 2 3 1) 2 =3. (65 [2 1 0 2] 5 3 5) =4. 5 1 0 3 3 4 8 6 7=5. 6 2 3 [2 45 112]=6. {[ 1 2 4 5]} 1 =7. [ 3 4 3 4 5 2]=8. 2 3 3 6 5 2 =

Respuestas ejercicios impares Actividad 2 a

1. -17

3. -711. 147. -8

b) Aplicando las leyes de los signos resuelve los siguientes ejercicios

1) 5 + (-7)2) 3 + (-2)3) (-2) + 84) 11(-1)

5) 20 + (-15)6) (-11) + 107) 12 + (-24)8) (-35) + 229) (-12) + 3510)75(-25)11)5 + 812)152513)2 + 1214)82515)15 + 8

16)23617)253618)172519)193620)362421)15 + (-8) + 222)(-3) + (-25)1223)(-8) + 1512

24)(-36) + 352525)12(-15) + 826)12 + (-85)2627)2(-15)25

28)36 + 152229)26 + 342230)2236 + 1231)125 + (124)32)12(2232)33)(22 + 15)3034)15(1622)35)(1622) + 3636)2536 + 5537)32(25 + 33)38)12 + (68)

39)30 + (836)40)(1236)2641)12 + (-3)(-12) + 542)(-3) + 5(-2) + (-15)43)2 + (-8)(-2) + (-22)44)15 + (-1)(17) + (-2)45)22(6) + (-2) + (-8)46)12 + (64)(5 + 8)


25/206

25

47)(1225) + (83)1248)2(8 + 5)1649)-(2 + (3 * 3 + 5))50) 112)45(*23*2*6 51) 2*)13*21(3*6

52) 1)5412(

53) 53*5()2*10(265 54) )25(43*43 55) )76483310(*5 56) 2)5*23()32(

Cri ter ios de Divisib i l idad

Para que te sea ms fcil la obtencin de divisores o mltiplos comunes es bueno tenerpresente que:

Todos los nmeros son divisibles por 1.

Los nmeros divisibles por 2, son todos aquellos cuyo ltimo dgito es par o 0.

Los nmeros divisibles por 3, son todos aquellos que cumplen que la suma de sus dgitoses divisible por 3.

Los nmeros divisibles por 4, son todos cuyos ltimos dos dgitos forman un nmerodivisible por 4.

Los nmeros divisibles por 5, son todos aquellos que terminan en 5 o 0.

Los nmeros divisibles por 6, son todos aquellos que son divisibles por 2 y por 3 al mismotiempo.

Un nmero es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha,multiplicndola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda da unresultado mltiplo de 7. O si no lo puedes ver, contina as con el resultado que vaquedando y as sucesivamente, da cero o mltiplo de 7. El siguiente cuadro te sirve comogua

El nmero 21 es divisiblePor 7. Observa




26/206

26

La regla de divisibilidad por 11 es la siguiente: N es divisible por 11 si y solo si al sumarlos dgitos en posicin impar y luego restar los dgitos en posicin par, obtenemos unnmero divisible por 11. Por ejemplo, el nmero 20,482 es divisible por 11 porque2 0

4 8 2 = 0y 0 es divisible por 11. El nmero 123,456 no es divisible por 11 porque

1 2 3 4 5 6 = 3no es divisible por 11

Mnim o Comn Mlt ip lo

El mnimo comn mltiplo (M.C.M), entre dos o ms nmeros reales es el nmero mspequeo entre todos los mltiplos que tengan en comn. Por ejemplo, para determinar elM.C.M entre 4 y 6 veamos los conjuntos de sus mltiplos

Mltiplos de 4 = :::48;44;40;36;32;28;24;20;16;12;8;4; Mltiplos de 6 = :::66;60;54;48;42;36;30;24;18;12;6;

Y la interseccin entre estos dos conjuntos es = :::36;24;12; Luego, como el mnimo de este ltimo conjunto es 12, entonces el M.C.M. entre 4 y 6 es12.

Otra forma de determinar el mcm. es con la siguiente tabla:46 223 213 31 1 12

Donde se va dividiendo a los nmeros hasta obtener el 1 para ambos, luego el M.C.M. ser

la multiplicacin entre los divisores usados.De manera que obtenemos:

2* 2 * 3 = 12

Mximo Comn Div iso r

Cuando nos referimos al divisor de un nmero real estamos hablando de un nmero quedivide exactamente (sin dejar residuo) al nmero en cuestin. El mximo comn divisor(M.C.D) entre dos o ms nmeros reales es el divisor ms grande que tienen en comn. Porejemplo:

Busquemos el mximo comn divisor entre 16 y 40, para ello necesitamos conocer losconjuntos de sus respectivos divisores.

Divisores de 16 = 168;4;2;1; Divisores de 40 = 4020;10;8;5;4;2;1; Y la interseccin entre estos dos conjuntos es = 4;82;1; . Por lo tanto el M.C.D. entre 16y 40, es 8.


27/206

27

Observa que:El mnimo comn mltiplo y el mximo comn divisor entre dos o mas nmeros enteros

siempre existe, ya que en el peor de los casos el M.C.M ser la multiplicacin entre ellos, yel M.C.D. ser el 1.

Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad

Para multiplicar o dividir nmeros reales debes tener en cuenta que su signo (positivo onegativo), importa mucho al momento de operarlos. Para esto, aunque ya te la inclu latabla anteriormente siempre considrala nuevamente

+ * + = +- * - = ++ * - = -- * + = -

Nmeros rac ionales

Operaciones con FraccionesMultiplicacin de FraccionesMultiplicar fracciones es muy sencillo, basta multiplicar sus numeradores y este ser elnumerador del resultado, para el denominador se realiza el mismo procedimiento.

Practiquemos los siguientes ejercicios. A continuacin los encontrar resueltos para queverifique si los resolvi correctamente.

Actividad 3

Efecte las siguientes multiplicaciones

1.2

1*

3

2

2.7

2

*4

1

3.20

6*

3

2

4.2

1*

8

1

5.5

3*

2

1

6.3

1

*3

1

7. 7)8

3*

9

1

8.3

4*

9

2


28/206

28

9.3

2*

8

3 10.7

10*

5

3

Solucin de las multiplicaciones

2.21*

32 =

31

62

3.7

2*

4

1 =14

1

28

2

4.20

6*

3

2 =5

1

60

12

5.2

1*

8

1 =16

1

6. 53

*2

1

= 103

7.3

1*

3

1 =

9

1

8.8

3*

9

1 =24

1

72

3

9.3

4*

9

2 =27

8

10.3

2*

8

3=

4

1

24

6

11.10)7

10*

5

3 =7

6

35

30

Divisin de FraccionesDividir fracciones es un poco ms complicado ya que debemos realizar lo que llamamosuna multiplicacin cruzada, es decir; el numerador del resultado de una divisin ser loque obtengamos de multiplicar el numerador del dividendo con el denominador deldivisor, de la misma forma el denominador del resultado ser lo que obtengamos demultiplicar el denominador del dividendo con el numerador del divisor.


29/206

29

Como lo anterior parece ser ms complicado de lo que realmente es, tambin podemostransformarla divisin en una multiplicacin y realizar la operacin de esta forma que yaconocemos, recuerda que dividir no es otra cosa que multiplicar por el inversomultiplicativo del divisor.Veamos algunos ejemplos:

4

33

4

15

2

3*

2

5

3

2

2

5

3

13

3

10

6

20

2

5*

3

4

5

2

3

4

Actividad 4

Divide las siguientes fracciones:

1.3

1

9

2

2.5

2

5

1

3.7

3

9

2

4.4

1

9

1

5.6

1

2

3

6.5

1

5

1

7.7

2

7

3

8.2

5

4

3

9.10

1

5

2

10.3

2

3

1

Solucin de las divisiones

1.3

2

9

6

1

3*

9

2

3

1

9

2

2.2

1

10

5

2

5*

5

1

5

2

5

1

3.27

14

3

7*

9

2

7

3

9

2

4.9

4

1

4*

9

1

4

1

9

1

5. 92

18

1

6*

2

3

6

1

2

3

6. 15

5

1

5*

5

1

5

1

5

1

7.7

2

7

3 =

= =

8.2

5

4

3 =

= =


30/206

30

9.10

1

5

2 =

= = 4 10. 3

2

3

1 =

= =

Actividad 5Efecte las siguientes operaciones

1)15

8*

4

3

5

6

2)6

21*

7

12

9

2

3)16

63

8

7

9

4

4) 106

5

4

2

1

5)2

3

49

8

7

2

6)9

8

35

36*

12

7

7)11

81*

9

22

13

15

8)66

22

36

44

12

3

9)11

12

5

63

15

7

10)9

25*

50

63

23

12

11)7

6

50

22*

11

15

9

7

12)7

13

36

99

66

11

21

15

13)6

32

50

16*

36

25

3

2

14)9

8

96

24

69

88

21

20

15)4

3

4

1

8

7

27

12

16)3

2

4

3

6

15

5

4

3

11

17)4

3

4

1

8

7

3

2

18)10

8

12

3

4

3

2

1

19)

20

12

10

11

7

5

7

4

20)

6

11

6

11

5

8

5

3

21)3

2

15

4

5

3

5

2

22)

6

3

9

4

12

6

8

7

23)

56

4

7

12

7

8

7

15

24)15

22

23

1

13

1

13

10

25)42

6

12

4

36

12

49

21

26)

2

1

3

1

1

11

6

27) 172

31

36

41

28)4

53

3

3

22

2

2

11

1

29)n

mn

m

n

n

m


31/206

31

Potenciacin y Radicacin

Potencias

Esencialmente una potencia nos representa una multiplicacin por sigo mismo de unnmero que llamamos base", tantas veces como lo indique otro nmero que llamamosexponente".Base: Es toda expresin que se debe multiplicar la cantidad de veces que indique suexponente

Exponente: es el nmero que se coloca sobre la base e indica las veces que se debe

multiplicar la base por s misma

23= 2 * 2 * 2

(a + 4)2= (a + 4)(a + 4)

Potencia: Es el resultado que se obtiene despus de desarrollada la base

Leyes de los exponentes

Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes

nmnm

aaa

*53232

aaaa

aaaaaa 123)2(323

Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes

nm

n

m

aa

a 23535

aaa

a 523)2(32

3

aaaa

a


32/206

32

Cuando el exponente es cero, la potencia siempre ser igual a 1, pero la base deber serdiferente de cero

0

10

a

a

Cuando el exponente es uno (1), la potencia ser igual a la misma base

aa 1 Cuando el exponente es negativo, la expresin se convierte en fraccin, escribiendocomo numerador la unidad y como denominador la misma expresin, pero con elexponente positivo

n

n

aa

1

8

1

222

1

2

12

3

3

El exponente afecta nicamente al elemento sobre el cual se encuentra escrito

3x2el exponente 2 es nicamente de la letra x. Si lo queremos escribir desarrollado seraxx3

(3x)2= 222 9333 xxxx En este caso, el exponente afecta tambin al 3

Si el exponente se encuentra colocado afuera de un parntesis, este afectar a todo lo quese encuentre dentro del parntesis, (signos, nmeros y letras) y pueden ocurrir lossiguientes casos:Si adentro del parntesis se encuentra un signo negativo y el exponente de afuera delparntesis es par, el signo se vuelve positivo por estarse multiplicando un nmero par de

veces

(-3x)4 =(-)(-)(-)(-)(3)(3)(3)(3)(x)(x)(x)(x)= 81x4. Los signos, los nmeros y las letras semultiplican.

Si adentro del parntesis se encuentra un signo negativo y el exponente de afuera delparntesis es impar, el signo sigue siendo negativo.

(-2x)3= (-)(-)(-)(2)(2)(2)(x)(x)(x) = -8x3

Si la base es una fraccin y el exponente es negativo, nicamente se invierte la fracciny el exponente se vuelve positivo

nn

a

b

b

a

Cuando un exponente est elevado a otro exponente, se multiplican entre s.

mnnm aa


33/206

33

Cuando en una fraccin se encuentren exponentes negativos, se cambian de lugar, (lasbases con sus exponentes negativos de abajo se suben y los de arriba se bajan) para quelos exponentes se vuelvan positivos

n

n

n

n

a

b

b

a

22

33

323

21 )2(3

2

3

yam

xn

nm

xya

=22

3

22

324)8(3

yam

xn

yam

xn

Cuando un exponente es fraccionario, el numerador de la fraccin es el exponente de labase y el denominador indicar siempre que es una raz.

n mn

m

aa 6441616 3323

Resolver en forma desarrollada las siguientes expresiones:54= 5 * 5 * 5 * 5 = 62542= 4* 4 =16(3x3)2= (3x3)(3x3) = 9x6

4

6

2

3

2

32

2

39333

y

x

y

x

y

x

y

x

Resuelva y simplifique aplicando las leyes de exponentes, las siguientes operaciones.

a) 54= 625b) 42= 16Explicacin: Como sabemos que el exponente es nicamente de la base en donde seencuentre; en este caso es slo del 4 no as del signo por eso es que el signo no semultiplica 2 veces.

c) (3x3)2= 9x6Explicacin: El exponente de afuera del parntesis afecta a todo lo que est adentro,como es par, el signo menos est multiplicado un nmero par de veces por lo tanto sevuelve positivo, el 3 de base se multiplica 2 veces por l mismo por eso nos da 9; el 3como exponente, como sabemos que un exponente elevado a otro exponente semultiplican 3 * 2 = 6

4

62

2

3

93yx

yx

Explicacin: El exponente de afuera del parntesis es par, el signo se vuelve +, 3 de basese multiplica 2 veces por el mismo, el exponente 3 se multiplica por el exponente deafuera que es 2 y el denominador y que tiene exponente 2, se multiplica por elexponente de afuera.


34/206

34

4) 3 5

16x Como es la raz cbica de 16x5 todos los factores del radicando pueden salir si seencuentran 3 veces multiplicndose, para poder encontrarlos, descomponemos enfactores primos todos los elementos que se encuentran dentro de la raz

Primero el 16 luego la x

16 2 x58 2 2 x4 2 x2 2 x1 x

x

Descomponindolos encontramos que el dos sale del radicando porque cada 3 veces quese multiplica sale una, pero sobra uno. La x tambin sale porque tambin sale cada 3

pero sobran dos, los que sobran vuelven a escribirse adentro de la raz con su mismondice

3 23 5 2216 xxx

Simplificacin de potencias con exponentes racionalesSimplifica:

a) b)

Solucin

a)

32

8

2

)3(

)4(

)27()4()27(

5

2

5

23

2

5

3

2

b)

3

4

2

1

3

1

6

5

3

4

3

1

6

52

2

1

3

2

123432

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

Actividad 6

Aplicando las leyes de exponentes resuelva los siguientes ejercicios.

1) -32 2) 32 3) (-3)2


35/206

35

4) 235) -236) (-2)37) -(2)48) (-2)4

9) 2

-3

10)-2-311)(-2)-312)4-213)-4-214)(-4)-215)(-3)416)(-4)317)(-2)518)(-5)-119)(-6)220)(-7)321)4222)-3323)-5224)-7325)-51

26)26)2

4

3

27)2

5

4

28)3

32

29)3

5

3

30)2

5

2

31)4

2

3

32)1

3

4

33)2

5

1

34)3

4

3

35) 23

4

36) 23

16

37) 21

9

38)

2

5

9

1

39)3

4

3

2

40) 1

2

5

4

41) 23

04.0

42) 23

)04.0(

43)(3x)(2x)44)(2x2)(x)45)4x(3x3)46)(5x-2)(2x3)47)(x4)(x3)

48) )6(2

1 22 xx

49)

3322

12 xx

50)

5

12

2xy

cab

51)2

5

3

x

52)

ba

x

xy

ab24

3 9

3

2

53) xx 24 32

54)

1

2

4

2

6

x

x

55) 7

32

6

)3()2(

x

xx

56)4

23

3

)2)(5(

m

nm

57) 5

23

4

)(3

x

xx

58)

2

2

2

4

3

x

y

59)2

36

6

)3(4

uv

vu

60)43

22

)4(

)5(

n

m

61)

3

2

2

1

43 yy

Races


36/206

36

La raz ensima de un nmero real se escribe de la siguiente manera en donde nes unnmero entero positivo mayor de 1 ya, un nmero real.

Propiedades de los radicales

1) Si 0a entonces = 0Si es positivo, y n es par el resultado ser un nmero real positivoSi

es negativo y n es impar, entonces

es un nmero real negativo b tal que

= .

Si es negativo y n es par, entonces no existe en los nmeros reales.Si n=2 se escribe en lugar de y se llama raz cuadrada principal de osimplemente raz cuadrada de .El nmero es la raz cbica de a.

Ilustraciones:

16 = 4 Porque 42= 16

=

Porque

=

8 = 2Porque (-2)3= -816 No existe, puesto que la raz cuadrada de -16 no es un nmero real.

Observa que 16 4porque, por definicin, las races de nmeros reales positivosnos dan como resultado otros nmeros reales positivos. El smbolo se lee "msmenos". Para completar nuestra terminologa, la expresin es un radical, el nmero

se llama radicando y n es el ndice del radical. El smbolo es el signo radical.Si = , entonces = ; esto es: () = .En general se presenta la siguiente tabla de propiedades.

1) Propiedades de (n es un entero positivo).Propiedad Ejemplo

( ) = ,Si a es un nmero real y n es impar (4 ) = 4


37/206

37

( ) = , Si es un nmero real 3= 3n

m

n maa Si es un nmero real y m es par

2= 2 =|2|=|8|= 8

(

) =||Si a es un nmero real y n es par

2

= 2

De esta ltima propiedad vemos que: = para todo nmero real x. En particular, si 0entonces = ; si x < 0, xx 2 = x. Concluimos que = para todonmero real.

Muchas calculadoras no tienen capacidad de resolver este tipo de operacionesescribindolos directamente tal y como aparecen, puesto que no estn hechas para elevarexponentes fraccionarios a otros exponentes. Observemos el siguiente ejemplo:

3

2

008.0

Para resolverlo principiamos haciendo cambios de escritura de las mismas cantidades:

Pasamos a notacin cientfica 32

3 )10*8(

Luego escribimos el 8 con su base y exponente 32

33 )10*2(

Podemos hacer los cambios dentro del parntesis3

2

3

3

10

2

Como sabemos que cuando el exponente de afuera del parntesis es negativo podemos

invertir la fraccin y el exponente se vuelve positivo3

2

3

3

2

10

Sabemos tambin que cuando un exponente es fraccionario, el numerador de la fraccines el exponente de la base, en este caso, el exponente es par ya que es 2, por lo tanto elsigno menos se vuelve positivo y adems que un exponente elevado a otro exponente se

multiplican 254

100

2

10

2

102

2

3

23

3

23

Otra forma de resolver cuando ya tenemos

3

2

3

3

2

10

es:

Sabemos que si tenemos exponentes iguales, se divide la base y se copia el exponente

53 se elimina con 3 y nos queda 5= 25

Observacin muy importante:


38/206

38

Hemos visto que 416 , tambin definimos que la raz cuadrada de un nmero realpositivo es otro nmero real positivo, aunque hemos aprendido que 416 ya que(4)2 = 4 * 4 = 16 y tambin (-4)2= (-4)(-4) = 16, pero esto es nicamente cuando seresuelven ecuaciones cuadrticas, porque el resultado ha salido de elevar al cuadrado

cantidades desconocidas, no de races, por ejemplo x2

= 16, que es el valor desconocidoque al elevarse al cuadrado nos de cmo resultado 16; en este casi s se incluye al 4 y al4 ya que este valor desconocido al elevarse al cuadrado tambin se vuelve positivo.

Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivosm yn, siempre queexistan las races indicadas; es decir, siempre que las races sean nmeros reales.

2) = Ejemplo 108 =274 =27 4 = 3 4

3) = Ejemplo

= =

4) = Ejemplo 64 = 64 =64 = 2 = 2Advertencia respecto a errores comunes:

Simplificacin de radicales

Simplificar un radical significa que habr que escribir todos los elementos del radicandocomo potencias, es decir, con base y exponente, y luego simplificar los exponentes conel ndice del radical

Eliminacin de factores de radicales.

Simplifica el radical (todas las letras denotan nmeros reales positivos):

a) b) c)

Solucina) Una forma muy compresible de resolver es descomponiendo el radicando en susfactores primos.64 232 2 64 = 26

16 2


39/206

39

8 24 22 21

33 23

2

9

6

9 69

4222264 b) 12

3

12

6

12

3

12 36312 36 3327 xaxaxa

Al simplificar debemos de tener cuidado de dejar igual el denominador, para poderloescribir como ndice del radical nuevamente

4 24

1

4

2

4

1

33 xaxa

c) abababababa 232*31863 2347247532

Racionalizacin

Racionalizar significa eliminar radicales. Si el denominador de una fraccin contiene un

factor de la forma con k < n y a > 0 entonces al multiplicar numerador y

denominador por eliminaremos el radical del denominadorporque:

Dicho en otras palabras: Si el denominador contiene un radical, debemos llevar alexponente del radicando a que sea igual que el ndice del radical. Este proceso se llamaracionalizacin del denominador.

Factor en eldenominador

Multiplicarnumerador ydenominadorpor

Factor resultante


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40

EjemplosRacionalizacin de denominadoresRacionaliza:

a) b) 528y

x c) 3

4

65

9

16

yz

xm

Solucin:

a) 5

5

5

5

5

5

*5

1

5

12

b) 528y

x

En este caso, como nos estn pidiendo que racionalicemos el denominador, no debenquedar races en el denominador, procedemos entonces a multiplicar por la unidad,agregando lo que haga falta para que todos los denominadores tengan exponente igual alndice de la raz, el numerador no nos interesa.

Descomponiendo el 8 = 23

obtenemos 5 232 y

x

Observamos que al 2 le faltan 2 para

llegar a ser exponente 5 que es el ndice del radical y a la y le faltan 3, entonces

multiplicamos por 532

32

2

2

y

y pero dentro de la misma raz

5 3555

3

532

32

23 4

2

1

2

4

2

2*

2xy

yy

xy

y

y

y

x

c) 34

65

9

16

yz

xm

Descompongamos los nmeros en todos sus factores y nos queda

342

654

3

2

yz

xm


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41

Sacamos todos los factores que sean la misma cantidad del ndice del radical, es decir,cada tres factores sale uno. Arriba o sea en el numerador no importa si salen o no salen;si salen los sacamos pero si no salen, no tenemos que completar para que sea igual alndice porque nos piden que racionalicemos el denominador.

Arriba sale el dos pero sobra uno ya que hay cuatro puesto que el exponente nos indicaque se est multiplicando 4 veces, tambin sale la m pero sobran dos porque hay cinco.Los factores que sobran se quedan dentro del radical pero multiplicados.

Abajo o sea el denominador tenemos que ver si son iguales al ndice. Si son igualessalen pero si no son iguales debemos completar o multiplicar por los mismos factorespara hacerlos igual a su ndice de radical. Si su exponente es mayor que el ndice pero noes mltiplo, debemos ver cunto le falta para llegar al prximo mltiplo del ndice, eneste caso. 3 hay 2, falta 1; y hay una, faltan 2; z hay 4, significa que ya se pasaron yel prximo mltiplo de 3 es 6, por lo tanto faltan 2, debemos multiplicar por los quefaltan.

3 222

2

2

3633

22654

322

22

42

654

63

2

3

3*2

3

3

3

2zym

yz

mx

zy

zyxm

zy

zy

yz

xm

Ejercicios:Simplifique los siguientes radicales

82 Descomponemos los radicandos en sus factores primos y luego aplicamos las leyes delos radicales. Utilizaremos una forma diferente, Al encontrar los factores primos, estos

salen de la raz cuando se multiplican la misma cantidad de veces que lo que indica elndice del radicalEn este caso, como es raz cuadrada, salen del radical los nmeros cuando se multiplicandos veces.El 2 no sale porque sus factores primos son 2 y 1.El 18 si porque al descomponerlo queda de la siguiente forma:

18 29 33 31

Entonces, por estarse multiplicando el 3 dos veces, sale de la raz pero como el 2 no sale,nos queda

24232182 A continuacin encontrar algunos ejercicios resueltos.

3736332108312


42/206

42

3

20

3

)3(4)3(10234310

3

2122310

3

2

Racionalizando3

320

3

3

3

20

32226

3122126

12618466*

62634

3*22634

36

24

Actividad 7

Simplificar los siguientes radicales y racionalizar denominadores cuando sea el caso

1) 348 2) 4925 3) 1664 4) 12*6 5) 2712

6) 542245

7) 33 8124

8) 4535

10

9)18

1

10) bbbb 322712 33

11) 4 154 11 xxx

12)327

1

13)28

16 ba

14)3 4

1

15)4 8581 sr

16)52

311

9

3

x

yx

17) 25

18) 9 19)3 8

20) 2)36(

21) 2)1(

22) 225 23) 264 24) 48

25) 54 26) 50 27) 20

28)3

3

2

16

29)4

4

3

48

30)3 18

31)

49

32)

2

1

33)5

1

34)7

1

35)3

1

36)3 4

1

37)3 9

1

38)3

25

1

39)3 49

1

40)3 4354 yx

41) 62yx

42)3 23627 zyx

43) 449 yx

44)4 2416 yx

45)3 348 yx

46)5 75ba

47)y

x

4

3


43/206

43

48)y

x

2

9

49)323

5

4 zy

x

50)452

3

83zy

x

51)23

1

xy

52)35

33

xy

x

53)462

510

43

yx

yx

54)52

4

8

3

y

x

55)647

27

64

yx

56)342

4

4 zy

x

Notacin CientficaLa notacin cientfica es una herramienta que ocupamos para poder escribir nmerosdemasiado pequeos o demasiado grandes con el fin de reducir espacio en su escritura.

Antes de escribir cantidades grandes, dar una breve explicacin del porqu no heaceptado el cambio de sustituir el punto decimal por la coma.En la actualidad, algunos programas sustituyeron el punto decimal por la coma,inclusive en los noticieros se escucha decir por ejemplo cero coma veinticinco porciento. Tambin se lee en los medios de comunicacin cantidades escritas de la

siguiente forma 14,5 millonesy an lo leen catorce coma cinco millones. Sera msfcil decir catorce millones y medio. Utilizan nmeros y letras para expresar unacantidad. Dar la explicacin de la importancia del punto y la coma para poder leermejor una cantidad.

El punto separa las cifras decimales de las enteras, por ejemplo para escribir cantidadesde dinero es Q.50.00 que se lee cincuenta quetzales exactos, es decir, sin ningn centavo,no hay decimales, pero por conveniencia se utilizan los ceros a la derecha del punto paraindicar que no existen. Para escribir cantidades muy grandes, es preferible separar losmiles con una coma, los millones con un subndice 1, los billones con un subndice 2, lostrillones con un subndice, etc. Por ejemplo, la cantidad que escrib arriba 14,5 millones,

la podemos escribir correctamente sin utilizar letras 14 como son millones, de una vezescribimos el subndice 1. 141, an sin escribir ms, el alumno sabr que son catorcemillones y como los millones llevan seis cifras hacia la derecha, solo bastara con llenarcon los seis ceros si es que no hubiese ms cifras, pero como existe el 5, lo escribimos141500,000. Por ejemplo, 5,0003000,0002000,0001000,000, es un nmero bastantegrande, pero al leerlo de la forma que acabo de explicar, ya sabemos que las comasseparan los millares, por lo que indica que son cinco mil, luego observamos que existeun subndice 3, por lo que son trillones.


44/206

44

Ahora aprenderemos a escribir el mismo nmero pero en notacin cientfica, que quedade la siguiente forma: 5*1021, cuya notacin es claramente ms eficiente, ocupa menosespacio y es ms fcil de leer.

Potencias de 10Son aquellas potencias que tienen base igual a 10, y exponente entero. Son potencias dela forma:

10n, n Z

Estas potencias cuando el exponente es positivo, nos indica la cantidad de ceros quevamos a poner a la derecha del nmero 1. De la misma forma para los enteros negativosnos indicar la cantidad de ceros que vamos a poner a la izquierda del nmero 1. Es

decir:100= 1 10-1= 0. 1101= 10 10-2= 0. 01102= 100 10-3= 0. 001103= 1000 10-4= 0. 0001104= 10000 10-5= 0. 00001

De esta forma podemos expresar las unidades, decenas, centenas, millares, decenas demillar, etc. Reemplazando por estas potencias de 10 se tiene por ejemplo:5,000 = 5 unidades de millar = 5 * 1000 = 5*103,3 ceros a la derecha, positivo

20,000 = 2 decenas de millar = 2*10000 = 2*1044 ceros a la derecha, positivo

3001000,000 = 3 centenas de milln = 3 *100000000 = 3*108

As podemos ver que este tipo de escritura nos puede ser de mucha utilidad cuandodeseemos expresar nmeros excesivamente grandes. Pero tambin utilizando exponentesnegativos podemos obtener el mismo resultado, esta vez con nmeros pequeos. Porejemplo:0.0000000005 = 5 * 0.0000000001 = 5*10-10

Descomposicin de nmeros con potencias de 10Tambin podemos ocupar a las potencias de diez para descomponer nmeros, ya quecomo cuando lo hacemos en enseanza bsica, los nmeros los podemos separar en una

suma de unidades, decenas, centenas, etc. y las potencias de base diez son precisamenteeso. Por ejemplo:4580403 = 4000000 + 500000 + 80000 + 400 + 3= 4 * 1000000 + 5 * 100000 + 8 * 10000 + 4 * 100 + 3 * 1= 4 * 106+ 5 * 105+ 8 * 104+ 4 * 102+ 3 * 100

256.4 = 200 + 50 + 6 + 0.4


45/206

45

= 2 100 + 5 * 10 + 6 * 1 + 4 0.1= 2 * 102+ 5 * 101+ 6 * 100+ 4 * 10-1

Ahora; llamamos especficamente notacin cientfica cuando escribimos cualquiernmero representado por un nmero, con un solo dgito antes del punto, multiplicado

por una potencia de diez. Este dgito es el primero del valor original, por ejemplo:Escribamos el nmero 651300,000 con notacin cientfica, entonces tenemos queescribir un nmero de un solo dgito antes del punto, que multiplicado por algunapotencia de diez resulte 651300,000. Dicha potencia de diez resulta tener el exponenteigual a la cantidad de espacios que vamos a correr el punto.Entonces:651300,000 = 6.53 * 107

Otros ejemplos:4,5681000,000= 4.568 * 10912.05= 1.205 * 1010.00000025= 710*5.2

0.0000000000006= 1310*6

Actividad 8I. Escribe los siguientes valores con notacin cientfica:1) 0.00001 = 6) 0.00000639 =2) 0.0000000000235 = 7) 0.000000001001 =3) 125,230= 8) 1231200,000=4) 11235,300= 9) 9983000,0002000,0001000,000=5) 85,3251000,000= 10) 0.0000000000000000009 =

II. Escribe los siguientes nmeros como decimales sin notacin cientfica:1) 1. 2 * 102= 5) 6. 022 * 107=2) 3. 456 * 106= 6) 1. 62 * 10-3=3)1. 56 * 10-3= 7) 2. 99 * 108=4) 9. 99 * 109 8) 5. 99 *10-1=

Evaluacin I

Resuelve lo que se te indica y subraya la respuesta correcta1. 2)1(4*23


46/206

46

a) 21b) 19c) 12d) 10e) No hay respuesta

2. Un nmero entero p se compone de dos dgitos que son de izquierda a derecha a y brespectivamente, entonces el inverso aditivo de p es:

a) 10a + bb) -10a + bc) 10b + ad) -10a - be) -10ba

3. Si a es un nmero natural y b un nmero cardinal, entonces puede darse que:a) a + b = 0b) a b = 0c) b a = 0d) a + b2 = be) ba+ 1 = 0

4. Si m y n son nmeros naturales impares, entonces es siempre un nmero par:I. m + nII. m - nIII. m * nIV. m + 1

a) Solo Ib) Solo II y IVc) Solo I y IVd) Solo III y IVe) I, II y IV

5. Si se divide el mnimo comn mltiplo por el mximo comn divisor entre losnmeros 30,54, 18 y 12; se obtiene:

a) 5b) 15c) 30d) 45e) 90

6. Si a, b y c son respectivamente los tres primeros nmeros primos, entonces a + b + c =a) 6b) 10c) 15d) 17e) 30


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47

7. Cuntos elementos en comn tiene el conjunto de los divisores de 18 y 16?a) Ninguno

b) 1c) 2

d) 3e) 48. Si se duplica la expresin 24se obtiene:

a) 25b) 28c) 42d) 45e) 46

9. Si n es un nmero tal que n Z, entonces cul(es) de las siguientes expresionesrepresenta(n) tres nmeros pares consecutivos?I. 2n, 2n + 1, 2n + 2II. 4n, 4n + 2, 4n + 4III. 2n - 4, 2n - 2, 2n

a) Solo IIIb) I y IIc) I y IIId) II y IIIe) Todas

10. Sea el conjunto A = 11,9,8,5,2,1 , entonces la cantidad de elementos que existen

entre la interseccin de A con el conjunto de los nmeros primos es:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

11. Se define (a; b) * (c; d) = (ad + bc; ab - cd), entonces (2; 1) * (3; 2) =a) (3,1)b) (7,5)c) (8,4)d) (8,4)e) (7,4)

12. El sxtuplo del nmero par consecutivo de 8 es:a) 16b) 36


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48

c) 48d) 60e) 80

13. Si a Z y b N, entonces el conjunto ms pequeo al que pertenece siempre

b

a es:

a) Rb) Ic) Zd) Qe) N

14. 03 14*28 =a) 4b) 3c) 2

d) 1e) 0

15. 5,432 es equivalente con:a) 5 * 100+ 4 * 101+ 3 * 102+ 2b) 5 * 104+ 4 * 103+ 3 * 102+ 2 * 101c) 5 * 103+ 4 * 102+ 3 * 101+ 2 * 10d) 5 * 102+ 4 * 101+ 3 * 102+ 2e) 5 * 103+ 4 * 102+ 3 * 101+ 2 * 100

16. Cul de las siguientes expresiones NO es racional?

a) 03

b)6

2

c) 0.3

d)3

5

e))5(1

1

17. Al amplificar por 2 el racional4

3 resulta:

a)8

6

b)8

3

c)4

6

d) 3.2


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49

e)2

3

18. Qu nmero dividido porp

5da como resultado

5

p ?

a) 5

2

p

b)5

p

c)p

5

d)2

5

p

e) 1

19. Al ordenar los nmeros 8, 1/6, 4, 3/4, 5, 1/2, 7, 1/9 en forma decreciente, el quintotrmino es:

a) 1/9b) 5c) 1/2d) 4e)

20. Si a =2

1 y b =3

1 , entoncesba

1 =

a) 1/2b) 6/5c) 1/6d) 6e) 5

21. 11+ 22+ 33=a) 25

b) 26c) 35d) 39e) 66

22. Si a la mitad de la unidad se le resta la unidad se obtiene:a) 0

b)2

3


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50

c)2

1

d)2

3

e)2

1

23. Cuntas veces est contenida la quinta parte de26

13 en un entero?

a) 0.1b) 0.5c) 2.5d) 5e) 10

24. Si m =3

1*4 , p =

6

1*8 y q =

8

1*6 , entonces cul de las siguientes relaciones es

verdadera?

a) m > pb) q > mc) p > md) q > pe) m > q

Captulo 2

Proporcionalidad

En el mundo que nos rodea existe una disposicin armoniosa en su estructura, cosas quea simple vista y con un consenso comn nos parecen bellas, esto es debido a que lanaturaleza en general es ordenada, en ciertos aspectos a causa de proporciones que larigen. Por ejemplo el muy conocido esquema del cuerpo humano de Leonardo Da Vinciest basado en una proporcin.En el presente captulo aprenders los conceptos bsicos de las razones y las

proporciones, de forma que tambin puedas aprender, de paso, a deleitarte con la bellezagracias a la armona implcita en la naturaleza.

RazonesLa razn es un objeto matemtico que utilizamos para comparar dos cantidadescualesquiera para poder establecer una caracterstica que las relacione, en particularambas cantidades las podemos comparar principalmente de dos formas; a travs de su


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diferencia, a la cual se le llama: razn aritmtica; y a travs de su cociente, a la cual se lellama: razn geomtrica

Texto Propedéutico de Matemática Para Cuarto y Sexto

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