MODELOS,MEDICIONESYTARIFICACIONPARAREDESCONCALIDADDESERVICIOAutor:PabloBelzarenaDirectordeTesis:MaraSimonyGonzaloPereraENVIADAENCUMPLIMIENTOPARCIALDELOSREQUERIMIENTOSPARAOBTENERELGRADODEDOCTORENINGENIERIAELECTRICAdelaUNIVERSIDADDELAREPUBLICAMONTEVIDEO,URUGUAY2009vAgradecimientosAlostutoresdelatesisMarayGonzalo.Al IIE en su conjunto por el apoyo y el aliento. En especial a Gabriel y Vctor por librarmedediversas responsabilidades enel DepartamentodeTelecomunicaciones postergandosusactividadespersonales.Atodosconlosquehetrabajadoduranteestosa nosendiversosproyectos, convenios,etc. y que sin duda hicieron posible la realizacion de esta tesis. Muy especialmente a Andres,Federico,Fernando,Javier,Laura,PaolayPedro.vipara:Diego,Cecilia,JuanIgnacio,Alicia.TabladeContenidoTabladeContenido I1. Resumen 11.1. Motivacionypreguntasformuladasenlatesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Estimaciondelacalidaddeservicioapartirdemodelosdelaredydeltraco 41.1.2. Estimaciondelacalidaddeservicioutilizandomedicionesactivasenlared . 51.1.3. Taricacionenredesconcalidaddeservicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Lascontribucionesdelatesisalasoluciondelosproblemasformuladosypublica-cionesasociadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I Modelos y analisis de desempe no en un camino usando la teora de grandesdesvos 92. Introducci on 103. Aplicacionesdegrandesdesvosalanalisisdedesempe noderedes 113.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2. Resumendelateoradegrandesdesvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2. EcuaciondeLindleyyteoremadeLoynes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2.3. Denicionesbasicasdelateoradegrandesdesvos . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.4. TeoremadeCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.5. TeoremadeGartner-Ellis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.6. TeoremadeMogulskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.7. PrincipiodeContraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Elregimenasintoticodebuergrande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1. Elanalisisdeunenlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2. Extensiondelosresultadosanterioresalanalisisdeunared . . . . . . . . . . 243.4. Elregimenasintoticodemuchasfuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.1. AnchodeBandaEfectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.2. Probabilidaddeperdidaenunenlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27iii3.4.3. Deunenlacealanalisisdeunared,lapropuestadeWischik . . . . . . . . . . 303.5. Laasintoticademuchasfuentesybuerpeque no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.1. Analisis de desempe node unaredalimentadapor muchos ujos ybuerpeque no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354. Analisismedianteelmetododelaredcticia 364.1. Elanalisismediantelaredcticia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2. Condicionesycotasdelerrorusandoelanalisisdelaredcticia . . . . . . . . . . . . 374.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.2. Condicionsuciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.3. Condicionsucienteenfunciondelanchodebandadisponible . . . . . . . . . 414.2.4. Condicionsucienteperononecesaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.5. Cotaparaelerror . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.6. Lacotadelerrorenuncasoparticular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3. Ejemplosnumericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525. Estimaci ondeldesempe noydise nodeunenlace 545.1. Estimaciondelanchodebandaefectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.1.1. Estimaciondelanchodebandaefectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.2. Estimadoresnoparametricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.3. Estimadoresparametricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.4. Simulaciondelosestimadoresparametricosynoparametricos . . . . . . . . . 565.1.5. Dicultadesparalaaplicaciondel modeloparametricomarkovianoatrazasreales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2. Estimaciondelpuntodeoperaciondeunenlace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3. Estimaciondelosparametrosdecalidaddeserviciodeunenlace . . . . . . . . . . . 675.4. Dise nodeunenlacebasadoenlaestimaciondelanchodebandaefectivo. . . . . . . 685.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71II Estimaciondeldesempe noenuncaminousandomedicionesactivas 736. Laestimaci ondeparametrosdeextremoaextremoenInternet 746.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2. Revisiondealgunaspropuestasenelareademedicionesactivas. . . . . . . . . . . . 767. Medicionesdeextremoaextremoysuaplicaci onaenlacescelulares 777.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2. EstimaciondeparametrosenenlacescelularesGPRS/EDGE . . . . . . . . . . . . . 777.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2.2. Caractersticasdelasmedicionesdedesempe nosobreenlacescelulares . . . . 787.2.3. Metodologademedicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80iii7.2.4. Estimaciondelacapacidaddeunenlacecelular . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2.5. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.2.6. RoundTripTime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.3. ThroughputvsCapacidad:inuenciadediversascaractersticasdeunenlacecelular 887.3.1. Estudiothroughput/capacidadenunenlaceGPRS/EDGE . . . . . . . . . . 897.3.2. Throughputyconsideracionessobreeldesempe nodeunared3G/HSDPA. . 927.3.3. PruebasUTRAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048. Aprendizajeestadsticoysuaplicaci onal monitoreoycontrol deadmisi onenredes 1088.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.2. Aprendizajeestadstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.2.1. Introduccionalosmodelosderegresion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.2.2. ElestimadordeNadaraya-WatsonparavariablesenRd. . . . . . . . . . . . 1108.2.3. ELestimadordeNadaraya-Watsonparavariablesfuncionales . . . . . . . . . 1128.3. ExtensionesdelestimadorfuncionaldeNadaraya-Watsonalcasonoestacionario . . 1138.4. EstimaciondelaQoSdeextremoaextremodeunaaplicacion . . . . . . . . . . . . 1168.4.1. Analisisdelproblemaymetodologadeestimacion . . . . . . . . . . . . . . . 1168.4.2. EstimaciondelaQoSapartirdeladistribuciondetiemposentrepaquetesdeprueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.6. Apendice:Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.6.1. Pruebadellema8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.6.2. PruebadelTeorema8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279. Estimaci ondelaQoSutilizandounestimadordelacoladel enlaceySupportVectorMachines 1309.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.2. SupportVectorMachines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.2.1. SVMparaclasicacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.2.2. SVMenregresion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.3. Estimadordelacoladelenlaceydelestadodeuncaminoenlared . . . . . . . . . . 1359.3.1. Elcasodeunenlace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.3.2. Extensionauncaminoenlared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.4. Regresionutilizandoelestimadordelacolaodelestadodelcamino . . . . . . . . . 1399.5. RegresionconSVMutilizandoparametrosdelaestimaciondelacolaodelcamino . 1429.6. Estimacioncondiferentesvideos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.Softwaredemedici onyestimaci ondelaQoS 15010.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.2. Metronet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150iv10.2.1. Especicaciondelsoftware:restriccionesyrequerimientos. . . . . . . . . . . . 15110.2.2. Usodelsoftware. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.2.3. Arquitecturaydise nodeMetroNet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.3. MetroRed,unaredoverlaydemedicionesdistribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.3.1. PaquetesquecomponenMetroRed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.4. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.Resultadosexperimentales. 16711.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.2. PruebasADSL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.3. Pruebaatravesdem ultiplesdominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.4. Pruebaatravesdeunenlacecelular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17311.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17612.Calidaddeserviciopercibida 17812.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17812.2. MetodosparaevaluarlaPQoS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.2.1. Evaluacionsubjetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.2.2. Evaluacionobjetiva-Metodosintrusivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18112.2.3. EvaluacionObjetiva-Metodosno-intrusivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.3. Evaluacionexperimentalyresultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.3.1. Lamaquetadepruebasutilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18312.3.2. Resultadosdelostestsubjetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.3.3. Evaluaciondelasdiferentestecnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18512.4. ConsideracionessobrelaPQoSysuintegracionconlaestimacionusandopaquetesdeprueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18812.5. ClasicacionyselecciondecaractersticasenregionesdeQoS . . . . . . . . . . . . . 19012.5.1. ClasicacionenzonasdeQoS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.5.2. SelecciondevariablesutilizandoF-Score. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19112.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194III Taricacionenredesconcalidaddeservicio 20113.Taricaci onenredesconcalidaddeservicioasegurada 20213.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20213.2. Redesoverlay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20513.2.1. Serviceoverlaynetworks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20613.3. Redestripleplay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20713.4. Introduccionalosmecanismosdesubastas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20813.5. Planteodelproblemayanalisisdesubastasenunenlace. . . . . . . . . . . . . . . . 21013.5.1. AsignacionoptimacomounMarkovDecisionProcess . . . . . . . . . . . . . 21213.6. Aproximacionmediantelareducciondelhorizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22213.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227v14.Asignaci on optimaderecursosenunared 22914.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22914.2. Elproblemadeoptimizacioninstantaneadelosrecursosdeunared . . . . . . . . . . 22914.2.1. Notacionyformulaciondelproblema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22914.2.2. Relajacionconvexaysoluciondistribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23114.3. Unaaproximacionuidaalproblemadehorizontereducido . . . . . . . . . . . . . . 23414.4. Subastasperiodicasenelcasodeunared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23614.5. Implementacionysimulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23814.5.1. Escenario1:subastasdelacapacidaddeunenlace.. . . . . . . . . . . . . . . 24014.5.2. Escenario2:Redlineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24114.5.3. Escenario3:Redoverlay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24214.6. Consideracionessobrelaestrategiadelosusuariosylateoradejuegos . . . . . . . . 24414.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245IV Conclusionesdelatesis 24715.Conclusiones 248Bibliografa 250Captulo1Resumen1.1. MotivacionypreguntasformuladasenlatesisServiciosexigentesencalidaddeservicio(QoS)comovideobajodemanda, videoconferenciasdealtacalidad, servicios telematicos conrequerimientos detiemporeal, etc. sehandesplegadoaunritmomenor queel inicialmenteesperado. Entrelascausasdeestasituacionseencuentraladicultadqueexisteparagarantizar calidaddeservicio(QoS) enredes ip. Tambien, quelosoperadorespordiferentesrazones, nohanadoptadolassolucionespropuestasparabrindarQoSplanteadasenlos ultimos15a nos(IntServ, DiServ, FlowAware, etc.). Estasdicultadessehanacrecentadoademasporlacrecienteheterogeneidaddelasredesdeaccesosobrelasquesedebenofrecerestosservicios(xdsl, cablemodem, wi, wimax, 2G, 3G, redesmesh, etc.). Parael tipodeserviciosreferido, esimportantese nalarqueloqueinteresaesanalizarlacalidaddeserviciodeextremoaextremoenlared,esdecir,desdeunusuariohastaotrousuarioohastaelequipoquelebrinda el servicio. A un cuando se tuviera acceso a todos los nodos de un camino entre dos extremos,no es facil concluir del desempe no individual de cada nodo el desempe no de extremo a extremo delcamino. El problema se vuelve menos manejable a un cuando se quiere ofrecer estos servicios a travesdem ultiplesdominios, dondelosnodosdel caminoseencuentranademasbajolaadministraciondediferentesoperadoresdered.Ladebilidadparaofrecer servicios conQoSgarantizadatiene origenenlaarquitecturadeInternet creada con el objetivo de ofrecer servicios basicos como el mail y el intercambio de archivos.Enlos ultimosa nos,comosemenciono,sehadesarrolladom ultiplespropuestasparabrindarQoSya unsesiguenestudiandonuevosmodelosdeInternetolaarquitecturadelaNuevaInternet.Deesteconjuntodepropuestaslosoperadoreshanadoptadomuypocoscambios. Losprincipiosbasicosdelaviejaarquitecturasehanmantenido. Loquehanhecholosoperadoresparabrindarservicios con alg un tipo de requerimiento de QoS ha sido sobredimensionar el backbone, hacer crecerelanchodebandadelaccesoalaredeimplementaralgunasmodicacionesenlaarquitecturadelaredde accesoparaseparar los servicios conrequerimientos de QoS. Dentrode los cambiosimplementadosenlaarquitecturadelareddeaccesoparalosoperadoresquebrindanserviciospremium, se encuentra la utilizacion de mecanismos de control de admision . Esto se observa porejemplo en los servicios de video streaming sobre redes celulares, en servicios de video llamada o en12laconguraciondelmitesenlacantidadsimultaneadeconexionesHSXPAalosefectosdepoderasegurarunmnimodeanchodebandaenelaccesoacadausuario3G.Tambienseimplementanmecanismosdecontrol deadmisionenm ultiplespropuestasdearquitecturacomercial pararedestriple play (por ejemplo las propuestas de CISCO y ALCATEL incluyen este tipo de mecanismos)oenserviciosdevideobajodemanda.Estasarquitecturassebasanencontarconunbackbonesobredimensionadoyportanto, losmecanismosdecontrol deadmisionsebasansoloenlaexistenciaonoderecursosenlareddeacceso(recursosderadiofrecuenciaycanalesasociadosenelcasocelular,cantidaddeconexionesenel enlacedeaccesoenel casoderedestripleplay, etc.). Enlamedidaquelosmecanismosdecontrol deadmisionselimitanalaexistenciaderecursosenunenlace, polticasrelativamentesimplespuedenserimplementadasparaesten.Unproblemamas interesanteseplanteacuandoel mecanismodecontrol deadmisiondebebasarse en la QoS que se le puede asegurar al nuevo usuario de extremo a extremo. Esta calidad nodependesolodelestadodelenlacedeacceso,sinodetodoelcaminohastaelotroextremodondesebrindael servicio. Si bienesciertoqueal estarel backbonesobredimensionadolosproblemasdebieran darse principalmente en el acceso, esto no es cierto en todas las circunstancias y para todoslosparametrosqueimpactanenlaQoSenredestancomplejascomoInternet.Porotrolado,enlamedida que el ancho de banda del acceso contin ua creciendo y la cantidad de usuarios aumentando,lahipotesisdebackbonesobredimensionadonoesevidentequepuedasersostenidaenel futuro.Ademas, cuandolosserviciossedeseanofreceratravesdem ultiplesdominios, puedenaparecerotros puntos dondesepuededeteriorar laQoSyquenosonsoloenel acceso. Laspolticasdeinterconexion de dominios, en general no se basan en criterios de QoS sino en criterios de costos delosoperadoresyenalgunoscasossedetectaenlospuntosdeinterconexionproblemasconlaQoS.Elproblemadeimplementarmecanismosdecontroldeadmisi onhasidodesarrolladoextensa-menteenlaliteraturaderedes.Enparticularelareadecontroldeadmisionbasadaenmedicionesha centrado la atencion de diversos autores durante los ultimos a nos. Los primeros trabajos en con-trol deadmisionbasadosenmedicionessecentranenloquesepuedellamarcontrol deadmisionindividual porenrutador. Esdecirquecadaenrutadormidealgunacaractersticadel tracoquerecibe(engeneral sonmagnitudesdepeorcasocomoel picodel traco)yconestamedidayunumbral deadmisiondecidesi seaceptaonounnuevoujo. Unarese nadediferentestrabajosenestetipodemecanismosyunacomparaciondelosmismosseencuentraenel trabajo[26]. Comosemencionoantes,unproblemamasinteresanteeslograrquelasdecisionesdeadmisionsetomenevaluandoeldesempe nodelcaminoautilizarporelnuevoujoynoindividualmenteencadaen-rutador.Enlos ultimosa nossehanpropuestovariosmecanismosdecontroldeadmisionbasadosenmedicionesqueeval uanel desempe nodeextremoaextremo. Algunaspropuestassebasanenestimareldesempe noapartirdeinformacionagregadaalospaquetesenlosenrutadoresinterme-dios como por ejemplo el marcado del bit ECN (Explicit Congestion Notication) (ver por ejemplo[81]).Estaspropuestasrequierenlaintervenciondetodoslosenrutadoresintermediosparaquelasdecisionesenlosextremosseanacertadas, locual noestotalmentedeseable. Otraspropuestassebasanenenviartraco, ymedirperdidasojittersobreestetracoparadecidirsi seaceptaonounnuevoujo[23, 77, 101]. Estaspropuestasenalgunoscasosenvanpaquetesdepruebaydeacuerdoalasperdidasoeljitterdedichospaquetesdecidensidejaningresarunnuevoujodelaaplicacion. Esto tiene el problema de que el desempe no que experimenta una aplicacion y el traco3depruebanotieneporqueserel mismo. Parasolucionaresteinconveniente, enotrostrabajossepropone enviar el traco de la aplicacion durante un perodo y estimar el desempe no sobre el propiotracodelaaplicacion.Enalgunoscasos,eltracodelaaplicacionpuededeteriorareldesempe node los ujos previamente aceptados y que estan utilizando la red. Por este motivo, por ejemplo paraelaccesodeciertasredesconanchodebandalimitadoestatecnicanoesrazonable.Enlatesisseanalizaracomoestimarel desempe nodeunaaplicaciondeextremoaextremoperoproponiendometodologasquemejorenenalgunosaspectoslosmecanismosanteriores.Otrofactorimportanteparaanalizaresteproblema, esquealosoperadoresseleshahechodifcil encontrarnuevosmodelosdenegocioquejustiquenloscostoseinversionesqueimplicanlasinversionesrequeridasenlared. El modelodecobroportarifaplana, ampliamentedifundido,nocontribuyeamejorarlasituaciondelacalidaddeservicioenlared.Estemecanismonobrindaincentivosal usuarioparacuidarel usodelosrecursos. Si sedeseaqueel usuariorealiceunusoadecuadodelosrecursoscompartidosenlared,esimportantebuscarmecanismoseconomicosqueincentivenestetipodeconductas.En el contexto rese nado, el problema general que se analiza en la tesis es como obtener informa-ciondelacalidaddeservicioalolargodeuncaminoalosefectosdeimplementarmecanismosdecontrol de admision basados no solo en la informacion de un enlace sino en la de todo el camino. Lasprincipales preguntas que se analizan en la tesis son entonces las siguientes: Es posible predecir lacalidaddeserviciodeextremoaextremoquerecibiraunnuevoujo?Comopuedecomplemen-tarse el control de admision con la optimizacion de la ganancia de este operador que ofrece serviciospremiumconcalidaddeservicio?Paraanalizarestaspreguntassedividioeltrabajoentrespartesylatesisestaorganizadaconesecriterio.Encadaparteseanalizanlassiguientespreguntas:Parte1:Quemodelosepodrautilizarparaanalizarlacalidaddeservicioenuncaminodeunared?Quelimitacionestieneestemodelo?PuedeutilizarseesemodeloparaestimarlaQoSdeextremoaextremoenlnea?Parte 2: Como estimar la calidad de servicio de utilizando mediciones activas en la red? Esposiblepredecirlacalidaddeserviciodeunserviciocomoel videosincargarlaredconlasmedidas?Parte3:Comooptimizarlagananciadeloperadorenunaredqueofreceserviciospremiumconcalidaddeservicio?En lo que sigue se explica el problema estudiado en cada parte de la tesis. Previamente a analizarcada parte, es importante se nalar lo siguiente. Una de las motivaciones de la tesis es el analisis de lacalidaddeservicioalolargodeuncaminoalosefectosdeutilizaresainformacionenmecanismosdecontrol deadmision. Sinembargo, muchasdelastecnicasdesarrolladasenlatesistienenunareadeaplicacionmasgeneral queel problemaparticulardecontrol deadmision. Porejemplo,otras posibles aplicaciones pueden ser monitorear la calidad de servicio en un camino de la red paraimplementaralgoritmosdecontrol delasaplicacionesovericarunacuerdodenivel deservicio(SLA), uobtenerinformacionparaanalizarlastendenciasovariacionesdelacalidaddeservicioenalolargodeltiempo,etc.41.1.1. EstimaciondelacalidaddeservicioapartirdemodelosdelaredydeltracoUna de las razones por lo que ha sido difcil poner en practica diversas propuestas de arquitecturaparaasegurarlaQoSenInterneteslafaltademodelosmatem aticosdelaredydel tracoquepermitan abordar situaciones complejas y realistas. En el area de modelado en general los resultadosmasimportantesestanlimitadosaestudiarunenlaceyhaciendosimplicacionesparalosmodelosdetraco. Cuandosedeseaestudiarel desempe nodeextremoaextremodeuncaminoenlaredynosolodeunenlace, enlaliteraturaseencuentranpocosresultadosaplicablesaInternet. Losprimeros resultados enestaareafueronlas llamadas redes de Jacksonomodelos derivados deestas. EnestoscasoslashipotesissobrelasdistribucionesdelostiemposdearriboyservicioengenerallimitanlaaplicabilidaddeestosmodelosaInternet.Unareaquehatenidounimportantedesarrolloenlos ultimos15a noshasidoeldelasaplicacionesdelateoradegrandesdesvosalasredes de datos. La teora de grandes desvos tiene interes porque permite utilizar modelos bastantegeneralesparael tracoyademas, porquemuchosdelospar ametrosdecalidaddeservicioqueinteresancorrespondenavaloresasociadosalascolasdelasdistribuciones(laprobabilidaddequeunbuerselleneporencimadeciertoumbral, laprobabilidaddequeel retardoseamayorquecierto valor, etc.). La teora de grandes desvos se centra en analizar el comportamiento de este tipodefenomenosasociadosalascolasdelasdistribuciones. Enlaaplicaciondelateoradegrandesdesviacionesal analisisderedesdeTelecomunicacionessehatrabajadoprincipalmentesobretresasintoticas. Laasintoticade buer grande, donde se analizael comportamientolmite de laprobabilidaddedesbordecuandoel buerdel enlacetiendeainnito. Laasintoticademuchasfuentes,dondeseestudiaelcomportamientolmitecuandosehacetenderainnitoeln umerodeusuarios conjuntamentecon la capacidad y el buer del enlace. La asintotica de muchas fuentes ybuerpeque no,dondesehacetenderainnitoeln umerodeusuariosjuntoconlacapacidaddelenlace,peroelbuerdelenlacecrecemaslentamentequeeln umerodeusuarios.A unenestecontexto, existenpocaspropuestasquepermitananalizaruncaminoconvariosenlaces en una red. La mayora de los resultados se aplican a un enlace o a topologas particulares dered.Ozurk,MazumdaryLikhanovplanteanunmodeloutilizandolaasintoticademuchasfuentesybuer peque noquepermiteobtener resultados dedesempe noparauncaminoenlared. Sinembargo,paraseraplicadoenlnea(porejemploparacontroldeadmision)requieredealgoritmosrecursivosquepuedentenerunimportantecostocomputacionalenunaredcompleja.Enelmarcodelateoradegrandesdesvos,enestatesissepresentanalgunosresultadosquepermitendise narun enlace basado en los requerimientos de calidad de servicio y ademas se estudia cuando es posiblesimplicar el metodo de analisis propuesto por Ozturk et al. y obtener algoritmos mas simples paracalcularalgunosparametrosdecalidaddeservicio.A unconestosmodelos, parapoderaplicarlosenlnea, esnecesarioestimarlafunciondeve-locidaddegrandesvoapartirdemedidasdetraco. Esteproblemaesmuyamplioyenvariosaspectos ha sido escasamente analizado en la literatura. En esta parte de la tesis se analizan tambiendiferentesaspectosdeesteproblemadeestimacion.Sinembargo,sibienmedianteelmodeladoconlateoradegrandesdesvosesposibleanalizarlacalidaddeservicioenuncaminodelared,estosresultadosseaplicanbasicamentealestudiodeuncaminoenelbackbone.Porlotanto,enuncaminoqueinvolucreelpasajeatravesdelaredde5accesonoesposibleaplicarestosmodelos. Si bienhayresultadosdelateoradegrandesdesvosquesepuedenaplicaraunenlacedel acceso, noesposibleintegrarel analisisdel backboneyeldelareddeaccesomediantelateoradegrandesdesvos(estepuntoseveraconmasdetalleenelcaptulo3).Porestemotivo,paracasosquenoinvolucrensolamenteenrutadoresdelbackbone,elmodeladoanteriornoessuciente.Unaalternativaesestimareldesempe noutilizandomedicionesactivasenlared(esdecir:enviarpaquetesdepruebayanalizarcomoafectaadichospaqueteselpasajeatravesdelared).Esteproblemaseanalizaenlasiguientepartedelatesis.1.1.2. EstimaciondelacalidaddeservicioutilizandomedicionesactivasenlaredEnestapartedelatesis,elobjetivoesestimarporejemploparametrosdedesempe nocomoelretardo o el jitter que experimenta una aplicacion (por ej. un video bajo demanda) al ser transmitidoporuncaminodelared.Untecnicaposibleparatalnesenviarelvideo,analizarsuspaquetesycalcularelparametrodeinteres(jitterporejemplo).Sinembargo,estapropuestanoesadecuadaenmuchoscontextoscomoeneldeestetrabajo.Sielobjetivoesdecidirsiseadmiteonoelujoyparahacerloseenvael videoparamedirel jitter, sepuededeteriorarlacalidaddeservicioalagregar este nuevo ujo, y se estara perjudicando al conjunto de los usuarios que estan usando estecamino.Paraevitaresteproblema, muchossistemasdemonitoreoloquehacenesmandarunaseriedepaquetes depruebas livianosquecarganpocolared. Semideel jitter por ejemplosobrelos paquetes depruebaysetrasladael resultadoobtenidoaloqueseesperaquelesucedaalvideo. El problemaesprecisamentequelospaquetesdepruebanocarganlaredyporlotantonoesnecesariamentecierto, porejemplo, quesi ellosexperimentanpocojitterel videotambienexperimentarapocojitter.En la tesis se propone una tecnica que se posiciona en un punto intermedio entre ambas formas deestimacion.Lametodologapropuestasebasaenutilizarherramientasdeaprendizajeestadstico.Laideaes enviar paquetes de pruebaque carguenpocolaredyanalizar laestadsticade lasvariacionesdetiempodeestospaquetes.Conestainformacionestadsticasecaracterizaelestadodel caminodelaredyseaprendelarelacionentredichoestadoyel parametrodedesempe nodeinteressobreel videocuandolaredestaeneseestado. Luegodeestaetapadeaprendizaje, paramonitorearlaredydecidirsiseaceptaonounnuevoujo,soloesnecesariomonitorearelestadodel caminoenviandolospaquetesdepruebalivianosy(sinenviarel video)estimarcual seraeldesempe no que se obtendra si se enviara el video. Ademas de estos problemas generales a cualquiercaminoenlared, cuandoel enlacedeaccesoescelularaparecenproblemasadicionales. Algunosproblemasqueafectanlacalidaddeserviciosonporejemplolacapacidadvariableconeltiempoyel desempe no de diversos protocolos sobre este tipo de enlaces. Por este motivo, en esta parte de latesis,seestudianlasparticularidadesdeestetipodeenlacesyseproponenmetodosdemedicionyestimacion.Laspreguntasdeestapartesonentoncesesposibleaprenderlarelacionentreel desempe nodelospaquetesdepruebaylaQoSdeextremoaextremoqueexperimentaunaaplicacion?esposible hacerlo en una red como Internet donde el traco es no estacionario ? que consideracionesadicionales seagreganenel casodeaccesocelular?cuales sonlos lmites deestas tecnicas de6estimacionymedicion?1.1.3. TaricacionenredesconcalidaddeservicioPor ultimo en esta tercera parte se enfoca el problema de redes con calidad de servicio aseguradaperoconsiderandoademasel aspectoeconomicodelasmismas. El problemaahoraseformuladelasiguientemanera. El operadoral igual queantes, debedecidiracuantosusuariospuededejaringresaralareddecalidadasegurada(controldeadmision).Peroademas,enestaparteseagregael objetivo de dejar ingresar a aquel conjunto de usuarios que maximicen la ganancia del operador.Paraentenderesteproblema,sepuedeprimeroanalizarelcasosimpledeunsoloenlace,ydondeloquesedeseaesoptimizarloqueganaeloperadorenelmomentoqueadmiteaelolosusuariosquequierenusarelservicio.Ladecisionenestecasoserasimplemente:aceptar la maxima cantidad de usuarios compatibles con las restricciones de calidad de serviciosihaymasusuariosquelosquesepuedeadmitirparagarantizarlacalidaddeservicio,dejaringresaraaquellosqueestendispuestosapagarmasporusarlared(porverel videoporejemplo).Si este caso se extiende a una red con una topologa general, se transforma en un problema mascomplejoporquelosusuariosqueusandiferentesrutascompartenlosrecursosdelared. Enestetipodeproblemasademas, paraquepuedaserescalable, sebuscaquelasolucionseatotalmentedistribuida.Elnoteneruncontroladorcentralquetomelasdecisiones,agregamascomplejidadalproblema.Porotrolado,loquebuscaunoperadorcomoobjetivoesmaximizarlagananciamediaalargoplazoynomaximizarlagananciaactual ariesgodeperdergananciafutura. Esdecir, al opera-dorpuedeconvenirleenciertomomentonoocupartodalacapacidaddelaredydejarcapacidaddisponibleparafuturosusuariosquepuedanquererusarla.Estetipodedecisionpuedeserimpor-tantesi loqueestandispuestos apagar los usuarios actuales noes convenientecomparadoconloqueel operadoresperaqueestendispuestosapagarlosusuariosfuturos. Enestecontexto, laspreguntasparaestapartenal del trabajosonlassiguientes. Si seagregaal problemadecontroldeacceso, el problemademaximizar lagananciadel operador es posibleencontrar solucionesdistribuidasaesteproblemaenunaredcontopologaarbitraria?quedicultadespresenta?esposibleparael casodeunenlacemaximizarlagananciamediafuturadel operador?esposiblemaximizarlagananciamediafuturadeformadistribuidaenelcasodeunared?1.2. LascontribucionesdelatesisalasoluciondelosproblemasformuladosypublicacionesasociadasEnestaseccionseresumenlasprincipalescontribucionesrealizadasalolargodelatesis. Lasmismassesepararanlatresareasdetrabajodescritasanteriormente.Enelareademodelado,setrabajosobreunmodelosimplicadoderedllamadoredcticiaquepermiteuncalculomuchomassimpleyqueaseguralacalidaddeserviciosobrelaredreal.Se7encontrounacondicionsucienteparaqueelanalisisdedesempe nocalculadosobrelaredcticiaysobrelarealcoincidan.Ademas,seencontraroncotasparaelerrorenelcasodenocoincidencia.Estosresultadosfueronpublicadosenlaconferencia:PabloBelzarena; PaolaBermolen; PedroCasas; MaraSimon, Virtual PathNetworks FastPerformanceAnalysis,HeterogeneousNetworksConferenceHetNet04,Ikley,UK.yensuversionextendidacomocaptulodellibro:Pablo Belzarena; Paola Bermolen; Pedro Casas; Mara Simon, Virtual Path Networks Fast Per-formanceAnalysis,ttulodellibro:MobilityManagementandQuality-of-ServiceforHeterogeneousNetworks,Captulo17,RiverPublishers,2009.Enestaareasetrabajotambienenel problemadeestimar lafunciondegrandesvoylosparametros dedesempe noenel regimendemuchas fuentes omuchas fuentes ybuer peque no.Apartirdeestasestimaciones, seplanteaunametodologaparadise narunenlacedelared(di-mensionarcapacidadybuer)ydenirunintervalodeconanzaparadichodimensionado.Estosresultadoshansidopublicadosen:LauraAspirot; PabloBelzarena; PaolaBermolen; GonzaloPerera; MaraSimon, QualityofServiceparametersandlinkoperationpointestimationbasedoneectiveBandwidth-extendedver-sion. Elsevier: Journal onPerformanceEvaluation. Special IssueonPerformanceModelingandEvaluationofHeterogeneousNetworksVolume59,Issues2-3,February2005.Sedebemencionartambienqueestapartedeltrabajosedesarrollo enelmarcodeunproyectodeinvestigacionconcursableFondoClementeEstableIngenieradetracoyCalidaddeServi-cioenredesIP/MPLS)del quefui co-responsable. Tambiensecontoconel apoyodel proyectoECOS-SUD: Internetcomoredconvergente, ingenieradetr aco, medicionesytarifacion, cuyoresponsableporlaFacultaddeIngenierafueHectorCancela.En el area de mediciones para estimar la calidad de servicio de extremo a extremo, se trabajo enel marco de dos proyectos de investigacion concursables del Programa de Desarrollo Tecnologico, delos cuales he sido responsable: proyecto MetroNet PDT 17/02 y MetroNet II PDT 46/03. Ademas,losresultadosdeestostrabajosdeinvestigacionseaplicaronendosconveniosentreANTELylaFacultaddeIngeniera,referidosalaredGPRS/EDGEyalared3G/HSDPAdeANTEL.Los resultados en esta area tienen diferente naturaleza. Por un lado se desarrollo una metodologademedicionyestimacionbasadaentecnicasdeaprendizajeestadsticoparaestimarlacalidaddeserviciodeextremoaextremoutilizandopaquetesdeprueba.Estatecnicasebasaenmetodosderegresionnoparametrica. Paraestoseextendieronresultados deconvergenciadel estimador deNadaraya-Watsonfuncionalparaelcasonoestacionario.Losresultadosdeestapartedeltrabajofueronpublicadosenlaconferencia:PabloBelzarena;LauraAspirot;GonzaloPerera;BrunoBazzano,End-To-EndQualityofSer-vicePredictionBasedOnFunctional Regression,2005,HeterogeneousNetworksConference,HET-NET05,Ikley,UK.yensuversionextendidacomocaptulodellibro:PabloBelzarena;LauraAspirot,GonzaloPerera;BrunoBazzano,End-To-EndQualityofSer-vice Prediction Based On Functional Regression, ttulo del libro: Mobility Management and Quality-of-ServiceforHeterogeneousNetworks,Captulo19,RiverPublishers,2009.Posteriormentesemodicaronestastecnicas, buscandootrosmetodosparaestimarel estadodelaredyotrastecnicasdeaprendizajeestadsticocomoSupportVectorMachines.Estos ultimos8resultadosa unnohansidopublicados.Tambien se aplicaron tecnicas de medicion y estimacion para estimar la capacidad de un enlacecelular.Estosresultadosfueronpublicadosen:PabloBelzarena; Javier Pereira; JuanNegreira; SantiagoPerez, End-to-EndMeasurementsoverGPRS-EDGENetworks.In:IFIP/ACMLatinAmericaNetworkingConference,LANC2007,2007, San Jose, Costa Rica. Memorias de la XXXIII Conferencia Latinoamericana en Inform atica.2007.Tambien se desarrollaron herramientas de medicion sobre Internet que implementaron las tecni-casdeaprendizajeestadsticomencionadas.Unaprimeraversiondeestesoftwarefuepublicadaeneltrabajo:PabloBelzarena;VctorGonz alez-Barbone;FedericoLarroca;PedroCasas.,Metronet:softwareparamedici ondecalidaddeservicioenvozyvideo.2006,CongresoIberoamericanodeTelem atica,CITA2006,Mexico.Una version posterior del software que plantea una arquitectura distribuida de nodos overlay demediciones, sededenominaMetroRed. ConMetroRedserealizaronmedicionesquesepresentancomoresultadosenalgunoscaptulosdelatesis.Enestemomentoseestapreparandounartculoparapublicarestos ultimosresultados.Si bienel focodeestetrabajonosecentraenestimarlacalidaddeserviciopercibidaporelusuario(PQoS), variastecnicasenestaareatienenpuntosdecontactoconel trabajodesarrolla-doenlatesisypuedencomplementarse. Porlotanto, seanalizaralarelacionentrelastecnicasdeestimaciondePQoSconlosmetodosdeestimaciondesarrolladasenlatesis. Enlasiguientepublicacionseanalizanycomparandiferentestecnicasdeanalisisdecalidaddeserviciopercibida:PedroCasas; PabloBelzarena; SandrineVaton, End-2-EndEvaluationof IPMultimediaSer-vices,aUserPerceivedQualityofServiceApproach.In:18thITCSpecialistSeminaronQualityofExperience,2008,Karlskrona,Sweden.Proceedingsofthe18thITCSpecialistSeminaronQualityofExperience.Enel areadetaricacionenredesconcalidaddeservicio, estatesissedesarrolloenel marcodel proyectodeinvestigaciondel ProgramadeDesarrolloTecnologico, Taricacionenredesmul-tiservicio, PDT69/03. Lascontribucionesdeestatesisenestaareasonlossiguientes. Formularel problemadeoptimizarlagananciamediafuturadel operadorenunaredconcalidaddeser-vicio, utilizandosubastas comomecanismodetaricacion. Formular el problemaanterior comounMarkovDecisionProcess. Encontrarunaaproximacionpararesolveresteproblemadeformatotalmentedistribuidaenunaredcontopologageneral.Estosresultadosfueronpublicadosenlossiguientesartculos:Pablo Belzarena; Andres Ferragut; Fernando Paganini, Auctions for resource allocation in over-laynetworks.In:NetworkControlandOptimization,LectureNotesinComputerScience,aceptadoparaserpublicadoen2009.PabloBelzarena; AndresFerragut; FernandoPaganini, Networkbandwidthallocationviadis-tributedauctionswithtimereservations,IEEEINFOCOM2009,RiodeJaneiro,Abril 2009.ParteIModelosyanalisisdedesempe noenuncaminousandolateoradegrandesdesvos9Captulo2IntroduccionEnestapartedelatesisseanalizaralaposibilidaddeutilizarlateoradegrandesdesvospararealizarcontrol deadmisionenlneateniendoencuentael desempe nodeextremoaextremoenlared. Paratal n, esnecesariocontarconunmetodoquepermitafacilmenteyenlneadecidirsi esposibleonoaceptarunujo. El metododelaredcticiaanalizadoenestapartedelatesispuedeserusaenesecontexto.Ademas,parapoderhacercontroldeadmisionenlneaesnecesarioestimarlosmodelosdetracoylasfuncionesdegrandesvo. Este ultimopuntoseraotrodelostemasanalizadosenestapartedelatesis.Secomenzaraenelcaptulo3rese nandovariosresultadosimportantesdediversosautoresyseanalizaran las posibilidades y limitaciones del analisis de desempe no utilizando la teora de grandesdesvos.Enloscaptulos4y5sepresentaranlosresultadosdeestatesisrelacionadosconlaaplicaciondegrandesdesvos.Enel captulo4seanalizacuandoesposiblesimplicarel analisisdedesempe nodeunaredmedianteelmetododelaredcticiaqueseintroduciraenestecaptulo.Estemetodosimplicaelanalisisdedesempe noyhabilitaaqueseautilizadoenlneaporejemplopararealizarcontrol deadmision. En dicho captulo se encuentran condiciones bajo las cuales se asegura que los resultadosdel analisis de la red cticia son exactos y tambien se encuentran cotas para el error cuando dichascondicionesnoseverican.En el captulo 5 se analiza la estimacion a partir de mediciones de los parametros de desempe nodeunenlaceounaredcuandoseutilizantecnicasprovenientesdelateoradegrandesdesvos.Lamayoradelostrabajosdegrandesdesvosaplicadosaredesseenfocanencalcularlafunciondevelocidaddegrandesvoparalosparametrosdedesempe nodeunared. Sinembargo, nohaymuchos trabajos que enfoquen problemas de estimacion de estos parametros a partir de mediciones.El objetivodel captulo5seraanalizar algunas tecnicas de estimacionengrandes desvos, lasdicultades que se encuentranenestaareayproponer metodos para estimar el desempe noydise narunared,utilizandoresultadosqueseexpondranendichocaptulo.10Captulo3Aplicacionesdegrandesdesvosalanalisisdedesempe noderedes3.1. IntroduccionEnlaseccion3.2deestecaptulo, sepresentalanotacion, denicionesyunresumendelosprincipalesresultadosdelateoradegrandesdesvosqueseaplicanenlasseccionessiguientes.En la aplicacion de la teora de grandes desvos al analisis de redes de telecomunicaciones se hatrabajadoprincipalmentesobretresasintoticas: laasintoticadebuergrandeylasasintoticasdemuchasfuentesylademuchasfuentesybuerpeque no.Laprimeraasintoticaseestudiaenlaseccion3.3. Enestaasintoticaseanalizael desempe nodeunenlace(probabilidaddeperdidadepaquetesodistribuciondelretardodelospaquetes,porejemplo)cuandoeltama nodelbuertiendeainnito(gura3.1).BCA(t)A(t): proceso de trfico que arriba al enlaceC: capacidad del enlace B Figura3.1:Regimenasintoticodebuergrande1112La asintotica de muchas fuente se estudia en la seccion 3.4. En este caso se analiza el desempe node unenlace cuandose encuentraalimentadopor unn umerode fuentes que tiende ainnito,escalandoelbuerylacapacidaddelenlaceconelcrecimientodelasfuentes(gura3.2)....NN.c N.bN: nmero de fuentes independientesb: buffer por fuentec: capacidad por fuenteN Figura3.2:RegimenasintoticodemuchasfuentesLaasintoticademuchasfuentesybuerpeque noseanalizaenlaseccion3.5. Estaasintoticasediferenciadelaanteriorenquesi bienlacapacidaddel enlaceseescalaproporcionalmentealcrecimiento de las fuentes, el tama no del buer B(N) verica que B(N)/N 0 cuando la cantidaddefuentesNtiendeainnito(gura3.3). NNN B0) (lim...NN.cB(N)N: nmero de fuentes independientesb: buffer por fuentec: capacidad por fuenteFigura3.3:Regimenasintoticodemuchasfuentesybuerpeque noAntesdeproseguirenel analisisdeestecaptulosedebecomprenderlarazonporlacual se13planteanestastresasintoticasdiferentesenelanalisisdedesempe noderedes.Unadelasrazonespor la que han surgido estas tres asintoticas diferentes es por el tipo de enlace al que se puede aplicarcada una de ellas. En particular, se analiza mediante asint oticas diferentes un enlace en el acceso alaredounenlacedelbackbonedelared.Enunbackboneesmuchomasrazonablelahipotesisdeinnitosujosqueladebuergrande.Estosedebeaqueencadaenlaceconuyenunagrancantidaddeagregadosdeujosyel buerporfuenteengeneral espeque no. El buerendichasredessedimensionasoloparaatenderlasimultaneidadenlallegadadepaquetesporlasdiferentesinterfacesdeentradadel enrutador. Al pasarporestosenrutadoresunacantidaddeujosmuygrandenoesrazonabledimensionarlosbuersdelosenlacescomoparaatendersimultaneidadderafagasdelosdiferentesujos.Porestarazonparaelanalisisdeunenlaceenelbackboneesmasadecuadoutilizarlaasintoticademuchasfuentes.Lasituacionenunenlacedeaccesoesdiferente.Enestecasoporelenrutadorpasanpocosujosyporlotantoesmasrazonabledarleunespaciograndedememoriaacadaujoparasoportarrafagasdepaquetesencadaunodeellos. Porestemotivoel modelodelaasintoticadebuergrandeesmasadecuadocuandointeresaanalizarunenlaceenelaccesoalared.Por ultimo, cabe preguntarse que agrega la asintotica de muchas fuentes y buer peque no a lasanalizadas antes. Esta asintotica al igual que la de muchas fuentes es adecuada para analizar enlacesdebackbonedondecomodijimoshayunn umerograndedeujosyelbuerporujoespeque no.Sinembargo, comoseveraenestecaptulo, enlasdosasintoticasanterioreslosresultadosparaextenderelanalisisdedesempe nodeunenlaceauncaminosonmuylimitados.Laprincipalcausadeestaslimitacionesesel buer. Al esperarlospaquetesenunbuer, seintroducedependenciaenel tracoqueutilizadichoenlace. Estadependenciaintroducidaenel tracoalasalidadeunenlaceviolahipotesisnecesariasparaobtenerlosindicadoresdedesempe notantoenelregimendebuergrandecomoeneldemuchasfuentes.Porlotanto,alasalidadeunenlace,eltracopuedeno vericar las mismas hipotesis que al ingreso y en ese caso no es posible aplicar el mismo metodoal siguienteenlacedel camino. El regimendemuchasfuentesybuerpeque nosepuedepensarenel lmitecomounsistemasinbuer. Alnoexistirbuer, losproblemasmencionadosnosepresentan de la misma forma. Aunque el traco se modica al pasar por un enlace en el regimen demuchas fuentes y buer peque no, es posible establecer una recurrencia y extender los resultados deun enlace a un camino. En este ultimo punto radica la importancia de este regimen para el analisisdedesempe nodeunaredytambienparaelcontextodelatesis.3.2. Resumendelateoradegrandesdesvos3.2.1. IntroduccionParaanalizarel desempe noutilizandolasasintoticasanteriores, esnecesarioestudiarel com-portamientodel procesode ocupacionde lacolaenunenlace. Laideageneral del analisis dedesempe nodeunacolamediantelateoradegrandesdesvos, seraencontrarlafuncionquede-terminalavelocidadconquetiendeacerolaprobabilidaddequelaocupaciondelacolasupereciertoumbral (quesedenominarafuncionvelocidaddel grandesvo). Parapoderencontrarestafuncionyotraspropiedadesinteresantesdel grandesvo, comoporejemplodeterminarcual eseltiempomasprobableenquesealcanzadichoumbralocualeslatrayectoriamasprobableconla14quesellegaasuperardichoumbral,esnecesarioutilizaralgunosresultadosdelateoradecolasydegrandesdesvosqueserese naranenestaseccion.Enprimerlugar, esnecesarioestablecerunarelacionentreel tracodeentradayel procesodeserviciodel enlace, conel procesodeocupaciondelacola. Losdosprimeros, engeneral sonconocidos o estimables a partir de mediciones. Por lo tanto, para conocer el tercero se debe establecersurelacionconlosdosprimeros. Estarelacion, bajohip otesismuygenerales, vienedadaporlaecuaciondeLidneyyelteoremadeLoynes.Estosdosresultados,serese naranen3.2.2.En3.2.3, sedanalgunasdenicionesdelateoradegrandesdesvos, sedenelafunciongen-eratrizdemomentosdeunasucesiondevariablesaleatoriasi.i.d. ysutransformadadeFenchel-Legendre. Esta ultima juega un rol muy importante en la teora de grandes desvos, ya que sera quiencaracterice la funcion de velocidad del gran desvo del promedio de una sucesion de variables aleato-rias. Esta relacion entre la funcion velocidad de gran desvo y la transformada de Fenchel-Legendrese establece en el teorema de Cramer referido en 3.2.4. Si el traco de ingreso a la cola y el procesode servicio fueran una sucesion de variables i.i.d. con el teorema de Cramer y el teorema de Loynesalcanzara para encontrar la funcion velocidad del gran desvo de la ocupacion de la cola del enlace.Sinembargo,engeneralnoesasyeltracoqueingresaalacolatienedependenciastemporales.Porestemotivo, esnecesarioextenderel teoremadeCramer(paralocual tambienesnecesarioextenderladeniciondelatransformadadeFenchel-Legendre)paraelcasoenquelasucesiondevariables del traco de ingreso no es i.i.d. porque existen dependencias temporales. Esto se estableceen el teorema de Gartner-Ellis que se rese na en 3.2.5. En dicho teorema se establecen hipotesis adi-cionalesal teoremadeCrameryaquesenecesariodenirel tipodedependenciaadmisibleparaquelasucesiondevariablesaleatoriassatisfagaunprincipiodegrandesvo(LDP).Envarioscasosenel analisisdel comportamientodeunacolainteresaranosoloobservarconquevelocidadtiendeacerolaprobabilidaddequelaocupaciondelacolasupereciertoumbral,sinoquetambieninteresaraanalizarlastrayectoriasdelprocesodeocupaciondelacola(comosealcanzadichodesvo).Puedeinteresaranalizarcualeslatrayectoriamasprobablequeconduceaquelaocupaciondelacolasupereciertoumbral ocual eslaprobabilidaddequeunatrayectoriaeste a una distancia mayor que cierto umbral de la trayectoria mas probable. Es necesario entonces,establecerunprincipiodegrandesvoperosobreel espaciodelastrayectorias. Habitualmentesenormalizan las trayectorias a alg un espacio de funciones denido sobre el intervalo [0, 1] y se estudialafuncionvelocidaddelgrandesvodelatrayectoriapromedio.LafuncionvelocidadenestecasoseestableceenelteoremadeMogulskiiqueserese naen3.2.6.Por ultimo, enmuchoscasossetienelafuncionvelocidaddegrandesvoparaunprocesodeltracodeentradaalacolaysedeseaencontrarlafuncionvelocidaddelaocupaciondelacolaodel tracoalasalidadel enlace. Seconocequeexisteunafuncionquerelacionaestosprocesosapartir del Teoremade Loynes. Lapreguntaes comose traduce estarelacionalas funcionesvelocidad. El principiodecontraccionestablecelarelacionentrelas funciones velocidaddedosespacios vinculados a traves de una funcion continua. El principio de contraccion se rese na en 3.2.7.3.2.2. EcuaciondeLindleyyteoremadeLoynesAntesdecomenzarconlosresultadosdegrandesdesvosenestaseccionseanalizanalgunosresultadosclasicosdelateoradecolas,queseranutilizadosenlosapartadossiguientes.Elprimer15resultado es conocido como la ecuacion de Lindley. Sea una cola FIFO (rst in rst out), un procesodearriboalacolaA(n), n Z,yunprocesodeservicioC(n).SedenominaraQ(n)altama nodelacola. SedeneX(n)=A(n) C(n). EntiempodiscretoA(n)eslacantidaddetrabajoquearribaalacolaenelintervalodetiempo(n, n + 1),C(n)eslacantidaddetrabajoquepuedeserprocesadoporelservicioendichointervaloyQ(n)representalacantidaddetrabajoquequedaenlacolaenelinstanten.Entiempocontinuo,lospaquetessenumeranyC(n)representaeltiempode servicio del paquete n, A(n) la diferencia del tiempo entre arribos del paquete n y el n+1, Q(n)enestecasorepresentaeltiempodeesperadelpaqueten.LaecuaciondeLindleygobiernaelcomportamientodelacola:Q(n + 1) = (Q(n) +X(n))+(3.1)dondeZ+eselmaximoentreZy0.DelaecuaciondeLindleysepuedeescribirQ(0) = max(X(1) +Q(1), 0)= max(X(1) + max(X(2) +Q(2), 0), 0)= max(X(1), X(1) +X(2) +Q(2), 0)= max(X(1), X(1) +X(2), ...,i=1

i=nX(i) +Q(n), 0)SisedeneSk=

i=1i=k X(i)conS0= 0entonces,Q(0) = max(S0, S1, ..., Sn +Q(n))Lapreguntaquesurgeessi cuandon esteprocesotendralimite. Esdecir, enquecasoseltrabajoenlacolaenregimentendraunadistribucionestacionariaycuandoestaseraindepen-dientedel estadoinicial delacola. EstohasidorespondidoporLoynesen1962. Acontinuacionsepresentaunaformulaciondel teoremadeLoynesquenoesexactamentelaoriginal, peroqueseradeutilidadenelpresentetrabajo.Teorema 3.1. Teorema de Loynes (ver su demostraci on por ejemplo en [10], pag. 74). Si se cumplequeEl procesoXesestacionarioEl procesoXeserg odicoE(X) < 0entoncesparatodacondici oninicial delacolaQ,severicaquelmnP(Q(n) x) = P(supn>0(Sn) x) (3.2)dondeQ0= supn>0Snescasiseguramentenita.163.2.3. DenicionesbasicasdelateoradegrandesdesvosEn esta seccion se brindaran las principales deniciones a usar en el resto de este trabajo. En lamedida que sean necesarios para las aplicaciones a redes, se enunciaran los teoremas fundamentalesdelateoradegrandesdesvos.LademostraciondeestosteoremassepuedeencontrarenellibrodeDemboyZeitouni[45],oenlasreferenciasquesecitaran.Seanunafamiliademedidasdeprobabilidadsobreunespacio(, B)Unafunci ondevelocidad(RF)esunafuncionsemicontinuainferiormenteI: [0, )(lasfuncionessemicontinuaspordebajosonlasfuncionescuyosconjuntosdenivelsoncerrados).Sedene(I)= x: I(x)el conjuntodenivel deI. UnafuncionI esunabuenafunci ondevelocidadsitodoslosconjuntosdeniveldeIsonconjuntoscompactosde.Denici on3.1. nsatisfaceel principiodegrandesdesvos(LDP)confunci ondevelocidadIsi BnfxoI(x) lminfn1n log n() lmsupn1n log n() nfxI(x) (3.3)conoel interiordey,laclausuradeCabeobservarquesilafunciondevelocidadesbuena,eloptimoefectivamentesealcanza.Denici on3.2. nsatisface el principio de las grandes desvos debil con funci on de velocidad I, sila cota superior de 3.3 se verica para todo compacto y la cota inferior se alcanza para todo abierto.Denici on3.3. Unafamiliade medidas nen A es de decaimientoexponencial si paratodo < existeuncompactoKtal quelmsupn1n log n(KC ) siendoKCel complementodeK.SisecumplequelamedidantienedecaimientoexponencialentoncessicumpleunLDPdebilcumpletambienunLDPfuerte.Denici on3.4. SeaX1, ...Xn, .. unasucesi ondevariablesaleatoriasi.i.d.enel espacioRdyseasuleydeprobabilidad.Sellamar afunci onlogartmicageneradorademomentosdealafunci on()log(M())log(E(exp(< , X1>))) (3.4)donde< , X1>esel productointernohabitual enRdDenici on3.5. Sellamar atransformadadeFenchel-Legendrede()alafunci on(x) supRd< , x > () (3.5)173.2.4. TeoremadeCramerTeorema3.2. TeoremadeCramer.SeaSnconleyndenidadelasiguientemaneraSn=1nn

i=1XientoncesnsatisfaceunLDPdebil confunci ondevelocidadconvexa(x).Si adem as0 Do, siendodeDo= x:(x)< quesedenominadominioefectivode,entoncesnsatisfaceunLDPconbuenafunci ondevelocidad(x).Observaci on3.1. LatransformadadeFenchel-Legendrepuedeinterpretarsecomosemuestraenlagura3.4. Ladistanciam aximaentrelarectaxylatangentea() conpendientexeslatransformada(x).0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 31012345678*(x) () xFigura3.4:TransformadadeFenchel-LegendreObservaci on3.2. Parav.a.acotadas,esdecirqueexistealg unKtal queP([Xi[ > K) = 0,el dominioefectivodees R. Porejemploparael casoenqueXtomavaloresentre0y1conprobabilidad1/2seobtienelasiguientefunci onlogaritmodelageneratrizdemomentos() = log_exp() + 12_ysutransformadadeFenchel-Legendre(x) = log 2 +xlog(x) + (1 x) log(1 x) 0 x 1(x) = enotrocaso18Observaci on3.3. VariablesGaussianasindependientesconmediayvarianza2.Enestecasoseobtienelasiguientefunci onlogartmicageneratrizdemomentosysutransformadadeFenchel-Legendre() = +222(x) =(x )222Enestecasoel dominioefectivodesontodoslosreales,al igual queenel casoanterior.Observaci on3.4. Variables exponenciales independientes de par ametro . En este caso se obtienelasiguientefunci onlogartmicageneratrizdemomentos() = log() < () = ysutransformadadeFenchel-Legendre(x) = x 1 log(x) x > 0(x) = x 0Enestecaso0 Doperoadiferenciadeloscasosanterioresel dominionoesel conjuntodelosreales.Observaci on3.5. Variablescondistribuci ondePoissonconpar ametro.Enestecaso() = (exp() 1)ysutransformadaes:(x) = x_log_x_1_+ si x > 0(x) = si x = 0(x) = si x < 0Observaci on3.6. Variablesindependientescondistribuci ondeCauchy. Enestecaso()=0para = 0yvale paratodoslosdem asvaloresdeyporlotanto(x) = 0paratodox.El teorema de Cramer se puede generalizar a variables no i.i.d. mediante el teorema de Gartner-Ellis,queseveraacontinuacion3.2.5. TeoremadeGartner-EllisSeaunasucesiondevariablesaleatoriasZnenRdconmedidan.Sellamaran() = log(E(exp < , Zn>))19Hip otesis3.1. ParatodopertenecienteaRdexistecomoreal extendidoel siguientelmite() = lmnn(n)n(3.6)yadem asel origenperteneceal interiordel dominioefectivodeDenici on3.6. Puntosexpuestosde.Unpuntoy Rdesunpuntoexpuestodedesi,paraalg unpertenecienteaRdy x ,= y,secumpleque, y) (y) > , x) (x)esllamadoel hiperplanoexpuestodeysellamar a Tal conjuntodepuntosexpuestosde(vergura3.5).10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10050100150200250300Hiperplano expuesto Figura3.5:Puntosexpuestos, T= 10, 6Denici on3.7. Unafunci onconvexa:Rd(, )esesencialmentesuavesi:1. Do ,= 2. esdiferenciableenel interiordesudominio3. esabrupta,estoquieredecirquelmn[((n))[ = cuando nesunasucesi onenel interiordel dominioefectivodeconvergenteaunpuntodelafronteradedichodominioefectivo.Teorema3.3. TeoremadeG artner-Ellis.Sisevericalahip otesis3.1entoncessecumpleque:1.ParatodoconjuntoHcerradoyGabiertolmsupn1n log n(H) nfxH(x) nfxG

F(x) lminfn1n log n(G)Siendo Tel conjuntodepuntosexpuestosde.2. Si adem asesesencialmentesuaveysemicontinuainferior, severicael LDPconbuenafunci ondevelocidad(x)20Observaci on 3.7. Existencasos donde se verica unLDPy sinembargo no se cumplenlaship otesis del teoremaenunciado. Por ejemploenel librocitadodeDemboyZeitouni sese nalael casodeunasucesi ondevariablesaleatoriasexponencialesdepar ametron.Observaci on3.8. Existenotrosresultadosdondenosepuedeaplicarelteoremayaquelafunci onnoesdiferenciableenalg unpuntodel dominio.Observaci on3.9. FraccionalBrowniano.EnestecasoZn= n+GndondeGnesunagaussianaconmedia0yvarianza2n2HconH (0, 1)elpar ametrodeHurst.Enestecasocalculandonyrealizandoellmitesepuedeverqueesteexistes olosiH 1/2,esdecirsiemprequenosetengandependenciaslargas. Esteejemplopermiteverquesi biennohayunahip otesisexplcitasobreeltipo de dependencia de los procesos, las condiciones impuestas sobre la funci on est an relacionadasconladebilidaddesudependencia.3.2.6. TeoremadeMogulskiiOtro teorema clasico de la teora de grandes desvos es el teorema de Mogulskii. Existen genera-lizacionesdeesteteoremaqueseutilizanparademostraralgunosteoremasdelregimenasintoticodebuergrande. LaprimeraesdebidaaDemboyZajic[44] dondesegeneralizael resultadodeMogulskiiparaelcasodevariablesnoi.i.d.ElsegundoresultadodebidoaGaneshyOConnel[58]relajaciertashipotesisdelteoremadeMogulskiiypermiteaplicarelprincipiodecontraccionparacalcular la probabilidad de perdida de un enlace. Los resultados de Cramer y Garner-Ellis permitenanalizarelcomportamientoenellmitedelaocurrenciadeciertoseventosraros.Loquesepre-tendeahoraesestudiarlastrayectoriasqueconducenaesoseventos. Porejemplo, el teoremadeGartner-Ellis permitira estudiar cual es la probabilidad de que el tama no de un buer supere ciertovalor(desbordedel buer). Peroparamuchosproblemasinteresaratambiensabercomosellegaaqueel buersedesborde, ocual esel tiempoenqueesmasprobablequeocurraundesborde.Pararesponderaestaspreguntas, esnecesarioestudiargrandesdesvosdelastrayectoriasdelosprocesosinvolucrados.ElteoremadeMogulskiipermitiraestudiarestetipodeproblemas.Teorema3.4. SeaX1, X2, .... unasucesi ondev.a. i.i.d. quetomanvalores enRdconfunci onlogartmica generatriz demomentosdenida como antesyverica que () < para todo Rd.SedeneSncomoanteriormenteyenestecasoelteoremadeCramerdicec omosecomportaestasucesi onenel lmite.Sedeneahoralafamiliadev.a.indexadasport:Sn(t) =1n[nt]

i=1Xi0 t 1donde[c] denotalaparteenteradec. Seansuleydeprobabilidad. nsatisfaceenel espacioL[0, 1]unLDPconbuenafunci ondevelocidadI() =_ _10( (t))dt, si /(, (0) = 0, en otro caso(3.7)donde /(esel espaciodelasfuncionesabsolutamentecontinuasen[0,1].210 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91tSn(t)Figura3.6: Sn(t)paran = 10Enlagura3.6semuestralainterpretacionde Sn(t)paran = 10.Por otraparte, comoenel espacioquesetrabajaladistanciavienedadapor lanormadelsupremoabsolutoentrefunciones, unainterpretaciondel teoremadeMogulskii es queparaun > 0,P(|Sn|< ) exp_n nf 0sucientementepeque nosepuedeinformalmentedecirquelaprobabilidaddequeelproceso Snseencuentremuyproximoaunafuncionsepuedeaproximarporexp_n_10( (t))dt_Lainterpretaciongracasemuestraenlagura3.7.3.2.7. PrincipiodeContraccionEste resultado sera de mucha utilidad en el estudio de enlaces de comunicaciones pues permitira,conocidounLDPparael tracodeentrada, encontrarel LDPasociadoaotrasmagnitudesqueseanfunciondeestetraco,porejemploladistribuciondeocupaciondelacoladeunenlace.Teorema3.5. Sean A1y A2dosespaciostopol ogicosHausdoryseaf: A1 A2unafunci oncontinua.SeaIunabuenafunci ondevelocidadI: A1 [0, ]paracaday A2sedeneJ(y) nfI(x) : x A1, y= f(x) (3.8)entoncesJesunabuenafunci ondevelocidaden A2220 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20.200.20.40.60.811.2tubo de radio (t) Figura3.7:UntuboderadioSiIcontrolaunLDPasociadoconlafamiliademedidasdeprobabilidadnen A1,entoncesJcontrolael LDPasociadoconlacorrespondientefamilia(n f1)en A2Este teorema se apoya en que si la funcion es continua, entonces todo conjunto abierto(cerrado)del codominio se transforma en un conjunto abierto(cerrado) del dominio, entonces si vale un LDPeneldominiodelafuncion,seextiendeaunLDPenelcodominio.Enlassiguientesseccionesseverancomoseaplicanestosresultadosal analisisdedesempe noderedes.3.3. Elregimenasintoticodebuergrande3.3.1. ElanalisisdeunenlaceSea Sn= X(1) +... +X(n), con S0= 0. Como se vio seg un el teorema de Loynes, el tama nodelacolaenelenlaceestadadoporQ0= supn0SnTeorema3.6. ProbabilidaddePerdidaenunenlace. Sesuponequeel procesoXesesta-cionarioyerg odico.Sean() = log(E(exp(Sn/n)))Sesuponequeel siguientelmite() = lmn1n log(E(exp(Sn)))existeparatodo Rcomounreal extendidoyque()0. Si n()< 23paratodo > 0tal que() < 0entonceslmsupqlog P(Q0 q)q = sup( > 0 : () < 0)Silacotainferiordel grandesvolmsupnlog P(Sn xn)n (x)severicaparatodox > 0,entonceslminfqlog P(Q0 q)q (3.9)EsteTeoremasepuedeprobarapartirdelteoremadeGartner-Ellisobteniendolacotainferiorysuperiorusandodesigualdadesclasicasdelateoradeprobabilidad(verporejemplo[33]).Observaci on3.10. Enlagura3.8semuestraunainterpretaci ondeesteTeorema.Serecuerdaque X(n) = A(n)C(n), es la diferencia entre cantidad de trabajo que arriba al enlace y la cantidadquees procesadapor el servidor. Comodd(0) =siendoel valor mediodeX, y(0) =0,lacondici ondel Teoremaquepide: ()0, esequivalentealacondici ondeestabilidad de la cola del enlace (el valor medio de la entrada menor que el valor medio del servicio).Estoseapreciaenlagura3.8. Adem assepuedeverqueel valor=sup(>0:() q) exp(q).0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.500.511.5 < 0 Figura3.8:Teorema3.624Observaci on3.11. Ejemplo: tr acogaussiano(, 2)yserviciodecapacidadCdeterminstico.EnestecasoA()= +222yporlotantoel valorquevericalaecuaci onC=A()es= 2(C )/2.Paraunamediadada,severicaqueamayorvarianzamenoreslavelocidadconlaquetiendena0lasperdidas. Porotrapartecuandolamediaseacercaalacapacidaddelenlacelavelocidadescadavezmenor.Observaci on 3.12. Ejemplo: cola M/M/1. El tr aco que ingresa a la cola es Poisson de par ametroAyel servicioesexponencial depar ametroC.Enestecasoel puntodeoperaci on(verejemplo3.6parael casopoissoniano)queda:() = A() + C() = 0A(exp() 1) +C(exp() 1) = 0= log_CA_P(Q0 B) _AC_B3.3.2. ExtensiondelosresultadosanterioresalanalisisdeunaredParaextender los resultados anteriores al casode unared, se debe caracterizar el compor-tamientodel tracodesalidadeunenlaceenesteregimen. Existenvariosresultadosparacasosparticulares, yaseadel tracodeentrada, del tipodeservicio, etc. Unresultadosucientementegeneral para la caracterizacion del traco de salida de un enlace en este regimen se debe a OConnell[111].Enestetrabajoseestableceelsiguienteteorema.Teorema3.7. SeaunenlacequerecibedujosdearriboA=(A1, ...Ad), tieneunbuerFIFOinnitoinicialmentevacoyunprocesodeservicioC.SeaAn=n

1A(n) Bn=

n1 C(n) Sn(t) = (A[nt]/n, B[nt]/n)SeaD(n) = (D1(n), .., Dd(n))lacantidaddetrabajoprocesadadecadaentradaenel tiempon.Sesuponequeseverica:Hip otesis3.2. Paratodo,el supk E[exp((A(k) +C(k)))] < Hip otesis3.3. Paratodo Rd+1,el lmite() =lmn1n log E[exp(< , Sn(1) >)]existecomounrealextendidoyesnitoenunavecindaddelorigen.SevericaqueSn(t)satisfaceunLDPenel espaciodelasfuncionesL[0, 1]d+1conbuenafunci ondevelocidaddadaporI() =_10( )dt /(I() = en otro casodondeeslatransformadadeFenchel-Legendrede25Hip otesis 3.4. Los procesos de arribo y de servicio sonasint oticamente independientes enelsentidodeque(a, c) = a(a) + b(c)siendoa(a) yb(c), lastransformadasdeFenchel-Legendredel procesodearriboydeserviciorespectivamente.EntoncesDn/nsatisfaceunLDPenRdconbuenafunci ondevelocidadd(z) =nfa(x/) +a_z x_+b(c) + (1 )b_z x1 _ (3.10), [0, 1], c R, + 1, x c (3.11)Este resultado asume que la cola esta inicialmente vaca, se llega a un resultado similar partiendodelacolaenestadoestacionario. Estos resultados sebasanengeneralizaciones del teoremadeMogulskiivistoantes.En principio este resultado permitira, aplicando los teoremas vistos para el analisis de un enlace,analizar una red. Como se conoce la funcion de velocidad de la salida, aplicando sucesivamente estosresultadosseraposibleconocereldesempe nodecualquierenlace.Sinembargo,paraqueestoseacierto el traco de salida debe vericar las hipotesis del teorema anterior. En un trabajo de GaneshyOConnell[57]sepruebaqueengeneralnoesciertoqueeltracodesalidaveriquelahipotesis3.3. Esta hipotesis habitualmente es referida como la propiedad de geodesica lineal. Esto se debealasiguientepropiedad. Si secumplelahipotesis3.3latrayectoriamasprobablequeconducealgrandesvoSn aesunatrayectorialineal.SeobservaqueSn= Sn(1)yporlotantolmn1n log P(Sn a) =lmn1n log P(Sn= Sn(1) a) nf(1)a_10( (t))dtComoesconvexay(0) = 0aplicamosladesigualdaddeJensenyseobtieneque_10( (t))dt ((1))yporlotantocomo(a)escrecienteparatodoa > E[A]secumpleque nf(1)a_10( (t))dt (a)peropara(t) = atsevericaque_10((t))dt = (a)yporlotanto(t) = ateselcaminomasprobablequeconduceaelgrandesvo.Laargumentacionanteriorsepuedeformalizarprobandoquelaprobabilidaddequelatrayec-torianoseaatdadoqueSn atiendea0cuandontiendeainnito.Lapropiedaddequelatrayectoriamasprobablesealineal sederivadequelafunciondevelocidadpuedaser expresadacomolaintegral de unafunci onconvexa3.3. Enel trabajodeGaneshyOConnellseencuentrancasosenlosqueestapropiedadnosepreservaalpasarporun26enlace.Primeroseestudiauncontraejemploparaelcasod=1,esdecircuandosetieneunasolaclase de traco de entrada, y se ve que la salida no necesariamente cumple con la hipotesis referida.Enel trabajodel DemboyZajicreferidoantes, sepruebaquesi el procesodetracocumplecon algunas hipotesis de dependencia debil entonces se satisface la propiedad de geodesica lineal.El problemaesqueal pasarporunenlaceladependenciaqueseintroducepuedellevaraqueeltracoalasalidapuedadejardecumplirestapropiedad. Estapropiedaddegeodesicalineal escaractersticadelaasintoticadebuergrande. Enel casodelaasintoticademuchasfuentesseveraquelastrayectoriasmasprobablesdedesbordedelbuernosonnecesariamentelineales.3.4. ElregimenasintoticodemuchasfuentesEnlaseccionanteriorsehanrese nadolosprincipalesresultadosdelregimendebuergrande.Enestaseccion, seestudiael desempe nodeunenlaceenel casoenqueestaalimentadoporunn umeroinnitodefuentes(escalandoelbuerylacapacidaddelenlaceconelcrecimientodelasfuentes).SeconsideraunenlacealquearribanNfuentesindependienteseidenticamentedistribuidasyque tiene un tama no de buer igual a Nb y una capacidad Nc, siendo b y c el buer y la capacidadporfuente(gura3.2).ElregimenasintoticodemuchasfuentesestudiaestesistemacuandoN .3.4.1. AnchodeBandaEfectivoSe utilizara la denicion de ancho de banda efectivo (EB por su sigla en ingles) desarrollada porKelly[80].SeaX[0, t]lacantidaddetrabajoacumuladoquearribadesdeunafuenteenelintervalo[0, t].SeasumequeelprocesoX[0, t]tieneincrementosestacionarios.Sedeneelanchodebandaefectivocomo:(s, t) =1st log(E(esX[0,t])) (3.12)Laideaesqueel valordeestafuncionparaunciertopuntodeoperacion(s, t)indicaralacantidad de ancho de banda mnimo del enlace que es necesario reservar para la fuente a los efectosdecumplirconlosrequerimientosdecalidaddeservicio. Sebuscaunafunciondel tracodeunafuente que dependiendo del contexto indique la cantidad de recursos que se debe reservar a la fuente.Elcontextoestaradadoporelpuntodeoperacionquecomoseveradependedelacapacidaddelenlace, del buer, de las maximas perdidas que se desean,y de otras fuentes que tambien alimentenel enlace. Unaposibilidades reservar el valor depicodelafuente, enestecasonosetendranperdidas peroseestaradesperdiciandocapacidad. Apartir del TeoremadeLoynes sesabequemenos que la media no es posible reservar porque la cola del enlace no sera estable. Si se reserva unvalor muy cercano a la media se tendra un buen aprovechamiento de los recursos, pero las perdidasprobablementeestenporencimadelasdeseadas. Esdeseabletenerunafuncionquecaractericealafuentedetracoycumplaalmenosconlassiguientescondiciones:SeamayoroigualqueelvalormediodeunafuenteSeamenoroigualqueelvalordepicodelafuente27SisetienendosfuentesAyBestadsticamenteindependientes,elanchodebandadeltotales deseable que sea funcionf(A(s, t), B(s, t)) a los efectos de tener formas simples deagregacion.Estascondicionessonvericadasporlafuncion(s, t)[33]. Enparticularel EBdelaagregaciondedos fuentes independientes es lasumadelos EBdecadaunadeellas. Puedenexistir otrasfuncionesanchodebandaefectivoquecumplanestascondiciones,peroestadeniciontieneunainterpretacionmuynatural yconalgunashipotesisadicionalessepuedeprobarquees unica.Comosevioparael regimendebuergrande, si sesuponequeel servidoresdeterminsticodecapacidadcporfuente,laprobabilidaddeperdidaenunenlacesera(teorema3.6)(s) =lmts(s, t) csyenesecasolmqlog P(Q0 q)q siendo= sup(s > 0 : (s) 0)es decir la soluci` on de :(s, ) = cDe esta expresion se puede ver una primera interpretacion. Si se desea en un enlace cuyo buertienetama noq,tenerprobabilidaddeperdidamenorqueexp(q),entonceslacapacidadmnimaquedebetener el enlacees el anchodebandaefectivo: (, ). Es decir quedependiendodelcontexto, seobtieneunpuntodeoperacionsyel anchodebandaefectivorepresentaparaesecontextolacapacidadmnimaquesedebereservaralafuente,paraelniveldeperdidasdeseado.La interpretacion anterior es cierta solamente si el buer es grande. Para tener una interpretaciondelanchodebandaefectivoenelcasodemuchasfuentesseveranantesalgunosresultadosdeesteregimen.3.4.2. ProbabilidaddeperdidaenunenlaceApartirdelaexpresiondel anchodebandaefectivo, Wischik[158] demostroparael regimenasintoticodemuchas fuentes unaexpresionquepermitecalcular laprobabilidaddeperdidadeunenlace. Estaexpresionyahabasidoencontradapor otros autores previamente[38], perolademostracion de Wischik facilita la interpretacion de los resultados. Sea un enlace donde conuyenNfuentes deKtipos diferentes ydondelas fuentes soni.i.d.. Seasignaunacapacidadcyuntama nodebuerbporfuente. Seaj(s, t)el EBdeunafuentedel tipoj-esimoquealimentaelenlace.SeaC= Nc,B= Nbyjlaproporciondefuentesdetipoj.Severaque:lmN1Nlog(P(Q > B)) = I (3.13)I=nftsups((ct +b)s stK

jjj(s, t)) (3.14)28Estopermiteestimarlaprobabilidaddeperdidasenunenlace, dondeseconoceel anchodebandadelosujosagregadosquearribana elatravesdelasiguienteexpresionP(Q > B) exp(nftsups((Ct +B)s stK

jNjj(s, t))) (3.15)esdecir,P(Q > B) exp(NI) (3.16)Laformadecalcularlaprobabilidaddeperdidaenunenlaceesresolverladobleoptimizacionde la ecuacion 3.14, de donde se obtiene un punto de operaci on (s, t) y la probabilidad de perdida.El parametro t se le llama parametro temporal y tcomo se vera representa el tiempo mas probableal desbordedel buerdel enlace. El parametrossedenominaparametroespacial ysindicaelgradodemultiplexadoestadsticodelenlace.Enel contextodel trabajodeWischiktseraunavariablequetomavaloressobreel conjuntodelosnaturales.Sea A,elespaciodelosprocesosavaloresrealesindexadosport.UnprocesodeAsenotaracomox(0, )ycuandosetruncaal conjuntos, s + 1, . . . ..., tsenotarax(s, t)paras))Seasumequeparacadatyslafunci onlmitegeneradorademomentost(s) = lmNNt(s)existecomounreal extendidoyel origenperteneceal interiordel dominioefectivodet(s). Seasumetambienquet(s)esunafunci onesencialmentesuave.Hip otesis3.6. Unafunci ondeescalaesunafunci onv: N Rparalacual v(t)/log(t) .Paraalgunafunci ondeesescalavsedenelafunci on:Nt(s) =1v(t)Nt(1sv(t)/t)paras R.Porlahip otesis3.5,existeunavecindadabiertadel origenenlacual el lmitet(s) = lmNNt(s)29existe.Seasumequeexisteunavecindadabiertadel origenenlacual estelmiteyel lmite(s) =lmtt(s)existenuniformementeens.Seasumequeparasenalgunavecindadabiertadel origen,el lmitev(t)log t_Nt(s) (s)_0uniformementeenscuandot, N .Hip otesis3.7. Seasumequet(s1) < Ctens = 0paratodot.EntoncesQ(XN)satisfaceunLDPconbuenafunci ondevelocidadI(b) =nftsups(s(b +Ct) t(s1)) (3.17)Teorema3.9. Si I(b) es nita, entonces la escala de tiempo optima ty el camino optimo x(0, t]sonambosalcanzadosysiel optimodel par ametroespacial sesalcanzadoentoncesx(0, t] = t(s1) (3.18)ElresultadodelTeorema3.8permiteestimarlaprobabilidaddeperdidaenunenlaceporP(Q > B) expNIEs decir que si es posible conocer oestimar parael tracode entradat(s1), se tendraunaaproximaciondelaprobabilidaddeperdidaenelenlace.Porotraparteelteorema3.9dicecomosera en este caso la trayectoria mas probable que conduce al desborde del buer. En el caso de laasintoticadebuergrandesevioqueestatrayectoriaeralineal,sinembargolaexpresion3.18,permitevericarparacasossimplesqueenel casodelaasintoticademuchasfuentesel caminomasprobable t(s1)nonecesariamenteesel lineal. Porotroladosepuedeapreciardeestaexpresionlainterpretaciondet,eseltiempoenqueesmasprobablequeelbuersellenedesdecerohastaunnivel b. El parametrosindicael gradodemultiplexadoestadstico. Si el valordeses proximoaceroseestarareservandounEBproximoalamediapor locual setendraunaprovechamientoaltodel multiplexadoestadstico, mientrasquesi s , seestarareservandounEBproximoalvalordepicoyporlotantoaprovechandopocoelmultiplexadoestadstico.Un ultimolemaimportantequededuceWischikenestetrabajoesqueeleventodequelacolanoestevacaenel regimenasintoticodemuchasfuentestieneunacotasuperiordegrandesvodadapor:I= sups(sC 1(s1)) (3.19)Es decir que la probabilidad de que la cola no este vaca en el regimen asintotico de muchas fuentestiendeaceroyconvelocidadmayorque3.19. Esteresultadoseutilizaraenlaseccionsiguiente.EunyShro[52] demuestranpara tiempo discreto ycontinuo (conhipotesis adicionales) quelmNQN(t) 0casiseguramente.Wischiktambienobservaqueelresultadodelosteoremas3.8y3.9severicanparaelcasodeunenlaceconbuerBnito.303.4.3. Deunenlacealanalisisdeunared,lapropuestadeWischikEl objetivonal deesteestudioesel analisisdeunareddeextremoaextremo. Setratadeanalizar el desempe nodetodalaredynosolodeunenlace. Unprimer pasoes el analisis delprocesodesalidadeunenlace. Sebuscaracaracterizarlasalidadeunenlaceapartirdel tracodeentrada.Siademaseltracodesalidavericalasmismashipotesisqueeldeentrada,entoncesseraposibleaplicarel mismometododeanalisisqueal primernodoalosnodossiguientesdelared.Wischikdemuestraen[157]queenelregimenasintoticodemuchasfuentes,lafuncionanchodebandaefectivo(s, t)deunujodeltracodesalidaenellmiteesigualalafuncionanchode banda efectivo deunujode la entrada. Se vera a continuacion este resultado con m as detalle.EnelmodeloasintoticodemuchasfuentesdeWischikelprocesoXNeselpromediodeNfuentesindependienteseidenticamentedistribuidas.SeconsideraahoraunadeesasNfuentesdeentradaquesenotaraX(N).DelamismaformaseidenticaraunadelasNfuentesdelasalidapor X(N).LafunciongeneradorademomentosNtparalaentradaagregadaesNt(s) = log E(exp(< s, X(N)>))yparaelagregadodecopiasindependientesdeunasalidatpicaseraNt(s) = log E(exp(< s, X(N)>))Teorema3.10. Caracterizacionde lasalidaentiemponitoSeasumequeX(N)satis-facelaship otesis3.5y3.6yquedichoprocesoesestacionarioyconmediaestrictamentemenorque C. Llamando a la funci onlmite generadora de momentos de la entrada lmN log E() =t(s), entonces el procesode salida X(N)satisface lahip otesis 3.5yconlamismafunci onlimitegeneratrizdemomentosqueX(N).La demostracion de este teorema se basa en que la P(QN0> 0) 0 y por lo tanto la probabilidaddequelos procesos deentradaysalidaenunintervalodetiempojoseaniguales tiendea1.Lademostracionse hace enlahipotesis de que el buer es nitoparapoder acotar lasalidaacumuladaporlaentradaacumulada X(N)(0, t] X(N)(0, t] + B/C. Estoseusaparaverqueexp(sX(N)) es uniformemente integrable. De estas dos conclusiones se ve que E(exp(sX(N)(0, t]))E(exp(sX(N)(0, t])) 0Si bienel resultadoanterioresimportante, noessucienteparapoderaplicarel principiodecontraccionalasalida. Es necesarioque seavalidoel teorema3.8paralocual lasalidadebevericar lahipotesis 3.6. El problemaes que estahipotesis nose puede vericar enel espacio(A, |.|). Wischikdemuestraque estahipotesis se cumple usandounatopologamas debil (senotarawq)dadaporlametricad(x, y) = [Q(x) Q(y)[ +

t=11_[xtyt[2t(3.20)Teorema3.11. CaracterizaciondelasalidaentiempolargosSeasumequeX(N)satisfacelaship otesis3.5y3.6, yquedichoprocesoesestacionarioyconmediaestrictamentemenorqueC, entoncesel procesodesalida X(N)satisfaceunLDPenel espacio(A, wq)(mayorquelamediadel proceso)conlamismabuenafunci ondevelocidadqueel procesodeentrada31Lademostracionde este teoremaes unaaplicaciondel inversodel principiode contraccionprobandoque X(N)esdedecaimientoexponencialenelespacio(A, wq).Lo que demuestra Wischik es que si se agrega un ujo de la salida de un enlace, con Nujos i.i.d.con el,elanchodebandaefectivodeesteagregadocuandoNtiendeainnitoesigualalanchodebanda efectivo del agregado de Nfuentes i.i.d. de la entrada al enlace. Esto permite estudiar ciertotipoderedesporejemploredescontopologasdondealasalidadecadaenlacedenivelksetomaun ujo y se lo agrega con N 1 ujos del mismo tipo provenientes de otros enlaces de ese nivel, yese agregado independiente se usa como entrada a un enlace de nivel k+1. Este resultado no implicaqueel anchodebandaefectivodelasalidaagregadaseaigual al anchodebandaefectivodelaentrada agregada, ya que los ujos a la salida de un enlace presentan dependencia por pasar por elbuer. Por este motivo la potencialidad de estos resultados en su aplicacion a una red son limitados.Enlasiguienteseccionseanalizaraunaasintoticaquebrindararesultadosmasinteresantesparaesten.3.5. Laasintoticademuchasfuentesybuerpeque noEnestaseccionseanalizarauntrabajodeOzturk, MazumdaryLikhanov[116]. Apartirdeeste trabajo, se realizaraenel siguiente captulounestudioque permite simplicar el analisisdedesempe noplanteadopor estos autores yencontrar condiciones bajolas cuales esteanalisissimplicado da resultados exactos. Ademas se encontraran cotas del error para los casos donde esteanalisisnoderesultadosexactos.Enel trabajodeOzturketal. seestudiaunaredconenlacesconmuchasfuentes, dondelacapacidaddelenlaceseescalaproporcionalmentealcrecimientodelasfuentes,peroeltama nodelbuervericaqueB(N)/N 0cuandolacantidaddefuentesNtiendeainnito.3.5.1. Analisisdedesempe nodeunaredalimentadapormuchosujosybuerpeque noAcontinuacionseresumenlosprincipalesresultadosdeltrabajodeOzturketal.[116].Seconsideraunaredentiempodiscreto, lacapacidaddel nodokesNCkyel tracoquenopuede ser servido se almacena en un buer FIFO de tama no Bk(N) con Bk(N)/N 0 con N .Eltracoquenopuedeserservido,sielbuerestallenosedescarta.AlareddeKenlacesarribatraco de Mtipos de fuentes. El traco de cada clase (tipo) es independiente del de todas las otrasclases,peronoseasumeporahoraindependenciadentrodecadaclase.Xm,Nk,tes la cantidad de trabajo que arriba de Nfuentes de tipo m, al enlace k, en el instante t.Cuando se nota Xm,Ntse hace referencia al traco que arriba a la red de la clase m en el instante t.Elprocesodetracodeentradaalaredparatodaslasclasesesestacionarioyergodico.Se llamara Xm,Nk(0, t), al trabajo acumulado de Nfuentes de tipo m en el enlace k en el intervalo(0,t).SenotaXm,N(0, t)cuandocorrespondealtracodeentradaalared.SeaNm= E(Xm,N0)/N.SeasumiraquelmNNm=m.SeasumiraqueXm,N(0, t)/NsatisfaceunLDPconbuena32funciondevelocidadIXmt(x):nfxoIXmt(x) lminfN1Nlog P(Xm,N(0, t)/N ) (3.21) lmsupN1Nlog P(Xm,N(0, t)/N ) nfxIXmt(x)donde ResunconjuntodeBorelconinterioroyclausuraeIXmt(x) :R [0, )esunafuncion continua con conjuntos de nivel compactos. No se hacen hipotesis sobre la independencia yequidistribuciondelasfuentesdentrodecadaclase.SilasXm,N(0, t)soni.i.d.comoenelregimenasintoticodemuchasfuentes,elLDP3.21valeporCramer,peroestonoesunaexigenciaenestetrabajo.Seasumetambienunacondiciontecnicaquesevericaparalosmodelosdetracodeinteres:Paratodomya > m,lminftIXmt(at)log t> 0Seasumequelaredtieneunruteojoysinbucles.Eltipodetr acomtieneuncaminoenlaredrepresentadoporel vectorkm=(km1, ...., kmlm), dondekmi(1, .., K). El conjunto /k= m:kmi= k, 1 i lmdenotaralostiposdetracoquepasanatravesdelnodok.Seasumeque

mMkm< Ckesdecirquetodaslascolassonestables.Teorema3.12. Existeunafunci oncontinuagmk:RMRquerelacionalavelocidadinstant aneadel tr acodeentradaal nodok, paralaclasedetr acom, conlasvelocidadesinstant aneasdetodoslostiposdetr acoexternosdeentradaalaredtal que:Xm,Nk,0/N= gmk(X1,N0/N, ..., XM,N0/N) +o(1) (3.22)bajolahip otesisdeestabilidad3.22,laprobabilidaddedesbordedel buervienedadapor:lmN1Nlog P(desborde en el nodo k) = Ik= (3.23)nfM

m=1IXm1(xm) : x = (xm) RM,M

m=1gmk(x) > Ck (3.24)Severaacontinuacionunesbozodelademostraciondeesteteorema.Esteteoremasebasaendos puntos. El primero es encontrar la forma de la funcion gmky ver que siempre existe. El segundoes usando esta funcion aplicar el principio de contraccion para obtener el LDP sobre la probabilidaddeperdidaapartirdel LDPdelasentradasalared. Paraobtenerlafunciongmk, seanalizaunenlacejcualquieradelaredysellamaraXm,Nj,0(Ym,Nj,0)altracoinstantaneodetipomentrante(saliente)alenlacej.Sedeneparan = 1, ..., Mlafuncionfn(x1, ...xM, y) =xnymax(

Mi=1xi, y)(3.25)33Como el buer es FIFO, si no hay otras hipotesis sobre diferenciacion entre las clases, la capacidaddel enlacesellenaenproporcionalacantidaddetracoquearribadecadaclase. Si el buerenel nodoj estavacoent= 1, entonceslacantidaddecapacidadusadaporXn,Nj,0seraigual afn(x1, ...xM, NCj).Sielbuernoestavaco,lacapacidadequivalentemnimadisponibleeneseinstanteseralacapacidaddel enlacemenosel tama nodel buer. Porlotantoel peorcasoparalacantidaddetracodelaclasenquesaledel enlacejenunciertoinstanteescuandoel buerestallenoperonotienetracodeestaclase:Yn,Nj,0 fn(X1,Nj,0, ..., XM,Nj,0, NCj Bj(N)) (3.26) fn(X1,Nj,0, ..., XM,Nj,0, NCj) Bj(N) (3.27)donde la ultima desigualdad se puede vericar simplemente realizando operaciones. Por otra parte,lasalidavericaqueYn,Nj,0 fn(X1,Nj,0, ..., XM,Nj,0, NCj) +Bj(N) (3.28)ya que el peor caso es que el buer estuviera lleno solo de traco de tipo n y el resto se cubrieraenproporcionalacantidadinstantaneadel tracodetiponsobreel total detracoinstantaneoarribado.Relacionandoambasecuaciones,dividiendoentreN,sellegaaque:Yn,Nj,0/N= fn(X1,Nj,0/N, ..., XM,Nj,0/N, Cj) +o(1) (3.29)Paraobtener lafuncionque relacionael tracode entradaaunnodokXm,Nk,0yel tracoexterno de entrada a la red Xm,N0, si la red es feed-forward, esto se deriva de aplicar sucesivamentedeafuerahaciaadentroel resultadoanterior. Lasredesqueinteresanalosefectospracticossonengeneral feed-forward. Ozturketal. demuestranlaexistenciadetal funciona unpararedesnonecesariamentefeed-forward.Noseveraeldetalledeesapartedelademostracionyseutilizaraelresultadopararedesfeed-forward.DadalaexistenciadelafunciongmksededuciraelLDPparalaprobabilidad de perdida. Como notan los autores, la funci on gmken general no es facil de encontrar,perosi laredesfeed-forwardsepuedecalcular componiendolasfn, enotroscasosesa unmascomplicadadecalcular.SeobservaquedelresultadoanterioryaplicandoelprincipiodecontraccionseobtieneelLDPparaXm,Nk,0,lacualsatisfaceunLDPconbuenafunciondevelocidad:IXmk1(y) = nf_M

n=1IXn1(xn) : x = (xn) RM, gmk(x1, ...xM) = y_(3.30)Observarqueentreclaseshayindependencia.Se considera ahora la entrada total al nodo k, que se notara ZNky se dene gk=

mMkgmk(x),entoncesZNk,0/N= gk(X10/N, ..., XM0/N)ysatisfaceunLDPconbuenafunciondevelocidad:IZk1(y) = nf_M

n=1IXn1(xn) : x = (xn) RM, gk(x1, ...xM) = y_(3.31)34Apartirdeestaecuacion, yoperandoseobtienelacotasuperioreinferiordelaprobabilidaddeperdida,llegandoalresultadodelteorema3.12.El resultado3.31muestraqueenunaredconbuerspeque nos, parauntipodetracom, lafunciondevelocidaddel tracodeesetipodefuentealaentradaacualquiernodointernodelareddependenosolodelafunciondevelocidadexternadeesafuente, sinotambiendetodaslasdemasfuentes,ademasdelosparametrosytopologadelared.Esdecirqueenelcasogeneral,elanchodebandaefectivodeunagregadodefuentesdeunciertotipoa unenestecasodebuerspeque nosnosepreserva,sinoquealatravesarlosnodossemodicaporquesegeneradependenciaconlasdemasfuentes.Por ultimoOzturketal.denenelratiodeperdidasdeunaclasedefuentesalatravesarlaredyanalizanlaregiondeaceptacionparaasegurarqueelratiodeperdidasdecadaclasedefuentesestepordebajodelosnivelesdeQoSrequeridosparacadauna.Para cada traco de entrada de tipo m se dene Lm,Nllamado ratio total de perdidas. Se denecomoelratioentreelvaloresperadodebitsperdidosentodoslosnodosalolargodesurutaylamediaenbitsdeltracodeentradadeesetipo.Searmelconjuntodenodosporlosquepasalarutadeltracom.EntoncesLm,N=

krmLm,NkE[Xm,Nt](3.32)dondeLm,Nkeselvaloresperadodebitsperdidosenelnodok,paraeltracomdenidocomoLm,Nk= E[(Xm,Nk,t+Qm,Nk,t1Cm,Nk,t)+Qm,Nk,t] (3.33)ApartirdeestaexpresionoperandosedemuestraqueTeorema3.13.lmN1Nlog Lm.N= mnkrmIk(3.34)Esteteoremapermiteconociendolafuncionvelocidaddelaprobabilidaddeperdidaencadanododelaredconocerlafuncionvelocidaddelratiodeperdidadepuntaapuntadecadatipodetraco.El ultimoresultadodeestetrabajoqueseutilizaraenelcaptuloproximosereerealaregionde aceptacion de un conjunto de ujos en la red. La red aceptara una cantidad de ujos que arribansicumplenconlosrequerimientosdecalidaddeservicio.SeasumequeXm,NeslasumadeNprocesosi.i.d. Enestahipotesissedenelaregiondeaceptacion que se notara T. Esta region corresponde a la coleccion nmMm=1de fuentes que cuandoestan presentes en la red resulta en que cada clase cumple sus requerimientos de QoS sobre el ratiodeperdidas:T = (nm), m = 1, ..., M: lmN1Nlog Lm.N< m (3.35)Mazumdarestableceunacondicionsobrelaregiondeaceptacionqueseutilizaraenel proximocaptulo:35Teorema3.14. Sea Tla regi on de aceptaci on para (nm) denida antes. Se considera la red cticiadondeXm,Nllegaacadanododesucaminosinserafectadoporlosnodosanterioresaesenodoysea T,laregi ondeaceptaci onenestecaso.Entonces,T T (3.36)EsteTeoremaesunadelasbasesdeestatesisyaquepermitetrabajarconlaredcticiayestarsegurosquenosesubestimarael ratiodeperdidas. EstopermitetomardecisionesbasadosenelanalisisdelaredcticiayestarsegurosquesevericanlosrequerimientosdeQoSdelaredreal. Puedesucederquesesobrestimenlasperdidas. Porestarazonseanalizaracondetalleenelcaptulo siguiente la red cticia y se encontraran condiciones bajo las cuales el analisis sobre la redcticiaesexacto. Esteestudiopermitiratambienentendercuandoel analisissobrelaredcticianoesexactodequedependelamagnituddelerroryencontrarcotasparaelmismo.3.6. ConclusionesEnestecaptulo, serealizounarese nadelos principales resultados delateoradegrandesdesvosqueseutilizanenelanalisisderedes.Posteriormente,estudiarondiferentesasintoticasdelateoradegrandesdesvosparaelanalisisdedesempe nodeunareddetelecomunicaciones.Dosdeestasasintoticas(muchasfuentesymuchasfuentesconbuerpeque no) sepuedenaplicaralanalisisdeunenlacedel corazondelared. Laotraasintotica(laasintoticadebuergrande)sepuede aplicar fundamentalmente a un enlace en la red de acceso. En cuanto a la aplicacion de estastecnicasal analisisdedesempe nodeuncaminoynosolodeunenlace, el resultadomasgeneralseobtieneenlaasintoticademuchasfuentesybuerpeque no. Enestecontextosurgeel analisismedianteelmetododelaredcticia,queseestudiaracondetalleenelproximocaptulodondesepresentaranalgunosresultadosdelatesisenestaarea.Captulo4Analisismedianteelmetododelaredcticia4.1. ElanalisismediantelaredcticiaEn el captulo anterior se analizo el trabajo de Ozturk et al. [116]. Este trabajo permite analizarlaprobabilidaddedesbordedecualquierenlaceenunaredycalcularel ratiodeperdidasenuncamino.Sinembargo,parapoderhacerloesnecesariocalcularrecursivamenteciertasfuncionesencadaenlacedelaredyestorepresentaunadicultadcomputacional paraaplicarestemetodoenlnea,porejemplopararealizarcontroldeadmisionasegurandoQoSdeextremoaextremo.ComosemencionoantesOzturketal.introducenlaideadelaredcticia.Laredcticiaesunaredconla misma topologa que la real pero donde cada ujo llega a cada enlace interior como si los enlacesanterioresenlarednolohubieranmodicado.Ozturketal.pruebanquelaregiondeadmisiondelaredcticiaestacontenidaenlaregiondeadmisiondelaredreal.Esdecir,quesiseutilizaestasimplicacionsetendralaseguridadquelosujosqueseaceptenvanacumplirlosrequerimientosdeQoS(comofunciondel ratiodeperdida). Loquepodrasucederesquenoseaceptaranmasconexionessiendoposiblehacerlo.Enlaredcticia,conociendoqueagregadosdeujosatraviesancadaenlaceyunaestimaciondel anchodebandaefectivoalaentradaalareddecadaagregado(quedenelafuncionvelocidaddel grandesvo), esposibleconocerlaprobabilidaddedesbordedecualquierbuerinteriordelaredyportantoel ratiodeperdidadecualquiercamino. Si seconoceel anchodebandaefectivodecadaagregadodeujosqueatraviesaunenlace, lafunciondevelocidaddeldesbordedelbuereneseenlaceksecalculacomo:Ik1(x) = sups>0__sx s

XmkXm(s, 1)__Este metodo basado en la red cticia es facil de implementar y puede ser utilizado para controlde admision en lnea. El problema es cuanto sobreestima la red cticia la probabilidad de desbordede un buer con respecto a dicha probabilidad calculada en la red real. Por lo tanto se analizara enestecaptuloenquecondicioneselanalisisdelaredcticiacoincideconeldelaredreal.Tambienseanalizara,cuandoestosanalisisnocoinciden,cualeslamagnituddelerrorquesecomete.3637Un caso particular de este problema ha sido estudiado por Casellas [29]. Casellas estudia el casode una red con dos nodos donde al segundo nodo solo llega un agregado del traco del primer nodo.Los resultados que se demuestran en este captulo son generales para cualquier red. El resultado deCasellassepuedededucircomouncasoparticulardelobtenidoenestecaptulo.Losresultadosdeestecaptulofueronpublicadosen[16,17].4.2. Condiciones ycotas del error usando el analisis de la redcticia4.2.1. IntroduccionSe estudiara un enlace interior Ka la red como en el trabajo de Ozturk et al.. Sea /el conjuntodetiposdetracoqueaccedenalaredy /iel subconjuntodeestostiposdetracoquepasanporel enlacei. SellamaraXi,Nk(0, t), al trabajoacumuladodeNfuentesdetipoienel enlacekenelintervalo(0,t).SenotaXi,N(0, t)cuandocorrespondealtracodeentradaalared.Enlaredreal,lafunciondevelocidaddelaprobabilidadde desbordedelbuerenelenlaceKes:IRK=nf_

iMIXi1(xi) :

iMgi(x) > CK,x = (xi)iM_(4.1)Enlaredcticiaestafuncionvienedadapor:IFK=nf___

iMKIXi1(xi) :

iMKxi> CK,x = (xi)iMK___(4.2)Se asumira que cada tipo de traco es un agregado de Nfuentes i.i.d. Esta hipotesis tiene comoconsecuencia que la funcion de velocidad IXm1es convexa y que IXi1(i) = 0 siendo i= lmNNidonde Ni= E(Xi,N)/N. Los problemas de las ecuaciones 4.1 y 4.2, son problemas de optimizacionconrestricciones. El segundotienecomoventajaquelasrestriccionessonlineales. LasfuncionesIXi1soncontinuas, entoncessepuedenresolverlossiguientesproblemascorrespondientesalaredrealyalacticiarespectivamente.(PR)___mn

iMIXi1(xi)

iMgi(x) CK(PF)___mn

iMKIXi1(xi)

iMKxi CKDenici on4.1. Dadosdosproblemasdeoptimizaci on(P1)_mn f1(x)x D1and (P2)_mn f2(x)x D2P2sedenominaunarelajaci ondeP1siD1 D2yf2(x) f1(x) x D1.38Acontinuacionseenunciaunteoremaclasicodeoptimizacionqueseutilizaraparaprobarlosresultadosdeestecaptulo.Teorema 4.1.Si P2 es una relajaci on de P1 y x2 es optimo de P2 tal que x2 D1 y f2(x2) = f1(x2),entoncesx2es optimodeP1.Demostraci on. f1(x2) =f2(x2) f2(x) f1(x) x D1 D2, entonces x2es optimodeP1porqueminimizaf1yperteneceaD1.4.2.2. CondicionsucienteTeorema4.2. PFesunarelajaci ondePRDemostraci on. Dado que las funciones IXi1son no negativas, se verica que

iMKIXi1(xi) iMIXi1(xi)x = (xi)iM.Entonces,sedebeprobarque:_x :

iMgi(x) CK____x :

iMKxi CK___Pordenicion,gi(x) = 0 i/ /Kygi(x) xi i /Kentonces

iMgi(x) =

iMKgi(x)

iMKxiyporlotanto

iMKgi(x) Ckimplica

iMKxi CK.De la proposicion anterior se tiene que si un optimo del problema de la red cticia (PF)