Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la...

Independencia intertemporal en la evalucación de perfiles de salud. Ana María Guerrero Agós.

Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1999

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Independencia intertemporal en

la evaluación de perfrles de

salud

C¡. rJ V ü

Septiembre de 1999

Proyecto de tesis que para optar a ser Doctora en

Economía, presenta Anu Muríu Guerrero Agós.

Dirigida por la Doctora Carmen Herrero Blanco.

Departamento de Fundamentos del Análisis EconómicoUniversidad de Alicante



A mis padres y hermano



Mide lo que se pueda medir, y lo que no se pueda medir,

hazlo medible.

Galileo Galilei (1564-1642)



Agradecimientos

Agndezco muy especialmente a mi directora de tesis, Carmen Herrero, todo el apoyo queme ha prestado, tanto en el terreno académico como en el personal, durante la realizaciónde esta tesis. En los comienzos, ella logró encaminarme en la dirección que deseaba, peroque no alcanzaba a ver con nitidez. Su guía fue imprescindible en la elaboración de estatesis. Nunca le estaré lo suficientemente agradecida por haber depositado su confianza enmí y haberme ayudado a descubrir un tema económico tan interesante como el deEconomía de la Salud. Ha sido un placer trabajar con alguien que a cada instante transmiteuna extremada vitalidad y posee un gran espíritu luchador que me impulsó en todomomento a continuar mejorando. Ahora sé que una cualidad como la paciencia, que ellatanto me recalcó a 1o largo de todo el trabajo, debe de ocupar uno de los lugaresprimordiales en el área de la investigación.

Agradecer también a todos los miembros del Departamento de Fundamentos del AnálisisEconómico por haberme brindado la magnífica oportunidad de "impregnarme" de lasteorías y discusiones económicas que circulan por su atmósfera. Mi participación en elprogr¿Ima de doctorado Q.E.D ha sido toda una experiencia que me ha aportado una gransolidez en mi formación académica y personal. Gracias también a la Universidad de Viena,con Manfred Nermuth como coordinador principal, por su grata acogida.

Los comentarios de Han Bleichrodt y los profesores Juan Cabasés y José Luis Pinto hansido muy valiosos enlarealización de esta tesis. Gracias.

Además agradezco a los coordinadores de las asignaturas que he impartido por haber estadoen todo momento dispuestos a prestarme su ayuda de manera incondicional y en especial aaquel con el que más tiempo trabajé, Ignacio Jiménez Raneda, siendo un placer colaborarcon é1.

Creo que es también necesario mencionar la financiación que el tnstituto Valenciano deInvestigaciones Económicas (IVIE) me ha ofrecido.

Un agradecimiento muy cariñoso para mis queridos amigos Guadalupe y Pablo quesupieron "aguantarme" en los momentos mas delicados y que constituyeron el gran soporteemocional de mi trayectoria en este doctorado. Sé que sin ellos nada habría sido igual.Igualmente agradezco a Carlos el buen hacer que demostró conmigo en todo 1o referente al"desafiante" mundo de la informática v vo.



Indice

Capítulo 1

Introducción

1.1 Evaluación de perfiles de salud basada en el QALY

1.1.1 Estados de salud crónicos

1.1.2 Estados de salud no crónicos

I.l.2.l Preferencias en certidumbre

I.1.2.2 Preferencias en incertidurnbre

1.2 Cnticas y avance del contenido

Capítulo 2

Independencia General en las Preferencias en la evaluación

de perfiles de salud

Resumen

2.1 Introducción

2.2ElModelo

2.2.1 Prcferencias Intertemporales en incertidumbre

2.2.2 Preferencias Condicionadas

2.3 Resultados de Representación

2.4Interpretación

2.5 Conclusión

Capítulo 3

Evaluación de perfiles de salud con horizonte temporal variable

Resumen

3.1 Introducción

3.2BlModelo

3.2. 1 Preferencias Intertemporales baj o Incertidumbre

3 .2.2 Prcferencias Condicionadas

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6

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3.3 Función de Utilidad Semiseparable

3.3. 1 Resultados de Representacíón

3.3.2Interpretación

3.4 Horizonte temporal fijo: estructura condicional aditiva

3.4.1 Función de Utilidad Multilineal con horizonte temporal fijo

3.4.2 Larepresentación Condicional Aditiva

3.5 Función de Utilidad tipo QALY con horizonte temporal variable

3.6 Conclusión

Apéndice

Capítulo 4

Independencia Mutua vs Independencia Restringida en

las Preferencias

Resumen

4.1 Introducción

4.2Método

4.2.1 Sujetos

4.2.2Estados de Salud

4.2.3 Diseño y Materiales

4.2.4Procedimiento

4.3 Resultados

4.3. I Análisis agregado

4.3 .2 Análisis individual

4.4 Conclusión

Apéndice 1

Apéndice 2

Apéndice 3

Bibliografía

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Capítulo 1Introducción

1.1 Evaluación de perfiles de salud basada en el QALY

Un tema clave en el análisis de medidas de política sanitaria lo constituye la valoración deperfiles de salud, tanto a nivel individual, como a nivel social. En la literatura de economla dela salud, una forma tradicional de abordar el tema ha sido el desarrollar funciones valorativasde los perfiles de salud de los individuos a partir de sus preferencias. Desde el punto de vistaindividual, hay dos tipos de lfneas de trabajo bien diferenciadas. Por una paxte, una serieamplia de trabajos considera estados de salud crónicos, esto es, en todos los periodos de suvida el individuo disfruta (o padece) idéntico estado de salud, y después muere. Una segundallnea de la literatura analiza perfiles de salud donde a lo largo de los distintos periodos devida de un individuo éste disfruta de diferentes estados de salud. Este segundo enfoque, másgeneral, contiene, como caso particula6 la valoración de estados crónicos.

En el análisis y valoración de estados crónicos, aparece la medida "QALY" (Quality Ad-justed Life Years), expresada como una función de utilidad individual, del tipo von Neumanny Morgenstem, cuyos argumentos son la calidad de vida que proporciona el estado de saludcrónico concreto y la duración de la vida. Los primeros autores que establecieron condicionespara la caracterización de los QALYs en este contexto fueron Plinskin, Shepard y Weinstein(1980). Dicha caractenzación se basa en supuestos tales como la neutralidad al riesgo de losindividuos en la duración de sus vidas, la independencia en utilidad de los dos atributos, cali-dad de vida y duración de vid4 y el de intercambio proporcional constante en la duración dela vida. Este tipo de literatura ha sido objeto de diversas críticas. Enfe ellas, cabe destacarlas realizadas por Loomes y McKenzie (1989) y por Mehrez y Gafti (1989). Fundamen-talmente, estos autores arguyen que la formulación QALY está sujeta a supuestos sobre laspreferencias individuales que resultan extremadamente restrictivos en la toma de decisiones.Mehrez y Gafti (1989) propusieron incluso una nueva formulación para valorar los estadosde salud crónicos, la medida HYEs, definida como los años en perfecta salud equivalentespara un perfil de salud determinado.

Sin embargo, las críticas no han destruido la preeminencia del QALY como medida ha-bitual para el caso crónico. Este hechojustifica el que determinados autores hayan buscadojustificaciones alternativas de la formulación QALY basadas en axiomas sobre las preferen-cias menos restrictivos y más acordes con la valoración de estados de salud crónicos que lospresentados en Plinskin, Shepard y Weinstein (1980). En esta línea destaca el estudio de Ble-ichrodt, Wrkker y Johanesson (1997), donde se recupera la forma funcional del QALY asum-iendo neutralidad al riesgo en la duración de la vida y una condición "natural" en el contextode salud. La condición de Bleichrodt et al., no obstante, no deja de presentar problemas for-males, pues paxa su infoducción es necesario ampliar el espacio de referencia. Finalmente,Ried (1997), ampliando el conjunto de estados de salud a aquellos que pudieran ser consid-



Introducción

erados peores que la muerte, e imponiendo una propiedad más débil que la de Independenciaen Utilidad, y denominada Independencia General en Utilidad, obtiene una nueva racional-ización del QALY que no presenta los problemas anteriormente citados.

La segunda vía de análisis, como ya se ha mencionado, considera que los perfiles de saludpueden constar de distintos tipos de atibutos (estados de salud) en cada periodo. Esta lit-eratura, mucho menos extensa que la primera, pero siguiendo una metodologla similar, de-sanolla funciones de utilidad cuyos argumentos son los estados de salud producidos en cadaperiodo de vida del individuo. En este contexto, la formulación QALY lleva a valorar los per-files de salud mediante una función de utilidad aditiva, de forma que la valoración de un perfiles la suma de las valoraciones de los diferentes estados de salud en cada periodo de vida delindividuo.

Al igual que ocurre en el caso crónico, la racionalización de dicha forma de valorar perfilesde salud se ha intentado basar en teorlas sobre preferencias. El estudio que sistematiza losresultados biásicos del caso general es el de Bleichrodt y Gafti (1996).

En este capítulo se revisa la literatura existente sobre la racionalización del QALY tantopara estados crónicos como no crónicos. indicando los trabajos principales que han con-tribuido a sustentar este tipo de formulación. La Sección 2 recoge las críticas más relevantesy avanza el contenido de la tesis.

1.1.1 Estados de salud crónicos

Revisamos en esta sección los diferentes modelos que dan origen al modelo QALY para esta-dos crónicos. En la literatura han aparecido dos marcos distintos en la valoración de perfilescrónicos: uno es aquel en el que la muerte es considerada como peor estado de salud [Ble-ichrodt y Gafrri (1996), Bleichrodt et al. (1997)l y otro en el que son factibles estados crónicospeores que la muerte fRied (1997)]. Además en el primer marco Bleichrodt et al. reducenla cantidad de supuestos que hasta entonces hablan sido necesarios para obtener el modeloQALY y que corresponden a las condiciones impuestas por Plinskin, Shepard y V/einstein(1e80).

Comenzamos definiendo los elementos notacionales comunes a los diferentes modelos.Sea r el estado de salud (o calidad de vida) crónica y ? la duración de vida del individuo.

Se asume que las funciones de utilidad definidas en las siguientes secciones sobre estos dosargumentos son del tipo von Neumann y Morgenstern. Los estados de salud toman valores enun continuo r e lg, s*) : X común a todos los periodos de vida donde q representa el estadopeor de salud. Un "estado de salud" especial es la muerte, que será designado c0. Según elmodelo que se considere, puede suceder eue g : c0, o bien que q sea *peor" que la muerte(en las preferencias del individuo). Por otra parte, r* representa el estado de salud perfecto

Plinskin J.S, Shepard D.S y Weinstein M.C (1980)Estos autores consideran gue [4, r*l : Xrdondeg : r0. Sea Z : X x {L,2,... rT},

de modo que los elementos de Z sonde la forma (r,ú), con r € X,y ú e {1, 2,...,7}. Elpar (r, ú) representa un estado de salud crónico: el agente sufre el estado de salud r duranteú años, y luego muere. Sea 4 el espacio de loterías sobre Z. Consideran que los individuos



Evaluación de perfiles de salud basada en el QALY

tienen preferencias sobre .C, denotadas por ¡ . Imponen las siguientes condiciones sobre laspreferencias:

Independencía en Utilidad de X y {I,2, . .. , ?}: las preferencias sobre loterías en la calidadde vida (duración de vida) cuando la duración de vidatoma un nivel determinado (la calidadde la vida se fija a un nivel determinado) son invariantes con respecto a la particular duraciónde vida (al particular nivel de calidad de vida). Entonces, ? es independiente en Utilidad deX s i V r , d e X , t , t t e { L , 2 , . . . , 7 } ,

(" , t ) >- (r ' , t ) ¿ (r , t ' ) l , (* ' , t ' )

y de manera similar se puede expresar esta condición para X es lndependiente en Utilidad deT.

La propiedad de lndependencia en Utilidad de r y {1,2, . . . ,T) y sus implicaciones sobrela forma funcional de las funciones de utilidad cuyos argumentos cumplen dicha propiedadse estudian ampliamente en Fishburn Q97$; Fishburn y Keeney Q970; Fishbum y Keeney(1975); Keeney y Raiffa (1976).

Intercambio proporcional constante: la proporción de años que el individuo está dispuesto arenunciar por una deterrninada mejora en su calidad de vida es invariante con respecto a la du-ración de vida. De otra manera, las preferencias por salud satisfacen .In tercambio proporcionalconstante, si para estados de salud crónicos mejores que la muerte:

(a,t) - (a* ,at) Vú € {1,2,. . . ,TI , para algún a ) 0

Neutralidad al riesgo en Ia duración de vida: el individuo es indiferente entre una lotería so-bre la duración de su vida y la esperanza en la duración de la vida de esa lotería para cualquiercalidad de vida fijada. Otra manera de expresarlo es que la siguiente relación de indiferenciase cumple para cualquier estado de salud, r,

(L, (pt + (1 - p)¿')) - , (p, t ; (L - p), t ' )

conpy (t -p) la probabilidad de vivir ú y t'periodos respectivamente y 1 la probabilidad devivir (pú + (1 - p)t') periodos.

De estos tres supuestos se deriva la existencia de una función de utilidad Von NeumannMorgenstem sobre el espacio X x {L,2, . . . ,T},U : X x {1,2, . . . ,T} - lR, cuyaesperanzarepresenta f,, y con una forma funcional que racionaliza el modelo QALY

U ( r , t ) : V ( t ) ' t

donde V(r) representa una constante positiva que sólo depende del estado de salud r.

Bleichrodt et al. (1997)Estos autores comienzan introduciendo un nuevo elemento en el espacio temporal, es decir,

en lugar de considerar, como Plinskin, Shepard y Weinstein (1980) el espacio Z : X x



Introducción

{L,2,. . . ,?}, consideraY : X x {0, I ,2, . . . ,?}. Adicionalmente, introduceunanuevapropiedad de naturaleza médica denominada Condición 0, que simplemente exige que, parauna duración de vida nula, todos los niveles de salud o de calidad de vida son equivalentes,es decir,

Condición 0: Para todo n,nt e X, (r,0) - (r',0).

La condición 0 implica que

U(r,0) : C, es constante Para todo r

En particular, y bajo los axiomas vNM, se puede asumir que C(r) : g.

Asumiendo la Condición 0 y la propiedad de Neutralidad individual al riesgo en la du-ración de Ia vida, Bleichrodt et al. obtienen la misma forma fi¡ncional (multiplicativa) ex-plicitada anteriormente para el QALY

De este modo Bleichrodt et al. deducen que estas dos rlltimas condiciones implican las an-teriores de Independencia en Utilidad entre X y {0,1,2,. . . ,T} e Intercambio proporcionalconstante.

Es interesante notar, entonces, que en la caracterizasión del modelo QALY por medio delas tres condiciones utilizadas por Plinskin, Shepard y Weinstein (1980), se pueden hacer unaserie de generalizaciones.

La propiedad de Infercambio proporcional constante puede ser relajada por la Condición0. La Independencia en utilidad puede ser desechada, o bien, la Neutralidad al riesgo y laIndependencia en utilidad pueden ser relajadas por la Neutralidad al riesgo para el estadode salud perfecto y la Independencia en Utilidad de la duración devida sobre la calidad devida. Es fácil probar que estas dos últimas condiciones implican quelaNeutralidad al riesgosea sostenible en todas las calidades de vida.

Esta sustentación teórica del modelo QALY es una mejor aproximación de la mediciónen salud en contextos donde se satisfaga Ia Neutralidad al riesgo. El realismo de este mod-elo podría incrementarse si en lugar de que ú designara años de vida designara años de vidadescontados o bien importancia de los años de vida. Así pues, la Neutralidad al riesgo con re-specto a los años descontados de vida se cumpliría si y solo si el modelo del QALY se satisfacecon años de vida descontados envezde con años absolutos de vida.

Ried, W (1997)Este autor, a diferencia de los anteriores, amplía el espacio de estados de salud factibles

para un individuo a algunos considerados peores que la muerte. De esta manera las preferen-cias por la duración de la vida dependerán de si el estado de salud al que se condicionan esmejor o peor que la muerte.

Adicionalmente, introduce un nuevo concepto que es menos restrictivo que el de la Inde-pendencia en Utilidad y que denomtna Independencia General en Utilidad entre la duraciónde vida y la calidad de vida. Asumiendo que los estados de salud son independientes enutilidad general de las duraciones de vida es posible dar sentido teórico ala Condición 0 in'troducida en Bleichrodt et al., que establece indiferencia completa para una duración de vida




nula. Del mismo modo si la duración de vida es independiente de manera general en utilidadde los estados de salud tendremos que, el individuo preferirá más largas duraciones de vidapara estados de salud mejores que la muerte, será indiferente con el estado de salud equiva-lente a la muerte mientras que preferirá más cortas para estados de salud peores que la muerte.

Independencia General en Utilidad entre X y {1,2,. . , ,T} : Para todo fi,n' e X, >r€{Y,, ,l},,0} siempre \ue t¡t' 0 , donde l},:1r, . Esta propiedad implica que,

U(r,t) : f (s) + s(r)h(t) con e(r) ! 0

Es fácilmente deducible que si un atributo es Independiente en Utilidad de otro tambiénsera Independiente de manera General en Utilidad, pero no a la inversa.

La interpretación que Ried hace de la propiedad de Independencia general en utilidad esla siguiente: la preferencia condicionada l,* 0, siempre que r I c0. En tal caso, dado otroestado r', se tendrá {uo Fr,:!, si rrrt son ambos mejores o peores que r0 : si ambos sonmejores que r0, el individuo prefiere vivir cuantos más años mejo6 tanto en c como en r'.Si ambos son peores que c0, el individuo prefiere vivir cuantos menos años, mejor, tanto enr como en r'. Se tendrá QUo Frr:f* cuando uno de los estados es mejor que la muerte, yel otro peor: en este caso, el individuo prefiere vivir cuantos más años mejoq si el estado esmejor que r0, y cuantos menos años mejoq si el estado es peor que o0. Finahnente,sifit : ro,se tiene euo Fr,: 0, es decir, el individuo es indiferente entre cualquier cantidad de años enque "viva' en el estado muerte.

En este caso, el modelo del QALY viene caracterizado por dos propiedades: IntercambioProporcional Constante y Neutralidad al Riesgo en dwaciones de vida en perfecta saludy enalgún estado de salud peor que la muerte. Este resultado se obtiene de probar la equivalenciaentre estas dos propiedades con la Condición 0 junto con Ia Neutralidad al Riesgo para laduración de vida en cualquier estado de salud (cuando el peor estado es la muerte), de lascuales Bleichrodt, como antes se ha señalado, obtiene la estructura multiplicativa del QALY

La propiedad de Intercambio Proporcional Constante se extiende al conjunto de estadosde salud peores que la muerte en base a la siguiente relación,

(r,t) - (s,at) Yt e T para algún a ) 0.

Por otra parte este modelo implica que los estados de salud c y la duración de vida ?son Independientes de manera General en Utilidad pero no al revés. Es decir que esta úl-tima condición es necesaria pero no suficiente en la obtención del modelo multiplicativo delQALY La propiedad de Independencia de manera General en Utilidad es equivalente a la deIntercambio Proporcional Constante sólo en el caso en que la familia de órdenes de prefer-encia condicionada a las loterlas definidas sobre la duración de vida cumplan la propiedad dehomogeneidad. Por otra parte, la condición de Neutralidad al Riesgo en la duración de vidaen los dos estados de salud antes mencionados implica la propiedad de homogeneidad.

Asf pues, la contribución más relevante del trabajo de Ried es probar que el supuesto de



Introducción

Independencia en Ia Utilidad es innecesariamente restrictivo y descuida importante informa-ción en el análisis de las preferencias para estados de salud crónicos arbitrarios.

1.1.2 Estados de salud no crónicos

En la literatura existente se analizan dos casos: en el primero, los estados de salud se producenen certidumbre y por lo tanto las preferencias recaen sobre los perfiles de salud sin riesgo; enel segundo, los estados de salud se dan en incertidumbre y las preferencias se forman sobreloterías sobre perfiles de salud. Los resultados básicos se encuentran en Bleichrodt y Gafrri(ree6).

Sea X : Xr x ... x Xr el espacio de perfiles de salud tales que X¿ es el conjunto detodos los estados de salud producidos en el periodo ú y donde ? es el número de años de vidade un cierto individuo. Para cada t, X¿ : lg,, **f , donde g - no , y r* representa el estadode salud perfecta. Se denotan los perfiles de salud como Í € X en forma vectorial tales quer : (st,.....,nT) cuyos elementoS, Í¿ € X¿ representan el estado de salud producido en elper iodotcont :L , . . ,7 .

El agente posee una relación de preferencias f, sobre X, y se supone que f, es un ordendébil continuo. Se denota por (r-¿a) al perfil de salud n corr Í¡ sustituido por o. De igualm¿mera (r-¿,¿,ap) denota el perfil de salud r coÍ r¿ sustituido por a y r¿, sustituido por É.

1.1.2.1 Preferencias en certidumbre En esta sección describimos las condiciones sobrelas preferencias individuales que garantizan que la función de utilidad se pueda expresax comoel modelo del QALY

V(r) :ELrV(" ' )

donde V es una función de valoración tal que si r f, gr, entonces V(*) 2 V(A) V si r I y,entonces V(r) > V(y).

En este contexto se considera que el conjunto de estados de salud X¿ posibles en cadaperiodo forman un continuo, común a todos los periodos.

Los supuestos necesarios para obtener la expresión anterior son:

Independencia Mutua en las Preferencias (ente los conjuntos de estados de salud en cadaperiodo Xr). Si dos alternativas tienen un estado de salud idéntico en un cierto periodo detiempo, entonces las preferencias entre estas alternativas no vendrán afectadas si el estadode salud común a las dos cambiara. Entonces, la relación de preferencias f, cumple estapropiedad si,

(, -to) L (y -r") e (r -t P) >- (U -, 0 para todo r, y, t, a, B

Preferencias estables sobre la duración de la vid4 es decir u :'ut para todo ú.

Factores de escala idénticos, es decir las mejoras en salud son igualmente importantes entodos los periodos.




De otro modo los factores escala afectarían de la siguiente manera a la formulación ante-rior,

V( r ) :EL¡ rV( r r )

Preferencias intertemporalesEn este contexto se pueden derivar t¿mbién funciones de valoración de perfiles de salud

cuando el individuo considera importante el tiempo y tal temporalidad influye en sus prefer-encias. Normalmente el momento temporal se incluye en la valoración de perhles de saludmediante una tasa de descuento que afecta de distinta manera a las valoraciones de los es-tados de salud en cada periodo. Pa¡a derivar la función de utilidad descontada, a una tasaconstante, de los perfiles de salud, se asumen las siguientes propiedades sobre la relación depreferencias:

Independencia Mutua en las Preferenc¡'as si

(*-ro) f, (y-ro) e (r-t/) L (u-til para todo r,y,t,a, B

Independencia cardinal coordinada si

(*-to) í (a-r/) , y (s-tl) >- (y-r6) , y (a-¿,a) 7 (w-uil implica (u-t,l) >- (.-u6)

Esta propiedad garantiza que los intercambios entre estados de salud en los diferentes peri-odos no sean contradictorios. Asimismo, esta propiedad implica que el orden de preferenciases persistente, es decir,

(r-to) f, ("-t0) e (y-ta) L (y-r\ para todo r,y,a, B,t,t'

Impaciencia. Si se prefiere que los estados de salud más favorables ocrilran antes a más tarde.Expresada de manera general,

aa B # (r-¡ ,¿a1a,9l-r-r , r+t/ ,q)

Estacionariedad. Siparauna alternativa constante r, existen estados de salud a y B tales quepara todos los periodos ü,

@-r0 - (t-t+ta)

es deci4 el intercambio entre estados de salud producidos en diferentes periodos de tiempodepende solo de la diferencia en el tiempo de ocurrencia y no en el en el tiempo exacto en queoculTan.

Preferencias completas sobre X. La relación de preferencias constituye un orden débil ycontinuo.



Introducción

De estos supuestos se deriva [véase Bleichrodt y Gatri (1996), Teorema 7.1], que existeuna única tasa de descuento 0 < r ( 1 y una función continua V : X¿ -+ IR. tal que larelación de preferencias f, sobre el conjunto de perfiles de salud puede ser representada por,

W(r) : Ef,:¡rt-Lv(r¿)

1.1.2.2 Preferencias en incertidumbre En este contexto, las preferencias se definen so-bre loterfas en el conjunto de perfiles de salud. Sea Z el conjunto de distribuciones de prob-abilidad (loterlas) sobre X. Los elementos de Z son denotados por las letras mayúsculasP, Q, ..etc. Las loterías que se derivan de las anteriores sobre X¿ son denotadas por P¿, Q¿..efccomo las distribuciones de probabilidad marginal. Se asume q¡ue Lz satisface los axiomasde von Neumann Morgenstem. Estos axiomas son suficientes para la existencia de una fun-cióncardinalU: X ---+ IR,cuyaesperanza representaf,2.EnlateorfadelautilidadvNMelconjunto Z contiene todas las distribuciones de probabilidad degeneradas que asignan proba-bilidad I a un cierto perfil. Esto induce una relación de preferencias f, sobre X. Observamosque U representa f,.

En este contexto se aplica la propiedad de Independencia Mutua en Utilidad, que es se-mejante a la propiedad de Independencia Mutua en las Preferencias, sólo que la primera seaplica al conjunto de loterías sobre perfiles de salud mientras que la segunda sólo se aplica alos perfiles de salud directamente. Así pues, estableciendo el supuesto de Independencia Mu-tua en Utilidad entre todos los conjuntos de estados de salud posibles en cada periodo, X¿, sededuce [véase Keeney y Raiffa (1976), Teorema 6.1], que la función de utilidad es multilinealy como casos particulares de ella se derivan la forma aditiv4

U(r) : >!:rnrUlrr¡ si E[rk, : 1

o multiplicativa,

' 1+kU(r) : I ILr I I *kk¿tt¿(r¿) ls iELrkt+I

La función U(r) es una función de utilidad que en el caso en que se trate con loteríasdegeneradas se reduci¡ía a una función de valoración como la anteriormente utilizadaV(r)(que no es necesariamente una función de utilidad).

Una propiedad más fuerte que la Independencia Mutua en Utilidad es lallamada Inde-pendencia Adit¡va. Si se asume esta última propiedad en este contexto, la función de utilidadresultante es la aditiva. Los atributos Xr,...,X7 son aditivamente independientes si las pref-erencias sobre las loterías definidas en esos conjuntos dependen sólo de sus distribucionesde probabilidad marginal y no de las distribuciones de probabilidad conjunta. Es decir siP,Q e Z,y Pt : Qt parat : I,,.r? entonces ambas loterías, P y Q, son indiferentes en elconjunto Z, es decq P -z Q.

Si se impone esta condición, la forma funcional de la utilidad es la aditiva y estará sujetaa las siguientes restricciones:

(i)U y U¿pueden normalizarse de modo que [/(r*) : L;Ut(r*) : L;U (co) : 0; Ur ("0) :

8



Críticas y avance del contenido

0 con ro : muerte; r* : perfecta salud.

( i i ) kú : U (r9,. . , nl- t , * i , n?+t, . . , r*)

Bleichrodt propone, como una medida de compromiso entre los QALYs y los FfYEs, lafunción valorativa con la estructura multiplicativa explicitada anteriormente. Este hecho sedebe a que los HYEs aunque representan mejor las preferencias individuales, ya que son mrisgenerales, son más dificiles de calcular que los QALYs.

Además en la estructura multiplicativa de la función de utilidad,

(iii) la constante k es la solución a l. * ,t : IILr [1 * kk¿U¡(r¿)l

De esüa manera evita asumi¡ la condición de la Independencia Aditiva entre todos losestados de salud en los diferentes periodos, que es una propiedad muy restrictiva. Uno delos principales problemas que tiene esta formulación es la evaluación de las constantes es-calares k¿ para cada periodo y k. Esta cuestión podría ser simplificada asumiendo que losk¿ son iguales para cada periodo. Bajo este supuesto el método más sencillo es determinar,k1 mediante el siguiente procedimiento: a los individuos se les pregunta que expliciten laprobabilidadp* (valor de /r1) que haga indiferente el perfil (r*,r9,...,"or) cierto a la lotería

f@i,*á,. . . . ,nb),p*,(*?'*8,. . . . , r8,) ] .Seobservaqueparaobtenerotrosvaloresdek¿losindividuos deberían imaginarse perfiles del tipo ("1,.., Í9-t,rt,r9+r,..,r$) que contradi-cen totalmente la realidad.

Por ota parte los estados de salud están compuestos por varias dimensiones como movil-idad, dolor,..etc. Así pues, las fi¡rciones de utilidad Ur(rr) son funciones multiatributo endonde es flácil que se viole el supuesto de Independencia en Utilidad Mutua ya que algunosatributos pueden depender de otos.

Preferencias intertemporalesLa mayoría de los problemas donde las consideraciones de tiempo son importantes con-

llevan incertidumbre ya que en el momento actual el futuro es incierto. Así pues las prefer-encias se definen sobre el conjunto de loterías en el conjunto de perfiles de salud. El modelodel QALY descontado se obtiene de asumir que la relación de preferencias sobre el conjuntode loterías es Independiente Aditivamente cuyo significado se ha explicado anteriormente.

De este supuesto,y bajo preferencias que satisfacen los axiomas de von Neumann y Mor-genstern, se deriva [véase Bleichrodt y Gafti (1996), Teorema 7.2], que existe una única tasadedescuento0<zr (1yunafunc ióndeut i l idadvNMU;X¿- - -+ IRta lque la re lac ióndepreferencias f, sobre el conjunto de perfiles de salud puede ser representada por

U(r) : >[ :¡r t -ru(rr)

Ademas, esta función restringida a distribuciones de probabilidad degeneradas satisfacelas propiedades del apartado anterior referentes al caso de certidumbre: Independencia Mu-tua en las Preferencias, Independencia cardinal coordinqda, Impaciencia, Estacionaridad yCompletitud.



Introducción

1.2 Críticas y avance del contenido

La formulación QALY en el caso no crónico, cuando consideramos un contexto de incer-tidumbre, está basada en tres elementos estructurales: la teoría de la utilidad esperada VNM,el empleo de un espacio euclídeo de dimensión finit4 cuyos elementos son los perfiles desalud, y los supuestos de lndependencia Mutua e Independencia Aditiva en las Preferencias.

La conjunción de estos tres elementos dan lugar, en algunos c¿lsos, a inconsistencias teóri-cas en la valoración de perfiles de salud no crónicos. Así, por ejemplo, un primer problemalo constituye el hecho de que, perfiles idénticos, excepto en los "estados de salud experimen-tados con posterioridad a la muerte", puedan ser evaluados de diferente manera.

Adicionalmente, se ha criticado, desde el punto de vista de las preferencias individuales,tanto el supuesto de independencia aditiva como el de independencia mutua en las preferen-cias. No parece razonable que en la evaluación actual de los perfiles de salud, no influyanlas expectativas sobre las situaciones de salud futuras [véase Loomes y McKenzie (1989)].Finalmente, los modelos intertemporales que se han manejado hasta el momento, distan deser satisfactorios [Hall et al. (1992} Richardson et at. (1996), Krabbe y Bonsel (1998) yKuppermann et al. (1997)l

En esta tesis intentamos avanzar en la solución de algunos de estos problemas. Para ello,en un contexto intertemporal, con incertidumbre, nos cenhamos en una propiedad de inde-pendencia más débil que las mencionadas, que parece más consistente con el comportamientoindividual: independencia en las preferencias del futuro respecto al pasado.

Desde nuestro punto de vista, el marco analítico adecuado para evaluar las preferencias delos individuos por perfiles de salud no crónicos, debe ser en un contexto en donde los perfilesfuturos de salud se presentan de manera incierta. En este sentido, seguimos adoptando, ennuestro trabajo, la teoría de la utilidad de von Neumann y Morgenstern en la valoración deperfiles inciertos.

Un elemento clave de las valoraciones de perfiles no crónicos lo constituye la intertem-poralidad de las preferencias individuales para la evaluación de perhles de salud. Desde esepunto de vista, tanto el periodo en el que el individuo se propono ordenar los perfiles de saludcomo los periodos donde se producen los estados de salud futuros son relevantes. El primero,en cuanto que de alguna manera es un término separador de los estados de salud ya sufri-dos por el individuo y de los que espera padecer, con lo cual las preferencias se formulancondicionadas a un vector de salud pasado y por lo tanto ya determinado. La incorporaciónexplícita de la intertemporalidad en los términos indicados es sustancialmente diferente dela empleada en Bleich¡odt y Gafni (1996).

En la valoración completa de perfiles de salud tendremos en cuenta, simultiineamente,pasado y futuro. La división de los conjuntos de atributos de esta forma, en cada momento deltiempo, y las condiciones específicas marginales nos van a permitir obtener una formulaciónmás general que la propuesta por Bleich¡od et al (1997) y Bleichrodt y Gafui (1996).

Esta idea de la intertemporalidad en las preferencias está basada en la literatura referentea la valoración actual de rendimientos futuros inciertos, y en particular en la aproximación alproblema mencionado en el capítulo 9 de Keeney y Raiffa (1976).

Nuestra idea consiste en "identificar' los estados de salud de cualquier perfil de salud

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Criticas y avance del contenido

con los rendimientos económicos de un periodo producidos por algún tipo de inversión. Noobstante, esúa idea sólo puede ser tomada en un estadio preliminar, pues la diferencia entreambas variables (estados de salud/rendimientos económicos) es notable. Por un lado, estadosde salud como la muerte conllevarían que los estados de salud posteriores factibles en unindividuo no existan y por lo tanto no se valoren. En cambio ningún tipo de rendimiento, seacual sea su signo, influye en los siguientes tanto como p¿ra hacerlos desaparecer. Por otrolado, cuando los inversores tratan de decidir en un periodo determinado cual de entre un grupode inversiones es la más rentable sólo tienen en cuenta los rendimientos esperados firturos yaque los anteriores son inexistentes, en cambio en nuestro contexto el pasado del individuoexiste. Esta idea la explotaremos en el contexto de valoración de perfiles de salud cuando setrate de evaluar perfiles de saludfuturos en un momento determinado del tiempo.

En este contexto, relajamos el supuesto de Independencia Mutua en las preferencias, con-siderando únicamente independencia en las preferencias del futuro respecto del pasado. Estoes, que en la valoración de perfiles de salud realizada en un momento del tiempo, el individuosólo toma en consideración los estados de salud futuros, independientemente de su pasado.Este supuesto de independencia, más débil que los anteriores, se constituye en el eje de nue-stro modelo. Con é1, se obtiene una función de utilidad tipo semiseparable que generaliza elQALY y que presenta algunas peculiaridades interesantes. Por ejemplo, se obtienen tasas dedepreciación (identificables con tasas de descuento endógenas) dependientes de los estadosde salud pasados.

En el Capítulo 2, nos movemos en el marco tradicional de pefiles de duración constante(espacio euclídeo), donde la dimensión del espacio se identifica con el número máximo deaños que un individuo puede vivir. En este contexto, la muerte aparece como un estado desalud que sirve para diferenciar perfiles con longitud de vida diversa. En este contexto,además del supuesto de independencia del futuro respecto del pasado, consideramos unacondición natural, la indiferencia en los estados después de la muerte. Esta condición dice,simplemente, que perfiles de salud que coinciden antes de la muerte, deben ser indiferentes.Como consecuencia, evitamos las incongruencias teóricas sobre valoración positiva de es-tados posteriores a la muerte, ya que las tasas de depreciación para estos estados se hacennulas.

En el Capítulo 3 consideramos perfiles de salud cuya dimensión corresponde a la du-ración de la vida y por lo tanto la "muerte' ya no se considera como un posible estado desalud. En este contexto de nuevo obtenemos la formulación conseguida en el capítulo ante-rior pero asumiendo únicamente que los perfiles de salud futuros son Independientes en lasPreferencias de los ya pasados. Además recuperamos una estructura multilineal similbr a ladel modelo del QALY si además añadimos la propiedad de que los estados de salud pasadosson independientes en las Preferencias de los futuros en perfiles de salud de idéntica longi-tud de vida. Esta estructura multilineal toma una forma específica, que es la aditiva, si seañade la propiedad de Independencia Aditiva para algunos perfiles de salud. De este modoobtenemos un modelo tipo-QALY pero, a diferencia del cual, las valoraciones de los estadosde salud dependen de la duración de la vida del perfil en concreto.

En el Capítulo 4 se realiza un estudio experimental para perfiles de salud de longitudvariable que evidencia un mayor cumplimiento de la propiedad de Independencia en las Pref-

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Introducción

erencias del futuro respecto al pasado que del pasado respecto al futuro, y también, del pasadoy futuro mutuamente. Este resultado refuerza el modelo semiseparable.

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Capítulo 2Independencia General en las Preferen-cias en la evaluación de perfiles de saludlResumen

En este capítulo se obtiene una generalización del modelo QALY para perfiles de saludgenerales. Los principales responsables de la representación resultante son dos supuestossobre las preferencias intertemporales, naturales en Ia evaluación intertemporal de perfilesde salud. EI primero de ellos, Indiferencia sobre eI futuro después de la muerte, es incues-tionable en dicho contercto, y el segundo, Independencia de las Preferencias delfuturo conrespecto al pasado, es un supuesto más débil que las condiciones de Independencia Aditivao Independencía Mutua en la Utilidad, tradicionalmente empleadas en Ia literatura. La es-tractura semiseparable obtenida para la función de utilidad sobre perfiles de salud es mrrysimilar a la del modelo QALY descontado, pero a diferencia de éste, presenta tasas de des-cuento endógenas que dependen de los estados de saludpasados.

2.1 Introducción

La importancia creciente del análisis coste-utilidad en la evaluación económica de cuidadosde salud [Viscusi et al. (1991), Krupnick y Cropper (1992), Jones-Lee er al. (1995), Magatet al. (1996)l ha impulsado la literatura sobre medidas de salud basadas en la utilidad. Elmodelo más popular basado en utilidad en teoría de la decisión en salud es un simple modeloaditivo: la calidad ajustada por años de vida (Quality Adjusted Life Years), QALY

Las fuertes crfticas sobre los fundamentos del modelo del QALY [ver Loomes y McKenzie(1989), o Mehrez y Gafti (1989)l han inducido a los investigadores arealizar. grandes esfuer-zos para obtener una sólida base utilitarist¿ de dicho modelo. En la literatura, comenzandocon las contribuciones de Pliskin, Shepard y Weinstein (1980), surgen dos conjuntos de con-tribuciones diferentes. Por una parte, la constituida por los trabajos que analizan situacionesde salud crónicas [Bleichrodt et al.(1997), Ried (1997), Miyamoto et al. (1998)], y por otraparte, la de los trabajos dedicados a perfiles generales de salud [Bleichrodt (1995), Bleich¡odt& Gafni (1996)1. Todos ellos usan una metodologla similar: una combinación de la teoría dela utilidad esperada de von Neumann-Morgenstern (1944), y de teorías de evaluación multi-atributo [ver Fishbum, (1974), Fishburn y Keeney, (1974), (1975), Keeney y Raiff4 Q976),Miyamoto (1983), (1988)1. Además, en artículos más recientes [ver Bleichrodt y Quiggin(1997)l la teoría de la utilidad de Dependencia en el Rango de manera General se aplica ateorías de evaluación multi-atributo que no estan fundamentadas en la utilidad esperada [verMiyamoto y Wakker (1996)1.

La literatura previa ofrece una sólida base utilitarista para el uso de la metodología del

1 El contenido de este capítulo se corresponde con el del artículo Intertemporal evaluation ofindividualhealth profiles, por Ana Maria Guenero y Carmen Herrero, WP-EC, en prens4 1999.



Independencia General en las Preferencias en la evaluación de perfiles de saludl

QALY en el caso de situaciones de salud crónicas, pero ese marco teórico no es suficiente-mente satisfactorio en el caso de perfiles generales de salud. Cuando se consideran perfilesde salud de una duración fija (máxima) surge un problema particular. El uso de los supuestoshabituales de Independencia Aditiva o lndependencia Mutua en Utilidad llevan a evaluar deforma diferente dos perfiles de salud idénticos antes de la muerte, pero en los que el individuo"disfruta" de diferentes estados de salud después de la muerte.

Por otro lado, es tradicional evaluar perfiles de salud usando preferencias inter-temporales.En particula4 los modelos de utilidad descontados a una tasa constante se han utilizado pararealizar dicha evaluación, aunque hay un cierto consenso en que esta forma no resulta demasi-ado apropiada. Bleichrodty Gafti (1996) analizan si el modelo de utilidad descont¿do es ade-cuado a la descripción de las preferencias inter-temporales por estados de salud. Concluyenque los axiomas subyacentes en la estructura de las preferencias individuales y relativos a laestacionariedad [Koopmans (1960), Koopmans et al (1964), Koopmans (1972\,y FishburnyRubinstein (1982)l están lejos de ajustarse a las preferencias reales en este contexto. Estosautores también rechazan el uso de una tasa de descuento variable que resuelva dicho prob-lema, como ha sido argumentado por otros autores [ver Olsen (1993)]. La introducción detasas de descuento variables no sólo no resuelve los problemas citados anteriormente sinoque además añade nuevos problemas, en particular, problemas de inconsistencia dinámica enel comportamiento del individuo.

En este capltulo se presenta una teoría de evaluación de perfiles de salud basada en lateorla de la utilidad, que evita alguno de los problemas mencionados anteriormente. El primerpaso consiste en elegir el espacio en el que definir las variables. A este respecto existen dosposibles alternativas. En la primera de ellas se considera un espacio euclÍdeo donde todos losperfiles poseen una duración de vida idéntica, y se toma a la "muerte' como un estado desalud factible en cualquier periodo de vida. La segunda asume un contexto más complicado,con perfiles de salud de duración variable, interpretados como 'estados de salud anterioresa la muerte". En este caso la duración de la vida constituye un atributo adicional, pero la'muerte' deja de ser un estado de salud factible.

En este capítulo elegimos la primera alternativa, que consiste en considerar perfiles desalud de un horizonte temporal fijo, N, que representa el horizonte de vida máximo para elindividuo. Consideraremos dos "estados de salud" especiales en cada período: la 'muerte",

y el estado de salud 'perfecto'. Además asumiremos que las preferencias de nuestro agenteesüán definidas sobre el espacio de las disfibuciones de probabilidad simple (loterías) so-bre perfiles de salud, y que tales preferencias satisfacen los supuestos tradicionales de vonNeumann y Morgenstern [Supuesto l].

En nuestro modelo, sin embargo, el papel desempeñado por el tiempo es bastante difer-ente al de los modelos previos. En cualquier período del tiempo distinguimos entre "futuro'y "pasado". De este modo introducimos dos nuevos supuestos: indiferencia del futuro de-spués de la muerte [Supuesto 2], e independencia en las preferencias del futuro respecto alpasado [Supuesto 3]. El Supuesto 2 impide la aparición de inconsistencias relativas a valo-raciones positivas de estados de salud después de la muerte. El Supuesto 3 hace referencia aun concepto de independencia miís débil que el tradicional, y que es natural en nuestro con-texto. Los supuestos previos son suficientes para obtener un resultado más general sobre

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El Modelo

la representación de las preferencias que el relativo a la estructura aditiva o multiplicativa enBleichrodt ( I 995). Nuestra representación es bastante similar a la del QALY descontado, peroa diferencia del mismo, obtenemos tasas de descuento endógenas que dependen de estadosde salud pasados y que parecen más razonables que los factores de descuento ofrecidos pormodelos anteriores.

Nuestro análisis es muy próximo al presentado por Keeney y Raiffa (1976, Cap.9), sobrela evaluación temporal de activos con riesgo. El supuesto que establece que el "futuro" esindependiente del "pasado', está relacionado con la idea de que "pasado" y "futuro' sonindependientes en las preferencias de manera general. En Ried (1997>, se presenta comosupuesto básico, en el caso de situaciones crónicas, la "independencia general en utilidadente estados de salud y tiempo de vida", que resulta de relajar el supuesto de independenciaen utilidad. Aunque la filosofia subyacente a ambos tipos de supuestos es similar; hay unadiferencia entre el supuesto de Ried y el nuestro: aqul no consideramos la posibilidad de queexistan estados de salud peores que la muerte.

En la Sección 2 introducimos el modelo básico y los principales supuestos. En la Sección 3presentamos los resultados de representación. La Sección 4 expone posibles interpretacionesde nuestro modelo. En la Sección 5, concluimos, con algunos comentarios y cuestiones abier-tas.

2.2 El Modelo

Tiatamos de evaluarperfiles de salud desde un punto de vista individual Considerandoperíodos de tiempo discretos (años, meses,...), y asumiendo que el individuo se enfrenta a unnúmero m&imo de perlodos de vida, /V, un perfil de salud puede ser representado por unatupla (r1, o2¡ . . ., r¡y), donde r¿ tndica el estado de salud del individuo en el perÍodo t. Paratratar con perfiles de salud de distinta duración, asumimos que en cada período ú, un estadoposible de salud eslamuerte, r!. Observemos que la notación anterior es lo suficientementeflexible como para permitir tanto perfiles de salud crónicos como no crónicos. Un perfil desalud (r1, f i2¡. . . , r¡¡)r taleuer¿ - al r !esconstanteparal < ú < f f i ¡y f im+r: r ln+t,corresponde a un perfil de salud crónico, tal que el individuo vive rn periodos en el estado a, yentonces muere. Si los estados de salud en periodos anteriores a la muerte no son constantes,entonces el perfil de salud conespondiente sería no crónico.

Un modo natural de evaluar perfiles de salud desde un punto de vista individual es consid-erar preferencias individuales intertemporales. Asl pues, teniendo en cuenta que la evaluaciónde los perfiles de salud individuales se realiza durante el periodo actual de vida del individuo,la incertidumbre aparece como una característica natural añadida al análisis: el agente poseeincertidumbre acerca de sus est¿dos de salud futuros y acerca del período en el cual va a morir.Introducimos incertidumbre en la forma habitual, esto es, considerando loterías definidas so-bre los perfiles de salud.

La teoría más utilizada en la evaluación de perfiles de salud inciertos es la teoría de Iautilidad esperada. Estateoría nos permite obtener medidas de utilidad cardinal sobre perfilesde salud.

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2.2.1 Preferencias Intertemporales en Incertidumbre

El horizonte máximo de vida para un individuo, N, es una variable exógena en nuestro mod-elo. Un perfil de salud es, por lo tanto, un vector r : (ntro2t...,r¡y), tal que, para todoú € {L, 2,. . . , N}, r¿ € X¿l donde X¿ representa el conjunto de posibles estados de salud enel período ú de su vida.

SeaX: { r : ( r t , * r , . . . . ,oN) :para todo¿ € {1 ,2 , . . . ,N} , qe Xt ] ¡ e lcon jun todetodos los perfiles de salud.

Asumimos que para todo ú € {1,2,.. . , N}, existen dos estados de salud especiales enX¿: r!,el "estado de salud" conespondiente a lamuerte,y rt,el estado de salud "perfecto".

Por lo tanto, el conjunto de perfiles de salud es simplemente el producto Cartesiano de losconjuntos de estados de salud durante los diferentes períodos, es deci4

X : Xt x X2 x.. . . . x X¡v

El problema genérico de un individuo consiste en evaluar perfiles de salud inciertos endiferentes momentos de su vida. Sea É el conjunto de distribuciones de probabilidad simples(loterlas) sobre el conjunto X. Los elementos de É se designan L, M, .. . Un elemento L e Les una función L : X --+ [0, 1], con soporte finito (i.e., toma valores diferentes de 0 sólo sobreun conjunto finito de perfiles de salud), tales que !" L(x) : 1. Es deci¡ para cualquier perfilde salud r e X,I(r) se puede interpretar como la probabilidad del perfil r enlaloterla L.Una loterí¿ -L toma valores distintos de cero sólo sobre un conjunto finito de perfiles de saludque se consideran independientes.

Suponemos que el agente tiene unas preferencias definidas sobre ,4, denotadas por larelación binaria f,, y que se interpreta como "preferencia débil": para cualquier par de loteríasL, M e L, L a M se lee como 'Z es al menos tan preferida como M'. La relaciones aso-ciadas de preferencia estricta, F, y de indiferencia, -, se definen como sigue:

P a r a t o d o L , M € L , L - M + L a M y M a L

Para todo L ,M e L , L l M + LaM, yno M f ,L

Consideramos, a continuación, el siguiente supuesto sobre las preferencias de los agentes:

Supuesto lz La relación de preferencias Y- sobre ,C satisface los aciomas de von NeumannyMorgenstern:

(I) > es un orden débil, transitivo y completo.(2) Independencia : P ara todo L, M, H e L, L a M e (lL + Ln¡ f $ U + |n).(3) Continuidad: Para todo L, M, H e L, si L > M > H, existe un número real ¡t,0 < ¡r < L,talque ¡tL+(L- t t )H - M.

El Supuesto I establece que (l) nuestro agente es capzv de comparar cualquier par de

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El Modelo

loterías sobre los perfiles de salud de tal manera que si una lotería L es al menos tan preferidacomo offa lotería M, y que si, además, M es al menos tan preferida como Í/, entonces .Lserá al menos tan preferida como I/; (2) si dos loterías son indiferentes entre sl también loseriín aquellas loterlas resultantes de combinar éstas con una tercera (con las mismas pondera-ciones), y (3) el agente es capaz de cubrir cualquier laguna en la evaluación de las preferenciasajustando probabilidades. Al tratar con loterfas degeneradas (perfiles de salud), el significadodel Supuesto I es más fácil de enteider: (1) dice que la evaluación del agente sobre los per-files de salud es consistente y completa, es deci4 enfrentado con dos perfiles de salud siemprees cap¿Lz de compararlos, y si el perfil c se percibe como al menos tan preferido como otroperfil y, e g como al menos tan preferidido como z, entonces r es al menos tan preferido comoz; (2) un perfil r se considera al menos tan preferido como g si y sólo si cualquier loterla en lacual u y algún z son igualmente probables es al menos tan preferida como la lotería en la cualU y z son igualmente probables, y (3) si un perfil r es al menos tan preferido como otro y, e yal menos tan preferido como z, podemos encontar pesos p, (L - ¡^l) tales que gf es indiferentealalotería en la cual o aparece con probabilidad ¡ry z con probabilidad (1 - p).

El Supuesto I implica la existencia de una función cardinal U : X -+ IR tal que para todoL , M e L

L > M e E;¡.t(c)t/(r) > D7M(r)U(c)

en otras palabras, la evaluación de las loterÍas sobre perfiles de salud puede realizarse atendi-endo a la utilidad esperada" usando la función de utilidad U. La función U puede interpretarsecomo nna función de utilidad para la relación de preferencias f, sobre X, y tal función deutilidad es única salvo transformaciones afines. Es decil otra función U' : X --+ IR, tambiénrepresenta ! sobre X si y solo si existen números reales, a, b, con b > 0, tales que, para todot e X , U ' ( r ) : a + b U ( r ) .

2.2.2 PreferenciasCondicionadas

Consideramos ahora un individuo en un periodo particular de su vida, ú. Este individuo seenfrenta al problema de evaluar sus posibles perfiles de salud. Es claro que, en el periodo ú, elindividuo ha disfrutado ya de los periodos pasados, y por lo tanto, sólo posee incertidumbreacerca de sus estados de salud futuros, y de la duración de su vida.

Para analizar la situación anterioq vamos a introducir nueva notación. Para cualquier perfilde salud r : (rr, ..., c¡v) e X, dividimos r en dos partes, n : (E .-t,?r), donde E rt :(rr, .., r¿-1) representa el subvector de estados de saludpasados, y V t : (st, rt+t¿:., ü N)es el subvectorde estados de salud futuros. Denotamos X t : Xt x ... x XN,y Xt-t 7Xt x - - . x.Xt-t.Así pues, para todo r e X,tenemos * : (T r-t,?¿), donde i, e V,y i r - t e V , - t .

En el periodo ú, el pasado del agente no se puede alterar, es decir, ?¿-1 está fijado. Sinembargo, su futuro es incierto. De esta manera, el individuo se enfrenta a perfiles de saludinciertos, tales que sólo difieren en el subvector 'futuro", 7 r, o, en otras palabras, el agente

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se enfrenta aperfiles de salud del tipo r: (Et-t,ir) e {Fr-r} ,ir.Una vez que elpasado ha sido fijado a E r-r,las diferentes altemativas se reducen al espacio i¿.

Sea LT rel conjunto de loterías sobre Ír. Fijar un momento en el pasado es equivalente aconsiderarloterías.L €.C,talesque,dadoque.L(y) > 0,entonces, U: (Et_t,/¿).Enotaspalabras, consideramos loterlas que sólo exhiben incertidumbre en el subvector de los estadosde salud futuros. Denotamos como tr¿ a la probabilidad marginal de la loterla .L sobre i ¿. Dela relación de preferencias previa f, sobre.4, y condicionada sobre el pasado E r-r,podemosderivarunarelacióndepreferenciassobre,4T,quedenotamoscomoi5.,_,.Entonces,bajolos axiomas de von Neumann y Morgenstern,

Lt I E,_, Mt # EV,L¡( i r)U (E r_r,7r) > EV "M¡( i

¡)U (E Fr,A )

La relación mencionada más arriba puede ser interpretada del siguiente modo: una vez queel pasado está fijado en Fr-1, podemos encontar una función cardinal (JE ,-t : 7, -, R ,donde Ur' '-'(d

t) : U(E rt,?r), donde la esperanza matemática detl)i'-' representala relación l-; r_, .

Por lo tanto, btir_rtrptoenta la resticción de f, al espacio 47,, cuando el perfil de

estados de salud pasados (un elemento de*X r-r¡está fijado en F¿-1. Esta relación de pref-erencias puede ser interpretada como la preferencia condicionada sobre,C7. inducida por f,cuando el perfil

"n Fr-, es ?r-1.

En lo que sigue, introducimos dos supuestos adicionales sobre las preferencias condi-cionadas. El primero de ellos (Supuesto 2), se refiere a perfiles de salud que sólo difieren enlos estados de salud después de la muerte. El Supuesto 2 pide, simplemente que estos per-files de salud sean todos indiferentes ente sf, ya que las diferencias entre los estados de.saluddespués de la muerte son irelevantes. Observemos que esta propiedad, natural en este con-texto, no se aplica a otros tipos de evaluación temporal, en particular al caso de valoraciónde activos financieros. Además, es interesante observar que esta condición está muy rela-cionada con la condición cero en Bleichrodt et al. (1997) y Miyamoto et al. (1998). Dehecho, del Supuesto 2 se deriva la Condición Cero para perfiles de salud crónicos, y como lapropia Condición Cero, es simplemente una condición médica.

+-.-: , <-SeaX0¿-1 : {E t - r € X t ; :paraa lgún k :L , . . . , t -1 , r r : r2 r .

Supuesto 2 (Indiferencia delfuturo después de Iamuerte).- Para todo t - 1,.. .,N, paratodo E ¿4 e ko--t ,ypara todo ir , i , eÍ r , se t iene (Er-r , i r ) - (Er-r , i r ) .

El Supuesto 2 establece que, si E r-t e Fr-r, entonces ?¿_ { -

para todo E *t € Xor-t, la preferencia condicionada, Fr,_, ",

+-= ! ¿. YOf IO tantO,u t - l

vacía. Es deci4 siempre

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El Modelo

que tsr-, e Fr-r, se tiene que no existen perfiles de salud ?¿, it enxl, tales quei, l,r,-, i r.Enotras palabras, para todo ?¿-1 € X0¿-r

F"r-r: o (o -Er-r:V' "r t)

Parajustificar el siguiente supuesto, recordemos que, en el periodo ú, las preferencias delagente se reducen a valorar sus estados de salud futuros, condicionadas a un vector fijado deestados de salud pasados. Teniendo en cuenta este hecho asumimos que, en el periodo ú, elagente sólo estará preocupado acerca de sus potenciales estados de salud futuros, independi-entemente de su pasado. En ofras palabras, en la evaluación de sus futuros perfiles de salud, elindividuo no tendni en cuenta los estados de salud particulares disfrutados en el pasado. Losindividuos poseen incertidumbre acerca de sus posibles perfiles de salud futuros pero, porra-zones de simplicidad, sólo impondremos el supuesto siguiente sobre el conjunto de estadosde salud-

Sea 7r-r : {E r- t eV r-r : para todo k : L, . . . , t - I , *x * *?}.

Supuesto 3 (Independencia en las Preferenclas delfuturo con respecto ol prydo).- Para todot : Lt...,N, para todo E ¿-1,T rq eV r-t, y pqra todo i ¡,i, e X r,se tiene

(E r_ r , i r ) >_ (E r_ r ,T ) e (T r_ r ,? , ) i (T r_ r , i r )

El Supuesto 3 indica que las preferencias sobre el futuro son independientes de los estadosde salud pasados, en el caso de que en tal pasado, la muerte no estuviera presente. En términosde preferencias condicionadas se entiende como, ?, l-_" ,_, ! , + i , LT,_, i u ya

q u e r t - r t U t - t € Y t - t .

Los Supuestos 2 y 3 se formulan en el espacio de perfiles de salud, a diferencia delSupuesto 1, que fue formulado en el espacio de loterías sobre perfiles de salud. Así pues,los Supuestos2y 3 hacen referencia a los conceptos de Independencia en las Preferencias( e Indiferencia) enteorias multi-atributo [ver Fishbum y Keeney (1974)]. El Supuesto 2 im-plica una propiedad similar sobre el espacio de loterÍas, LV,. Este no es el caso del Supuesto3, que resulta ser más débil que la propiedad correspondiente en el espacio de loterías.

No obstante, de la combinación de los Supuestos 2y 3 se deriva que X t es indepen{nteen las preferencias de manera general de.V ¿-l.Observemos que para todo rtr ¿-1 € X rttal que ,V,_r# 0, y para todo E r-t €V r-r,se tiene gue FE,_, € {>F,_r,0} lconfrón-tese Ried (1997)1.

Nótese que, para cualquier valor de t, el conjunto de atributo, ?, y F¿-1 son com-plementarios. Los Supuestos 2 y 3 describen explícitamente cómo funciop la progiedad

ynaenelencia en las preferencias de manera general para los conjuntos X t¿y Xr. SiV r-, eV ,-r,entonces ,V,_r* 0. Entalcaso, yparacualquierotrovalorT +t eT r-r,

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tanto F;r_r: 0, si la muerte está presente en el vector Er-r, por el Supuesto 2, comolE r_r:lVr_, ti lu muerte no está presente en el vector E ,-t, por el Supuesto 3. Nopermitimos en ningún caso que las preferencias condicionadas se inviertan, ya que no con-sideramos estados de salud peores que la muerte. Compárese con Ried (1997), y Fishburn yKeeney (1974), (1975).

Como ha sido mencionado anteriormente,la Independencia de las Preferencias delfuturocon respecto al pasado es una propiedad más débil quiela Independencia en Ia Utilidad delírtu* respecto al pasado. Las razones por las que asumimos lndependencia en las Prefer-encias en vez de lndependencia en Utilidad son de dos tipos. Por una parte, desde el puntode vista del individuo, son más fáciles de entender. Por otra parte, estos supuestos son su-ficientes para obtener los resultados de representación que nos interesan, y que se presentanen la próxima sección. De hecho, como se observa en la próxima sección, los supuestos 1-3implican Independencia en Utilidad delfuturo con respecto al pasado.

2.3 Resultados de Representacién

Bajo los supuestos anteriores se obtiene una forma funcional particular para la función deutilidad U : X ---+ lR, que representa i . Se obtiene el siguiente resultado:

Teorema lz Bajo los Supuestos 1, 2 y 3, aeistenfunciones U(E r-1,i ¿),

U(Er-t , j r ) : at(Et- | l +bt(E,- | lU{A) paratodo ú: 1, . . ,N

tales que, sifijamos Ur(i r) : U(F r-r,? r)

u(F ,-r,? t) : dr(rr) + ct(r¿)U(F ¿, ?r+r) Q)donde b¿( . ) ) 0 s ipara todo k € {1 , . . . , t -L ] ¡ , rx * * 'o ,y b t ( - ) :0s iparaa lgúnk e { 1 , . . . , t - 7 } , r 7 " : s o o .

Prueba: e FComenzamos considerando un elemento particular en Y¿-1, fi*t-L, tal que para todo

k : I,. . . ,t - l, r¡": r[, es decir, c*¿-1 r€pr€senta un subperfil de estados de salud desdeel período I alt - 1, tal que en todos los períodos, el estado de salud es el "perfecto". Porlos Supuestos 2 y 3, *-,_r* 0.

Ahora consideramos un elemento diferente E r-t € Fr-r. Por los Supuestos 2y 3,haydos casos posibles:

(l) Las preferencias Fts,_, y FF._,(-

de ut i l idad U ( i* , -r , i , ) y U (E ,-r ,secuentemente, para todo ?¿, it e

coinciden en X ¿. Esto significa que las

7¿) representan preferencias idénticas en= -. t t - -) \ - - . /1- ---+ \A t , U \ I t - r t t r ) , U ( Í r - r , U t ) s t

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funciones--)X¿. Con-y sólo si



Resultados de Representación

U (F r-r, V ) 2 U (F r-r,7r), ",

deci4 las tunciones U (F r-r, -) y U (E r-1, -) repre-sentan las mismas preferencias sobre X¿. Debido a la condición de cardinalidad de ambasfunciones U(F r-t, -) V U(E r-r, -), para todo ?¿,1 e V r-texisten números reales

br(Er-r) > 0y a¿(E¿-1) tales que para todoit eÍt

U(E r-r,i r) : b{T Fr)U(T* ,-r,i r) + ar(E t-t)

(2') lE,-r:0. Por los Supuestos 2 y 3, esto sucede siempre que Fr-1 e Fr-r, esto es, sipara algún k.: 1, .., t - L, r t : r}.Por lo tanto, para todo i r,i t l T r, U (E.r-r,| r) :U(Fr-t ,7r) .Si , paraeste caso, def inimos b¿(F¿-1) :0,at(E.-) : U(Er-t , / t ) ,la fórmula

u(E r-r,? ) : b{E F)U(F r-r,?,) + or(E r-)

se cumple para todo E t-t e7 r-r.A

Adicionalmente, obtenemos el siguiente resultado:

Teorema 2: Bajo los Supuestos 1, 2y 3, aciste: (I) unafunción U : X --+ R,tal queU(ri,...,rrir) : \,U(aouVz) : 0,y (2)funciones uni-periodo d+ : Xt ---+ lR, ü :1 , . . . , | V ; c ¿ | X ¿ - - + l R , ú - 1 , . . . N - 1 , t a l e s q u e p a r a t o d o a : ( r t r . . . r l ¡ y ) € X ,(I(r) :D!:rdr(rr) (nll ",@)) ,

conlaconvención ll?:r c"(r") : r.

Prueba:Comenzando con la formula obtenida en el Teorema l. analizamos la función cardinal

U(Fr-r ,?¿). consideramoselperf i l (Fr,? r+r).Elperf i l (Fr-r ,?¿) coincideconelperfil (F¿, i r+r) gnV ,+r. Consecuentemente, podemos considerar perfiles (Fr, ?r*r)

. -y ( i* r-r , i t ) : (r ' r , i r+t) ,donde para todo,k - 1. , . . . , t - L, r to : r i , y nl : r t .

Hay dos casos posibles:

(l) Si c¿ I r!,las preferencias ,j,t F*;, coinciden en X¿-.1. Esto ocurre si para todo

dr*r,ir+t € i r*r, u(7 ,,7r+r) > u(7 r,7r*r) si y solo si u(Ft,?r+r) >U(F r,7r+r), esto es, las funcionm U(Fr, -) v UJF ,,-) representan las mismas pref-erencias sobre X¿.'1. Como ambas U(** r,-) y U(*' t, -) son funciones de utilidad cardi-nales, para todo r¿ f r!, existen números reales c¿(r¿) > 0, y d¿(r¿) tales que para todon '¿11 € X ¿ . ,1

U(7 r-r,f r) : d,¿(r¡) + "r(rr)U(F r, ?r+r)

2 l




(2) Siempre Que o¿ : n'9, el Supuesto 2 implica que >i : 0. En tal caso, por lo tanto, para

todo ?¿.,1, ?r+r € ?o*r, u(? ,,?r+r) : u(F:,7 r*r).s¡ en este caso, definimosq(s) : 0, d'¿(x¿) : u(7 ,,7 r+r) : u(F r-t,?¿), entonces la fórmula

U(F , . . r ,? r) : d,¿(r¿) * q(r t)U(F t , ?r+r)

se cumple para todo i r+t € Ír*r.

Los resultados anteriores implican que:

(I(r t , . . , "r) : ú(r) * c1(r)U(r i , i r ) :: ú(x) + q(r)lil2(r2) * c2(x2)U(Fr,?r)l :: dr(rr) + q(n)d2(tz) + c1(r)cr(r2)[d,s(rs) + cs(rs)U(i*e, t;)] :: ..! : t5'¿,(",) (IIL', ",(")) + (ni=r' ",(r)) u(F ¡¡4,r¡¡)

Finalmente, denominando

U(7 *-r,,tt) : d¡v(civ),

obtenemosN / t - t \

(J(*t,..,"ry) : D¿r@,) ( fl +("") )t : l \ ¡=1 /

con la convención de que el producto vacío lJ?:r c"("") : 1, y donde c"(r") > 0 siempreque nr # r ! . , y ta l que . " (x?) :0 para todo z : I ,2 , . . . , ¡ f .

Normalizamos de tal manera queU(ri,. . . , nh) : L,U(ro., -) : 0, de lo cual se deriva9tr0,

U( r i , . . . , r i ' ) : d ¡v ( r i ' ) : 1

y ademas,

U("?,-) : dr(rg) : 0. E

2.4 Interpretación

Del Teorema 2

N /t-r \(J(rt,. . ,**):D¿r@r) ( f l ""("") )t : l \z : r /

(3)



Interpretación

c r ( r r ) : 1

Consideremos ahora h¿: X¿ --+ IR, definida.paratodo ft e X¿ como h¿(r¿) : dt(rt) *q(o)siq* xiyt < ¡f ,yhiv(r¡v): div(c¡v).Observamosqueñ.¡puedeserinterpretadacomo una función de utilidad sobre X¿. Asf pues, si r¿ I r!,

U(T* r-r,*r,# r+r) : dr(rt) -t c¿(x¡)

U(Fr-r,rr): dr(rry)

Y si c¿ : s9, se obtiene:

u(F r-r,*?,?r+i : d,r(r?) + q(r| : itr(xor).

Observemos que d¿(r!) : U(7 rq,/ r),yportanto, dr("9) : 0, mientra sparat f L,d¿(r!) 10.

Así pues, hr(*r)varía entre hr(*?) : d+(*9) : (J(l* r-r,& r),y/r,v("ir) : d.¡v(oi,) :1 .

Como resultado de lo anterio6 h¿(r¿) puede interpretarse como la utilidad de disfrutar elestado de salud r¿ durante el periodo ú ( N, mienfias que durante cualquier otro período, elindividuo disfruta de un estado de salud perfecto, para una duración de vida de N periodos.Por otra parte, h¿(x!) representa la utilidad de vivir en un estado de salud perfectó hasta elperiodo ú - 1, donde la muerte aparece en el periodo ú. De acuerdo con esta interpretación noes natural normalizar entre 0 y 1 para estas "utilitidades sobre X¿".

Se pueden obtener interpretaciones alternativas de las funciones dr(r) y c¿(r¿) comosigue: teniendo en cuenta que para todo ?¿a1 ei r+,

U(7 r-r,ir) : d'r(r¿) + c¿(r¿)U(F ¿,ir+r)

podríamos interpretar que, para computar u(F r-r,?¿), aplicamos un factor de descuentoc¿(r¿) aU(Fr,ir+r) [recordemos que 0 ( q(nt) < 1], y añadimos un valor *base,,dt(rr). Ambos valores, el factorde descuento, c¿(.), y el valor base, d¿(.), dependen de r¿. Deesta interpretación se deriva que el factor de descuento es endógeno en este modelo, mientrasque en los modelos anteriores era exógeno. Además ahora el factor de descuento depende delos estados de salud pasados.

La estructura de la Fórmula (3) se denomina semiseparable,ya que, en general, las deci-siones uni-período no son totahnente separables. En (3) obtenemos, como c¿rsos particulares:

(l) La fórmula Aditiva, si para todo r, c"(.) es constante

0II

¡:7

23




jV

U(* t , . . , " r ) : ld , t ( r t )t:1

(2) LaformulaMultiplicativa, siparatodot:L,...,N - L, dr(.) : g,

rv-1(J (rt, ..,, *) : fl "r("r)Urv("rv)

t : l

(3) Un tipo especial de fórmula Multilinear, en el caso en que d¿(.) es constante parat : L , . . . , N - 1 ,

/v-1

*d¡y(r¡) fl.,@,),a - 1

o si interpretamos, paratodor - 1,...,N - L, c" como funciones deutilidaduni-periodono condicionadas, se obtiene

Jv. \ - . ,

U( r t , . . , " i v ) : Ld t ( " t )t:L

Los casos anteriores son los únicos en los cuales existen utilidades uniperiodo no condi-cionadas. En cualquier otro caso, la fórmula (3) establece que las utilidades en cada períododependen de los estados de salud futuros, cuando en el pasado todos los estados de saludcorresponden al perfecto.

2.5 Conclusión

La esfuctura semiseparable de la función de utilidad definida sobre perfiles de salud obtenidaen este capítulo, es, en principio, más general que las estructuras aditiva y multiplicativaanalizadas anteriormente [Bleicbrodt (1995)]. Esta estructura se deriva de sustituir el supuestode independencia en utilidad mutua ente los estados de salud de diferentes periodos, por dossupuestos: indiferencia del futuro después de la muerte, que es completamente natural ennuestro contexto, e independencia en las preferencias delfuturo conrespecto al pasado, quees más débil que la independencia en utilidad mutua.

Esta nueva formulación evita algunas inconsistencias teóricas de trabajos anteriores. Eluso simultáneo de nuestros supuestos especlficos impide la posibilidad de asignar utilidadesmarginales positivas a estados de salud después de la muerte. Además, la estructura semi-separable nos permite descontar endógenamente el futuro, usando factores de descuento quedependen del pasado inmediato disfrutado.

La forma funcional de nuestra función de utilidad es similar al modelo del QALY descon-tado, pero en su deducción no hay ambigüedades. A diferencia del QALY descontado, la

(8"")

N-l / t -1 \(J(*r,..,"r) : D r' ( fI ""(",) It:r \":r /

(n","",)

24



Conclusión

función de utilidad resultante posee una estructura semiseparable basada en valoraciones deperfiles, ponderados por los estados de salud pasados. Esta función permite tanto la evalu-ación de un perfil de salud "completo", si aplicamos un procedimiento de inducción haciaatrás hasta el primer periodo de vida, así como la evaluación de perfiles de salud "futuros"cuando estemos interesados únicamente en la evaluación de las ganancias en salud.

En este modelo no se considera la existencia de estados de salud "peores que" la muerte.Surgen dificultades técnicas en el estudio de ese caso debido a la interconexión entre losdiferentes periodos de tiempo dados por la fórmula (3). La solución de este problema quedapendiente para investigaciones futuras.

Un modo altemativo de formular el problema consiste en considerar perfiles de diferentestamaños. Hasta cierto punto, un modelo de tales caracterlsticas sería cercano al de Ried ( I 997)para la evaluación de situaciones crónicas. Existen dos tipos de dificultades en esta aproxi-mación altemativa: por una parte tendrlamos que considerar un espacio diferente de perfiles,perdiendo, de ese modo, la simple estructura 'Cartesiana"; por otra parte, tendríamos que in-troducir un atributo adicional, el horizonte temporal. Este enfoque alternativo se presenta enel capltulo siguiente.

25



Capítulo 3Evaluación de perfiles de salud conhorizonte temporal variable2Resumen

En este capítulo se racionaliza la representación aditiva (tipo QALY) de las preferenciasindividuales sobre perfiles de salud, en un contexto diftrente del tradicional. Consideramosperfiles de salud de dimensión variable, interpretando Ia duración de Ia vida como la di-mensión del vector formado por el perfil de salud correspondiente. De este modo, cuandose consideran valoraciones en utilidad de perfiles de salud, se tiene un atributo adicional(aparte de los estados de salud en cada periodo de tiempo): Ia duración de Ia vida. En estecont$to, asumimos una propiedad natural sobre las preferencias intertemporales, Indepen-dencia de las Preferencias de los estados de saludfuturos respecto de los pasados, cuando lasduraciones de Ia vida son variables. Añadiendo la propiedad de Independencia en las Pref-erencias de los estados de salud pasados respecto de los futuros en perfiles de salud de unadeterminada longitud devida, mostramos que lafunción de utilidad condicionada a un hor-izonte temporal fijo, posee una estructura multilineal. Esa estructura permite recuperar unmodelo adit¡vo, similar al QALf, en el cual las utílidades en cada periodo dependen de laduración de la vida.

3.1 Introducción

El modelo "utilitarista" más popular en teorÍa de la decisión en salud es un simple modeloaditivo: la calidad ajustada por años de vida (euality-Adjusted Life years, o eALy). Estemodelo, no obstante, presenta determinados problemas en su aplicación a la valoración indi-vidual de perfiles de salud.

En este capítulo analizamos la evaluación de perfiles de salud generales desde un punto devista individual. Nuestro enfoque es diferente del tradicional [ver Plinskin, Shepardy Wein-stein (1980), Bleichrodt, wakker y Johannesson (1997), Bleich¡odt y Gafrri (1996), GuerreroyHerrero(1999)]. Enlugardeconsiderarperfilesdesaluddeunadimensiónfijaydiferenciarlas duraciones de vida al tomar la "muerte" como un estado de salud particular, simplementeconsideramos perfiles de salud de diferente dimensión donde la "muerte" ya no es un es-tado de salud posible. Por Io tanto, todos los estados de salud considerados son diferentes ala "muerte" y además, la dimensión de los perfiles de salud corresponde a la duración de lavida. Consecuentemente, en un perfil particular, todos los estados de salud son estados ,,an-teriores a la muerte". De este modo la duración de la vida constituye un atributo adicional enla función valorativa de perfiles de salud.

econeldelart icuIoEva|uationofHeaIthProfi leswithVariab|eTime Horizons, por Ana Maria Guerrero y Carmen Henero, Mimeo, Universidad de Alicarite, 1999.

26



Introducción

Aunque tratamos con perfiles de salud de duración de vida variable, asumimos que laduración de la vida varía entre un mfnimo (1) y un máximo (N), perfectamente conocidos porel individuo. Nuestro análisis se basaprincipalmente en la evaluación intertemporal de activoscon riesgo en Keeney y Raitra (1976). Los estados de salud futuros en nuesfio modelo jueganel papel de los rendimientos económicos futuros en Keeney y Raiffa (1976), de tal maneraque tanto la duración de la vida como la calidad de la vida son inciertos.

Este trabajo se enmarca en la literatura sobre evaluación de perfiles de salud fundamen-tada desde el utilitarismo. Asl pues, obtendremos una representación funcional de la utilidaddefinida sobre cualquier perfil de salud. La representación funcional se obtiene en dos eta-pas. En la primera etapa obtendremos una función de utilidad para perfiles de salud con unhorizonte temporal fijo. Es deci4 se obtiene una función de utilidad condicionada a perfilesde salud de una duración de vida determinada. En la segunda etapa, introduciremos la du-ración de la vida como un argumento adicional (aparte de los estados de salud disfrutados encada periodo), en la función de utilidad.

En este contexto, [verFishbum (1974), Fishburn P y Keeney R. (1974),Miyamoto (1983),(1988)], recuper¿rmos la estructura semiseparable de la función de utilidad obtenida en elcapítulo anterioq utilizando teorías de evaluación multiatributo. La única propiedad que im-ponemos, junto a los axiomas de von Neumann y Morgenstern, es la Independencia en lasPreferencias de los estados de saludfuturos respecto a los pasados.

Si, además, asumimos que en el caso de perfiles de salud de duración fija, los estadosde saludpasados son Independientes en las Preferencias con respecto a los futuros, obten-emos una estructura multilineal para la función de utilidad condicionada. Esto sucede porqueambos supuestos implican que, cuando relegamos nuestro análisis a perfiles de salud de unhorizonte temporal fdo, los estados de salud en cada periodo son independientes en las pref-erencias. Como un caso particular de la estructura multilineal recUperamos la función deutilidad aditiva tradicional en el caso de perfiles de salud de horizonte fijo si además im-ponemos Independencia Adittva para algún perfil de salud de duración de vida determinada.También recuperamos esta estructura aditiva en el contexto general, con la salvedad de que,en este caso, las utilidades de cada periodo dependen de la duración total de la vida.

El supuesto de Independencia Mutua en las Prefere,ncias de los estados de salud, subya-cente al modelo QALY ha sido contestado desde el punto de vista teórico [véase Loomes yMcKenzie (1989)1, y empírico [Hall et al. (1992), Richardson et al. (1996), Krabbe y Bon-sel (1998), Kuppermann et al. (1997)1. Tieadwell, (1998) presenta un test empírico sobredicho supuesto, y concluye que, mayoritariamente, y a nivel agregado,los agentes satisfacenel supuesto de independencia mutua.

En el capltulo siguiente se presenta un análisis experimental en el que se contrasta empfri-camente si el supuesto de independencia delfuturo respecto de los estados de salud pasadosse cumple con mayor frecuencia que el más fuerte de independencia mutua, cuando consid-eramos perfiles de salud de diferente longitud de vida- Asfmismo, se contrasta si el supuestode independencia del futuro respecto de los estados de salud pasados se cumple con mayorfrecuencia que el de independencia del pasado respecto de los estados de saludfuturos. Lasprincipales conclusiones del trabajo experimental mencionado avalan, y de forma especial anivel individual, que el supuesto de independencia delfuturo respecto de los estados de salud

27



Evaluación de perfiles de salud con horizonte temporal variable2

pasados se cumple con mayor frecuencia que el de independencia del pasado respecto de losestados de saludfuturos. Ello avala la idea de que la modificación del QALY presentada enesta Tesis parece estar más próxima a las preferencias individuales que el QALY tradicional.

Hay ciertos elementos que podrlan explicar el diferente cumplimiento de ambos supuestos,desde el punto de vista empírico. Uno de ellos es la consideración de perfiles con muy difer-ente longitud de vida. Desde esta perspectiva, parece natural pensar que el hecho de que lanaturaleza del atributo "duración de vida" sea de Índole muy diferente de la naturaleza de los"estados de salud en cada periodo", podría explicar ciertos casos de reversión de las preferen-cias. Desde esta perspectiva, el uso de la propiedad de Mutua Independencia condicionado alcaso de perfiles de salud de longitud de vida constante, parccenamás razonable que el uso deMutua independencia en perfiles de salud de longitud de vida variable. En el caso de longi-tud de vida constante, el test de Tieadwell (1998) parece avalar el cumplimiento del supuestode Independencia Mutua. No obstante, nuestros resultados no son tan claros en el aspecto dediferenciación [véase capítulo siguiente].

La Sección 2 presenta el modelo básico y los principales supuestos. La Sección 3 presentael resultado de representación bajo el supuesto de Independencia en las Preferencias delfu-turo con repecto al pasado en perfiles de salud de dwación de vida variable. Como resultadode considerar esta propiedad, obtenemos una función de utilidad semiseparable. En la Sec-ción 4 estudiamos el caso de horizonte temporal fijo, añadiendo el supuesto de Independenciaen las Preferencias del pasado con respecto alfuturo. Los supuestos anteriores implican que,para los perfiles de salud de horizonte fijo, estados de salud en diferentes periodos son Mutu-qmente Independientes en las Preferenc¡'as. Como consecuencia, obtenemos una función deutilidad multilineal para representar las preferencias condicionadas a un horizonte temporalfijo. Como un caso particular de esta función multilineal obtenemos la función de utilidadaditiva tradicional si, además de los supuestos anteriores, también asumimos IndependenciaAdittva para algún perfil de salud de duración de vida determinada En la Sección 5 obten-emos una representación de la utilidad aditiva del tipo del QALY donde se permiten perfilesde salud de duración de vida va¡iable. La Sección 6, con comentarios finales y problemasabiertos, concluye el capítulo. Todas las pruebas se han relegado a un Apéndice.

3.2 El Modelo

En este capltulo se trata de evaluar perfiles de salud desde un punto de vista individual.Consideramos periodos de tiempo discretos (años, meses,...). Si el horizonte temporal de vidaal que un individuo se enfrenta se denota por n, un perfil de salud se puede representar por unatupla (r1, Í2t. .., r,r), donde r¿ indica el estado de salud individual en el periodo t. Comotrataremos con perFrles de salud de diferente duración de vida; asumimos que el horizonte devida,n,varíaenelintervalol ( r¿ ( N. Aslpues,Nseinterpretacomoladuraciónmaximaposible de vida de un individuo. Observemos gue la notación anterior es lo suficientementeflexible como para permitir tanto perfiles de salud crónicos como no crónicos. Un perfil desa lud( r1 , f i2 ¡ . . . , tn ) r ta lQuer¿:@esconstan tepara l ( t ln ,cor respondeaunper f i lde salud crónico, donde el individuo vive n periodos en el estado o. Si los estados de salud

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El Modelo

fueran diferentes en diferentes periodos, el perfil de salud conesponderla a uno no crónico.Un modo natu¡al de evaluar perfiles de salud desde un punto de vista individual es con-

siderar preferencias individuales intertemporales. Asf pues, teniendo en cuenta que la eval-uación de los perfiles de salud individuales se realiza durante el periodo actual de vida delindividuo, la incertidumbre apaxece como una característica añadida al análisis: el agenteposee incertidumbre acerca de sus estados de salud futuros y acerca de la duración de su vida.Introduciremos incertidumbre considerando loterías definidas sobre los perfiles de salud.

Lateoúa más utilizada en la evaluación de perfiles de salud inciertos es la teoría de Iautilidad esperada. Esta teorla nos permite obtener medidas de utilidad cardinal sobre perfilesde salud.

3.2.1 Preferencias fntertemporales bajo Incertidumbre

El máximo horizonte de vida de un individuo, .lf, es una variable exógena en nuestro modelo.Un perfil de salud es, por lo tanto, un vector r : (rt,fi2t..,,crr), donde n S N, tal que,para todoú€{1 ,2 , . . . ,N} , f¿eX¿,dondeXrrepresentae lcon jun todepos ib leses tadosde salud en el periodo ú de su vida. Asumimos que existen dos estados de salud especialesen X¿ para todo ú € {1,2, ,..,N}. Dichos estados son, g¿, el estado de salud 'peot'', y, rlel estado de salud *perfecto". No consideramos a la muerte como un "estado de salud", y,consecuentemerúp, Lt corresponde a un estado de salud extremadamente severo, diferente dela muerte. Con el fin de utilizar una notación totalmente informativ4 denotaremos un perfil desaludmedianteunpar (nn,n),donder ' : ( í rr , . . . , rn),estalqueparatodoú e {1,. . ,n},r¡ e X¿. Si denominamos ? : {1,2,. .. N}, entonces,

5 : {(c ' , n) i nn : (* t , . . ,ün), r¿ e X¿, n € T}

representa el conjunto de perfiles de salud.

El problema genérico de un individuo consiste en evaluar perfiles de salud inciertos endiferentes momentos de su vida. Sea 4 el conjunto de distribuciones de probabilidad simples(loterías) sobre el conjunto X. Los elementos de ,4 se designan mediante las letras L, M,. . .UnelementoLeLesunafuncióntr:X-+[0,L] ,conunsoportef ini to,( i .e. , tomavaloresdiferentes de 0 sólo sobre un conjunto finito de perfiles de salud), tales que E2sL (r",n) : L.Es deci4 para cualquier perfil de salud (rn ,n) € X, -L(r', n) puede ser interpretada como laprobabilidad conjunta del perfil rn con una duiación de vida n enla lotería L. IJna loteríaL e L sólo toma valores distintos de cero en un conjunto finito de perfiles de salud, siendoestos últimos independientes.

Vamos a asumir que el agente tiene unas preferencias definidas sobre .C, denotadas porla relación binaria f,, interpretada como "preferencia débil": para cualquier par de loteríasL,M e L, L a M se lee como ".L es al menos tan preferida como M". La relacionesasociadas de preferencia estricta, F, y de indiferencia, -, se definen de la forma habitual,como sigue:

Paratodo L,M e L, L - M + La M y M a L

29




Para todo L ,M € . L , L> M + L \ ,M,yno M >-L

Empezamos considerando el siguiente supuesto sobre las preferencias de los agentes:

Supuesto l: La relación de preferencias >- sobre ,C sqtisface los aciomas de von NeumannyMorgenstern:

(I) > es un orden débí|, transitivo y completo.(2) Independencia: Paratodo L,M,H e L,LL M + (rf +ln¡ae2M++H).(3) Continuidad: Paratodo L,M,H e L,si L> M I H,acisteunnúmeroreal ¡1,,0 < ¡.t. < L, tal que p,L + (L - p,)H - M.

El Supuesto I establece que (l) nuestro agente es capaz de comparar cualquier par deloterías sobre los perfiles de salud de tal manera que si una lotería tr es al menos tan preferidacomo otra lotería M,y que si M es almenos tan preferida como f/, entonces L será,al menostan preferida como ff; (2) si dos loterlas son indiferentes entre sí también lo serán aquellasloterías resultantes de combinar éstas con una tercera (con las mismas ponderaciones), y (3) elagente cubre cualquier laguna en la evaluación de las preferencias ajustando probabilidades.Al tratar con loterlas degeneradas (perfiles de salud), su significado es más fácil de entender:(l) dice que su evaluación sobre los perfiles de salud es consistente y completa, es decir,el agente enfrentado con dos perfiles de salud siempre es capaz ile comparar entre ellos, ysi el perfil (r",n) se percibe como al menos tan preferido como el otro perfil (U^,m) y(U^,m) como al menos tan preferido (zq,q), entonces (*n,n) es al menos tan preferidocomo (z{, q); (2) un perfil (r" ,n) se considera al menos tan deseable como (g-, rn) si y solosi cualquier loterla, en la cual (n^,m) y algun (ze , q) son equiprobables, es al menos tandeseable como una loterla en la cual (A-,m) y (zq ,q) son equiprobables, y (3) si un perfil(r",n) seconsiderapreferidoalperfil (y^,m),yelperfil (y*,m) espreferido al(zq,q),se pueden encontrar pesos lr, (t - lr) tales que (A*,m) es indiferente a la lotería en la cual(r" , n) tiene una probabilidad de p, y (20 , q) tiene una probabilidad de ( 1 - ¡.r) .

El Supuesto I implica la existencia de una función cardinal U : X -r lR tal que para todoL , M e L

L > M (t E¡¡.L(r', n)U (rn,n) > EyM (n",n)U (r",n)

en otras palabras, la evaluación de las loterías sobre perfiles de salud se puede realizar,atendi-endo a la utilidad esperad4 usando la función de utilidad U. La función [/ puede interpretarsecomo una función de utilidad que representa la relación de preferencias f, sobre X, y es únicasalvo transformaciones afines. Es decir, otra función U/ : X --+ IR también representa f, so-bre X si y solo si existen números reales, o,, ó, con b > 0, tales que, para todo (r', n) G X,U ' ( * n , n ) : a * b U ( r " , n ) .

La función de utilidad cardinal obtenida, U(rn,n), representa la utilidad conjunta quedescribe las preferencias sobre los perfiles de salud "rn" y la duración de la vida "r¿".

30



El Modelo

Consideremos ahora el caso en el que el horizonte, rz, es fijo. Las preferencias del agentecondicionadas al horizonte, ??, se representan por U(a"fn). Ambas funciones, tl(r",n)y U(r"/n) representan idénticas preferencias sobre c', y consecuentemente, U(xn,n) sepuede ser expresar como una transformación lineal positiva de U (r" / n) con coeficientes quedependen rlnicamente de n, es deci4

U(an,n) : q(n) + O(n)U(* /n) (l)

Es importante destacar que la elección de una lotería puede afectar al horizonte tempo-ral. Como consecuencia de ello, en general, las loterlas poseen probabilidades marginalesdiferentes en la duración de la vida n.

La función á(.) se puede obtener preguntando a los agentes por indiferencias entre loteríasdonde el horizonte temporal es fijo. Por el contrario, para obtener la fr¡nción 4(.) se tienenque deducir los valores de intercambio entre perfiles de salud y su duración de vida. Formasprácticas de obtener tanto á(.) como 4(.) puede verse en Keeney y Raitra (1976).

3.2.2 PreferenciasCondicionadas

Consideramos ahora un individuo en un período particular de su vida" ú. Este individuo seenfrenta al problema de evaluar sus posibles perfiles de salud. Es claro que, en el periodo ú,el individuo ha disfrutado ya de su pasado, y por lo tanto, sólo posee incertidumbre acerca desus estados de salud futuros y la duración de su vida.

Paraanalizar lasituaciónprevia, vamos aintoducirunanuevanotación. Paratodon €.7,todo rn :.(rr, ...,rn).€ Xn,y todo ú tal que 1 < ¿ < rz, dividimos r' en dos p?rtes, ru :(Fr - t ,73) ,dondeEt - t : ( r t , . . . , r¿ -1) representae lsubvec tordees tadosdesa lud

{sados, y ?T : (*r,yr+r,.., r,) es el subvector de estados de salud futuros. Denotamos

XT : Xt x .. x Xny X t-L : Xt x .. x Xt_t.Asf pues,paratodo n €T,todo¡c' € Xn,y todo ú, tenemos *n : (E ,-t,?T),donde 7f , VT v E ,-1 eV ,-r.

En el periodo ú, el pasado del agente no puede cambiarse, es decir, F¿_1 es fijo. Sinembargo, su futuro es incierto tanto con respecto a los estados de salud futuros como a laduración de su vida. Por lo tanto, el individuo se enfrenta a perfiles de salud inciertos quesólo difieren en el subvector "futuro", (iT;ü, o en otras palabras, el agente se enfrenta aperfiles de salud del tipo

(rn,n): [(Fr-r, iT);") e ({ts¿-1} x x { t , t + 1, . . , N}

Una vez que el pasado ha sido fijado en Fr-1, las diferentes alternativas se reducen al espacio- - + ] V +*' :jJ, Xi x {t,..,N}.

Sea,C;, el conjunto de loterías sobre x ¿. Fijar un momento en el pasado es equivalente

jv. . +l l x?

3 l




a considerar loterfas L e L,hles que, dado que L(y^ ,n) ) 0, entonce s Un : (E t-t,i|),en otras palabras, consideramos loterlas que sólo exhiben incertidumbre en el subvector deestados de salud futuros y en la duración de la vida. Denotamos como .L¿ a la probabili-dad marginal de la loterla .L sobre X ¿. De la relación de preferencias anterior f, sobre ,C,y condicionada sobre el pasado Er-t, podemos derivar una relación de preferencias sobre,C7, denotada como i5r_, . Entonces, bajo los axiomas de von Neumann y Morgenstern,

Lt rE,-, Mt € E7 "L¡(di

,n)u(E ¿-1,ñ" ,n) > E7,Mt(ii ,Qu(E ¡-r,d? ,n)

La relación mencionada aniba puede interpretarse de la siguiente manera: una vez queel pasado se ha fijado en tsr-1, podemos encontrar una función cardinal [JE'-t , *, -*

IR, donde fJr"-t (dT,ü : U(E t-t,d?,r), donde la esperanza matemática de Ui'"-'representa la relación i?,_,

Por lo tanto, L,; ,_, representa la restricción de f, sobre ,C1', cuando el perfil de estados de

salud pasados (un elemento de X¿-1) ha sido fijado en E r-r. Esta relación de preferenciaspuede interpretarse como la preferencia condicionada sobre E¡, inducida por f, cuando el

perfil en Fr-r se ha fliado en? 14.

3.3 Función de Utilidad Semiseparable

Introducimos a continuación un supuesto sobre las preferencias condicionadas sobre perfilesde salud de duración de vida variable. Parajustificar este supuesto, recordemos que en elperiodo ú, las preferencias de un agente se reducen a sus preferencias sobre los estados de saludfuturos y a la duración de la vida condicionadas a un vector de estados de salud pasados fijo.Teniendo en cuenta este hecho, asumimos que, en el periodo ú, el agente sólo se preocuparáacerca de sus potenciales estados de salud futuros y la duración de la vida, independientementede su pasado (Supuesto 2). En otras palabras, el individuo evalúa sus perfiles de salud futurossin tener en cuenta los estados de salud de los que disfrutó en el pasado. Los individuosposeen incertidumbre acerca de los perfiles de salud futuros y la duración de la vida pero, porsimplicidad, sólo impondremos el siguiente supuesto sobre el conjunto de estados de salud:

Supuesto 2 Qndependencia en las Preferencias delfuturo con respecto al pasado).- Para todot e {2 , . . .N) ,ypara todoE¿-1 ,Tr¿ €Vt - ty ( iT ,n ) , ( iT ,d E X ' r ,

(F,-r, iT,n) b (Fr-r, iT,d +) (7,-r, iT,ü i (7,-r, iT,*)

El Supuesto 2 indica que las preferencias sobre el futuro son independientes de los estadosde salud pasados. En términos de las preferencias condicionadas, se escribe de la siguiente

32



Función de Utilidad Semiseparable

forma:

(?7,ü i;.,_, (if ,d a=a (f¡, n) LT,_, (if ,d,=

Pr^Fr-r,Trte Xrt.Enotraspalabras,estesupuestoimplicaqueparatodoÍfr-r,Tr-,Xt-t, tenemos gu€ FEr_r:F?r_, y -b._r:-?r_r.

Independencia en las Preferencias delfuturo con respecto al pasado es una propiedad másdébil que la propiedad de Independencia en la Utilidad delfuturo con respecto al pasado. Lasrazones por las que asumimos Independencia en las Preferencias envezde Independencia enUtilidad son de dos tipos. Por una parte, desde el punto de vista individual, es una propiedadmás fácil de entender, Por otra parte, este supuesto es suficiente, junto con el Supuesto l, paraobtener los resultados de representación que nos interesan. Estos resultados se presentan enla Sección siguiente, donde se observa que los Supuestos I y 2 implican Independencia enUtilidad delfuturo con respecto al pasado.

3.3.1 ResultadosdeRepresentación

Bajo los supuestos anteriores, obtenemos una forma funcional particular para la función deutilidad [/ : X --+ lR, que representa ¡.

Lema 1: Bajo los Supuestos I y 2, existenfunciones U7'-,r Rt, -* R. del siguiente tipo,

u7'- ' (?f ,ü:u(Err, i f ,n): ar(Et-t) +br(Er-1)ur( i i ,n) e)donde (I¿(dT,n):U(Fr-r , iT,n) y, paratodo E¿-1eVr-t ,óü(! :ú- l ) > 0.

Prueba: rvbr Apéndice.

Teorema l: Bajo los Supuestos I y 2, existe unafunción (J : X --+ IRy;f¡¿¡2 ciones uni-periodo,d , ¡ : X¿ - t IR , ú :1 , . . , N ; c r : X , + IR,T : L r . . , t -1 , dondepara todopar ( rn rn) :( r r , . . , r r , n ) € \

u(x",n) : E!:1d'¡(r) (Il!ltc"(r"))

con la corwención [Tor:rcr(rr) :1y dondel. U se normaliza por U(pi,ri,..,nl,n) : n2. d,¿(r¿) + q(n)t : U(F t-t,r¡,t) para todo rt € Xt

Prueba: \ér Apéndice.

3.3.2 Interpretación

Del Teorema l, se obtiene, en la Fórmula (3),

(3)

J J




U (*t, .., cn, n) : rn,

d,t(rr)

c r ( t r ) : 1

Consideremos lafunción ht : (Xt,?) -+ lR, definidaparatodo r¿ € X¿ como h¿(r¿,n) :dt(nr)+q(n)nsin¿ { ni ,yt 1n l N,ytal queh,,(rn,n): d,n(r) . Observemosque h¿ puede interpretarse como una fi¡nción de utilidad sobre X¿ x ?. Así pues, para todoo ¿ € , X ¡ y t o d o n e T ,

U(r* r-t,r¿, r*!..,n) : dt(xt) + q(r)n : h¿(r¿,n)

Por lo tanto, h¿(r¿,n) puede interpretarse como la utilidad de disfrutar del estado de saludq * ni durante el periodo t 1 n I -l[, mientras en los restantes periodos el individuodisfruta de un estado de salud perfecto, cuando su duración de vida es de n periodos. Demanera similar, hn(nn,n) puede interpretarse como la utilidad de disfrutar un estado de saludr' durante el último periodo de vida t : n 3.11, mientras que en los periodos anteriores elindividuo disfruta de un estado de salud perfecto.

Una interpretación altemativa de las funciones dt(*) y c¿ (c¿) puede obtenerse de la sigu-iente manera: teniendo en cuenta que, para todo 3?*, eVf*r,

(J(r* r- t , iT,ü : do(rr) + q(r¿)tJ(r* r , iT+t,r)

podemos interpretar que, para calcular U(F r-r,iT,r),aplicamos una tasa de descuentoc¿(r¡) ala función U(F r,i?*r.,n) [recordemos que 0 < c¿(r¡) < 1], y añadimos un valor*base', dt(*t). Ambos valores, el factor de descuento, ct(.),y el valor *base", d¿(.), depen-den de r¿. Según esta interpretación, ocurre que, en este modelo, el factor de descuento esendógeno, a diferencia de lo que ocurría en todos los modelos anteriores, excepto en el pre-sentado en el Capítulo anterior. Además, nuestro factor de descuento depende de los estadosde salud pasados. Observemos que 0 < q(rt) < 1., representando un factor de descuento y/oun factor de depreciación que depende de los estados de salud pasados. Por último, resultaque c¿(r¿) es creciente con o¿.

La estructura de la fórmula (3) hace referencia al tipo de funciones llamadas semisep-arables, ya que, en general, las decisiones sobre los estados de salud en cada periodo noson totalmente separables. En (3) obtenemos, como casos particulares, la formula aditiva"si para todo r, c"(.) es constante; la formula multiplicativa, si para todo ú : L,. . . ,n - '!.,

dr(') : 0, y un tipo especial de fórmula multilineal, en el caso en que ¿r(.) es constante para

("[-r*r)

otI

t : l

34



Horizonte temporal fijo: estructura condicional aditiva

t : L , . . . ,n - 1 , ob iens i in te rpre tamos, para todoz - 1 , . . . r f l -L , las c " comofun-ciones de utilidad de un periodo particular. Los casos anteriores son los únicos casos en loscuales existen utilidades uni-periodo. En cualquier otro caso, (3) implica que las utilidadesen cualquier periodo dependen del futuro.

3.4 llorizonte temporal fijo: estructura condicional aditiva

3.4.1 Función de Utilidad Multilineal con horizonte temporal fijo

Consideremos ahora el caso en el que el horizonte temporal es fijo. En este contexto es posiblerecuperar la estructura aditiva de la función de utilidad asumiendo una propiedad adicionalsobre las preferencias de los individuos. Como primer paso, y adicionalmente a los SupuestosI y 2, asumiremos que los estados de salud pasados son independientes en las preferenciasrespecto de los futuros, siempre que consideremos perfiles de salud de una longitud de vidadeterminada.

Supuesto 3: (Independencia en las Preferencias del pasado respecto delfuturo, para un hor-izonte temporal fijo).- Pwa todo n e T y.todo t, tal que L I t 1 n 1 N, para todo ?!,

í? , iT,y para todo E r-1,T r- t eV ,-r , tenemos

(E r-r,7T,d i (?,-r, iT,ü <+ (Fr_r, i f ,ú L (T r_r, iT,")

El Supuesto 3 indicaque las preferencias sobre los estados de saludpasados son indepen-dientes con respecto a los estados de salud futuros, cuando consideramos perfiles de salud deuna duración de vida determinada. El Supuesto 3 es m¿ís débil que la propiedad de indepen-dencia del pasado respecto del fururo en perfiles de salud de longitud de vida variable.

Los Supuestos 2 y 3 indican que, cuando compar¿rmos perfiles de salud de una longitudde vida determinada, las preferencias del individuo exhiben, simultáneamente, tanto indepen-dencia del pasado con respecto del futuro como independencia del futuro con respecto delpasado.

El Supuesto 3 tiene implicaciones fuertes sobre la estructura semiseparable obtenida en elTeorema l. Obtenemos el siguiente resultado:

Lema2z Bajo los Supuestos 2 y 3, para todo n e T, {Xt, ..., Xn} son mutuamente indepen-dientes en las preferencias, esto es, todos los subconjuntos de {X1,..., Xn} son independi-entes en las preferencias de sus complementarios.

Prueba: \ér Apéndice.

Por el Lema 2 se sigue que la función de utilidad condicionada a un horizonte temporal de-terminado, n, exhibe una forma funcional determinada: es multilineal. Esta forma funcional

35




se obtiene en el siguiente Teorema.l

Tborema 2: Bajo los Supuestos I, 2, y 3, Iafunción de utilidad condicionada definida sobre{Xt, ..., Xn} es multilineal para cada n. Esto es, para cada n, existenfunciones u! : X¿ --+IR., ú : L, . . . ,fl, tales que las preferencias condicionadas pueden representarse de Ia siguientemanera,

U(r" /n) : lk(n)l-'D"?@r) + [k(n)l-2t(n)lui@)ui@) +r:1

i-:,+. . . + ll(n)l-rui("') . . . uT@).

donde

(l) ui@¿) : U(rt,r\r/n)

Q) c^: u?(xt) : U(ri , . . . ,r i /n),

e) bt (q / n) : W ; at(q / n) : u (sr, rLt) - b¿ (x., / n) c.

son constantes, e independientes de t.

@)k(n): t i,ff i ,I(n):

Prueba: r'ér Apéndice.

De la forma funcional obtenida en el Teorema2, y como caso particula4 se deriva unarepresentación aditiva. Obtenemos esta representación en la subsección siguiente.

3.4.2 La Representación Condicional Aditiva

Si, en la fórmula @),1(n): 0, la función de utilidad condicionada posee la siguiente estruc-tura aditiva,

U (r1, 12, ..,sn / n) : E[:ú(n)u? ("r) .

La estructura anterior se obtiene mediante el siguiente supuesto adicional:

Supuesto4: (IndependenciaAditivarestringida,paraunhorizontetemporalfijo).-Paratodon €Tytodo ttalque 1 < t < n-I 1 N,existealgún x¡ €.X¿,r¿¡1 € Xt+t,talque L -Mdonde L(r¿,r¿¡1,r \1t , ta¡,n) : | ; L(r i , . . . , r l ,n) : l ; M(rr+r,r11ta1¡, n) : | ;M(rr ,r"-r ,n): | .

1 P a r a t o d o n e T , y p a r a c u a l e s q u i e r a d o s p e r f i l e s ( s r , . . . , o . ) , ( g t , . , . , g n ) € X 1 x . . . x X . , y t o d oQ C { 1 , . . . , n I , @ e , g - e ) r e p r e s e n t a e l p e r f i l ( 2 1 , . . . , 2 n ) € X 1 x . . . x X n , d o n d e z ¿ : a ; s i i € Q , !z ¿ : g i s i i f . Q .

(4)

36



Función de Utilidad tipo QALY con horizonte temporal variable

El Supuesto 4 establece las condiciones bajo las cuales la fórmula (4) toma la forma adi-tiva. Para todo t, el Supuesto 4 requiere la existencia de pares de estados de salud en losperiodos t,t + L que sean aditivamente independientes. Si añadimos el Supuesto 4 a lossupuestos anteriores obtenemos el siguiente resultado:

Tborema 3: Bajo los Supuestos I, 2, j y 4, para todo n € T, existenfunciones uf : X¿ --+ IR,t : Lr. . . ,n, donde las preferencias condicionadas se representan como sigue,

U (r1, 12, .., rn I n) : Efau! (r ¿)

Prueba: \brApéndice.

El Teorema 3 recupera la estructura aditiva (tipo QALY) usando los Supuestos l-4, parapreferencias condicionadas, esto es, sujetas a un horizonte temporal fijo. Observamos queesos dos supuestos son más débiles que los empleados tadicionalmente para obtener la es-tructura aditiva.

3.5 Función de utilidad tipo QALY con horizonte temporal variable

Gniendo en cuenta la función de utilidad condicionada resultante U(x*/n) en la Secciónanterio¡ obtenemos la formulación general de la función de utilidad con horizonte temporalvariable, U(rn,n) en el siguiente Gorema

Teorema 4z Bajo los Supuestos I, 2, 3, y 4, aeiste unafunción U : X ---+R, yfuncionesu¿6¡ : X¿ - -+ IR,n - l - , . . . ,N ; ú (n) - 1 , . . . ,n , ta lquepara todo r : ( r t , . . , r , ,n ) € \

U (r", n) : E!:flt@)(r¡) - H (n)

dondel. a¿6¡(r¿) : lc(n)U (r t, r\t, n)2. H(n): o(n)lnk(n) - 1l+ q(n)K(n)

Prueba: rvbr Apéndice.

(6)

Podemos interpretar el resultado del lborema 4 como una representación tipo QALY delas preferencias del agente, siempre que se cumplan los Supuestos 1 a 4. obsérvese que enla formula (6) las utilidades uni-periodo, at@)(rt) : k(n)U(ot,n\t,n) dependen de n, laduración de la vida. Finalmente, el último término, H(n) : O(n)[nk(n) - 1] + q(n)K(n)puede interpretarse como un "trade-off" para diferentes duraciones de vida.

(s)

5 t




3.6 Conclusión

En este capítulo hemos presentado un modelo alternativo que nos permite recuperar la funciónde utilidad tradicional multilinear para perfiles de salud de una duración determinada. Elmarco considerado en este capltulo impide que surjan inconsistencias teóricas que apÍrecen enotros modelos. Además, nuestro modelo es más flexible que el tradicional en su potencial paratratar con preferencias intertemporales. Comparando los resultados obtenidos en la Sección3 con los obtenidos en el capltulo anterior, observamos que aquí también recuperamos laestructura semiseparable enla función de utilidad sobre perfiles de salud bajo un supuestosingular (aparte de considerar preferencias que cumplen los axiomas de vNM), Independenciaen las Preferencias delfuturo respecto del pasado.

La propiedad anterior parece ser bastante natural en la evaluación de perfiles de salud paraperfiles de salud de duración de vida variable, permitiendo tanto valoraciones de perfiles desalud 'completos', como 'sólo" valoraciones de perfiles de salud futuros cuando el perfilpasado se fija arbitrariamente al "perfecto".

Sin embargo, en este tipo de estructura funcional las ganancias en salud derivadas de difer-entes tratamientos médicos en un determinado periodo no pueden ser valoradas independien-temente de los estados de salud pasados. Más especlficamente, la estructura semiseparablepermite descontar endógenariente el fuhro, usando factores de descuento que dependen rlni-c¿rmente del pasado ya disfrutado.

Si en este modelo añadimos la propiedad de Independencia enlas Preferencias del pasadocon respecto delfunro en los perfiles de salud de duración de vida determinada, obtenemosuna estructura multilineal. En el capftulo siguiente contrastamos, por medio de un cues-tionario, si los individuos satisfacen los supuestos previos. Nuestros resultados indican quese cumplen más frecuentemente que los supuestos de 'independencia" tradicionales.

Finalmente, si en este contexto, añadimos la propiedad de Independencia Aditiva en per-files de salud especlficos entonces obtenemos una estructura aditiva muy similar a la tradi-cional del modelo del QALI tanto para perfiles de salud de duración fija como variable.

La formulación obtenida tipo QALI sin embargo, exhibe utilidades uni-periodo que de-penden de la duración de Ia vida. Esta estructura surge de la ausencia de la "muerte' comoun estado de salud especlfico en nuestro modelo, y del empleo del estado *perfecto" comoestado de salud de referencia. Si, en este contexto, hubiéramos asumido la existencia de unestado de salud "indiferente a la muerte", para cada periodo, entonces el tipo de formulaciónobtenida podría haberse simplificado. Sin embargo, hemos preferido evitar este supuesto yaque "la muerte" es una situación de una naturaleza muy especial.

En resumen, de los resultados obtenidos, hay que destacar no sólo el hecho de obtener unatasa de "descuento endógena" sobre los estados de salud futuros sino que además cualquieragregación de valoraciones uni-periodo debería tener en cuenta la duración de la vida. Laevaluación de dichas valoraciones es una tarea importante para impulsar las técnicas de de-cisión médica.

3 8



Conclusión

Apéndicot Pruebas.

Lema 1: Bajo los Supuestos I y 2, u.istenfunciones [Jr"-' , R del siguiente tipo,

ur' '-t (77 ,d : u (E rt,iT ,ü : at(E t-t)

donde U¿(?7,n) : U(F r-r,?T,ü y pqra todo E ¿-1

Prueba:consideramos un elemento p$cular 7r-r,en el conjunto Fr-1, tal que paratodo

k : 1, ..rt - L, rx : fi|. Esto es, Í*¿-1 r€ptosenta un subperfil de estados de salud desde elperiodo 1 al periodo ú - 1, cuyo estado de salud en todos los periodos es el 'perfecto".

Ahora, consideremos un estado de salud diferente E tt e V tJ por el Supuesto 2, lasrelacionesdepreferenciat;,_rylFr_rcoincidenenelconjunto x¿.Estosigrificaquelas

funciones de utilidad U(Er-r,-,-) y U(Er-r,-, -) representan preferencias idénticassobre el conjunto R'r. Conr..uentemente, paratodo (?T,n),(if ,d a Rr, se tiene que,

u(E r-r,?7,ü > u(E r-r,if ,d e u(F *r,dT ,n) 2 u(F ,-r,iT,d.Como las funciones de utilidad U(Er-r,-,-) y U(Er-r,-,-), son.cardinales" paratodo F¿-1 eV rty todozr € ?, existen números reales b¿(ts¿-r) t 0 y a¿(E ¿-1) talesque para todo (7f , n) e X",

U (E r-r,VT, n) : @p(E *) + bt(E F)U (7 r-r,iy, n¡.o

Teorema l: Bajo los Supuestos I y 2, existe unafunción U : X --+ IRy¡rs¿ ciones uni-periodo,d¿ : X¿ -+ IR., ú : 1,.., N; c, : X, + IR, r : 7,..,t - l, tales que para todo par( rn rn ) : ( r t r . . , r r r , n ) € \

u (rn, n) : ET:$t(r) (rl!r1 c" (c"))

con Ia coruención fIf;:rc,(rr) : I y dondel. U se normaliza po, U(ü,ü1,..,n\,n) : n2. d+(rr) * c¿(r¿)t : U(r* t-t,r¡,t) para todo r¿ € X¿.

Prueba:

---+X¿ --+

+ b{E F)ut(i?,")

eVr-t,óú(F¿-r) > 0.

Q)

(3)

39




Analizaremos la función de utilidad U(Fr-r,?T,n) que aparece en el Lema l. Con-sideramos el perfil de satud (F r,-íT*r,"). er pem (Fr, ?f*r,n) coincide con el per-

/ ? . \ - t \ - ' - '

/

ft(Fr, i?*r,") "lKr*t.

por lo tanto podemos considerar perfiles (í- r,i7*r,") v

(**r- t , íT,n) : (r ' t ,dT*r,n), donde r[ : c[ paratodo k : L, . . , t - 1, y r l : r t .sabemos que las relaciones de preferenciur t;¡ y >.; coinciden sobre Rr*r. consecuente-

F

mente, las funciones U(** ,, -, -) y U(r'r, -, -)fpresentan preferencias idénticas sobreX ¿.'1. Dado que las funciones U(** t, -, -) y U(r' ,, -, -) son funciones de utilidad car-dinal, sabemos que para todo x¿ e X¿ existen números reales q(c¿) ) 0, y d¿(a¿) tales queparatodo (??*r,"r) e X'ra1, y I < t < n;L( n ( N,

U (7 r-r,dT, n) : d.(rt) + c¿(u¿)U (F r,iT+t, n) (Al)

Por otra parte, siempre que ?) es fijo, las funciones Ur(iT,n) y Ut(iT/n) representanpreferencias idénticas sobre X f . Por lo tanto, están relacionadas por una fiansformación afÍnpositiva con coeficientes que dependen sólo de n. Esto es, existen números reales 4r(n), y? t (n )>0ta lesque,

ur(i7,n) : rtÁn) + ot(n)ut(iT /n) (A2)

De manera similar al resultado en (Al), obtenemos que para todo perfil condicionado an, (r¿f n) existen números reales )¿(r¿/n),y p,r(r¿f n) > 0 tales que para todo (ii /n),y1 < ú < n ; I 1 n 1 N ,

ur(?T /n) : u(irrr.jT /,\: ),¿(r¿/n) * p.r(rt/n)u(E,dT*r/ü (ag): \(rt/n) * ¡rr(r¿/n)U¿+t(TT*t/n)

v

ur(?7 ¡n) : (J(*t,..,rn/n) :rt:r^r(*r/") :Ul p,(r,/n)

donde .\,(c, /n) : U.(x"/n).

Sustituyendo (A2) en ambos lados de (Al),

(44)

qr(n)-r 7t(n)Ur(ii /n) : dr(rr) * c¿(r¿) lqr+r(") i 0¿a1(n)U¿+r(i!+,,/")l(A5)

Sustituyendo(A3) en (A5)y agrupandotodos lostérminos quemultiplican d¿..,.1(? T*r/n),

40



Conclusión

q{n) * 9¿(n),¿(a¿/n) - dt(*r) - q(rt)rt*{n) :

: [a(rt)0t+r(') - L¿(n)¡tr(x¡/Qlu (4, '1*r/")(A6)

Ahora, observamos que en (A6), U (E,?f*r/") nu.a. variar independientemente delresto. Consecuentemente, en (A6), tanto la expresión del término de la izquierda como eltérmino entre paréntesis de la derecha deben ser iguales a cero. Por lo tanto, parat < nypara todo n,

l¿(n)),¿(r¡/n) : d¿(t¿) + c¿(x¿)r¡ra(n) - rtr@)

0 ¿ a 1 ( n ) c t ( r ¿ ) _ p ' , ( u ¿ / n ) 0 ¿ ( n ) : 0 + p , , ( r ¿ / n l : W ( A 7 )

y así pues,

')t, u"{,,¡n) : m'F-",(,,) (A8)Ahora sustituimos (A7) en (A4) teniendo en cuenta (A8). Separamos el término corre-

spondiente a t : n en la suma, ya que (A7) sólo se satisface para valores t < n. IJna vezsimplificada, y para todo L 1 n 1N, se expresa como,

n- l t - l ¿-1U t( i T / n) :

12, \r(r, / "),\

p,(ü " /

n) * \"(r. f n) II, F,(r, / n) :

:E xr(rr/üffir'!r",1*,¡ + s.(r*/üffi^ntr+(r,) :. n - l ú -1: aidl,E (dr("r) t ct(rt)r7r*t(") - rtr("))

"\",(*")+* \. (r * / n) 0 " fO i\_i c" (n,)) : éfu l?l o, r",r' i' ", q*,¡ +*

t( c¿(r¿)qr*1(n) - rtr@))iü",@,)-r \*(r-/n)0"(") Ji c,(r,):

: "idf;!i

¿r("r)',t-c,(r,) - q{n) + (rt,@) * \*(r-/n))0*(n))p_i+(üJ(Ae)

Ahora, sustituyendo esta expresión en (A2'),

4 l




Ut(?T, n) : U (q, .., rn, n) : qín) + 0 {n)Uy(tT / n) :

d. (.') :t, c, (r,) + (rt * @) * 0 * (n) ),, (a " t O) ii_ c, (r,) :

¿,f",)itrc,(x,)

donde d,n(rn) : ,t*@) * 0*(n)\,(n"/") --_!(F n-r¡nntn),y c,(r,) ) 0 para todo r.Ahora normalizamos, estableciendo U1(r*l,n) : U(*i,...,r\,,n) : n. por lo tanto,

a 1 U(rt,l) : dr(cr) < U(rí,l) : t : dt(ri) : az(ri).observemos que las funciones dr(*i) y ú(rt) toman valores positivos, y de la relación,

U (7 r-r,i ?, n) : dr(rt) + ct(x¿)U (7. r,iT*t, n)

puede derivarse que, para todo ú y fr¿ e X¿, c¿(r¿) < 1. !

Lema 2: Bajo los Supuestos 2 y 3, para todo n €. T, {X1,..., Xr]t son independientesmutuamente en las preferencias, esto es, todo subconjunto de {X1, ..., X,.} es independienteen las preferencias de su complementario.

Prueba:

Sea r¿ € ? el horizonte temporal fijado, y sea ú tal que 1 < ¿ < n - r. comenzamosconsiderando el subconjunto {Xú, Xr+r}. Demostraremos que los subconjuntos cosecutivos{Xt, Xt+t} son independientes en las preferencias de su complementario. Asumimos que,

(E r-r, n t t s,ut+r ¡ i T*r,") i (tsr-r ¡ A t ¡'tn t+7 ¡ d T+2, n).

Por el Supuesto 3, esta relación se cumple si y solo si

(E r-r, t t t,u t+r t i ?*r,r) i (Fr_, t U t t ta ¿ar, i T+2, n).

Ahora, por el Supuesto 2, esto sucede si y sólo si

(7, - r , n t , 'u t+ | ¡ i T*r, ") >- (T, - , ¡ u t , ' t ! ) t +t , i T+r, r) .

Entonces para todo ?T*r,iT+, eÍ-!*r,todo o¿, At e Xt, ut+ttu,t+t € X+ty todot t - l t 'U t - t € X t - t , tenemos,

(T r-r , z, t¡at+1¡?T+z,n) ¡ (Er-t , at ,wt+t iT+2,n)

(T t- t , ot¡ 'ut+rt iT+2,ü >- (T ,-r , ,ut t t !¿*r, iT+r,n)

7¿-l

tt :L

tt :L

(Al0)

(+

42



Conclusión

Por lo tanto, el subcoqjunto {Xr, Xr+r} es independiente en las preferencias de su comple-mentarioparaú:1,..,n-1.Además,estapropiedadimplicaquelosconjuntos {Xt,...,X,.}son independientes mutuamente en las preferencias [ver Gorman (196s), Keeney y Raiffa(1976), Teorema 6.41.n

Tborema 2z Baio los Supuestos I, 2, y 3, Iafunción de utilidad condicíonada definida sobre{Xr, ..., Xnl es multilineal para cada n Esto es, para todo n, existenfunciones u! z X¿ --+JR, ú : Lr. , . ,fl, tales que las preferencias condicionadas pueden representarse como sigue,

u(r" /n) : [k(")]"-t D"T@) +[k(n)]'-21@)lui@)ui,@¡) +t:l

:-:,

r . . . * [ I (n ) ) - tu i ( " t ) . . . u i@) .

donde(r) ui@¿) : U(h,r l t ln)Q) c-: u?(ri) : U(r|,. . . ,ri,/n)(3) b¿@, / n) :

W, ar(u / n) : u (h, *.r) - br@, / n)".

son constantes e independientes de t.

@k(n): ¡6ff i6,1(n):

Praeba:

Asumimos QUe n : 2,y que los individuos evahian sus preferencias en el periodo ú : 1.De los Supuestos 2 y 3 establecidos sobre Xt, Xz, obtenemos,

(4)

U (q, 12 12) : ar(rl 12) * b1(q l2)U (r\, 12 I 2)

u (q, 12 /2) : az(xz /2) ¡ b2(r2 /2)u (q, ri / 2)

Si t/(rf , ri12) : c2, se deriva de (Al') para el estado de salud rz : oi,

(41')

(/^z',)

a1(r7/2) : u(rt,r; /z) - fu(q/2)c2 (A3')

Sustituyendo (A3') en (A1') evahiamos esta ecuación en un valor arbitario rz : rL,

u (q, rt, I 2) : (J (r t, "i / 2) - b1(q / 2) c2 + b 1(q / 2)u (ri, u'2 I 2)

b 1 ( q l 2 ) :U(xi,rtr/2) - e2

43

(44')




Sustituyendo (A3') y (A4') en (Al'), se tiene, para todo 12,

(J(x1,qf2) : a-t(r t ¡r1 *u(q:?L/ '2) - - ! -(r t ' " i12) u(r i . r2/2)*t \ - t t - t ' U@i,r ,r l2) - c2 " \ -r '

De manera similar, usando U(xi,ui/2) : c2, se deriva de (A2') en ci =arbitrario 11 : rt,

(45')

c 1 ] e n u n

(46')

Evaluando (A6') en rl y sustituyendo esto en (A5'),

u(q,qf2) : at(q/2\+,az(tLl2) + bz(",-!¿lz)U(!tt.rü/2) - U(q,xi/2) lu@i,qf2) :- t ' t

u@i ,a t r / 2 ) - c2

: a1 (a 1 f 2) + k2(2)U (ri, * z I 2) + l2(2)U (r 1, ri I 2)U (ri, r 2 / 2)

donde ,k2(2), y lz(2) estan definidos como

kza) : ==, oz("-L/=?)

' \ ' U(r i , r t r /2)-c2

(h^(412) _ r)rz(2): ¡iff iAhora teniendo en cuenta que

: [1 - I2(2)c2]U(x1,";12) - k2(2)c2: kz(2)U(rt,";/2) - k2(2)c2

obtenemos

u(q,r2/2) : k2(2)u(q,r i)+k2(2)u(ri ,r2/2)+ (A7')¡12(2)U (q, r$ / 2)U (ri, rz / 2) - k2(2) c2

De manera similar,

U(q, r2/2) : fu(2)U(q, r l )+ tu(2)U(U(" i ,c2/2)+ (A8 ' )*Iy(2)U (r 1, r i / 2)U (r i , rz / 2) - fu (2) c2

donde k1 (2), y h(2) se definen como

kr (2) : ==, ?t("'tl.?)u ¡r'1,rif 2) - c2

44



Conclusión

I{2) : }!b}'!"i12)=- 1)

u s\,rgl2) - c2

Ahora, de (A7') y (A8') se sigue que,t1(2) : hz(2) : k(2), h(2) : t2(2) : t(2),ycomo consecuencia de ello,

U (q, r 2 / 2) : k (2)U (q, r) + k (2)U (ri, r 2 / 2) + t (2)U (q, ri / 2)U (ri,, z / 2) - k (2) c2

En general,

U(rt , . . . , rn/n): a¿(r¿/n) - th(u/n)U(r i , r_¡/n) (A9')

Evaluando (A9') en r* r,

U(x¿,n* ¿fn): or(r t /n) *h(rt /n)c.

y asf pues,

a¿(r¿fn):U(rr ,r ! t /n) -b¿(r¡ /n)c- (Al0')

Sustituyendo (Al0') en (A9'), y evaluando esta expresión en r'_r,

L | _ t-_\ U(r¿rr '_rf n) - U(r¿,r \r /n)b¿lr¿/n):ff i (All ')

Como consecuencia, pard n : 3,

U (r1, 12, q /3) : a{? /3) + b1(q /3)U(ri, c-1) :: at(rt/3) + b1(a1/3)laz("2/2) ¡ b2(r2/2)U(ns,x\s/3)) ::a {q l3 )+ \ (q f t ) |az ( rz /2 ) *W(J@3,r \3 /3 ) ]

Ahora observemos que

U (rl, r 2, r', / t¡ : as (rl I 3) + fu (r| / B)U ((r 2, r!2 / Z)

Por lo tanto,

( f (r1,12,413) : a1(q/3)+ fu(r1l3)[a 2(ü2/2\ + ==, =o"=! ' i l } )^,¡z)+ ¡6r U(4,r\"13)+

+ ffiu ((* r, u\2 / 3)u (rs, r!-e / 3)l :

: a{q/3)+b1(qft)la2(r2/2)+ks(3)U(a3,r\"/3)+¿e(s)U((r z,nlz/3)U(4,r\r/3)l



k3(3) : #; te(3) : - ?(*/2 ;J-U(xi,r i , "á/3) - c3' -ot" , ,

U(r i , rg,r | /B) - cs

Ahora,

a2(r2/3) : U(rz,r!213) - b2@2/B)ca: [1 - Is(J)calU(r2,rl2/t) - k3(3)ca :


: kz(3)U(rz,a!2/3) - k3(3)ca

b1(q /3 ) :

az(rL / B) + b(rL / J)!4. (@ t,.cí, rá / B) - U (q, xí, aá / B) _U(ai,at ,ni) - cz

az(xL/3) + (b(xLl}) - I)U((q,ri,rá/B) _, t t" lr ' t rr ' - l ) -

"g

k2 (3) + t2(3)U ((q, ri, ri / 3)

donde

;Iz(3):ffik2(3) :a2(a|/3)

U(ri,r'r,rt) - csPor lo tanto,

U(q,n2,rsf3) : a{a1/3) - k3(B)¿2(3)U(q,r \r f \ + e2(B)kB(J)U(r2,r \2/3) +k2(3) h (3)U (4, r\s / 3) + lc2 (3) ¿3 (3) U (r 2, r\2 f B)U (*2, r\ I J) +k3 (3)¿2 (3)ü( 4, r\t I 3)U (ne, *\a, / 3) ++/s3 (3)¿2 (3) U (q, r\1 / 3)U (r2, r\2 / 3) *L2 (3) h (3)U (r u r\ t / 3)U (a z, r\ z / 3)tJ (r s, x\3 / 3) -,t2 ( 3),t3 (3) ca

Ahora,

a1(q / 3) : kz(3)U (nt, r\t /3) - h$) cs

y así pues,

U( r1 ,12 , rs fB) lkz(3) - /r3(3) + kr(3)k3(3)ju(q,r\t13) + /c2(3)k3(3)U(*z,r\z/3) +k2(3) b G)U (r s, r\s / 3) + k2 (3 ) ¿s ( 3) II (c 2, r! 2 f 3)u (* s, x\s / 3) +kB(3)¿, (3)U( r 1, x\1 I 3)U (r3, ri3l3) *+k3 (3)¿2 (3) t/ (q, r\t / 3)U (rz, r\z / 3) +

46



Conclusión

¿2(3)¿3(3)u(nuritll)u(r2,r\rl3)u (ca, ri3l3) - k2(3)[eB(3) + rlct

De forma similar se obtiene una relación análoga intercambiando los valores de 11, n2,y nz.S e d e r i v a e n t o n c e s q u e , k l ( 3 ) : k 2 ( 3 ) : k s ( 3 ) : / c ( 3 ) , y ¿ r ( 3 ) : f z ( 3 ) : l g ( 3 ) : l ( 3 ) , Y

U (q, 12, rs f 3) : r(3),h(3)Ir(r 1, r!-1 I 3) + k(3)k(3) t/ (r2, c\2 / 3) +k (3) k (3)U (4, r\3 I 3) + lc (3) ¿ (3) U (r 2, r*-2 f 3)U (r s, r\s / 3) -t

,t(3) I (3) U(r y r!-1 / 3)U (rs, r\s / 3) *

+/c(3) ¿(3) U( r t r! t I 3)U (r2, r!2 I 3) *

I (3) t (3) U(r 1, r! 1 I 3)U (r z, r\2 / 3)U (r s, r! 3 f 3)-k(3)[e(3) * l]ca (Ar2')

I en general,

U(r* /n) : [k(')]'-' iu1*r.*:r/n) +lk(n)l'-2t(n)iu1r,,r!r/n)t)(r¡,r!¡ln) *t:r 3=l

+. . . + l t (n))- tu(q,r* t /n) . . . ( I ( rn,r \* /n) - K(") .

donde,c n : U ( r t , . . . , r i / n ) ,

br(g/n) : ffi , ar(q,/n) : u (et, r\¡ /n) - b,(, /n)",

son constantes independientes de ú.

,k(n) :

K(n) : k(n)[k(n) + 1] . . . [k(rz) + n - 2].

Ahora, y puesto que lf(n) es constante, se obtiene una representación altemativa de laspreferencias condicionadas del agente sobre {Xr, . . . , XnI, dada por la siguiente forma mul-tilineal, dependiente de n:

U(r'/n) : [k(")] '- t lU(rt.r*-r/n) + lk(n)l-21(n)\U1"r,r!r/n)t](r¿,,n\t, /n) *ú:1

:.)

+' ' ' + l l (n) l - rU (q, r \ t /n) . . . U ( rn, r \ * l n) .

Ahora. llamando

uT@) : U(xr,r!-t/n)

47




Obtenemos

U(x" /n) : [k(n)]^-'D"T@) + lk(n)l-2t(n)\ui@¿)u!(r¡) +t:r

i=l+ . . .+ l t (n ) l - tu i ( " ' ) . . .u i@) .ü (4 )

Teorema3: BajolosSupuestosl,2, jy4,yparatodoneT,existenfunciones uf : X¿ --+1fr,t : L,. . . ,n, tales que las preferencias condicionadas se pueden representar de la siguientemanerg,

U (r1, a2, .., x n / n) : ET:pT @t) (s)

Prueba:De los Supuestos 2 y 3, se obtiene,

b¿(r¿/nr:

Consideremos las loterfas:

L(r¿,r41,r\r,r+r,ü : | , ,

L(xiralr,n) : f ,

M (*r+r, *l(r*r), n) : r, M (*r, r*-r, n) : f,Por el Supue sto 4, L - M, dedonde se obti"rr",

1 1 1 1i, @ r, r t+t , r \ t , t+t , n) +

|U (r i , r \ t , n) :

iU (* r* r , r1 1t+r ¡ , n) + jU (r t , x\ t , n)

es decir,

U(u¿,r¿11,r\ t , t+t ,n) - U(a¿,r* t ,n) : (J(r t+t,r \6l l t ¡ ,n) - U(r¿,n* t , f r)

Ahora, por (1),

U (r ¿, r ¿ I 1, r\ r,, + r, n) : q (n) * 0 (n)U (r ¿, r r+t, t\ t,r+ t / n)

U (x¿, r!r, n) : rt(n) * 0 (n)U (r¿, r\, / n)

U (* r+ r, r* (r* r), n) : n (n) -f 0 (n)u (a .r¡, r\ e +t) / n)



Conclusión

U (r¡, r*_r, n) : q(n) + 0 (n) c"

donde U(rf , x* t): cn.Enconsecuencia"

U (rr, r t+t, r\t,t+t / n) - U (x ¿, x!- t / n) : U (rt+t, r\ (r+t l / n) - ",

y por tanto, b¡(r¿/n): 1 para todo ú (lo que implica que l(rz) : 0), y, por tanto,

U (r1, n2, .., tn / n) : I,[:tk(n)ui @¿) - K (n).

Ahora,llamando aT@t): k(n)ui@¿) - L"K("),

U(x1,t2, . . , rn/n) : ET:tü@t). D

Teorema 4: Bajo los Supuestos I, 2, 3 y 4, aeiste unafunción [/ : X -+g yfuncionesu ¿ 6 ¡ : X ¿ - - + l R , n - 1 , . . . , N ; t ( n ) - l , . . . , n , t a l e s q u e p a r a t o d o r : ( r t , . . , c , , n ) € \

U (x", n) : ET:flt@)(r¿) - H (n)

dondel. u¿6y(r¿): k(n)U(rt,n* t,n)2. H(n):o(n)tnk(n) - 1J+ q(n)K(n)

Prueba:Teniendo en cuenta que

U (r",n) : 0(n) + q(n)U ({ /n)

Ahora, del Teorema 3 se obtiene,

U(r" /n) :Ei:1ai@)

donde

uT@r): k(n)u?(rt) - !x@): tc(n)(I(xt ,r \ t /n) - **r" ,

Además,

(6)

U(r¿,r!rf nl: fiVfst,tlt,n)

- e@)l

Por tanto,

u (xn, n) : 0 (n) + q (n)\Talk (n)u (n - ¿, rI / n) - | zr 1"¡ I :: 0(n) + n@)>T:t{k(n)#ñtu(x¿,r* ,,n) - e@)l r'Lx(n)} :

: 0(n) a Ei:l {k(n)[U(r¿,r\t,n) - g(")] - q(n)ET4*K(n)] :: E[:ú(n)U(rt,a\t,n) - 0(n)lnk(") - tl - n(n)K(n)

49




Ahora, si llamamosut@)(r) : Ie(n)U (q, r!_t, n)

H (n) : 0 (n)[nk(n) - 1] + q(n) K (n)se obtiene la Fórmula (6). !

50



Capítulo 4Independencia Mutua vs Independen-cia restringida en las Preferencias a

Resumen

Este artículo evidencia la adecuación del modelo semiseparable para describir l^ pr"ferencias individuales sobre per/iles de salud generales. Mediante un cuestionario, se con-trastan, tanto a nível agregado como individual, dos supuestos alternativos de independen-cia: independencia de los periodos finales respecto de los iniciales, e independenciq de losperiodos iniciqles respecto de losfinales. A nivel agregado, ambos supuestos se satisfacen,mientras que a nivel individual, hay un claro sesgo afavor del primero.

4.1 Introducción

La calidad ajustada por años de vida (QALY) es una medida recomendada en los análisis decoste-efectividad en Salud y Medicina como medida de efectividad. Este modelo se escribeformalmente de la siguiente manera [Bleichrodt er al. (1997)]

QALYs(q,. . , \n,n) sn U(" ' ):4':rGF (r)

siendo n la duración de la vida de un individuo y (r1, ...,rn) la descripción de los estadosde salud de dicho individuo en cada periodo de su vid4 t : I,..,r¿. La fi.mción U(r¿) es unnúmero entre 0 y 1 (denominado utilidad del estado de salud rt) y r es la tasa de descuentotal que 0 ( r < L. Según esta tasa de descuento, a los años de vida en un futuro lejanose les asigna un menor peso que a los años de vida en un futuro cercano. La cantidad totalde QALYs asociados al perfil (rt,..,r,r, n) representan la utilidad total de un perfil de saludindividual completo de duración n periodos. Comparando los costes por unidad de QALYpara diferentes tratamientos, se tiene una medida de coste-efectividad.

La gran ventaja del QALY es su simplicidad. La estructura aditiva conlleva el que la esti-mación de los QALYs generados por un determinado perfil se realice, simplemente, sumandolos QALYs de cada periodo, con la tasa de descuento adecuada. No obstante, han aparecidoen la literatura numerosas críticas al empleo del QALI basadas mayoritariamente en el he-cho de que una medida de tipo aditivo no representa adecuadamente las preferencias de losagentes sobre perfiles de salud [véase Loomes y McKenzie (1989)].

Entre las propuestas alternativas al QALt destacan los HYES [Mehrez y Gafni (1993)],que han sido criticados en base a la dificultad del sistema propuesto para obtener las pref-erencias individuales [\\ákker (1996)]. El HYE aunque es más general desde un punto de

4 El contenido de este capltulo se corresponde con el del artículo Mutual Preferential Independence vsRestricted Preferential Independence in Health Profiles, por Ana M. Guenero, Mimeo, Universidad de Alicante.

5 l



Independencia Mutua vs Independencia restringida en las Preferencias a

vista teórico presenta más dificultades a la hora de ser obtenido que el QALY [Bleichrodt H.(1ee5)1.

Guerrero y Herero (1999a,1999b) presentan una medida altemativa de efectividad" másgeneral que el QALI y que viene expresada de la siguiente manera

U(*t,..,tn,n):Eird¿(r¿)ft!,-'",(r,) Q)

De estamanera,U(r1,..,frn,n) valoraentérminos deutilidadunperfilde salud individualcompleto. En este modelo, la función c"(r") toma valores entre 0 y L y representa una tasa dedescuento similar al descuento r de los QALYs. La diferencia básica entre estas dos tasas esque, en el modelo general, la tasa de descuento depende del estado de salud, r, y delperiodoen el que se presenta dicho estado, mientas que la tasa del modelo QALY es completamenteindependiente de los estados de salud y del periodo en donde se aplique ya que es una tasa dedescuento constante. La tasa cr(rr) mide el grado de influencia del estado de salud presente,nr,y del periodo en que se produce sobre los estados de salud futuros.

La expresión (2) surge de realizar un análisis de valoración intertemporal de los perfrles desalud. El ejercicio mental que sustenta esta fórmula es del tipo siguiente: en cada periodo detiempo, los agentes valoran su futuro esperado. Para obtener la valoración actual de un perfilcompleto se realiza entonces un proceso de 'inducción hacia atrás" que actualiza al presentetodas estas valoraciones futuras. En este contexto, serealizaun supuesto de independenciabastante natural, la índependencia de las preferencias delJuturo respecto del pasado. Estosignific4 simplemente, que cuando el agente se situa en un detenninado periodo de tiempo,r, la valoración de su "perfil futuro", de t en adelante, es independiente de cual haya sido su"pasado" antes del periodo f. Es deci4 en t, el agente ordena de forma similar cualesquierafuturos, independientemente de los estados anteriores al periodo r.

A la hora de valorar, mediante la expresión (2), un perfil de salud, (r1, ...,a6n), elsupuesto de independencia antes mencionado se taduce en independencia de los periodosfinales respecto de los iniciales. Esto sigrifica que si dos perfiles coinciden en los perio-d o s i n i c i a l e s , , 9 1 : ( " t , . . . t o k ¡ f r k + t t . . . , o n i n ) y 5 2 : ( r r , . . . , f i k s U t + t r . . . r U ^ i m ) ,de tal manera que ,91 > 52, entonces la relación de preferencias entre ellos no varía sicambia lapar tecomúnaambos. Es toes ,s i .g /1 : (y r r . . . tAk¡ Ík+r ¡ . , . r tn )n) ,y S t2 :(yt, . . . t U k ¡ Uk+t ¡ . . . t A¡nirn), entonces St L > St 2.

Este tipo de independencia es más débil que el supuesto de Independencia Mutua en lapreferencias individuales y que tradicionalmente ha dado origen al QALY Ese supuesto, derelevante importancia en la obtención del QALI establece, en términos teóricos, que todosubconjunto del conjunto de posibles estados de salud en cada periodo, {Xt, X2,.., Xr"} esindependiente en las preferencias de su complementario. En otras palabras, si hacemos elegira un individuo entre dos perfiles de salud con estados de salud comunes en alguno o variosintervalos de tiempo su elección no variará al sustituir dichos estados de salud comunes enambos perfiles por cualesquiera otros estados de salud posibles. La independencia del modelo(2) sólo exige que esta propiedad se cumpla cuando las coincidencias se dan en los periodosiniciales. Nótese que el modelo (2) no es incompatible con el (l). simplemente, es másgeneral. Si, en (2), además pedimos independencia de los periodos iniciales respecto de los

52



Método

finales, entonces se recupera el supuesto de independencia mutua [véase Guerrero y Herrero(1999b)1. Asimismo, este tipo de formulación supera una de las críticas realizadapor Loomesy McKenzie sobre el modelo del QALY tradicional: la actitud individual sobre estados desalud presentes deberla depender de las expectativas sobre los estados de salud futuros.

. . .an individual who experiences several months of moderate discomfort as part of a heatmentwhich he expects to result in improvements may place a rather different value on the experience com-pared with an individual for whom the same period in the same state of discomfort is seen as a phase ina degenerative illness, with a much lower expectation of recovery. . .[page 303]

Tieadwell (1998) realizaun estudio empírico cuyos resultados avalan el supuesto de In-dependencia Mutua en las preferencias compatible con el modelo üadicional del QALY Hayvarias caracterlsticas en los test de Treadwell que merece la pena menciona¡. Por un lado,utiliz-a unos estados de salud muy particulares que están repartidos en intervalos de tiempode igual duración. Por otro, los perfiles que se comparan poseen idéntica duración de vida.Finalmente, los resultados que se presentan lo son a nivel agregado.

En este nabajo pretendemos contrastar emplricamente si el supuesto de independenciade los intervalos finales respecto de los iniciátes se cumple .on *uyo, frecuerrcia que elmás fuerte de independencia mutua. Altemativamente, si el supuesto de independencia delos intervalos finales respecto de los iníciales se cumple con mayor frecuencia que el deindependencia de los intervalos iniciales respecto de losJinales.

El análisis se realiza mediante un cuestionario que presenta dos tipos de tests, cada uno deellos encaminado a contrastar el cumplimiento de un tipo de independencia. Hay varias difer-encias respecto de nuesto cuestiona¡io y el de Tieadwell (1998). En primer luga4 nosotroshemos incluido algunos tests en los que aparece incertidumbre. En segundo luga4 nosotrosconsideramos perfiles de salud de longitud muy variada, y no nos hemos concentrado, comoallí, en perfiles de.longitud constante (30 años); asimismo, los periodos crónicos denfto denuestros perfiles de salud son de longitud variable. Finalmente, el rango de estados de salud ennuestro caso es mayor (4 en lugar de 3), y están asociados a un gtan nrlmero de enfermedades,algunas de ellas severas. Asimismo, nosoftos realizamos, además del análisis agregado, otroa nivel individual.

Nuestros resultados, a nivel agregado, son similares a los de Tieadwell: ambos supuestosde independencia se satisfacen en la mayor parte de los casos, aunque hay un claro sesgo afavor de la satisfacción de la independencia de los intervalos finales respecto de los iniciales(Encuesta 1). Si nos concentramos en el análisis de los datos a nivel individual, hay unadiferencia importante entre la satisfacción de ambos supuestos de independencia. En estesentido, nuestros resultados parecen indica¡ una mayor adecuación del modelo (2) con laspreferencias individuales.

En la Sección 2 describiremos la metodologla utilizada en la construcción de los testscuyos resultados se obtienen de la elaboración de un cuestionario. En la Sección 3 comenta-mos los resultados obtenidos realizando dos tipos de análisis: unos a nivel agregado, y otrosa nivel individual. La Sección 4 presenüa las Conclusiones.

53



4.2


Método

4.2.1 Sujetos

Los sujetos del estudio son 49 estudiantes de la Universidad de Alicante de l8 a 20 años. To-dos estaban cursando distintas ca¡reras universitarias y recibieron crédito extra por su partici-pación. A estos sujetos se les realizó de manera individual, mediante una entrevista personal,una encuesta elaborada con 28 preguntas.

4.2.2 Estados de Salud

Se utilizaron cuatro estados de salud, descritos en el Apéndice 1 : A, estado de salud excelente,D, estado de salud de severas condiciones, y dos estados de salud intermedios, B y C. Para ladescripción de los estados de salud, empleamos únicamente dos atributos: (1) capacidad pararealizar las tareas en crlsa ylo en el trabajo, y (2) dolor y/u otras quejas. Estos dos atributoshacen referencia a dos tipos de efectos sobre las condiciones de salud en que se traducenla mayorfa de las enfermedades. Dichos efectos han sido elegidos de la manera más generalposible y son fácilmente identificables por los individuos encuestados. Describimos los cuatoestados de salud de tal manera que cada uno de ellos se puede corresponder con diferentesenfermedades. Tal como se explicitan los estados de salud el orden natural es: A > B > C >D.

Los estados de salud anteriores se combinan para construir s¡72 aciones o perfiIes de salud.Estas situaciones se entienden, en todos los casos, como posibles de ser padecidas por elagente entrevistado, desde el presente en adelante. Todas estas situaciones sonJinales, en elsentido de que presentan al individuo su historia futura completa: el número de años en queestará en cada uno de los estados de salud, la cronologla, y el momento de la muerte.

Los agentes se enfrentan a decisiones enfe situaciones alternativas. En algunos casos, lasdecisiones se presentan en un escenario con riesgo, de forma que lo que sé presenta al agentedecisor es vna sítuacíón contingente. En ella, con una cierta probabilidad su escenario futwoes uno, mientras que con la probabilidad complementaria, su futuro es diferente. Asociamosla incertidumbre a la aplicación de ciertos tipos de tratamientos médicos, que, con una prob-abilidad alta (en nuestro caso siempre del95%) tienen éxito, y con una probabilidad pequeña(para nosotros 5%), pueden fracasar. Estas probabilidades han sido elegidas basándonos en lasprobabilidades de éxito que los médicos consideran aptas como para proponer al paciente laaplicación de un tratamiento médico. En el Apéndice 2 se presenta una pregunta tipo, dondese observan dos situaciones como ejemplo, una cierta (S1), y ofia contingente (S2).

4.2.3 Diseño y Materiales

Las situaciones de salud que se plantean a los encuestados son de fndole muy variada. Primero,no todas las situaciones tienen una longitud fija, de modo que la longítud de la vida es unavariable relevante. Segundo, las situaciones se corresponden con perfiles no crónicos, aslque diferentes estados de salud apaxecen en cada situación. Una situación de salud típica

54



Método

está formada por dos/tres intervalos donde la salud es constante, asl que sus atributos básicosserfan: intervalos "crónicos'; longitud de cada intervalo crónico, estado de salud en cadaintervalo crónico y secuencia. Asl, en la situación 52, test 8 de la encuesta l, el primer periodocrónico consta de l0 años en el estado A, el segundo periodo es de l0 años en el estado C, y,finalmente, el tercer periodo es de dos años en el estado B. Gráficamente,

t0 -o

En las altemativas propuestas en las cuestiones de la Encuesta 1, siempre se hace elegir alindividuo entre dos situaciones de salud coincidentes en eI primer periodo cróníco. En estaencuesta, pretendemos contastar hasta qué punto el agente es independiente en sus preferen-cias sobre situaciones en salud, de la coincidencia de ambas en el primer periodo. Los 8 testsque aparecen en la Tabla l, se corresponden con elecciones de este tipo. Los tests 5-8 se cor-responden con un entorno de certidumbre; los tests del 1-4 se corresponden con un entornode riesgo. Cada test está formado por una pareja de perfiles de salud, donde la parte comúnenfre las dos altemativas, cambia. Por ejemplo, en el test 5, si se elige la situación Sl sobrela 32, debería elegirse Sl' sobre S2'. Gráficamente,

En las alternativas propuestas en las cuestiones de la Encuesta 2, siempre se hace elegiral individuo entre dos situaciones de salud coincideües en el último periodo crónico yáIa duración de Ia vida. En esta encuesta, pretendemos contrastar hasta qué punto el agentees independiente en sus preferencias entre dos situaciones en salud, del hecho de que ambassituaciones coincidan en el último periodo crónico. Los tests que aparecen en lá Tabla 2,se colTesponden con elecciones de este tipo. Todos los tests se realizan en un entorno decertidumbre. Cada test está formado por una pareja de perfiles de salud, donde la parte comúnentre las dos alternativas, cambia. Por ejemplo, en el test 9, si se elige la situación Sl sobre

55

# )




la 52, debería elegirse Sl' sobre S2'. Gráficamente,

# 9

Obsérvese que de los 25 tests realizados en certidumbre, 22 tests son de los denominadosde sustitución [ver Tieadwell (1998)]: no hay dominancias claras de salud total entre las dossituaciones alternativas que se plantean en cada cuestión. Los 3 últimos son de consistencia.

l--lle¡lo

ENCUESTA 1

mffiEffi

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IilEIwSFT+"

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c i a D S &



Método

a r 0 t t

a

ENCUESTA 2(hbla2'¡

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, Et---.-t H"W,ry; l

E"mwT.wl---" |_" E¡ffi;l



lndependencia Mutua vs Ildependencia restringida en las Preferencias a

Tests de consistencia

4.2.4 Procedimiento

Los agentes leen una breve descripción de cada estado de salud explicada en el Apéndice I.Se enfatiza en las instrucciones que sólo se experimenta uno de los cuato estados de saluden cada intervalo de tiempo de vida. Se producen 28 elecciones que comprenden los datosde cada sujeto. Estas elecciones sirven para configurar 29 tests. De ellos, tres son de consis-tenci4 y el resto,26, son de independencia. Los pares de preguntas correspondientes a cadatest de independencia en las dos series de tests se colocaron lo más alejadas posible en unmismo cuestionario. De ese modo evitamos que los encuestados contestaran por inercia de lamisma manera en pares de preguntas correspondientes al mismo test. En cada uno de los 28pares de perfiles, los sujetos fueron interrogados acerca del perfil que preferirían en caso depadecer realmente alguna enfermedad o situación accidental que les provocara dichos estadosde salud. Para ello los entrevistadores exponían a los encuestados al menos dos situacionesreales alternativas subyacentes a cada perfil de salud, de manera que, con una alta probabili-dad, el encuestado fuera capaz de imaginarse y evaluar la situación. Las situaciones reales secorrespondían con alguna de las siguientes enfermedades: cardiovasculares, renales, doloresde cabeza, dolores de espalda, SIDA, enfermedades reumáticas y lesiones accidentales. Unejemplo del tipo de preguntas realizadas se encuentra enelApéndice 2.

4.3 Resultados

4.3.1 Análisis agregado

Analizamos las elecciones tomadas por cada uno de los individuos en los dos pares de situa-ciones de salud que constituyen cada test de independencia. Agrupando dichas elecciones

58

f 'wwFqwq



Resultados

obtenemos las proporciones de individuos que en cada uno de los tests ha satisfecho la propiedadde lndependencia. Pa¡a ello, realizamos un análisis muy simple basado en los "sign-matóhingtests" introducidos por Miyamoto, Lundell and 1ü. Asignamos una "puntuación de indepen-dencia" para cada test y cada individuo. Dado que la encuesta sólo se realizó una vez, iadatest fue valorado con una puntuación de I si la propiedad de Independencia fue satisfechapor el individuo y 0 si el individuo no se mosüó independiente en sus preferencias. Las pun-tuaciones medias de independencia (e intervalos de confianza delgSo/o)para cada uno de los26 tests (que no son de consistencia o sensibilidad al orden) se muestran enla Fígura I. To-das las medias fueron más elevadas que 0.5 indicando satisfacción significativá de ambaspropiedades de Independencia en las preferencias (es decir de Independencia Mutua de lasPreferencias). Se observa que los valores medios en los tests, l-8, de Independencia de losperiodos finales respecto de los iniciales, son más bajas que las medias en los tests, 9-26, deIndependencia de los periodos iniciales respecto de los finales. En particula4 el máximo valormedio de la segunda serie de tests (dado para el test 2l) está sólo un punto por encima delmÍnimo valor medio de la primera serie de tests (dado para el test 6). Por lo tanto, a la hora deasumir una de las dos propiedades de lndependencia sobre las preferencias de los individuosparece más adecuado establecer que éstas satisfacen independencia de los periodos finales re-specto de los iniciales, que la propiedad alternativa. Los resultados de cada test se exponenenelApéndice 3.

Con el fin de reforzar estos resultados analizaremos ahora los datos obtenidos desde ofropunto de vista en el siguiente apartado.

59



Independencia Mutua vs lndependencia restringida en las Preferencias a

1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0

Figura I

4.3.2 Análisisindividual

En este apartado estudiamos la composición de individuos cuyas preferencias han cumplidouna o ambas propiedades de Independencia en la mayoría de los tests. Las preferencias de unindividuo en cada serie de tests se consideran en general independientes cuando este agenteha satisfecho esta propiedad en un número de tests igual o mayor que un valor preestable-cido. Para ello establecemos un límite máximo de tests permitido, en ambas series de tests,donde el individuo no satisfaga la propiedad de independencia. En la Tabla 3 se exponen lasproporciones de individuos cuyas preferencias individuales se han mostrado independientesatendiendo a un valor límite mráximo. En la primera serie de tests (Encuesta 1) ese númerolímite, n, toma el valor 2, y en la segunda serie @ncuesta2) elnúmero límite se fijaen4,yaque la segunda serie consta del doble de tests que la primera. Los resultados se describen dela siguiente manera: la columna de f (PI)i (< 2) presenta el porcentaje de individuos cuya:ipreferencias satisfacen independencia de los periodos finales respecto de los iniciales, con dostests fallados como máximo. Por el contrario la columna f (NPI)i (> 2) presenta el por-

(U.PoE8.oEsoroEo

IIIltlillIIIItlrIIlII

I

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1

NúnBro de Test



Conclusión

centaje de individuos cuyas preferencias no satisfacen independencia de los periodos finalesrespecto de los iniciales, considerando como tales a los que fallan más de dos tests de este tipo.La fila ¿(PI)f (< l) presenta el porcentaje de individuos cuyas preferencias satisfacen in-dependencia de los periodos iniciales respecto de los finales; con un máximo de cuatro fallos.La fila i(N P I) f (> I ) presenta el porcentaje de individuos cuyas preferencias no satisfacenindependencia de los periodos iniciales respecto de los finales, considerando como tales alos que fallan más de cuatro tests de este tipo. Nótese que el porcentaje total de individuosque satisfacen independencia de los periodos finales respecto de los iniciales, es del 87,8yo,mientras que el porcentaje total de individuos que satisfacen independencia de los periodosiniciales respecto de los finales es del42,9Yo. Ambos supuestos de independencia son satis-fechos por un 38,8yo de individuos. De nuevo, este análisis individual indica claramente unmayor cumplimiento de la hipótesis de independencia de los periodos finales respecto de losiniciales sobre cualquiera de las alternativas: independencia de los periodos iniciales respectode los finales, o independencia mutua.

Yo total muestra f (Pr) i (< 2) f (NPr)¿ (> 2) 7'otali (Pr ) Í (< ¿) ,E 4,1 12,9i , (NPr)f (> 4) 49 8,16 t-tTotal 87,8 t2.26 t00

Tabla 3

4.4 Conclusión

A nivel agregado, ambos supuestos de independencia se satisfacen en la mayor parte de loscasos, aunque hay un claro sesgo a favor de la satisfacción de la independencia en los testsde la Encuesta l. Si nos concentramos en el análisis de los datos a nivel individual, hay unadiferencia importante entre la satisfacción de ambos supuestos de independencia. El por-centaje total de individuos que satisfacen independencia de los periodos frnales respecto delos iniciales, es del 87,8%, mientras que el porcentaje total de individuos que satisfacen inde-pendencia de los periodos iniciales respecto de los furales es del42,9o/o. Ambos supuestos deindependencia son satisfechos por un 38,8% de individuos.

Nuestros resultados agregados son similares a los obtenidos en Tieadwell (1998), dondese argumenta a favor de la hipótesis de independencia mutua en base a que dichos test sonsatisfechos mayoritariamente. Dado que allí no se presenta un análisis individualizado, nopodemos comparar sus resultados con los nuestros, en este aspecto.

Nuestro trabajo presenta varias diferencias respecto de Tieadwell (1998). En primer lu-gar, nosotros hemos incluido algunos tests en los que aparece incertidumbre. No parece queesto provoque menores cumplimientos del supuesto de independencia, sino al contrario. Ensegundo lugar, nosotros consideramos perfiles de salud de longitud muy variada, y no noshemos concentrado, como allí, en perfiles de longitud constante (30 arios); asimismo, los pe-riodos crónicos dentro de nuestros perfiles de salud son de longitud variable. Finalmente, el

6 l




rango de estados de salud en nuestro caso es mayor (4 en lugar de 3), y están asociados a unnrlmero grande de enfermedades, algunas de ellas severas.

A semejanza de lo que octure en el habajo de Hall et al (1992), en algunos casos aparecencaus¿ts holfsticas que pueden explicar algunas violaciones de la independencia. En algunosde nuestros tests hemos observado este efecto con situaciones de infertilidad.

Los efectos secuenciales observados en Krabbe y Bonsel (1998) que confiadicen el modeloQALY no entran en conflicto con el cumplimiento únicamente de la independencia de losperiodos finales respecto de los iniciales. El modelo de Herrero y Guerrero (1999a) permitetasas de descuento endógenas (y por tanto no constantes), que podrlan ser consistentes consus resultados. Análogamente, estos modelos no entran en contradicción con los hallazgosde Richardson et al (1996), que también pueden hacerse consistentes con tasas de descuentoendógenas.

Algo similar podemos comentar respecto del trabajo de Kuppermann et al (1997). Ellosconcluyen que las estimaciones de los perfiles de salud no se pueden re alizar de forma ajustadautilizando rlnicamente información sobre los estados de salud en intervalos de tiempo aislados.De nuevo, valoraciones completas de los perfiles son compatibles con el cumplimiento de unahipótesis de independencia resningida" la independencia de los periodos finales respecto delos iniciales.

En resumen, del estudio empírico realizado en este artículo se deriva que el supuesto deindependencia en las preferencias de los periodos finales respecto de los iniciales resulta másadecuado que el de independencia mutua. Tanto los resultados emplricos obtenidos en esteestudio como los obtenidos por otros autores, sonmás consistentes con el modelo semisepara-ble que con el QALY tradicional, en el aspecto de las propiedades de independencia. Aunque,aparentemente, el modelo semiseparable es más representativo de las preferencias individ-uales, resulta más complicado de estima4 pues se han de utilizar perfiles de salud generales.Se tiene, por tanto, un trade-offentre sencillez y representatividad de las preferencias indi-viduales. De hecho, diseña¡ una técnica de estimación para este tipo de modelos es aún unproblema abierto.

62



Conclusión

Apéndice IDescripción de los estados de salud

ACTIVIDADES DIARI,AS GENERALES

o capaz de realizar todas las tareas en casa y/o en el fiabajo sin problemas.o No capacitado para realizar muchas tareas en casay/oen el trabajo.¡ No capacitado pararealizar ninguna tarea en casa y/o en el trabajo.

DOLORYruOTRAS QUEJAS

o Ningún dolor y/u otras quejas.o A menudo de ligero a moderado dolor y/u otras quejas.o A menudo de moderado a intenso dolor y/u otras quejas.

Los estados de salud que mostramos a los encuestados vienen descritos por combinacionesde los niveles de cada uno de los atributos antes descritos. Seleccionamos 4 estados de salud-que denominamos A,B,C,D, de forma que

A > B > C > D

Defurimos cada uno de los estados de salud como sigue.

A

capaz de realizar todas las tareas en casa y/o en el trabajo sin problemas.Ningún dolor y/u ofias quejas.

capaz de realizar todas las tareas en casa y/o en el trabajo sin problemas.A menudo de ligero a moderado dolor y/u otras quejas.

No capacitado pararealizar muchas tareas en casa y/o en el trabajo.A menudo de ligero a moderado dolor y/u otras quejas.

No capacitado puarealizar ninguna tarea en casay/o en el habajo.A menudo de moderado a intenso dolor y/u otras quejas.

B

c

D

63



Independencia Mutua vs Independencia resfingida en las preferencias a

Apéndice 2EJEMPLO PREGUNTA

Indique si las situaciones de salud (después de las cuales se muere) que se le proponenson indiferentes para usted. En caso en que no lo sean señale cual prefiere:(Sl) Usted es portador de un gen que le asegura el desanollo de ciert¿ enfermedaddentro de 4 años. Durante ese periodo disfrutará de un estado de salud perfecto talcomo el A. Una vez que se manifiesta la enfermedad decide aplicarse un tratamientoque le hará disfrutar del estado de salud B durante los restantes 15 años de su vida.(S2) Usted es portador de un gen que asegura el desarrollo de cierta enfermedad dentode 4 años. Durante ese periodo disfrutará de un estado de salud perfecto tal como el A.Una vez que se manifiesta la enfermedad decide someterse a un tratamiento donde conuna probabilidad del 95Yo volverá a disfrutar del estado de salud A durante 26 añosmás y con una probabilidad del 5%o padecerá el estado D durante l0 años mas.

64



Conclusión

Apéndice 3

Resultados de Independencia en los tests

ENCUESTA 1(Tests 1-8)

65



Independencia Mutua vs lndependencia restringida en las Preferencias a

ENCUESTA2(Testsg-26)

#-9-t4 #15-20

#9 aS/ a52 a #15 e S / eS? C I

bs1 20 6 f ,s1 t2 5 )bs2 8 13 I fs2 8 16 Ib 1 I f I I I 3

#10 cS/ c 5 2 c #16 h ̂ s/ h.s2d.s/ t0 l3 ss/ 10 2ds2 7 15 s. s2 8 23d,I s.I 2 I

#il aJ.¿ a52 a I # t7 hs/ hs2 h /c J / T4 3 e51 t3 8c.S2 11 16 I e52 5 16 1c l 4 e l 7 2 2

#12 a.S/ a32 a I # 1 8 h,s1 hs2 h Ids1 20 7 f ,s/ 15 5ds2 9 t2 I f s2 I 18 td 1 f / 3 .,

# 1 3 C,S1 c52 c #19 e 5 1 e 5 2 E Ibs/ t4 10 7 S,S1 9 7 Ibs2 3 l 8 1 cs2 9 l9b I I g I 3 I 7

#t4 d.s/ d,s2 d I #20 g.s/ s. s2 Ib.s/ t8 8 f ,s1 ll 7 t

bs2 7 l5 f s2 I ,,', Ib I I f I , 3

66



Conclusión

67



Bibliografia

Bibliografíalll Bleichrodt, H., Wakker PP y Johannesson M. (1997),"Characterizing eAlys by Risk

Neutrality", Journal of Risk and Uncertainty 15, 107-114.

[2] Bleichrodt, H. (1995), "QALYs and IfYEs: Under what conditions are they equiva-lents?", Journal of Health Economics 14,17-37.

[3] Bleichrodt, H. y Gafni, A. (1996), "Time preference, the discounted utility model andhealth", Journal of Health Economics 15,49-66.

l4l Bleichrodt, H. y Quiggin J. (1997), 'Characterizrng QALYs under a General Rank

Dependent Utility Model", Journal of Risk and Uncertainty 15, l5l-165.

l5lFishburn,P(1974): "vonNeuman-MorgensternUtilifyFunctionsonTwoAttributes",Operations Research 22, 3 5-45.

[6] Fishburn, P y Keeney R (197Q: 'seven lndependence concepts and continuousMulti-attribute utility Functions", Journal of Mathematical Psychology ll, zg4-327.

[7] Fishburn, P y Keenel4 R (1975): " Generalized Utility Independence and some Impli-cations ", Operations Research 23 (5), 928-9 40.

l8l Fishburn, P y Rubiratein, A. (1982), "Time preference", International EconomicReview 23,677-694.

f9l Gorman, wM. (1968): "The structure of utility functions", Review of EconomicStudies 35,367-390.

ll0f Guerrero, A.M.y Hetero, C. (1999a), "General Preferential Independence in theevaluation of health profiles", WP A discusión, en prensa, Universidad de Alicante.

lll) Guerrero, A.M.y Herrero, C. (],999b), "Evaluation of Health Profiles with VariableTime Horizons", Mimeo, Universidad de Alicante.

ll2l Guerrero, A.M. (1 999) , "Mutual Preferential Independence vs Restricted PreferentialIndependence in Health Profiles", Mimeo, Universidad de Alicante.

lr3l Hall J., Gerard K., salkeld G. y Richardson J.A. (1992), "A cost utiliry analysis ofmammography screening in Ausfialia" Soc Sci Med., 34, 993-1004.

ll{lJones-Lee, Michael w, Loomes G. y Phillips PR (1995): " \áluing the Prevention ofNon-Fatal Road Injuries: Contingent Valuation Vs. Standard Gambles", Oxford EconomicPapers 47,676-695.

68



[15] Keenela R y Raifa, H. Q976): "Decisions with Multiple Objectives: Preferencesand Value Tiade-offs". John Wiley and sons, New York.

116l Koopmans, TC. (1960): " Stationary ordinal utility and impatience", Econometrica28,287-309.

flTf Koopmans, TC., Diamond, PA., y Mllíamson, R.E. (1964): " Stationary utility andtime perspective", Econometrica 32, 82-100.

U8l Krabbe PFMy Bonsel GJ. (1998), 'sequence effects, health profiles, and the eALymodel", Medical Decision Making 18, 178-186.

U9l Krupnicl; A.J. y cropper ML (1992): 'The effect of information on Health Risk\y'aluations", Journal of Risk and Uncertainty 5, 29-48.

l20l Kuppermann, M, Shiboski, S, Feerql D., Elkin, E.p y Washington, AE (1997), .,Canpreference scores for discrete states be used to derive preference scores for an entire path ofevents? An application to prenatal diagnosis', Medical Decision Making 17,152-lsg.

l2ll Loomes, G. y McKeraie, L. (1989): "The use of eAlys in Health care DecisionMaking", Social Science Medical 28, (4),299-308.

[22] Magat, wA., l4scasi, w K y Hubeq J. (1996): 'A Reference Lonery Merric forrráluing Health ", Managem ent Science 42, lllS - ll3 O.

[23] Mehrez, A. y Gafni, A. (19s9): "euality-Adjusted Life years, utiliry Theory andHealty-Years Equivalence", Medical Decision Making 9, l4Z-149.

[24] Miyamoto, J.M. (I 983): "Measurement Foundations for Multi-attribute psychophys-ical Theories Based on First Order Polynomials, Journal of Mathematical Psychology 27,r52-t82.

[25] Miyamoto, J.M. (1988): "Generic Utility Theory: Measurement Foundations andApplications in Multi-attribute Utility Theory", Journal of Mathematical psychology 32,357-404.

[26) Miamoto, J.M. y wakkeq pp: (1996): 'Multi-attribute uriliry Theory without Ex-pected Utility Foundations ", Operations Research 44, 3 13 -326.

[27] Miyanoto, J.M, Wakiker PP, Bleichrodt, H. y peters, H.J.M: (lggg), "The Zero-Condition", Management Science 44, (6), 839-849.

l28l Miyamoto JM, Lundell JW y Tu s. (199?), " Sigr matching tests for ordinal inde-pendence in paired comparison and rating data', working paper Department of psycology,University of Wbshington, Seattle, ü/ashington.



Bibliografia

[29] Olsen, J.A. (i,993): "Time preference for health gains: An empirical investigation",Health Economics 2, 257 -265.

[30]Plinskin, J. s.. shepharQ D.s. y weiratein, M. c. (lgg0): 'utilityFunctions forLifeYears and Health Status", Operations Research 28,206-224.

[3]) Richardson J., Hall J. y Salkeld G. (1996), "The measurément of utility in multiphasehealth states", Int J Technol. Assess Health Care,12, 15l-162.

[32] Ried, W (1997): "Freferences for Health with Generalized Utility Independence",' Mimeo', Economics Department, Universitiit Mannheim.

l33f Treadwell J.R. (1998).' "Test of Preferential Independence in the QALY Model",Medical Decision Making, 18, 418-428.

[34]wscusi, wK., Mogat, wA.y Hube6J. (1991): 'pricingEnvironmenralHealthRisks:

Survey Assessments of fusk-Risk and Risk-Dolla¡ Tiade-Offs for Chronic Bronchitis". Jour-nal of Environmental Economics and Management 21, 32-51.

[35] Wakker P (|996), "A criticism of healthy-years equivalents", Medical DecisionMaking 16,207-214.

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