Texto Completo 2011

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Los vectores, que eran utilizados en mecánica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla sus "equipolencias", un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy.

El paso siguiente lo da Hamilton. Con Hamilton inicia el estudio de los vectores. Se le debe a él el nombre de 'vector' producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denominado "cuaterniones'', muy usados hoy en día para el trabajo con rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas las áreas de la física son representadas por medio del lenguaje de los vectores.

En este tema, estudiaremos los vectores en nR , las operaciones y sus propiedades. Además de algunos ejemplos, se desarrollan actividades interactivas en 3D para facilitar la apropiación de los conceptos estudiados.

5.1.1 VECTORES

A partir de la representación de R , como una recta numérica, los elementos ( ) 2, Rba ∈ se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la intersección representa a )0,0( y cada ),( ba se asocia con un punto de coordenada

en la recta horizontal (eje X) y la coordenada en la recta vertical (eje Y).

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Figura 1. Punto (a,b)

Análogamente, los elementos ( ) 3,, Rcba ∈ se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes , y ).

Figura 2. Punto (a,b,c)

Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en 2R y en 3R . La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.

Figura 3. Vector (a,b) Figura 4. Vector (a,b,c)

5.1.2 Notación

Los vectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales como . Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A, B, C . En el

contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como k,,βα .

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Si el punto inicial de un vector es A y el punto final es B, entonces

El vector nulo se denota con:

)0,......,0,0,0(0 = Para las secciones que siguen y con el afán de generalizar, estudiaremos las propiedades de los vectores en el nR . Un vector en el nR es un ene-tuple

),......,,,( 321 nxxxx con cada Rxi ∈ . A ix se le llama componente i-enésima del

vector.

5.1.2.1 Operaciones Básicas

5.1.2.1.1 Igualdad

Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes.

Demostración

Consideremos los vectores:

Al comparar los elementos tanto del vector ν con los del vector ω , seran iguales si y solo si sus elementos son iguales en el mismo valor y orden.

11 ων = , 22 ων = , 33 ων = , ………, nn ων =

EJEMPLO 1

Dados los vectores:

Verifique si estos son iguales.

SOLUCION:

Como se puede ver al comparar los elementos de los dos vectores tanto el primer como el segundo elemento no son iguales, mientras el tercero si. Entonces se puede concluir que los dos vectores no son iguales, esto también se puede ver en la figura 5.

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Figura 5. Vectores distintos

5.1.2.1.2 Suma y resta

La suma y resta se hace componente a componente.

Demostración:

Consideremos los vectores:

Al realizar las operaciones:

Se ha ido haciendo la operación indicada elemento por elemento de forma ordenada respetando el signo que tiene cada uno de ellos. EJEMPLO 2

Dado los vectores:

Realizar la suma y resta de los vectores de forma analítica y grafica.

SOLUCION:

Tanto para la suma como la resta, según la definición de la suma y resta de vectores de obtendrá las siguientes respuestas:

5

Figura 6. Suma de vectores

Figura 6. Resta de vectores

5.1.2.1.3 Multiplicación por un escalar

Un escalamiento de un vector, por un factor , se logra multiplicando cada componente por el mismo número real .

Demostración:

Consideremos el vector:

Y el escalar:

Al multiplicar el escalar por el vector, dará como resultado:

6

EJEMPLO 3

Dado el vector:

Obtenga el resultado de:

a) υ⋅2

b) υ⋅2

1.

SOLUCION:

Figura 7. Multiplicación por un escalar

Todas estas operaciones se las puede aplicar cuando el vector es una fuerza, la misma que se puede representar en las coordenadas rectangulares en los tres ejes que se considera en el espacio.

),,( ZYX FFFF = Para tener una idea mas clara de cómo se utiliza estas propiedades a continuación se desarrollara un problema indicando en cada paso la operación que se ha de realizar. EJEMPLO 4 Una placa circular como indica la figura, esta apoyada parcialmente por dos cables AB y AC, con una fuerza de 300N y 500N respectivamente; determine la fuerza resultante en coordenadas de vector base.

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SOLUCION: A partir de la figura se obtendrá las coordenadas de los puntos A, B y C.

mA )5,0,0(= mB )0,3,2(−= mC )0,5.1,5(= Calcular las distancias desde los puntos B y C hasta el punto A, seguido de esto para cada distancia calculada se determinara el respectivo vector unitario; para esto realizamos la resta de Vectores.

( )mkjiAB )50()03()02( −+−+−−=−

( )mkjiAB )5()3()2( −+−=−

Vector Unitario B-A

kjiu AB 16.6

5

16.6

3

16.6

2 −+−=−

)811.0486.0324.0( kjiu AB −+−=−

Empleando la operación de la multiplicación de un escalar por un vector se determina la fuerza que actúa en esa dirección.

ABBAB uFF −− ⋅=

8

)81.048.032.0(300 kjiNF AB −+−⋅=−

NkjiF AB )24314496( −+−=− Igual cálculo se realiza con los puntos C-A.

( )mkjiAC )50()05.1()05( −+−+−=−

( )mkjiAC )5()5.1()5( −+=−

Vector Unitario C-A

kjiu AC 22.7

5

22.7

5.1

22.7

5 −+=−

)692.0207.0692.0( kjiu AC −+=−

ACCAC uFF −− ⋅=

)692.0207.0692.0(500 kjiNF AC −+⋅=−

NkjiF AC )26.3465.103346( −+=−

Finalmente para obtener la respuesta solicitada se procede a utilizar nuevamente la operación de suma de vectores pero esta vez buscando encontrar la Fuerza resultante en sus respectivas coordenadas las mismas que nos indican su dirección.

ACABR FFF −− +=

( )NkjiFR )26.3468.226()5.103144()34696( −++++−=

( )NkjiFR )46.119()5.247()250( −++=

EJEMPLO 5 Tres cables mantienen un poste en la posición que indica la figura, si la tensión en cada uno de esos es de NFB 260= , NFC 600= y NFD 560= . Determine las

coordenadas de posición (x, y, z) del punto C para que la resultante de las tres fuerzas se halle hacia abajo en dirección del poste en equilibrio.

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Como ya se analizo en el problema anterior la resultante de todas las fuerzas es el resultado de la suma de las fuerzas que están en el sistema, lo que se representa en la siguiente expresión:

ADACABR FFFF −−− ++=

Pero la condición que esta planteada en el problema para la fuerza resultante cambia esta expresión a:

ADADACACABABR uFuFuFkF −−−−−− ⋅+⋅+⋅=⋅−

La solución del problema entonces esta en determinar el resultado de uF ⋅ de cada elemento que sujeta al poste, para finalmente sumar cada elemento tal como la propiedad de suma y resta de vectores. Coordenadas de punto B-A:

mA )24,0,0(= mB )0,10,0( −=

( )mkjiAB )240()010()00( −+−−+−=−

( )mkjiAB )24()10()0( −−=−

kju AB 26

24

26

10 −−=−

)932.0386.0( kju AC −−=−

ABBAB uFF −− ⋅=

10

)932.0386.0(260 kjNF AB −−⋅=−

NkjF AB )240100( −−=− Coordenadas de punto C-A:

mA )24,0,0(= myxC )0,,(=

( )mkjyixAC )240()0()0( −+−+−=−

( )mkjyixAC )24()()( −+=−

kyx

jyx

yi

yx

xu AC 222222222 )24(

24

)24()24( −++−

−+++

−++=−

ACCAC uFF −− ⋅=

++−

+++

++⋅=− k

yxj

yx

yi

yx

xNF AC 222222222 24

24

2424600

Coordenadas de punto D-A:

mA )24,0,0(= mD )0,8,12(−=

( )mkjiAD )240()08()012( −+−+−−=−

( )mkjiAD )24()8()12( −+−=−

kjiu AD 28

24

28

8

28

12 −+−=−

)857.0285.0428.0( kjiu AD −+−=−

ADDAD uFF −− ⋅=

)857.0285.0428.0(560 kjiNF AD −+−⋅=−

NkjiF AD )480160240( −+−=− Remplazando en la ecuación vectorial de la resultante de fuerzas estos resultados, la expresión quedara de la siguiente forma:

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)480160240(24

24

2424600)240100(

222222222kjik

yxj

yx

yi

yx

xkjkFR −+−+

++−

+++

++⋅+−−=⋅−

Para satisfacer esta ecuación, las magnitudes de las componentes del vector según i, j y k, los miembros de la ecuación del lado izquierdo deben ser iguales a los miembros del lado derecho según la correspondiente magnitud vectorial.

Para la coordenada vectorial i :

24024

6000

222−

++

⋅=yx

x

Para la coordenada vectorial j :

16024

6001000

222+

++

⋅+−=yx

y

Para la coordenada vectorial k :

48024

14400240

222−

+++−=−

yxFR

De la expresión para el eje j se obtendrá las coordenadas solicitadas en el

problema, mientras que de la expresión k se obtendrá la resultante de las fuerzas del sistema.

57625.5 22 −⋅= xy 57699 22 −⋅= yx

my 63.2−= 54.10=x Las coordenadas del punto C:(10.54, -2.63, 0) m La fuerza resultante del sistema tiene el valor de:

4802463.254.10

14400240

222−

+++−=− RF

NFR 1267=

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5.1.3 PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1: Partiendo de las graficas dadas, halle las coordenadas da cada punto.

Problema 2: De las siguientes graficas, halle:

• las coordenadas de cada punto. • las distancias desde los puntos que distan del punto ubicado en el eje Z.

(D y E respectivamente). • Los vectores unitarios para cada distancia.

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Problema 3: Los cables de la antena CA y CB ejercen fuerzas de 500N y 700N respectivamente sobre el punto C, determine la fuerza resultante de estas dos tenciones y su dirección.

Problema 4: Un cuerpo se encuentra suspendido como indica la figura por la acción de dos cuerdas que soportan hasta un máximo de kgfFA 40= y kgfFB 56= , determine la fuerza resultante de las dos cuerdas y su dirección.

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Problema 5: Tres cables mantienen un poste en la posición que indica la figura, si la tensión en cada uno de esos es de kgfFB 25= , kgfFC 19= y kgfFD 32= .

Determine las coordenadas de posición (x, y, z) del punto C para que la resultante de las tres fuerzas se halle hacia abajo en dirección del poste en equilibrio.

PROBLEMA 6 .- Un cuerpo se encuentra suspendido como indica la figura por la acción de dos cuerdas que soportan hasta un máximo de kgfFA 40= , kgfFC 60= y

kgfFD 75= , determine la fuerza resultante de las tres cuerdas y su dirección.

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PROBLEMA 7 .- Una placa circular como indica la figura, esta apoyada parcialmente por tres cables AD, BD y CD, con una fuerza de 350N, 500N y 450N respectivamente; determine la fuerza resultante en coordenadas de vector base.

PROBLEMA 8 .- Una placa circular como indica la figura, esta apoyada parcialmente por tres cables AD, AB y AC, con una fuerza de 350N, 500N y 450N respectivamente; determine la fuerza resultante en coordenadas de vector base.

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PROBLEMA 9 .- Un cuerpo se encuentra suspendido como indica la figura por la acción de dos cuerdas que soportan hasta un máximo de kgfFA 40= , kgfFB 50= y

kgfFD 70= , determine la fuerza resultante de las tres cuerdas y su dirección.

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Competencias

• Dominar y aplicar los principios que rigen al Trabajo, Potencia, Energía y Rendimiento; definición, tipos y propiedades.

• Usar objetos, diagramas y gráficos para representar y solucionar el fenómeno físico.

• Seleccionar y aplicar los procesos matemáticos apropiados para la solución de problemas.

Estándares

• Demostrará la aplicación en los ejercicios propuestos de los principios, definiciones, propiedades y unidades.

• Diferenciará los deferentes tipos de Trabajo, Potencia y Energías, así como el principio de la conservación y transformación.

• Aplicará las distintas formas de procedimiento en la ejecución de ejercicios propuestos.

• Interpretará la simbología utilizada, para las ecuaciones y sus variables.

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Trabajo en la Física tiene un significado diferente al que comúnmente escuchamos en nuestra vida cotidiana. Ya que cuando realizamos cierta actividad donde se requiere la capacidad intelectual o física, expresamos que estamos debilitados porque se ha realizado un trabajo. Lo contrario ocurre en la Física, donde se dice que se realiza un trabajo cuando se transfiere energía a otro cuerpo y como consecuencia de esto el mismo se desplaza: lo que quiere decir que existe trabajo en la Física cuando un cuerpo bajo la acción de una Fuerza se ha desplazado cierta distancia. Cosa igual sucede con otro término que relacionamos con el anterior que es la Energía; ordinariamente indicamos que energía se relaciona con nuestra fuerza, vigor, vitalidad y firmeza en cierta actividad. Sin embargo, desde el punto de vista científico, la energía tiene otra definición. La cual iremos viendo a medida que vayamos desarrollando este capitulo siempre enfocado desde la Física. La energía esta presente en el Universo en una diversidad de formas, es uno de los conceptos físicos más importantes para el estudio d e la naturaleza, la palabra energía proviene del griego: en-dentro y ergio-trab ajo ; entre las energías más comunes se cuenta con: energía mecánica, energía química, energía electromagnética, energía nuclear, energía solar, energía aehólica. Esta diversidad de energías se hace notar que la misma se puede transformar de una forma a otra, lo cual es muy importante en la física. Para ello nos ocuparemos únicamente de estudiar la energía mecánica y su transformación en: energía cinética que esta asociada con el movimiento; energía potencial asociada con la posición; energía elástica asociada con la capacidad elástica de los cuerpos. Haremos notar que para la solución de problemas relacionados con este tema emplearemos ideas, conceptos de trabajo y energía. Uno de los pioneros en el campo y estudio del trabajo y la energía, es el Físico Ingles James Prescott Joule (1818-1889), razón por la unidad del trabajo lleva su nombre. James Prescott Joule fue un Físico Ingles, nació en Salford el 24 de diciembre de 1818, descendiente de una adinerada familia fabricante de cerveza. Si bien recibió cierta educación formal en las áreas de matemáticas, física y química; en gran parte de su vida fue autodidacta. El periodo de investigación mas activo de Joule, fue entre los años 1837 y 1847, lo llevo a establecer el principio de la conservación de la energía, el equivalente mecánico del calor y otras formas de energía. Su estudio de la relación cuantitativa entre los efectos eléctricos, mecánicos y químicos del calor culminaron cuando anuncio en 1843 de la cantidad de trabajo requerida para producir una unidad de calor.

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6.1 TRABAJO 6.1.1 Definición El trabajo (W) es el producto escalar de su fuerza motora (F) por su desplazamiento ( ∆r), siempre y cuando la fuerza y el desplazamiento tengan la misma dirección. Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento. El trabajo se representa con la siguiente formula:

rFW ∆⋅= (6.1) Donde: W = Trabajo F = Fuerza ∆r = Desplazamiento 6.1.2 REPRESENTACIÓN GRAFICA DEL TRABAJO. El trabajo se puede representar en graficas muy similares a las estudiadas en la Cinemática (MRU-MRUV). Para ello tomamos sobre el eje horizontal (abscisas) los desplazamientos y sobre el eje vertical (ordenadas) las fuerzas. El trabajo realizado se representa por la superficie del área bajo el diagrama (figura 6.1).

Figura 6.1

6.1.3 CLASES DE TRABAJO. 6.1.3.1 Trabajo Dinámico: Este trabajo también es llamado trabajo Activo; es realizado por las fuerzas de empuje del cuerpo es decir las que ocasionan el movimiento, se considerara fuerzas activas o dinámicas las que forman ángulos menores a 090 con respecto al desplazamiento (figura 6.2).

Figura 6.2

rFW ∆⋅=∑

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6.1.3.2 Trabajo Negativo: Es el trabajo que realizan las fuerzas que se oponen al movimiento es decir la fuerza de rozamiento y las fuerzas que con respecto a la horizontal sean mayores a 090 (figura 6.3).

Figura 6.3

6.1.3.3 Trabajo nulo: Son los que no cumplen con el concepto general del Trabajo, es decir cuando uno de sus factores son cero. 6.1.3.4 Trabajo neto: Es el resultado de la sumatoria algebraica de todos los trabajos que actúan simultáneamente sobre un mismo cuerpo (figura 6.4).

WT= W1+W2+W3+………

Figura 6.4

6.1.4 TRABAJO ROTACIONAL. El trabajo de rotación es igual al producto de la f uerza tangencial ( )F constante por el camino recorrido )(d por su punto de aplicación.

El punto de aplicación describe una curva cualquiera y la fuerza constante se conserva siempre tangencial a la misma curva (figura 6.5)

Figura 6.5

De la ecuación 6.1:

dFW ⋅=

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Donde: W = Trabajo F = Fuerza tangencial d = Camino recorrido CALCULO DE d Para una vuelta

rd ⋅⋅= π2 Para min.vueltasn

nrd ⋅⋅⋅= π2 Para una hora

602 ⋅⋅⋅⋅= nrd π Reemplazando en dFW ⋅= tenemos:

( ) ( ) ( )nrFW ⋅⋅⋅⋅= π2 6.2

6.1.5 UNIDADES DEL TRABAJO Como se ha mencionado en la definición del trabajo, al ser una magnitud escalar las unidades de el dependerán de la Fuerza por el desplazamiento. Como se indica en el siguiente cuadro:

Magnitud Símbolo Dimensiones SI CGS S Técnico Fuerza F MLT-2 N Dina Kgf

desplazamiento ∆r L m cm M Trabajo W ML2T-2 N.m Dina.cm kg.m

Julio (J) Ergio Kilográmetro Equivalencias:

1 J = 1N.m 1kg.m = 9.8N.m 1 J = 10E

7 Ergios

6.1.6 EJEMPLOS Problema 6.1.6.1- Un hombre sube con velocidad constante un cuerpo de masa 42kg hasta una altura de 5.8m. Determinar:

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a- el trabajo realizado por la polea b- el trabajo realizado si sube sobre un plano inclinado de 10m. SOLUCION Parte a

∑ = 0Fy

0=−WF rFW ∆⋅= gmF .= mNW 8.56.411 ⋅=

2/8.942 smkgF ⋅= JW 30.2387=

NF 6.411= Parte b D.C.L.

10

8.5=αsen

045.35=α ∑ = 0Fx

0=−WxF rFW ∆⋅= αsengmF ..= mNW 1073.238 ⋅=

02 45.35./8.942 sensmkgF ⋅= JW 30.2387= NF 73.238=

23

Problema 6.1.6.2.- Partiendo de una posición de reposo, un bloque de 5kg se desliza hacia abajo 2.5m durante 3s, por un plano inclinado áspero de 300 con respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente es

432.0=cµ . Determine:

a- el trabajo realizado por la fuerza de fricción.

∑ ⋅−= amFx ∑ = 0Fy

amWxFr ⋅−=− 0=−WyN 2

2

1tatox ⋅⋅+⋅=ν

amsengmFr ⋅−⋅⋅= 30 30cos⋅⋅= gmN at

x =⋅2

2

556.053081.95 ⋅−⋅⋅= senFr 30cos/8.95 2 ⋅⋅= smkgN a=⋅23

5.22

NFr 745.21= NN 479.42= asm =2/556.0 rFrW ∆⋅= mNW 5.2745.21 ⋅= JW 363.54= Problema 6.1.6.3 Un bloque de 75kg es arrastrado con velocidad constante por una fuerza F sobre un plano horizontal una distancia de 20m. Si el coeficiente de rozamiento es de 0.2, determine el trabajo realizado por la fuerza F y por la fuerza de rozamiento.

∑ = 0Fx ∑ = 0Fy

0=− FrFx 0=+− FyWN

FrF =⋅ 25cos 25senFgmN ⋅−⋅= µ⋅=⋅ NF 25cos

µµ ⋅⋅−⋅⋅=⋅ 2525cos senFgmF

24

µ

µ⋅+

⋅⋅=2525cos sen

gmF

NF 474.162= rFW ∆⋅= rFrW ∆⋅= mNW 20474.162 ⋅= mNW 202.008.667 ⋅⋅= JW 48.3249= JW 32.2668= 6.1.7 PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1 Una fuerza F paralela a un plano inclinado en 37º, se aplica sobre un bloque de masa 50 kg. El bloque se mueve con una rapidez constante de 10m/s hacia arriba del plano, una distancia de 20 m. El coeficiente de roce cinético entre el bloque y el plano inclinado es 0.2. Calcular el trabajo efectuado sobre el bloque por las fuerzas a) F, b) roce y c) de gravedad. Problema 2 Se tiene un sistema formado por 5 esferitas de masa M unidas por cuerdas tensas de masa despreciable, separadas L entre sí, colocado inicialmente en forma horizontal. Calcular el trabajo necesario para poner una a una todas las esferitas en posición vertical. Problema 3 Una bala (masa= 50gr) que se desplaza con una rapidez de 100 pies/s experimenta una reducción de esa a 750 pie/s a atravesar una pared compuesta de tablas de 4cm de espesor. Determine: a) La fuerza con la que penetra la pared b) El trabajo que realiza la bala para traspasar 12 tablas c) Que cantidad de tablas penetra antes de detenerse Problema 4 Un bloque de 750 onzas sube por un plano inclinado de 5 m de altura y 13 m de longitud como indica la figura. Determinar: a) la aceleración del bloque b) el trabajo realizado por la fuerza neta c) el trabajo realizado por la fuerza de fricción

Problema 5 En un torno de 20cm de radio y 45cm de manivela se le aplica una fuerza de 1450 Dinas. Determinar: a) el peso que puede levantar b) el trabajo que realiza si levanta el peso anterior el 65% de la suma de la longitud del diámetro y longitud de la manivela.

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Problema 6 Partiendo de una posición de reposo, un bloque de 12kg se desliza hacia abajo 4.5m por un plano inclinado áspero de 30º con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0.4, determine: a) el trabajo realizado por la fuerza de fricción b) el trabajo realizado por la fuerza neta Problema 7 Un obrero realiza un pozo y para ello saco 230 cubos de tierra. Si cada cubo pesa alrededor de 12kgf y la profundidad del pozo cuando esta terminado es de 190pies, indique que trabajo realizo en contra de la gravedad. Problema 8 Una camarera hace deslizar una botella de agua sobre una barra horizontal al enviarla a un cliente a 7m de distancia. ¿Con qué velocidad suelta la botella si el coeficiente de rozamiento dinámico es de 0,10 y la botella se detiene frente al cliente?, ¿Cual es el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento y la fuerza neta?

Problema 9 Sobre un cuerpo de masa M que se movía inicialmente con una rapidez Vo hacia la derecha, en una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento µ, se aplica una fuerza de magnitud F inclinada α sobre la horizontal. El desplazamiento mientras se ejerce la fuerza fue D. Calcular: a) el trabajo realizado por F sobre el cuerpo, b) el trabajo realizado por la fuerza de roce. Problema 10 Una fuerza F paralela a un plano inclinado en 37º, se aplica sobre un bloque de masa 50 kg. El bloque se mueve con una rapidez constante de10 m/s hacia arriba del plano, una distancia de 20 m. El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano inclinado es 0.2. Calcular el trabajo efectuado sobre el bloque por las fuerzas a) F, b) de rozamiento y c) de gravedad. 6.2 ENERGÍA La energía esta estrechamente relacionada con el trabajo. El concepto de energía no es tan fácil de comprender, ya que la energía solo se manifiesta cuando se trasfiere de un cuerpo a otro, es decir cuando se a transformado en trabajo. 6.2.1 Definición:

La energía es la capacidad que tienen los cuerpos de producir trabajo.

6.2.2 TIPOS DE ENERGÍA En la actualidad todos somos testigos de una cantidad de conceptos como fuentes o recursos de energía en la naturaleza, las mismas que se han explotado para el uso de la humanidad. Por lo general las fuentes de energía se las clasifican de acuerdo al tiempo que duraran durante el transcurso del tiempo como las que conforme se las exploten se terminaran en un tiempo determinado. Entre las formas más comunes entre nosotros tenemos:

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Energía Química, naturaleza: combustibles vegetales. Energía Solar, naturaleza: rayos ultra violeta del Sol. Energía Aehólica, naturaleza: movimiento del viento. Energía Geotermal, naturaleza: calor y zonas volcánicas de la Tierra. Energía Nuclear, naturaleza: alteración de las orbitas del átomo. Energía Hidráulica, naturaleza: movimiento del Agua. Lo ideal fuese estudiar detalladamente todos estos tipos de energías, pero para poder hacerlo consideramos revisar desde el más sencillos y común entre nosotros como la Energía Mecánica y su transformación en: energía cinética que esta asociada con el movimiento; energía potencial asociada con la posición; energía elástica asociada con la capacidad elástica de los cuerpos. 6.2.3 ENERGÍA MECÁNICA La ecuación que rige la energía mecánica es:

LongitudFuerzaEnergia ×=

( ) ( )dFE ⋅= (6.1)

Y sus unidades dependen en el sistema en el cual se este trabajando así tenemos:

Magnitud

Símbolo

Dimensiones

SI CGS S Técnico FPS

Fuerza F MLT-2 N DINA Kgf Poundal Longitud d L m. Cm M Pie Energía E ML2T-2 N.m Dina.c

m kg.m Poundal.pi

e Juli

o (J) Ergio Kilográmetr

o

6.2.3.1 ENERGÍA CINÉTICA La energía cinética es la capacidad que tiene los cuerpos de producir un trabajo debido a su movimiento. Su cálculo lo realizamos tomando como base la ecuación (6.1).

dFEc ⋅= (6.2)

Como la fuerza que debemos aplicar en este caso no conocemos, debemos proceder a su cálculo aplicando la segunda ley de Newton.

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amF ⋅=

De la ecuación de la segunda Ley de Newton considerando que la masa no varia la única incógnita pasa a ser la aceleración, la misma que dependerá de las condiciones del movimiento del cuerpo; como por ejemplo si parte del reposo o va con una velocidad inicial al momento del análisis. Casos en que la ecuación de la energía será obtenida de la siguiente forma. a) Cuando el cuerpo parte del reposo

En la figura (fig. 6.2.1.a) se representa un cuerpo de masa m que es arrastrado sobre una superficie plana sin rozamiento por la acción de una fuerza constante F paralela al plano. El cuerpo inicia su movimiento partiendo del reposo y pasa por un segundo punto con una velocidad v diferente de cero. De las ecuaciones del MRUV tenemos

L

vva of

2

22 −=

Debido a que el cuerpo de masa m parte del el reposo la velocidad inicial es igual a cero, y considerando que la velocidad final es diferente de cero, la ecuación toma la siguiente forma.

L

va

2

2

= (6.4)

Reemplazando en la ecuación 6.3.

L

vmF

2

2

⋅=


LL

vmEc ⋅⋅=

2

2

2

2vmEc ⋅=

2

2

1vmEc ⋅= (6.5)

Donde:

=cE Energía cinética

=m Masa

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=v Velocidad b) Cuando el cuerpo posee velocidad inicial En la figura (fig. 6.2.1.b) se representa un cuerpo de masa mque es arrastrado sobre una superficie plana sin rozamiento por la acción de una fuerza constante F paralela al plano. El cuerpo en el punto uno tiene una velocidad 1v y en el punto dos tiene una

velocidad 2v .

De las ecuaciones del MRUV tenemos

L

vva

2

21

22 −=


( )

−⋅=L

vvmF

2

21

22


( ) ( )LL

vvmEc ⋅

−⋅=2

21

22

( )

2

21

22 vvm

Ec

−⋅=

2

21

22 vmvm

Ec

⋅−⋅=

cc Evmvm

E ∆=⋅−⋅=22

21

22

En este caso se ha obtenido la ecuación que responde a la variación de Energía cinética, y que a su vez indica que la energía no se pierde más bien se conserva.

21

22 2

1

2

1vmvmEc ⋅−⋅=∆ (6.6)

21 ccc EEE −=∆ (6.7)

29

6.2.3.2 ENERGÍA POTENCIAL. Es la capacidad que tienen los cuerpos para produci r un trabajo en virtud de su posición con respecto a un plano de referencia . El plano de referencia debe ser siempre horizontal y colocado a nuestro criterio de análisis. Si el cuerpo se encuentra sobre el plano de referencia la energía potencial es positiva y si el cuerpo se encuentra por debajo del plano de referencia la energía potencial será negativa. Su cálculo lo realizaremos a partir de la ecuación 6.1.

dFEp ⋅= (6.8)

6.2.3.2.1 Determinación de la fuerza.

De la ecuación de la segunda Ley de Newton:

amF ⋅=

Como única fuerza presente en el sistema se tiene al peso del cuerpo, en consecuencia:

gmWgravedaddeFuerzaF ⋅=== 6.2.3.2.2 Determinación de la distancia. 6.2.3.2.2.1 Cuando el cuerpo posee una altura La distancia es la altura comprendida entre el plano de referencia y el cuerpo en estudio y la representaremos con la letra h.

hd = Remplazando en 6.8

30

hgmEp ⋅⋅= (6.9)

6.2.3.2.2.2 Cuando el cuerpo posee una altura final. En la figura (fig. 6.2.1.d), la distancia es la diferencia de alturas h∆ , entre la referencia uno que tiene una altura inicial 1h y la referencia dos que tiene una altura 2h .


( )hgmEp ∆⋅⋅=

21 hhh −=∆

( )21 hhgmEp −⋅⋅=

pp EhgmhgmE ∆=⋅⋅−⋅⋅= 21

En este caso se ha obtenido la ecuación de la variación de la Energía potencial, demostrando que la energía se transforma y se conserva.

21 hgmhgmEp ⋅⋅−⋅⋅=∆ (6.10)

21 ppp EEE −=∆ (6.11)

6.2.3.3 ENERGÍA POTENCIAL ELASTICA Es la capacidad que tienen los resortes de transfer ir energía en virtud de su deformación (estirado o comprimido) y por tanto de realizar un trabajo . Cuando el resorte esta deformado, al terminar la acción de la fuerza que lo produjo restablece sus dimensiones y propiedades debido a su la fuerza elástica, que según la ley de Hooke es la constante elástica k; la misma que es directamente proporcional a la deformación y tiene sentido opuesto al desplazamiento. La fuerza F que se relaciona con el alargamiento o compresión del resorte esta dada por la siguiente expresión:

31

xkF ⋅= Así, cuando se aplica a un resorte una fuerza de la forma antes indicada con la finalidad de estirarlo o comprimirlo lentamente una distancia x, el resorte también almacena una cantidad de energía potencial elástica (Epe) dada por:

2

2

1xkEpe ⋅⋅=

6.2.4 CONSERVACION DE LA ENERGÍA El principio de de la conservación de la energía no es exclusiva de la física, también en otras materias como la química, biología se producen trasformaciones energéticas de muchas maneras. En todas estas trasformaciones se debe tener presente que no existe creación de energía, como tampoco su destrucción; la cantidad total de energía que se emplea o interviene durante el proceso permanece constante. Este análisis nos lleva a concluir en una ley conocida como el principio de Conservación de la Energía, que dice: La energía no se crea, ni se destruye, únicamente se transforma . Desde el punto de vista universal, se puede afirmar que la energía total del Universo es constante : si alguna parte del Universo gana energía en alguna forma, otra parte debe perder una cantidad igual de energía. Jamás se ha encontrado una violación a este principio. La ecuación del principio de conservación de la energía se obtiene de analizar a un cuerpo de masa m que se desliza desde determinada altura sin rozamiento con la superficie de contacto (figura 6.6).

Figura 6.6

El cuerpo cuando se allá en el punto A, inicia su descenso del tal manera que su energía potencial disminuirá al pasar por el punto B transformándose una parte en

32

energía cinética y otra en energía potencial; con esto se indica como la energía se esta transformando. De igual manera podremos ver en la figura 6.6 que al pasar por los puntos C, D y E las energías en cada punto se transforma de una forma a otra. Analíticamente se puede decir: - El trabajo W, realizado por el peso del cuerpo, en este caso la fuerza neta que actúa sobre el mismo esta dado por:

AB EcEcW −= y por BA EpEpW −= No se considera el trabajo realizado por la Ee por la simple razón de que existe resortes el los puntos A y B. Como las expresiones 6.10 dan como resultado el mismo trabajo, al igualarlas tenemos que:

BAAB EpEpEcEc −=− despejando y agrupando BBAA EpEcEpEc +=+ Al resultado de sumar la Ec y la Ep (en el caso que exista Ee, se debe incluir en esta igualdad) la llamamos Energía Mecánica Em. Por tanto obtenemos que:

BB EmEm ∆=∆ A esta igualdad obtenida, cuando la única fuerza que realiza trabajo sobre el cuerpo es el peso, se la denomina el principio de conservación de la energía mecánica . Utilizando el mismo proceso de análisis realizado para los puntos A y B, aplicado para los otros puntos llegaremos a la misma conclusión anterior. Entre B y C

BC EcEcW −= y por CB EpEpW −=

CBBC EpEpEcEc −=− despejando y agrupando CCBB EpEcEpEc +=+

CB EmEm ∆=∆

Entre C y D

DC EcEcW −= , DC EpEpW −= y CD EeEeW −=

DDDCCC EeEpEcEeEpEc ++=++

DC EmEm ∆=∆

Entre D y E

DE EcEcW −= , ED EpEpW −= y DE EpEeW −=

EEEDDD EeEpEcEeEpEc ++=++

CD EmEm ∆=∆

33

6.2.4.1 TABLAS DE ENERGÍA

ENERGÍA ergio Joule caloría kw·h eV

Ergio 1 10-7 2,389·10-8 2,778·10-14 6,242·1011

Joule 107 1 0,2389 2,778·10-7 6,242·1018

Caloría 4,186·107 4,186 1 1,163·10-6 2,613·1019

kw·h 3,6·1013 3,6·106 8,601·105 1 2,247·1025

eV 1,602·10-12 1,602·10-19 3,827·10-20 4,450·10-26 1

6.2.5 PROBLEMAS RESUELTOS Problema 6.2.5.1.- Un cuerpo de 3kg cae desde 2.2m de altura sobre un resorte cuya constante elástica es k=2kg/cm. Determine la velocidad del cuerpo cuando el resorte se ha comprimido 3cm, empleando: a) la ecuación de conservación de la energía b) la ecuación de trabajo y energía

m

Nsmkg

cm

kgk 1960

100/1

1)/8.9(22 2 ===

Respuesta a:

21 EE ∆=∆

222111 EeEpEcEeEpEc ++=++

22

2

1

2

1)( xkvmxhgm ⋅⋅+⋅⋅=−⋅⋅

222

)03.0(19602

13

2

1)03.02.2(8.93 m

m

Nvkgmm

s

mkg ⋅⋅+⋅⋅=+⋅

)(88.05.1)(56.65 2 JvJ +⋅=

kg

JJv

5.1

)(88.0)(56.65 −=

34

s

mv 57.6=

Respuesta b:

EcW ∆=−21

122

2

1)( EcEcxkxhgm +=⋅⋅−+⋅⋅

22

2

1

2

1)( vmxkxhgm ⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅

222

32

1)03.0(1960

2

1)03.02.2(8.93 vkg

m

Nmm

s

mkg ⋅⋅=⋅⋅−+⋅⋅

25.1)(88.0)(56.65 vkgJJ ⋅=−

vkg

J =5.1

)(68.64

vs

m =57.6

Problema 6.2.5.2.- Un cuerpo de 100kg parte del reposo y se desliza hacia abajo por un plano indicado como indica figura. Luego de recorrer 2.5m entra en contacto con un resorte cuyo valor de k = 500kg/m. determine la máxima deformación y la velocidad máxima del cuerpo empleando: a- la ecuación de conservación de la energía. b- la ecuación de trabajo y energía.

m

Nsm

m

kg

m

kgk 4900)/8.9(500500 2 ===

013.533

4tan =⇒= αα

35

αα senxmhxm

hsen ⋅+=⇒

+= )5.2(

5.2 11

Respuesta a: - la máxima deformación del resorte:

EmW ∆=

hgmxkdF ⋅⋅−⋅⋅=⋅− 2

2

1µ

hgmxkxmN ⋅⋅−⋅⋅=−⋅⋅− 21 2

1)5.2(µ

ααµ senxmgmxkxmgm ⋅+⋅⋅−⋅⋅=−⋅⋅⋅⋅− )5.2(2

1)5.2(cos 1

211

05.25.2coscos2

111

21 =⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ msengmmgmxsengmxgmxk ααµααµ

019605.3677841472450 11

21 =−+⋅−⋅+⋅ xxx

05.15926122450 1

21 =−⋅−⋅ xx

mx 95.01 =

- la deformación del resorte:

∑ = 0Fx

0=−−⋅⋅ FeFsengm µα

0cos30 2 =⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅ xkgmsengm αµ

222 4900cos/81.910025.0/81.9100 x

m

Nsmkgsensmkg ⋅=⋅⋅⋅−⋅⋅ αα

mN

NNx

/4900

)(147)(7842

−=

mx 13.01 =

- la velocidad máxima del cuerpo:

EmW ∆=

hgmxkvmmmgm ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=+⋅⋅⋅⋅− 22

24 2

1

2

1)13.05.2(cosαµ

αsenmmsmkgmNvkgN ⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅=− )13.05.2(/81.910013.0/49002

150)(61.386 222

4

)(41.414)(61.386)(92.206150 2

4 JJJvkg −−=⋅

36

kg

Jv

50

)(90.16334 =

smv /72.54 =

Problema 6.2.5.3.- Si a un resorte de 80cm longitud y de constante elástica 100N/m se le comprime 35cm y luego se le suelta, calcule la energía potencial elástica cuando el resorte se ha comprimido los 35cm, el 60% y 80% de su longitud.

2

2

1xkEe ⋅⋅= 2

2

1xkEe ⋅⋅= 2

2

1xkEe ⋅⋅=

235.01002

1 ⋅⋅=eE 248.01002

1 ⋅⋅=eE 264.01002

1 ⋅⋅=eE

JEe 125.6= JEe 52.11= JEe 48.20=

6.3 POTENCIA.

La potencia es el producto escalar del trabajo real izado en una unidad de tiempo. De la definición anterior se deduce la siguiente expresión:

t

WP = (6.13)

Por definición del trabajo.

( ) ( )t

dFP

⋅=

( ) ( )vFP ⋅= (6.14)

Donde:

=P Potencia =F Fuerza

=v Velocidad Unidades a utilizar.

Magnitud Símbolo Dimensiones SI CGS S Técnico Trabajo W ML2T-2 Julio (J) Ergio Kgf.m Tiempo t T s S s

Potencia P ML2T-1 J/s Ergio/s kg.m/s Vatio

(W)

37

En el sistema absoluto y técnico se tienen unidades para la potencia, estas unidades son múltiplos que por factores técnicos y de utilización son más usados en fábricas, de las que hacemos referencia en el cuadro siguiente: 6.3.1 TABLAS DE POTENCIA

POTENCIA CV (HP métrico) cal/s Kw watio

CV (HP métrico) 1 178,2 0,73549 745,7

cal/s 5,613·10-3 1 4,186·10-3 4,186

Kw 1,35962 238,9 1 103

Watio 1,341·10-3 0,2389 10-3 1

6.4 RENDIMIENTO. Cuando una maquina se utiliza para transformar energía eléctrica en energía mecánica o para transformar energía térmica en energía mecánica, en el proceso siempre va a existir una perdida de energía, de trabajo o potencia.

Nunca en la realidad existirá una maquina que rinda el 100%.

Con esto podríamos decir que el rendimiento de una máquina es el cociente entre la potencia de entrada y la potencia de salid a.

entradadepotencia

salidadepotencia=η (6.15)

Normalmente el cálculo del rendimiento se hace en base a potencias pues estas son más posibles de medir y en la mayoría de casos vienen tabuladas en las máquinas, además el proceso de potencia que tendría una maquina es de simple razonamiento como lo indica la figura (fig. 6.4.1.a), pero este cálculo del rendimiento también se lo puede hacer en trabajo, de esta manera será:

t

Wt

W

producido

Util

∆

∆η

producidoTrabajo

UtilTrabajo=η (6.16)

38

El rendimiento de una máquina o motor es adimension al, es tan solo un número que nos indica que tan eficiente es determinada máq uina. 6.4.1 APLICACIONES Problema 1.- En una central hidroeléctrica de m80 de altura, caen toneladas160 cada minuto, La potencia eléctrica que proporciona la central es de kw20000 . Determinar. a) El trabajo producido. b) La eficiencia de la central. Datos.

mh 80=

kgtonelada

kgtoneladasm 160000

1

1000160 =

=

kwPutil 20000= a) ( ) ( ) ( )hgmWproducido ⋅⋅=

( ) ( )ms

mkgWproducido 8081,9160000 2 ⋅

⋅=

JoulesWproducido 125568=

b) producido

util

P

P=η

t

WP

producido

util

∆

=η

( ) ( )

producido

util

W

tP ∆⋅=η

( ) ( )

Joules

skw

125568

6020000 ⋅=η

%95=η

39

6.4 EJERCICIOS PROPUESTOS. Problema 1 Un bloque de 5Kg se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con una velocidad inicial de 8 m/s. El bloque se detiene después de recorrer tres metros a lo largo del plano, el cual esta inclinado un ángulo de 30º respecto a la horizontal. Determine:

a. El cambio en la energía cinética del bloque. b. El cambio en su energía potencial. c. La fuerza de fricción ejercida sobre él (supuestamente constante). d. El coeficiente de fricción cinético. e. La potencia desarrollada en HP y cal/s.

Problema 2 Sobre un cuerpo de 2 kg que se movía inicialmente con una rapidez de 5m/s hacia la derecha, en una superficie horizontal, se aplica una fuerza de 10 N inclinada 30º respecto a la horizontal. El desplazamiento mientras se ejerce la fuerza fue de 5 m, y el coeficiente de roce es 0.25. Calcular: a) el trabajo realizado por cada fuerza sobre el cuerpo, b) la variación de energía cinética, c) la velocidad final del cuerpo.

Problema 3 El coeficiente de fricción (µ) entre la masa de 3 Kg y la superficie de la figura adjunta es 0,40. El sistema parte del reposo. ¿Cuál es la velocidad de la masa de 3 Kg cuando ha caído 0.60 m?

Problema 4 Un cuerpo de 850gr parte del reposo y se desliza hacia abajo por un plano indicado como indica figura. Luego de recorrer 125 yardas entra en contacto con un resorte cuyo valor de k = 500N/m2. Determine la máxima deformación y la velocidad del cuerpo:

a. en el punto 3 y 4. b. la potencia desarrollada desde el punto 1 al 2

40

Problema 5 Un cuerpo de masa 10kg inicia su movimiento desde el punto 0 de la siguiente figura, si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es cero; determine:

a.- la variación de energía cinética entre los puntos 1-0 y 2-1 b.- la variación de energía potencial entre los puntos 1-2. c.- el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad en el plano inclinado.

Problema 6 Una partícula de 0,4Kg se desliza sobre una pista circular horizontal de 1.50 m de radio. Se le da una velocidad inicial de 8 m/s. Después de una revolución su velocidad se reduce a 6 m/s por causa de la fricción. Encuentre:

a. La energía pérdida por la fricción en una revolución b. El coeficiente de fricción cinético c. ¿Cuántas revoluciones completa la partícula antes de detenerse? d. El rendimiento de la partícula

Problema 7 Un bloque de lb48 es empujado una distancia de pies12 sobre un plano

horizontal a velocidad constante mediante una fuerza que forma un ángulo de º30 con respecto a la horizontal, el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso es de

34,0=µ . ¿Qué trabajo ha realizado?, exprese su resultado en Julios. Problema 8 Un proyectil de 120gr se lanza desde la superficie con una rapidez inicial de 180 km/h en un ángulo de 30º sobre el suelo. Calcular a) el trabajo para qué

41

alcance su altura máxima, b) su energía cinética cuando se encuentra en su altura máxima, c) la potencia media entre la superficie y su altura máxima. Problema 9 Un cuerpo de 18kg cae desde 24pies de altura sobre un resorte cuya constante elástica es k=10kg/cm. Determine la velocidad del cuerpo cuando el resorte se ha comprimido 4cm, empleando:

a. la ecuación de conservación de la energía b. la ecuación de trabajo y energía

c. indique el rendimiento del sistema desde el momento que entra en contacto y comprime el 85% del resorte.

Problema 10 Un proyectil de 1 kg se lanza desde la superficie con una rapidez inicial de 180 km/h en un ángulo de 30º sobre el suelo. Calcular a) el trabajo para qué alcance su altura máxima, b) su energía cinética cuando se encuentra en su altura máxima, c) la potencia media entre la superficie y su altura máxima. Problema 11 Una esfera de 0.5 kg desliza por un riel curvo a partir del reposo en el punto A de la figura. El tramo de A a B no tiene roce y el de B a C si tiene roce. a) Calcular la rapidez de la esfera en B. b) Si la esfera llega al reposo en C, calcular el trabajo por el roce en el tramo BC. R: a) 4.5 m/s, b) –2.5 J.

Problema 12 Desde la base de un plano inclinado 30º respecto a la horizontal, se lanza en subida un cuerpo de 1 kg. El cuerpo recorre 0.5 m y después comprime 0.1 m un resorte de constante 100 N/m ubicado en la parte superior del plano antes de detenerse. a) Si el plano es liso, determine la rapidez inicial del cuerpo. b) Si la rapidez con la que el cuerpo inicia la subida del plano fuera el doble de la calculada en a) y el coeficiente de roce entre el cuerpo y el plano fuera de 0.2, ¿cuánto se comprimirá el resorte? c) ¿y si la rapidez se reduce a la mitad?

42

Problema 13 Un cuerpo de masa 8kg inicia su movimiento desde el punto 0 de la siguiente figura, si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es cero; determine: a. la variación de energía cinética entre los puntos 1-0 y 2-1 b. la variación de energía potencial entre los puntos 0-1. c. el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad en el plano inclinado.

Problema 14 Un bloque de 2 kg sobre un plano áspero inclinado en 37º, se conecta a un resorte ligero de constante 100 N/m como de indica en la figura. El bloque se suelta del reposo cuando el resorte está estirado 0.035m y se mueve 20 cm hacia abajo del plano antes de detenerse. Calcular: a) el coeficiente de rozamiento, b) ¿cuál es la aceleración del bloque al llegar a su punto más bajo? ¿Su aceleración es constante? c) Describa las transformaciones de energía que ocurren durante el descenso del bloque.

Problema 15 Un cuerpo de 1kg de masa se deja caer por una superficie curva desde una altura de 1 m, tal como indica la figura. Despreciando rozamientos, calcular:

a. La velocidad de la partícula en el momento en que choca con el muelle. b. La máxima deformación que experimentará el muelle si su constante

elástica es de 200 N/m

43

Problema 16 Un cuerpo de 2kg de masa desciende 2m sobre un plano inclinado 300 y continua moviéndose sobre una superficie horizontal, asumiendo como único coeficiente de rozamiento en todas las superficies 2.0=cµ . Determine:

a. la velocidad del cuerpo al final del plano inclinado. b. la distancia horizontal que recorre sobre el plano horizontal hasta

detenerse

Problema 17 Un bloque de 150 g se deja caer desde el punto A por una pista sin roce que se asemeja a un riel semicircular cuyo radio es 40cm cuando llega al punto B. Empalma con un plano inclinado que forma 30º con la horizontal y perpendicular al radio de la circunferencia en ese punto. Calcule la distancia "d" a lo largo del plano que alcanzará el bloque si el coeficiente de roce dinámico entre el bloque y la superficie es 0,30.

44

Competencias

• Dominar y aplicar los principios que rigen la Hidráulica y su aplicación el la Hidrodinámica e Hidrostática, definiciones y propiedades.

• Usar objetos & instrumentos, diagramas y gráficos para representar el fenómeno físico.


Estándares

• Demostrará la aplicación en los ejercicios propuestos de los principios, definiciones, propiedades y unidades.

• Diferenciará cada una de las expresiones o formulas para la solución de los problemas.

45

• Aplicará las distintas formas de procedimiento en la ejecución de ejercicios propuestos y su demostración en las prácticas de laboratorio.


Es la parte de la Física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos que utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía.

La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática de fluidos, o hidrostática , que se ocupa de fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica , o dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de compresibilidad.

Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las turbinas, los compresores y las bombas. 7.1 FLUIDO Fluido consideraremos tanto a un líquido como a un gas, debido a que las fuerzas de cohesión entre las moléculas son muy débiles, por lo que estas no presentan oposición al movimiento y tienden a resbalar fácilmente sobre otras superficies diciendo comúnmente que fluyen. 7.1.1 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 7.1.1.1 VOLUMEN

Volumen (V): En matemáticas, medida del espacio ocupado por un cuerpo sólido. El volumen se mide en unidades cúbicas, como metros cúbicos o centímetros cúbicos en el sistema métrico decimal de pesos y medidas. El volumen también se expresa a veces en unidades de medida de líquidos, como litros:

1 lt = 1 dm3

7.1.1.2 DENSIDAD

Densidad ( ρ ): relación entre la masa (m) y el volumen que ocupa.

46

V

m=ρ [kg/m3; g/cm3]

La densidad es una propiedad que tienen todos los fluidos, como se puede observar en la siguiente tabla (propiedades a 20oC).

Material ρ

kg/m 3 Ce

KJ/kg.C o

Material ρ

kg/m 3 Ce

KJ/kg.C o

Aluminio 2702 0.919 Carbón mineral 1400 1.31

Bronce 8000 0.381 Cemento 1900 1.13

Cobre 8933 0.376 Cuero 1000 ------

Fundición 7220 0.504 Hielo 920 2.216

Hierro 7870 0.501 Ladrillo 800-1500

0.80

Latón 8600 0.378 Madera de Balsa 128 ------

Mercurio 13600 0.125 Madera de Pino 448 2.7

Níquel 9000 0.462 Madera de Roble 800 1.76

Plata 10500 0.234 Mármol 2700 0,419

Plomo 11400 0.129 Nieve 560 2.09

Zinc 7140 0.394 Parafina 920 ------

Hierro fundido 7272 0.420 Placa de corcho 190 1.88

Acero inoxidable 7817 0.461 Vidrio 2500 0.627

Acero 1%C 7801 0.473 Yeso 1650 0.88

Algodón mineral 250 ------- Porcelana 2400 1.09

Agua 998.2 4.183 Tierra Húmeda 1700 2.01

Agua de Mar 1040 ---- Azúcar granulada 1600 1.26

Aire 1.205 1.004 Cartón corrugado 215 --------

Alcohol 800 2.761 Arena seca 1500 0.789

Arcilla refractaria 1845 1.09 Asfalto 2110 2.09

Arena húmeda 1650 2.09

47

7.1.1.3 VISCOSIDAD Propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad.

La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes (paralelas) de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida de su viscosidad La viscosidad de un fluido disminuye con la reducción de densidad que tiene lugar al aumentar la temperatura. En un fluido menos denso hay menos moléculas por unidad de volumen que puedan transferir impulso desde la capa en movimiento hasta la capa estacionaria. Esto, a su vez, afecta a la velocidad de las distintas capas. El momento se transfiere con más dificultad entre las capas, y la viscosidad disminuye. En algunos líquidos, el aumento de la velocidad molecular compensa la reducción de la densidad. Los aceites de silicona, por ejemplo, cambian muy poco su tendencia a fluir cuando cambia la temperatura, por lo que son muy útiles como lubricantes cuando una máquina está sometida a grandes cambios de temperatura. 7.1.1.4 PESO ESPECÍFICO Peso específico (γ ) es la relación entre el peso (ω ) y el volumen que ocupa.

V

ωγ = [N/m3; kgr/m3; gr/cm3]

V

gm⋅=γ

7.1.1.5 CAPILARIDAD

La capilaridad de un fluido es la elevación o depresión de la superficie de un líquido en la zona de contacto con un sólido, por ejemplo, en las paredes de un tubo. Este fenómeno es una excepción a la ley hidrostática de los vasos comunicantes, según la cual una masa de líquido tiene el mismo nivel en todos los puntos; el efecto se produce de forma más marcada en tubos capilares, es decir, tubos de diámetro muy

48

pequeño. La capilaridad depende de las fuerzas creadas por la tensión superficial y por el mojado de las paredes del tubo.

Si las fuerzas de adhesión del líquido al sólido (mojado) superan a las fuerzas de cohesión dentro del líquido (tensión superficial), la superficie del líquido será cóncava y el líquido subirá por el tubo, es decir, ascenderá por encima del nivel hidrostático. Este efecto ocurre por ejemplo con agua en tubos de vidrio limpios.

Si las fuerzas de cohesión superan a las fuerzas de adhesión, la superficie del líquido será convexa y el líquido caerá por debajo del nivel hidrostático. Así sucede por ejemplo con agua en tubos de vidrio grasientos (donde la adhesión es pequeña) o con mercurio en tubos de vidrio limpios (donde la cohesión es grande).

La absorción de agua por una esponja y la ascensión de la cera fundida por el pabilo de una vela son ejemplos familiares de ascensión capilar. El agua sube por la tierra debido en parte a la capilaridad, y algunos instrumentos de escritura como la pluma estilográfica (fuente) o el rotulador (plumón) se basan en este principio.

7.2 HIDROSTATICA 7.2.1 PRESION

Una característica fundamental de cualquier fluido en reposo es que la fuerza ejercida sobre cualquier partícula del fluido es la misma en todas direcciones. Si las fuerzas fueran desiguales, la partícula se desplazaría en la dirección de la fuerza resultante.

De ello se deduce que la Presión es igual a al fuerza por unidad de superficie, que el fluido ejerce contra las paredes del recipiente que lo contiene, sea cual sea su forma, es perpendicular a la pared en cada punto. Si la presión no fuera perpendicular, la fuerza tendría una componente tangencial no equilibrada y el fluido se movería a lo largo de la pared. Este concepto se conoce como principio de Pascal.

A

FP =

7.2.1.1 PRINCIPIO DE PASCAL

49

Blaise Pascal (1623-1662), filósofo, matemático y físico francés, considerado una de las mentes privilegiadas de la historia intelectual de Occidente. Nació en Clermont-Ferrand el 19 de junio de 1623, y su familia se estableció en París en 1629. Bajo la tutela de su padre, Pascal pronto se manifestó como un prodigio en matemáticas, y a la edad de 16 años formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, conocido como el teorema de Pascal y descrito en su Ensayo sobre las cónicas (1639). En 1642 inventó la primera máquina de calcular mecánica. Pascal demostró mediante un experimento en 1648 que el nivel de la columna de mercurio de un barómetro lo determina el aumento o disminución de la presión atmosférica circundante. Este descubrimiento verificó la hipótesis del físico italiano Evangelista Torricelli respecto al efecto de la presión atmosférica sobre el equilibrio de los líquidos. Seis años más tarde, junto con el matemático francés Pierre de Fermat, Pascal formuló la teoría matemática de la probabilidad, que ha llegado a ser de gran importancia en estadísticas actuariales, matemáticas y sociales, así como un elemento fundamental en los cálculos de la física teórica moderna. Pero quizás la contribución mas importante de pascal fue la deducción del llamado ‘principio de Pascal’, que establece que los líquidos transmiten presiones con la misma intensidad en todas las direcciones y sus investigaciones sobre las cantidades infinitesimales. Pascal creía que el progreso humano se estimulaba con la acumulación de los descubrimientos científicos. En 1642, Blaise Pascal desarrolló una calculadora mecánica para facilitarle el trabajo a su padre, un funcionario fiscal. Los números se introducen en las ruedas metálicas delanteras y las soluciones aparecen en las ventanas superiores. Blaise Pascal, conocido como matemático, científico y autor, abrazó la religión hacia el final de su corta vida. Pascal argumentaba que es razonable tener fe, aunque nadie pueda demostrar la existencia o inexistencia de Dios; los beneficios de creer en Dios, si efectivamente existe, superan con mucho las desventajas de dicha creencia en caso de que sea falsa. 7.2.1.1.1 APLICACION DEL TEOREMA DE PASCAL Consideremos un líquido e equilibrio colocado en un recipiente. Vamos a suponer que las presiones hidrostáticas en los puntos A y B (ver a figura) son respectivamente, 0,2 e 0,5 atm.

50

La razón para que la presión en el punto B sea mayor es muy simple; la profundidad del punto en mención es mayor al del punto A, además el volumen del líquido sobre B es mas en comparación al punto A. Entonces la ecuación de la presión para este caso es:

A

FP =

Pero gmF ⋅= , la masa despejada de la densidad es Vm ⋅= ρ y si se considera el

volumen del líquido igual a hAV ⋅= , de manera que al reemplazar en la ecuación anterior:

A

ghA

A

gV

A

gm

A

FP

⋅⋅⋅⇒

⋅⋅⇒

⋅⇒= ρρ

A esta última ecuación al simplificar las áreas generara la ecuación general de la hidrostática.

hgP ⋅⋅= ρ

Otra aplicación importante del Principio de Pascal es la prensa hidráulica ilustrada en la figura.

Una fuerza 1F se aplica a un pequeño embolo de área 1A . La presión se transmite a

través del líquido en un embolo mas grande de área 2A . Puesto que la presión es la misma en ambos lados, vemos que:

2

2

1

1

A

F

A

FP ==

51

Como A2 > A1 y F2 > F1, por otro lado, si consideramos que no existe perdidas en una máquina y el trabajo que realizado en los dos tubos es igual muy independientemente de las distancias que se desplazan los pistones, se tiene que:

221121 dFdFWW ⋅=⋅⇒=

Remplazando en la ecuación obtenida en la prensa hidráulica ocurre lo siguiente:

2

1

1

2

2

2

1

1

A

A

d

d

A

F

A

F=⇒=

7.2.2 PRESION ATMOSFERICA La presiona atmosférica es aquella presión que existe sobre la superficie de la tierra, por virtud del efecto de la gravedad sobre la masa de la atmósfera. Esta presiona puede ser normal y barométrica. 7.2.2.1 Presión atmosférica normal . Es la presión atmosférica que se mide al nivel del mar y a la temperatura de de C00 , siendo igual a la altura de una columna de mercurio de mm.760 .

Mercurio

760

Presión atmosférica

normal ghP ⋅⋅= ρ

381,913600760,0

s

m

m

kgmP ⋅⋅=

2.101300

sm

kgP

⋅=

PascalesP 101300=

Figura 7.2.1.a

52

7.2.2.2 Presión Barométrica . Es la presión atmosférica en otro lugar de la tierra que no sea el nivel del mar o una temperatura de C00 7.2.3 PRESION ABSOLUTA La presión total que existe arriba de un dato fijo de presión nula se denomina presión absoluta 7.2.3.1 Presión indicada. La diferencia de presiones que existe entre una presión absoluta dada y la de la atmósfera se llama presiona indicada. En este estudio se comprende tres casos, que son: 1.- Que la presión indicada sea mayor que la atmosférica, deberá emplearse la siguiente relación:

Presión absoluta = presión atmosférica + presión indicada

PindPatmPabs +=

2.- Que la presión indicada sea igual a la atmosférica, deberá emplearse la siguiente delación:

Presión absoluta = presión atmosferita PatmPabs=

3.- Que la presión indicada sea menor que la atmosférica, deberá emplearse la siguiente relación:

Presión absoluta = presión atmosférica - presión indicada

PindPatmPabs −= 7.2.4 PRESION MANOMETRICA Esta presión es determinada por instrumentos denominados manómetros y valor es igual a la diferencia entre el valor de la presión absoluta y el de la presión atmosférica del lugar.

53

7.2.5 UNIDADES DE PRESION Como se indico en la ecuación la unidad de la presión en el SI es el Pascal, en honor de Blas Pascal, sin embargo en la actualidad se emplean diferentes unidades, la mayoría de ellas no esta dentro de un sistema de unidades algunas de las cuales se indican en la siguiente tabla con sus correspondientes factores de conversión.

PRESIÓN Atm Dina/cm² mm Hg N/m² kp/cm 2

atm 1 1,013·106 760 1,013·105 1,033

dina/cm² 9,869·10-7 1 7,501·10-4 0,1 0,102·10-5

mm Hg 1,316·10-3 1,333·103 1 133,3 1,36·10-3

N/m² 9,869·10-6 10 7,501·10-3 1 0,102·10-4

kp/cm2 0,968 9,81·105 736 9,81·104 1

bar=106 baria(din/cm2) mmHg=torr N/m2=Pascal kp/cm2=atm técnica

7.2.6 EQUILIBRIO DE DOS LIQUIDOS NO MISIBLES EN UN TUBO EN U Cuando dos líquidos no miscibles encerrados en un tubo en U se encuentran en equilibrio con respecto a una línea de referencia común; al plantear la ecuación general de Hidrostática para los dos líquidos se obtiene que las alturas de sus superficies libres con relación a la superficie de separación (LR) son inversamente proporcionales a sus densidades.

21 PPatmPPatm +=+

2211 hghg ⋅⋅=⋅⋅ ρρ

2211 hh ⋅=⋅ ρρ

1

2

2

1

h

h=

ρρ

54

7.2.7 PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

Arquímedes, pintado por Ribera en 1630, Museo del Prado

El momento y el lugar donde un científico encuentra la solución a un problema puede ser el lugar más insospechado, e incluso, para algunos el más inapropiado. Este el caso de Arquímedes, sin duda uno de los científicos más sobresalientes de la Historia, cuyos descubrimientos han sido trascendentales para el desarrollo de la Ciencia.

Su aportación más conocida es el denominado Principio de Arquímedes, que consiguió resolver mientras tomaba un baño, y que se puede considerar el inicio del desarrollo de la hidrostática. Sin embargo, la figura de Arquímedes va más allá del campo de la hidrostática, pues a él se deben importantes principios matemáticos, como los primeros pasos en el desarrollo del cálculo diferencial e integral, y la resolución de principios de la geometría que permitieron desarrollar numerosos inventos y aparatos de ingeniería.

7.2.7.1 Datos biográficos (ARCIMHDHS)

Arquímedes nació hacia el año 287 a.C. en la ciudad estado de Siracusa, en la isla de Sicilia, de tradición y costumbres griegas. Según sus biógrafos siendo muy joven se trasladó a Alejandría, siendo discípulo de destacados sabios de la época como Conón de Samos (280-220 a.C.) astrónomo de la corte de Ptolomeo III, Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.) director de la Biblioteca de Alejandríay Euclides de Alejandría (365-300 a.C.) entre otros.

Años después volvió a su patria, Siracusa, dedicándose al estudio y resolución de múltiples problemas adquiriendo una gran fama. Escribió numerosas obras sobre

55

geometría, mecánica e hidrostática, que han sido reconocidas como tratados de gran interés por numerosos científicos a lo largo de la historia.

Arquímedes murió durante el asalto a la ciudad de Siracusa por las tropas romanas de Marcelo durante la Segunda Guerra Púnica. Aunque no se conoce exactamente cómo murió, se cuenta que estando absorto en la resolución de un problema de geometría, un soldado irrumpió en el estudio de Arquímedes asesinándolo, pues el sabio se resistió a abandonar la resolución del problema matemático en el que estaba inmerso, llegando a recriminarlo por haber desordenado sus esquemas y dibujos. Esta historia se puede encontrar descrita en un bello mosaico de la ciudad de Herculano.

7.2.7.2 Principio de Arquímedes

Este es el principio por el que es más conocido este gran sabio de la humanidad. La historia cuenta que siendo rey de Siracusa Hierón II, mando a un orfebre de la ciudad que le hiciera una corona. Para ello el rey le entregó al orfebre una determinada cantidad de oro. El orfebre realizó el encargo y entregó la corona, pero el rey, desconfiado, quiso asegurarse de que el orfebre realmente utilizó todo el oro que le entregó. Arquímedes ya era reconocido como un hombre de gran sabiduría, por lo que Hierón II le pidió que le resolviera este problema, es decir, saber si realmente se había utilizado toda la cantidad de oro para la elaboración de la corona o si hubo algún engaño. No sabemos cuanto tiempo transcurrió desde el planteamiento del problema hasta su resolución, pero lo cierto es que mientras Arquímedes se tomaba un baño observó que cuando se introdujo en la bañera una determinada cantidad de agua se desbordó de la misma. La observación de este fenómeno le dio la solución el problema, y según cuentan las crónicas, fue tal su emoción que salió corriendo desnudo de los baños gritando ¡eureka! ¡eureka! es decir ¡lo encontré! ¡lo encontré! (del gr. εúρηκα, encontrar, hallar).

Tomó entonces Arquímedes la corona confeccionada por el orfebre y una cantidad de oro exactamente igual a la utilizada para su fabricación. Por otra parte preparó dos recipientes exactamente iguales, con la misma cantidad de agua hasta su borde e introdujo en uno la corona y en el otro el oro. Observó entonces que el agua que se derramaba del recipiente que contenía la corona era diferente que el del otro recipiente demostrando el fraude del orfebre, pues sustituyó parte del oro que el rey le dio por plata. La razón es hoy bien conocida, pues la densidad de ambos metales es diferente, y el volumen que ocupan es diferente, pues el oro tiene una densidad de 19,3 g/cm3, mientras que la de la plata es de 10,5 g/cm3. Por esta razón se utilizó para determinar la proporción de los metales que componen algunas aleaciones, es decir para conocer su ley.

A partir de esta observación se establece el Principio del Empuje Hidrostático o Principio de Arquímedes que se enuncia del siguiente modo: Todo cuerpo que se sumerge en un líquido experimenta un empuje de abaj o hacia arriba igual al peso del volumen del líquido desalojado . Este principio tiene una gran importancia práctica para la flotación y estabilidad de los buques, algo que ya planteó el propio Arquímedes con su tratado Sobre el equilibrio de los cuerpos

56

flotantes; pero además se aplica a los globos aerostáticos y se utiliza para la corrección de las pesadas de precisión.

Tornillo de Arquímedes

Entre los numerosos inventos de Arquímedes también es destacable el tornillo sin fin, que originariamente fue utilizado como sistema para sacar agua de la sentina de los barcos, y posteriormente como sistema para elevar agua, harina o grano. Este sistema sigue siendo en la actualidad utilizado en múltiples ingenios y maquinarias como las bombas de tornillo sin fin para el desplazamiento de sólidos y líquidos, especialmente para sustancias viscosas como por ejemplo en el trasvase de grandes cantidades de pastas y cremas en la industria farmacéutica.

7.2.8 EMPUJE Y FLOTACION

El segundo principio importante de la estática de fluidos fue descubierto Arquímedes. Cuando un cuerpo está total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, el fluido ejerce una presión sobre todas las partes de la superficie del cuerpo que están en contacto con el fluido. La presión es mayor sobre las partes sumergidas a mayor profundidad. La resultante de todas las fuerzas es una dirigida hacia arriba y llamada el empuje sobre el cuerpo sumergido.

Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba con una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo.

Empuje y fuerza ascensional:

desplazadoliquido VgE ⋅⋅= ρ

57

gVVgFa

gmVgFa

bloquebloquesumergidoliquido

bloquesumergidolquido

⋅⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅=

ρρρ

El cuerpo se suspende dentro del líquido cuando las fuerzas se equilibran.

FaE =

E= Empuje (N)

Fa= Fuerza ascensional (N)

Esto explica por qué flota un barco muy cargado; su peso total es exactamente igual al peso del agua que desplaza, y esa agua desplazada ejerce la fuerza hacia arriba que mantiene el barco a flote.

El punto sobre el que puede considerarse que actúan todas las fuerzas que producen el efecto de flotación se llama centro de flotación, y corresponde al centro de gravedad del fluido desplazado. El centro de flotación de un cuerpo que flota está situado exactamente encima de su centro de gravedad. Cuanto mayor sea la distancia entre ambos, mayor es la estabilidad del cuerpo.

7.2.9 APLICACIONES 7.2.9.1 Una bomba utilizada por los aliados en la segunda guerra mundial para destruir submarinos nazis en el atlántico norte, tiene un dispositivo que actúa cuando la presión hidrostática es de Pa51025,2 × , si la densidad del agua de mar es de

31030

m

kg , calcular a que profundidad explota.

( ) ( ) ( )ygPH ⋅⋅= ρ

( ) ( )g

Py H

⋅=

ρ

( ) ( )

⋅

⋅×

=

23

25

81,91030

1025,2

s

m

m

kgsm

kg

y

my 26,22=

58

7.2.9.2 En un tubo en U que en primera instancia contiene mercurio (136003m

kg) se

introducen kg1,0 de agua por una rama de sección 24104 m−× . Determinar que

volumen de alcohol

3800

m

kg se debe introducir por la otra sección del tubo de

24102 m−× , para que los niveles de mercurio se igualen.

( ) ( )22 yAVahl ⋅=

21 PP =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )212ygyg ahlOH ⋅⋅=⋅⋅ ρρ

( ) ( ) ( )( ) ( )g

ygy

ahl

OH

⋅⋅⋅

=ρ

ρ 12

2

( ) ( )( )ahl

OH yy

ρρ 1

22

⋅=

( ) ( )111 AyV ⋅=

1

11 A

Vy =

OH

OHmV

2

2

1 ρ=

3

1

1000

1,0

m

kgkg

V =

341 101 mV −×=

24

34

1 102

101

m

my −

−

××=

my 5,01 =

59

( )

⋅

=

3

3

2

800

5,01000

m

kg

mm

kg

y

my 625,02 =

( ) ( ) 3424 105.2625,0104 mxmmVahl−− =⋅×=

7.2.9.3 En una prensa hidráulica se mantienen en equilibrio unas masas de kg500 y

kg50 respectivamente, si el área del pistos pequeño es de 25,0 m . Determine: a) El área del pistón grande. b) Que peso se le debe aumentar al pistón pequeño para que la m1 suba m25,0

a) calculo del A2

21 PP =

2

2

1

1

A

F

A

F=

( ) ( )

2

211 F

AFA

⋅=

( ) ( )2

211 m

AmA

⋅=

( ) ( )kg

mkgA

50

5,0500 2

1

⋅=

2

1 5mA =

60

b) El volumen que se desplaza el un pistón uno es igual al del otro. c)

21 VV =

( ) ( ) ( ) ( )2211 yAyA ⋅=⋅

( ) ( )1

221 A

yAy

⋅=

( ) ( )2

2

1 5,0

25,05

m

mmy

⋅=

my 5,21 =

21 WW =

2211 rFrF T ∆⋅=∆⋅

22211 )( rFWrF ∆⋅+=∆⋅

222

11 FWr

rF=−

∆∆⋅

222

11 Fgmr

rgm =⋅−∆

∆⋅⋅

22

2

)/81.950(25.0

5.2/81.9500Fsmkg

m

msmkg =⋅−⋅⋅

21 PP =

liquidoPA

F

A

FF+=

+

1

1

2

2

61

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )211

1

2

2 yygA

gm

A

gmgm F +⋅⋅+⋅

=⋅+⋅ ρ

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )mm

s

m

m

kg

m

s

mkg

m

gms

mkg F

25,05,281,98005

81,9500

5,0

81,950

232

2

2

2

+⋅

⋅

+

⋅=

⋅+

⋅

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )22

5,0225635,490 msm

kggmN F ⋅

⋅=⋅+

NF 1100=

7.2.9.4 Una pelota de plástico de m2,0 de radio esta mediante un mecanismo sujetada en un recipiente de prueba lleno de alcohol, en el momento en el que el mecanismo se acciona libera la pelota. Si la medida my 8,0= es la profundidad del

recipiente y la densidad de la pelota es 3

400m

kg.

Determinar: a) El valor de la fuerza de flotación del alcohol sobre la pelota. b) La velocidad con la que la pelota llega a la superficie libre de alcohol. c) La energía potencial máxima que llega a tener la pelota.

a) ( ) ( ) ( )gVF ahlahl ⋅⋅= ρ

( ) ( )

⋅

⋅

⋅⋅

=23

3 81,98002,03

4

s

m

m

kgmFahl π

NFahl 98,262=

b) ( ) ( ) ( )yavv f ⋅⋅+= 220

00 =v

( ) ( )amFy ⋅=∑

62

( ) ( )amWF f ⋅=+

( )

( )

⋅

⋅⋅

−=

33

23

3

03,0400

81,903,040098,262

mm

kg

s

mm

m

kgN

a

281,9

s

ma =

( ) ( )ms

mv f 8,081,92

2⋅

⋅=

s

mv f 96,3=

c) ( ) ( ) ( )maxmax ygmEP ⋅⋅=

( ) ( ) ( )1max yygmEP +⋅⋅=

( ) ( ) ( )120 2 yavv f ⋅⋅+=

En donde:

salidadevelocidadv =0

)(0 decenderacomienzav f =

( ) ( )a

vy

⋅=

2

20

1

( )

⋅

=

2

2

1

81,92

96,3

s

ms

m

y

my 2,01 =

( ) ( )mms

mm

m

kgEP 2,08,081,903,0400

23

3max +⋅

⋅

⋅

=

JEP 5,131max =

63

7.2.9.5 En un tubo en U que inicialmente contiene mercurio (13.6gr/cm3) se introduce 80gr de H2O por una rama de sección de 5cm2. Que volumen de alcohol (0.8gr/cm3) se debe introducir por el otro ramal de sección 3cm2, para que los niveles de mercurio se igualen.

111 hAV ⋅=

2

3

1

11 5

80

cm

cm

A

Vh ==

cmmh 1616.01 ≈=

21 PP =

2211 hghg ⋅⋅=⋅⋅ ρρ

3

3

2

112 /800

/1000

mkg

mkghh =

⋅=

ρρ

cmmh 202.02 ≈=

222 hAV ⋅=

cmcmV 203 22 ⋅=

32 60cmV =

7.2.9.6 El tubo de la figura tiene una sección constante de 6cm2. Si se aplica una fuerza de 12N en el pistón que indica la figura, determinar: a) si la presión absoluta en los puntos 1 y 2 es igual. b) la presión absoluta en el punto B.

64

a) La presión en 1 y 2 no es igual, sobre los puntos en estudio actúan diferentes líquidos además la acción de la presión del punto B va a ser diferente a la presión realizada por la fuerza F y la presión atmosférica que actúa sobre el punto 2. b) La presión en los puntos 3 y 4 es igual, porque los puntos están a la misma altura y están dentro de un mismo liquido.

43 PP =

atmpistonaceiteHgOHB PPPPPP +++=+2

OHatmpistonaceiteHgB PPPPPP2

−+++=

)()()(22 OHOHatmacacHgHgB hgP

A

FhghgP ⋅⋅−++⋅⋅+⋅⋅= ρρρ

)25.0/8.9/1000(10013.10006.0

12)3.0/8.9/800()2.0/8.9/13600( 235

2

2323 msmmkgPasxm

NmsmmkgmsmmkgPB ⋅⋅−++⋅⋅+⋅⋅=

PasxPB

510478.1=

7.2.10 PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1 -. A una esfera hueca, de volumen exterior igual a 4500 cm3 que pesa 1500gf, cuántas municiones de plomo de 0,5gf cada una hay que agregarle en su interior: a) para que flote sumergida hasta la mitad, en agua; b) Para que permanezca flotando totalmente sumergida en el mismo líquida?

Problema 2.- Un cubo de madera de 0,2 m de arista y peso específico 0,8gf/cm3, se coloca en agua. Calcular el volumen que permanece sumergido.

Problema 3.- Una pieza de aleación de aluminio y oro pesa 5kg. Si se suspende de una balanza de resorte y se sumerge en agua, la balanza indica 4kg. ¿Cuál es el peso del oro en la aleación, si su densidad relativa es 19.3 y la del aluminio 2.5? Resp. 2.872kg

65

Problema 4.- ¿Cuál es el área del menor bloque de hielo de 30cm de espesor que soportará exactamente el peso de un hombre cuya masa es de 90kg? La densidad relativa del hielo es 0.917, y está flotando en agua dulce. Resp. 3.61m2

Problema 5.- Un bloque cúbico de madera de 10cm de arista flota entre una capa de aceite y otra de agua, como indica la figura, con su cara inferior 2cm por debajo de la superficie de separación entre ambas capas. La densidad del aceite es de 0,6gr/cm3 .a) ¿Cuál es la masa del bloque? b) ¿Cuál es la presión manométrica en

la cara inferior del bloque? Resp. a) 680gr. b) 7840

Problema 6.- Un bloque de madera tiene 60cm de largo, 30cm de anchura y 5cm de grueso. Su densidad relativa es 0,6. ¿Qué volumen de plomo (11.3gr/cm3) ha de sujetarse bajo el bloque para hundirlo en el agua en calma de modo que la superficie superior coincida justamente con el nivel del líquido? Resp. 349.5cm3

Problema 7.- Un bloque cúbico de madera de 10cm de arista y de densidad 0.5 gr/cm3 flota en un recipiente con agua. Se vierte en el recipiente aceite de densidad 0.8gr/cm3 hasta que la superficie superior de la capa de aceite se encuentre 4cm por debajo de la cara superior del bloque. a) ¿Qué espesor tiene la capa de aceite? b) ¿Cuál es la presión manométrica en la cara inferior del bloque? a) 5cm.; b)

24900

cm

dina

66

Problema 8.- Un bloque cúbico de acero de densidad=7.8gr/ cm3 se encuentra flotando en mercurio. . a) ¿Qué fracción del bloque se encuentra por encima de la superficie del mercurio? b) Si se vierte agua sobre la superficie del mercurio, ¿qué profundidad ha de tener la capa de agua para que su superficie alcance justamente la cara superior del bloque de acero? a) 42.6%; b) 46% de la altura del bloque.

Problema 9.- El bloque A de la figura está suspendido mediante una cuerda de una balanza de resorte D, y se encuentra sumergido en un líquido C contenido en el vaso B. El peso del vaso es 2lb, y el del líquido, 3lb. La balanza D indica 5 lb, y la balanza E, 15 lb. El volumen del bloque A es 0,1 pie3. a) ¿Cuál es el peso por unidad de volumen del líquido ? b) ¿Qué indicará cada balanza si se saca el bloque

A fuera del líquido ?. Resp. a) 100

Problema 10.- Una esfera hueca, de radio interior 9cm y radio exterior 10cm, flota semisumergida en un líquido de densidad relativa 0,8. a) Calcúlese la densidad del material de la esfera. b) ¿cuál sería la densidad de un líquido en el cual la esfera

flotase estando exactamente sumergida por completo?

Problema 11.- Calcúlese las fuerzas ejercidas por el agua contra cada pared y el fondo de una Piscina de 20m x 8m y 3m de profundidad. Resp. a) 480ton sobre el fondo; b) 90ton; c) 36ton.

67

Problema 12.- El borde superior de la compuerta de un embalse enrasa con la superficie del agua. La compuerta tiene1.8 m de altura y 3 m de anchura y puede girar sobre goznes situados en una línea horizontal que pasa por su centro. Hállese el momento respecto a los goznes. Resp. M=1458 kg m

Problema 13.- La figura representa un corte transversal de un dique de mampostería cuya longitud perpendicular al plano de la figura es de 100 pies. La profundidad del agua detrás del dique es de 30pies. El material de que está hecho

dique pesa 150 . Hállense las dimensiones x y 2x para que el peso del dique sea diez veces mayor que la fuerza horizontal ejercida sobre él por el agua.

Problema 14.- La compuerta de la figura tiene una altura de 2m y un ancho de 2m, esta articulada en el punto A y apoyada en B como muestra la figura. Si se llena con agua hasta cuando su nivel llega a la mitad de la compuerta, determine las reacciones horizontales en los puntos Ay B.

Problema 15.- El tubo en U de la siguiente figura esta abierto a presión atmosférica en ambos extremos, contiene dos líquidos 1 y 2 que nos son misibles. Determine la razón de la s densidades ρρρρ1/ρρρρ2.

68

Problema 16.- Un elevador de vehículos tiene pistones de 10cm2 y 500cm2 respectivamente. Cuando sobre el menor se hace una fuerza de 600N, hallar: a) el peso teórico que puede elevar el pistón mayor. b) el peso que puede elevar el pistón mayor, el rendimiento del elevador es del 85%. Problema 17.- Encuentre la diferencia de Presión entre los puntos A y B como se indica en la figura, si se tiene que d1=300mm, d2=180mm, d3=480mm, d4=230mm, d5=450mm.

Problema 18.- Determine la presión en el punto A del siguiente sifón.

Problema 19.- De la siguiente figura, determine la presión en el punto A.

69

Problema 20.- Se ejerce una fuerza de 600 Dinas sobre una palanca AB. El extremo B esta conectado a un pistón que se ajusta a un cilindro con diámetro de 50mm. ¿Qué fuerza debe ejercerse sobre el pistón más grande con el fin de prevenir el movimiento dentro de su cilindro de 250mm de diámetro?

Problema 21.- Una boya cilíndrica de 1600 kgf flota en posición vertical en agua de mar. El diámetro de la boya es de 90 cm. Calcúlese lo que se hundirá la boya al subirse a ella un nadador que pesa 75 kgf.

Problema 22.- Un tubo en U que esta abierto en ambos extremos se llena parcialmente con agua. Después se vierte keroseno de densidad 0.82gr/cm3 en uno de los lados que forma una columna de 6cm de altura. Determine la diferencia de altura h entre las superficies de los dos líquidos.

70

Problema 23.- Un tubo en U que esta abierto en ambos extremos se llena parcialmente con mercurio. Después se vierte agua en ambos lados obteniéndose una situación de equilibrio ilustrada es la siguiente figura, donde h2= 1cm. Determine la diferencia de altura h1 entre las superficies de los dos niveles de agua.

Problema 24.- Un prisma de hielo posee una densidad de 0,914 g/cm ³, colocado en agua de mar (ρ = 1,025 g/cm ³) en forma vertical, flota. Si sus dimensiones son 4 m de alto, 1,2 m de ancho y 2 m de largo, determinar que parte del prisma emerge del agua. Problema 25.- Determine la densidad del cuerpo que se indica en la figura si se sumerge en alcohol (0.880 gr/cm3) un 55% de su volumen.

Problema 26.- La figura representa un corte transversal de un dique de cuya profundidad del agua detrás del dique es de 35pies. El material del dique es de ladrillo. Hállense la atura para que el peso del dique sea tres veces mayor que la fuerza horizontal ejercida sobre él por el agua.

Problema 27.- Determine cuanto se sumerge el cuerpo de madera de balsa que se indica en la figura si se sumerge en agua de mar.

71

Problema 28.- Una boya esférica cuyo volumen es de 6,2 m ³ pesa 15400 N y el aparato luminoso pesa 3600 N, ¿cuál será el peso del lastre para que se hunda hasta la mitad en agua de mar? (ρ = 1,025 g/cm ³). Problema 29.- Si en un tubo en "U" se coloca agua y luego se vierte un líquido que provoca un desnivel de agua de 22 cm y 29 cm del otro líquido, ¿cuál es el peso específico de ese líquido? Problema 30.- En un tubo en "U" de sección uniforme, se coloca mercurio y agua. Si el desnivel del mercurio es de 3,4 cm, ¿cuál es la altura del agua en la otra rama? 7.3 HIDRODINAMICA En general el estudio de un líquido en reposo está basado en ciertos principios bien definidos de física, de tal manera que todos los problemas que usualmente se encuentran en hidrostática no son más que una aplicación de éstos principios cuya expresión matemática son fórmulas perfectamente conocidas; en cambio, un fluido en movimiento presenta en algunos casos condiciones muy complejas y por lo tanto el fenómeno no puede ser expresado de una manera exacta en alguna forma matemática debido a las condiciones exteriores mas o menos variadas. A veces para una concepción clara de un fenómeno es necesario suponer ciertas condiciones ideales que permiten el establecimiento de algunas fórmulas fundamentales que detallaremos a continuación. 7.3.1 TIPOS DE FLUIDOS

Euler fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo pueden expresarse de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido es laminar, es decir, si se pueden despreciar los efectos del rozamiento. Sin embargo, como esto nunca es así ya que los fluidos que se manejan son reales o turbulentos.

7.3.1.1 FLUIDO LAMINAR Se caracteriza porque sus líneas de flujo siguen la misma dirección ósea mantienen su trayectoria a lo largo de su recorrido y nunca se cruzan entre si, como se indica en la figura.

72

7.3.1.2 FLUJO TURBULENTO Se caracteriza porque sus líneas de flujo describen formas de remolinos a consecuencias de que las mismas constantemente se cruzan.

7.3.2 CAUDAL O GASTO El Volumen de fluido que pasa por un área transversal perpendicular a la sección recta de tubería en la unidad de tiempo se llama gasto o caudal, y lo designamos con la letra Q.

t

VQ =

Las unidades del Q dependen del sistema usado.

Sistema Inglés:

Sistema Métrico:

Realizando un análisis a las unidades del Q, se puede deducir a la ecuación anterior en función de la velocidad del flujo y la sección por donde circula.

AQAmseg

m

seg

m ×=⇒×=×= νν23

73

7.3.3 ECUACION DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad es una consecuencia del principio de conservación de la masa. Para un flujo permanente, la masa de fluido que atraviesa cualquier sección transversal perpendicular a la sección recta de la tubería de un conducto, por unidad de tiempo, es constante. Esta puede calcularse como sigue para el caso de flujo permanente.

Figuras 3.3 y Figuras 3.4

Consideramos un flujo a través de un tubo o conducto circular, figura 3.3., siendo las secciones 1 y 2 normales a las líneas de corriente formadas por la circulación del líquido

que forman la circulación del líquido en el tubo. Para un valor de la densidad 1ρ y una

velocidad normal 1ν , el caudal en masa por unidad de tiempo que atraviesa la sección es

111 dA⋅⋅νρ , ya que 11 dA⋅ν es el volumen por unidad de tiempo. Análogamente, el

caudal en masa que atraviesa la sección 2 es 222 dA⋅⋅νρ . Como en un flujo

permanente la masa no puede variar con el tiempo, y como no hay pasó de fluido a través de la superficie de contorno del tubo, el caudal en masa a través del tubo de corriente es constante. Por tanto:

222111 dAdA ⋅⋅=⋅⋅ νρνρ

Las densidades ρ1 y ρ2 se mantienen constantes en cada sección genérica dA, y las velocidades V1 y V2 representan las velocidades del fluido en el tubo de corriente en las secciones 1 y 2, respectivamente. De aquí:

∫∫ ⋅⋅=⋅⋅AA

dAdA 222111 νρνρ

Integrando: 222111 dAdA ⋅⋅=⋅⋅ νρνρ

Para fluidos incompresibles (y para algunos casos de flujos comprensibles) la densidad

es constante, es decir ρ1=ρ2, por tanto:

74

221111 dAdA ⋅⋅=⋅⋅ νρνρ

2211 AA ⋅=⋅ νν

cteAAA =⋅=⋅=⋅ 332211 ννν

Qseg

mAA ⇒

=⋅=⋅

3

2211 νν

Ejemplo 7.1 Un jardinero está regando el pastito con una manguera de 2 cm de diámetro, por la que puede fluir 30 lt de agua en un minuto. Calcular la rapidez con la cual el agua sale de la manguera. De los datos, el caudal de agua es Q = 30 lt/min., transformando las unidades, se obtiene:

⋅⋅=

sdm

m

lt

dmltQ

60

min1

1

10

1min30

333

s

cmQ

3

500=

el área de la sección transversal de la manguera es: 2rA ⋅= π 2)1( cmA ⋅= π 2cmA ⋅= π Por lo tanto, la rapidez de salida del agua por la manguera será: AvQ ⋅=

s

m

s

cm

cm

scm

A

Qv 6.1160

/5002

3

==⋅

==π

7.2.4 MEMORIAS DE BERNOULLI 7.2.4.1 DATOS BIOGRAFICOS

Daniel Bernoulli (1700 - 1782)

Daniel Bernoulli (1700-1782), científico suizo nacido en Holanda que descubrió los principios básicos del comportamiento de los fluidos. Era hijo de Jean Bernoulli y sobrino de Jacques Bernoulli, dos investigadores que hicieron aportaciones importantes al primitivo desarrollo del cálculo. Bernoulli nació en Groningen (Países Bajos), el 29 de enero de 1700 y desde muy pronto manifestó su interés por las matemáticas. Aunque consiguió un título médico en 1721, fue

75

profesor de matemáticas en la Academia Rusa de San Petersburgo en 1725. Posteriormente dio clases de filosofía experimental, anatomía y botánica en las universidades de Groningen y Basilea, en Suiza. Bernoulli promovió en Europa la aceptación de la nueva física del científico inglés Isaac Newton. Estudió el flujo de los fluidos y formuló el teorema según el cual la presión ejercida por un fluido es inversamente proporcional a su velocidad de flujo. Utilizó conceptos atomísticos para intentar desarrollar la primera teoría cinética de los gases, explicando su comportamiento bajo condiciones de presión y temperatura cambiantes en términos de probabilidad. Sin embargo, este trabajo no tuvo gran repercusión en su época. Bernoulli murió el 17 de marzo de 1782 en Basilea. 7.3.4.2 ECUACION DE BERNOULLI Este teorema es básico en hidráulica. Casi todas las relaciones fundamentales de las que se parte en hidrodinámica están basadas en este principio. Los flujos cumplen el llamado teorema de Bernoulli, la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso (sin rozamiento) es constante a lo largo de una línea de corriente . Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye . Este principio es importante para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo.

Ecuación de continuidad: (para flujo estacionario e incompresible, sin fuentes ni sumideros, por evaluarse a lo largo de una línea de corriente).

cteAA =⋅=⋅ 2211 νν

Para obtener la ecuación de Bernoulli, se supone un conducto de forma más o menos caprichosa y se va a estudiar bajo qué circunstancias se produce la circulación del fluido (agua), tenemos:

.

76

Recordar que A

FP = ∴ APF ⋅=

Flujo de volumen: (caudal).

Q = A.υ[m3/s]

Ecuación de Bernoulli: (principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).

ctehgPhgP =⋅⋅+⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅+ 2222221

211 2

1

2

1 ρυρρυρ

En función del peso especifico:

ctehg

Ph

g

P=+

⋅+=+

⋅+ 2

222

1

211

22

υγ

υγ

Por unidad de masa.

hg ⋅ = energía potencial por unidad de masa.

2

2

1 υ⋅ = energía cinética por unidad de masa.

Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo o canal horizontal continuo :

υ1 = υ2 = 0

22211 hgPhgP ⋅⋅+=⋅⋅+ ρρ

7.3.5 PRINCIPIO DE TORRICELLI 1 (1608 – 1647)

1 Evangelista Torricelli (1608-1647), matemático y físico italiano, conocido sobre todo por el invento del barómetro. Nació en Faenza y estudió en el Collegio di Sapienza en Roma. De 1641 a 1642 fue ayudante de Galileo. A la muerte de éste en 1642, Torricelli le sucedió como profesor de filosofía y matemáticas en la Academia Florentina.

77

La velocidad de salida de un líquido por el orifici o de un recipiente es igual a la que adquiere un cuerpo al caer desde una altura ig ual a la profundidad del orificio con respecto a la superficie libre del líq uido. DEMOSTRACION Un tanque que contiene un líquido de densidad Lρ tiene un agujero en uno de sus

lados a una distancia 1y del fondo. El diámetro del agujero es pequeño comparado

con el diámetro del tanque. El aire sobre el líquido se mantienen a una presión OP y el

nivel del líquido esta a una altura h arriba del agujero. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2; Tomando como plano de referencia el fondo del tanque

22221

211 2

1

2

1hgvPhgvP ⋅⋅+⋅⋅+=⋅⋅+⋅⋅+ ρρρρ

Debido a que 21 AA > el fluido esta casi en reposo en la parte superior lo que nos indica que velocidad en el punto uno es igual a cero. La presión que actúa sobre el punto 1 es la atmosférica y la presión que tienen que vencer el punto 2 es también la atmosférica, es decir:

02

21 =g

v

OPPP == 21

Quedando la ecuación de Bernoulli de la siguiente forma

g

vhh

2

22

21 +=

21

22

2hh

g

v −=

78

Pero hhh =− 21 y =2v Velocidad de salida

hgv ⋅= 22 (Ecuación de Torricelli) (7.12)

7.3.6 INSTRUMENTOS DE MEDIDA 7.3.6.1 TUBOS PIEZOMÉTRICOS O PIEZÓMETROS Consiste en un tubo vertical que se acopla a la tubería y sirve sólo para medir la energía de presión en el punto dónde se instala.

Figura 3.15

Si se tiene un líquido circulando en un tubo figura 3.15, con una presión positiva P y se le inserta otro tubo llamado piezómetro, el líquido subiría hasta cierta altura que, en función de esa presión interior valdría:

γρP

g

Ph =

⋅=

79

Si la presión fuera negativa, no se presentaría la subida del agua en el piezómetro, sino que le entraría aire a la tubería. Si no se consideran las pérdidas:

h1 = h2 v1 = v2 p1 = p2

Si consideramos las pérdidas: h1 = h2 v1 = v2

ρ⋅g

P1 = h1

ρ⋅g

P2 = h2 ⇒ 212121

−=−=⋅−

fhhhg

PP

ρ

De la ecuación general de la hidrostática tenemos:

11 hgP ⋅⋅= ρ

22 hgP ⋅⋅= ρ , siendo 21 hh ≠

En consecuencia, los piezómetros no miden la energía debida a la carga de velocidad en las conducciones, sino la presión en su interior. 7.3.6.2 MEDIDOR VENTURI Consiste en dos troncos de conos invertidos, con reducciones y ampliaciones graduales, con una parte central de igual diámetro, el cual se utiliza para medir caudales. En estos tipos de medidores, la medida del gasto (caudal), se realiza por medio de una diferencia de presiones creadas en la tubería por medio de reducciones de diámetros en la misma. En el venturímetro la reducción de los diámetros es gradual, mientras que en el medidor de orificio dicha reducción es repentina. El flujo de los fluidos a través de estos mecanismos de medida sigue los principios de conservación de energía y la ecuación de continuidad . El medidor de venturi consiste en dos troncos de cono como se ve en la figura 3.16 unidos por un tubo recto en la mitad.

80

Figura 3.16

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 de la tubería y el punto 2 de la garganta:

horizontalflujohh _21 ⇒=

12 νν >

21 PP >

alturaporperdidaslasdodesprecianvg

Pv

g

P____

2

1

2

1 22

221

1 ⇒⋅⋅

+=⋅⋅

+γγ

hgg

hPP ⋅⋅=−⇒

⋅−==− 2

221

22

21

2221 νννν

γγ

Por Ecuación de Continuidad:

1

2212211 A

AAAQ

⋅=⇒⋅=⋅= νννν

21

22

222

221

22 2

A

Ahg

⋅−⇒⋅⋅=− νννν

Sacando a 22ν como factor común, tenemos:

Sacando común denominador:

81

El flujo real, se obtiene introduciendo un coeficiente Cd (Factor de Corrección) en la ecuación anterior debido a las pérdidas que no se consideraron inicialmente:

El valor numérico de Cd, coeficiente de descarga, dependerá de la relación A1/A2, el tipo de transición, la velocidad y viscosidad del fluido.

Para las transiciones graduales del venturímetro se tienen pequeñas cantidades de pérdidas y el valor de Cd estaría entre 0,96 y 0,99 para flujo turbulento. La transición en el caso del medidor de orificio es repentina y por lo tanto allí se presentan mayores pérdidas debido a la contracción y expansión de la vena del flujo a través del orificio. Su coeficiente de descarga tiene por consiguiente un menor valor (0,6 a 0,63); y el área A2 de la Ec. se refiere al área del orificio y no al área contraída de la vena del flujo. La reducción en el diámetro de la constricción causa un incremento en la velocidad, y consecuentemente se crea una gran diferencia de presión entre la entrada y la garganta, permitiendo una gran precisión en la medida.

82

Grandes velocidades en la garganta causan bajas presiones en el sistema y si éstas caen por debajo del límite de la presión de vapor del fluido, se presentaría el fenómeno de cavitación el cual es altamente indeseable . Por lo tanto, la selección de la relación d2/d1 se debe considerar cuidadosamente. Está relación se debe mantener entre 1/3 y 3/4 y el valor más común es 1/2.

7.3.6.3 TUBO DE PITOT En algunos casos de conducción de agua, ésta circula con velocidades muy diferentes en los diversos puntos de una sección, debido al rozamiento con las paredes de condiciones de rugosidad muy variable, como sucede en los canales o en los ríos y entonces, para averiguar las condiciones de circulación se emplea un medidor de velocidad que se llama "Tubo de Pitot ", el cual mide la energía de velocidad mas la energía de presión en el punto donde se coloca. El Tubo de Pitot es un tubo vertical en su mayor parte, y horizontal en un extremo, el cual se sumerge en contra del flujo, tal como se muestra en la figura 3.17. El tubo está abierto por ambas extremidades. La velocidad y la presión del agua, hace que ésta ascienda en el tubo, hasta que la presión de la columna de agua equilibre la energía de velocidad del agua y de presión en el punto 2.

7.3.6.2.1 Flujo a Presión:

83

Figura 3.17

Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tenemos:

Si no se consideran las pérdidas:

Si no colocamos el tubo Pitot y si no se consideran las pérdidas: Porque las condiciones hidráulicas son las mismas. Al colocar el Tubo Pitot la energía de velocidad:

En la medición, se observa que a mayor velocidad de circulación del líquido, mayor es la altura h que alcanza el agua en el interior del tubo de Pitot, por lo tanto la velocidad podrá conocerse midiendo h. Se puede considerar que una partícula de agua al pasar del punto 1 al punto 2, pierde toda su energía de velocidad para convertirla en energía de presión, que es justamente la debida a la columna del líquido h; diferencia de alturas entre el punto 1 y el punto 2.

7.3.6.2.2 Flujo Libre:

84

Figura 3.19

Si el agua estuviera en reposo, ésta penetraría en el interior del tubo hasta alcanzar un nivel igual al de la superficie del agua; pero cuando hay circulación, el agua penetra en el tubo hasta un nivel superior al de la superficie del agua. Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tenemos:

Como h1 = h2 y V2 = 0

También

85

La velocidad real será un poco menor (debido a las pérdidas de fricción que no se consideraron. La velocidad dada en la Ec. anterior es modificada introduciendo un coeficiente K; el cual tiene un valor que varía entre 0,95 y 1,0)

7.3.7 APLICACIONES 7.3.7.1 Un tubo reductor, como indica la figura que esta adaptado a la bomba de refrigeración de una fresadora, tiene dos secciones transversales en la primera su radio es de m03,0 y en el segundo su diámetro es de md 04,02 = , por dicha tubería

circula taladrina cuya densidad es de 3

900m

kg. Determinar:

a) Las velocidades en cada sección si la presión en la primera excede a la presión en la segunda en Pa162

86

21 QQ =

( ) ( ) ( ) ( )2211 vAvA ⋅=⋅

( ) ( )1

221 A

vAV

⋅=

( ) ( )π⋅= 21 rA

( ) ( )π⋅= 21 03,0 mA

21 00282,0 mA =

( ) ( )4

22

2

π⋅= dA

( ) ( )4

04,0 2

2

π⋅= mA

22 00125,0 mA =

222

211 2

1

2

1vPvP ⋅⋅+=⋅⋅+ ρρ

( ) 2232

222

1

22

32 9002

1900

2

1162 v

m

kgPv

A

A

m

kgPaP ⋅

⋅+=

⋅

⋅

⋅++

( ) ( )[ ] ( ) 22

22 450197,0450162 vvPa ⋅=⋅+

22

22 45088,88162 vvPa =+

221,361162 vPa =

1,361

1622 =v

s

mv 66,02 =

( )2

2

1 00282,0

66,000125,0

ms

mm

v

⋅=

s

mv 297,01 =

87

7.3.6.2 El Venturímetro de la figura (fig. 7.2.6.b) tiene un diámetro de md 25,01 = en

la parte ancha y md 05,02 = si la presión del agua en la parte mas ancha es de

Pa51075,2 × y en el estrechamiento Pa51025,1 × . Determinar. a) La velocidad del agua en los dos puntos de medición. b) El caudal por segundo. c) La diferencia de alturas l∆ . Datos.

md 25,01 = , md 05,02 =

PaP 51 1075,2 ×= , PaP 5

2 1025,1 ×=

31000

2 m

kgOH =ρ

( )

−

−=4

1

2

212

1

2

d

d

PPv

Lρ

( )

−⋅

×−×⋅=4

3

55

2

25,0

05,011000

1025,11075,22

m

m

m

kg

PaPav

s

mv 33,172 =

( ) ( )

1

221 A

vAv

⋅=

( ) ( )

( ) ( )

⋅

⋅

⋅

=

4

25,0

33,174

05,0

2

2

1 π

π

m

s

mm

v

s

mv 69,01 =

313600

m

kgHg =ρ

88

b) ( ) ( )11 vAQ ⋅=

( ) ( )

⋅

⋅=s

mmQ 69,0

4

25,0 2 π

s

mQ

3

03.0=

c) ( ) ( ) ( ) ( )lgPP Hg ∆⋅⋅=− ρ21

( )

( ) ( )g

PPl

Hg ⋅−=∆

ρ21

( )

⋅

×−×=∆

23

55

81,913600

1025,11075,2

s

m

m

kg

PaPal

ml 12,1=∆ 7.3.6.3 En la pared de un depósito lleno de líquido hasta una altura de 9m, se abre un orificio circular de 1cm de radio en el punto medio de la altura del líquido. Si el nivel del depósito permanece constante, calcular: a) la velocidad del líquido en el orificio. b) el gasto en lt/s. c) el tiempo que tarda el liquido en llega al suelo desde el orificio. d) el alcance del chorro.

a) hgv ⋅⋅= 20

msmv 5.4/8.92 20 ⋅⋅=

smv /38.90 =

89

b) 2RA ⋅= π υ⋅= AQ 2)01.0(⋅= πA smmQ /39.9000314.0 2 ⋅=

2000314.0 mA = smQ /00295.0 3= ⇒ sdmQ /95.2 3= ⇒ sltQ /95.2=

c) 20 2

1tgty ⋅⋅+⋅= υ

2

2

1tgy ⋅⋅=

22

/81.9

5.422

sm

m

g

ht

⋅=⋅=

st 96.0= d) tX ⋅= υ ssmX 96.0/39.9 ⋅= mX 9= 7.3.8 EJERCICIOS PROPUESTOS

Problema 1.- ¿Cuál será la sección de un orificio por donde sale un líquido si el caudal es de 0,8 dm3/s y se mantiene un desnivel constante de 50cm entre el orificio y la superficie libre del líquido?

Problema 2.- El suministro de agua llega al nivel del suelo por una cañería de 5 cm de diámetro. Una llave de 2 cm de diámetro ubicada a 15m de altura llena un envase de 20lt en un minuto. Calcular: a) la rapidez con la que sale el agua de la llave, b) la presión en la cañería principal. Problema 3.- Por una manguera de incendios de 6 cm de diámetro, fluye agua a razón de 600 lt/min. Calcular la rapidez de salida del agua de la manguera si el diámetro por donde sale es 2 cm.

Problema 4.- Un recipiente cilíndrico de 3m de alto está lleno de agua, a 90cm de la base se le practica un orificio de 2 cm2 de sección, determinar:

a) ¿Cuál será la velocidad de salida? b) ¿Cuál será el alcance del chorro?

Problema 5.- Un estanque de agua tiene un pequeño agujero en su costado a una altura h debajo del nivel de agua, por donde sale agua con un flujo de Q lt/min como se indica en la figura. Calcular: a) la rapidez con la que sale el agua por el agujero, b) el diámetro del agujero.

90

Problema 6.- Un cuerpo se sumerge en agua y sufre un empuje de 55gf, ¿cuál será el empuje que sufrirá en éter? ( ρ = 0,72 g/cm3).

Problema 7.- Un cuerpo pesa en el aire 289gf, en agua 190gf y en alcohol 210gf. ¿Cuál será el peso específico del cuerpo y del alcohol?

Problema 8.- Un cubo de aluminio ( ρ = 2,7 g/cm3) de 3cm de lado se coloca en agua de mar ( ρ = 1,025 g/cm3), ¿flota ó se hunde?

Problema 9.- El cuerpo del problema anterior se coloca en mercurio ( ρ = 13,56 g/cm3), ¿flotará?

Problema 10.- En un tubo horizontal de sección variable, las secciones transversales tienen de radio 4cm y 14cm respectivamente. Cuando por el tubo fluye agua, la diferencia de presiones entre la parte ancha y la estrecha es de 30 N/cm2, determine: a) la velocidad del líquido en las partes: ancha y estrecha. b) el caudal en lt/s. Problema 11.- Un fluido sale por un vertedero como indica la figura, con una velocidad de 10km/h. Determine el caudal que sale por cada uno del los vertederos.

Problema 12.- Por el medidor venturi de la figura, circula un fluido constante de 15lt/s. Determinar: a) la velocidad del fluido en las dos secciones. b) la variación de presión entre los puntos 1 y 2. c) el valor de la altura.

91

Problema 13.- En la figura el deposito contiene y mantiene su nivel libre y constante. Determine: a) al alcance del chorro con respecto a la pared del deposito. b) la altura donde se debe practicar el agujero para que el chorro el doble del alcance anterior.

Problema 14.- Una aguja hipodérmica tiene un diámetro interno de 0.3mm. Si el pistón se mueve hacia la derecha con una velocidad de 18mm/s y no existe filtraciones, ¿Cuál es la fuerza F necesaria para mover el pistón y la velocidad del fluido en la aguja? (densidad del liquido 800kg/m3)

Problema 15.- Determine el caudal y las velocidades en los puntos 1, 2, 3 y 4. Si los diámetros son 10pul, 12pul, 8pul y 6pul respectivamente.

92

Problema 16.- En un proceso de dragado, la bomba (h=9mts) trabaja con una capacidad de 5000galones/minuto de una mezcla de barro y agua con una densidad relativa de 1.8 hacia una barcaza estacionaria. Determine a que distancia de la draga debe ubicarse la barcaza si el are de la boquilla de la bomba es de 1pie2.

Problema 17.- A través de los siguientes sistemas fluye agua permanentemente, determine la cantidad de agua que sale por cada sección y a que presión.

93

Competencias

• Dominar y aplicar los principios que rigen la Calorimetría, definición y propiedades en el estudio de la temperatura y el Calor.

• Usar objetos e instrumentos, diagramas y gráficos para representar el fenómeno físico.


Estándares

• Demostrará la aplicación en los ejercicios propuestos el principio, definición y unidades.

• Diferenciará la relación calor y temperatura en la dilatación de los cuerpos. • Trabajará con expresiones que combinen todos los temas anteriores.

94

El Universo está hecho de materia y energía. La materia está compuesta de átomos y moléculas (que son grupos de átomos) y la energía hace que los átomos y las moléculas estén en constante movimiento - rotando alrededor de si mismas, vibrando o chocándose unas con otras. El movimiento de los átomos y moléculas crea una forma de energía llamada calor o energía térmica, que está presente en todo tipo de materia. Incluso en los vacíos más frío de espacio hay materia que posee calor. 8.1 TEMPERATURA

Anders Celsius (1701-1744), astrónomo sueco, fue el primero que propuso el termómetro centígrado, que tiene una escala de 100 grados que separan el punto de ebullición y el de congelación del agua. Desde 1730 hasta 1744 fue catedrático de astronomía en la Universidad de Uppsala, construyó el observatorio de esta ciudad en 1740, y fue nombrado su director. En 1733 publicó su colección de 316 observaciones sobre la aurora boreal y en 1737 formó parte de la expedición francesa organizada para medir un grado de latitud en las regiones polares. 8.1.1 ¿Que es la Temperatura? De una manera cualitativa, nosotros podemos describir la temperatura de un objeto como aquella determinada por la sensación de tibio o frío al estar en contacto con él. Esto es fácil de demostrar cuando dos objetos se colocan juntos (los físicos lo definen como contacto térmico), el objeto caliente se enfría mientras que el más frío se calienta hasta un punto en el cual no ocurren más cambios, y para nuestros sentidos, ambos tienen el mismo grado de calor. Cuando el cambio térmico ha parado, se dice que los dos objetos (los físicos los definen más rigurosamente como sistemas) están en equilibrio térmico. Entonces podemos definir la temperatura de un sistema diciendo que la temperatura es aquella cantidad que es igual para ambos sistemas cuando ellos están en equilibrio térmico. Si nuestro experimento fuese hecho con más de dos sistemas, encontraríamos que muchos sistemas pueden ser llevados a equilibrio térmico simultáneamente; el equilibrio térmico no depende del tipo de objeto usado. "Si dos sistemas están separadamente en equilibrio térmico con un tercero, entonces ellos deben estar en equilibrio térmico entre sí” 1.Y ellos tienen la misma temperatura sin tomar en cuenta el tipo de sistema que sean. Lo expresado en letras itálicas es la llamada Ley Cero de la Termodinámica y puede ser escrita más formalmente como:

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“Si tres o más sistemas están en contacto térmico entre si y todos en equilibrio al mismo tiempo, entonces cualquier par que se tome separadamente están en equilibrio entre sí”. (Cita de la monografía de T.J. Quinn llamada "Temperature"). Ahora uno de los tres sistemas puede ser calibrado como un instrumento para medir temperatura, definiendo así un termómetro. Cuando uno calibra un termómetro, este se pone en contacto con el sistema hasta que alcanza el equilibrio térmico, obteniendo así una medida cuantitativa de la temperatura del sistema. Por ejemplo, un termómetro clínico de mercurio es colocado bajo la lengua del paciente y se espera que alcance el equilibrio térmico con su boca. Podemos ver como el líquido plateado (mercurio) se expande dentro del tubo de vidrio y se puede leer en la escala del termómetro para saber la temperatura del paciente. 8.1.1.2 ¿Qué es un Termómetro? Un termómetro es un instrumento que mide la temperatura de un sistema en forma cuantitativa. Una forma fácil de hacerlo es encontrando una sustancia que tenga una propiedad que cambie de manera regular con la temperatura. La manera más "regular" es de forma lineal:

t(x)=ax+b.

Donde t es la temperatura y cambia con la propiedad x de la sustancia. Las constantes a y b dependen de la sustancia usada y deben ser evaluadas en dos puntos de temperatura específicos sobre la escala, por ejemplo, 32° para el punto congelamiento del agua y 212° para el punto de ebullición. Despué s se aclara que este es el rango de una escala ya conocida como la Fahrenheit. Por ejemplo, el mercurio es líquido dentro del rango de temperaturas de -38,9° C a 356,7° C (la escala Celsius se discute más adelante ). Como un líquido, el mercurio se expande cuando se calienta, esta expansión es lineal y puede ser calibrada con exactitud.

El dibujo del termómetro de vidrio de mercurio ilustrado anteriormente contiene un bulbo fijo con mercurio (bulb) que le permite expandirse dentro del capilar . Esta expansión fue calibrada sobre el vidrio del termómetro.

96

8.1.2 ESCALAS DE TEMPERATURA A principios del siglo XVIII, Gabriel Fahrenheit (1686-1736) creó la escala Fahrenheit. Fahrenheit asignó al punto de congelación del agua una temperatura de 32 grados y al punto de ebullición una de 212 grados. Su escala está anclada en estos dos puntos. Unos años más tarde, en 1743, Anders Celsius (1701-1744) inventó la escala Celsius. Usando los mismos puntos de anclaje Celsius asignó al punto de congelación del agua una temperatura de 0 grados y al de ebullición una de 100 grados. La escala Celsius se conoce como el Sistema Universal. Es el que se usa en la mayoría de los países y en todas las aplicaciones científicas. Hay un límite a la temperatura mínima que un objeto puede tener. La escala Kelvin está diseñada de forma que este límite es la temperatura 0. La relación entre las diferentes escalas de temperatura es la siguiente:

CTKT º15.273º += ( )32º9

5º −= FTCT 32º

5

9º += CTFT (3.1)

Para ir de una escala a otra puede usar esta calculadora para convertir temperaturas A la temperatura del cero absoluto no hay movimiento y no hay calor. Es cuando todo el movimiento atómico y molecular se detiene y es la temperatura más baja posible. El cero absoluto tiene lugar a 0 grados Kelvin, -273.15 grados Celsius o -460 grados Fahrenheit. Todos los objetos tienen una temperatura más alta que el cero absoluto y por lo tanto emiten energía térmica o calor. Si queremos entender qué significa la temperatura a nivel molecular debemos recordar que la temperatura es la energía media de las moléculas que componen una

oF oC oK

El agua hierve a 212 100 373

Temperatura Ambiente 72 23 296

El agua se congela a 32 0 273

Cero Absoluto -460 -273 0

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sustancia. Los átomos y las moléculas no siempre se mueven a la misma velocidad. Esto significa que hay un rango de energías entre ellas. En un gas, por ejemplo, las moléculas se mueven en direcciones aleatorias y a diferentes velocidades algunas se mueven rápido y otras más lentamente. A veces estas moléculas colisionan entre si. Cuando esto tiene lugar las moléculas que se mueven más deprisa transfieren parte de su energía a las que se mueven más despacio, haciendo que la más rápidas se ralenticen y las más lentas se aceleren. Si ponemos más energía en el sistema, la velocidad media de las moléculas se incrementa, lo que hace que se produzca energía térmica o calor. Por lo tanto, temperaturas altas corresponden a sustancias que tienen un movimiento medio molecular mayor. Nosotros, por supuesto, no podemos sentir ni medir el movimiento de cada molécula, solo el movimiento medio de todas ellas. En un objeto frío las moléculas se mueven lentamente y en uno caliente se mueven deprisa. Cuando dos objetos se ponen en contacto sus movimientos moleculares medios se igualan y cuando esto ocurre se dice que han alcanzado equilibrio térmico

8.1.3 APLICACIÓN Resuelva los siguientes problemas empleando las ecuaciones 3.1.

1- Expresar en las escalas Fahrenheit y Kelvin las siguientes temperaturas: a. punto de ebullición del Hg. (375ºC) b. punto de ebullición del Ni. (-195ºC)

2- Un termómetro posee dos escalas: Celsius y Fahrenheit. 40ºC, ocupan

una longitud de 18cm. Calcular la longitud ocupada por 30ºF.

3- Que temperaturas se expresan por el mismo valor en las escalas a- Celsius y Fahrenheit

b- Kelvin y Fahrenheit

4- Cuando un termómetro graduado en la escala Celsius señala a- el doble b- la mitad c- los tres cuartos d- 10 unidades mas e- Que otro graduado en la escala Fahrenheit.

5- Un termómetro correcto graduado en la escala Celsius señala una

temperatura de 30ºC. En el mismo lugar un termómetro incorrecto graduado en la escala Fahrenheit indica 87.1ºF. Hallar el error de este termómetro. R= 1.1 F

6- A un cuerpo que estaba a 10ºC se le incremento su temperatura en

18ºF, luego se le disminuyo 5ºK y finalmente se le incremento 22ºC. determine cual es su temperatura final.

7- Se tienen dos escalas termométricas A y B, de tal modo que el agua

hierve a 240ºA 180ºB. Si al aumentar la temperatura en 1ºA equivale a aumentar 1,5ºB, calcular a que temperatura coinciden las dos escalas A y B.

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8- Para que temperatura en ºC se cumplirá la siguiente relación:

CFK º92º2º −=+ La variación de la temperatura sobre los cuerpos o sustancias también genera como consecuencia otro fenómeno llamado la dilatación . Tema a considerar en la fase de diseño y proyección en materias aplicadas como resistencia de los materiales, conductores eléctricos y todas aquellas en que se toma muy en cuenta el comportamiento molecular de los materiales. 8.2 CLASES DE DILATACION EN LOS SÓLIDOS La dilatación en los sólidos se da de forma lineal, superficial y volumétrica. Las cuales describimos a continuación: 8.2.1 DILATACION LINEAL Esta clase de dilatación se da cuando el sólido se somete a una variación de temperatura y como consecuencia cambia su longitud en una sola dirección, como se indica en la siguiente figura.

Con la siguiente expresión, se determina la longitud final:

)1( TLoL ∆⋅+⋅= α Donde: L= Longitud final Lo= Longitud inicial α = coeficiente de dilatación lineal T∆ = variación de temperatura (Tf – To) 8.2.2 DILATACION SUPERFICIAL Tal como en el fenómeno anterior cuando se presenta una disminución o incremento de temperatura sobre el sólido genera la variación del sus medidas iníciales ahora en dos direcciones, como se indica en la siguiente figura.

)1( TSoS ∆⋅+⋅= β

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Donde: S = área final So = área inicial β = coeficiente de dilatación superficial ( β =2α ) 8.2.3 DILATACION VOLUMETRICA Se genera como consecuencia de modificar sus medidas iniciales en tres direcciones bajo la variación de la temperatura, como se muestra en la siguiente figura.

)1( TVoV ∆⋅+⋅= γ Donde: V = Volumen final Vo = Volumen inicial γ = coeficiente de dilatación volumétrica (γ = 3α ) 8.2.4 APLICACIONES

Problema 1 - La longitud de un cable de aluminio es de 30m a 20°C. Sabiendo que el cable es calentado hasta 60°C y que el coeficien te de dilatación lineal del aluminio es de 24*10-6 1/°C.

Determine:

a) la longitud final del cable

b) la dilatación del cable.

Problema 2- Una barra de hierro de 10cm de longitud está a 0°C; sabiendo que el valor de α es de 12*10-6 1/°C.

Calcular:

a) La Lf de la barra y la ∆ L a 20 °C

b) La Lf de la barra a -30 °C.

Problema 3- La longitud de un cable de acero es de 40 m a 22 °C. Determine su longitud en un día en que la temperatura es de 34 °C, sabiendo que el coeficiente de dilatación lineal del acero es igual a 11*10-6 1/°C.

100

Problema 4- A través de una barra metálica se quiere medir la temperatura de un horno para eso se coloca a una temperatura de 22 °C en el horno. Después de un cierto tiempo se retira la barra del horno y se verifica que la dilatación sufrida equivale a 1,2 % de su longitud inicial, sabiendo que α = 11*10-6 1/°C.

Determine: La temperatura del horno en el instante en que la barra fue retirada.

Problema 5- La plataforma de la figura es horizontal y está apoyada en 2 columnas; una de Aluminio y otra de Hierro. Determine las longitudes de las barras a 0°C para que la plataforma permanezca horizontal a cualquier temperatura, sabiendo que la diferencia de nivel entre los puntos A y B es de 50cm y que α hierro = 12*10-6 1/°C y α

aluminio = 24*10-6 1/°C.

Observación: Para que la plataforma quede siempre horizontal es necesario que la dilatación de la columna de hierro sea igual a la dilatación de la columna de

aluminio; o sea: ∆L Fe = ∆L Al.

Problema 6- Una barra de hierro a 20°C se introduce en un hor no cuya temperatura se desea determinar. El alargamiento sufrido por la barra es un centésimo de su longitud inicial. Determine la temperatura del horno, sabiéndose que el coeficiente de dilatación lineal del hierro es de 11,8*10-6 1/°C.

Problema 7- Una barra de metal de longitud Lo a 0°C sufre un aumento de longitud de 1/100 de Lo cuando se la calienta a 500°C. ¿Cuál es el coefici ente de dilatación del metal?

Problema 8- En el interior de un horno se coloca una barra de 300,5m de Lo a una temperatura to = 10°C y su L f pasa a ser 300,65 m. Determinar la tf del horno; sabiendo que: α = 13*10-6 1/°C.

Problema 9- Un oleoducto de acero tiene 1.500 m de longitud a una temperatura de 30°C. Sabiendo que: α = 12*10-6 1/°C. ¿Cuál será su longitud a 10 °C?

Problema 10- Un hilo de latón tiene 20 m de longitud a 0°C. De termine su longitud si fuera calentado hasta una temperatura de 80°R. S e sabe que: α latón = 0,000018 1/°C.

101

Problema 11- Un pedazo de caño de cobre tiene 5m de longitud a 20 °C. Si fuera calentado hasta una temperatura de 70 °C, siendo: α

cobre = 17*10-6 1/°C. ¿En cuánto aumentaría su longitud?

Problema 12- En cuánto varía la longitud de un cable de plomo de 100 m inicialmente a 20 °C, cuando se lo calienta hasta 6 0 °C, sabiendo que: α

plomo = 29*10-6 1/°C.

Problema 13- Un caño de hierro por el cual circula vapor de agua tiene 100 m de longitud. ¿Cuál es el espacio libre que debe ser previsto para su dilatación lineal, cuando la temperatura varíe de -10 °C a 120 °C?. Sa biendo que: α �hierro = 12*10-6 1/°C.

Problema 14- Un puente de acero de una longitud de 1 Km a 20 °C está localizado en una ciudad cuyo clima provoca una variación de la temperatura del puente entre 10 °C en la época más fría y de 55 °C en la época m ás calurosa. ¿Cuál será la variación de longitud del puente para esos extremos de temperatura?. Se sabe que: α �acero = 11*10-6 1/°C.

Problema 15- Una barra de acero tiene una longitud de 2 m a 0 °C y una de aluminio 1,99 m a la misma temperatura. Si se calientan ambas hasta que tengan la misma longitud, ¿cuál debe ser la temperatura para que ocurra?. Se sabe que: α

acero = 11*10-6 1/°C y α aluminio = 24*10-6 1/°C.

Problema 16- Un anillo de cobre tiene un diámetro interno de 3,98 cm a 20 °C. ¿A qué temperatura debe ser calentado para que encaje perfectamente en un eje de 4 cm de diámetro. Sabiendo que: α cobre = 17*10-6 1/°C.

Problema 17- Una chapa de zinc tiene un área de 6 m2 a 16 °C. Calcule su área a 36 °C, sabiendo que el coeficiente de dilatación li neal del zinc es de 27*10-6 1/°C.

Problema 18- Determine la temperatura en la cual una chapa de cobre de área 10 m2 a 20 °C adquiere el valor de 10,0056 m 2. Considere el coeficiente de dilatación superficial del cobre es 34*10-6 1/°C.

Problema 19- Una esfera de acero de radio 5,005 cm es colocada sobre un anillo de zinc de 10 cm de diámetro, ambos a 0 °C. ¿Cuál e s la temperatura en la cual la esfera pasa por el anillo?

Sabiendo que: α �zinc = 0,000022 1/°C y αacero = 0,000012 1/°C.

Problema 20- Una chapa de acero tiene un área de 36 m2 a 30 °C. Calcule su área a 50 °C, sabiendo que el coeficiente de dilatación superficial del acero es de 22*10-6 1/°C.

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Problema 21- Un disco de plomo tiene a la temperatura de 20 °C ; 15 cm de radio. ¿Cuáles serán su radio y su área a la temperatura de 60 °C?. Sabiendo que: α ��plomo= 0,000029 1/°C.

Problema 22- Una chapa a 0°C tiene 2m 2 de área. Al ser calentada a una temperatura de 50°C, su área aumenta 10 cm 2. Determine el coeficiente de dilatación superficial y lineal del material del cual está formada la chapa.

Problema 23- Se tiene un disco de cobre de 10 cm de radio a la temperatura de 100 °C. ¿Cuál será el área del disco a la temperatu ra de 0 °C?. Se sabe que: α

cobre = 17*10-6 1/°C.

Problema 24- Un cubo metálico tiene un volumen de 20 cm3 a la temperatura de 15 °C. Determine su volumen a la temperatura de 25 °C, siendo el coeficiente de dilatación lineal del metal igual a 0,000022 1/°C.

Problema 25- Un recipiente de vidrio tiene a 10 °C un volumen interno de 200 ml. Determine el aumento del volumen interno de ese recipiente cuando el mismo es calentado hasta 60 °C. Se sabe que: α = 3*10-6 1/°C.

Problema 26- Un cuerpo metálico en forma de paralelepípedo tiene un volumen de 50 cm3 a la temperatura de 20 °C. Determine el volumen fi nal y el aumento de volumen sufrido por el paralelepípedo cuando la temperatura sea 32 °C. Se sabe que: α = 0,000022 1/°C.

Problema 27- ¿Cuál es el volumen de una esfera de acero de 5 cm de radio a 0 °C, cuando su temperatura sea de 50 °C?. Sabiendo que: α

acero = 0,000012 1/°C.

8.3 CALOR Todos sabemos que cuando calentamos un objeto su temperatura aumenta. A menudo pensamos que calor y temperatura son lo mismo. Sin embargo este no es el caso. El calor y la temperatura están relacionadas entre si, pero son conceptos diferentes. El calor es la energía total del movimiento molecular en una sustancia, mientras temperatura es una medida de la energía molecular media. El calor depende de la velocidad de las partículas, su número, su tamaño y su tipo. La temperatura no depende del tamaño, del número o del tipo. Por ejemplo, la temperatura de un vaso pequeño de agua puede ser la misma que la temperatura de un cubo de agua, pero el cubo tiene más calor porque tiene más agua y por lo tanto más energía térmica total.

103

El calor es lo que hace que la temperatura aumente o disminuya. Si añadimos calor, la temperatura aumenta. Si quitamos calor, la temperatura disminuye. Las temperaturas más altas tienen lugar cuando las moléculas se están moviendo, vibrando y rotando con mayor energía. El calor puede transferirse de un lugar a otro por tres métodos diferentes: conducción en sólidos, convección en fluidos (líquidos o gases) y radiación a través de cualquier medio transparente a ella. El método elegido en cada caso es el que resulta más eficiente. Si hay una diferencia de temperatura el calor siempre viajará del lugar más caliente al más frío.

James Prescott Joule (1818 - 1889), físico Inglés. Descubridor de que el calor es un tipo de energía.

El experimento de Joule fue muy importante porque demostró que podemos calentar agua sin necesidad de usar fuego. En un recipiente con agua y con un termómetro para controlar su temperatura, Joule hizo girar vigorosamente un molinillo. Después de un rato se dio cuenta de que la temperatura del agua aumentaba. Tras de repetir el experimento muchas veces llegó a la conclusión de que 4.19 Julios de trabajo eran necesarios para subir la temperatura de un gramo de agua un grado Celsius. 8.3.1 METODOS DE TRANSMICION DE CALOR. 8.3.1.1 CONDUCCIÓN: La conducción tiene lugar cuando dos objetos a diferentes temperaturas entran en contacto. El calor fluye desde el objeto más caliente hasta más frío, hasta que los dos objetos alcanzan a la misma temperatura. La conducción es el transporte de calor a través de una sustancia y se produce gracias a las colisiones de las moléculas. En el lugar donde los dos objetos se ponen en contacto, las moléculas del objeto caliente, que se mueven más deprisa, colisionan con las del objeto frío, que se mueven más despacio. A medida que colisionan las moléculas rápidas dan algo de su energía a las más lentas. Estas a su vez colisionan con otras moléculas en el objeto frío. Este proceso continúa hasta que la energía del objeto caliente se extiende por el objeto frío. Algunas sustancias conducen el calor mejor que otras. Los sólidos son mejores conductores que los líquidos y éstos mejor que los gases. Los metales son muy buenos conductores de calor, mientras que el aire es muy mal conductor. Puede experimentar como el calor se transfiere por conducción siempre que toca algo que está más caliente o más frío que su piel, por ejemplo cuando se lava las manos en agua caliente o fría.

104

Imagen térmica infrarroja de dos tazas de café llenas de un líquido caliente. Note como el calor del líquido hace que las tazas brillen. El calor se transfiere del líquido caliente a las tazas por conducción.

8.3.1.2 CONVECCIÓN: En líquidos y gases la convección es usualmente la forma más eficiente de transferir calor. La convección tiene lugar cuando áreas de fluido caliente ascienden hacia las regiones de fluido frío. Cuando esto ocurre, el fluido frío desciende tomando el lugar del fluido caliente que ascendió. Este ciclo da lugar a una continua circulación en que el calor se transfiere a las regiones frías. Puede ver como tiene lugar la convección cuando hierve agua en una olla. Las burbujas son las regiones calientes de agua que ascienden hacia las regiones más frías de la superficie. Probablemente usted este familiarizado con la expresión: "el aire caliente sube y el frío baja" - que es una descripción de el fenómeno de convección en la atmósfera. El calor en este caso se transfiere por la circulación del aire.

Imagen térmica infrarroja mostrando como hierve el aceite en una sartén. El aceite está transfiriendo calor hacia fuera de la sartén por convección. Note las partes calientes (amarillas) de aceite caliente ascendente y las partes frías del aceite que desciende. Imagen cortesía de K.-P. Möllmann and M. Vollmer, Universidad de Ciencias Aplicadas Brandenburg/Germany.

105

8.3.1.3 RADIACIÓN : Tanto la conducción como la convección requieren la presencia de materia para transferir calor. La radiación es un método de transferencia de calor que no precisa de contacto entre la fuente y el receptor del calor. Por ejemplo, podemos sentir el calor del Sol aunque no podemos tocarlo. El calor se puede trasferir a través del espacio vacío en forma de radiación térmica. Esta, conocida también como radiación infrarroja, es un tipo de radiación electromagnética (o luz). La radiación es por tanto un tipo de transporte de calor que consiste en la propagación de ondas electromagnéticas que viajan a la velocidad de la luz. No se produce ningún intercambio de masa y no se necesita ningún medio. Los objetos emiten radiación cuando electrones en niveles de energía altos caen a niveles de energía bajos. La energía que se pierde es emitida en forma de luz o radiación electromagnética. La energía absorbida por los átomos hace que sus electrones "salten" a niveles de energía superiores. Todos los objetos absorben y emiten radiación. ( Este es un "applet" de java que muestra como un átomo absorbe y emite radiación). Cuando la absorción de energía está equilibrada con la emisión, la temperatura del objeto permanece constante. Si la absorción de energía domina, la temperatura del objeto aumenta, si la emisión domina, la temperatura disminuye.

Imagen térmica infrarroja del centro de nuestra galaxia. Este calor, procedente de numerosas estrellas y nubes interestelares, ha viajado unos 24,000 años luz (aproximadamente 240,000,000,000,000,000km!) a través del espacio en forma de radiación hasta llegar a nuestros telescopios infrarrojos. 8.4 MEDIDA DEL CALOR Como ya lo demostró el científico ingles, james Prescott Joule; que el calor es una energía de transito que puede ser medida con el calorímetro de Joule, introdujo como unidad de medida del calor la caloría (cal) que se define como: “La cantidad de calor necesaria que debe absorber un gramo de agua para q ue su temperatura aumente en 1ºC” 3. Por lo tanto, entre la unidad del Julio y de la caloría existe una relación. Dicha relación conocida como el equivalente mecánico del calor que es igual

1cal =4.18J

Por este motivo la cantidad de calor que un cuerpo puede ceder o ganar se mide también en Joule. Que es la unidad del calor en el Sistema Internacional de Unidades.

106

8.4.1 EL CALOR ESPECÍFICO Como se había indicado que el calor es una energía de transito y que por tanto puede ceder o ganar, esto depende de los materiales de contacto y sus propiedades. Debido a esta observación, se introduce el concepto de calor especifico, que se define como: “La cantidad de calor que debe absorbe 1gr de susta ncia para su temperatura aumente en un 1 grado Celsius” 4 Cuanto mayor sea el calor específico de una sustancia mayor será la cantidad de calor que debe absorber para aumentar su temperatura y la cantidad de calor que desprenda al disminuir su temperatura. La unidad del calor especifico esta dado en: Joule por kilogramo y por grado kelvin ó en su equivalente en calorías por gramo y por grado Celsius . Hay que recalcar que todas las sustancias tienen su calor específico como se indica en la siguiente tabla.

Sustancia Cal /gr.ºC J/kg.K

Aceite 0.47 1.965 Agua 1.00 4.186 Aire 0.24 1.003

Alcohol 0.66 2.759 Aluminio 0.22 920 Cobre 0.09 376 Hielo 0.53 2.215 Hierro 0.12 502

Mercurio 0.03 126 Vapor de agua 0.48 2.020

Gasolina 0.53 -- Hormigón 0.16 --

Vidrio 0.15 -- Madera 0.55 -- Asbesto 0.25 --

8.4.2 FORMULA DEL CALOR El calor (q) absorbido o desprendido o algún cuerpo, para que se produzca el aumento o disminución de temperatura, depende de tres factores: de la masa (m) del cuerpo, del calor específico (Ce) y de la diferencia entre la temperatura inicial (Ti) o final (Tf), expresado en la siguiente ecuación:

TCemq ∆⋅⋅= (3.2)

T

QK

∆= (3.2.1)

3- Física 10, Santillana, 1997, Pág. 198 4.- Física, Serway-Faughn, 2001, Pág. 342

107

De la ecuación 3.2 si q es + se considera que esta absorbiendo o ganando calor lo contrario ocurrirá cuando q sea -; y la ecuación 3.2.1 es la relación entre la capacidad calorífica (K) y el calor. 8.4.3 APLICACIONES 8.4.3.1.- Una barra cuadrada de aluminio de cm20 de lado y cm80 de longitud,

recibe kcal800 . Si su temperatura inicial era de C025 cual será su temperatura final, si

la densidad del aluminio es de 32710 mkg . Solución

Calculo de la temperatura final ( )fi TTcemq −⋅⋅=

if Tcem

qt +

⋅=

25800 +

⋅=

cemt f

Valor de ce: las tablas 217,0=ce

Calculo de la masa

ρ⋅= Vm

2710⋅= Vm

Calculo del volumen

LlV ⋅= 2 8,020,0 2 ⋅=V 3.032,0 mV =

2710032,0 ⋅=m Kgm .72,86=

25217,072,86

800 +⋅

=fT

CT f

051,67=

108

8.4.2.1- Un cilindro de hierro de cm20 de diámetro y cm90 de longitud, es sometido a

un tratamiento térmico en el cual su temperatura baja de C0100 a C020 , Indique la

cantidad de calor perdido, si la densidad del hierro es de 37200 mkg . Solución

Calculo del calor perdido

( )20100−⋅⋅= cemq

Valor de ce: tablas Pág. 103, 113,0=ce

Calculo de la Masa

ρ⋅= Vm

7200⋅= Vm

Calculo del volumen

Ld

V ⋅

⋅=4

2π

9,04

2,0 2

⋅

⋅= πV

302827,0 mV =

720002827,0 ⋅=m

kgm 57,203=

( )20100113,057,203 −⋅⋅=q

kcalq 31,1840= 8.5 ESTADOS DE LA MATERIA 8.5.1 Los cinco estados de la materia Los diferentes estados en que podemos encontrar la materia de este universo en el que vivimos se denominan estados de agregación de la materia, porque son las distintas maneras en que la materia se "agrega", distintas presentaciones de un conjunto de átomos. Los estados de la materia son cinco:

( )if TTcemq −⋅⋅=

109

1. Sólido 2. Líquido 3. Gaseoso 4. Plasma 5. Condensado de Bose-Einstein

Los tres primeros son de sobra conocidos por todos nosotros y los encontramos en numerosas experiencias de nuestro día a día. El sólido lo experimentamos en los objetos que utilizamos, el líquido en el agua que bebemos y el gas en el aire que respiramos.

El plasma es un estado que nos rodea, aunque lo experimentamos de forma indirecta. El plasma es un gas ionizado, esto quiere decir que es una especie de gas donde los átomos o moléculas que lo componen han perdido parte de sus electrones o todos ellos. Así, el plasma es un estado parecido al gas, pero compuesto por electrones, cationes (iones con carga positiva) y neutrones. En muchos casos, el estado de plasma se genera por combustión .

El Sol situado en el centro de nuestro sistema solar está en estado de plasma, no es sólido, y los conocidos tubos fluorescentes contienen plasma en su interior (vapor de mercurio). Las luces de neón y las luces urbanas usan un principio similar. La ionosfera, que rodea la tierra a 70,80km de la superficie terrestre, se encuentra también en estado de plasma. El viento solar, responsable de las deliciosas auroras boreales, es un plasma también.

En realidad, el 99% de la material conocida del universo se encuentra en estado de plasma. Aunque también es verdad que sólo conocemos el 10% de la material que compone el universo. Esto significa que el escaso 105 de materia que hemos estudiado, el 99% es plasma, o sea, casi todo es plasma en el universo.

Es interesante analizar que los griegos sostenían que el universo estaba formado por cuatro elementos: aire, agua, tierra y fuego. Haciendo un símil, podríamos asignar un elemento físico a cada elemento filosófico:

Aire - Gas Agua - Líquido Tierra - Sólido

Fuego - Plasma

¿Dónde podemos incluir el condensado de Bose - Einstein?

Condensado de Bose - Einstein

En 1920, Santyendra Nath Bose desarrolló una estadística mediante la cual se estudiaba cuándo dos fotones debían ser considerados como iguales o diferentes. Envió sus estudios a Albert Einstein, con el fin de que le apoyara a publicar su novedoso estudio en la comunidad científica y, además de apoyarle, Einstein aplicó lo desarrollado por Bose a los átomos. Predijeron en conjunto el quinto estado de la materia en 1924.

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No todos los átomos siguen las reglas de la estadística de Bose-Einstein. Sin embargo, los que lo hacen, a muy bajas temperaturas, se encuentran todos en el mismo nivel de energía. 8.5.2 CAMBIOS DE ESTADO

8.5.2.1 Fusión y solidificación

Cuando se le comunica calor a un sólido cristalino, su temperatura aumenta progresivamente y al alcanzar un determinado valor se produce la transición o cambio de fase del estado sólido al líquido que denominamos fusión. Si las condiciones de presión exterior se mantienen constantes, el cambio de fase se verifica a una temperatura fija o punto de transición entre ambos estados, que se mantiene constante hasta que el sólido se ha fundido totalmente.

El calor que debe suministrarse a la unidad de masa de un sólido para convertirlo en líquido a la temperatura de fusión se denomina calor de fusión lf. En el agua lf vale 80 cal/g o su equivalente en unidades Sl: 3,34 · 105 J/kg.

A nivel molecular la fusión se produce como consecuencia del derrumbamiento de la estructura cristalina. El incremento de temperatura da lugar a un aumento en la amplitud de las vibraciones de las partículas en la red, que termina por romper los enlaces y producir la fusión. Una vez que se alcanza la energía de vibración correspondiente a la temperatura de fusión, el calor recibido se emplea en romper nuevos enlaces, de ahí que se mantenga constante la temperatura durante el proceso.

La solidificación es la transición de líquido a sólido que se produce de forma inversa a la fusión, con cesión de calor. Cualquiera que sea la sustancia considerada el punto o temperatura de transición entre dos estados o fases de la materia es el mismo independientemente del sentido de la transformación. La disminución progresiva de la temperatura del líquido hace que en las proximidades del punto de solidificación las fuerzas de enlace vayan imponiendo progresivamente su orden característico.

8.5.2.2 Vaporización y condensación

Constituyen dos procesos inversos de cambio de estado. La vaporización es el paso de una sustancia de la fase líquida a la fase de vapor o fase gaseosa. La condensación es la transición de sentido contrario. Cuando la vaporización se efectúa en el aire recibe el nombre de evaporación. La evaporación afecta principalmente a las moléculas de la superficie del líquido.

Cada molécula de la superficie está rodeada por un menor número de sus compañeras; ello hace que puedan vencer con más facilidad las fuerzas atractivas del resto del líquido e incorporarse al aire como vapor. De ahí que cuanto mayor sea la superficie libre del líquido tanto más rápida será su evaporación.

El aumento de temperatura activa este proceso. Para cada valor de la presión exterior existe una temperatura para la cual la vaporización se vuelve violenta, afectando a todo el líquido y no sólo a su superficie. Esta forma tumultuosa de vaporización se denomina ebullición . El punto de ebullición de un líquido depende de las condiciones de presión exterior, siendo tanto más elevado cuanto mayor sea ésta.

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Todo proceso de vaporización implica la absorción de calor por parte del líquido respecto del entorno. La cantidad de calor necesaria para transformar la unidad de masa de un líquido en vapor, a la temperatura de ebullición, se denomina calor de vaporización lv. En el agua lv vale 540 cal/g o, en unidades S.l.: 22,57 · 105 J/kg.

La condensación como transición de vapor a líquido se lleva a efecto invirtiendo las condiciones que favorecen la vaporización. Así, mientras que la disminución de la presión exterior facilita la vaporización, la compresión del vapor formado facilita la condensación; el aumento de temperatura de un líquido provoca su vaporización e, inversamente, el enfriamiento del vapor favorece su condensación.

En términos moleculares, tanto el aumento de presión como la disminución de la temperatura del vapor reducen la distancia media de las moléculas y hacen posible su unión.

8.5.2.3 Sublimación

Aunque es un fenómeno poco frecuente a la temperatura y presión ordinaria, algunas sustancias como el yodo o el alcanfor pueden transformase directamente de sólido a vapor sin necesidad de pasar por la fase intermedia de líquido. A tal fenómeno se le denomina sublimación.

La transición o cambio de estado de sentido inverso se denomina de igual manera, por ello a veces se distinguen ambas llamando a la primera sublimación progresiva y a la segunda sublimación regresiva.

En principio, cualquier sustancia pura puede sublimarse, pero debido a las condiciones de bajas presiones y temperaturas a las que es posible esta transición, el fenómeno sólo es reproducible, para la mayor parte de las sustancias, en el laboratorio.

Al igual que la fusión y la vaporización, también la sublimación (progresiva) absorbe una determinada cantidad de calor. Se denomina calor de sublimación a la cantidad de calor necesaria para sublimar la unidad de masa de una sustancia.

8.6 PUNTO DE FUSION Y DE EBULLICION

8.6.1 Punto de ebullición:

Si ponemos al fuego un recipiente con agua, como el fuego está a mayor temperatura que el agua, le cede calor y la temperatura del agua va aumentando, lo que podemos comprobar si ponemos un termómetro en el agua. Cuando el agua llega a 100°C, empieza a hervir, convirtiéndose en vapor de agua, y deja de aumentar su temperatura , pese a que el fuego sigue suministrándole calor : al pasar de agua a vapor de agua todo el calor se usa en cambiar de líquido a gas, sin variar la temperatura .

La temperatura a la que una sustancia cambia de líquido a gas se llama punto de ebullición y es una propiedad característica de cada sustancia, así, el punto de ebullición del agua es de 100°C, el del alcohol de 78°C y el hierro hierve a 2750°C.

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8.5.2 Punto de fusión:

Si sacas unos cubitos de hielo del congelador y los colocas en un vaso con un termómetro verás que toman calor del aire de la cocina y aumentan su temperatura . En un principio su temperatura estará cercana a -20°C (depende del tipo de congelador) y ascenderá rápidamente hasta 0°C, se e mpezará a formar agua líquida y la temperatura que permanecerá constante hasta que todo el hielo desaparezca.

Igual que en el punto de ebullición, se produce un cambio de estado, el agua pasa del estado sólido (hielo) al estado líquido (agua) y todo el calor se invierte en ese cambio de estado, no variando la temperatura , que recibe el nombre de punto de fusión . Se trata de una temperatura característica de cada sustancia: el punto de fusión del agua es de 0°C, el alcohol funde a -117°C y el hier ro a 153°C.

Sustancia Punto de Fusión (°C)

Calor de Fusión (cal/gr) Punto de Ebullición

(°C)

Calor de Vaporización

(Cal/gr)

Agua Alcohol Hierro Cobre

Aluminio Plomo

Mercurio

0 -117 1539 1083 660 328 -39

79.71

---- 63.74

42 76.80 5.91 2.82

100 78

2750 2600 2400 1750 357

539.2 208

1415.85 1145.89 2261.55

203 69.69

8.6.3 APLICACIONES 8.6.3.1 Un cubo de hielo (m=25gr) se saca del congelador a una temperatura de de -18oC. Determine: a) la cantidad de Calor para fundir el hielo. b) ya en estado liquido. La cantidad de calor par hacerle vaporizar.

1qTCemq +∆⋅⋅= a) Solidó a Liquido

fifhielo LmTTCemq ⋅+−⋅⋅= )(

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calcalq 75.1992238 −=

calq 75.4492=

b) Liquido a Vapor

Vifagua LmTTCemq ⋅+−⋅⋅= )(

)55.53925()0100(125gr

calgrC

Cgr

calgrq o

o⋅+

−⋅

⋅⋅=

calcalq 75.134882500 +=

calq 75.15988=

8.6.3.2 Calcular la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 150gr de hielo de -10oC hasta un estado de vapor a 120oC.

TCemqtCemqTCemq VaporVLAguaLSHielo ∆⋅⋅++∆⋅⋅++∆⋅⋅= −−

)()( ifVaporVaguaFifagua TTCemLmCemLmTTCemq −⋅⋅+⋅+⋅+⋅+−⋅⋅=

−⋅

⋅⋅+

⋅+

−⋅

⋅⋅+

⋅+

+⋅

⋅⋅= )100120(482.0150540150)0100(115071.79150)100(5.0150

Cgr

calgr

gr

calgr

Cgr

calgr

gr

calgrC

Cgr

calgrq

ooo

o

calcalcalcalcalq 144681000150005.11956750 ++++=

calq 5.110152= 8.5.3.2 En un vaso térmico que contiene un refresco a 250C se coloca un cubo de hielo de 15gr a -50C, ¿Cuál es la temperatura final del refresco? Asuma el Ce de la mezcla 0.35 cal/gr.0C y la masa inicial del mismo 370gr.

)71.7925())18(0(53.025gr

calgrC

Cgr

calgrq o

o⋅+

−−⋅

⋅⋅=

114

HieloR qq =

−⋅

⋅⋅+

⋅+

+⋅

⋅⋅=

−⋅

⋅⋅ CT

Cgr

calgr

gr

calgrC

Cgr

calgrCT

Cgr

calgr foo

ofo

00 )0(1158015)50(46.015)25(5.0370

CTf

086.13=

8.7 PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1.- Calcular que cantidad de calor es necesario para trasformar 800onzas de hielo a -20oC en vapor a 150oC. Problema 2.- En un calorímetro de aluminio de 3lb con 200mlt de agua a 200C se le coloca un bloque de hierro de 50gr a 700C. Determine la temperatura final de la mezcla. Problema 3.- ¿Cuanto calor en total requiere un cubo de hielo de 250onzas a -80C hasta evaporarlo un 55% de su masa a una presión de 1atm? Problema 4.- 150gr de vapor a 1300C se condensa en 1200gr de agua a 50C. ¿Cuál es su temperatura final? Problema 5.- Un calorímetro de cobre de masa 200gr, contiene 30onzas de agua a 400C. Si se introducen 0.120kg de hielo a -100C. Determine la temperatura final de la mezcla? Problema 6.- se mezclan 200gr de agua a 25oC con 300gr de alcohol a 60oC (Ce=0.66cal/gr.oC).Halle la temperatura final de al mezcla. Problema 7.- Un cuerpo tiene una capacidad calorífica de 6cal/ºC y su masa es de 300gr. Si la temperatura pasa de 16ºC a 96ºF, determine que cantidad de calor absolvió y cual es su calor específico. Problema 8.- Se tiene dos cubos del mismo material de aristas a y 2a, a temperaturas de T y 2T respectivamente, los cuales se pone en contacto por una de sus caras y durante cierto tiempo hasta llegar al equilibrio. Determinar la temperatura de equilibrio. 8.8 LOS GASES

La materia puede presentarse en tres estados: sólido, líquido y gaseoso. En este último estado se encuentran las sustancias que denominamos comúnmente "gases".

8.8.1 Ley de los gases Ideales

Según la teoría atómica las moléculas pueden tener o no cierta libertad de movimientos en el espacio; estos grados de libertad microscópicos están asociados con el concepto de orden macroscópico. La libertad de movimiento de las moléculas de un sólido está restringida a pequeñas vibraciones; en cambio, las moléculas de un

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gas se mueven aleatoriamente, y sólo están limitadas por las paredes del recipiente que las contiene.

Se han desarrollado leyes empíricas que relacionan las variables macroscópicas en base a las experiencias en laboratorio realizadas. En los gases ideales, estas variables incluyen la presión (p), el volumen (V) y la temperatura (T).

La ley de Boyle - Mariotte relaciona inversamente las proporciones de volumen y presión de un gas, manteniendo la temperatura constante:

P1. V1 = P2. V2

La ley de Gay-Lussac afirma que el volumen de un gas, a presión constante, es directamente proporcional a la temperatura absoluta:

La ley de Charles sostiene que, a volumen constante, la presión de un gas es directamente proporcional a la temperatura absoluta del sistema:

* En ambos casos la temperatura se mide en kelvin (273ºK = 0ºC) ya que no podemos dividir por cero, no existe resultado.

De las tres se deduce la ley universal de los gases :

8.8.2 Teoría Cinética de los Gases

El comportamiento de los gases, enunciadas mediante las leyes anteriormente descriptas, pudo explicarse satisfactoriamente admitiendo la existencia del átomo.

El volumen de un gas: refleja simplemente la distribución de posiciones de las moléculas que lo componen. Más exactamente, la variable macroscópica V representa el espacio disponible para el movimiento de una molécula.

La presión de un gas , que puede medirse con manómetros situados en las paredes del recipiente, registra el cambio medio de momento lineal que experimentan las moléculas al chocar contra las paredes y rebotar en ellas.

La temperatura del gas es proporcional a la energía cinética media de las moléculas, por lo que depende del cuadrado de su velocidad.

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La reducción de las variables macroscópicas a variables mecánicas como la posición, velocidad, momento lineal o energía cinética de las moléculas, que pueden relacionarse a través de las leyes de la mecánica de Newton , debería de proporcionar todas las leyes empíricas de los gases. En general, esto resulta ser cierto.

La teoría física que relaciona las propiedades de los gases con la mecánica clásica se denomina teoría cinética de los gases. Además de proporcionar una base para la ecuación de estado del gas ideal. La teoría cinética también puede emplearse para predecir muchas otras propiedades de los gases, entre ellas la distribución estadística de las velocidades moleculares y las propiedades de transporte como la conductividad térmica, el coeficiente de difusión o la viscosidad.

Densidad de un gas , en un determinado volumen las moléculas de gas ocupan cierto espacio. Si aumenta el volumen (imaginemos un globo lleno de aire al que lo exponemos al calor aumentando su temperatura), la cantidad de moléculas (al tener mayor espacio) se distribuirán de manera que encontremos menor cantidad en el mismo volumen anterior. Podemos medir la cantidad de materia, ese número de moléculas, mediante una magnitud denominada masa.

La cantidad de moléculas, la masa, no varía al aumentar o disminuir (como en este caso) el volumen, lo que cambia es la relación masa � volumen. Esa relación se denomina densidad ( ρ ). La densidad es inversamente proporcional al volumen (al aumentar al doble el volumen, manteniendo constante la masa, la densidad disminuye a la mitad) pero directamente proporcional a la masa (si aumentamos al doble la masa, en un mismo volumen, aumenta al doble la densidad).

V

m=ρ

8.8.3 LEY DE AVOGADRO

Relación entre la cantidad de gas y su volumen

Esta ley, descubierta por Avogadro a principios del siglo XIX, establece la relación entre la cantidad de gas y su volumen cuando se mantienen constantes la temperatura y la presión. Recuerda que la cantidad de gas la medimos en moles.

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El volumen es directamente proporcional a la cantidad de gas:

• Si aumentamos la cantidad de gas, aumentará el volumen. • Si disminuimos la cantidad de gas, el volumen disminuye.

¿Por qué ocurre esto?

Vamos a suponer que aumentamos la cantidad de gas. Esto quiere decir que al haber mayor número de moléculas aumentará la frecuencia de los choques con las paredes del recipiente lo que implica (por un instante) que la presión dentro del recipiente es mayor que la exterior y esto provoca que el émbolo se desplace hacia arriba inmediatamente. Al haber ahora mayor distancia entre las paredes (es decir, mayor volumen del recipiente) el número de choques de las moléculas contra las paredes disminuye y la presión vuelve a su valor original. Según hemos visto en la animación anterior, también podemos expresar la ley de Avogadro así:

(El cociente entre el volumen y la cantidad de gas es constante)

Supongamos que tenemos una cierta cantidad de gas n1 que ocupa un volumen V1 al comienzo del experimento. Si variamos la cantidad de gas hasta un nuevo valor n2, entonces el volumen cambiará a V2, y se cumplirá:

Que es otra manera de expresar la ley de Avogadro.

Ejemplo:

Sabemos que 3.50 L de un gas contienen 0.875 mol. Si aumentamos la cantidad de gas hasta 1.40 mol, ¿cuál será el nuevo volumen del gas? (a temperatura y presión constantes)

Solución: Usamos la ecuación de la ley de Avogadro: V1n2 = V2n1

(3.50 L) (1.40 mol) = (V2) (0.875 mol)

Compruebe que si despejamos V2 obtenemos un valor de 5.60L

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8.8.4 LEY DE BOYLE

"En un proceso isotérmico (temperatura constante) e l volumen de un gas varía inversamente proporcional a la presión absoluta a l a que esta sometido, mientras que la densidad varia proporcionalmente a esta."

Relación entre la presión y el volumen de un gas cuando la temperatura es constante

Fue descubierta por Robert Boyle en 1662. Edme Mariotte también llegó a la misma conclusión que Boyle, pero no publicó sus trabajos hasta 1676. Esta es la razón por la que en muchos libros encontramos esta ley con el nombre de Ley de Boyle y Mariotte.

La ley de Boyle establece que la presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamente proporcional al volumen del recipiente, cuando la temperatura es constante.

El volumen es inversamente proporcional a la presión:

•Si la presión aumenta, el volumen disminuye. •Si la presión disminuye, el volumen aumenta.


Al aumentar el volumen, las partículas (átomos o moléculas) del gas tardan más en llegar a las paredes del recipiente y por lo tanto chocan menos veces por unidad de tiempo contra ellas. Esto significa que la presión será menor ya que ésta representa la frecuencia de choques del gas contra las paredes.

Cuando disminuye el volumen la distancia que tienen que recorrer las partículas es menor y por tanto se producen más choques en cada unidad de tiempo: aumenta la presión.

Lo que Boyle descubrió es que si la cantidad de gas y la temperatura permanecen constantes, el producto de la presión por el volumen siempre tiene el mismo valor.

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Como hemos visto, la expresión matemática de esta ley es:

(El producto de la presión por el volumen es constante)

Supongamos que tenemos un cierto volumen de gas V1 que se encuentra a una presión P1 al comienzo del experimento. Si variamos el volumen de gas hasta un nuevo valor V2, entonces la presión cambiará a P2, y se cumplirá:

Que es otra manera de expresar la ley de Boyle.

Ejemplo:

4.0 L de un gas están a 600.0 mmHg de presión. ¿Cuál será su nuevo volumen si aumentamos la presión hasta 800.0 mmHg?

Solución: Sustituimos los valores en la ecuación P1V1 = P2V2.

(600.0 mmHg) (4.0 L) =(800.0 mmHg) (V2)

Si despeja V2 obtendrá un valor para el nuevo volumen de 3L.

8.8.5 LEY DE GAY-LUSSAC

Relación entre la presión y la temperatura de un gas cuando el volumen es constante

Fue enunciada por Joseph Louis Gay-Lussac a principios de 1800. Establece la relación entre la temperatura y la presión de un gas cuando el volumen es constante.

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La presión del gas es directamente proporcional a su temperatura:

•Si aumentamos la temperatura, aumentará la presión. •Si disminuimos la temperatura, disminuirá la presión.


Al aumentar la temperatura las moléculas del gas se mueven más rápidamente y por tanto aumenta el número de choques contra las paredes, es decir aumenta la presión ya que el recipiente es de paredes fijas y su volumen no puede cambiar.

Gay-Lussac descubrió que, en cualquier momento de este proceso, el cociente entre la presión y la temperatura siempre tenía el mismo valor:

(El cociente entre la presión y la temperatura es constante)

Supongamos que tenemos un gas que se encuentra a una presión P1 y a una temperatura T1 al comienzo del experimento. Si variamos la temperatura hasta un nuevo valor T2, entonces la presión cambiará a P2, y se cumplirá:

Que es otra manera de expresar la ley de Gay-Lussac.

Esta ley, al igual que la de Charles, está expresada en función de la temperatura absoluta. Al igual que en la ley de Charles, las temperaturas han de expresarse en Kelvin.

Ejemplo:

Cierto volumen de un gas se encuentra a una presión de 970 mmHg cuando su temperatura es de 25.0°C. ¿A qué temperatura deberá estar para que su presión sea 760 mmHg?

Solución: Primero expresamos la temperatura en kelvin:

T1 = (25 + 273) K= 298 K

121

Ahora sustituimos los datos en la ecuación:

Si despeja T2 obtendrá que la nueva temperatura deberá ser 233.5 K o lo que es lo mismo -395°C.

8.8.6 APLICACIONES

La forma más simple de aplicar las ecuaciones de las leyes de: Avogadro, Boyle y de Gay-Lussac, es visitando sus laboratorios virtuales:

http://www.educaplus.org/gases/lab_charles.html

http://www.educaplus.org/gases/lab_boyle.html

http://www.educaplus.org/gases/ejer_gas_ideal.html

8.9 TERMODINAMICA

Es el campo de la física que describe y relaciona las propiedades físicas de sistemas macroscópicos (conjunto de materia que se puede aislar espacialmente y que coexiste con un entorno infinito e imperturbable) de materia y energía. El estado de un sistema macroscópico en equilibrio puede describirse mediante variables termodinámicas, propiedades medibles como la temperatura, la presión o el volumen.

Es posible identificar y relacionar entre sí muchas otras variables (como la densidad, el calor específico, la compresibilidad o el coeficiente de expansión térmica), con lo que se obtiene una descripción más completa de un sistema y de su relación con el entorno. Cuando un sistema macroscópico pasa de un estado de equilibrio a otro, se dice que tiene lugar un proceso termodinámico.

8.9.1 LEY CERO

Ley Cero: si dos sistemas distintos están en equilibrio termo dinámico con un tercero, también tienen que estar en equilibrio ent re sí.

2

760

298

970

T

mmHg

K

mmHg=

122

Concepto que fue empleado cunado se estudio las escalas de temperatura como también el calor cedido igual al calor ganado.

8.9.2 PRIMERA LEY

La primera ley de la termodinámica se aplica a todo proceso de la naturaleza que parte de un estado de equilibrio y termina en otro. Un sistema esta en estado de equilibrio cuando podemos describirlo por medio de un grupo apropiado de parámetros constantes del sistema como presión, el volumen, temperatura, campo magnético y otros.

La primera ley sigue verificándose si los estados por los que pasa el sistema de un estado inicial (equilibrio), a su estado final (equilibrio), no son ellos mismos estados de equilibrio. Por ejemplo podemos aplicar la ley de la termodinámica a la explosión de un cohete en un tambor de acero cerrado.

La primera ley establece que la energía se conserva , sin embargo, cuando un cuerpo caliente y otro frío se ponen en contacto no ocurre que el primero se pone más caliente y el segundo más frío. Si bien no estamos violando la primera ley, esta no restringe nuestra capacidad de convertir trabajo en calor o calor en trabajo la energía interna (U) de un sistema, especifica únicamente que la energía debe conservarse durante el proceso. La realidad es que, aunque podamos convertir una pequeña cantidad de trabajo en calor, no se ha podido hallar un procedimiento que convierta por completo una cantidad dada de calor en trabajo.

WQU −=∆

8.9.2.1 Procesos reversible e irreversibles : Consideremos un sistema típico en equilibrio termodinámico: una masa m de gas real encerrado en un dispositivo cilíndrico (cuyas paredes laterales son aislantes térmicos mientras que el piso es conductor) y un émbolo que mantiene un volumen V, dentro del cual el gas se encuentra a una presión p y una temperatura T, los que se mantienen constantes con el tiempo. En la base del cilindro tenemos una fuente de calor para mantener la temperatura.

Podemos variar de muchas maneras a otro estado de equilibrio en el cual la temperatura (T) sea la misma pero su volumen se reduzca a la mitad. Analicemos dos casos extremos.

I. Hacemos bajar el émbolo muy rápidamente y se espera que se establezca el equilibrio. Durante el proceso el gas es turbulento y su presión y temperatura no están bien definidas. Los estados intermedios en el cual se desarrolla el proceso no son de equilibrio. El proceso se denomina irreversible .

II. Si hacemos bajar el émbolo muy lentamente (despreciando a la fricción), la temperatura varía muy poco mientras que las otras variables termodinámicas estarán bien definidas a medida que vayan cambiando. Los cambios serán infinitesimales de manera que pueda invertirse la trayectoria mediante un cambio diferencial en su medio ambiente. Este proceso se denomina reversible .

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Este caso no es solamente reversible sino también isotérmico ya que suponemos una variación infinitesimal ( T∆ ).

También podríamos reducir el volumen adiabáticamente sacando al cilindro de la fuente de calor. Este proceso también puede ser reversible o irreversible dependiendo de la manera en que movamos al émbolo. Pero U∆ y T∆ no serán los mismos para los procesos adiabáticos reversibles que para los irreversibles.

8.9.3 SEGUNDA LEY

Las primeras máquinas térmicas construidas, fueron dispositivos muy eficientes. Solo una pequeña fracción del calor absorbido de la fuente de la alta temperatura se podía convertir en trabajo útil. Aun al progresar los diseños de la ingeniería, una fracción apreciable del calor absorbido se sigue descargando en el escape de una máquina a baja temperatura, sin que pueda convertirse en energía mecánica. Sigue siendo una esperanza diseñar una maquina que pueda tomar calor de un depósito abundante, como el océano y convertirlo íntegramente en un trabajo útil. Entonces no seria necesario contar con una fuente de calor una temperatura más alta que el medio ambiente quemando combustibles. De la misma manera, podría esperarse, que se diseñara un refrigerador que simplemente transporte calor, desde un cuerpo frío a un cuerpo caliente, sin que tenga que gastarse trabajo exterior. Ninguna de estas aspiraciones ambiciosas violan la primera ley de la termodinámica. La máquina térmica sólo podría convertir energía calorífica completamente en energía mecánica, conservándose la energía total del proceso.

En el refrigerador simplemente se transmitiría la energía calorífica de un cuerpo frío a un cuerpo caliente, sin que se perdiera la energía en el proceso. Nunca se ha logrado ninguna de estas aspiraciones y hay razones para que se crea que nunca se alcanzarán.

La segunda ley de la termodinámica, que es una generalización de la experiencia, es una exposición cuyos artificios de aplicación no existen. Se tienen muchos enunciados de la segunda ley, cada uno de los cuales hacen destacar un aspecto de ella, pero se puede demostrar que son equivalentes entre sí. Clausius la enuncio como sigue: No es posible para una máquina cíclica llevar continuamente calor de un cuerpo a otro que esté a temperatura más alta, sin que al mismo tiempo se produzca otro efecto (de compensación).

Este enunciado desecha la posibilidad de nuestro ambicioso refrigerador, ya que éste implica que para transmitir calor continuamente de un objeto frío a un objeto caliente, es necesario proporcionar trabajo de un agente exterior. Por nuestra experiencia sabemos que cuando dos cuerpos se encuentran en contacto fluye calor del cuerpo caliente al cuerpo frío. En este caso, la segunda ley elimina la posibilidad de que la energía fluya del cuerpo frío al cuerpo caliente y así determina la dirección de la transmisión del calor. La dirección se puede invertir solamente por medio de gasto de un trabajo.

Kelvin (con Planck) enuncio la segunda ley con palabras equivalentes a las siguientes: es completamente imposible realizar una transformación cuyo único resultado final sea el de cambiar en trabajo el calor extraído de una fuente que se encuentre a la misma temperatura. Este enunciado elimina nuestras ambiciones de la máquina térmica, ya que implica que no podemos producir trabajo mecánico sacando

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calor de un solo depósito, sin devolver ninguna cantidad de calor a un depósito que esté a una temperatura más baja.

Para demostrar que los dos enunciados son equivalentes, necesitamos demostrar que si cualquiera de los enunciados es falso, el otro también debe serlo. Supóngase que es falso el enunciado de Clausius, de tal manera que se pudieran tener un refrigerador que opere sin que se consuma el trabajo. Podemos usar una máquina ordinaria para extraer calor de un cuerpo caliente, con el objeto de hacer trabajo y devolver parte del calor a un cuerpo frío.

Pero conectando nuestro refrigerador "perfecto" al sistema, este calor se regresaría al cuerpo caliente, sin gasto de trabajo, quedando así utilizable de nuevo para su uso en una máquina térmica. De aquí que la combinación de una maquina ordinaria y el refrigerador "perfecto" formará una máquina térmica que infringe el enunciado de Kelvin-Planck. O podemos invertir el argumento. Si el enunciado Kelvin-Planck fuera incorrecto, podríamos tener una máquina térmica que sencillamente tome calor de una fuente y lo convierta por completo en trabajo. Conectando esta máquina térmica "perfecta" a un refrigerador ordinario, podemos extraer calor de un cuerpo ordinario, podemos extraer calor de un cuerpo caliente, convertirlo completamente en trabajo, usar este trabajo para mover un refrigerador ordinario, extraer calor de un cuerpo frío, y entregarlo con el trabajo convertido en calor por el refrigerador, al cuerpo caliente. El resultado neto es una transmisión de calor desde un cuerpo frío, a un cuerpo caliente, sin gastar trabajo, lo infringe el enunciado de Clausius.

La segunda ley nos dice que muchos procesos son irr eversibles . Por ejemplo, el enunciado de Clausius específicamente elimina una inversión simple del proceso de transmisión de calor de un cuerpo caliente, a un cuerpo frío. Algunos procesos, no sólo no pueden regresarse por sí mismos, sino que tampoco ninguna combinación de procesos pueden anular el efecto de un proceso irreversible, sin provocar otro cambio correspondiente en otra parte.

8.9.4 TERCERA LEY

La segunda ley está ligada a una variable termodinámica denominada entropía (S), y puede expresarse cuantitativamente en términos de esta variable.

En el análisis de muchas reacciones químicas es necesario fijar un estado de referencia para la entropía. Este siempre puede escogerse algún nivel arbitrario de referencia cuando solo se involucra un componente; para las tablas de vapor convencionales se ha escogido 32 º F. Sobre la base de las observaciones hechas por Nernst y por otros, Planck estableció la tercera ley de la termodinámica en 1912, así: la entropía de todos los sólidos cristalinos perfectos es cero a la temperatura de cero absoluto.

Un cristal "perfecto" es aquel que esta en equilibrio termodinámico. En consecuencia, comúnmente se establece la tercera ley en forma más general, como:

La entropía de cualquier sustancia pura en equilibr io termodinámico tiende a cero a medida que la temperatura tiende a cero.

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La importancia de la tercera ley es evidente. Suministra una base para el cálculo de las entropías absolutas de las sustancias, las cuales pueden utilizarse en las ecuaciones apropiadas para determinar la dirección de las reacciones químicas.

Una interpretación estadística de la tercera ley es más bien sencilla, puesto que la entropía se ha definido como: S = k ln σ

En donde k es la constante de Bolzmall σ es la probabilidad termodinámica. En vista de la anterior disertación, la tercera ley equivale a establecer que:

σ → 1 Cuando T → 0.

Esto significa que sólo existe una forma de ocurrencia del estado de energía mínima para una sustancia que obedezca la tercera ley.

Hay varios casos referidos en la literatura en donde los cálculos basados en la tercera ley no están desacuerdo con los experimentos. Sin embargo, en todos los casos es posible explicar el desacuerdo sobre la base de que la sustancia no es "pura", esto es, pueda haber dos o más isótopos o presentarse moléculas diferentes o, también, una distribución de no equilibrio de las moléculas.

En tales casos hay más de un estado cuántico en el cero absoluto y la entropía no tiende a cero.

8.9.5 PROCESOS TERMODINAMICOS 8.9.5.1 Proceso Adiabático Se da este proceso cuando no hay transferencia de calor al sistema. Así tenemos que:

WqU −=∆

WU −=∆

8.9.5.2 Proceso Isotérmico Se da este proceso cuando a un sistema que se la ha suministrado calor se producen cambios en la presión y el volumen pero a permanecido constante durante todo el proceso la temperatura.

WqU −=∆ Wq =

8.9.5.3 Proceso Isométrico Se da este proceso cuando a un sistema que se le aplicado calor su volumen no varia.

WqU −=∆

126

qU =∆ 8.9.5.4 Proceso Isentrópico Este proceso se da cuando la entropía de un sistema se encuentra en su máximo valor y no puede producirse ningún cambio de estado.

WqU −=∆

WUq +=

pVVpUST ∆⋅+∆⋅+∆=∆⋅

pVHS ∆⋅−∆=∆ de la ecuación del gas ideal TRmVp ⋅⋅=⋅

V

VRm

T

TCmS V

∆⋅⋅+∆⋅⋅=∆

2

1

1

2 lnlnV

VRm

T

TCmS V ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=∆

La misma ecuación en función de la presión es:

2

1

1

2 lnlnP

PRm

T

TCmS P ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=∆

8.9.5.5 Proceso Politrópico Son aquellos que se consideran como procesos reversibles. 8.9.5.6 Proceso Isocórico Son aquellos procesos que se dan a volumen constante. 8.9.6 APLICACIONES 8.9.6.1 Se calienta una masa de 3kg de aire de 300oK a 800oK, mientras que la presión varia de 100kpas a 500kpas. Determinar la variación de la entropía empleando las dos ecuaciones del gas ideal

TRmVp ⋅⋅=⋅

1

11 p

TRmV

⋅⋅=

2

22 p

TRmV

⋅⋅=

127

31 583.2

100

300287.03mV =⋅⋅= 3

2 378.1500

800287.03mV =⋅⋅=

2

1

1

2 lnlnV

VRm

T

TCmS V ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=∆

2

1

1

2 lnlnP

PRm

T

TCmS P ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=∆

583.2

378.1ln287.03

300

800ln717.03 ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=∆S

100

500ln287.03

300

800ln004.13 ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=∆S

K

KJS

o57.1=∆

K

KJS

o57.1=∆

8.9.6.2 En una expansión isobárica de 5 a 10 litros de 0.5mol de cierto gas, que inicialmente esta a 100oC y tiene un Ce de 10cal/mol.oC. Determinar el cambio de energía interna.

TRmVp ⋅⋅=⋅

atmmolK

Katmmolp

o

o

06.351

3730821.05.0 =⋅

⋅⋅=

Rm

pVT

⋅⋅= 2

Katmmol

molKatmT o

o

7460821.05.0

10106.3 =⋅

⋅⋅⋅=

TCemq ∆⋅⋅=

CmolK

calmolq o

o)373746(105.0 −⋅

⋅⋅=

Jcal

Jcalq 7.7795

18.41867 =⋅=

VpqU ∆⋅−=∆

Jlatmm

mNlatmJU 5.6246

101

1013.1506.37.7795

32

35

=

⋅⋅⋅⋅⋅−=∆

128

8.10 CICLOS TERMODINAMICOS

Resulta útil tratar los procesos termodinámicos basándose en ciclos: procesos que devuelven un sistema a su estado original después de una serie de fases, de manera que todas las variables termodinámicas relevantes vuelven a tomar sus valores originales. En un ciclo completo, la energía interna de un sistema no puede cambiar, puesto que sólo depende de dichas variables. Por tanto, el calor total neto transferido al sistema debe ser igual al trabajo total neto realizado por el sistema.

Un motor térmico de eficiencia perfecta realizaría un ciclo ideal en el que todo el calor se convertiría en trabajo mecánico. El ciclo de Carnot, es un ciclo termodinámico que constituye el ciclo básico de todos los motores térmicos , y demuestra que no puede existir ese motor perfecto. Cualquier motor térmico pierde parte del calor suministrado. El segundo principio de la termodinámica impone un límite superior a la eficiencia de un motor, límite que siempre es menor del 100%. La eficiencia límite se alcanza en lo que se conoce como ciclo de Carnot.

8.10.1 CICLO OTTO

En el punto a la mezcla de nafta y aire ya está en el cilindro.

ab: contracción adiabática.

cd: expansión adiabática.

bc: calentamiento isocórico.

ad: enfriamiento isocórico.

129

R: relación de compresión.

Cp: calor específico a presión cte.

Cv: calor específico a volumen cte.

V

P

C

C=γ

)1(

11 −−= γη

R

Para un R = 8, y un γ = 1,4 (aire), η = 0,56

8.8.2 CICLO DIESEL

El gasoil se inyecta durante la carrera ab.

ab: contracción adiabática.

cd: expansión adiabáticas.

ad: enfriamiento isocórico.

bc: expansión y calentamiento isobárica.

R: relación de compresión.

Cp: calor específico a presión cte.

Cv: calor específico a volumen cte.

130

V

P

C

C=γ

)1(

11 −−= γη

R

Para un R = 15-20, y un γ = 1,4 (aire), η = 0,65-0,70

8.10.3 CICLO DE CARNOT

Una máquina de Carnot es perfecta, es decir, convierte la máxima energía térmica posible en trabajo mecánico. Carnot demostró que la eficiencia máxima de cualquier máquina depende de la diferencia entre las temperaturas máxima y mínima alcanzadas durante un ciclo. Cuanto mayor es esa diferencia, más eficiente es la máquina. Por ejemplo, un motor de automóvil sería más eficiente si el combustible se quemara a mayor temperatura o los gases de escape salieran a menor temperatura.

ab y cd: contracciones y expansiones isotérmicas.

bc y ad: contracciones y expansiones adiabáticas.

HQ

W=η ⇒ H

CH

Q

QQ −=η ⇒�

H

C

Q

Q−= 1η

a

bHbaH V

VTRnWQ ln⋅⋅⋅== −

d

cCdcC V

VTRnWQ ln⋅⋅⋅== −

H

C

H

C

T

T

Q

Q=

131

H

C

T

T−= 1η

8.10.4 CICLO DE REFRIGERACION

Los sistemas de compresión emplean cuatro elementos en el ciclo de refrigeración: compresor, condensador, válvula de expansión y evaporador.

En el evaporador, el refrigerante se evapora y absorbe calor del espacio que está enfriando y de su contenido.

A continuación, el vapor pasa a un compresor movido por un motor que incrementa su presión, lo que aumenta su temperatura (entrega trabajo al sistema).

El gas sobrecalentado a alta presión se transforma posteriormente en líquido en un condensador refrigerado por aire o agua.

Después del condensador, el líquido pasa por una válvula de expansión, donde su presión y temperatura se reducen hasta alcanzar las condiciones que existen en el evaporador.

QH = QC – L ⇒ � HC QQL −=

L

QC=η ⇒ )( HC

C

QQ

Q

−−

8.10.4.1 Sistemas de absorción

Algunos refrigeradores domésticos funcionan mediante el principio de absorción. En ellos, una llama de gas calienta una disolución concentrada de amoníaco en agua en un recipiente llamado generador, y el amoníaco se desprende en forma de vapor y pasa a un condensador. Allí se licua y fluye hacia el evaporador, igual que en el

132

sistema de compresión. Sin embargo, en lugar de pasar a un compresor al salir del evaporador, el amoníaco gaseoso se reabsorbe en la solución diluida y parcialmente enfriada procedente del generador, para formar de nuevo una disolución concentrada de amoníaco. Este proceso de reabsorción se produce en un recipiente llamado absorbedor, desde donde el líquido concentrado fluye de vuelta al generador para completar el ciclo.

8.11 MAQUINAS TERMICAS Las primeras máquinas térmicas construidas, fueron dispositivos muy eficientes. Solo una pequeña fracción del calor absorbido de la fuente de la alta temperatura se podía convertir en trabajo útil. Aun al progresar los diseños de la industria, una fracción apreciable del calor absorbido se sigue descargando en el escape de una máquina a baja temperatura, sin que pueda convertirse en energía mecánica. Sigue siendo una esperanza diseñar una maquina que pueda tomar calor de un depósito abundante, como el océano y convertirlo ín tegramente en un trabajo útil. Entonces no seria necesario contar con una fu ente de calor una temperatura más alta que el medio ambiente quemando combustible s. De la misma manera, podría esperarse, que se diseñara un refrigerador que simplemente transporte calor, desde un cuerpo frío a un cuerpo caliente, sin que tenga que gastarse trabajo exterior. Ninguna de estas aspiraciones ambiciosas violan la primera ley de la termodinámica. La máquina térmica sólo podría convertir energía calorífica completamente en energía mecánica, conservándose la energía total del proceso. En el refrigerador simplemente se transmitiría la energía calorífica de un cuerpo frío a un cuerpo caliente, sin que se perdiera la energía en el proceso. Nunca se ha logrado ninguna de estas aspiraciones y hay razones para que se crea que nunca se alcanzarán. Entre las maquina térmicas mas comunes en nuestro medio tenemos: los generadores de vapor (maquina de vapor) y turbinas de vapor, motores de combustión (motor 4 tiempos), intercambiadores de calor, enfriadores térmicos, full inyección (turbo), aire acondicionado, refrigerador, calentadores de agua.

Una máquina de vapor (figura 8.9.1) es un motor de combustión externa que transforma la energía del vapor de agua en trabajo mecánico o cinético. El trabajo se realiza en dos etapas:

• Se genera el vapor de agua en una caldera cerrada, por calentamiento directo mediante la quema de algún combustible como carbón o madera en sus inicios y derivados del petróleo o gas natural con posterioridad.

• El vapor a presión se introduce en el cilindro arrastrando el émbolo o pistón en su expansión; empleando un mecanismo de biela - manivela éste se puede transformar en un movimiento de rotación de, por ejemplo, el rotor de un generador eléctrico. Una vez alcanzado el final de carrera el émbolo retorna a su posición inicial expulsando el vapor de agua.

El ciclo se controla mediante una serie de válvulas de entrada y salida que regulan la renovación de la carga, es decir, los flujos del vapor hacia y desde el cilindro.

133

Figura 8.9.1

Las turbinas de vapor (figura 8.9.2), son máquinas de flujo permanente, en las cuales el vapor entra por las toberas y se expansiona hasta una presión más pequeña. Al hacerlo el chorro de vapor, adquiere una gran velocidad. Parte de la energía cinética de este chorro es cedida a los álabes de la turbina, de la misma manera que un chorro de agua cede energía a los cangilones de una rueda hidráulica. Las turbinas que utilizan el impulso del chorro para mover los álabes se denominan turbinas de acción (figura 8.9.2.1).En ellas las toberas son fijas y van montadas sobre el bastidor. Pero también es posible construir la turbina de manera que los espacios comprendidos entre los álabes tengan la forma de toberas.

Figura 8.9.2 – 8.9.2.1

Un intercambiador de calor es un dispositivo diseñado para transferir de manera eficiente el calor de un fluido a otro, sea que estos estén separados por una barrera sólida o que se encuentren en contacto. Son parte esencial de los dispositivos de refrigeración, acondicionamiento de aire, producción de energía y procesamiento químico.

134

Un intercambiador típico es el radiador del motor de un automóvil, en el que el fluido refrigerante, calentado por la acción del motor, se refrigera por la corriente de aire que fluye sobre él y, a su vez, reduce la temperatura del motor volviendo a circular en el interior del mismo.

Un generador de Vapor, es una maquina termica que permite generar vapor a partir de un fluido en estado liquido y que luego de ser sometido a un calentamiento bajo altas presiones cambia su estado a vapor. El equipo necesario para lograr este proceso contas desde un intercambiador de calor, caldero, tubería especial recubierta con materiales termicos coo se indica en las figuras siguientes que pertenecen al las piscinas Olimpicas de la Federación Deportiva de Azuay.

135

Una torre de refrigeración (figura 8.9.3) es una instalación que extrae calor del agua mediante evaporación o conducción.

Las industrias utilizan agua de refrigeración para varios procesos. Como resultado, existen distintos tipos de torres de enfriamiento. Existen torres de enfriamiento para la producción de agua de proceso que solo se puede utilizar una vez, antes de su descarga. También hay torres de enfriamiento de agua que puede reutilizarse en el proceso.

A más de las torres de enfriamiento descritas anteriormente, existen sistemas de enfriamiento abiertos y cerrados. Un sistema es cerrado, el agua no entra en contacto con el aire de fuera. Como consecuencia la contaminación del agua de las torres de enfriamiento por los contaminantes del aire y microorganismos es insignificante. Además, los microorganismos presentes en las torres de enfriamiento no son eliminados a la atmósfera.

Figura 8.9.3

136

Competencias

• Dominar y aplicar los principios que rigen a la Luz y Óptica, definición, tipos y características.

• Usar objetos y/o equipos, diagramas y gráficos para representar el fenómeno físico.

Estándares

• Demostrará la aplicación en los ejercicios resueltos de los principios, definiciones, propiedades y unidades.

• Diferenciará los deferentes tipos de Lentes, espejos e imágenes que los producen.

• Aplicará las distintas formas de reflexión y refracción en las prácticas de laboratorio y/o Caseras.


137

Una de las ramas más antiguas de la física es la óptica, ciencia de la luz, que comienza cuando el hombre trata de explicar el fenómeno de la visión considerándolo como facultad anímica que le permite relacionarse con el mundo exterior.

Es la parte de la física que comprende el estudio de la luz y los fenómenos de la visión. Generalmente, se divide en dos ramas principales: la física se ocupa de la naturaleza y propiedades de la luz; la geométrica del estudio del comportamiento de la luz en los distintos medios y en diversos instrumentos ópticos. Además, una tercera rama se ocupa del estudio del ojo desde el punto de vista óptico.

9.1 LA LUZ 9.1.1 NATURALEZA DE LA LUZ

Dejando de lado as ideas más antiguas sobre la naturaleza de la luz, los máximos protagonistas de esta historia son Isaac Newton y Cristian Huygens. Ambos científicos fueron contemporáneos y llegaros a conocerse en 1689. Un año más tarde aparece la obra de Huygens, mientras que Newton pública su obra en 1704, en sus obras aparecen las dos teorías clásicas ondulatoria y corpuscular sobre la naturaleza de la luz.

9.1.1.1 Teoría Corpuscular

Esta teoría se debe a Newton (1642-1726). La misma que dice: la luz está compuesta por diminutas partículas materiales emiti das a gran velocidad en línea recta por cuerpos luminosos. La dirección de propagación de estas partículas recibe el nombre de rayo luminoso.

La teoría Corpuscular de Newton se fundamenta en estos puntos:

• Propagación rectilínea . La luz se propaga en línea recta porque los corpúsculos que la forman se mueven a gran velocidad.

• Reflexión . se sabe que la luz al chocar contra unos espejos se refleja. Newton explicaba este fenómeno diciendo que las partículas luminosas son perfectamente elásticas y por tanto la reflexión cumple las leyes del choque elástico.

• Refracción . El hecho de que la luz cambie la velocidad en medios de distinta densidad, cambiando la dirección de propagación, tiene difícil explicación con la teoría corpuscular. Sin embargo Newton supuso que la superficie de separación de dos medios como indica la figura 9.1 y de distinto índice de refracción ejerce una atracción sobre las partículas luminosas, aumentando así la componente normal de la velocidad mientras que la componente tangencial permanecía invariable.

Figura 9.1

138

9.1.1.2 Teoría Ondulatoria

Fue idea del físico holandés C. Huygens. La luz se propaga mediante ondas mecánicas emitidas por un foco luminoso. La luz para propagarse necesitaba un medio material de gran elasticidad, impalpable que todo lo llena, incluyendo el vacío, puesto que la luz también se propaga en él. A este medio se le llamó éter.

La energía luminosa no está concentrada en cada partícula, como en la teoría corpuscular sino que está repartida por todo el frente de onda. El frente de onda es perpendicular a las direcciones de propagación. La teoría ondulatoria explica perfectamente los fenómenos luminosos mediante una construcción geométrica llamada principio de Huygens , además según esta teoría, la luz se propaga con mayor velocidad en los medios menos densos. a pesar de esto, la teoría de Huygens fue olvidada durante un siglo debido a la gran autoridad de Newton.

En 1801 el inglés T. Young dio un gran impulso a la teoría ondulatoria explicando el fenómeno de las interferencias y midiendo las longitudes de onda correspondientes a los distintos colores del espectro.

La teoría corpuscular era inadecuada para explicar el hecho de que dos rayos luminosos, al incidir en un punto pudieran originar oscuridad.

A finales del siglo XIX se sabía ya que la velocidad de la luz en el agua era menor que la velocidad de la luz en el aire contrariamente a las hipótesis de la teoría corpuscular de Newton. En 1864 Maxwell obtuvo una serie de ecuaciones fundamentales del electromagnetismo y predijo la existencia de ondas electromagnéticas. Maxwell supuso que la luz representaba una pequeña porción del espectro de ondas electromagnéticas. Hertz confirmó experimentalmente la existencia de estas ondas.

139

El estudio de otros fenómenos como la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos puso de manifiesto la impotencia de la teoría ondulatoria para explicarlos. En 1905, basándose en la teoría cuántica de Planck, Einstein explicó el efecto fotoeléctrico por medio de corpúsculos de luz que él llamó fotones. Bohr en 1912 explicó el espectro de emisión del átomo de hidrógeno, utilizando los fotones, y Compton en 1922 el efecto que lleva su nombre apoyándose en la teoría corpuscular de la luz.

Apareció un grave estado de incomodidad al encontrar que la luz se comporta como onda electromagnética en los fenómenos de propagación, interferencias y difracción y como corpúsculo en la interacción con la materia.

No hay por qué aferrarse a la idea de incompatibilidad entre las ondas y los corpúsculos, se trata de dos aspectos diferentes de la misma cuestión que no solo no se excluyen sino que se complementan.

9.1.2 VELOCIDA DE LA LUZ

En 1670, por primera vez en la historia, el astrónomo danés Olaf Roemer (1644-1710) pudo calcular la velocidad de la luz. Se hallaba estudiando los eclipses de una de las lunas de Júpiter, cuyo período había determinado tiempo atrás. Estaba en condiciones de calcular cuales serían los próximos eclipses. Se dispuso a observar uno de ellos, y con sorpresa vio que a pesar de que llegaba el instante tan cuidadosamente calculado por él, el eclipse no se producía.

El satélite demoró 996 seg. en desaparecer. Presupuso que la demora era producida debido a que la luz debía recorrer una distancia suplementaria de 299.000.000 Km., que es el diámetro de la órbita terrestre. Su observación anterior correspondía a una estación distinta del año y la posición de la Tierra no era la misma.

Suponiendo que la luz se propagara a velocidad constante y en línea recta se puede calcular la velocidad de propagación dividiendo el espacio recorrido por el tiempo tardado: Vluz = 299.000.000 Km : 996 seg. = 300.200 Km/seg.

Observaciones posteriores llevaron a la conclusión que el atraso en cuestión era de 1.002 seg., lo cual da por resultado que la velocidad de la luz tendría un valor muy próximo a 298.300 Km/seg.

En 1849, el físico francés Fizeau, logró medir la velocidad de la luz mediante una experiencia hecha en la Tierra, para calcular la velocidad con la que la luz realizaba el recorrido total, colocó una rueda dentada delante del haz luminoso, de modo que los dientes bloquearan la luz y los espacios intermedios la dejaran pasar. La velocidad de rotación de la rueda, muy elevada, se regulaba de modo que la luz que pasaba entre dos dientes tuviera justo el tiempo de llegar hasta la ventana y volver, antes de ser ocultada por el siguiente diente. Conociendo la distancia recorrida por el haz luminoso y la velocidad de rotación de la rueda, Fizeau obtuvo una medida de la velocidad de la luz

La rueda tiene igual cantidad de dientes y espacios entre ellos, X dientes y X espacios, por lo tanto su perímetro será 2X. Da n vueltas por segundo (que es la frecuencia con que gira), o sea que, por cada segundo pasan 2 xn dientes y espacios. El tiempo es inversamente proporcional a la frecuencia, de allí tenemos que: t = (2xn) �1.

Cuando no llega más luz al observador es evidente que los tiempos de ida y de vuelta son iguales. Aplicando las ecuaciones de MRU tenemos:

140

( )ndnd

n

d

t

d ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= − 422

2

221

ν

Fizeau colocó el espejo a 8.633 m del observador, la rueda tenía 760 dientes y giraba a 12,6 revoluciones por segundo.

Si aplicamos la fórmula obtenida, resultará: ν = 313.274 Km./seg.

León Foucault y Fizeau (casi simultáneamente), hallaron en 1850 un método que permite medir la velocidad de la luz en espacios reducidos. La idea consiste en enviar un haz de luz sobre un espejo giratorio haciéndole atravesar una lámina de vidrio semitransparente y semirreflectora, un espejo fijo devuelve el rayo y atraviesa luego lámina observándose la mancha luminosa en una pantalla. Con este método se obtuvo que: ν = 295.680 Km./seg.

En general todas las mediciones de que se tiene conocimiento obtuvieron resultados entre 298.000 Km/seg y 313.300 Km/seg sin embargo se toma como velocidad de la luz la de 300.000 Km/seg por ser un término medio entre los valores obtenidos y por ser una cifra exacta que facilitan los cálculos.

9.1.3 REFLEXION Y REFRACCION

Conceptos y alguna idea sobre la Reflexión y Refracción de la Luz se han mencionado en las teorías de Newton anteriormente. A continuación definiremos con más detalle los fenómenos de Reflexión y Refracción de la Luz.

9.1.3.1 REFRACCION DE LA LUZ

La refracción se define como el cambio de dirección de los rayos de luz al pasar de un medio a otro, como por ejemplo, del aire al vidrio, o del aire al agua. Esto se debe a que la velocidad de la luz resulta diferente en distintos medios. La ley de la refracción dice que cuando un haz de luz, de una longitud de onda determinada, pasa de un medio a otro, la relación

nrsen

isen =⋅⋅

⇒ Constante

Siendo i el ángulo entre la normal y el rayo incidente; r el ángulo entre la normal y el rayo refractado y n una constante. Ésta se conoce como índice de refracción para esos dos medios y para la citada longitud de onda.

141

Medio Índice de refracción

Agua 1.33

Alcohol etílico 1.36

Bisulfuro de carbono 1.63

Aire (1 atm y 20°C) 1.0003

Yoduro de metileno 1.74

Cuarzo fundido 1.46

Cristal (crown) 1.52

Cristal (flint denso) 1.66

Cloruro de sodio 1.53

Polietileno 1.50 - 1.54

Fluorita 1.43

9.1.3.1.1 LEY DE LA REFRACCION Al otro lado de la superficie de separación los rayos no conservan la misma dirección que los de la onda incidente:

1. Cada rayo de la onda incidente y el correspondiente rayo de la onda transmitida forman un plano que contiene a la recta normal a la superficie de separación de los dos medios.

2. El ángulo que forma el rayo refractado con la normal (ángulo de refracción) está relacionado con el ángulo de incidencia:

n1 sen i = n2 sen r

9.1.3.2 REFLEXION DE LA LUZ

El fenómeno de la reflexión esta considerada dentro de la teoría ondulatoria de la luz, por esa razón es conveniente definir las leyes que gobiernan la reflexión y la refracción se pueden encontrar fácilmente en forma experimental:

142

1- El rayo reflejado y el rayo refractado están en el plano formado por el rayo incidente y la normal a la superficie en el punto de incidencia, como se ve en la figura a la izquierda.

2 - Para la reflexión los ángulos i = r

3- Para la refracción: sen i / sen r = n

Siendo n una constante que se llama índice de refracción del medio 2 ( en la figura es el agua ) con respecto al medio 1 ( en la figura es el aire )

El índice de refracción de un medio con respecto a otro generalmente varía con la longitud de onda. Debido a esta circunstancia, se puede usar la refracción y no la reflexión, para descomponer un haz de luz en sus longitudes de ondas componentes.

9.1.3.2.1 LEY DE SNELL: LEYES DE LA REFLEXION 1. Cada rayo de la onda incidente y el correspondiente rayo de la onda reflejada forman un plano perpendicular al plano de separación de los medios. 2. El ángulo que forma el rayo incidente con la recta normal a la frontera (ángulo de incidencia) es igual al ángulo de esta normal con el rayo reflejado (ángulo de reflexión).

B

A

B

A

n

n

v

v

rsen

isen ==⋅⋅

Cuando la luz pasa de un medio a otro cuyo índice de refracción es mayor, por ejemplo del aire al agua, los rayos refractados se acercan a la normal. Si el índice de

143

refracción del segundo medio es menor los rayos refractados se alejan de la normal (figura 1).

En este caso si consideramos que n1>n2 y aumentamos el ángulo de incidencia, llega un momento en que el ángulo de refracción se hace igual a 90º, figura 2 lo que significa que desaparece el rayo refractado. Como el seno de 90º es uno el ángulo de

incidencia para el cual ocurre este fenómeno viene dado por 1

2

n

nC =α .

Este ángulo de incidencia, Cα recibe el nombre de ángulo crítico , ya que si

aumenta más el ángulo de incidencia, la luz comienza a reflejarse íntegramente, fenómeno que se conoce como reflexión total .

B

AO n

n

sen

isen =⋅

⋅90

B

A

n

nisen =⋅

Una aplicación de la reflexión total es la fibra óptica , que es una fibra de vidrio, larga y fina en la que la luz en su interior choca con las paredes en un ángulo superior al crítico de manera que la energía se transmite sin perdida. También los espejismos son un fenómeno de reflexión total.

144

Reflexión total en un chorro de agua. Dispositivo montado por alumnos de 4º de la E.S.O. del I.E.S. Cristóbal Pérez

pastor de Tobarra

9.1.4 APLICACIONES

9.1.4.1 ¿Cual es el índice de refracción de una sustancia cuyo ángulo limite cuando esta rodeado de aire es de 35o?

B

A

n

nisen =⋅

isen

nn A

B ⋅=

35

1

⋅=

sennB

74.1=Bn

9.1.5 DISPERCION Y PRISMAS 9.1.5.1 DESCOMPOSICION DE LA LUZ

Uno de los fenómenos de la luz natural es su descomposición en todos los colores del arco iris, desde el rojo hasta el violeta, cuando se refracta a través de algún material de vidrio, este fenómeno recibe el nombre de Dispersión y es debido a que la velocidad de la luz en un medio cualquiera varía con la longitud de onda (el índice de refracción de un medio y por tanto la velocidad de la luz en el mismo depende de la longitud de onda. Cada color tiene una longitud de onda distinta). Así, para un mismo ángulo de incidencia, la luz se refracta con ángulos distintos para diferentes colores.

145

Los prismas se pueden usar para analizar la luz en unos instrumentos llamados espectroscopios.

ARCO IRIS

El arco iris es una consecuencia de la dispersión de la luz del sol cuando se refracta y se refleja en las gotas de agua de lluvia. El color rojo es el que menos se refracta y se encuentra en la parte exterior del arco.

9.1.5.2 PRINCIPIO DE HUYGENS

HUYGENS, usando modelos geométricos elaborados sobre papel y comparándolos con los resultados experimentales para verificar su validez, construyó un método para explicar la propagación de las ondas que consiste en suponer que, en un momento dado, todos los infinitos puntos de un frente de ondas se convierten en clónicos del primer emisor y empiezan a emitir hacia delante. Descartamos "alegremente" que emitieran en todas direcciones pues interferirían con las ondas que vienen detrás. Años más tarde Kirchhof explicaría que se puede dar una explicación suponiendo la emisión en todas direcciones. El nuevo frente (frente secundario) está formado por la envolvente que une los puntos a los que llega simultáneamente la perturbación originada por esos puntos emisores clónicos del inicial.

CONSTRUCCIÓN DE UNA ONDA REFLEJADA y REFRACTADA

Cuando el extremo del frente de ondas llega a la separación de los dos medios, la partícula del medio 2 sobre la que incide se pone a emitir radialmente, pero propagándose con distintas velocidades en cada medio (en la figura de esta página, menor velocidad en el medio 2) por lo que se originan dos frentes representados por semicírculos desiguales.

Poco a poco el frente va llegando a todas las partículas del medio 2 que se ponen a repetir la emisión de la primera. La envolvente de las ondas que retornan al primer medio es el frente de la onda reflejada

La envolvente, en un instante dado, de las ondas que se propagan en el segundo medio es el frente de onda de la onda refractada.

146

FRENTE DE ONDA Y RAYO

Se define el frente de onda como la superficie envolvente a donde llega la onda en un momento dado. Puede tener diferentes formas: en las ondas planas que se propagan por la superficie del agua será una línea recta, en las circulares, que fácilmente podemos crear en al superficie del agua, será una circunferencia y en las sonoras (como las que se producen una explosión) será una esfera.

La línea imaginaria perpendicular al frente de onda se llama rayo.

ÁNGULO DE INCIDENCIA Y ÁNGULO DE REFRACCIÓN

Se llama ángulo de incidencia -i- al formado por el rayo incidente y la normal. La normal es una recta imaginaria perpendicular a la superficie de separación de los dos medios en el punto de contacto del rayo.

El ángulo de reflexión -r- es el formado por el rayo reflejado y la normal.

El ángulo de refracción -r'- es le formado por el rayo refractado y la normal.

ÍNDICE DE REFRACCIÓN LUZ -n-

Se llama índice de refracción "n" al cociente entre la velocidad de la luz en un medio y la velocidad de la luz en el vacío "c". Los valores de "n" son siempre números adimensionales (sin unidades) y mayores que 1.

9.2 ESPEJOS

9.2.1 ESPEJOS PLANOS.

Los espejos son superficies muy pulimentadas, con una capacidad reflectora del 95% o superior de la intensidad de la luz incidente.

Consideremos un rayo de luz que se refracta desde un medio de índice n a otro hipotético de índice de refracción –n. Aplicando la ley de Snell:

ri SennSenn αα ⋅⋅−=⋅⋅

147

De donde se deduce que: ri αα −=

Un ángulo de refracción negativo equivale a una inversión en el sentido del rayo.

En un espejo plano las posiciones x y x´ de un objeto y su imagen están relacionadas:

x = x´ La imagen es virtual, pues se forma con las prolongaciones de los rayos. 9.2.2 ESPEJOS ESFÉRICOS

Un espejo esférico está caracterizado por su radio de curvatura R. En el caso de los espejos esféricos solo existe un punto focal F=F´=R/2 cuya posición coincide con el punto medio entre el centro del espejo y el vértice del mismo. Se encontrará a la izquierda del vértice para los espejos cóncavos y a la derecha para los espejos convexos.

El aumento del espejo será A =y´/y y dependerá de la curvatura del espejo y de la posición del objeto.

9.2.3 FORMACIÓN DE IMÁGENES

La construcción de imágenes es muy sencilla si se utilizan los rayos principales:

• Rayo paralelo: Rayo paralelo al eje óptico que parte de la parte superior del objeto. Después de refractarse pasa por el foco imagen.

• Rayo focal : Rayo que parte de la parte superior del objeto y pasa por el foco objeto, con lo cual se refracta de manera que sale paralelo . Después de refractarse pasa por el foco imagen.

• Rayo radial : Rayo que parte de la parte superior del objeto y está dirigido hacia el centro de curvatura del dioptrio. Este rayo no se refracta y continúa en la misma dirección ya que el ángulo de incidencia es igual a cero.

Espejos Concavos:

Hay que distinguir entre los espejos cóncavos y los convexos:

a.- Objeto situado a la izquierda del centro de curvatura. La imagen es real, invertida y situada entre el centro y el foco. Su tamaño es menor que el objeto.

148

b.- Objeto situado en el centro de curvatura. La imagen es real, invertida y situada en el mismo punto. Su tamaño igual que el objeto.

c.- Objeto situado entre el centro de curvatura y el foco. La imagen es real, invertida y situada a la izquierda del centro de curvatura. Su tamaño es mayor que el objeto.

d.- Objeto situado en el foco del espejo. Los rayos reflejados son paralelos y la imagen se forma en el infinito.

e.- Objeto situado a la derecha del foco. La imagen es virtual, y conserva su orientación. Su tamaño es mayor que el objeto.

Espejos Convexos:

Son espejos que producen una situación en la que la imagen es virtual, derecha y más pequeña que el objeto.

149

9.3 LENTES 9.3.1 LENTES DELGADAS: CONVERGENTES Y DIVERGENTES Una lente es un medio transparente limitado por dos superficies curvas. Una onda incidente sufre dos refracciones al pasar a través de la lente.

Hay dos tipos de lentes: convergentes y divergentes.

En los lentes convergentes el foco imagen está a la derecha de la lente, f´ > 0.

En los entes divergentes el foco imagen está a la izquierda de la lente, f´ < 0.

Las lentes convergentes son más gruesas por el centro que por los extremos, mientras que las divergentes son más gruesas por los extremos que por el centro.

Se define además la potencia de una lente como la inversa de su distancia focal imagen P=1/f´ y mide la mayor o menor convergencia de los rayos emergentes, a mayor potencia mayor convergencia de los rayos. La unidad de potencia de una lente es la dioptría, que se define como la potencia de una lente cuya distancia focal es de un metro.

9.3.1.1 Lentes convergentes

Tanto en la lentes convergentes como en las divergentes hay dos posibilidades para situar el espejo: más lejos de la lente que el foco objeto (imágenes reales) o entre ambos (imágenes virtuales).

9.3.1.2 Lentes divergentes

Hay dos posibilidades para situar el espejo: más lejos de la lente que el foco objeto o entre ambos. En ambos casos las imágenes que se forman son virtuales.

Una cantidad importante es el cociente entre el tamaño de la imagen y el tamaño del objeto A=y´/ý cantidad que recibe el nombre de aumento lateral.

150

9.3.2 FORMACIÓN DE IMÁGENES POR LENTES DELGADAS

La construcción de imágenes es muy sencilla si se utilizan los rayos principales:

• Rayo paralelo: Rayo paralelo al eje óptico que parte de la parte superior del objeto. Después de refractarse pasa por el foco imagen.

• Rayo focal: Rayo que parte de la parte superior del objeto y pasa por el foco objeto, con lo cual se refracta de manera que sale paralelo. Después de refractarse pasa por el foco imagen.

• Rayo radial: Rayo que parte de la parte superior del objeto y está dirigido hacia el centro de curvatura del dioptrio. Este rayo no se refracta y continúa en la misma.

Rayo focal en una lente convergente.

9.3.3 ECUACION DE LOS LENTES En la figura que a continuación se muestra, se han trazado dos rayos, el primero que llega paralelo al eje y se desvía pasando por el foco y el segundo que pasa por el centro de la lente. Estos rayos forman dos triángulos semejantes que al expresarlos matemáticamente nos dan:

O

i

O

i

h

h

d

d −=

O

ii

h

h

f

fd −=

−

O

ii

d

d

f

fd=

−

151

Con el mismo principio para obtener las ecuaciones anteriores y sustituyendo en las anteriores obtenemos la ecuación de las lentes.

fdd iO

111 =+

De esta ecuación el resultado de 1/f se conoce como potencia de una lente muy empleado en la rama de oftalmología para medir la corrección de los lentes. 9.3.3.1 APLICACIONES 9.3.1.1.1 Un objeto de 50mm de altura se coloca a una distancia de 8cm frente a un espejo de radio 6cm (distancia focal 3cm). Determine el tamaño y la posición a) el espejo es cóncavo b) el espejo es convexo

Solución a Solución b

fdd iO

111 =+ fdd iO

111 =+

cmdcm i 3

11

8

1 =+ cmdcm i 3

11

8

1

−=+

cmdi 8.4= cmdi 2.2−=

O

i

O

i

h

h

d

d −=

O

i

O

i

h

h

d

d −=

cm

h

cm

cm i

58

8.4 −=

cm

h

cm

cm i

5.08

2.2 −=−

cmhi 3.0−= cmhi 14.0=

9.3.1.1.2 Un árbol de 5m de altura se refleja en un espejo cóncavo situado a 22m y se mantiene una imagen de 55cm. Determine el radio de curvatura del espejo.

O

i

O

i

h

h

d

d=

fdd iO

111 =+

m

m

m

di

5

55.0

22=

fmm

1

42.2

1

22

1 =+

mdi 42.2= mf 18.2=

mfR 36.42 =⋅=

152

9.3.4 INSTRUMENTOS OPTICOS

El trazado de rayos en sistemas de lentes y espejos es particularmente importante para el diseño de los siguientes instrumentos ópticos:

9.3.4.1 El microscopio óptico .

Un microscopio óptico es un instrumento basado lentes ópticas. El desarrollo de este aparato suele asociarse con los trabajos de Antón van Leeuwenhoek. Los Microscopio ópticos pueden ser simples y compuestos.

9.3.4.1.1 Microscopio Simple

Los microscopios de Leeuwenhoek constaban de una única lente pequeña y convexa montada sobre una plancha con un mecanismo para sujetar el material que se iba a examinar (la muestra o espécimen). Este uso de una única lente convexa se conoce como microscopio simple, en el que se incluye la lupa, entre otros aparatos ópticos.

9.3.4.1.2 Microscopio compuesto

El diagrama siguiente muestra un microscopio compuesto. En su forma más simple, como la que utilizó Robert Hooke, tiene una sola lente de cristal de distancia focal corta para el objetivo, y otra única lente de cristal para el ocular (figura 9.3.4).

Figura 9.3.4

9.3.4.2 El telescopio . En el telescopio el objetivo es una lente convergente de distancia focal f muy grande, a veces de varios metros. Como el objeto AB es muy distante, su imagen a´b´ producida por el objetivo, está en su foco F0. Sólo se necesitan los rayos centrales para conocer la posición de la imagen.

El ocular es una lente convergente de distancia focal f´ mucho menor. De coloca de tal que la imagen intermedia a´b´ esté entre el ocular y su foco. y la imagen final AB esté a la distancia mínima de visón nítida, alrededor de 25cm. El enfoque se hace moviendo el ocular ya que nada se gana moviendo el objetivo. (Se puede observar la imagen a través de una lente cóncava).

154

9.4 BIBLIOGRAFÍA BURGHARDT, David, “Ingeniería Termodinámica”, Editorial Harla, 1999, México. HICKS, Tyler, “Manual y Tablas para la Ingeniería”, Tomo 2, Mc Graw Hill, 1999, México. “Física Moderna”, Sexto Nivel, Reproducción UPS, 2002, Ecuador VALLEJO, Patricio y AYALA, Patricio, “Física Vectorial 3”, Graficas Cobos, 1999, Quito BAUTISTA, Mauricio, “Física II”, Editorial Santillana, 2001, Colombia.

MIGUEL, Carlos, Parte de óptica geométrica extraída del libro "Física de Tercer Año escuelas de educación técnica”

HALLYDAY-RESNICK, Parte de la Luz como onda electromagnética extraída del libro "Física para estudiantes de Ciencias e Ingeniería" Parte dos. http://www.walter-fendt.de/ph11s/refraction_s.htm

http://www.phy.ntnu.edu.tw/%7Ehwang/light/flashLight.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Microscopio_%C3%B3ptico

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