Teves Practica Dirigida 2
3
Solucionario de la pr´ actica 2 Curso: Ecuaciones diferenciales parciales Profesor: Mois´ es Toledo Alumno: Te´ofilo Teves Mamani 1. Para cada una de las siguientes EDP: a) hallar y resolver la ecuaci´ on caracter´ ıstica, b) defina el cambio de variables para transformar la EDP en una EDO y obtenga esta ecuaci´on transformada, c) obtenga la soluci´ on general de la ecuaci´on transformada, d) halle la soluci´ on general de EDP dada, e) verificar por sustituci´ on, que es soluci´ on de la EDP dada. a) 3u x +5u y - xyu =0 Laecuaci´oncaracter´ ıstica: dy dx = 5 3 ⇒ y = 5 3 x + k donde k es una constante. El cambio de variables ser´ a: η = y - 5 3 x, ξ = x. El jacobiano: 1 0 - 5 3 1 =1 6=0 Luego: -xy = -ξ η + 5 3 ξ u x = u ξ · 1+ u η ·- 5 3 = u ξ - 5 3 u η u y = u ξ · 0+ u η · 1= u η Transformamos la EDP: 3 u ξ - 5 3 u η + 5(u η ) - ξ η + 5 3 ξ u =0 1
Transcript of Teves Practica Dirigida 2
Solucionario de la practica 2
Curso: Ecuaciones diferenciales parcialesProfesor: Moises Toledo
Alumno: Teofilo Teves Mamani
1. Para cada una de las siguientes EDP: a) hallar y resolver la ecuacioncaracterıstica, b) defina el cambio de variables para transformar laEDP en una EDO y obtenga esta ecuacion transformada, c) obtengala solucion general de la ecuacion transformada, d) halle la soluciongeneral de EDP dada, e) verificar por sustitucion, que es solucion de laEDP dada.
a) 3ux + 5uy − xyu = 0La ecuacion caracterıstica:
dy
dx=
5
3⇒ y =
5
3x+ k
donde k es una constante. El cambio de variables sera: η = y− 53x,
ξ = x. El jacobiano:
1 0−5
31
= 1 6= 0
Luego:
−xy = −ξ(η +
5
3ξ
)ux = uξ · 1 + uη · −
5
3= uξ −
5
3uη
uy = uξ · 0 + uη · 1 = uη
Transformamos la EDP:
3
(uξ −
5
3uη
)+ 5(uη)− ξ
(η +
5
3ξ
)u = 0
1
Operando tenemos:
uξ −(ξη
3+
5
9ξ2)u = 0
El factor integrante es:
exp
(∫−(ξη
3+
5
9ξ2)dξ
)= exp
(−ξ
2η
6− 5
27ξ3)
Multiplicando por el factor integrante:
e−(ξ2η6
+ 527ξ3)uξ −
(ξη
3+
5
9ξ2)e−(ξ2η6
+ 527ξ3)u = 0
Integrando:
e−(ξ2η6
+ 527ξ3)u = f(η)⇒ u = e
(ξ2η6
+ 527ξ3)f(η)
Volviendo a las variables originales:
u = e
(x2(y− 5
3x)6
+ 527x3
)f
(y − 5
3x
)2. Hallar la solucion general de
ux + α(y − 1)uy =1
2βf(x)(y − 1)u
donde α y β son numeros reales y f una funcion continua en la rectareal. Mediante esta solucion general hallar la solucion que satisfaga
u(0, y) = yn
Solucion:
Tenemos:
ux + α(y − 1)uy −1
2βf(x)(y − 1)u = 0
La ecuacion caracterıstica:
dy
dx= α(y − 1)⇒ ln |y − 1| = αx+ k
2
donde k es una constantes. Sea ξ = αx− ln |y−1| y η = y, el jacobiano:
α − 1y−1
0 1= α 6= 0
Luego:
(αuξ) + α(η − 1)(− 1
η − 1uξ + uη)−
1
2βf(
ξ + ln |η − 1|α
)(η − 1)u = 0
Operando:
uη −β
2αf(ξ + ln |η − 1|
α)u = 0
El factor integrante es:
exp(
∫− β
2αf(ξ + ln |η − 1|
α)dη)
Integrando:
u = exp(
∫β
2αf(ξ + ln |η − 1|
α)dη)f(ξ)
Volviendo a las variables originales:
u = exp(
∫β
2αf(x)dy)f(αx− ln |y − 1|)
Ası:u = e
β2αyf(x)f(αx− ln |y − 1|)
3
