TESIS - Tecnológico Nacional de México campus CENIDET...FLOR LIZETH TORRES ORTIZ ASESOR: DR....

SEP SElT DGlT

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOL~GICO

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C

* t ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ó ~ Y CONTROL NO LINEAL DE COLUMNAS DE DESTILACIÓN"

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN IN G E N I E RíA EL E CT RÓ N I CA

P R E S E N T A: ING. FLOR LIZETH TORRES ORTIZ

ASESOR: DR. CARLOS MANUEL ASTORGA ZARAGOZA

c .

CUERNAVACA, MORELOS

CENTRO DE INFOWCION SEP CENIDET

0 5 - 8 8 0 6 I

ENERO DE 2005

cenidet centro Nacional de lnvesligaci6n y Desarrollo Tecnol6gico Sistema Nacional de institutos Tecnol6gicos

t v ANEXO No.11 M10 -

ACEPTACI~N DEL DOCUMENTO DE TESIS

Cuernavaca, Mor., a 1 de diciembre del 2004 - C. Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez Jefe del departamento de Electrónica Presente.

At'n C. Dr. Gerard0 V. Guerrero Ramírez Presidente de la Academia de Electrónica

Nos es grato comunicarle, que conforme a los lineamientos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este Centro, y después de haber sometido a revisión académica la tesis titulada: Observación y Control de Columnas de Destilación ", realizada por la C. Flor Lizeth Torres Oríiz y dirigida por el Dr. Carlos M. Astorga Zaragoza y habiendo realizado las correcciones que le fueron indicadas, acordamos ACEPTAR el documento final de tesis, así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondiente oficio de autorización de impresión.

b

a & ' i

Nombre y firma Revisor

s. E. P. CENTRO NAC IONAL DE INvEST~G/!C:ON

CNOLO'. -7

@,E DESP.PRO110 ljp Dr. Enrique Q u i n t ~ M B B h d l ' M a i < i i - ~ . C . Ped . Mendoza Escobar Nombre y firma Revisor

r C.C.P. Subdirección Académica Departamento de Servicios Escolares Directores de tesis Estudiante

Reviso

Cedro Nacional de Investigación cenídet y Desarrollo Sistema Nacional de InMUtos TecnoMgicos

Tecnológico

ANEXO No. 12 MI1

AUTORIZACI~N DE IMPRESI~N DE TESJS

Cuemavaca, Mor., a 17 de diciembre de1 2004

C. hg. Flor Lizeíh Torres Ortiz Candidato al grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica Presente.

Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la Comisión Revisora de la Academia de Electrónica en relación a su trabajo de tesis cuyo titulo es: "Observación y control no üneal de columnas de desíiiación", me es grato comunicarle que conforme a los heamientos establecidos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en este centro se le concede la autorización para que proceda con la impresión de su tesis.

Atentamente

I, -- 1 - íg( pt. a C. Dr. Enrique Quin&ro-Mh~~ol Márquez Jefe del Departamento de Electrónica

C.C.P. Subdirección Académica Presidente de la AIademia de Eiecirónica Departamento de Servicios Eseolares Expediente

5

prwm" ACAbim, Re@W,,<O y RoddM*n!c" /iudemicPMmi".mtm>a dr laF.=wmu & Mani*i.m(irnrús dclaMDET

Resumen

Este trabajo de tesis presenta la formulación de un modelo matemático We representa el comportamiento dinámico de las fracciones molares líquidas correspondientes a cada etapa de una columna de destilación.

El modelo es adaptado a las características físicas de una planta piloto e integrado en un simulador numérico para después comparar su respuesta con mediciones adquiridas de la planta en tiempo real. Las mediciones adquiridas y registradas en una base de datos son temperaturas sensadas por RTD's colocados en ciertas etapas de la columna de destilación piloto. Mediante una relación de eqiiilibrio termodinámi- co estas temperaturas proporcionan el valor de las fracciones molares líquidas del componente más ligero de la mezcla. La mezcla utilizada en los experimentos es Metanol-Etanol clasificada como una mezcla ideal.

El modelo obtenido es utilizado para el diseño de un observador de gran ganancia y de un observador de gran ganancia constante. Los observadores son diseñados con el objetivo de estimar las fracciones molares líquidas en cada etapa de la columna de destilación, a partir de las entradas del sistema y de las salidas: mediciones de temperatura en el Condensador y en el Hervidor.

Los observadores diseñados son evaluados en simulación y validados experimental- mente con las temperaturas disponibles en algunas etapas de la columna.

El observador de gran ganancia constante diseñado es utilizado como una herramienta para estimar los estados estimados por una ley de control basada en la técnica geométrica de linealización por retroalimentación. La respuesta del sistema en lazo cerrado con el controlador es evaluada mediante simulaciones numéricas.

f

I F Abstract

This work presents a mathematical model which reproduce the dynamical behavior of the liquid molar compositions on each stage of a distillation column.

The model is adapted to the physical characteristics of a bench-scale distillation column and programmed in a software simulator. In order to evaluate the model accuracy, experimental tests are realized for acquiring real data.

The measurements taken from the plant are temperatures sensed by RTD's collocat- ed on some stages of the bench-scale distillation column. With a thermodynamical equilibrium relation the temperatures are used to give the liquid molar compositions of the light component in a mixture. The mixture used in the experiments is Methanol-Ethanol classified s an ideal mixture.

The model formulated is used in order to design a high gain observer and an observer with constant gain. These observers are synthesized in order to estimate the liquid molar compositions on each stage of a distillation column by using only the inputs of the process and the outputs: temperatures on the Condenser and the Boiler.

The estimated states are used to design a nonlinear control law which is evaluated by means of numerical simulations. The main goal of this control law is to regulate the liquid molar compositions on the condenser an the Boiler manipulating the molar flows.

The control law has the purpose of controlling the liquid molar compositions on the Condenser and Boiler manipulating the molar flows.

Dedicatoria

A ti Mamá POT estar siempre pendiente de mi y quererme como nadie más podvía hacerlo. Todo lo que he hecho tiene mucho de tu amor, fé y dedicación. A ti Popá, porque aunque ya no estás mderialmente conm.igo, lo estás en mi mente y corazón. Te amo Papá hoy y siempre. A ti Abuelita POT abrazarme con tu esp<ritu todas las noches de estudio. A t i Axel POT la alegn'a que diste a mi vida con tu llegada. A ti Ana POT todo y POT siempre.

Agradecimientos

Antes que a alguien, te agradezco Dios por darme I& mejores oportunidades en la vida.

Les agradezco Samuel, Sergio por quererme y apoyarme tanto como solo los mejores hermanos lo podrían hacer. Algún día les pagaré todo eso que les debo.

Les agradezco Belinda, Larissa, Tío Miguel y Tío Jorge por apoyarme en todos los aspectos como solo lo hacen las mejores familias.

Les agradezco Diana, Patty, Alejandro (mi hermano), Fabita, Niño Miranda, Luisito Lucia, Yazmín, Sandruka, Rafiky, Aly, Forrest, Papantla, Ale Roa, Letty D., Yadira por mostrarme su amistad incondicional en todo momento.

Les agradezco Adrián Santiago, Pablo, Tano, Fabiola, Chong, Roxana, Manuel, Miriam, Eumir, Salex, Ricardo, Armando, Compiri, Christian, George Puebla, Ing. George, Alonso y Alfredo por acompañarme en esta estancia y hacerla algo ni& divertida.

Le agradezco Dr. Carlos Astorga por ser un buen guía y aún más por ser un buen amigo.

Agradezco a todos mi maestros de control por su paciencia y conocimientos. En especial al Dr. Alejandro por enseñarme la diferencia entre lo abstracto y lo concreto, que no es un silogismo y demás cosas que solo en una buena clase de matemáticas se pueden aprender.

Agradezco al Dr. Victor A., Dr. Enrique Q. M. y al M.C. Pedro Rafael M. por sus correcciones acertadas de este trabajo.

Agmiezco a CONACYT y SEP por su apoyo económico

Agradezco ai Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico por brindarme la oportunidad de crecer profesionalmente.

Notación

Letras mayúsculas

Constante de Antoine Flujo molar del producto de fondo (moles/min) Constante de Antoine Constante de Antoine Calor especifico (kJ/mol"C) Calor especifico en la fase líquida (kJ/mol"C) Calor especifico en la fase de vapor (kJ/molOC) Flujo molar del producto destilado (moles/min) Eficiencia de Mnrphree en la sección de empobrecimiento Flujo molar de la alimentación (moles/rnin) Flujo volumétrico de la alimentación (mL/m¡n) Entalpía de vapor (J/moi) Coeficiente de equilibrio Flujo molar líquido (moles/min) Flujo líquido en la sección de enriqnecimiento (moles/min) Flujo líquido en la sección de empobrecimiento (moles/min) Masa molar retenida en cada estado (moles) Peso molecular (9 ) Número total de estados Presión total (kPa) Presión de vapor del componente c puro (kPa) Presión de vapor del componente c en la mezcla (kPa) Presión parcial que ejerce el componente c en una mezcla gaseosa(kPa) Porcentaje de apertura de la válvula de fondo Potencia calefactora añadida al hervidor (Watts) Reflujo (0-1) Periodo de la señal aplicada a la válvula (s) Temperatura en cada estado ("C) Temperatura de la alimentación ("C) Temperatura de ebullición ("C) Flujo de vapor molar (molesfmin) Volumen de cada estado (mL) Volumen de un componente en la alimentación (mL) Volumen total de la alimentación (mL) Flujo de vapor en la sección de enriquecimiento (moles/min) Flujo de vapor en la sección de empobrecimiento (moles/min) Porcentaje en peso de un componente en la alimentación

Letras minúsculas

e f Plato de alimentación f: h Entalpía líquida (J/mol) qpe Calidad de la alimentación p f b t,, Tiempo de estado estable t d

t o N z p C xc, Concentraciones molares líquidas y 6 Concentraciones molares de vapor

Eficiencia de Murphree en la sección de enriquecimiento

Fugacidad del líquido en un estado de referencia

Porcentaje de variación en la frecuencia de la bomba

Tiempo de duración de la señal aplicada a la válvula de reflujo (s) Tiempo de apertura de la válvula (s) Concentración líquida en la alimentación

Letras gr iegas

AHYp Entalpía de vaporización (kJ/mol) AHbcVaP 76 Coeficiente de actividad @ci Coeficiente de fugacidad P C Densidad (g/cm2) E Error Ess Error de estado estable

Entalpía de vaporización en una temperatura de ebullición de referencia (kJ/mol)

Caracteres especia les

N Enteros W Reales

Subindices

C

2

j F H L

Componente Etapa en la columna de destilación j-ésimo componente de un vector Etapa de alimentación Componente pesado de la mezcla Componente liger de la mezcla

Superíndices

equ En equilibrio min Valor mínimo max Valor Máximo Real Valor Real Mod Valor calculado por el modelo uap En la fase de vapor liq En la fase líquida

Marcas diacríticas

Estimado Normalizado

Abreviaturas

CDD EOH IOL MeOH SNLT SSL SPD OGG OGGC

Columna de destilación Etanol Linealización entrada-salida (Input-Output linearization) Metano1 Sistema no lineal de forma triangular Linealización estado-espacio (State-Space linearization) Definida positiva simétrica Observador de gran ganancia Observador de gran ganancia constante

Lista de figuras

1.1. Diagrama esquemático de una columna de destilación . . . . . . . . . . . 2

. . 2 1.2.

1.3. Principio de operación de una columna de destilación

1.4. Observador de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Esquema de una columna de destilación de petróleo . . . . . . . . . . .

. . . .

2.1. Diagrama de equilibrio líquidovapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Algoritmo del cálculo de burbuja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3. Balance de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Diagrama de flujo del simulador de la columna de destilación

2.5. Columna de destilación piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6. Plato de la columna de destilación piloto . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7. Condensador de la columna de destilación piloto . . . . . . . . . . . 25

26 2.8.

2.9. Señal aplicada en la válvula de reflujo desde el tablero de control . . . . . . . . . . 26

2.10. lnterpolación de los puntos de operación de la bomba de alimentación 27

2.11. Dispositivos de las entradas en la columna de destilación: bomba de ali-

Hervidor de la columna de destilación piloto . . . . . . . . . . . . .

mentación. termo-resistencia.válvula de reflujo . . . . . . . . . . . . . . . .

2.12. Diagrama de equilibrio Metanol-Etanol . . . . . . . . 29

2.13. Esquema de comparación experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.14. Aproximación del modelo a los datos experimentales en Prueba 1

2.15. Aproximación del modelo a los datos experimentales en Prueba 2 , , . , 2.16. Aproximación del modelo a los datos experimentales en Prueba 3 . , , , , . , . . 34

3.1. Implicación de las propiedades de observabilidad . . . . . . . 38

. . . . . . . . .

3.2. Entrada regularmente persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3. Esquema de un observador . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Supervisión . . . . . . . . . . 42

3.5. Detección de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6. Control , , , , . , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Esquema de la estimación en simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Estimación de z1 en el Condensador utilizando un observador de gran ganancia con diferentes parámetros de calibración O

4.3. Estimación de 2 2 en el Plato 2 utilizando un observador de gran ganancia con diferentes parámetros de calibración B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4. Estimación de 512 en el Hervidor utilizando un observador de gran ganancia con diferentes parámetros de calibración O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5. Estimación de z3 en el Plato 3 utilizando un observador de gran ganancia

. . . . . . . . . . . . . .

constante con diferentes parámetros de calibración O . . . . . . . . . . . .

constante con diferentes parámetros de calibración O . . . . . . . . .

constante con diferentes parámetros de calibración O . . . . . . . . . .

4.6. Estimación de zs en el Plato 5 utilizando un observador de gran ganancia

4.7. Estimación de q1 en el Plato 11 utilizando un observador de gran ganancia

4.8. Señales de salida con ruido de medición . . . . . . . . . . . . . . .

4.9. Estimación de z4 en el Plato 4 utilizando un observador de gran ganancia calibrado con diferentes parámetros 9 y con presencia de ruido en las señales de medición.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.10. Estimación de zg en e¡ Plato 9 utilizando un observador de gran ganancia calibrado con diferentes parámetros O y con presencia de ruido en las señales de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.11. Estimación de z6 en el Plato 6 utilizando un observador de gran ganancia constante calibrado con diferentes parámetros ü y con presencia de ruido en las seiiales de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.12. Estimación de z g en el Plato 8 utilizando un observador de gran ganancia constante calibrado con diferentes parámetros O y con presencia de ruido en las señales de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.13. Estimación de z6 en el Plato 6 utilizando un observador de gran ganancia (diferentes condiciones iniciales para el observador). . . . . . . . . . . . .

(diferentes condiciones iniciales para el observador). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. Estimación de x7 en el plato 7 utilizando un observador de gran ganancia

4.15. Estimación de q0 en el Plato 10 utilizando un observador de gran ganancia

LISTA DE FIGURAS

(diferentes condiciones iniciales para el Observador). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

43

64

66

66

66

67

67

67

69

69

70

70

71

73

73

73

k

. LISTA DE FIGURAS

4.16. Estimación de 23 en el Plato 3 utilizando un observador de gran ganancia constante (diferentes condiciones iniciales para el observador). . . . . . .

4.17. Estimación de 'zs en el Plato 8 utilizando un observador de gran ganancia constante (diferentes condiciones iniciales para el observador). . . .

constante (diferentes condiciones iniciales para el observador)

. . 74

4.18. Estimación de z12 en el Hervidor utilizando un observador de gran ganancia . . . . . . . 74

76 4.19. Esquema de observación experimental en una columna de destilación . . . . . . .

4.20. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 1, 2. 4 y 6 utilizando un observador de gran ganancia con B = 0.03. Experimento 1 . . 78

4.21. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 7, 9, 11 y 12 utilizando un observador de gran ganancia con 0 = 0.03, Experimento 1 . . . .

4.22. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 1, 2 ,4 y 6 utilizando

79

un observador de gran ganancia constante con 0 = 1, Experimento 1 . . 80

4.23. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 7, 9. 11 y 12 utilizando un observador de gran ganancia constante con B = 1, Experimento 1 81

4.24. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 1, 2. 4 y 6 utilizando un observador de gran ganancia con B = 0.03, Experimento 2 , . . . . .

4.25. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 7, 9. 11 y 12 utilizando un observador de gran ganancia con B = 0.03, Experimento 2 . , . . 83

4.26. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 1, 2. 4 y 6 utilizando un observador de gran ganancia constante con 0 = 1, Experimento 2 . . . . , . . 84

4.27. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 7, 9, 11 y 12 utilizando un observador de gran ganancia constante con B = 1, Experimento 2 85

5.1. Diagrama a bloques del controlador por retroalimentación . . . . . . . , . . . . . . , 101

5.2. Simulador del sistema en lazo cerrado , . . . . 102

5.3. Respuesta del proceso ajustado el controlador con diferentes parámetros E

5.4. Sistema en lazo cerrado con diferentes condiciones iniciales . . . , , . . . . , . . . . 106

5.5. Seguimiento de las seiiales de salida controladas a los puntos de ajuste , . . . . 107

5.6. Resultados en simulación del seguimiento de las señales de salida controladas a los puntos de ajuste (entradas con y sin cotas)

5.7. Resultados en simulación del sistema en lazo cerrado con entradas y salidas desacopladas . . . < < < . . . . . . . . . . . . . . . 109

. . . . . , , , . .

. 108

LISTA DE FIGURAS

5.8. Resultados en simulación del sistema en lazo cerrado sin y con desacoplo de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.9. Diagrama a bloques de un controlador con retroalimentación de estados estimados por un observador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.10. Resultados en simulación del sistema en lazo cerrado con estados estimados ,

5.11. Resultados en simulación del sistema en lazo cerrado con estados estimados

112

(señales de salida con ruido de medición) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.12. Sistema en lazo cerrado con estados estimados con un observador de gran ganancia constante ajustado con diferentes parámetr . . . . . . . . . . . 114

6.1. Archivos del simulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

. , . _ . . 123

. . . . . . . . . . . . 123

. . . . . . . . . . 124

6.2. Simulador de la columna de destilación en lazo abierto . . . . . .

6.3. Bloques para la generación de las señales de entrada

6.4. Elección del método de integración . . . .

B.5. Archivos del simulador de los observadores no lineales. . . . . . . . . .

B.6. Simulador de los observadores no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

. . . . . . . . . . . . . 127

B.7. Base de datos en Excel

6.8. Estimación off-/;ne. . . . .

6.9. Archivos para la estimación off-line

6.10, Controlador con retroalimentación d

6.11.Archivos para el simulador en lazo cerrado

6.12. Controlador con retroalimentación de estados estimados por un observador de

" " " " " ' 128

. . . . . . . . . . . . . . . . . 128

. . . . . . . gran ganancia costante . . . . . . . . .

B.13.Archivos para el simulador en lazo cerrado con estados estimad

i

Lista de tablas

2.1. Señales de entrada en los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

. . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. EVOT . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Tiempo de convergencia del observador de gran ganancia con diferentes valores para B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2. Tiempo de convergencia del observador de gran ganancia constante con diferentes valores para 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3. Tiempo de convergencia del observador de gran ganancia con diferentes condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . , . . 72

4.4. Tiempo de convergencia del observador de gran ganancia constante con diferentes condiciones iniciales 75

4.5. Señales aplicadas en ¿as entradas . . . . . . . . . . . . . . 76

4.6. Tiempo de convergencia con el observador de gran ganancia . . 77

4.7. Tiempo de convergencia con el observador de gran ganancia constante 86

4.8. Error con el observador de gran ganancia , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.9. Error con el obseniador de gran ganancia constante 86

5.1. Aplicaciones de control en columnas de destilación . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.2. Efectos de la variación del parámetro de calibración del calibrado? E

sobre la salida yi 104

5.3. Efectos de la variación del parámetro de co,libra.ción, del co,hbrador L

sobre la salida y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.4. Evahación de la respuesta temporal de la salida y1 ante diferentes condiciones iniciales 105

A . l . Caracten'sticas fisicas de la CDD de la planta piloto . . . . . . . . . . . . . . . 121

A.2. Especificaciones de la mezcla Metanol-Etanol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

A.3. Parámetros iniciales de la pruebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Introducción

L~ destilación es el método de separación de sustancias químicas, más antiguo e importante que se conoce. La operación unitaria de destilación es una de las más empleadas en la industria química, alimenticia, farmacéutica, perfumera y petroquími- ca. El aparato utilizado en la actualidad en la destilación continua, es la columna de destilación. Estas columnas constituyen un porcentaje significativo de la inver- sión qiie se realiza en plantas químicas y refinerías en todo el mundo. Por ello, el disponer de técnicas prácticas para modelar columnas de destilación mas o menos realistas y el desarrollar sistemas de monitoreo y control fiables es muy importante, a fin de conseguir, un funcionamiento eficaz y seguro de los sistemas de destilación industriales .

Una columna de destilación consiste de n - 2 platos, un condensador y un hervidor. Se etiqueta ai condensador con el número 1, ai hervidor con el número n, y los platos intermedios son numerados ascendentemente del condensador ai hervidor. La alimentación es depositada en el plato número f, conocido como plato de alimentación. La Figura 1.1 muestra un diagrama esquemático de una columna de destilación.

La separación de componentes de una mezcla líquida vía destilación depende de los diferentes puntos de ebullición de los componentes individuales. En una mezcla binaria, ai componente con temperatura de ebullición más baja se le conoce como componente ligero, y al otro como componente pesado.

A cada etapa de una columna de destilación le corresponde un grado de pureza de los elementos (ver ejemplo en la Figura 1.2) y el parámetro que mide esta variable física es la fracción molar. x" es la fracción molar líquida para el componente c en el plato i y yci es la fracción molar de vapor para el componente c en el plato i.

La sección superior al plato de alimentación se conoce como sección de enriquecimiento. En dicha sección, es en donde la pureza de la fracción molar líquida del componente ligero se incrementa. La sección de empobrecimiento se encuentra de- bajo del plato de alimentación, y es en donde el componente ligero se extrae del componente pesado. En otras palabras, es en donde la pureza de la fracción molar líquida del componente pesado se incrementa.

El proceso consiste en poner en contacto vapor con líquido, el vapor se genera eva- porando parte del residuo o fondo (B) , y el líquido retornando a la columna parte del destilado ( D ) , que son las mezclas más pobres y más ricas, respectivamente, en el componente mas volátil. La energía para que la columna funcione así, es proporcionada por el calor que se aplica en el hervidor, el cual causa la evaporación de parte del líquido que llega a éste. La corriente de vapor, conforme asciende por la torre, se enriquece en el componente más volátil. Esta corriente de vapor se conden- sa en el condensador y una parte de ese líquido se regresa hacia la columna y otra

1

Figura 1.1. Diagrama esquemático de una columna de destilación

L Residuo

Figura 1.2. Esquema de una columna de destilación de petróleo

parte se ext,rae del acumulador como producto destilado. La corriente del líquido de reflujo desciende por gravedad y se va enriqueciendo con el componente más pesado. Este proceso de enriquecimiento y empobrecimiento en determinados componentes se lleva a cabo en etapas sucesivas de la torte.

En la Figura 1.3 se presenta un diagrama esquemático del principio de operación de una columna de destilación. En cada plato se pone en contacto el líquido que desciende del plato superior, L - 1 , con el vapor que sube del plato inferior, K+i, cuando la etapa se comporta de manera ideal se alcanza el equilibrio termodinámico y las fracciones molares son las correspondientes a la temperatura de equilibrio alcanzada, es decir, cuando la temperatura de ambas corrientes es la misma (T,). En esas condiciones, la fracción molar líquida (z,i) y la fracción molar de vapor

1.1 Plantemiento del problema 3

Plato i

Figura 1.3. Principio de operación de una columna de destilación

(ycz) son las fracciones molares en el equilibrio. En la Figura 1.3 se puede apreciar también el efecto del empobrecimiento y enriquecimiento mencionados La fracción molar líquida del componente (c) más volátil que desciende, z"-~, es menor que zni pero la fracción molar de vapor que sube aumenta, es decir, y,, es mayor que ym-l.

1.1. Plantemiento del problema Si se desean medir las fracciones molares en cada etapa de una columna de desti- lación, se debe considerar que en numer'osas aplicaciones industriales, una columna real tiene más de 50 platos (el número puede aumentar o disminuir dependiendo de su aplicación). El costo de la instrumentación apta para la niedición de las fracciones molares en cada etapa es muy elevado y los procedimientos de estereometría considerando el número de muestras a analizar se vuelven procedimientos caros en tiempo y precio. Por esta razón, es de gran interés investigar y desarrollar alterna- tivas como solucion'k viables a este problema.

Por otro lado, el control en columnas de destilación tiene generalmente como objetivo principal obtener un grado de pureza en ciertas etapas de la columna. Se debe tener en cuenta que, como la mayoría de los procesos químicos, la columna de destilación tiene un comportamiento no lineal, además de que cuenta con múltiples entradas, múltiples salidas y la presencia de perturbaciones. Estas características hacen que el proceso requiera estrategias de control avanzadas, que sean válidas para amplios rangos de operación del proceso (incluyendo cambios en el punto de ajuste).

4 Capítulo 1 Introducción

1.2. Objetivos

El Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico cuenta con una planta de destilación piloto, que posee la instrumentación necesaria para poner en práctica conceptos teóricos de control. La motivación de este trabajo es abordar temas como modelado de sistemas, control por retroalimentación de estados y síntesis de observadores no lineales, con la finalidad de obtener resultados en un caso real y donde los objetivos pueden resumirse en los siguientes puntos:

1. Formular un modelo dinámico que describa el comportamiento de una columna de destilación binaria. El modelo debe ser preciso y simple para estrategias de control no lineal.

Implementar un simulador numérico basado en el modelo matemático obtenido.

Realizar experimentos en una planta de destilación piloto, para después comparar los datos experimentales obtenidos con los resultados calcnlados por el simulador.

Desarrollar algoritmos de observación no lineal que puedan estimar todos los estados de un proceso en diferentes puntos de operación.

Aplicar los algoritmos de observación para estimar las fracciones molares en cada etapa de una columna de destilación.

Implement,ar los observadores disenados en un lenguaje de programación

Realizar experimentos en un proceso real para obtener mediciones y compa- rarlas con las estimaciones realizadas por los observadores.

Desarrollar una ley de control no lineal, para controlar las fracciones molares en el condensador y el hervidor.

Evaluar la ley de control mediante simulaciones numéricas.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

1.3. Hipótesis

Las estrategias de cont,rol pueden dividirse de acuerdo a la configuración de control utilizada y a la solución sistemática para manipular las variables de la configuración. Las configuraciones se realizan en base a las variables manipuladas y a las variables controladas. En la mayoría de las columnas de destilación las variables a manipular (u) y las variables a controlar (y) son la siguientes (Skogestad 1997):

\ \

. .

Observador

1.3 Hipótesis 5

Las configuraciones más empleadas en la teoría de control resultan de las combinaciones de I, con D ( L I D ) para controlar %,I, y de las combinaciones de V y B ( V / B ) para controlar 5,. Sin embargo, frecuentemente en la industria, se encuentran columnas donde se emplea el calor suministrado al Hervidor y el reflujo para controlar alguna fracción molar, esto corresponde a la configuración LV, que probablemente es la mejor opción ya que los flujos L y V afectan directamente las fracciones molares. Una descripción más amplia de las configuraciones puede encontrarse en (Skogestad 1997), donde además se toma en cuenta el control de las masas molares M I y M,.

En este trabajo se considera controlar las fracciones molares líquidas en en el Con- densador (51) y en el Hervidor (5,) mediante la configuración LV. El control debe ser multivariable y operar en diferentes regiones de operación.

Las técnicas g e o m é t h s de linealización POT retroalimentación de estados (Isidori 1996), son una buena alternativa para el diseño de controladores, ya que proveen: (1) mediante un cambio de coordenadas, una representación lineal y exacta del modelo no lineal, y (2) una ley de control por retroalimentación de estados capaz de controlar y desacoplar las salidas de las entradas y de las perturbaciones. El control basado en estas técnicas requiere el vector de estados completo, situación que a menudo en la práctica no es posible debido a la falta de instrumentación para la medición de ciertas variables del proceso o bien, al elevado costo de la misma.

Una solución viable para la disponibilidad de los estados en un proceso son los observadores de estado, también conocidos como sensores virtuales, ya que su im- plementación se lleva a cabo en computadoras, y realizan la misma función que un sensor físico.

Un observador de estados es un sistema dinámico capaz de reconstruir o estimar los estados y variables de interés de un proceso, a partir de las mediciones físicas de las entradas y de las salidas de este mismo (ver Figura 1.4).

Esmdos estimadas i(f)

Y

Figura 1.4. Observador de estados

6 Capítulo 1 introducción

El tener todos los estados de un proceso y ciertos parámetros físicos tiene las siguientes aplicaciones:

La retroalimentación de los estados en un lazo de control.

Monitoreo en línea de variables de interés a fin de detectar problemas opera- cionales en los procesos.

Monitoreo en línea con el fin de verificar el cumplimiento de estándares de calidad.

Las ventajas principales de un observador se pueden resumir en los siguientes puntos:

Reemplazan instrumentación con costo elevado

Efectúan mediciones para la cual no hay instrumentación en el mercado.

m Efectúan mediciones multi-funcionales, es decir miden parámetros de índole diversa al mismo tiempo y con un mismo algoritmo.

Un observador no requiere mantenimiento.

m Un observador no se descalibra

Los observadores pueden programarse en cualquier lenguaje.

Un observador aplicado a una columna de destilación puede utilizarse en la esti- mación de flujos molares, flujos volumétricos, cambios de presión, fracciones molares, etc. Así pues, el diseño del observador dependerá de las variables que se desean estimar y de la instrumentación disponible. Si se desean obtener las fracciones molares en todas las etapas de una columna de n platos, se tendrían que tener n sensores (refractómetros, densímetros, etc) midiéndolas en línea. Sin embargo, empleando observadores de estado los Únicos requisitos son:

m Las medidas de temperatura en las etapas inferior y superior (hervidor y condensador) lo que es equivalente a tener dos sensores de temperatura (Termo- pares, RTD’s, etc)

La medición de las entradas del proceso.

Una computadora con el algoritmo de observación (observador), el cual se encargará de estimar las fracciones en cada etapa.

j: 1.3 Hipótesis 7

Los observadores para sistemas dinámicos pueden clasificarse como: ( a ) observadores lineales y ( b ) observadores no lineales. Dentro de la primera categoría se pueden rnen- cionar los Filtros de Kalman y los observadores de Luenberger. Estos observadores utilizan técnicas ya existentes para los sistemas lineales, particularmente la técnica de colocación de polos, que se utiliza para solucionar el problema de estabilización de sistemas lineales. Para los sistemas lineales invariantes en el tiempo y observables, el problema de diseño de estos observadores está prácticamente resuelto.

Sin embargo, para el caso de sistemas no lineales, no existe una solución general. Debido a que la propiedad de observabilidad depende de las entradas del proceso. A partir del momento en que no existe un método sistemático para observadores de estado desde el punto de vista no lineal, resulta interesante contemplar el diseño de observadores de estado desde el punto de vista no lineal, con el fin de explorar la eficiencia de los estados estimados y de la incorporación de estos en lazos de control para procesos industriales, como el proceso de destilación.

Uno de los trabajos más interesantes y completos en la teoría de observadores no lineales se muestra en (Gauthier et al. 1992). Este trabajo describe la síntesis de un observador conocido como observador de gran ganancia. La sintonización o cali- bración de este observador se realiza mediante el ajuste de un Único parámetro y la estabilidad se asegura mediante la solución única de una ecuación de Lyapunov.

Los observadores de gran ganancia requieren un modelo dinámico del proceso basado en leyes físicas. El modelo dinámico de una columna de destilación consiste en un conjunto de ecuaciones diferenciales derivadas de balances de masa y energía para cada plato de la columna, y un conjunto de ecuaciones algebraicas utilizadas para describir las propiedades físicas y termodinámicas. En este trabajo se considera utilizar un modelo dinámico basado en las siguientes suposiciones (Luyben 1992):

La masa molar de vapor retenida es insignificante

a La masa volumétrica y la masa molar líquida retenidas en cada etapa son constantes.

La presión es constante

La destilación es binaria, es decir, la mezcla a destilar contiene dos componentes.

La pureza de los componentes se considera del 100 %

m La mezcla considerada es ideal

m Los flujos molares en cada sección son constantes .I

8 Capítulo 1 Introducción

1.4. Estado del arte El modelado de columnas de destilación es un tema abordado comúnmente en control de procesos industriales. En (Luyben 1992) se muestra una recopilación de refercncias y la contribución de varios autores sobre modelado, control, simulación e identificación de columnas de destilación. En (Skogestad 1997) se muestra una crítica acertada sobre el modelado y control de columnas de destilación exponiendo los trabajos de numerosos autores.

A continuación se nombran algunos de los trabajos mencionados en (Luyben 1992) y (Skogestad 1997) que abordin bajo diversas estrategias, el control de las fracciones molares líquidas xel y xcn manipulando los flujos molares líquidos y de vapor (Configuración LV o Configuración 2 x 2). Los trabajos son clasificados segiin la estrategia de control utilizada.

Control con un solo lazo. En (Balchcn 1990) se presenta un método de diseño en el dominio de la frecuencia de controladores con un solo lazo para procesos fuertemente interactivos, exponiendo como ejemplo una columna de destilación.

Control Robusto. En (Skogestad et al. 1988) se presenta un modelo de destilación muy simple y se utilizan los valores singulares para estudiar la robustez en un control con configuración LV lineal. En (McDonald and McAvoy 1987) se trata la robustez desde el punto de vista no lineal, sin embargo los resultados son muy restrictivos.

Control multivariable. En (Kümmel and Andersen 1987) se presenta un control lineal geométrico con un lazo de retroaliment,ación y los resultados obtenidos son comparados con un controlador PI. En (Lang and Gilles 1989) se comparan varias estrategias de control en una planta piloto encontrándose un excelente desempeño de los controladores H,.

Control Adaptable. En (Dahlqvist 1981) se obtienen buenos resultados experimentales utilizando un controlador adaptable en una planta piloto de destilación.

Hasta q u i las estrategias de control mencionadas trabajan con un modelo linealizado de la columna de destilación. Existen pocos artículos que traten el diseño de controladores no lineales, entre estos se encuentran (Alsop and Edgar 1990), (Castro .et al. 1990), (Rani and Gangiah 1991), (Levine and Rouchon 1990) y (Barolo et al. 1994).

La estimación de fracciones molares líquidas en los platos de una columna de desti- lación mediante observadores de estado, es un tema abordado en diversos trabajos de investigación. A continuación se nombran algunos trabajos con resultados en este tema clasificados según el tipo de observador empleado.

Observador de Lueberger extendido. En (Quintero-Marmol et al. 1991) se presentan resultados en simulación para una columna de destilación multicomponente por lotes. En (Lang and Gilles 1990) se presentan resultados experimentales para una columna de destilación multicomponente continua.

1.5 Orcanización de/ documento 9

Observador de Kalman extendido. En (Gelb 1974) se emplea por primera vez un filtro de Kalman para estimar fracciones molares en una columna de destilación binaria. Resultados en un proceso real pueden encontrarse en (Baratti et al. 1995) y (Baratti et al. 1998) para mezclas binarias y ternarias respectivamente.

Observador de gran ganancia. En (Deza et al. 1991) y (Targui 2000) se encuentran resultados en simulación para una columna de destilación binaria. Resultados experimentales en una planta piloto pueden encontrarse en (Torres et al. 2004).

1.5. Organización del documento

En el Capítulo 2 se muestra la descripción de un modelo dinámico para una columna de destilación y su integración en un simulador. Además, se proporcionan las características físicas de una planta piloto empleada para la realización de pruebas experimentales, así como una comparación de los resultados obtenidos en esta planta con la respuesta dinámica del modelo.

En el Capítulo 3 se definen algunos conceptos básicos de observabilidad empleados en el diseño de observadores de estado. Aunado a esto, se muestra brevemente el diseño de observadores lineales y no lineales, profundizando en la síntesis de un observador de gran gaiiaiicia y un observador de grah ganancia constante. Posteriormente, estos observadores serán utilizados en una columna de destilación.

En el Capítulo 4 se muestra el procedimiento de diseno de observadores de gran ganancia y de gran ganancia constante con el objetivo de estimar las fracciones molares líquidas en una columna de destilación. Los observadores diseñados son evaluados mediant,e simulaciones numéricas y fuera de linea con mediciones reales tomadas de una planta piloto.

En el Capítulo 5 se muestra la teoría elemental para el diseño de controladores no lineales por retroalimentación de estados utilizando un enfoque geométrico. También se muestra el procedimiento de diseño de un controlador no lineal multivariable con configuración LV para una columna de destilación. El controlador es evaluado mediante simulaciones numéricas bajo las características físicas de una columna de destilación real.

Finalmente se dan las conclusiones generales de este trabajo de tesis.

2. Modelo de una columna de destilación

En este capítulo se presenta la descripción de un modelo dinámico para una columna de destilación. El modelo presenta en sn planteamiento y resultados, sencillez y precisión, características deseables para el diseño de controladores.

En la Sección 2.1 se describe la relación de equilibrio que existe entre las fases líquida y de vapor correspondiente a la mezcla binaria, esta relación es esencial ya que funciona como un modelo termodinámico de los componentes a destilar en cada etapa de la columna. Las Secciones 2.2 y 2.3 tratan el cálculo de las variables implicadas en el proceso como son: los flujos molares, masas molares y los parámetros físicos de la mezcla en la etapa de alimentación. En la Secciones 2.4 y 2.5 se describen los balances de materia y energía mediante ecnaciones diferenciales. La Sección 2.6 contiene la integración'del modelo en un simulador, la descripción de la planta piloto donde se realizan pruebas experimentales y el procedimiento de éstas; en esta sección también se comparan mediciones reales tomadas de la planta piloto con la respuesta dinámica del simulador. Por último, en la Sección 2.7 se muestra un resumen de todo el capítulo así como algunas conclusiones en base a lo estudiado.

2.1. Relación de equilibrio

Definición 1 Equilibrio Liquido- Vapor. Si un vapor y u n liquido están en íntimo contacto POT un largo periodo de tiempo se alcanza el equilibrio entre las dos fases. Esto significa que no ocurre ningún flujo de calor, nt de masa ni de momentum entre las dos fases.

La relación de equilibrio entre las fases líquida y de vapor es representada por una constante K,, conocida como constante de equilibrio. Este concepto es importante, ya que de éste dependen los cálculos de las fracciones molares líquidas y de vapor si se conocen la temperatura y la presión total del proceso. En general la constante de equilibrio se define como

do;nc&e YCi

f: ycc Coeficiente de actividad an Coeficiente de fugacidad PT Presión total del proceso

Fracción molar de vapor del componente c en equilibrio Fracción molar líquida del componente c en equilibrio Fugacidad del líquido en un estado de referencia

11

(2.1.1)

0 5 - 0 0 0 6

12 Capítulo 2 Modelo

Es preciso conocer las propiedades termodinámicas de la mezcla para calcular la constante de equilibrio. Las mezclas se clasifican, de acuerdo a sus propiedades termodinámicas en: ideales y no ideales.

2.1.1. Mezclas ideales

Una mezcla es ideal cuando cumple con las siguientes leyes:

La ley de Raoult que para soluciones ideales establece que la presión de vapor de un componente de una mezcla es proporcional a la fracción molar líquida de dicho componente y a la presión de vapor del componente puro.

La ley de Dalton de presiones parciales para mezclas gaseosas ideales que establece que la presión parcial de un componente en una mezcla de gases es proporcional a la fracción molar de dicho componente y a la presión total del sistema

Expresadas simbólicamente estas leyes adoptan la forma:

Ley de Raoult: P; = P,z,

Ley de Dalton: P i = PTyn

donde:

P,, P,", Pn

Presión de vapor del componente c puro (kPa) Presión de vapor del componente c en la mezcla (kPa) Presión parcial que ejerce el componente c en una mezcla gaseosa(kPa)

Cuando el gas est,á en equilibrio con el líquido, las presiones P: y P; deben ser iguales pues hacen referencia al mismo valor (la presión del Componente c como gas), de modo que igualando ambos valores se obtiene

(2.1.2)

Estrictamente, no existen mezclas ideales, sin embargo, bajo ciertas condiciones se pueden considerar como tales. Muchas operaciones de separación se realizan a baja presión o en un vacío parcial donde las leyes de las mezclas ideales son válidas, en estas condiciones tanto como Q>, en (21.1) son iguales a uno. Además a bajas presiones f,", tiende a la presión de vapor del componente, y entonces resulta que el cálculo de la constante de equilibrio para este caso, es equivalente a calcular la Kci de una mezcla ideal. El.cálculo de la presión de vapor de un componente P, se puede realizar con la ecuación de Antoine:

2.1 Relación de eaoilibrio 13

2.1.2. Mezclas no ideales

La no idealidad de los sistemas líquido-vapor se presenta por diversas causas. La causa más frecuente de no idealidad de la mezcla es la no idealidad de la fase líquida, es decir, cuando no se cumple la ley de Roult. Si la presión del sistema es alta, además existirá no idealidad de la fase vapor, es decir, que no se cumple con la ley de Dalton. En consecuencia, se deberán usar modelos especialmente diseñados para representar sistemas no ideales cuando: a) la presión es elevada; b) la fase líquida es no ideal.

Los modelos que han dFmostrado ser más exitosos para describir el comportamiento de las mezclas no ideales son los que se basan en la correlación del coeficiente de actividad en la fase líquida, ya que justamente es ésta la que provee por lo general la mayor desviación ai comportamiento ideal. Los modelos más usuales, por mencionar algunos, son los de Margules, Van Lam, Wilson, NRTL, UNIQUAC, UNIFAC, etc. Estos modelos pueden :encontrarse en diversos libros y artículos de termodinámica, por ejemplo en (R.H.Perry 1999).

Sin embargo en la práctica industrial se realizan numerosas operaciones a presión elevada y en la fase vapor, el comportamiento es altamente no ideal. El principal efecto de la presión elevada es hacer más difíciles los cálculos de propiedades termodinámi- cas. Las ecuaciones más usadas para generar modelos que representen exactamente el comportamiento a presiones elevadas son las de Soave-Redlich-Kwong, Redlich- Kwong, Peng y Robinson, y Lee-Kesler.

II ,

2.1.3. Eficiencias de Murphree

Las fracciones molares en cada plato pueden calcularse a partir de la relación de equilibrio, pero existen limitaciones como el propio diseño de los platos que afectan la transferencia de masa e impiden al vapor saliente estar en equilibrio preciso con el líquido en cada plato. Esta limitación puede modelarse como una desviación del equilibrio, para esto generalmente se utilizan tres tipos de eficiencia (McCabe 2001):

1. Eficiencia total

2. Eficiencia de Murphree

:I! 3. Eficiencia local

La eficiencia total se calcula para la columna entera relacionando el número total de etapas actuales con ideales. La eficiencia de Mu-hree se calcula para cada etapa, mientras la eficiencia local se calcula para un punto específico en una soia etapa.


. . . . . . .. . . . .

.: : s :

Figura 2.1. Diagrama de equilibrio líquido-vapor

En este trabajo se utiliza la eficiencia de Murphree para pasar de platos ideales a platos reales. La eficiencia de Murphree se define como

* . - Yn - Yn+1 y*. - y n - n n+1

(2.1.3)

la variación de la fracción de vapor al pasar de un plato al siguiente, dividida por la variación que tendría lugar si el vapor que sale estuviese en equilibrio con el líquido que sale; la ecuación (2.1.4) se utiliza para modelar los platos en la sección de empobrecimiento. Para la sección de enriquecimiento se define la eficiencia en términos de las fracciones molares líquidas.

(2.1.4)

2.1.4. Diagrama de equilibrio

El diagrama de equilibrio entre las fases líquida y de vapor (diagrama VLE por sus siglas en inglés) es una herramienta gráfica útil en el modelado de columnas de destilación. En un diagrama VLE se muestran las curvas obtenidas a partir de la relación entre la fracción molar líquida, fracción molar de vapor y la temperatura a una presión constante. El diagrama de equilibrio de una mezcla binaria cualquiera es mostrado en la Figura 2.1.

Para obtener el diagrama de equilibrio de una mezcla binaria en particular se puede recurrir a (2) datos experimentales documentados en varias bibliografías y que fre-


2.2. Flujos y masas molares

En la columna de destilación fluyen tasas molares de líquido y vapor, internas y externas. Estos flujos varían en cada etapa, pero realizando la suposición de flujos inolares constantes en cada sección de la columna solo se consideran siete: dos flujos (vapor y líquido) en la sección de enriquecimiento, dos flujos (vapor y líquido) en la sección de empobrecimiento, un flujo de alimentación, un flujo del producto destilado y un flujo del producto de fondo. Esta suposición es razonable para mezclas ideales y/o cuando los componentes tienen entalpías de vaporización A H Y P similares.

Sección de enriquecimiento:

v R = v S + ( l - q F i ) F ; (2=1, . . . , f )

LR = VR - D; (i = 1, ...,f - 1)

Sección de empobrecimiento:

' (i = f + 1, ._<, n) QB v, = AH,v"pxi, + AH,u"(l - 21")'

(2.2.1)

(2.2.2)

(2.2.3)

(2.2.4)

Flujos externos:

(2.2.6)

(2.2.7)

La masa molar líquida con respecto al componente más ligero se considera constante y está en función de la cantidad volumétrica retenida en cada etapa y del porcentaje en peso del componente ligero. La masa molar puede ser calculada con la siguiente expresión (Murray 2003):

2.3. Parámetros de la alimentación

(2.2.8)

!

La calidad del flujo de alimentación qFe es el parámetro que indica en que fase (líqui- da o de vapor) se encuentra un componente de la mezcla en la etapa de alimentación.

2.4 Balances de materia 17

Este parámetro de alimentación se calcula con la siguiente relación:

> 1 líquido subenfriado líquido saturado

vapor saturado vapor sobrecalentado

= O < q F e < l líquido y vapor (2.3.1) [:: Cpc(Tbc - TF) A HYP qFc = 1+

< O

Por otro lado, la fracción molar líquida con respecto al componente ligero en la etapa de alimentación es 81

donde el porcentaje en peso del componente ligero se obtiene de:

(2.3.2)

(2.3.3)

2.4. Balances de materia

En base al concepto de estado en equilibrio y al principio de conservación de la materia, se puede modelar cada sección de la columna, colocando cada estado en cascada. Considérese un solo plato o estado de la columna de destilación y supóngase que los platos están numerados como en la Figura 2.3.

I d Fiuio devapor I & Flujo liquida

Plato1

Plato i+1

I

Figura 2.3. Balance de masas


El plato que se considera es el plato número i, el cual se representa en la Figura 2.3. Por tanto, el plato inmediatamente superior a este plato es el plato i - 1 y el inmediatamente inferior es el plato i + 1. En el plato i entran dos corrientes y salen otras dos. Una corriente de líquido Li-1, procedente del plato i - 1 y una corriente de vapor V,+] procedente del plato i + 1, se ponen en íntimo contacto. Una corriente de vapor, K , asciende hacia el plato i - 1, y una corriente de líquido Li, desciende hacia el plato i + 1.

Ya que la columna de destilación es modelada como un conjunto de n estados en cascada, entonces son n ccuaciones diferenciales l a que expresarán el comportamiento dinámico del proceso.

Las Ecuaciones (2.4.1) y (2.4.2) describen el principio de la conservación de la materia aplicado a cada estado de la columna de destilación con respecto al componente C.

_- - Vz - Li - D

- K+l - Li - K + Li-1 + R(Z)F

- L,-1 - vn - B _- dt

(2.4.1)

-- - V,+lYCi+l - Lis , - Kyci + Li-lXei-l + R ( i ) F X F , d d f x ,

dt

(2.4.2)

-- - Ln-ixm-i - V,y,, - Bx,

O; cuando a # f 1; cuando i = f donde ~ ( i ) =

Ya que se consideran constantes las masa molares líquidas de cada etapa, los térmi- nos de la derecha del balance de masas representado por la ecuación (2.4.1) son

iguales a O, es decir, - - - O, lo que permite obtener el siguiente modelo en espacio de estados a partir de (2.4.1) y (2.4.2):

dMi dt

2.5 19

Ahora, si se consideran,los flujos molares constantes dados por las ecuaciones (2.2.1)- (2.2.7), el modelo anterior en términos del componente ligero queda de la siguiente manera:

Balance de energía y la suposición de flujos molares constantes

2.5. Balance de energía y la suposición de flujos molares constantes

Todos los cálculos relacionados con el modelo formulado en este trabajo, están basa- dos en la siiposición de flujos molares constantes en cada sección, i.e.

(2.5.1)

A continuación se utilizará el balance de energía para ver cuando se puede justificar esta simplificación c o m b en la simulación de columnas de destilación (Skogestad 1997). El balance de energía es similar al balance de masa, pero se utilizan entalpías ( h , H) de los flujos molares en lugar de composiciones (z, y). La entalpía se calcula para la mezcla en cuestión y es función de la composición y la temperatura. El balance de energía para cada etapa de la columna se expresa por medio de las siguientes ecuaciones diferenciales:

O; cuando i # f 1; cuando i = j donde r ( i ) =

En estado est,able el balance de energía en la etapa i es:

Lihn - K-lHd-1 = Li+ih,j+l - V,Hn (2.5.3)

La combinación del balance de energía con el balance de materia en cada etapa de alguna sección (K-1 - Li = V, - Li+l = W ) donde W es el flujo total neto a través


de la sección, i.e., W = D en la sección de enriquecimiento y W = B en la sección de empobrecimiento) proporciona:

(2.5.4)

Se observa en esta expresión como el flujo de vapor variará a través de una sección debido a variaciones en la entalpía de vaporización y de la entalpía molar de estado a estado.

A continuación se muestra una forma de derivar la suposición de flujos molares constantes (Halvorsen and Skogestad 2000):

1. Se elige el estado de referencia (donde h = H = O ) para cada componente puro como líquido saturado a una presión de referencia. (Esto significa que cada componente tiene una temperatura de referencia diferente, esto es, su punto de ebullición (Tb,) a una presión de referencia.)

Se asume que la presión en la columna es constante e igual a la presión de referencia.

Se desprecia cualquier calor de mezclado tal que h, = C,Z~CJJC~(~ - 7'6,).

Se asume que todos los componentes tienen el mismo calor especifico molar en la fase líquida Cp?.

Se asume que la temperatura en cada etapa puede ser aproximada por T, = ~ c s , , T 6 , . Estas suposiciones dan hc; = O en todos los estados y la ecuación (2.5.4) se reduce a:

2.

3.

4.

5.

(2.5.5)

6. La entalpía molar en la fase de vapor está dada como (Halvorsen and Skogestad 2000):

donde AHbyP es la entalpía de vaporización para el componente c puro en su temperatura de ebullición de referencia (7'6,).

Se asume que Cpyp es igual para todos los componentes, y entonces la segunda sumatoria de la ecuación (2.5.6) se vuelve cero, y se tiene:

7.

Hd = C z e A H 6 y P (2.5.7)

Entonces si A H b y p '= A H Y p es igual para todos los componentes se tiene Hci = Hci-l = A H Y P y por tanto los flujos molares: V, = y también

c

8.

Li = Li+i.

2.6 Pruebas experimentales 21

A primera instancia, estas suposiciones pueden parecer restrictivas, pero la suposi- ción de flujos molares constantes es aplicable en muchos procesos industriales.

En una columna binaria donde la Última suposición sobre la igualdad de A H b y no se satisface, una buena estimación del cambio en los flujos molares del fondo (etapa n) a la cabeza (etapa 1) para un caso con alimentación liquida saturada (q = I) y cercana para los productos puros, esta dada por: V,/V, N A H ; ~ / A H ~ ~ . La entalpia de vaporización se toma en las temperaturas de ebullición para los componentes pesado ( H ) y ligero ( L ) respectivamente.

Por último, la suposición de un flujo de vapor constante a través de la columna de destilación vuelve insignificante al balance de energía, el cual entonces puede eliminarse de la formulación del modelo.

2.6. Pruebas "experimentales

Para comprobar que un modelo matemático representa el comportamiento dinámico de un sistema, es necesario que éste sea integrado en un simulador bajo un lenguaje de programación. El simulador debe ser capaz de reproducir lo más aproximadameu- te la respuesta dinámica del proceso. En la Subsección 2.6.1 se muestra la integración de un simulador para una columna de destilación representado por un diagrama a bloques, este diagrama contiene los cálculos realizados y las ecuaciones empleadas por el modelo.

Por otro lado, en la Subsección 2.6.2 se describen las características físicas de la planta piloto empleada eii este estudio para la realización de experimentos. La Subsección 2.6.3 describe el procedimiento utilizado para la realización de pruebas experimentales en la columna de destilación, así como una comparación entre los resultados obtenidos y la respuesta del simulador basado en el modelo matemático.

2.6.1. Integración de modelo en un simulador

La programación del simulador se realizó utilizando las herramientas de simulación conocidas como S-Functions incluidas en el Toolbox de Sirnulink@ del programa MATLAB@. Las S-hnctzons utilizan diferentes métodos de integración para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE por sus siglas en inglés). Para la solución de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de la columna de destilación, se utilizó el método de RungeKutta desarrollado en (Dorniand and Prince 1980) e implementado en una función de MATLAB@ bajo el nombre de ode45, (ver Apéndice B).

La integración final del modelo en un simulador se esquematiza en la Figura 2.4.

Capítdo 2 Modelo 22

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

I I

Condiciones iniciales, [XO]

Cnnstanter fisicas, I bc AH, i. MWe Tbc r s l C',A,B,CJ I

c Caractensticas físicas <le l a

columna, Cy f V,i]

% Calcular Ivnrhmetros

de alimentsriiiii,

molares liquidas del conipoiicnte ligero), {SI;]

Aplicar las eficiencias de .Murphree, [E <rl

C~ilcnkir las derivw<las del modelo. I

I I 4

I I

Figura 2.4. Diagrama de flujo del simulador de la columna de destilación

2.6 Pruebas exoerimentales 23

Figura 2.5. Columna de dest,ilación piloto

2.6.2. Descripci4n de la planta piloto il

La columna de destilación utilizada en este estudio para la validación experimental del modelo matemático implementado en un simulador, consiste de 10 platos, un condensador y un herGidor. La alimentación es depositada en el plato número 7. Esta planta piloto es mostrada en la Figura 2.5.

'I

Platos /I

Cada plato es una sección fundamental de la columna de destilación. La eficiencia de la separación de los productos, dependerá significativamente del diseño de los platos. La Figura 2.6 muestra un plato perteneciente a los 10 con los que cuenta la planta piloto.

il

u 'I

Condensador

El condensador de la columna de destilación piloto, está formado básicamente por:


Figura 2.6. Plato de la columna de destilación piloto

un recipiente que contiene el líquido refrigerante. Este líquido (agua) es sunii- nistrado por una bomba externa a la planta piloto y es regulado a través de la apertura proporcional de una válvula controlada desde el panel de control de la planta piloto. - un tubo helicoidal por donde fluye el vapor a condensar en contracorriente ai líquido refrigerante.

Se puede decir entonces que el refrigerante y el vapor a condensar están separados por una superficie de intercambio de calor tubular. El producto destilado es tomado de un acumulador localizado en la parte baja del condensador, este acumulador es modelado como, parte del condensador. La Figura 2.7 muestra una fotografía del condensador de la planta piloto. Además del condensador principal existe un segundo intercambiador a la entrada del recipiente que colecta los condensados. El objetivo de este segundo interc&biador, es enfriar al producto destilado, para evitar pérdidas por evaporación durante el almacenamiento. Este segundo intercambiador de calor no es tomado en cuenta en el modelado de la columna ya que no interviene en el proceso priiicipal de destilación.

Hervidor

El hervidor es esencialmente un intercambiador de calor. El hervidor proporciona calor a la columna de destilación, y dicho calor es utilizado para hacer bullir pre- ferentemente el componente ligero de la mezcla. Particularmente en este estudio, una termo-resistencia eléctrica es la que proporciona calor a la mezcla almacenada en el hervidor (con capacidad de 6 b) , que ai calentarse produce un flujo de vapor.

d 2.6 Pruebas experimentales 25

Figura 2.7. Condensador de la columna de destilación piloto

El flujo de vapor resultante del calentamiento empieza a elevarse, fluyendo de plato en plato e incrementindose la fracción molar del componente más ligero, debido al equilibrio líquido-vapor de la mezcla. En la Figura 2.8 puede apreciarse una imagen del hervidor de la columna piloto.

Entradas '!

Las variables de entrada son: la potencia calefactora del hervidor proporcionada por una termo-resistencia (Qb) , el flujo de alimentación suministrado por una bomba (Fv) y la apertura de la válvula de reflujo controlada eléctricamente ( E ) . Los valores de las entradas físicas del proceso ( Q b , FV y R ) se utilizan para calcular los flujos molares (VR, LR, Vs, Ls, F , D y E ) , los cuales son considerados como entradas (en términos de la teoría de control) en el modelo que representa al proceso. La relación que existe entre las entradas físicas y los flujos molares puede apreciarse en las ecuaciones (2.2.1)-(2.2.7).

La válvula de reflujo se localiza a la altura del condensador. Esta válvula permite que parte del vapor condensado sea colectado como producto destilado y el resto sea enviado a la columna como reflujo para favorecer la destilación. Para cl caso en estudio es una electroválvula la que realiza esta función. Los tiempos de apertura de la válvula de reflujo son controlados desde el tablero principal. En la Figura 2.9 se muestra el tipo de señal que se envía desde el tablero de control. La cantidad de producto destilado que se obtiene al estar abierta, depende de dos factores: la


Figura 2.8. Hervidor de la columna de destilación piloto

t, =Tiempo de duración de In selial $,,, =Tiempo de encendido de la v6lwila

4 'T =Periodo de la seed pulso

Figura 2.9. Scíial aplicada en la válvula de refliijo desde el t,ablero de control

temperatura y el flujo volumétrico del refrigerante del condensador. Así que si se desea iin reflujo o producto destilado constante, es necesario mantener constantes los factores mencionados.

La máxima potencia calefactora suministrada por la termo-resistencia del hervidor es de 2500 Watts y el valor deseado de esta variable es manipulado desde el tablero principal.

Por otro lado, el flujo volumétrico de la alimentación es suministrado de manera intermitente por una bomba manipulada a través del tablero de control de la planta


Figura 2.10. Interpolación de los puntos de operación de la bomba de alimentación

piloto. Ya que el suministro de flujo no es de manera continua se realiza una inter- polación de varios puntos de operación de la bomba. Estos puntos de operación son manejados por el tablero de control como porcentajes, si se aumenta o decrementa el porcentaje de operación se aumenta o decrementa la frecuencia de bombeo.

Para obtener la función de interpolación se realiza un experimento en el cual se bombea agua a temperatura ambiente en diferentes puntos de operación de la bomba, el flujo suministrado se toma del plato de alimentación de la columna y es medido en mililitros cada minuto. La Figura 2.10 muestra una páfica de una función lineal interpolando varios puntos de operación de la bomba. Esta función es obtenida entonces para calcular el flujo volumétrico (Fv) suministrado a la columna y está dada por la siguiente ecuación:

Fv = 2.1549pft - 3.7947 (2.6.1)

Las unidades empleadas en la Figura 2.10 son L/hr y la interpolación es polinomial.

En la Figura 2.11 se muestran los dispositivos que proporcionan las variables de entrada en el proceso, estos son: la bomba del flujo de alimentación, la termc-resistencia del hervidor y la válvula de reflujo.

Capítulo 2 Modelo

Figura 2.11. alimentación, termo-resistencia,vávula de reflujo

Dispositivos de las entradas en la columna de destilación: bomba de

2.6.3. Pruebas en la planta piloto

La mezcla binaria elegida para los experimentos de este estudio es Metanol-Etanol, cuyas propiedades termodinámicas la clasifican como una mezcla ideal. Estas propiedades son listadas en la Tabla A.2, cuyos datos fueron tomados de (Reid et al. 1988) y (Felder and Rousseau 2000). Es preciso remarcar que la pureza de los componentes (metanol y etanol) empleados en las pruebas no es total, sin embargo se consideran como tales para mantener la suposición de una mezcla binaria y no involucrar otro componente (agua) en la relación de equilibrio.

La planta de destilación empleada para las pruebas experimentales, cuenta con RTD’s (Pt100) en el Condensador así como en los platos: 2, 4, 6, 7, 9, 11 y en el Hervidor. A partir de las mediciones de temperatura en estos platos se pueden obtener las fracciones molares de alguno de los componentes de una mezcla binaria mediante la relación de equilibrio.

Se desea entonces, obtener las fracciones molares líquidas del componente ligero, que este caso es el metanol. Para calcular el valor de las fracciones molares a partir de las mediciones de temperatura, es necesario graficar el diagrama de equilibrio correspondiente a la mezcla Metanol-Etanol, esto con el objetivo de obtener una relación sencilla de la temperatura en función de las fracciones molares.

En la Figura 2.12 se puede observar el diagrama de equilibrio de la mezcla Metanol- Etanol, donde las fraccione molares líquidas y de vapor corresponden al componente ligero (Metanol). Así pues, las curvas mostradas en el diagrama pueden ser interpw ladas para obtener a las fracciones molares líquidas en función de las temperaturas. La interpolación que se utiliza es un polinomio de quinto orden, el que se muestra a continuacibn:

, . ,

xi = -2.785 x lO-’T5 + 1.234 x 10-6T4 - 0.000228S,3+0.0225~2 - 1.226z +29.492


Diagrama de equilibrio i-x-y

60 65 70 75 80 Temperatura (“C)

Figura 2.12. Diagrama de equilibrio Metanol-Etanol

El orden del polinumio fue elegido a través de una comparación entre polinomios de diferente orden, de tal manera que se obtiiviera iina relación sencilla y precisa.

Para la realización de las pruebas experimentales, se consideran las características físicas de la columna de destilación listadas en la Tabla A . l (en el Apéndice A).

Los parámetros utilizados en las pruebas se detallan en la Tabla A.3. Los parámetros Vfi , V,P~ y SF de esta tabla, están involucrados en la obtención del porcentaje en peso del componente ligero (metanol), calculado con la ecuación (2.3.2). Los parámetros

y Vziz, sou utilizados para calcular la masa molar líquida de metanol en el hervidor con la ecuación (2.2.8).

Las señales de entrada aplicadas durante los experimentos se muestran en la Tabla 2.1. Esta tabla describe la entrada manipulada, la señal de excitación aplicada y el tiempo de aplicación.

El periodo de muestre0 de las mediciones de temperatura es de 1 min y las muestras son tomadas a partir del momento en el que en todas las etapas de destilación se ha alcanzado el equilibrio, es decir, cuando todos los platos contengan a la mezcla en ebullición. El instante de tiempo en que todos los platos contienen la mezcla en equilibrio varía dependiendo de la potencia calefactora suministrada, así pues, en el experimento de vdidación, este instante se toma como el momento en que cae la primera gota de reflujo. El tiempo que tarda el proceso para esta acción se desprecia, por lo tanto se considera el instante en que se ontiene la primera gota de reflujo como tiempo inicial ( t = O) de la prueba. Un diagrama esquemático de la comparación del modelo con los resultados experimentales es mostrado en la Figura 2.13.

30 Capitulo 2 Modelo

Escalón 0-1250 Watts Escalón 0-21.8983 mllmin Escalón 21.8983-77.9221 mllmin

Tabla 2.1. Señales d e entrada en los experimentos

O min 40 min 65 rnin

Entrada I Señal I Tiempo Experimento 1

Potencia calefactora ( Q b ) I Escalón 1000-1500 Watts I 0 min, Experimento 2

Potencia calefactora ( Q b ) Flujo de alimentación (Fv) Flujo de alimentación (Fv)

Potencia calefactora ( Q b )


Flujo de alimentación (Fv) Flujo de alimentación (Fv) Potencia calefactora ( Q b )

Apertura válvula de reflujo (R) ADertura válvula de refluio IR)

Experimento 3 Escalón 0-1250 Watts Escalón 1250-1000 Watts Escalón 0-57.1433 mL/min Escalón 57.1433-68.9651 mllrnin Escalón 1000-1690 Watts Pulso (T = 7 TON = 7 Td = 7 ) min Pulso IT = 32 TON = 2 TA = 10) s

O min 4 min 18 min 28 min, 40 min 49 min 56 min

propaclonadas porel modelo

h611Sb

y :.:!..;-.,' .:. I-! ..-..;.. ;.; .. ; . :

$..{..... i .... : ..! ~

3 $h, ...;.. ?- ..........,....

E : 1 . j . : , . . [: ~

6 * / ' ... ..

1i0mp.3

--L., (,"Entradas simuladas ,/' .......... ,

, .

Figura 2.13. Esquema de comparación experimental


Tabla 2.2. Error

Plato 2 Plato 4 Plato 6 Plato 7

Etapa I Experimento 1 I Experimento 2 I Experimento 3 Condensador I 1.1210% I 0.7651% 1 Z.ñ7X4% -. _. ”

0.9100% 0.8573 % 2 5866 %

0.7901 % 2.7617% 2.3073 % 1.6627 % 1.4688 % 3.2164 96

1.6820% 1.2293 % 1 7595%

Plato 9 Plato 11 Hervidor

~ ~ ..

0.4670 % 1.0289 % 1.7872 % 2.0330 % 4.0660 % 2.3331 % 3.1851 % 7.0088 % 3.3334 %

Los resultados del Eqierimento 1 son mostrados en la Figura 2.14 en la cual se aprecia una comparación del modelo con los datos experimentales en el Condensador, en los Platos 2, 4, 6, 7, 9, 11 y en el Hervidor. Los resultados del Experimento 2 son mostrados en la Figura 2.15. Los resultados del Experimento 3 son mostrados en la Figura 2.16, donde se aprecian los Platos 2, 4, 6 y 9.

Se observa en estas figuras que en varios instantes de tiempo continuos, los datos experimentales permanecen constantes, esto es debido a la baja resolución del conver- tidor Analógico-Digital de la planta piloto, cuyos datos de salida son posteriormente enviados a la computadora que realiza la adquisición.

Haciendo un análisis cualitativo del modelo a partir de las figuras presentadas, se puede decir que la respuesta dinámica del modelo es aceptable respecto a las mediciones. Sin embargo, la aproximación del modelo se puede cuantificar mediante una evaluación del error entre los valores de fracción molar líquida proporcionadas por el modelo y las mediciones experimentales. Es preciso recordar que los valores de fracción molar líquida están dentro del rango [O-11, así pues, las concentraciones proporcionadas por el modelo pueden tomar valores y diferir de los datos reales dentro de este rango. La expresión del error empleada está dada por la siguiente ecuación:

xR”* - x”/ , N ) x 100 E = ($1 n3ZRe41 a 3

(2.6.2)

La ecuación de error (2.6.2) proporciona el error proporcional entre los valores reales y los calculados. En la Tabla 2.2 se resumen los valores de error obtenidos para cada una de las etapas analizadas en cada uno de los experimentos. Los valores de error mostrados son relativos a la pruebas realizadas, por esta razón no se pueden generalizar para otros experimentos. El error depende de muchos factores como: las condiciones de operación de la planta, la resolución en la adquisición de los datos, la suposición de componentes puros, la interpolación de las curvas de equilibrio, la eficiencia de los platos, la suposición de flujos molares constantes, etc. Así pues, el error puede ser menor o mayor dependiendo de los factores mencionados.

Capítulo 2 Modelo 32

Condensador Plato 2

' I 0 . 8 5 I

10 2 0 10 .o so

Tiempo (mi")

Plato 7 Plato 9

...*.I --. .. ' m

- I 0. ,6 - ..L L.- ..l-~-.-: 0 0 , 1 . ...... ,... ~ . .~ ..., .. E; 1 :

0.12 .. . .,! . .. ,. ... ... I.. ... . I . . . ... ... .. ..

D - o j

!k

.- t o . , ........ I... .. ..... :. ....... .. , ... ... ~..I... .... . ............

0 . 6 8 10 *o 30 a0 50 60 10 10 30 .o 50 60

Tiempo ( m i d Tiempo Imin) 1

o

Figura 2.14. Aproximacióndel modelo a los datos experimentales en Prueba 1


Condensador Plata 2

Tiempo (min) I - n w i u I Tiempo (mini) . Dilos srpri?inrnlolrr Plato 11 Plato I2

Figura 2.15. Aproximación del modelo a los d a h experiment,ales en Prueba 2


Tiempo (niin) Tiempa (min)

Figura 2.16. Aproximación del modelo a los datos experimentales en Prueba 3

2.7. Conclusiones

La formulación del modelo está basada en suposiciones como flujos molares con- stantrs, cálculo de la constante de equilibrio ideal y mezclas binarias. Esta formu- lación es válida para mezclas binarias ideales, pero existen casos de sistemas no ideales donde estos métodos no pueden ser aplicados directamente. Sin embargo, el modelo estudiado aquí es el más empleado en estrategias de control por su simplicidad y precisión para numerosas mezclas binarias industriales.

La evaluación del modelo descrito se llevó a cabo en un proceso real mediante la destilación de un mezcla binaria ideal (Metanol-Etanol). La comprobación de la prc- ximidad del modelo con el proceso real fue llevada a cabo mediante la comparación de mediciones de temperatura tomadas en varias etapas de una columna de desti- lación piloto (para después calcular las fracciones molares líquidas del componente ligero) con los resultados proporcionados por un simulador basado en el modelo. La precisión del modelo fue analizada cuantitativamente mediante un parámetro de error, que depende significativamente de las suposiciones de modelado.

3. Observabilidad y observadores

El objetivo de este capítulo es tratar de manera general el diseño de observadores para sistemas lineales y no lineales, profundizando en la síntesis de observadores de gran ganancia. Lo anterior en base a ciertas propiedades de observabilidad de algunos sistemas.

Un observador de un sistema dinámico tiene como propósito obtener una estimación de los estados actuales utilizando sólo las mediciones disponibles del sistema. Para sistemas lineales, la propiedad de observabilidad caracterizada por la condición de rango de Kalman, garantiza la posibilidad de diseñar un observador. En los sistemas no lineales la observabilidad no es suficiente, básicamente porque esta propiedad depende en general de las entradas del sistema. En otras palabras, la observabilidad de un sistema no lineal, no excluye la existencia de entradas para las cuales dos estados iniciales diferentes, no pueden distinguirse a partir del conocimiento de la salida medida. Esto tiene como consecuencia que la observabilidad de un observador no lineal dependa de las entradas aplicadas.

En la Sección 3.1 se definen de manera formal algunos conceptos básicos de la teoría de observabilidad tomados de (Hermann and Krener 1977), (BesanCon 1999) y (Bornard et al. 1995), esto con el objetivo de tener un panorama más amplio para el diseño de observadores. La Sección 3.2 trata la síntesis de observadores para sistemas lineales y no lineales.

3.1. Definiciones básicas

Considérense los siguientes sistemas con x E W", u E W" y y E JRP definidos por las siguientes representaciones:

I Sistema no lineal general

(3.1.1)

Sistema afín a la señal de control

(3.1.2)

35

36 Capítulo 3 Observabilidad y Observadores

Sistema afín a los estados

Sistema bilineal

I m

X = Ax(t) + x u i ( t ) D i x ( t ) + Bu(t)

m Sistema lineal con parkmetros variantes en el tiempo

X = A(t)x(t) + B(t)u(t) { Y = C(t)x( t )

Sistema lineal estacionario

X = Ax(t) + Bu(t) y = Cx(t)

(3.1.3)

(3.1.4)

(3.1.5)

(3.1.6)

Siipónganse para cada uno de los sistemas mencionados que h(K,(t,zo)) sea la trayectoria o solución en el tiempo t para la condición inicial xo en el tiempo to ante la sena1 de control u ( t ) .

La observabilidad puede definirse a partir de la noción de indistinguibilidad

Definición 2 Indistinguibilidad. Un par de estados iniciales diferentes (XO, 50) E 1, (conjunto abierto de R") son indistinguibles en V si Vu : [ O , t ] -+ U (conjunto medible de Wm) y Vlt 2 O, h(X,(t, 20)) = h(X,(b, 50))

De lo anh io r , la observabilidad del sistema (3.1.1) puede definirse como:

Definición 3 Observabilidad. El sistema (3.1.1) es observable si no tiene algún par de estados indistinguibles.

La observabilidad es un concepto global ya que puede ser necesario que transcurra un periodo largo de tiempo para distinguir entre dos puntos de V . En (Hermann and Krener 1977) se dan definiciones precisas de conceptos relacionados a la observabilidad de sistemas no lineales.

3.1 Definiciones básicas 37

Definición 4 Observabilidad local. El sistema (3.1.1) es localmente observable en zo E V si para toda vecindad abierta V'(xo) c V que contenga a xo y para todos los puntos Eo E V'(so) , xo # EO, todos los pares ( ~ 0 ~ 5 0 ) son distinguibles en V'(x0).

El sistema (3.1.1) es localmente observable sobre V si es localmente observable en todos los puntos de V . La observabilidad local es una propiedad m& fuerte que el concepto de observabilidad, ya que si el sistema (3.1.1) es localmente observable entonces es observable, pero esto no implica lo contrario (Hermann and Krener 1977). Esta definición de observabilidad local permite distinguir dos puntos de V en cualquier vecindad que los contenga.

Por otro lado, se puede debilitar el concepto de observabilidad. En la práctica, basta con distinguir 50 de los puntos de su vecindad V'. Entonces se tiene la siguiente definición:

Definición 5 Observabilidad débil. El sistema (3.1.1) es debilmente observable en xo E V si existe una vecindad abierta V'(x0) C V que contenga a 20, tal que para todos los puntos Eo E V'(ZO), los pares (x0,Eo) son distinguibles y las trayectorias h(X,(t, xo)) y h(X,,(t,Eo)) evolucionan en el interior de V'(s0).

Definición 6 Observabilidad local débil. El sistema (3.1.1) es localmente débilmente observable en xo E V si eñste una vecindad abierta V'(x0) C V que contenga a xo, tal que para todas las vecindades V"(so) C V'(z0) de zo y para todos los puntos Eo E V"(xo), las cuplas (xo,Eo) son distinguibles y las trayectonas h(X,,(t, 20)) y h(X,( t , E O ) ) evolucionan en el interior de V"(z0).

El sistema (3.1.1) es localmente débilmente observable sobre V si es localmente observable en todos los puntos de V . La propiedad de observabilidad local débil significa que, alrededor de cada punto 50 existen pequeñas vecindades de tal manera que todos los puntos en esas vecindades son distinguibles a 50.

Para resumir, se disponen de cuatro propiedades para calificar la observabilidad de un sistema. En cualquiera de los casos, estas propiedades son equivalentes pero de manera general, sólo la propiedad de observabilidad local implica a las otras. El esquema de implicación de estas propiedades se muestra en la Figura 3.1:

Para los sistemas lineales estacionarios, la observabilidad es caracterizada por la condaczón de rango:

Teorema 1 El sistema lineal (3.1.6) es observable si y solamente si el rango de la matriz [C, CA, . . . , CA"-'] es igual a la dimensión n del espacio de estados.


u II Sistema lmlrnente debilmenle observable ) (cisiema debilmede observable)

Figura 3.1. Implicación de las propiedades de observabilidad

El caso de sistemas lineales con parámetros variantes en el tiempo (3.1.5) justifica una definición particular:

Definición 7 Observabilidad completamente uniforme. Considérese el sistema (3.1.5). Este sistema se dice que es completamente uniformemente observable si existe T > O, 01 > O y to > O, tal que Vt > to:

@(T, t)CT(11(7))C(u(7))~(T, t)dT 1 aI,j (3.1.7)

donde r(t, to) es conocido como gmmian de observabilidad en el tiempo t , @ es la mutriz de transición de estados, e Id es la matriz identidad.

Se puede deducir a partir de la Definición 3, que la observabilidad no excluye la posible existencia de entradas para las cuales algunos estados son indistinguibles. Esto significa que en general la observabilidad no es suficiente para diseñar un observador y que el problema de las entradas debe ser tomado en cuenta. A continuación se muestran algunas definiciones que clasifican a las entradas y que son útiles en el diseño de observadores. También son mostradas algunas representaciones de sistemas clasificadas según sus entradas.

Definición 8 Entradas universales. La entrada u del sistema (3.1.1) es universal en [O,t] si para cada par de estados distintos 20 # 20, ezzste 7 E [O, t] tul que h(X,(r, %O)) # h(X,(T, 20) )

De esta definición, se deriva la noción de entradas singulares:

Definición 9 Entradas singulares. Una entrada no universal es llamada singular

Existe una clase de sistema cuyas entradas son singulares y es conocido como sistema afín a los estados (3.1.3); En este caso se pueden caracterizar a las entradas como suficientemente universales tal que el diseño de un observador sea posible:

3.1 Definiciones básicas 1) 39

Definición 10 Entradas regularmente persistentes. Una serial admisible u se dice regularmente persistente para el sistema (3.1.3) si 3T > 0 , a > O y to > O tal que y ( t , t o ) 2 a para t I to , donde y ( t , t o ) es un Zndice de universalidad definido como el valor propio más pequeño del gramian de observabilidad r ( t , t o )

Ejemplo

Considere el siguiente sistema

!I il

(3 .1 .8 )

Para este sistema, la entrada

O si 2 k T 5 t < ( 2 k f l)T ,, { 1 si (2k + l)T 5 t < ( 2 k + 2)T

,I

U ( t ) =

es regularmente persistente donde k E N. Esta entrada es ilustrada en la Figura 3.2

U,@)

Tiempo I/ n n

O T 2T 3T 4T 5T

Y

Figura 3 .2 . Entrada regularmente persistente

Estudiada la clasificación de entradas para el diseño de un observador, de la Defini- ción 8 se deriva un caso de particular interés que es el de un sistema sin entradas singulares: /I

Definición 11 Szstemas unaformemente observables. Un szstema cuyas entradas son unzversales es llamado unzformemente observable. Sa, para t > O, todas sus entradas son unzversales en [O, t ] , el sasterna es localmente unzformemente observable.

Por otro lado en base la definiriones mencionadas se puede definir una clase de sistema suficzentementq regular localmente observable, tal sistema afín a la señal de control (3.1.2) se caracteriza a continuación mediante el teorema (Gauthier and Bornard 1981):


Teorema 2 El sistema no lineal (3.12) (redefinido como SISO):

(3.1.9)

con 'ti. = O como una entrada universal y el Jacobian0 de @ ( E ) el cual se define cornu @ ( E ) = (h(<), ~ f ( h ( f ) ) , . . . , L;-'(~(C))) no-singular en t o , es localmente uniformemente observable en Eo si y solo si el cambio de coordenadas x = @ ( E ) se torna de la siguiente forma:

(3.1.10)

Por último, para el caso de un sistema no-afín a la señal de control, existen observadores cuya ganancia y estabilidad son independientes de las entradas. Ademjs se pueden encontrar otros casos de observadores que no dependen de las entradas, aun cuando los sistemas considerados no son un i fonemen te observables. La Única explicación posible para tal fenómeno es que en estos casos, la diferencia entre las trayectorias resultantes de dos estados iniciales distintos e indistinguibles natural- mente tiende a cero. Así pues, en este caso, puede diseñarse un observador que no dependa de las entradas y para esto es necesario conocer la siguiente propiedad:

Definición 12 Detectabilzdad. Un sistema no lineal (3.1.1) será llamado detectable si para cada pareja ( ( Z o , f o ) , u ) en (W x wn) x tal que exista to para el cual Vt 2 t o ; h(X,(t, zo)) = h(X,,(t, 2,)) entonces llX,(t,5o) - X,,(t,fo)ll + O cuando t + 03

Las defiiiicioiies mencionadas hasta aquí deben ser tomadas en cuenta en lo posterior, cuando se presente el diseño de observadores.

3.2. Observadores

En muchas aplicaciones de ingeniería se requieren parámetros físicos que no pueden medirse directamente, ya sea porque instalar 'sensores físicos puede resultar costoso o incluso imposible si estos sensores no existen. Una alternativa interesante y viable es producir una estimación de los parámetros deseados utilizando el conocimiento del proceso (en forma de un' modelo matemático), y la información (en forma de mediciones indirectas).

3.2 Observadores /I 41

Definición 13 Observador de estados. ün observador de estados es un sistema dinámico capaz de reconstruir o estimar el valor de los estados de un proceso a partir del conocimiento de las entradas u(t) y las salidas y ( t ) .

Generalmente el diagrama a bloques del observador conectado al proceso tiene la estructura de la Figufa 3.3. En esta figura, e( t ) está definida como el error de estimación y ( t ) - Y ( t ) , es decir, la diferencia entre la salida del proceso y ( t ) y la salida estimada y ( t ) . El objetivo del observador es hacer converger el error Ilx(t) - .%(t)II a O cuando t + 03 (en la práctica, se desea que el error Jlx(t) -#(t)ll se vuelva pequeño en un tiempo lo suficientemente corto). Se habla de convergencia exponericial del observador cuando el error Ilx(l) - X(t ) I I sigue una trayectoria exponencial a O.

II Estados estimados

I1 ¡I r----+ w

Observador Y@)

.I I

Figura 3.3. Esquema de un observador

Existen numerosas razones por las cuales se requieren las mediciones o estim :i< es de variables, pero en términos de control, estas se pueden dividir en tres categorías: supervisión, diagnóstico de fallas, y control (Andreas 2001).

Supervisión

Un usuario puede necesitar de ciertas variables de proceso para tomar acciones propias. Por ejemplo, un piloto desea saber el ángulo de desvío del aeroplano para verificar si está cerca de perder el control y así tomar medidas al respecto. Otro ejemplo es un operador que necesita la estimación de los estados de un proceso industrial por lotes, con el propósito de saber en que momento detenerlo. Esta aplicación es ilustrada en la Figura 3.4, el observador toma las entradas y salidas del proceso, y produce una estimación de los estados. En este caso la estimación es utilizada solo como referencia, por tanto no hay un lazo cerrado dinámico incluyendo a los estados estimados.,El objetivo es simplemente que los estados estimados deben, en el mejor de los casos, ser tan aproximados como sea posible de los estados del proceso ante la presencia de perturbaciones actuando en el proceso.


.-

@I Usuario

Figura 3.4. Supervisión

Diagnóstico de fallas

Las fallas en procesos industriales son inevitables. La fuga en una válvula, una conexión rota, un sensor descalibrado; etc., pueden causar múltiples interrupciones en el proceso, acarreando pérdidas en la producción e incluso accidentes. Por tal motivo contar con un mecanismo para detectar fallas antes que éstas tengan se- rias consecuencias, es altamente recomendable. Las técnicas de detección de fallas basadas en métodos analíticos a menudo utilizan un observador para determinar los estados del proceso e inferir a partir de éste conclusiones sobre posibles fallas. La Figura 3.5 muestra la estructura principal de un sistema de detección de fallas. El bloque de detección de fallas toma la decisión de si ha ocurrido una falla o no, y puede determinar también su tamaño y localización. La idea es generar una seiial de falla c ( t ) que tenga la propiedad de que si c ( t ) # O exista una falla, de lo contrario € ( t ) = o.

Entrjda Proceso %/ids. ......................

Observador t-(Gij .................................. , 4 ::E:: IJ

Figura 3.5. Detección de fallas

Control

Algunas estrategias de control utilizan el vector de estados completo para generar la señal de control. Ya que la totalidad del vector de estados puede no ser medible,

i

3.2 Observadores /I 43

éste puede ser estimado utilizando un observador. Esta situación es ilustrada en la Figura 3.6. Los objetivos en este caso son radicalmente diferentes a las aplicaciones previas. La precisión de los est,ados estimados no es un objetivo primordial, en cambio controlar el comportamiento de los estados es el propósito deseado. Un problema complejo de estabilidad surge ya que existe un lazo cerrado que incluye tanto al controlador, al observador y al proceso a controlar. Para sistemas lineales el principio de superposición permite al vector de estados estimados ser utilizado en la ley de control en lugar del vector de estados del proceso, sin afectar la estabilidad del lazo cerrado, pero éste no es generalmente el caso para sistemas no lineales.

. . . . . . . . . . . .

,... .............................. 1 Observador

.. Estimados .. ........, J

Controlador

Figura 3.6. Control

3.2.1. Síntesis de observadores para sistemas lineales

Para sistemas lineales de la forma (3.1.6) la propiedad de observabilidad no depende de la entrada u. Dado que si el sistema es observable para la entrada nula u(t) = 0,Vt 2 O entonces el sistema es uniformemente observable; y en este caso, la solución es dada por los estimadores de Luenberger o de Kalman.

El observador de Luenberger

El estudio de los observadores de tipo Luenberger (Luenberger 1964) recurre a las técnicas establecidas para los sistemas lineales, particularmente a la muy conocida técnica de colocación de polos, la cual es utilizada para resolver el problema de estabilidad en sistemas lineales. A continuación se presenta un resumen de la concepción de este observador.

Si se considera el sistema (3.1.6), el observador de Luenberger consiste en construir en paralelo un modelo de estados de la forma:

1: = A(t)#(t) + B(t)u(t) + K[y(t) - C#(t)] { Y = C(t)%(t) (3.2.1)

donde K es la ganancia del observador y denota el valor estimado de la variable en cuestión, por ejemplo, %(t) representa el valor estimado por el observador de x ( t ) .

!

44 Capítulo 3 0bservabilidad.y Observadores

Si se considera que el error del observador está dado por &(t) = x(t) - k(t) entonces su derivada es:

d& dt _ - - (A - KC)E (3.2.2)

Para, sistemas SISO, este tipo de observador es fácil de implementar. La elección de la ganancia K no es única, es suficiente que A-KC sea estable (¡.e. los valores propios de A-KC sean reales y negativos). Así, la dinámica del error de estimación, es decir, la convergencia asintótica del observador, depende de la selección de K. Sin embargo, la selección de K puede resultar complicada en el caso de sistemas multivariables. La generalización de esta síntesis de observadores con sistemas bilineales o incluso no lineales no es sistemática, y aun en ocasiones imposible, ya que la observabilidad de sistemas bilineales y no lineales depende de las entradas w,.

El observador de Kalman

El problema del filtrado y de la estimación en presencia de ruido gaussiano blanco fue resuelto completamente por R.E. Kalman y R.S. Bucy en el trabajo (Kalman and Bucy 1960). Desde entonces, numerosos autores hacen referencia a este filtro llamado filtro de Kulrnan para mejorarlo o bien extenderlo a situaciones más generales.

El filtro de Kalman existe en una versión determinística aplicada a sistemas variantes en el tiempo (Bornard et al. 1995). Para ilustrar de una forma simple el principio de los filtros de Kalman, se considera el sist,ema (3.1.5). Para implementar el filt,ro de Kalman, pueden llevarse a cabo las siguientes cuatro etapas:

Inicialización de la matriz S:

S(0) = So donde So (definida positiva)

Estimación de estados:

k(t) = A(t)k(t) + K(t)[y(t) - C(t)k(t)]

rn Cálculo de la mat,riz S por iina adaptación de la ecuación de Riccati:

S ( t ) = -8S(t) - A(t)*S(t) - S(t)A(t) + C(t)TQC(t) - S ( t ) R S ( t ) (3.2.3)

donde 0 > O es un valor real arbitrario. . Cálculo de la ganancia K:

K(t) = -S(t)-'CT(t)Q (3.2.4)

3.2 Observadores 45

A diferencia del observador de Luenberger el modelo puede contener parámetros variables en el tiempo. Otra diferencia reside en el cálculo de la ganancia K que en este caso, es obtenida por la solución de la ecuación de Füccati. El problema principal de la implantación de los filtros de Kalman es la sintonización de las matrices Q y R que frecuentemente no son bien conocidas y consideradas constantes. Otro problema es la inicialización de la matriz S(t ) .

3.2.2. Síntesis de observadores para sistemas no lineales

Considérese el sistema no lineal (3.1.1), para este sistema existe un observador de la forma:

donde % y 9 son las estimaciones en línea de x y y dadas por el observador de estados, así pues

y = h(%)

y donde K es la ganancia del observador. El diseño del observador de estados consiste en escoger una ganancia apropiada K. El observador de estados de arriba fue desarrollado originalmente para problemas lineales. Ya que el interés de esta sección es en sistemas no lineales es preciso extender los conceptos de la teoría lineal.

Así pues, el diseño de la matriz de ganancia K se basa en una versión linealizada de la dinámica del error de observación (que se calcula a partir de una expansión de la serie de Taylor de un modelo en espacio de estados alrededor de algún punto de equilibrio). Si se define al error de observación como:

E = (1% -XI(

la dinámica del error de observación es:

d E dt - = ~ ( % + E , u ) -f(x,u) - K ( % ) ( h ( % + ~ ) - h ( x ) )

Si se considera una linealización de la ecuación de arriba alrededor del error de observación E = O , se obtiene:

de dt - = (A(%) - K(%)C(?))E

46 Caoítulo 3 Observabilidad v Observadores

donde A(#) y C(2) son respectivamente igual a:

Lo anterior es la base para el diseño de dos algoritmos de observación: el observador de Luenberger extendido y el observador de Kaiman extendido.

Observador de Luenberger extendido

En el observador de Luenberger extendido, el objetivo es seleccionar K tal que la dinámica del error linealizada sea asintóticamente estable. La selección de K es similar al caso lineal estudiado previamente.

Un requisito importante para el diseño de observadores bajo esta técnica es que el sistema linealizado sea observable. Sin embargo, existen trabajos como el presentado en (Birk and Zeits 1988) que basan sus diseños en una, transformación del sistema a una forma canónica observable y una linealización extendida, el observador obt,enido en coordenadas canónicas es capaz de reconstruir toda una trayectoria de los estados del sistema. Esta técnica de diseño se restringe a sistemas observables para cada entrada con funciones f y h continuamente diferenciables.

Filtro de Kalman extendido

El filtro de Kalman extendido (EKF), ver (Jazwinsky 1970), file sugerido como una extensión total del filtro de Kalman utilizando A y C en (3.1.5) como las matrices jacobianas de las funciones no lineales f y h, evaluadas en el estado estimado 2.

. Estimación de los estados:

k(t) = f(#(t)) + K(t)[C(t)?(t) - ~ ( t ) ]

Cálculo de la matriz S por una adaptación de la ecuación de Füccati (3.2.3).

Cálculo de la ganancia (3.2.4).

Un incoveniente con el EFK es que no garantiza convergencia global en el error estimado. Sin embargo la estabilidad local puede ser probada asumiendo algunas cotas en las no-linealidades.

3.2 Observadores 47

El EFK expresado en una situación determinística considera a las matrices Q y R como un diseño de parámetros. Por otro lado el cálculo computacional para este filtro es laborioso, pero puede ser reducido evaluando A y C en un punto 20 pre-especificado, esto conlleva a resolver la ecuación de Riccati fuera de línea lo que simplifica la estimación.

3.2.3. Observadores de gran ganancia

Uno de los trabajos más interesantes y completos en la teoría de observadores no lineales se muestra en (Gauthier et al. 1992). Este trabajo describe la síntesis de un observador conocido como de g m n ganancia, el cual fue diseñado para sistemas no lineales uniformemente observables (ver Definición 11) afines a la señal de control con una sola salida. En (Gauthier and Bornard 1981) se muestra que estos sistemas pueden ser transformados en una forma canónica observable a través de un cambio de coordenadas. Esta forma canónica se compone de un término dinámico lineal fijo y de un término controlado (afectado por las entradas) triangular.

El observador es diseñado bajo la condición global de Lipschitz en el término controlado. La sintonización o calibración del observador se realiza mediante el ajuste de un único parámetro de ganancia y la estabilidad se asegura mediante la solución única de una ecuación de Lyapunov. Una extensión de la síntesis de este observador para el caso de sistemas con múltiples salidas es dado en (Bornard and Hammouri 1991), además de que en este trabajo se consideran sistemas con parámetros variantes en el tiempo en la parte lineal y sistemas con entradas regularmente persistentes.

A cont.inuación se muestra el procedimiento de diseño de un observador de gran ganancia.

Considérese el sistema no lineal uniformemente observable afín en la señal de control con una sola salida de la forma:

I 1

(3.2.5)

Tal sistema, posee la propiedad de poder ser transformado en una forma triangular a través del cambio de coordenadas (3.2.6).

donde Lr es la derivada de Lie de la salida h(x) con respecto a f .

(3.2.6)


Se define entonces a(%) = z, donde 'T! es una transformación no lineal La forma triaiibwlar obtenida es mostrada a continuación

A =

donde -

0 1 . ' 0 0 0 1 " . . . ' O . . " 1

- o . . . o

(3.2.7)

Y

c = [ 1 o o . . . o ] Tal forma triangular, también conocida como forma canónica de observabilidad, puede ser utilizada para diseñar un tipo de observador exponencial, denominado como observador de gran ganancia. La estructura de este observador tiene la forma siguiente:

m

Z = A(Z(r)) + ~ ( i ) + x~~(t)$~(i(t)) + Se'CT [ C i ( t ) - ~ ( t ) ] (3.2.8) 1=1

Regresando el observador (3.2.8) a las coordenadas originales se obtiene

m

$ = f(?(t)) + x u l ( t ) g i ( t ) + SilCT [C?(t) - ~ ( t ) ] (3.2.9) %=I

donde So es una matrix simétrica, definida positiva, solución única de la siguientre ecuación de Lyapunov:

OSa f ATSa f SsA = CTC (3.2.10)

donde O > O es un parámetro de diseño, A y C son tomadas de la Ecuación (3.2.7)

En dos dimensiones:

3.2 Observadores 49

Generalizando, los coeficientes de Se son de la forma:

donde Sij es un coeficiente combinatorio conocido

En (Gauthier and Bornard 1981), se demostró que el error estimado Ijx(t) - #(t)(I converge exponencialmente a cero si el parámetro O es elegido lo suficientemente grande.

Este observador es muy simple ya que tan solo es una copia del modelo, y la expre- sión del término de corrección es dada explícitamente. La terminología gran ganancia viene del hecho de que la ganancia del término de corrección contiene la expresión S;'CT = [al8 ,...,an8"IT para algunos coeficientes fijos al, ...,(Y, y puesto que la convergencia es garantizada por un parámetro 8 grande, también la ganancia es grande. Una de las principales características de estos estimadores recae en la faci- lidad de su implementación y calibración.

Debido a la estructura particular de su ganancia la sintonización de este estimador es reducida a la calibración de un simple parámetro 8. Sin embargo, se debe tener en cuenta que la elección de un valor de 8 grande asegura una rápida convergencia del estimador, pero produce un problema de sobretiro (fenómeno pico) durante la convergencia, además de que el observador se vuelve sensible al ruido. Por tanto, es importante establecer un compromiso entre una convergencia rápida, un rechazo al ruido y una atenuación del sobretiro.

Observador de gran ganancia constante para una clase de sistema no lineal de forma triangular

Se presenta a continuación una estrategia de diseño de un observador de gran ganancia exponencial para una clase de sistema no lineal de forma triangular. La principal característica de este observador propuesto en (Targui et al. ZOOZ), radica en la faci- lidad con la cual se implementa y calibra. De hecho, la ganancia de este observador es constante y su obtención no requiere la resolución de algún sistema dinámico.

La estructura general del diserio de este observador se basa en el trabajo (Gauthier and K u p h 1994). Aunque la principal diferencia entre este observador y el propuesto por Gauthier y Kupka radica en la simplicidad de la forma.

En seguida se presenta la síntesis del observador de gran ganancia constante para sistemas con una sola salida, para después extender la síntesis al caso de sistemas no lineales con múltiples salidas.


Considérese el siguiente sistema no lineal de forma triangular con una sola salida:

(3.2.11)

donde la entrada u(t) E U es un subconjunto compacto de Wm, la salida y E R, y fk (k = 1,. . . , n), son funciones de clase C' (7 2 1) con respecto a sus argumentos. La forma compacta de (3.2.11) es

x = f(u,x) { y = c x (3.2.12)

A continuación se diseñará un observador de ganancia constante para el sistema (3.2.12). El diseño de tal observador requiere de algunas hipótesis quc a continuación se mencionan (Hammouri et al. 2002).

Hipótesis 3 Las funciones f k (k = 1,. . . , n), son globalmente Lipschitz con respecto a x:

30 > o ; V(x,u) E W" x u; - u,x) <: 0 IlE( ll Hipótesis 4 Emsten dos constantes O < ¿i < p < +a, tal que V(x, u) E R" x U, se tzene

a f k O < 5 ak(t) -(u,x) 2 p; k = 1,. . . , n - 1 axk+l

(3.2.13)

Deben tomarse en cuenta las siguientes notaciones, las cuales se utilizan en la síntesis del algoritmo de observación.

3.2 Observadores 41 51

m La matriz A k .

Sk =

(3.2.14)

- si'; s1 o O -

si 822 .. 01 ' . ... o ; k = 2 . . . , n, (3.2.16)

' . sk-1 L 0 . . . 0 sk-1 S k k

( u , z ~ , . . . , X k + l ) ; k = 1,. . . , n - 1 A a f k a k ( t ) = a k ( u , z l , . . . , Zk+l)=- azk+l

(3.2.15) ~ I,

y satisfacen (3.2:13)

m El vector fila Ck.

Antes de expresar el teorema principal es fundamental el siguiente lema, el cual involucra la estabilidad del observador.

Lema 5 Existe una matriz S, constante, simétrica y definida positiva (S.P.D.) de la forma (3.2.16) y 37% > O tal que

An(t)S, + S,A,(t) - CnC, 5 -q,I,,Vt 2 O , (3.2.17)

donde A,( t ) está dada.por la Ecuación (3.2.14) e I, es la matriz identidad de n x n.

El observador candidato toma la siguiente forma:

(3.2.18)


donde S a S, esta dada por Lemma 5 , X = 1: 1 EW",CaC,=[ l ,O , . . . , O],

X" u y y son, respectivamente, la entradas y la salida del sistema (3.2.12), A0 = diag(1, O? 0 2 , . . . , On- l ) para alguna 6' > O

Se declara entonces el siguiente teorema:

Teorema 6 Bajo las hipótesis 3 y 4 , existe 00 > O tal que

donde x(l) es la trayectoria de (3.2.12) asociada al estado inicial x(0) y a la entrada u, X ( t ) es alguna trayectoria del sistema (3.2.18) con entrada u y salida y .

Se puede hacer una extensión de este observador de ganancia constante a sistemas con múltiples salidas.

Considérese el signiente sistema no lineal con múltiples salidas:

donde

(3.2.19)

3.2 Observadores , $ 53

4 la entrada u(t) E U un subconjunto compacto de W", la salida y E RP, y f : (k = 1,. . . , n; i = 1, . . . , p ) son funciones de clase C.(T 2 1) con respecto a sus argumentos.

El sistema (3.2.19) puede escribirse de la siguiente forma triangular compacta:

x' = f'(u, XI, x2)

x2 = f2(U,X1,X*,X3)

/ / xn = f.(U,X)

i; I: y = c x

donde

'dl con la matriz identidad'p x p , Ip

Una forma más compacta de (3.2.19) es

x = F(u, x) y = c x

(3.2.20)

(3.2.21)

Por otro lado, se establece que

A~(u,x' , . . . ,xi,+') = P(U,X afk 1 , . . . , xi,+l ); k = 1,. . . ,n - 1

A lo largo de las trayecdxia .! de (3.2.21), Ai, toma la siguiente forma:

(3.2.22)

54 CaoRulo 3 Observabilidad v Observadores

(3.2.23)

con

(u(t) ,x(t)); k = 1,. . . , n - 1; 1 = 1,. . . , p ; j = 1,. . . , 1 . (3.2.24) k A af/ a'i(t) =

A continuación se diseñará un observador de ganancia constante para el sistema (3.2.21). Igual que en el caso de sistemas con una sola salida, el observador requiere de una serie de hipótesis mencionadas a Continuación:

Hipótesis 7 Las funciones fl (a = 1,. . . , p ; k = 1,. . . , n), son globalmente Lips- chitz con respecto a x:

Hipótesis 8 Existen dos constantes O < á. < p < +m, tal que V(u, x) E l[$Pn x U , se tiene

A afh ax!+' O < á. 5 af i ( t ) = --(u,x) 5 p; k = 1,. . . , n - 1; i = 1 , . . . , p . (3.2.25)

Remarca 1 De acuerdo a las hipótesis 7 y 8, se tiene

rank(&(t ) ) = p ; k = 1 , . . . , n - 1,

y para cada trayectoria de (3.2.21), se tiene

Antes de expresar el teorema principal para el observador, se necesitan algunos resultados técnicos los cuales se presentan a continuación bajo la forma de lema.

3.2 Observadores 55

Lema 9 Bajo las hipótesis 7 y 8, y para cada k = 1,. . . , n - 1; existe una matriz (p x p ) diagonal definida negativa s k = diag(X:, . . . ,A:) y existe una constante hk > O tal que

- - Sil V I S I 0 < . . O

U l S T sz2 ' < .

s k = 0 ' . _ ' . < O

" ' uk-1sk-1 - o . < < 0 vk-lSr-1 S k k -

SkAk( t ) + A r ( t ) S k 5 - h k I p , (3.2.26)

y las donde I , es la matriz identidad p x p . Además, s k y pk solo dependen de &, constantes Lipschitt de las f/

I'

En lo posterior, se utilizarán las siguientes notaciones:

; k = Z , . . . , n , (3.2.28)

Lema 10 Existe una matriz S, d e p n x pn constante, simétrica y definida positiva de la forma (3.228); ZIT,, > O tal que

A:(t)S, + SnA,(t) - CrC, 5 -qnIm,Vt 2 O , (3.2.29)

donde A,(t) está definida en (3.2.27) e Ipn es la matriz identidad de p x n .


El observador candidato toma la siguiente forma:

2 = F(u,?) - BAOS-'CT(CX - y) (3.2.30)

donde S % S, está dada por el Lema 10, 2 = [::I E RV,C = A c, =

2- [I,, O , . . . , O ] , Aa = diag(I,, BI,, S21,,. . . ,Bn-'IP) para alguna B > O, u y y son, respectivamente, la entrada y la salida del sistema (3.2.12).

Para finalizar, se establece el teorema principal.

Teorema 11 Bajo las hipótesis 7 y 8, existe Bo > O tal que

vr9 > Bo; vu E u; 3x0 > o; $0 > o; V x ( 0 ) E w; vqo) E R P ,

donde x ( t ) es la trayectoria de (3.2.21) asociada al estado inicial x(0) y a la entrada u, % ( t ) es una trayectoria del sistema (3.2.30) con entrada u y salida y

La síntesis de este observador tiene una metodología sistemática y sencilla de aplicar, ya que por la robustcz de su estimación sólo requiere un modclo simplificado dcl proceso de aplicación. Por otro lado, el cálculo de su ganancia constante se reduce a la calibración de un parámetro fijo y a la obtención de una matriz S.P.D. que asegura la convergencia asintótica de los estimados.

3.3. Con cI usiones

En este capítulo se presentaron nociones básicas de la observabilidad de sistjemas lineales y no lineales bajo ciertos conceptos matemáticos. Estas nociones son nece- sarias para estudiar la estructura y la síntesis de diferentes técnicas de observación no lineal. Aunado a lo anterior se presentó un resumen general del diseño de varios tipos de observadores con el objetivo de mostrar la diversidad de éstos en la literatura. Sin embargo, se profundizó en los observadores de gran ganancia ya que estos serán utilizados en el próximo capítulo, para su aplicación en un proceso de destilación.

..'

..

4. Aplicación de observadores en columnas de destilación

Este capítulo se enfoca en la estimación de fracciones molares en una columna de destilación utilizando observadores de gran ganancia y de gran ganancia constante estudiados en la Subsección 3.2.3. La elección de estos observadores se debe a que estos requieren un sistema uniformemente observable además de que pueden ser aplicados a procesos multivariables no lineales, características inherentes del sistema de una columna de destilación.

Los observadores de gran ganancia son ampliamente conocidos en la literatura, donde se pueden eucoitrar diversas aplicaciones de éstos en procesos reales. Por ejemplo en (Gauthier et al. 1992) se encuentra una aplicación en bioreactores, en (Astorga-Zaragoza et a!. 2001) los autores muestran resultados importantes en procesos de copolimerización. Por otro lado, puntualizando en el tema de aplicación de observadores de gran ganancia en columnas de destilación, (Deza et al. 1991) y (Targui 2000) muestran resultados en simulación. Resultados experimentales pueden encontrarse en (Torres 'h al. 2004).

En la Sección 4.1 y 4.2 se muestra el diseño de observadores de gran ganancia y observadores de ganancia constante para columnas de destilación. En la Sección 4.3 se muestran resultahos en simulación de la estimación con ambos observadores. En la sección 4.4 se muestran resultados experimentales de la estimación fuera de línea en un proceso de destilación real. En la Sección 4.5 se analizan y resumen los resultados obtenidos. 4

I/

I1

11'

4.1. Observador de gran ganancia

Con el objetivo de diseñar un observador que estime las fracciones molares líquidas del componente ligero en cada plato de una columna de destilación, se considera el modelo en espacio de estados dado por (2.4.3). Las salidas del proceso son los estados z1 y z,, por e2ta razón el sistema en espacio de estados (2.4.3) debe ser adecuado a manera de poder estimar el vector de estados completo a partir de estos estados disponibles. Se recurre entonces, a desacoplar al modelo en dos partes haciendo analogía a las'idos secciones de la columna de destilación, de ta,l manera que mediante la medición del estado $1 se estimen las fracciones molares líquidas en la sección de enriquecimiento y mediante la medición del estado 5, se estimen las fracciones molares líquidas en la sección de empobrecimiento.

Para el diseño del observador se considera la siguiente forma compacta del sistema (2.4.3):

57

58 Capítulo 4 Observadores para una columna de destilación

O 0 -

~ ~ - 1 - Z, O

"f-1 0

k = G'(x)ul+ G2(x)u2 + p(x)w hi (4 { y = [ :: ] = h(x) = [ hz(x) ]

E Wnix2 , G ~ ( x ) =

(4.1.1)

donde se consideran las siguientes notaciones:

(a ) ni y n2 son el número de etapas en la sección de enriquecimiento y empobrecimiento respectivamente. De esta manera n = n1 + n2 es el número total de etapas en la columna de destilación.

( b ) u1 = [ 2 ] E R2 es el vector de entradas conformado por los flujos molares de

vapor calculados con las ecuaciones (2.2.1) y (2.2.3) y dependen de F, Q b y R.

( c ) u2 = [ Es ] E Rz es el vector de entradas conformado por los flujos molares

líquidos calculados con las ecuaciones (2.2.2) y (2 2.4) y dependen de F, Qb y R.

( d ) iu = F E R es el flujo molar de alimentación calculado con la ecuación (2.2.5). Este flujo actúa como perturbación.

( e ) y = I zi 6 Rz es el vector de salidas compuesto por las fracciones molares

líquidas en el condensador y el hervidor.

(f) Gk(x) = [ ] E Rnx2 (donde k = 1,2) son matrices en función de los estados, afectadas por las entradas u1 y u2 respectivamente y desacopladas de acuerdo a las secciones de empobrecimiento y enriquecimiento como se muestra a cont,inuación:

, ,

Gi(x) =

G:(x) =

Y2 -51 0

Y%+l - ?/i 0

Yf O

0 Yf+ l

o Yi+l - Yi

0 5,-i - ~ n

o -5f

o xi-1 - 2,

o 5,-1 - 5,

4.1 Observador de Eran anancja 59

o

E Wn es un vector en función de los estados afectado por

la perturbación tu.

Un observador de gran ganancia para el sistema (4.1.1) es:

donde:

( a ) SO, E W"""' y So2!,€ W"2'"Z son matrices calculadas con la Ecuación (3.2.10).

( b ) Ci = [l, O , . . . ,O] E';W"' y CZ = [l, O , . . . ,O] E Wn2 son los vectores de salida del

(c) @(x) = [ az(x) ] ,E W" es el vector de la transformación no lineal desacoplado

en vectores correspon9entes a la sección de enriquecimiento y empobrecimiento, tales vectores están definidos de la siguiente manera:

ill

1:

sistema. ~

@(x) ,:\

Hasta aquí se presentó el diseño en forma general de un observador de gran ganancia para una columna de destilación. A continuación se resume y particulariza el cálculo de la ganancia del observador (4.1.2) para una columna de destilación con n = 12 etapas, n1 = 6 etapas en la sección de enriquecimiento y 122 = 6 etapas en la sección de empobrecimiento.

La ganancia del observador (4.1.2) se determina:

( a ) Ajustando el parámetro de calibración 8, la elección de este parámetro se realiza mediante simulaciones numéricas.

( b ) Obteniendo las matiices Soi y Se, de la ecuación algebraica (3.2.10). El tamaño de las matrices SR, y Sei es de nk x nk (k = l , Z ) , donde n k = 6.

60 Capítulo 4 Observadores para una columna de de ilación -

(c) Obteniendo los vectores @'(x) y @'(x) a partir de la Ecuación (4.1.3) para

después obtener sus jacobianos - y - ' ¿?X d x .

a q x ) a q x )

!

K, cs la constante de equilibrio dada por la ecuación 2.1.2. Esta constante resulta de derivar lac fracciones molares de vapor con respecto a las fracciones molarcs líquidas,

= K,. * dx,

@(x) =

-- - ax

- - 2 1 2

(211 - 2 1 2 )

4x11 - 212) + (210 - 211)

(211 - 212) - 2(210 - 211) + ( 2 9 - Zl0)

-(zll - 212) + 3(Zio - 211) - 3(29 - z10) + (58 - z9) . (211 - 2 1 2 ) - 4(2i0 - zll) + 6(zg - zl0) - 4(28 - 59) + (., - -

1 0 O 0 0 0 -1 1 o o O 0

1 - 2 1 o O 0 -1 3 -3 1 O 0

1 - 4 6 - 4 1 0 -1 5 -10 10 -5 1

4.2. Observador de gran ganancia constante

El observador de gran ganancia constante que se diseña a continuación, al igual que el observador de gran ganancia diseñado previamente, tiene la función de estimar las fracciones molares líquidas en cada plato de la sección de enriquecimiento a partir de las fracciones molares líquidas en el condensador, y las fracciones molares líquidas en cada plato de la sección de empobrecimiento a partir de las fracciones molares líquidas en el hervidor. A continuación se muestra el procedimiento general de diseño.

Si se denota con u = (Qb, Fv, R)T a las entradas del modelo (2.4.3), éste puede representarse de la siguiente forma:

Ahora, si se consideran las siguientes notaciones:

zi = 2;; 1 5 2 5 f - 1 { zn-i+1 = 2:; 1 5 2 5 n - f + 1

(4.2.1)

(4.2.2)

se reduce el modelo (4.2.1) a una forma compacta:


(4.2.3)

T T ( b ) xi = (zI , . . . ; ~ f - ~ ) E R"' y xz = (z",. . . ,zz,) contienen los estados del sistema.

(c) C,, = [1, O , . . . O] E W"' y C,, = [l, O , . . . , O ] E W"' son los vectores fila de la salida del sistema.

( d ) y1 = Cnlxl E W y y2 = Cn,x2 E W son las salidas del sistema.

Para poder diseñar un observador de ganancia constante para el sistema (4.2.3) se deben verificar las hipótesis 7 y 8.

E R"2 son vectores que

La hipótesis 7 se cumple, ya que los flujos molares están físicamente acotados cuando se opera en la condiciones de equilibrio.

La hipótesis 8 es obviamente satisfecha, ya que las composiciones líquidas y de alimentación están dentro del intervalo [O 11.

Finalmente, aplicando el Teorema 11, el observador de ganancia constante para la columna de destilación binaria es:

Xi = gi(X, U) - QIO(C~,?' - y) X2 = g2(#, U) - Qzs(Cn,X2 - y)

(4.2.4)

donde:

( a ) Q k o = OA,,S;:CTk E Wnkx"* (k = 1,2) es la ganancia total del ohservador.

( b ) Aok = dsag(Ok, Si,, . . , O ; ) E W"kX"* es una matriz diagonal para alguna O > O.

( c ) S,, E R"'x"l y S,, E Wnzx"* son matrices que se obtienen del Lema 5;

( d ) C,, = [l, O , . . . , O ] E IRn' y C,, = (1, O , . . . , O ] E R"* son los vectores de salida.

Hasta aquí se mostró el procedimiento general del diseño de un observador de gran ganancia constante para una columna de destilación. A continuación 6e presenta el cálculo de la ganancia cuando se tiene una columna con n = 12 etapas, ni = 6 etapas en la sección de enriquecimiento y n = 6 etapas en la sección de empobrecimiento.

La ganancia total para el observador (4.2.4) se obtiene:

4.3 Resultados en simulación 63

sn, =

- - 1 11-1 o o o o -1 'I 2 -1.5 O O O O -1.5 4 -2 O O O '1 O -2 8 -3 O E R n k x n h ; (k = 1,2)

O ' : O O -3 10.5 -4 O O O O -4 15.5 - -

4.3. Resultados en simulación

Con el objetivo de evaluar los observadores (4.1.2) y (4.2.4) se llevan a cabo diversas simulaciones numéricas, tal que estos observadores puedan estimar el valor de todos los estados (xi) del proceso. Los estados medidos x1 y x,, salidas del sistema, son tomados del modelo de la columna de destilación (2.4.3) y proporcionados a los observadores (4.1.2) y (4.2.4) de igual forma que las entradas del sistema. En la Figura 4.1 se muestra:& diagrama esquemático de como se encuentran configuradas la pruebas. En este esquema se aprecian las señales que necesita el observador para llevar a cabo la estimación de los estados.

La mezcla propuesta en la simulación es Metanol-Etanol, así pues, deben considerarse tanto en el modelo como en el observador las propiedades termodinámicas y químicas de estos componentes descritas en la Tabla A.2. Por otro lado, es necesario tener en cuenta las cafacterísticas físicas de la planta a utilizar, que en este caso es una columna de destilación piloto. Estas características son mostradas en la Tabla A. l . Los parámetros iniciales en las pruebas con ambos observadores son iguales y est,& descritos en la Tabla A.3. El tiempo de muestre0 de la pruebas es de 0.1 min.

Ii

La pruebas tienen como objetivo evaluar el tiempo de convergencia t ~ , valor que indica el tiempo consumido por los observadores en estimar las fracciones molares líquidas en la etapa il tal que el error de estimación entre los estados simulados y los estados estimados 'sea E = IIx - 211 ~1 O. Se considera en estas pruebas que t , es el instante en que el error E = IIx - 5 0.001.


!

I/ &en- I I I .................

~

.. ,

J if:: .................. I* i m

Figura 4.1. Esquema de la estimación en simulación

La evaluación de t,, se realizará para los observadores (4.1.2) y (4.2.4) con:

rn diferentes valores en el parámetro de calibración B

m diferentes condiciones iniciales.

4.3.1. Parámetro de calibración 6'

El tiempo de convergencia tc+ es un parámetro que depende principalmente del parámetro de calibración B de los observadores (4.1.2) y (4.2.4), entre más grande sea éste más rápida será la convergencia, sin embargo, en numerosas aplicaciones con este tipo de observadores se ha demostrado que una ganancia muy grande provoca sensibilidad al ruido eri la estimación y un fenómeno de sobretiro al inicio del proceso de estimación (Gaiithier and Kupka 1994).

A contiriuación se realiza una prueba donde los observadores toman diferentes valores para cl parámetro de calibración 6'. La señal aplicada es un escalón de 500-1000 watts en la potencia calefactora.

El vector de estados iniciales del modelo para las pruebas es:

xo = [0.942,0.915,0.9,0.865,0.82,0.81,0.7886,0.73,0.722,0.65,0.624,0.565]

I

El vector de estados iniciales de los observadores es:

4 3 Resultados en simulación 65

Tabla 4.1. Tzempo de convergencza del observador de gran ganancza con dzferentes valores para O ii

4;

4 %o = [0.9825,0.97,0.96,0.95,0.945,0.935,0.93,0.85,0.78,0.75,0.624,0.58]

En las Tablas 4.1 y 4.2 se muestran los tiempos de convergencia de los observadores (4.1.2) y (4.2.4) en c@a etapa de la columna cuando tienen diferentes valores en el parámetro de calibración O . En estas tablas O = Ok con el subíndice k = 1,2 ,3 ,4 indicando los diferentes parámetros de calibración utilizados. En la Figuras 4.2, 4.3 y 4.4 se aprecian respectivamente, los resultados de la estimación de las fracciones molares líquidas en ellcondensador, en el Plato 2 y en el Hervidor con diferentes valores en el parámetro de calibración B del observador (4.1.2). Por otro lado, las Figuras 4.5, 4.6 y 4.7> muestran los resultados de la estimación de la fracciones niolares líquidas utilizando diferentes valores de O del observador (4.2.4) en los Platos 3, 5 y 11.

Se aprecia en las Tablas 4.1 y 4.2 que cuando 0 se incrementa, tc, < tc,+l en la sección de enriquecimiento y tG+I < tci en la sección de empobrecimiento, esto es debido a la estructura 'kriangular del proceso de destilación. Otro aspecto apreciado en las tablas es que los tiempos de convergencia tq de los observadores (4.1.2) y (4.2.4) son más breves cuando O se incrementa. Puede concluirse anticipadamente que eligiendo O suficientemente grande se asegura un tiempo de convergencia breve. Sin embargo, esto no es suficiente para elegir su valor, ya que el incrementso de 0 incrementa la sensibilidad del observador al ruido.

A continuación se presentan los resultados de una prueba en simulación, donde las señales de salida yi y y: del sistema (2.4.3) son afectadas por ruido de medición (ver Figura 4.8) con una amplitud uniforme de f0.01 de fracción molar.

En las Figuras 4.9 y 4.10 se muestra el efecto en la estimación ante un incremento de 0 en el observador (4.1.2) cuando existe ruido en las mediciones de salida del sistema,

I/


Figura 4.2. ganancia con diferentes parámetros de calibración 8

Estimación de q en el Condensador utilizando un observador de gran

Plato 2

~ I I o = 0.03

20 25 35 Tiempo (mi")

Figura 4.3. Estimación de 22 en el Plato 2 utilizando un observador de gran ganancia con diferentes parámetros de calibración 8

Hervidor

6 0 PO Tiempo ( m i d

Figura 4.4. Estimación de 212 en el Hervidor utilizando un observador de gran ganancia con diferentes parámetros de calibración 8


Plato 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . , . . .

IS 20 /i Tiempo lmin)

i I+!,

1 '1

Figura 4.5. Estimacion de 53 en el Plato 3 utilizando un observador de gran ganancia constante con diferentes parámetros de calibración B

,.!I

Plato 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -- o m mn " = 0.5

oüüc <"I, o = 1

n r r r .̂ " " '- 1

30

Tiempo (mid ill. ~ :I

~ i i

Figura 4.6. Estimación de 55 en el Plato 5 utilizando un observador de gran ganancia constante con diferentes parámetros de calibración 0

Plato 11

5 II IO 15 20 25 IO Tiempo lmin) , , ,

. a

.,.I ,',)

Figura 4.7. Estimación de $11 en el Plato 11 utilizando un observador de gran ganancia constante con diferentes parámetros de Calibración 0


Tabla 4.2. con dzferentes valores para B

Tzempo de convergencza del observador de gran ganancza constante

los platos mostrados son el 4 y 9. Las Figuras 4.11 y 4.12 muestran la estimación de IC6 y 58 con el observador (4.2.4), ante la misma situación de un incremento en B.

Se aprecia entonces en la figuras que cuando la ganancia de los observadores se incrementa convergen más rápido, sin embargo son más sensibles ai ruido de medición, proyectándolo en los estados estimados. Aunque sólo se muestran algunos platos, la estimación en las demás etapas de la columna de destilación sufren los mismos efectos de estimación con ruido.

Por otro lado, los valores de tci marcados con (*) en las Tablas 4.1 y 4.2 son casos en que con Bk < se tiene tcp < tc?', esto se debe a un fenómeno de sobretiro durante la convergencia producido en algunas etapas (ver Figura 4.7) por la elección de un parámetro B grande. -Entonces, como la condición de error es E < 0.001 se cumple en un tiempo más breve con Bk pero E = 0.001 se mantiene por un periodo de tiempo más largo. En cambio con &+I, E = 0.001 disminuye en un periodo de tiempo más corto, esto es, E + O en tci + O cuando O + m.

Hasta aquí se puede decir, que para la calibración del parámetro B en los observadores (4.1.2) y (4.2.4) se debe mantener un compromiso entre una convergencia breve, poca sensibilidad ai ruido y la atenuación del sobretiro de convergencia. Además que no puede establecerse un método directo para la elección del parámetro de calibración, ya que el modelo (2.4.3) y los observadores (4.1.2) y (4.2.4) son sistemas no lineales que trabajan en diferentes puntos de operación. Así que el problema de Calibración se resuelve sólo mediante simulaciones numéricas previas a la aplicación los observadores en un proceso real.

. . . ,

4.3 Resultados en simulación fi9

" * 5 ~ / , ~ . ,. 1 .,..I . . . . . , . . . . . I . . . ! . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Ticmpo Inin) I Seaalde saliday,

Ticmpo (mi") Ticmpo (mi")

Figura 4.8. Señales de salida con ruido de medición

Plato 4 0 . m r

Figura 4.9. Estimación de 2 4 en el Plato 4 utilizando un observador de gran ganancia calibrado con diferentes parámetros 0 y con presencia de ruido en las señales de medición


Plato 9

Figura 4.10. Estimación de 29 en el Plato 9 utilizando un observador de gran ganancia calibrado con diferentes parámetros O y con presencia de ruido en las señales de medición

llenipo(n1in)

Plat,, 6 ...... 0 . 9 < ,

...... 0 . 9 6 , I

Figura 4.11. Est,imación dc zg en el Plato 6 utilizando un observador de gran ganancia constante calibrado con diferentes parámetros O y con presencia de ruido en las señales de medición

?

Figura 4.12. Estimación de zs en el Plato 8 utilizando un observador de gran ganancia constante calibrado con diferentes parámetros O y con presencia de ruido en lac señales de medición

4.3.2. Condiciones iniciales

Aunque indiscutiblemente 6' es el parámetro de calibración que influye directamente en el tiempo de convergencia, la convergencia también dependerá de las condiciones iniciales de los observadores.

A continuación se realizan una serie de pruebas para conocer los tiempos de convergencia de los observadores (4.1.2) y (4.2.4) con un valor de 6' fijo, pero con diferentes condiciones iniciales. En estas pruebas las condiciones iniciales del sistema (modelo) están dadas en el siguiente vector:

xo = [0.942,0.915,0.9,0.865,0.82,0.81,0.7886,0.73,0.722,0.65,0.624,0.565]'

y las diferentes condiciones iniciales de los observadores están dadas en los siguientes tres vectores:

2; = [0.9825,0.97,0.96,0.95,0.945,0.935,0.93,0.85,0.78,0.75,0.624, 0.581'

2; = [0.825,0.76,0.74,0.7,0.68,0.66,0.6, 0.55,0.52,0.5,0.47,0.41]T

2; = [0.9,0.85,0.83,0.8,0.78,0.74,0.710.68, 0.66,0.61,0.57,0.5]T


Etapa Condensador ( t q ) Plato 2 ftc?)

Tabla 4.3. Tiempo de conueryencia del observador de gran ganancia con dijerentes condiciones iniciales

f4 $0 2: . 11 min 37min 22 min 12 rnin 45 rnin 28 min

donde (a) X$ > xo en cada uno de sus elementos, ( b ) 2; < xo y 2; < xo en cada uno de sus elementos, (c) 2; contiene los valores más próximos a xo y ( d ) 2; contiene los valores más lejanos a XO.

La señal aplicada en las simulaciones es un escalón en la potencia calefactora del hervidor de 500 - 1000 watts y el tiempo de muestre0 es de 0.01 min. La ganancia del observador (4.1.2) se ajusta con 0 = 0.03 y la ganancia del observador (4.2.4) se ajusta con 0 = 1.

En la Tablas 4.3 y 4.4 se muestran los tiempos de convergencia de los observadores (4.1.2) y (4.2.4) respectivamente con 2:, X i y #o. Se observa en estas tablas que los tiempos de convergencia con diferentes condiciones iniciales para ambos observadores son aproximados, aunque cuando las condiciones iniciales del observador son ni& próximas a las condiciones iniciales del proceso (20 FZ XO), los tiempos de convergencia son menores. Sin embargo cuando las condiciones iniciales son mayores a las del proceso (X, > XO), los tiempos de convergencia aún son más breves.

En las Figiiras 4.13, 4.14 y 4.15 se muestra la estimación en las etapas 6, 7 y 10 con diferentes condiciones iniciales para el observador de gran ganancia. En las Figuras 4.16, 4.17 y 4.18 se muestra la estimación con el observador de gran ganancia constante donde las etapas mostradas son: el Plato 3, el Plato 8 y el Hervidor. En estas figuras se puede apreciar que cuando 20 < xo, existe sobretiro en la convergencia y é s k se incrementa cuando Xo --t O en cada uno de sus elementos. Este fenómeno en la convergencia se presenta notoriamente de la etapa 6 a la etapa 11 de la columna de destilación.

Puede decirse entonces, que las condiciones iniciales son un factor en la convergencia de los estados estimados por los observadores (4.1.2) y (4.2.4) a los estados reales, ya que dependiendo del valor de las condiciones iniciales se determina si la convergencia

?


Plato 6

....... C ~ n

-.-.. ag CBS

,o 40 50 6 0 1irnipo (mi")

Figura 4.13. Estimación de 26 en el Plato 6 utilizando un observador de gran ganancia (diferentes condiciones iniciales para el observador)

Plato de alimentación

I ..... ...... ....... ...........

I ....... o(M lloll =On 5 oui as" 2 . - MQd.10

o 70 8 0

E 1

10 IC 30 IO SO $0 0 . 6

Ti.rn,>O (miid

Figura 4.14. Estimación de 5, en el plato 7 utilizando un observador de gran ganancia (diferentes condiciones iniciales para el observador)

Plato 10

Tiempo (niin)

Figura 4.15. ganancia (diferentes condiciones iniciales para el observador)

Estimación de 210 en el Plato 10 utilizando un observador de gran

!


Plato 3

...................... =

........... ....................... ...... ....................... 1 z " o,8sv; J j j I !

- I

Tiempo ( m i d

Figura 4.16. Estimación de 2 3 en el Plato 3 utilizando un observador de gran ganancia constante (diferentes condiciones iniciales para el observador)

Plafo 8 , I

-. Tiempo (mini

Figura 4.17. Estimación de 58 en el Plato 8 utilizando un observador de gran ganancia constante (diferentes condiciones iniciales para el observador)

Hervidor 0.68

Tiempo (minJ

Figura 4.18. ganancia constante (diferentes condiciones iniciales para el observador)

Estimación de z12 en el Hervidor utilizando un observador de gran

c

i

i

75 4.4 Resultados experimentales

Tabla 4.4. Tiempo de convergencia del obseniador de gran ganancia constante con diferentes condiciones iniciales

I

Plato de alimentación (tc,) ] 14 min 1 20 min I 19 min Plato 8 ftcn) 1 14 min 1 20 min I 19 min

" I

Plato 9 (t$) Plato 10 (tcio)

I 12 min I 20 min I 19 min 1 10 min I 19 min I 19 min

Plato 11 (tcii) 1 10 min I 15 min I 18 min Hervidor (tciz) 1 12 min 1 15 min 13 min

es suave o con sobretiro. Sin embargo, si en un proceso de destilación real no se tiene conocimiento de las condiciones iniciales para así ajustar las de los observadores, es suficiente saber que las estimaciones del observador convergerán a los valores reales.

4.4. Resultados experimentales

Comprobado el desempeño en cuanto a convergencia de los observadores (4.1.2) y (4.2.4) en simulación, el siguiente paso es evaluar el funcionamiento de estos en un proceso de destilación real. La planta utilizada para la evaluación de los observadores es una planta piloto, cuyas características son mostradas en la Tabla A. l . La mezcla utilizada es Metanol-Etanol, que por sus propiedades termodinámicas se clasifica como una mezcla ideal.

Los experimentos se realizan aplicando diversas señales en las entradas de la planta, de tal manera que el observador estime las fracciones molares en todas las etapas de la columna. La estimación de los estados se realiza fuera de línea, es decir, las mediciones son registradas previamente para después ser introducidas en los algoritmos de observación implementados.

La Figura (4.19) muestra un diagrama esquemático de las señales empleadas por el observador para la estimación de los estados. Las señales de entrada del sistema son una simulación de las señales reales aplicadas en el proceso, mientras que las salidas del sistema son las mediciones reales tomadas durante los experimentos. Estas mediciones son las temperaturas en el condensador y el hervidor, las cuales mediante la relación de equilibrio (2.12) proporcionan las fracciones molares líquidas. El tiempo de muestre0 de la adquisición de los datos experimentales es de 1 min. La evalu- I




Escalón 0-750 watts Escalón 0-21.8983 mL/min Escalón 750-1500 watts

Flujo de alimentación (Fv)

Figura 4.19. Esquema de observación experimental en una columna de dest,ilación

O 30 90

Tabla 4.5. Señales aplicadas en las entradas

ación de los observadores se lleva a cabo mediante la comparación de las mediciones registradas en ciertas etapas de la columna que cuentan con sensores de temperatura y la estimación realizada fuera de línea. Las señales de entrada aplicadas en los experimentos son mostradas en las Tabla 4.5. Los pmámetros iniciales de la pruebas están listados en la Tabla A.3. El observador de gran ganancia es calibrado eligiendo 6' = 0.03 que como se mostró en las simulaciones, con este valor se tiene un tiempo de convergencia relativamente breve en todas las etapas, y el observador no amplifica considerablemente el ruido de medición en las estimaciones. El observador de gran ganancia constante es calibrado eligiendo 0 = 1 considerando la misma situación anterior. Las condiciones iniciales de los observadores para los experimentos están dadas en el siguiente vector:

Xo = [0.8,0.75,0.7,0.6,0.5,0.48,0.46,0.44,0.42,0.3,0.38,0.36]~

Las condiciones iniciales fueron elegidas de tal manera que los observadores ini- cializarán en el peor de los casos mostrados en simulación que es cuando 2, < xo y XO alejado de XO.

t

?

77 4.4 Resultados experirnen tales

Tabla 4.6. Tiempo de conveyencia con el observador de gran ganancia

Las condiciones iniciales en el proceso para el Experimento 1 son:

Las condiciones iniciales en el proceso para el Eveemento 2 son:

Los resultados de la estimación de las fracciones molares líquidas utilizando el observador de gran ganancia en el Ezpeemento 1, se muestran en las Figuras 4.20 y 4.21, y las Figuras 4.22 y 4.23 muestran los resultados con el observador de gran ganancia constante en el mismo experimento.

La estimación con el observador de gran ganancia en el Ezperimenlo 2 se muestra graficamente en las Figuras 4.24 y 4.25. En las Figuras 4.26 y 4.27 se muestran los resultados obtenidos con el observador de gran ganancia constante en el mismo experimento.

En las Tablas 4.6 y 4.7 se muestran los tiempos de convergencia con los observadores (4.1.2) y (4.2.4) respectivamente. Puede apreciarse en estas tablas que en general los tiempos de convergencia con el observador de gran ganancia constante son más breves que con el observador de gran ganancia. Esto es debido a que el parámetro de calibración 0 de (4.2.4) es más grande, sin embargo como se mostró en la pruebas en simulación si se aumenta el valor de 0 para (4.1.2), el observador de gran ganancia es más sensible al ruido de medición. El ruido de medición en las señales de salida del Condensador y el Hervidor. mostrado en las figuras, es causado por los sensores de temperatura colocados en estas etapas y por la baja resolución en la adquisición de los datos. Sin embargo, puede apreciarse en las figuras, que con los parámetros 0 elegidos para cada observador el ruido de medición es atenuado en la mayoría de las estimaciones.


I

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! i I ,

Condensador x x . l X x * x x x I X X X * I I * . i X X X - I -

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I I

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Plato 6

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10 *o 30 10 Tiempo ( m i 4

Figura 4.20. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 1, 2, 4 y 6 utilizando un observador de gran ganancia con 0 = 0.03, Ezpeñmento I

.

4.4 Resultados experimentales 79

I I l . X - X - * ~ X +r-*-x-, x x - x d - -- ................. ) I

I

i ~

i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I i

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Plato 7

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Plato 11 o.,

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I

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I

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HeMüor 0 . 5 5

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PO .o 1 , 50

B

10

Tkmoo íminl

Figura 4.21. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 7, 9, 11 y 12 utilizando un observador de gran ganancia con 6' = 0.03, Evenmento 1


Y

._ ; o , 8 - . - I

0 . 7 5

Condensador

, ............... , J ...................... ..I ................... !. ................... I. ................ .I. ............

x nxus q w i n t w n m * - O h i i m n < l , r b L'Y" m"ml.i"c<m<tH"l<. ~ I. ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . .,.

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Plato 6

^ ^ * ^ "."- ,~ ........ ~ ...... -. ~. .................. ... ................. ........

I -. " ~~ -- "7 - '

.................. .................... 1 ................. ~ - 1 . . I.. ....... ..... ¡. ..... . -

.

e

Figura 4.22. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 1, 2 ,4 y 6 utilizando un observador de gran ganancia constante con R = 1, Experimento 1


.

:

Plato 7

I X _ " """""""""lily-" - ! . . . . . . . . . - . ! . . . . . . . . . .

. . . . . . . ~

!. z... ................. i-. - ..... -- I

., .............. : ....... - ... x vmx rryr,imrnt?.In

30 .o SO m m p o imin)

Plato 11 0 . 7

Figura 4.23. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 7, 9, 11 y 12 utilizando un observador de gran ganancia constante con ti = 1, Experimento í


Plato 7

Plato 9

100 Tiempo b i n )

Plato 11

Tiempo (min)

Hervidor

Figura 4.25. Estimación de las fracciones molares líquidas en las etapas 7, 9, 11 y 12 utilizando un observador de gran ganancia con 6 = 0.03, Expeemento 2


Condensador

Tiempo iminl

Plato 6

nrmw iminl

Figura 4.26. Estimación dc las fracciones molares líquidas en las etapas 1, 2, 4 y 6 utilizando un observador de gran ganancia constante con B = 1, Ezperimento 2


Plato 1

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Figura 4.27. Estimación de las fracciones molars líquidas en las etapas 7, 9, 11 y 12 utilizando un observador de gran ganancia constante con O = 1, Experimento 2


Etapa Condensador Plato 2

Tabla 4.7. Tzempo de convergencia con el observador de gran ganancia constante

Experimento 1 Experimento 2 1 3 man 4 rnm

3 man 7 m m

Plato 6 Plato 7 . Plato 9 Plato 11 Hervidor

.. . I Plato 4 I i o min 1 8 min I

4 min 7 min 4 min 17 man

12 min 16 min 12 min 15 rnin 10 man 11 m.rn

Tabla 4.8. ETOT con el observador de gran ganancia

Tabla 4.9. ETTOT con el observador d e gran ganancia constante

.

87 4.5 Conclusiones

El error de estimación con los observadores (4.1.2) y (4.2.4) se muestra en las Tablas 4.8 y 4.9 respectivamente. Este error es calculado a partir del tiempo de convergencia de ambos observadores. Las tablas muestran que el error con el observador de gran ganancia constante en general es más pequeño que con el observador de gran ganancia, esto es debido a que el parámetro 0 elegido para (4.1.2) es más pequeño en valor que 0 para (4.2.4).

4.5. Conclusiones En este capítulo se mostró el procedimiento de diseño de un observador de gran ganancia y de un observador de gran ganancia constate. Los observadores fueron diseñados para estimar las fracciones molares líquidas en cada una de las etapas de una columna de destilación. La estimación se realizó a partir de las señales de entrada del proceso y de las temperaturas en el Condensador y el Hervidor. En los observadores se incluyó una relación de equilibrio termodinámico para calcular fracciones molares líquidas a partir de temperaturas.

El comportamiento de los observadores fue evaluado mediante simulaciones numéri- cas, donde se mostró que eligiendo un parámetro de calibración adecuado, el observador de gran ganancia constante tiene mejores tiempos de convergencia y menor sensibilidad al ruido de medición. Además de que el procedimiento de diseño del observador de ganancia constante es más sencillo ya que este no requiere la trans- formación no lineal utilizada en los observadores de gran ganancia.

Evaluados los observadores en simulación, se llevaron a cabo experimentos en una planta piloto con sensores de temperatura en algunas de sus etapas, incluyendo el Condensador y el Hervidor. Las temperaturas fueron registradas en una base de datos para después ser empleadas en la validación experimental de los observadores.

La estimación con los observadores fue realizada fuera de línea a partir de las seíiales de entrada y de las temperaturas en el Condensador y el Hervidor. Las estimaciones producidas fueron comparadas con los datos experimentales registrados y evaluadas mediante el cálculo de error. El observador de gran ganancia constante mostró tener en las estimaciones, los tiempos de convergencia más breves y el error más pequeño.

5.1. Generalidades

5. Diseño de u n controlador no lineal

Como la mayoría de los procesos químicos, una columna de destilación tiene un comportamiento no lineal, cuyo modelo a menudo es linealizado alrededor de un punto de operación. Esta práctica requiere que el sistema opere en una región que puede no ser la opción más económica o segura. Además de la no linealidad inhe- rente, una columna de destilación cuenta con múltiples entradas, niúltiples salidas y la presencia de perturbaciones. Est,% características hacen que el proceso requiera estrategias de control avanzadas, algunas de las cuales están basadas en conceptos de geometría diferencial (Isidori 1996).

La Sección 5.1 de este capítulo se basa en el trabajo realizado en (Henson and Seborg 1997) donde se presenta la teoría básica de una estrategia de control no lineal conocida como: linealización por retroalimentación. Esta estrategia utiliza generalmente dos técnicas de diseño: una linealización entrada-salida (IOL por sus siglas en inglés) y una linealización estado-espacio (SSL por sus siglas en ingiés), técnicas aplicadas exitosamente en diferentes procesos químicos como: evaporadores (Harris and McLellan 1990), intercambiadores de calor (Alsop and Edgar 1989), reactores químicos (Álvarez et al. 1989), bioreactores (Dochain 1992), extractores (Ramseier et al. 1991), etc. Sobre columnas de destilación existen varios trabajos con resultados cn sirnulacióii y experimentales, algunos de estos se resumen en la Tabla (5.1).

La Sección 5.2 describe detalladamente la síntesis de un controlador no lineal con linealización entrada-salida y desacoplo de perturbaciones para el caso SISO . En la Sección 5.3 se describe detalladamente la síntesis de un controlador no lineal con linealización entrada-salida y desacoplo de perturbaciones para el caso MIMO. En la Sección 5.4 se muestra el procedimiento de un controlador integral incluido en el controlador no lineal con linealización entrada-salida. La Sección 5.5 muestra la síntesis de un controlador no lineal con linealización entrada-salida para el control de las fracciones molares en el Condensador y Hervidor de una columna de destilación. Las Sección 5.6 muestra la evaluación en simulación del controlador diseñado. La Sección 5.7 resume los resultados obtenidos.

La técnica conocida como linealización por retroalimentación se basa en dos operaciones: (I) un cambio de coordenadas no lineal; (2) y una retroalimentación de estados no lineal.

Considérese el siguiente sistema continuo en espacio de estados:

x = f(x) + g(x)u Y = h(x)

89

{ (5.1.1)

90 Capítulo 5 CNL para una columna de destilación

Tabla 5.1. Aplicaciones de control e n columnas de destilación

~~

Técnica IOL SSL IOL

IOL (con desacoplo de perturbaciones) IOL

Referencia (Castro et al. 1990) (Alsop and Edgar 1990) (Rani and Gangiah 1991) (Levine and Rouchon 1990) íBarolo et al. 1994)

Resultados En simulación En simulación En simulación

Experimentales Experimentales

donde x E Rn, u E R", y E Rp, f(x) es un sector n-dimensional de funciones no lineales, g(x) es un vector (n x m)-dimensional de funciones no lineales y h ( x ) es un vector p-dimensional de funciones no lineales.

El objetivo de aplicar una linealización POT retroalamentación es obtener un modelo entrada-salida lineal con la siguiente forma:

{ w = ct (5.1.2)

donde: E E R' es un vector de variables de estado transformadas, v E Rm es un vector de variables de entrada transformadas, w E Rp es un vector de variables de salida transformadas y las matrices A, B y C tienen una forma canónica. Si T < n (grado del sistema < grado del sistema transformado), se debe introducir un sector de estados n - r adicional para completar la transformación de coordenadas. El entero 'r es llamado grado relativo y es una característica fundamental de un sistema no lineal.

Definición 14 Grado relativo de un sistema SISO. Se dice que el sistema ( 5 . í . i ) tiene un grado relativo T si

1. L,LFh(x) = O para toda x e n una vecindad de x g y para toda k < T - 1

e. L,L;-'(Xo) # O

.

La mayoría de los enfoques de linealiración POT retroalimentación se basan en una linealización entrada-salida o en una linealización estado-espacio. En ei enfoque de Zznealira,ción entrada-salida, el objetivo es linealizar el mapa entre las entradas transformadas (v) y las salidas (y). Se puede diseñar entonces, un controlador para el modelo entrada-salida representado por (5.1.2) con r 5 n y w = y. Sin embargo, existe un subsistema que típicamente no es linealizado,

5.2 Linealizaación en trada-salida (Caso SISO) 91

donde I) es un vector (n-r)-dimensional de variables de estado transformadas y q es un vector (n-r)-dimensional de funciones no lineales. LaEcuación (5.1.3) representa las dinámicas cero del sistema no lineal, equivalente a los ceros de un sistema lineal. Las técnicas de linealización entrada-salida están restringidas a procesos en los cuales estas llamadas dznámicas cero son estables.

En el enfoque de lznealzzaczón estado-espacio, el objetivo es linealizar el mapa entre las entradas transformadas y el vector entero de variables de estado transformadas. Este propósito se logra obteniendo salidas artificiales (w) que proporcionen un modelo linealizado por retroalimentación de dimensión r = n. Se puede diseñar entonces, un controlador lineal para el modelo estado-espacio. Sin embargo este enfoque puede fallar, ya que el mapa entre las entradas transformadas y las salidas originales (y) generalmente es no lineal. Como conclusión, la linealización entrada- salida es preferible a la linealización estado-espacio en la mayoría de las aplicaciones de control de procesos. Para algunos procesos, es posible linealizar simultáneamente los mapas entrada-estado y entrada-salida ya que las salidas originales proporcionan un modelo lineal con dimensión r = n.

5.2. Linealización entrada-salida (Caso SISO) A continuación se diseña un controlador mediante lznealzzación entrada-salida para el siguiente sistema de n - ésimo orden:

x = f(x) + g(x)u { Y = h(x) (5.2.1)

Este problema se abordó y resolvió originalmente en (Isidori and Krener 1982).

El sistema (5.2.1) puede transformarse en una forma canónica mediante un difeomorfismo [t', $1 = @(x) si el grado relativo cumple con la Definición 14. Las coordenadas se definen como

y las coordenadas I) como q k = aPr+k(X), 1 <: k 5 n - T, donde Lg@k(X) o. La f o m a n o m a l (sistema con las nuevas coordenadas) puede escribirse como:


La ley de control por retroalimentación de estados

(5.2.3)

(5.2.4)

cambia la ecuación de r-ésimo orden de (5.2.3) a: & = v. De esta manera el mapa entre la entrada transformada v y la salida y es exactamente lineal y puede diseñarse un controlador por retroalimentación de estados lineal para estabilizar el subsistema t , esto es

(5.2.5)

Cuando se expresan en coordenadas originales, las dos leyes de control (5.2.4) y (5.2.5) tienen la siguiente forma:

u = -a,&. - av-1&1 - . . . - .l.$l

u - L',h(x) L,Lf-'h(x)

U = (5.2.6)

u = -a&-'h(x) - a,-iL;-2h(x) - . . . alh(x) (5.2.7)

Así pues, la ley de control por retroalimentación de estados completa, puede escribirse como:

U = -LSh(x) - a,L;-'h(x) - . . . - UIh(X) (5.2.8) L, L;-1JL(X)

Desacoplo de perturbaciones

Considérese el siguiente sistema no lineal SISO con una perturbación d ,

x = f(x) + g(x). + p(x)d y'= h(x) (5.2.9)

5.2 Linealización entrada-salida (Caso SISO) 93 .

donde p(x) es un vector n-dimensional de funciones no lineales.

El problema para el desacoplo de perturbaciones es encontrar (si es posible) un difeomorfismo y una ley de control por retroalimentación de estados estática tal que: (1) el mapa entre la entrada transformada y la salida sea lineal; y (2) la salida no sea afectada por la perturbación. Es necesario definir el grado relativo de la perturbación d .

Definición 15 Grado relatiao de una perturbación. S e dice la pertUTbaCiÓn d t i ene un grado relativo p en el p u n t o xo si:

1. L,Lth(x) = O para toda x en un vecindad de xo y para toda I¿ < p - 1

2. L,L;-'h(so) # o.

Si p < T , la perturbación afecta a la salida directamente más que la entrada manipulada y el desacoplo de perturbaciones no puede lograrse con una ley de control por retroalimentación de estados estática. Como consecuencia, una condición necesaria para la solución del problema de desacoplo de perturbaciones es que p 2 T . Bajo esta condición el difeomorfismo [E', = @(x) transforma (5.2.9) en la forma normal,

{I = E2

E2 = E3 J :: (5.2.10)

donde: s(€,v) = L&-'h[@-'(5,77)] y ti(E,v) = L p % + ~ [ ~ - l ( E , v ) ] , 15 k 5 n - r .

Asumiendo que las mediciones en línea de las perturbaciones no están disponibles, p > T y la función s = O la ley de control (5.2.4) desacopla completamente la salida de las perturbaciones.

Nótese que la ley de control (5.2.4) no desacopla la salida de la perturbación si p = r. En este caso, si la perturbación es medible, una ley de control (feedforward/feedback) puede lograr el desacoplo de perturbaciones. Así pues, el problema para el desacoplo de perturbaciones medibles se resuelve con la siguiente ley de control no lineal:

(5.2.11)

Esta ley de control cambia la r-ésima ecuación en (5.2.10) a: = v. Como con- clusión, el mapa entrad&salida es lineal y la salida se desacopla de la perturbación.

94 Car>ítulo 5 CNL Para una columna de destilación

Cuando la ley de control se expresa en coordenadas originales tiene la siguiente forma:

(5.2.12)

5.3. Linealización entrada-salida (Caso MIMO) Un sistema no lineal MIMO puede representarse como

(5.3.1)

El planteamiento matemático para linealizar sistemas MIMO es conocido como desacoplo entrada-salida, ya que la respuesta entrada-salida es linealizada y desacoplada. El problema del desacoplo entrada-salida es encontrar (si es posible) un difeomorfismo y una ley de control con retroalimentación de estados tal que: (I) el plano entre las entradas transformadas u, y las salidas controladas y, sea lineal; y (2) la i - ésima salida y; sea desacoplada de todas las entradas v j para i # j .

Definición 16 Grado relativo de u n sistema MIMO. Se dice que el sistema (5.3.1) tiene un vector de grado relativo r = [r l , r 2 , . . , , rm] en el punto xo si:

1. Lg,L$h;(x) = O para toda 1 5 i, j 5 m, para toda k < ri - 1, y para toda x en la vecindad de XO.

2. La matriz de desacoplo m x m

(5.3.2) Lg,Lfm-lhrn(x) . . . L g , L f - l L ( X )

A(x) =

es no singular en el punto 50.

El entero T; representa el grado relativo más pequeño de la i - és ima salida con respecto a cualquiera de las m entradas. La no singularidad de la matriz de desacoplo A(x) puede considerarse como la generalización MIMO de la condición

5.3 L inealización en trada-salida (Caso M I M O ) 95

L,L;-'h(zo) # O para los sistemas SISO, y como una condición necesaria y suficiente para el control con desacoplo entrada-salida mediante retroalimentación de estados.

Si A(x) es no singular, el difeomorfismo [ET, $1 = @(x) puede construirse eligiendo la primera coordenada r como,

= @i(X) = L;-'h;(x) (5.3.3)

donde 1 5 k 5 7; y 1 5 i 5 m. Siempre es posible encontrar n - r coordenadas adicionales qT = [@?+I(x), . . . , %(x)] tal que,

@'(x) = [@a:(x), . . . ,@?I , . 1 . , I @ Y , . . . , q": %+l(X), , . . , @n(x)] (5.3.4)

es inversible en el punto zo. La forma normal es entonces:

1 - E ; 2 - G I"- m

(5.3.5)

donde 1 5 I 5 m. Las funciones a,+(E, q) son elementos de la matriz desacoplada A, expresadas en términos de las coordenadas transformadas; las funciones b; están definidas como:

b i (6 ,q ) = LPhi [ @ - ' ( 5 , ~ ) ] (5.3.6)

el vector q esta definido como en el caso SISO; y los vectores pj([, 7) están definidos como,

(5.3.7)

Las r ecuaciones en la forma normal pueden escribirse como:

96 . Capítulo 5 CNL para una columna de destilación

[ = b(E,v) + A ( t , v ) ~ (5.3.8)

Asumiendo que la matriz de desacoplo es no singular, la ley de control por retroali- mentación estática (la que logra el desacoplo entrada-salida) puede obtenerse directamente de (5.3.8),

E2

u = A-'(E, V ) [ V - W E , v)1 (5.3.9)

donde Y es un vector m-dimensional de variables de entrada transformadas. Esta ley de control cambia la Ecnación (5.3.8) a:

Como conclusión, la respuesta entrada-salida es lineal y desacoplada,

donde 1 5 i 5 'm,. Cada vi puede elegirse como en el caso SISO:

(5.3.10)

(5.3.11)

(5.3.12)

Cuando se expresa en coordenadas originales la ley de control de desacoplo tiene la forma,

U = -A-'(x)b(x) + A-'(x)v (5.3.13)

donde A(x) es la matriz de desacoplo (5.3.2) y el vector rn-dimensional b(x) tiene los elementos Lphi(x). Si a(x) = -A-'(x)b(x) y p(x) = A-'(x) la ley de desacoplo se transforma en

j I

u = a(x) + B(X)V (5.3.14)

5.3 Linealización entrada-salida (Caso M I M O ) 97

Desacoplo de perturbaciones

Considérese el siguiente sistema MIMO con perturbaciones:

(5.3.15)

La tarea de desacoplar la salida y del sistema (5.3.15) de la entrada u y de la perturbación w puede ser resuelta por medio de la ley de retroalimentación (5.3.14) sí y solo sí

n(x)p(x) = O, Vx cerca de xg

donde

Si n(x)p(x) # O , es decir n(x) no pertenece al espacio nulo de p(x), el desacoplo de perturbaciones no se puede lograr. Sin embargo, se puede aprovechar la posibilidad de obtener una medida directa de la perturbación w para utilizar una ley de retroalimentación de la siguiente forma:

u = a(.) + P(x)v + Y(X)W (5.3.17)

Así pues, el desacoplo de perturbaciones puede ser obtenido sí y solamente sí

%4[P(.) + d X ) Y ( X ) l = 0

Esta condición puede ser reescrita utilizando la expresión de n(x) , como

L,h(x) + L,h(x)y(x) = O

siendo Lgh(x) = A(x) no singular, esta ecuación puede resolverse únicamente para Y.


5.4. Control integral

En numerosas aplicaciones de control de procesos, el objetivo es mantener la salida en un punto de ajuste diferente de cero. Consecuentemente, el controlador (5.2.8) dcbe contener un t h i i n o integral que corrija las desviaciones entre la salida (y) y el punto de ajuste (y$p). Entonces agregando este término la ley de control (5.2.8) toma la siguiente forma:

t -Lih(x) - cu,L;-'h(x) - . . . + cui[Y,, - h(x)l + ooJo [Yap - h(x)ld.r

U = (5.4.1) L,L;-'h(X)

Donde cu0 es un parámetro adicional del controlador asociado con el término integral. La ley de cont.ro1 integral (5.4.1) proporciona la siguiente ecuación característica para el subsistema E :

g + l + a,sr + . . . + o1s + cy0 = o (5.4.2)

Eligiendo los parámetros del controlador en términos de un solo parámetro de sin- tonización e, se obtiene la siguiente función de transferencia en lazo cerrado para cambios en el punto de ajuste si y(0) = ysp(0) (Henson and Seborg 1991):

(5.4.3)

5.5. Síntesis de un controlador para una columna de d est i I a ción

Se tiene el modelo (2.4.3) representando en espacio de estados una columna de destilación, considérese que Vs = VR = V, LR = L y Ls = L + F . Esto es válido cuando la mezcla a destilar es ideal y qp, = 1:

Los estados y la salida pueden en escribirse en forma compacta:

X = G(x)u + p(x)w Y = h(x)

donde u = [ ] E W2; y(x) = [ '''i(x) ] E R2; w = F E W; h 2 b )

(5.5.1)

El objetivo es diseñar una ley de control por retroalimentación de estados con una linealización entrada-salida y desacoplo de perturbaciones, tal que se puedan controlar las fracciones molares líquidas en el Condensador y Hervidor mediante la manipulación de los flujos molares L y V (Configuración LV). Las salidas del sistema son entonces yi = z1 y y2 = 5, donde n = 12 según las especificaciones de la columna de destilación piloto (ver Tabla A . l ) . El procedimiento de diseño del controlador se puede resumir en los siguientes pasos:

(a) Calcular la matriz de desacoplo a partir de (5.3.2)

( b ) Obtener el determinante de A(x).

A(x) es no idéntico a cero, es decir, la matriz A(x) tiene inversa y puede obtenerse un vector de grado relativo (ver Definición 16). El sistema de la columna de destilación (5.5.1) tiene un vector de grado relativo i = [ T ~ , T Z ] = [l, I].

(c) Obtener la matriz n(x) mediante (5.3.16)

1 1 o o . . . o o o o . . . . . . o 1

( d ) Verificar el efecto de las perturbaciones en las salidas.

El vector p(x) está en el espacio nulo de las filas de la matriz n(x) sí y solo sí tiene un primer y n-ésimo componente igual a cero. Se puede ver entonces, que la salida y del sistema no puede ser desacoplada de la perturbación w , ya que p(x) no pertenece

100 Caoítulo 5 CNL Dara una columna de destilación

al espacio nulo {O(x)}, resultando afectada la salida y2 del sistema. Para desacoplar las perturbaciones se puede utilizar la ley de retroalimentación (5.3.17)

(e) Calcular los parámetros de la ley de control (5.3.17).

L,h(x) =

De esta manera, se obtiene un sistema en lazo cerrado:

(5.5.2) X. = [G(x)B(x)]v + [P(x) + G(x)y(x)]w = Gc(x)v + P ~ ( X ) W

Y = h(x)

donde la salida y está desacoplada de la perturbación w mediante el término y. Además, teniendo implementadas las Inismas a(x) y p(x) de la ley de desacoplo, el comportamiento entrada-salida de v a y es lineal y desacoplado.

(f) Obtener v.

Si se desea un perfil en el tiempo para las fracciones molares líquidas en el Con- densador y el Hervidor (y1 y y ~ ) , se puede diseñar una 7 4 y una 112 utilizando la primera derivada del comportamiento deseado yap1(t) y yspz(t) lo que convierte al controlador en una función impropia, por esta razón, es necesario calcular v como se define en (5.2.7) para estabilizar el sistema.

Dado que el sistema es de grado relativo r = [rl = l , rZ = 11 solo se necesita un controlador lineal PI para tener una v = [vi, v2]* de la forma

(5.5.3)

El controlador lineal (5.5.3) proporciona la siguiente función de transferencia en lazo cerrado:

5 6 Resultados en simulación 101

PY"loLI.aj"*teI

Figura 5.1. Diagrama a bloques del controlador por retroalimentación

(5.5.4)

para y1 y yz. La sintonización de las ganancias kp y ki del controlador lineal PI se realiza mediante la sintonización del parámetro 6 de la función de transferencia en lazo cerrado (5.4.3) para un sistema de grado relativo i. Dado que TI = "2 = 1 la función de transferencia en lazo cerrado (5.4.3) se transforma en:

(5.5.5)

2 1 Entonces, igualando (5.5.4) con (5.5.5) se obtienen las ganancias k - - y k, = - Un esquema general del controlador sintetizado es mostrado en la Figura (5.1).

p - c €2 '

5.6. Resultados en simulación

Con el propósito de evaluar el comportamiento del controlador con retroalimentación de estados, se realizan a continuación pruebas en simulación tomando como proceso a controlar el modelo obtenido en el Capitulo 1 para una columna de destilación. Las características físicas de la columna de destilación son las de la planta piloto mostradas en la Tabla (A.1).

Para la realización de la simulaciones se programó un simulador del sistema en lazo cerrado (5.5.2). Este simulador se realizó bajo el ambiente de rogramación de

manejo de las variables involucradas (ver Apéndice B).

El diagrama a bloques mostrado en la Figura 5.2 resume las operaciones realizadas por el simulador del sistema en lazo cerrado con una ley control con retroalimentación

MATLAB@ y fue integrado en bloques del Toolbox de Simulink & para un mejor


(-1

*Inhadurnion manual de los dalos

*‘Cáculos alegebraicos realizados manualmente e inlroduddos en el slmulador

para su soluci6n w n valores para x

“‘CBculos realizados wmpulacionalmenle

Figura 5.2. Simulador del sistema en lazo cerrado

de estados. Las operaciones que se muestran en el diagrama fueron resueltas alge- braicamente en la Sección 5.5.

La pruebas en simulación que a continuación se presentan tienen como objetivo


evaluar el comportamiento del controlador (5.3.17) cuando:

( a ) Se eligen diferentes parámetros de sintonización E . ( b ) Se aplican cambios en la referencia en los dos puntos de ajuste. (c) Se aplican cambios en la referencia en los dos puntos de ajuste y se presenta una perturbación de flujo volumétrico. (d) Los estados requeridos por la ley de control son estimados por un observador de gran ganancia constante.

5.6.1. Parámetro de calibración del controlador E

Mediante el parámetro de calibración c se pueden obtener las ganancias kp y k; del controlador PI (5.5.3). La sintonización de este parámetro es análoga a el método de colocación de polos en un sistema lineal. Así pues, la sintonización de E responde a las características de diseño (en el dominio del tiempo) de la respuesta deseada del sistema bajo la acción del controlador. Estas características son:

Tiempo de elevación (ir). Tiempo en que la respuesta transitoria alcanza el 90 % del valor final.

Tiempo de estado estable (tag). Tiempo en el que se alcanza el estado estable.

1 Error en estado estable ( E ~ ~ ) . Error final entre la respuesta deseada y la respuesta obtenida en estado estable.

= Sobretiro ( A 4 p ) . Máximo sobretiro presentado en la respuesta transitoria.

Sin embargo, debido a que el proceso es un sistema no lineal y trabaja en diferentes puntos de operación, la elección de c solo puede ser determinada mediante simulaciones numéricas de la respuesta final del sistema bajo la acción del controlador. A continuación se realiza una priieba en simulación con diferentes valores del parámetro E . En esta prueba se desea yspl = 0.95 y y,z = 0.25, las condiciones iniciales del sistema están dadas en el siguiente vector:

Las Tablas 5.2 y 5.3 muestran los resultados de un anáiisis en el dominio del tiempo de la respuesta del controlador con diferentes valores del parámetro c. Puede apreciarse en estas Tablas que:

rn el tiempo de estado estable (t3s) se incrementa cuando se incrementa, E ,


Tabla 5.2. Efectos de la variación del parámetro de calibración del calibrador E

sobre la salida

Ta

Y1

3. Efectos de la variación del parrímetro de calihración del cnlit sobre la salida yz

€

1.0 8 min E < 0.005 1.8 man 13.5% 2.0 15 man E < 0.005 2.5 min 13.5% 3.0 25 min E < 0.005 3.1 man 13.5% 1 -

4.0 I 30 mzn I E < 0.005 I 4 min I 13.5% 1

dc

m el valor del sobretiro es el mismo para cualquier e , esto es debido a que la relación de la ganancia hi = ;i está ajustada para un valor de sobretiro Mp 12% (Henson and Seborg 1991),

rn el tiempo de estado estable fue obtenido en el momento en que el error en

los valores de t,,, E,,, t , y M p son aproximados para las salidas y1 y y2

1

estado estable E,, < 0.005,

En la Figura 5.3 se pueden apreciar las salidas y1 y y2 controladas, donde el controlador toma diferentes valores de c.

Los valores que resultan del anzilisis de la respuesta temporal varían dependiendo de la región de operación en donde se este trabajando. Esto puede ilustrarse mediante la siguiente simulación, donde el proceso se iniciaiiza con diferentes condiciones iniciales y el controlador es sintonizado con e = 2. La repuesta deseada es yappi = 0.95 y las condiciones iniciales están dadas por los siguientes vectores

x& = [0.942,0.915,0.9,0.865,0.82,0.81,0.804,0.73,0.722,0.65, 0.624,0.565IT

x: = [0.93,0.86,0.75,0.61,0.53,0.45,0.32,0.29,0.25,0.23,0.2,0.16]T

En la Tabla 5.4 pueden apreciarse los resultados del análisis de la respuesta temporal de la salida del proceso yi cuando el sistema es inicializado con diferentes condiciones iniciales x& y x:. Se observa entonces, que los valores varían para x: y xb. En la Figura 5.4 se muestran los resultados gráficamente.

i

F

,~/S92'0 k 9 ' 0 '29'0 'ZZL 'O 'EL'O 'P08.0 '18'0 '28'0 '298'0 '6'0 '216'0 'ZP6'0) = !X


Figura 5.4. Sistema en lazo cerrado con diferentes condiciones iniciales

un flujo molar de vapor de 2 moleslmin, calculado a partir de la ecuación (2.2.3). El flujo molar líquido es de 1 moleslmin. El parámetro de calibración del controlador es ajustado L = 2, proporcionando kp = 1 y ki = 0.25.

La Figura 5.5 muestra la respuesta del sistema en lazo cerrado cuando las señales de referencia yspl y ysPz varían en forma de rama. Puede apreciarse en esta figura que las respuestas del proceso y1 y y2 tienen un buen seguimiento a las señales de referencia. Las señales de control suministradas a los actuadores se muestran también en la Figura 5.5.

En un proceso real, las señales de control están limitadas por las características físicas de los actuadores (válvula de reflujo y potencia calefactora). El modelo utilizado en estas simulaciones numéricas se basa en una planta piloto real cuyas señales de control están acotadas físicamente por u,in < u < urna, donde umin = O moleslmin y u,,, = 4 moles/min. El valor máximo de 4 moleslmin es proporcionado por la termorresistencia del liervidor con una potencia máxima de 2500 watts para una mezcla Met,anol-Etanol. Las señales de control mostradas en la Figura 5.5 están en el intervalo de estas cotas.

A continuación se realiza una simulación en donde las señales de control sobrepasan las cotas establecidas por las características físicas del sistema. El objetivo es verificar la respuesta del sistema en lazo cerrado cuando las señales de control son acotadas.

En la Figura 5.6 se muestran los resultados de esta prueba, donde se observa como afectan las cotas de las señales de control u1 y uz en la señales de salida y1 y y2. En esta figura también se muestra la respuesta del sistema cuando las señales de control no están acotadas. Se puede apreciar entonces, que la salida yz presenta problemas de seguimiento de1:minuto 35 al minuto 55, debido a que la señales de control exigen flujos molares mayores de lo que los actuadores pueden suministrar, más sin embargo en la mayor parte del experimento se observa un buen seguimiento de las trayectorias de salida.

5.6 Resultados en simulación 1 n7

Tiempo ímin)

100 Tiiampa ímin)

Figura 5.5. Seguimiento de las señales de salida controladas a los puntos de ajuste

108 CapAulo 5 CNL para una columna de destilación

Flujo molar liquido

.- E

E

~

o 2 Lo-----

Tiempo I m i d

Flu'a molar de v a p r

Tiempo Win1

Figura 5.6. Resultados en simulación del seguimiento de las señales de salida controladas a los puntos de ajuste (entradas con y sin cotas)


Figura 5.8. Resultados en simulación del sistema en lazo cerrado sin y con desacoplo de perturbaciones


Figura 5.9. Diagrama a bloques de un controlador con retroalimentación de estados estimados por un observador

5.6.4. Estados retroalimentados estimados

La ley de control (5.3.17) requiere la retroalimentación de algunos de los estados del sistema de destilación, en ocasiones estos estados no se encuentran disponibles en un proceso real a falta de sensores que puedan proporcionarlos. Una alternativa viable para resolver este problema es retroalimentar una estimación de los estados llevada a cabo por un Observador.

La Figura (5.9) muestra un diagrama esquemático de un controlador con estados retroalimentados estimados por un observador. Cuando los estados requeridos por la ley de control (5.3.17) son estimados con un observador, ésta se transforma en:

Al trabajar con un proceso no lineal como el proceso de destilación, se requiere que el observador de estados sea también no lineal capaz de trabajar en diferentes regiones de operación. En el Capítulo 4 se diseñaron dos tipos de observadores no lineales capaces de estimar las fracciones molares líquidas en todas las etapas de una columna de destilación. El observador de gran ganancia y el observador de gran ganancia constante fueron evaluados mediante simulaciones numéricas y fuera de línea con valores de fracciones molares tomadas de un proceso real. Se concluyó que el observador de gran ganancia constante presenta un mejor desempeño en la estimación de los estados, razón por la cual este observador es elegido para las siguientes simulaciones.

Las simulaciones que se presentan a continuación tienen como objetivo evaluar el comportamiento del sistema en lazo cerrado, cuando los estados de la ley de control (5.3.17) son estimados por un observador de gran ganancia constante (4.2.4). El controlador es ajustado con c = 2 y el observador con 0 = 1

El proceso tiene las siguientes condiciones iniciales:

xo = [0.7,0.6,0.55,0.41,0.3,0.25,0.22,0.19,0.15,0.13,0.09,0.055]7


Rcrpucsts can In Icy dc control con dfsncoplo dc perturbaciones (estados estimados)

i " ; 0 . 7

E

20

Rcrpucsts can In Icy dc control con dfSnCoDIO dc Drrturbscinnes (estados ertimadnñi

Figura 5.10. Resultados en simulación del sistema en lazo cerrado con estados estimados

y el observador (4.2.4) es inicializado con:

20 = [0.95,0.9,0.88,0.81,0.76,0.69,0.55,0.47,0.34,0.24,0.143,0.08]T

La Figura 5.10 muestra la respuesta del sistema en lazo cerrado con estados estimados en la ley de control. En esta figura se aprecia que el sistema tiene un buen seguimiento a las trayectorias de referencia y desacopla satisfactoriamente las entradas de las salidas y de la perturbación que se presenta del minuto 26 al minuto 34. De esta manera se comprueba que el controlador mantiene un buen funcionamiento aún cuando los estados son estimados.

Se sabe por la pruebas realizadas en el Capitulo 4 que el observador de gran ganancia constante es sensible al ruido de medición. A continuación se presentan en la Figura 5.11 los resultados de una simulación en la cual las señales de salida medidas ?/,,,I

y y,,,* suministradas al observador para la estimación están afectadas por ruido de medición con amplitud uniforme de 10.01 de fracción molar. Pueden apreciarse en esta figura las señales de salida medidas con ruido suministradas ai observador, así como también la respuesta del sistema bajo la acción del controlador con estados estimados.

Las salidas reales del proceso y1 y y2 muestran a lo largo de sus trayectorias los

Con cl u sion es genera les

La formulación del modelo en esta tesis está basada en suposiciones como flujos molares constantes, cálculo de la constante de equilibrio ideal y mezclas binarias. Esta formulación es válida para mezclas binarias ideales, pero existen casos de sistemas no ideales donde estos métodos no pueden ser aplicados directamente. Sin embasgo, el modelo estudiado aquí es el más empleado en estrategias de control por su simplicidad y precisión para numerosas mezclas industriales.

La evaluación del modelo descrito se llevó a cabo en un proceso real mediante la destilación de un mezcla binaria ideal (Metanol-Etanol). La comprobación de la pro- ximidad del modelo con el proceso real fue llevada a cabo mediante la comparación de mediciones de temperatura tomadas en varias etapas de una columna de desti- lación piloto (para después calcular las fracciones molares líquidas del componente ligero) con los resultados proporcionados por un simulador basado en el modelo. La precisión del modelo fue evaluada cuantitativamente mediante un parámetro de error, él que depende significativamente de las restricciones debidas a las suposiciones de modelado. Los resultados obtenidos de la evaluación del modelo, son suficientes para que éste sea utilizado en el control y observación de columnas de destilación.

Así pues, se diseñaron un observador de gran ganancia y un observador de gran ganancia contante para estimar las fracciones molares líquidas en cada una de las etapas de una columna de destilación. La estimación se realizó a partir de las señales de entrada del proceso y de las temperaturas en el Condensador y el Hervidor. En los observadores se incluyó una relación de equilibrio termodinámico para calcular fracciones molares líquidas a partir de temperaturas.

El comportamiento de los observadores fue evaluado mediante simulaciones numéri- cas, donde se mostró que eligiendo un parámetro de calibración adecuado, el observador de gran ganancia constante tiene mejores tiempos de convergencia y menor sensibilidad al ruido de medición. Además de que el procedimiento de diseño del observador de ganancia constante es más sencillo ya que este no requiere la mat,riz de transición de estados utilizada en los observadores de gran ganancia.

Evaluados los observadores en simulación, se llevaron a cabo experimentos en una planta piloto con sensores de temperatura en algunas de sus etapas, incluyendo el Condensador y el Hervidor. Las temperaturas fueron registradas en una base de datos para después ser empleadas en la validación experimental de los observadores. La estimación con los observadores fue realizada fuera de línea a partir de las señales de entrada y de las temperaturas en el Condensador y el Hervidor. Las estimaciones producidas fueron comparadas con los datos experimentales registrados y evaluadas mediante un parámetro de error. El observador de gran ganancia constante mostró tener en las estimaciones, los tiempos de convergencia más breves y el error más pequeño.

116 Capitulo 5 CNL para una columna de destilación

Por Último, se presentó el diseño de un controlador bajo la estrategia de linealitación por retroalimentación para controlar las fracciones molares líquidas manipulando los fliijos molares. La evaluación del controlador fue realizada mediante simulaciones numéricas donde el proceso a controlar fue representado por el modelo obtenido para una columna de destilación. Los estados requeridos por la ley de control fueron estimados por un observador de gran ganancia constante. La efectividad del controlador fue mostrada en cuanto a desacoplo de las entradas y rechazo a perturbaciones, no siendo alterado si1 funcionamiento aún cuando los estados requeridos por la ley de control fueron estimados por un observador de gran ganancia.

Una de las limitaciones de este trabajo de tesis es que tanto el modelo obtenido como los observadores diseñados son para mezclas binarias ideales o con componentes con entalpías de vaporización aproximadas. Sin embargo la teoría presentada y los análisis de diseño pueden extenderse a los casos de destilación multi-componente y destilación de mezclas no ideales. Por otro lado la estimación por parte de los observadores se realizó fuera de línea quedando como perspectiva futura la estimación en linea.

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A. Tablas de parámetros

46.07 78.5

38.56 0.1124

7.58670 1281.590 193.768

La Tabla A.l muestra las características físicas de la planta piloto en donde se realizaron las pruebas experimentales. La Tabla A.2 muestra los valores de las propiedades termodinámicas de la mezcla Metanol-Etanol. La Tabla A.3 muestra las condiciones experimentales utilizadas en la pruebas de laboratorio.

Tabla A.l. Caracterüticas jisicas de la CDD de la planta piloto

.. 9

"C kJlmol

kJlmolOC .

-

Característica

Plato de alimentación Volumen del hervidor

Tabla A.2. Especificaciones de la mezcla Metanol-Etanol

Especificación I Metano1 Densidad (p,) I 0.792 Peso Molecular (MW,) Temperatura de ebullición (Tb,) Entalpía de vaporización (AHvJ Calor especifico (CpJ A , BC

32 64.7

35.27 0.0816

8.08097 1582.271 239.726

Tabla A.3. Parámetros iniciales de la pruebas

Parámetro Volumen de MeOH en la alimentación (Vp,) Volumen de EOH en la alimentación ( V F ~ ) Volumen de MeOH en el boiler (VI~Z) Volumen de EOH en el boiler (i&2) Temperatura de la alimentación (TF) Eficiencia de Murphree ( E ) Eficiencia de Murphree (e) Presión total del proceso (PT)

- 0.5 0.92 -

103.1 kPa

121

B. Descripción del software

El software diseñado para los fines de esta tesis se basa en la construcción de los siguientes simuladores:

Modelo de la columna en lazo abierto

Modelo de la columna con observadores no lineales.

Observadores no lineales para la estimación experimental ofl-¿z-line de fracciones molares líquidas.

n Modelo de la columna en lazo cerrado con un controlador no lineal.

m Modelo de la columna en lazo cerrado con un controlador por retroalimentación de estados, donde los estados son estimados por un observador no lineal.

La programación del software se realizó utilizando el Toolbox de Sirnulink@ del software MATLAB@. Sirnulink@ es un ambiente de programación diseñado para construir simuladores numéricos mediante módulos representados por bloques. Ca- da bloque está programado para realizar una función en particular (para mayor información ver la ayuda en línea de MATLAB@.

Los archivos involucrados en las simulaciones pueden encontrarse en el disco compacto anexo a este documento de tesis.

B.l . Modelo de la columna en lazo abierto

E1 simulador de la columna de destilación en lazo abierto es guardado en un archivo con el nombre de columna.md1. Los archivos del simulador son almacenados en un mismo directorio, el cual debe darse de alta en el PATH (directorio raíz) de MATLAB@ (ver Figura B.l).

En la Figura B.2 se muestra el simulador integrado en bloques. Se pueden apreciar cn esta figiira io bloqiics que represent,an: las señales de entrada, el modelo, las señales de salida (fracciones molares líquidas) y las variables desplegadas en el workpace (memoria interna) de MATLAB@. El modelo es adaptado a las carac- terísticas físicas de una planta piloto real donde las señales de entrada son: el reflujo (manipulado por una electroválvula), la potencia calefactora del hervidor (proporcionada por una terrriorresistcncia) y el flujo volumétrico (suministrado por una bomba hidráulica). Las señales pueden ser generadas con funciones programas en bloques de Sirnulink@. Algunos de estos bloques se muestran en la Figura B.3. El modelo matemático de la columna de destilación representa la dinámica de este sistema mediante ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE’S por sus siglas en ingles).

1

122

8.1 Modelo de la columna en lazo abierto 123

CLK Tiempo al Mnopace

E I e n r ~ v i < w i ~ de Relujo

--b COLUMNA

Madeiol

+

LOI archivos del aimvlador deben estar guardados en un mi- directorio. el -1 debe entar dado de alta en el PATH de

CDD Lazo abierto

............. destilacionm /"

............. columnamdl

-R Fracdones moiaras

11quidas

Figura B.l. Archivos del simulador

-U U

Figura B.2. Simulador de

El modelo fue implementado en una S-Function, función de Sirnulink@ que resuelve mediante diferentes métodos de integración un sistema de ecuaciones diferenciales. La S-Function que representa al modelo manda a llamar al archivo desti1acion.m en la ejecución de la simulación.

Para la solución de las ecuacioncs diferenciales que describen el comportamiento dinámico de la columna de dest,ilación, se utilizó el método de Runge-Kutta desarrollado en (Dormand and Prince 1980) e implementado en una función de MATLAB@ bajo el nombre de ode45. Este método puede elegirse seleccionando el comando

srmlr; libmerife ............

Signal üvllder

<;enero una acari detipoercalbn .................................

step

Genera un Irm de

P " h GB"..,Ot

Figura B.3. Bloques para la generación de las señales de entrada

124 CapAulo B Descripción del s o h a r e

Simulation Parameters en la barra de herramientas de la interfaz gráfica de Sirnulink@. La ventana desplegada se muestra en la Figura B.4. Se recomienda que los demás parámetros de simulación se mantengan con los valores por default. Las

Figura B.4. Elección del método de integración

salidas del sistema son desplegadas en el workspace de MATLAB@ bajo el nombre de variable X. Así pues, si se desean graficar las fracciones molares líquidas en cada etapa solo es necesario utilizar el comando plo t (X) o p l o t ( X ( : ,a)) (donde a = 1, 2, .._, 12) para graficar las fracciones molares en una sola etapa.

B.2. Observadores no lineales

Al igual que el modelo, los observadores de gran ganancia y de gran ganancia constante fueron implementados en S-Functions guardadas bajo los nombres de archivo: observadorCG.m y observadorCCC.m , Estos archivos son almacenados en un directorio y son mandados a llamar durante la ejecución de la simulación. Desde cstos archivos se pueden manipular las condiciones iniciales de los observadores así como la ganancia de éstos. El simulador que integra a los observadores con el modelo es

que simulan 1.0 dinámicas do .............

Observadores no lineales

destilacionm ............. columnamdl ............. obsewadorGG.m ............. observad0rGGC.m

Figura B.5. Archivos del simulador de los observadores no lineales

8.3 Estimación off-line 125

mostrado en la Figura B.6, donde se pueden apreciar las señales suministradas al observador para realizar la estimación de los estados. Estas señales son las entradas del proceso (modelo) y las salidas correspondientes a las fracciones molares líquidas en el Condensador y Hervidor.

x,

Fl XZ

Obanedwda gran g m m c l a mn<tante

Figura B.6. Simulador de los observadores no lineales

B.3. Estimación off-line La estimación experimental de los observadores se realiza fuera de línea ( o f f - h e ) . El procedimiento para realizar la estimación es el siguiente:

m Las mediciones de temperatura en el Condensador, en el Boiler y en los Platos 2, 4, 6, 7 y 9 son sensadas por RTD’s y registradas en una computadora personal.

Las mediciones son archivadas en una base de datos en Excel@ para su manejo

Los datos son enviados a MATLAB@ en forma de vectores.

Los vectores con lac temperaturas son empleados para calcular la fracciones

El archivo de MATLAB@ donde se guardan los vectores con los datos experimentales es nombrado TemperaturasDD/MM/AA .m (donde DD/MM/AA es la fecha en que se realizó el experimento).

(ver Figura B.7).

molares mediante la relación de equilibrio.

126 Capítulo B Descripción de/ software

Las fracciones molares calculadas son guardadas en las variables ma (donde

Las variables ma deben ser dadas de alta en el workspace de MATLAB@,

a = 1, 2 , 4, 6, 7, 9 , 11, 12, paracadaestadodelacolumna)

para que en la simulación estas estén disponibles en memoria.

bloques de Sirnulink@ (ver Figura B.3). Las señales aplicadas en el experimento son reproducidas y generadas por

Figura B.7. Base de datos en Excel

Figura B.8. Estimación off-line

El simulador para la estimación off-line es mostrado en la Figura B.8, donde se pueden apreciar las señales de entrada y salida (Fracciones molares calculadas para el Condensador y Hervidor) requeridas por los observadores para la estimación. Las estimaciones realizadas por el observador de gran ganancia son guardadas en

B.4 Controlador no lineal 127

Estimaci6n off-line Azrhivo mn l<)r v ~ m r e ñ ded.tos nmúmmtaier.

Figura B.9. Archivos para la estimación on-line

la variable Xi y las estimaciones realizadas por el observador de gran ganancia constante en la variable X2. Si se desean graficar las mediciones reales con las estimaciones producidas por los observadores solo en necesario utilizar el comando hold on;plot(Xl(:,a));plot(X2(:,a));plot(wia(:.2)) (donde a = 1, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 12, para cada estado de la columna ).

B.4. Controlador no lineal

La ley de control se implementó de manera desacoplada como dos funciones de MATLAB@, estas son: contro1AA.m y contro1BB.m. En la Figura B.10 se muestra el simulador del sistema en lazo cerrado y en la Figura B . l l se muestran los archivos empleados por el simulador. Para ajustar la señal de referencia solo es necesario manipular los bloques de entrada para una señal escalón mostrados en la Figura B.lO.

El simulador para el control de las fracciones molares líquidas mediante una ley de control con estados retroalimentados estimados se muestra en la Figura 5.9. Los archivos empleados para la simulación son mostrados en la Figura B.13.

B. 5. Recomendaciones

A continuación se mencionan algunas recomendaciones para la reproducción de la pruebas realizadas en este trabajo.

- Las condiciones iniciales indicadas en cada prueba deben introducirse manualmente en los m-files del modelo y de los observadores.

El parámetro 8 de los observadores se ajusta desde el m-file correspondiente al observador en uso.

La ganancia del controlador proporcional-integral se ajusta desde el bloque PID del simulador del sistema en lazo cerrado.

La convergencia de los observadores puede evaluarse utilizando el comando

128 Capítulo B Descripción de/ s o h r e

Figura B.lO. Controlador con retroalimentación de estados

!q de conhol Controlador no lineal

............. controiAA.rn J’

............. controi8B.m

............. Dectilarnelcidori.rn

............. lazocerrado.mdl

Figura B.ll . Archivos para el simulador en lazo cerrado

f ind de MATLAB@, cuya función es encontrar un valor deseado en un vector de datos bajo una condición. - En las pruebas de sensibilidad al ruido de los observadores, la señal de ruido con amplitud uniforme que se presenta en las señales de salida del sistema, puede ser simulada con el bloque uniform noise perteneciente a la librería de Sirnulink@..

rn Las señales de control en el simulador del sistema en lazo cerrado, pueden acotarse con el bloque sa tu ra t ion perteneciente a la librería de Sirnulink@).

3 , .

B.5 Recomendaciones 129

I I+, I

Figura B.12. Controlador con retroalimentación de estados estimados por un observador de gran ganancia costante

Controlador-Observador no lineal

............. contro1AA.m

............. controiBB.m

............. Destilamelsidori.m

............. controlobservador.mdI

............. 0GGC.m

Figura B.13. Archivos para el simulador en lazo cerrado con estados estimados

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TESIS - Tecnológico Nacional de México campus CENIDET...FLOR LIZETH TORRES ORTIZ ASESOR: DR....

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