La circunferencia

Arturo Mndez HinojosaTranscrito de su libro Matemticas III (Enfoque por competencias), editorial Santillana, Mxico 2010, pp. 103111.

La circunferencia es una figura geomtrica presente en muchos objetos de nuestra vida cotidiana, como en un carrusel, en las llantas de diferentes vehculos y en el diseo de una refinada mquina, entre otros. Los matemticos han estudiado esta figura con inters desde la antigedad, por ejemplo, descubrieron el nmero de veces que la longitud del dimetro cabe en la de la circunferencia actualmente a este nmero se le conoce como -, y trataron de saber cuntos lados tiene. Geomtricamente, la circunferencia est definida como una lnea curva cuyos puntos se encuentran a la misma distancia de otro punto llamado centro. El crculo es el rea que esta lnea encierra. Elementos asociados con la circunferencia Los elementos de la circunferencia son los siguientes: Radio. Es la distancia que existe entre el centro y la circunferencia; siempre es un valor constante para cada uno de los puntos que la forman. Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Dimetro. Cuerda de mayor longitud que pasa por el centro y que la divide simtricamente. Tiene un valor de dos radios. Secante. Recta que corta en dos puntos la circunferencia. Tangente. Recta que toca en un solo punto, llamado punto de tangencia, a la circunferencia. El radio siempre es perpendicular a cualquier recta tangente.

palabras en el

tiempoPi ( ). En 1706, William Jones propuso representar a la relacin de la circunferencia y su dimetro con la letra griega , porque es equivalente a la letra p en nuestro alfabeto, con la que inicia las palabras perpheria (circunferencia) y permetro.

datosa la manoPara encontrar el valor de una circunferencia se utiliza la frmula C=2 r y para encontrar el valor de su rea se utiliza la frmula A= r2

Cuerda

Tangente

Dimetro

Radio

Secante

datosa la manoLa relacin que existe entre el radio de una circunferencia y su longitud es igual a 2

La circunferencia como lugar geomtricoYa hemos sealado que uno de los principales retos de la geometra analtica es representar una figura geomtrica en un plano cartesiano, mediante una ecuacin que defina su lugar geomtrico. En el caso de la circunferencia, las caractersticas de su ecuacin dependen de dnde se localice su centro en el punto cartesiano. Observa la figura:y

datosa la manoEl teorema de Pitgoras se define como el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. c2=a2+b2

r y x x

a b

c

Para obtener el valor del radio r se utiliza el teorema de Pitgoras empleando las coordenadas del punto P(x, y). r2 = x2 + y2 Esta ecuacin se conoce como ecuacin ordinaria de la circunferencia y es aplicable para cada uno de los puntos de la circunferencia cuando su centro est en el origen; al reacomodar los trminos, la ecuacin resulta: x2 + y2 = r2

Ejemplos: Encuentra la ecuacin de la circunferencia con centro en el origen C(0, 0): a) Si el radio es igual a 5. Se sustituye el valor de r en la ecuacin de la circunferencia: x2 + y2 = (5)2 x2 + y2 = 25 b) Si el radio es igual a Se sustituye el valor de r en la ecuacin de la circunferencia: x2 + y2 = Al eliminar el cuadrado con la raz queda: x2 + y2 = 2 c) Si el dimetro es igual a 8. Como el dimetro es dos veces el valor del radio, entonces r es igual a 4. Por tanto, la ecuacin queda: x2 + y2 = (4)2 x2 + y2 = 16

datosa la manoRecuerda que el cuadrado y la raz son operaciones inversas, por lo tanto, el cuadrado de la raz de un nmero o la raz de un nmero al cuadrado resulta el nmero. Por ejemplo: = 9

D safoQu representacin tiene la circunferencia con centro en el origen y de radio igual a cero?

datosa la manoLos coeficientes de las variables en la ecuacin de la circunferencia son iguales.

Obtencin del centro y el radio a partir de la ecuacin de una circunferencia en el origenCuando se conoce la ecuacin de una circunferencia podemos saber que est en e origen debido a que no contiene elementos lineales de x o de y, 2 En los siguientes ejemplos llevaremos a cabo el proceso inverso a los de la seccin anterior; es decir, de la ecuacin de la circunferencia se obtendrn sus elementos: radio y centro.

datosa la manoEl valor del radio nunca puede ser negativo, debido a que es una distancia y ningn valor de x o y puede ser mayor que el radio.

e

datosa la manoRecuerda que:

Ejemplos: Encontrar el valor del radio y la grfica de las siguientes ecuaciones: a) x2 + y2 = 9 Al comparar esta ecuacin con la de la circunferencia, x2 + y2 = r2, se obtiene que r = 9. Por consiguiente, r = = 3. Debido a la forma de la ecuacin, las coordenadas del centro son C(0, 0). Su grfica sta:y

Por ejemplo:

(0, 3)

D safo

e

(-3, 0)

(3, 0)

x

Indica si el punto (2, 3) pertenece a la circunferencia cuya ecuacin es x2 + y2 = 13

datosa la manoRecuerda que las coordenadas de un punto estn dadas por el par ordenado P(x, y) y que para que pertenezca al lugar geomtrico al sustituirlo debe mantenerse la igualdad.

(0, -3)

b) 4x2 + 4y2 = 9 Para encontrar el valor del radio, dividimos la ecuacin entre 4, de tal manera que las variables tengan coeficiente uno.

Con esto sabemos que r = , esto es, r = son C(0, 0).y

, y las coordenadas del centro

(0, 3/2)

(-3/2, 0)

(3/2, 0)

(0, -3/2)