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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Coordinación de mecatrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Controladores de Robots Rígidos: Un Análisis Comparativo entre las Metodologías de Control Clásico, Adaptable y Robusto Basadas en el

Método de Lyapunov

presentada por

Josue Román Martínez Mireles Ing. en Electrónica por el I. T. de San Luis Potosí

como requisito para la obtención del grado de: Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecatrónica

Director de tesis: Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez

Co-Director de tesis:

Dr. Luis Gerardo Vela Valdés

Jurado: Dr. Marco Antonio Oliver Salazar – Presidente Dr. Carlos Daniel García Beltrán – Secretario

M.C. José Luis González Rubio Sandoval – Vocal Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 18 de diciembre de 2006

Dedicatoria Con amor a mis padres María Magdalena y Román por infundar en mi la dedicación, constancia, responsabilidad y el deseo de superación además de brindarme su apoyo y su cariño en todos los momentos de mi vida.

Con mucho cariño a mi hermano Luis Daniel, sabes que siempre contarás conmigo. Te quiero mucho rana.

A todos aquellos de los que me he alejado para continuar mi formación.

Y con todo mi amor, a la mujer de mi vida Jazmin. Le diste un nuevo sentido a mi vida, le doy gracias a dios por haberte encontrado. Te amo, y recuerda: Solo unas palabras…

Agradecimientos A Jesús por estar ahí siempre que he necesitado de ti. De una manera muy especial, a mis asesores el Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez y el Dr. Luis Gerardo Vela Valdés por haber compartido sus conocimientos y su amistad desinteresada. A mis revisores, el Dr. Marco Antonio Oliver Salazar, el Dr. Carlos Daniel García Beltrán y el MC. José Luis González Rubio Sandoval, por sus correcciones que ayudaron a mejorar éste proyecto de investigación. A mis compañeros del CENIDET, pero sobre todo a Miguel, Fernando, Rafael y Ángel, quienes fueron mi familia en Cuernavaca. A todos aquellos quienes, a pesar de estar lejos, me brindaban su cariño y su amistad. Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico por brindar sus instalaciones y el apoyo institucional para el desarrollo del presente proyecto de investigación. Al Consejo del Sistema Nacional de Educación Tecnológica y a la Dirección General de Educación Superior Tecnológica por el apoyo económico otorgado para el desarrollo de este trabajo.

Resumen

Un robot manipulador industrial es una máquina manipuladora con varios grados de libertad controlada automáticamente, reprogramable y de múltiples usos. Son comúnmente empleados en tareas repetitivas y de precisión, así como en actividades peligrosas para operadores humanos.

Las principales ventajas argumentadas para el uso de robots manipuladores en la

industria son la reducción de los costos de producción, el incremento de la precisión, la calidad y la productividad, y una mayor flexibilidad comparada con la de las máquinas especializadas.

Para realizar las actividades, el robot manipulador requiere de un sistema de

control que tenga el propósito de mantener un movimiento preestablecido del manipulador a lo largo de una trayectoria deseada, la cual está sujeta a ciertos patrones de posición, velocidad y aceleración, considerando las limitaciones físicas de los dispositivos actuadores.

Es así como el objetivo del control en los robots manipuladores es maximizar la

precisión, la repetibilidad y la velocidad de ejecución simultáneamente en la medida de lo posible, ya que pueden ser contradictorios entre sí. Se debe establecer un compromiso según las necesidades prácticas de cada aplicación.

Las exigencias de la industria actual requieren que el robot manipulador cuente

con técnicas de control más avanzadas para cumplir con las necesidades de la industria. Esas distintas técnicas requieren conocer las características que se presentan en la operación del robot para que al implementarlas se tengan mejores resultados.

Con un análisis de la operación de robot rígido de tres grados de libertad con

articulaciones rotacionales al ser controlado por metodologías de control del tipo clásico, robusto y adaptable, se establece una comparativa del desempeño que presentan dichas técnicas.

Para realizar el análisis, primero se obtienen los modelos cinemáticos directo e

inverso del robot manipulador. Después, se obtiene el modelo dinámico por medio de la metodología de Euler-Lagrange. Como un complemento al análisis del comportamiento del robot manipulador se desarrolla el modelo dinámico del mismo con la metodología de Hamilton.

El diseño de los controladores se realiza por medio de las metodologías de

diseño y rediseño de Lyapunov, incluyendo el análisis del acotamiento de las señales de error y posición del robot manipulador.

El análisis comparativo se lleva a cabo por medio de simulación donde se realizan cambios en las trayectorias a seguir, cambios en el nivel de incertidumbre, cambios en la ubicación de la incertidumbre, cambios en el peso de la carga.

Abstract

An industrial manipulator robot is a manipulating machine with several degrees of freedom, automatically controlled, reprogrammable for multiple uses. Commonly they are used in repetitive tasks and precision tasks, as well as in dangerous activities for human operators.

The main advantages for use of manipulator robots in the industry are the

reduction of the production costs, the increase of the precision, the quality and productivity, and a greater flexibility than specialized machines.

In order to make the activities, the manipulator robot requires a control system

that has the intention to maintain a pre-established movement of the manipulator throughout a wished trajectory, which is subject to certain patterns of position, speed and acceleration, considering the physical limitations of the devices actuators.

It is as well as the objective of the control in manipulator robots is to maximize

the precision, the repeatability and the speed of execution simultaneously as far as possible, since they can be contradictory. A commitment is due to establish according to the practical necessities of each application.

The exigencies of the present industry require that the manipulator robot counts

with advanced control techniques in order to fulfill the necessities of the industry. Those different techniques require to know the present characteristics in the robot operation so that when are implemented those present better result.

With an analysis of the operation of rigid robot of three degrees of freedom with

rotational joints to be controlled by methodologies of robust control, adaptive control and the classic control. A comparative of the performance that presents these methodologies is established.

In order to make the analysis, first the kinematic direct and inverse models of

the manipulator robot are obtained. Later, the dynamic model by means of the methodology of Euler-Lagrange is obtained. As a complement to the analysis of the behavior of the manipulator robot is developed the dynamic model with the methodology of Hamilton.

The controllers design is made trough the design and redesign methodologies of

Lyapunov, including the analysis of the bounds of error and position signals in the manipulator robot.

The comparative analysis is made by means of simulation where changes are

made in the tracking trajectories, changes in the uncertainty level, changes in the location of the uncertainty and changes in the load weight.

Controladores de robots rígidos: un análisis comparativo

- i -

Contenido Contenido ................................................................................................................................ i Lista de Figuras ..................................................................................................................... iv Lista de Tablas.......................................................................................................................vi Nomenclatura.........................................................................................................................vi Abreviaturas y Acrónimos..................................................................................................... ix Capítulo 1. Introducción ...................................................................................................... 1

1.1. Antecedentes................................................................................................................ 1 1.2. Planteamiento del problema ........................................................................................ 2 1.3. Justificación................................................................................................................. 3 1.4. Objetivos...................................................................................................................... 3

1.4.1. Objetivo general ................................................................................................... 3 1.4.2. Objetivos particulares ........................................................................................... 3

1.5. Estado del arte ............................................................................................................. 3 1.6. Método de solución ..................................................................................................... 4 1.7. Metodología................................................................................................................. 4 1.8. Alcances ...................................................................................................................... 5 1.9. Estructura del documento. ........................................................................................... 5

Capítulo 2. Modelado Cinemático....................................................................................... 7

2.1. Introducción................................................................................................................. 7 2.2. Modelado cinemático directo. ..................................................................................... 8

2.2.1. Matrices de transformación homogénea............................................................... 8 2.2.2 Modelado cinemático directo del robot SCORBOT ER-V +.............................. 10 2.1.3. Modelado cinemático directo del robot PUMA ................................................. 11

2.3. Modelado Cinemático Inverso. ................................................................................. 13 2.3.1. Modelado cinemático inverso del robot SCORBOT ER-V+ ............................. 13 2.3.2. Modelado cinemático inverso del robot PUMA................................................. 15

Capítulo 3. Modelado Dinámico........................................................................................ 19

3.1. Modelado Dinámico con las ecuaciones de Euler-Lagrange..................................... 19 3.2. Modelado dinámico de robots manipuladores........................................................... 20

3.2.1. Modelado dinámico del robot SCORBOT ER-V+ usando la formulación de Euler-Lagrange ............................................................................................................. 20 3.2.2. Modelado dinámico del robot PUMA usando la formulación de Euler-Lagrange...................................................................................................................................... 27

3.3. Validación del modelo dinámico de cada Robot ....................................................... 35 3.3.1. Validación del modelo del robot SCORBOT ER-V+ ........................................ 35 3.3.1. Validación del modelo del robot PUMA............................................................ 35

3.5. Propiedades del modelo dinámico de un robot manipulador de n gdl....................... 36 3.5.1. Linealidad en los parámetros dinámicos ............................................................ 36 3.5.2. Matriz de inercia ( )M q .................................................................................. 37

Contenido

- ii -

3.5.3. Matriz centrífuga y de Coriolis ( ),C q q .......................................................... 38

3.5.4. Vector de gravedad ( )g q ................................................................................ 39

3.5.5. Dinámica Residual ( ),h q q ............................................................................. 39

3.6. Modelado Dinámico por medio de la formulación de Hamilton............................... 40 3.6.1. Modelado dinámico por la metodología de Hamilton........................................ 41 3.6.2. Comparación del modelo dinámico del robot SCORBOT ER-V+ obtenido por la metodología de Hamilton con el modelo dinámico obtenido por medio de la metodología de Euler-Lagrange. .................................................................................. 43

Capítulo 4. Control de Movimiento .................................................................................. 45

4.1. Introducción............................................................................................................... 45 4.2. Fundamentos Matemáticos de la teoría de Lyapunov. .............................................. 46

4.2.1. Conceptos Básicos.............................................................................................. 46 4.2.1.1. Punto de Equilibrio.......................................................................................... 46 4.2.1.2. Estabilidad en el sentido de Lyapunov............................................................ 46 4.2.1.3. Estabilidad asintótica global............................................................................ 47 4.2.1.4. Estabilidad exponencial global........................................................................ 47 4.2.2. Método directo de Lyapunov.............................................................................. 47 Definición 4.1. Función candidata de Lyapunov ......................................................... 47 Definición 4.2 Función de Lyapunov ........................................................................... 47 Teorema 4.1 Estabilidad .............................................................................................. 47 Teorema 4.2 Estabilidad asintótica global .................................................................. 47 Teorema 4.3 LaSalle..................................................................................................... 48

4.3. Diseño de los controladores de movimiento ............................................................. 48 4.3.1. Controlador PID. ................................................................................................ 49 4.3.2. Controlador PD por dinámica Inversa. ............................................................... 52 4.3.3. Controlador Robusto. ......................................................................................... 53 4.3.4. Controlador adaptable. ....................................................................................... 56

Capítulo 5. Control de seguimiento de trayectoria.......................................................... 59

5.1. Error combinado de seguimiento............................................................................... 59 5.2. Diseño de los controladores de seguimiento de trayectoria ...................................... 60

5.2.1. Controlador PD más compensación ................................................................... 60 5.2.2. Controlador Robusto. ......................................................................................... 61 5.2.3. Controlador adaptable ........................................................................................ 63 5.2.4. Controlador PID de seguimiento ....................................................................... 64

Capítulo 6. Sintonización de los controladores ................................................................ 69

6.1. Introducción............................................................................................................... 69 6.2. Fundamentos de optimización................................................................................... 70

6.2.1. Definición del problema de optimización .......................................................... 70 6.2.2. Definición del mínimo de una función............................................................... 71

6.3. Algoritmos Genéticos ................................................................................................ 71 6.3.1. Componentes básicos de un algoritmo genético. ............................................... 72


- iii -

6.3.2. Operadores básicos ............................................................................................. 73 6.3.3. Parámetros de los operadores. Influencia en el proceso de optimización. ......... 74 6.3.4. Optimización multiobjetivo con algoritmos genéticos....................................... 74

6.4. Índices de desempeño................................................................................................ 74 6.5. Sintonización de los controladores ............................................................................ 75 6.5. Resultados de la sintonización................................................................................... 77

6.5.1. Constantes para el robot SCORBOT ER-V+ ..................................................... 77 6.5.2. Constantes para el robot PUMA......................................................................... 77

Capítulo 7. Pruebas y resultados....................................................................................... 79

7.1. Descripción de las pruebas ........................................................................................ 79 7.1.1. Primer conjunto de pruebas ................................................................................ 79 7.1.2. Segundo conjunto de pruebas ............................................................................. 80

7.2. Resultados de las pruebas .......................................................................................... 80 7.2.1. Resultados para el robot SCORBOT ER-V+ ..................................................... 80

7.2. Análisis de los controladores..................................................................................... 96 Capítulo 8. Conclusiones y comentarios........................................................................... 97

8.1. Aportaciones.............................................................................................................. 97 8.2. Conclusiones.............................................................................................................. 98 8.3. Trabajos a futuro...................................................................................................... 101

Bibliografía........................................................................................................................ 103 Apéndice A. Características de los robots manipuladores .......................................... 105

A.1. Robot SCORBOT ER-V+ ...................................................................................... 105 A.2. Robot PUMA.......................................................................................................... 107

Apéndice B. Algoritmo de Denavit-Hartenberg ............................................................ 109 Apéndice C. Señales de referencia .................................................................................. 111

C.1. Señal Escalón.......................................................................................................... 111 C.2. Señal Senoidal......................................................................................................... 113 C.3. Señal Polinomial ..................................................................................................... 114 C.4. Señal Compuesta..................................................................................................... 116 C.5. Señal LSPB ............................................................................................................. 118

Apéndice D. Resultados de las pruebas del robot PUMA............................................. 121

D.1. Resultados del primer conjunto de pruebas. ........................................................... 121 D.2. Resultados del segundo conjunto de pruebas. ........................................................ 134

Apéndice E. Uso de los modelos de simulación.............................................................. 139

E.1. Modelo de simulación de la cinemática del robot manipulador ............................. 139 E.1.1. Simulación de la cinemática directa................................................................. 140 E.1.2. Simulación de la cinemática inversa ................................................................ 141

E.2. Modelo de simulación de la dinámica del robot manipulador ................................ 141

Contenido

- iv -

Lista de Figuras Figura 2.1. Resultado de la aplicación de las operaciones de la matriz de transformación homogénea.............................................................................................................................. 9 Figura 2.2. Esquema de bloques cinemáticos del robot SCORBOT ER-V+ ....................... 10 Figura 2.3. Esquema de bloques cinemáticos del robot PUMA........................................... 12 Figura 2.3. Vista superior del robot SCORBOT ER-V+...................................................... 14 Figura 2.4. Vista lateral del robot SCORBOT ER-V+......................................................... 14 Figura 2.5. Vista superior del robot PUMA en configuración brazo derecho...................... 15 Figura 2.6. Vista superior del robot PUMA en configuración brazo izquierdo ................... 15 Figura 2.7. Vista lateral del robot PUMA en la configuración de brazo derecho ................ 16 Figura 2.8. Vista lateral del robot PUMA en la configuración de brazo izquierdo.............. 17 Figura 3.1. Esquema del movimiento del robot manipulador SCORBOT ER-V+ .............. 21 Figura 3.2. Esquema del movimiento del robot manipulador PUMA.................................. 27 Figura 7.1. Coordenada articular presentada por los controladores en la prueba 1.............. 81 Figura 7.2. Velocidad articular presentada por los controladores en la prueba 1................. 82 Figura 7.3. Par articular presentado por los controladores en la prueba 1 ........................... 82 Figura 7.4. Error de posición presentado por los controladores en la prueba 1 ................... 83 Figura 7.5. Error de velocidad presentado por los controladores en la prueba 1 ................. 83 Figura 7.6. Coordenada articular presentada por los controladores en la prueba 2.............. 84 Figura 7.7. Velocidad articular presentada por los controladores en la prueba 2................. 85 Figura 7.8. Par articular presentado por los controladores en la prueba 2 ........................... 85 Figura 7.9. Error de posición presentado por los controladores en la prueba 2 ................... 86 Figura 7.10. Error de velocidad presentado por los controladores en la prueba 2 ............... 86 Figura 7.11. Coordenada articular presentada por los controladores en la prueba 3............ 87 Figura 7.12. Velocidad articular presentada por los controladores en la prueba 3............... 88 Figura 7.13. Par articular presentado por los controladores en la prueba 3 ......................... 88 Figura 7.14. Error de posición presentado por los controladores en la prueba 3 ................. 89 Figura 7.15. Error de velocidad presentado por los controladores en la prueba 3 ............... 89 Figura 7.16. Coordenada articular presentada por los controladores en la prueba 4............ 90 Figura 7.17. Velocidad articular presentada por los controladores en la prueba 4............... 91 Figura 7.18. Par articular presentado por los controladores en la prueba 4 ......................... 91 Figura 7.19. Error de posición presentado por los controladores en la prueba 4 ................. 92 Figura 7.20. Error de velocidad presentado por los controladores en la prueba 4 ............... 92 Figura 7.21. Relación de cambio en los valores de los índices de desempeño presentados por los controladores en la prueba A.................................................................................... 93 Figura 7.22. Relación de cambio en los valores de los índices de desempeño presentados por los controladores en la prueba B .................................................................................... 94 Figura 7.23. Relación de cambio en los valores de los índices de desempeño presentados por los controladores en la prueba C .................................................................................... 95 Figura 7.23. Relación de cambio en los valores de los índices de desempeño presentados por los controladores en la prueba D.................................................................................... 96 Figura A.1. Robot SCORBOT ER-V + [Abdala 2003]...................................................... 106 Figura A.2. Espacio de trabajo del robot manipulador SCORBOT ER-V + [Abdala 2003]............................................................................................................................................ 107 Figura A.3. Robot PUMA[Jiménez 2005].......................................................................... 108


- v -

Figura A.4. Espacio de trabajo del robot manipulador PUMA [Jiménez 2005] ................ 108 Figura B.1.- Parámetros de Denavit-Hartenberg para una articulación rotatoria [Barrientos 1999]................................................................................................................................... 110 Figura C.1.- Posición articular a seguir de la señal escalón ............................................... 112 Figura C.2.- Velocidad articular a seguir de la señal escalón............................................. 112 Figura C.3.- Aceleración articular a seguir de la señal escalón.......................................... 113 Figura C.4.- Posición articular a seguir de la señal senoidal.............................................. 113 Figura C.5.- Velocidad articular a seguir de la señal senoidal ........................................... 114 Figura C.6.- Aceleración articular a seguir de la señal senoidal ........................................ 114 Figura C.7.- Posición articular a seguir de la señal polinomial.......................................... 115 Figura C.8.- Velocidad articular a seguir de la señal polinomial ....................................... 115 Figura C.9.- Aceleración articular a seguir de la señal polinomial .................................... 116 Figura C.13.- Posición articular a seguir de la señal compuesta ........................................ 117 Figura C.14.- Velocidad articular a seguir de la señal compuesta ..................................... 118 Figura C.15.- Aceleración articular a seguir de la señal compuesta................................... 118 Figura C.16.- Posición articular a seguir de la señal LSPB................................................ 119 Figura C.17.- Velocidad articular a seguir de la señal LSPB............................................. 120 Figura C.18.- Aceleración articular a seguir de la señal LSPB .......................................... 120 Figura D.1. Coordenada articular presentada por los controladores en la prueba 1........... 122 Figura D.2. Velocidad articular presentada por los controladores en la prueba 1.............. 123 Figura D.3. Par articular presentado por los controladores en la prueba 1......................... 123 Figura D.4. Error de posición presentado por los controladores en la prueba 1 ................ 124 Figura D.5. Error de velocidad presentado por los controladores en la prueba 1 .............. 124 Figura D.6. Coordenada articular presentada por los controladores en la prueba 2........... 125 Figura D.7. Velocidad articular presentada por los controladores en la prueba 2.............. 126 Figura D.8. Par articular presentado por los controladores en la prueba 2......................... 126 Figura D.9. Error de posición presentado por los controladores en la prueba 2 ................ 127 Figura D.10. Error de velocidad presentado por los controladores en la prueba 2 ............ 127 Figura D.11. Coordenada articular presentada por los controladores en la prueba 3......... 128 Figura D.12. Velocidad articular presentada por los controladores en la prueba 3............ 129 Figura D.13. Par articular presentado por los controladores en la prueba 3....................... 129 Figura D.14. Error de posición presentado por los controladores en la prueba 3 .............. 130 Figura D.15. Error de velocidad presentado por los controladores en la prueba 3 ............ 130 Figura D.16. Coordenada articular presentada por los controladores en la prueba 4......... 131 Figura D.17. Velocidad articular presentada por los controladores en la prueba 4............ 132 Figura D.18. Par articular presentado por los controladores en la prueba 4....................... 132 Figura D.19. Error de posición presentado por los controladores en la prueba 4 .............. 133 Figura D.20. Error de velocidad presentado por los controladores en la prueba 4 ............ 133 Figura D.21. Relación de cambio en los valores de los índices de desempeño presentados por los controladores en la prueba A.................................................................................. 134 Figura D.22. Relación de cambio en los valores de los índices de desempeño presentados por los controladores en la prueba B .................................................................................. 135 Figura D.23. Relación de cambio en los valores de los índices de desempeño presentados por los controladores en la prueba C .................................................................................. 136 Figura D.24. Relación de cambio en los valores de los índices de desempeño presentados por los controladores en la prueba D.................................................................................. 137 Figura E.1.- Menú principal del modelo de simulación de la cinemática .......................... 139

Contenido

- vi -

Figura E.2.- Menús de selección del robot manipulador.................................................... 140 Figura E.3.- Modelo de simulación de la cinemática directa del robot SCORBOT ER-V+............................................................................................................................................ 140 Figura E.4.- Ventana de introducción de parámetros para la simulación de la cinemática directa del robot SCORBOT ER-V+.................................................................................. 140 Figura E.5.- Modelo de simulación de la cinemática inversa del robot SCORBOT ER-V+............................................................................................................................................ 141 Figura E.6.- Modelo de simulación de la dinámica del robot SCORBOT ER-V+ ............ 142 Figura E.7.- Ventana de introducción de parámetros para la simulación de la dinámica del robot SCORBOT ER-V+.................................................................................................... 142

Lista de Tablas Tabla 2.1. Parámetros DH del robot SCORBOT ER-V+..................................................... 10 Tabla 2.2. Parámetros DH del robot PUMA “Gorgorito” .................................................... 12 Tabla 7.1. Índices de desempeño presentados por cada controlador en la prueba 1 ............ 80 Tabla 7.2. Índices de desempeño presentados por cada controlador en la prueba 2 ............ 84 Tabla 7.3. Índices de desempeño presentados por cada controlador la prueba 3 ................. 87 Tabla 7.4. Índices de desempeño presentados por cada controlador en la prueba 4 ............ 90 Tabla D.1. Índices de desempeño presentados por cada controlador en la prueba 1 ......... 122 Tabla D.2. Índices de desempeño presentados por cada controlador en la prueba 2 ......... 125 Tabla D.3 Índices de desempeño presentados por cada controlador la prueba 3 ............... 128 Tabla D.4. Índices de desempeño presentados por cada controlador en la prueba 4 ......... 131

Nomenclatura Símbolos del modelado

iθ I-ésima coordenada articular.

iz I-ésimo eje coordenado z.

id Desplazamiento entre los ejes z adyacentes al i-ésimo eslabón.

ia Desplazamiento entre los ejes x adyacentes al i-ésimo eslabón.

iα Giro alrededor del eje x para que coincidan los ejes 1iz − y iz .

( ),R eje θ Operador de rotación de un ángulo θ alrededor del eje cartesiano.

( ), ,T x y z Operador de traslación de las distancias x,y,z en cada uno de los ejes cartesianos.

1iiA− Matriz de transformación del i-ésimo eslabón.

T Matriz de transformación de la cadena cinemática. n Vector normal para completar el sistema de ejes coordenados del efector

final. o Vector de orientación del efector final. a Vector de acercamiento del efector final. p Vector de posición del efector final.

xp Coordenada en el eje x de la posición del efector final.


- vii -

yp Coordenada en el eje y de la posición del efector final.

zp Coordenada en el eje x de la posición del efector final.

il Longitud del i-ésimo eslabón α Ángulo auxiliar en la obtención del modelo cinemático inverso. β Ángulo auxiliar en la obtención del modelo cinemático inverso. γ Ángulo auxiliar en la obtención del modelo cinemático inverso. ϕ Ángulo auxiliar en la obtención del modelo cinemático inverso. r Proyección sobre el plano x-y de la posición del efector final. s Diagonal de la posición del efector final. q Coordenada generalizada.

( ),iK q q Energía cinética del i-ésimo esabón.

( ),K q q Energía cinética total de la cadena cinemática.

( )iU q Energía potencial del i-ésimo eslabón.

( )U q Energía potencial total de la cadena cinemática.

( ),L q q Lagrangiano del robot manipulador.

( )iF q Función de disipación del i-ésimo eslabón.

( )F q Función de disipación total de la cadena cinemática.

iτ Par articular de la i-ésima articulación.

im Masa del i-ésimo eslabón. m Masa del elemento de análisis.

dq Posición articular deseada.

dq Velocidad articular deseada.

dq Aceleración articular deseada. p Momento generalizado.

ip i-ésimo momento generalizado.

( )K p Energía cinética total, expresada en función del momento generalizado.

( )U p Energía potencial total, expresada en función del momento generalizado.

( ),H q p Hamiltoniano del sistema. Símbolos del diseño de controladores

iu I-ésima señal de control.

( )V x Función candidata a Lyapunov

( )V x Derivada de la función candidata a Lyapunov. q Error de posición articular. q Error de velocidad articular. q Error de aceleración articular.

Contenido

- viii -

pK Matriz de ganancias de la acción proporcional.

vK Matriz de ganancias de la acción derivativa.

iK Matriz de ganancias de la acción integral. τ Vector de pares articulares. τ Vector de compensadores para la técnica de control por dinámica inversa.

( )0M q Matriz de inercias con valores nominales.

( )0 ,C q q Matriz de fuerzas centrífugas y de coriolis con valores nominales.

( )0g q Vector de pares gravitacionales con valores nominales.

( ),C q q Error en el valor de las matrices de fuerzas centrífugas y de coriolis.

( )g q Error en el valor del par gravitacional.

( ), ,q q aη Incertidumbre en los parámetros.

( ),x tρ Cota máxima de la incertidumbre en los parámetros.

( )M q Matriz de inercias con valores estimados.

( )ˆ ,C q q Matriz de fuerzas centrífugas y de coriolis con valores estimados.

( )g q Vector de pares gravitacionales con valores estimados.

( )M q Error en el valor de las matrices de inercias.

( ), ,Y q q q Regresor lineal del sistema. θ Vector de parámetros seleccionados para la representación dinámica con

regresor. θ Vector de parámetros estimados. s Error combinado de seguimiento. Λ Matriz de ganancias de ponderación del error de posición.

sK Matriz de ganancias proporcionales.

0θ Vector de parámetros nominales. Γ Matriz de ganancias de control de la actualización de parámetros.

( ), , ,w t q q q∫ Vector de perturbación externa.

Símbolos de los resultados

pPD Leyenda que distingue la línea del control PD por dinámica inversa.

pR Leyenda que distingue la línea del control robusto de posición.

pA Leyenda que distingue la línea del control adaptable de posición.

pPID Leyenda que distingue la línea del control PID de posición.

sPD Leyenda que distingue la línea del control PD de seguimiento de trayectoria.

sR Leyenda que distingue la línea del control robusto de seguimiento de trayectoria.


- ix -

sA Leyenda que distingue la línea del control adaptable de seguimiento de trayectoria.

sPID Leyenda que distingue la línea del control PID de seguimiento de trayectoria.

Abreviaturas y Acrónimos CE Índice del esfuerzo de control CENIDET Centro Nacional de Investación y Desarrollo Tecnológico FIR Federación Internacional de Robótica gdl Grados de libertad ISE Índice de la integral del error cuadrático IAE Índice de la integral del valor absoluto del error ITAE Índice de la integral del valor absoluto del error ponderado en el tiempo LSPB Linear Segments with Parabolic Blends ONU Organización de las Naciones Unidas PD Proporcional-Derivativo PID Proporcional-Integral-Derivativo PUMA Programable Universal Manipulator for Assembly

Contenido

- x -

Hoja en Blanco


- 1 -

Capítulo 1

Introducción

En éste primer capítulo se presentan los antecedentes del proyecto de investigación, los objetivos y la justificación del proyecto.

Enseguida, se presenta la revisión del estado del arte, para mostrar después, el

método de desarrollo del proyecto, así como la metodología que se siguió. En la parte final del capítulo se encuentra una descripción de la estructura de este documento.

1.1. Antecedentes Un robot manipulador industrial es una máquina manipuladora con varios grados de

libertad controlada automáticamente, reprogramable y de múltiples usos, puede estar en un lugar fijo o móvil para su empleo en aplicaciones industriales (es muy común considerar que los robots manipuladores están fijos a una estructura, si no lo están se consideran robots móviles). En estas aplicaciones, los robots manipuladores son comúnmente empleados en tareas repetitivas y de precisión, así como en actividades peligrosas para operadores humanos.

Las principales ventajas argumentadas para el uso de robots manipuladores en la

industria son la reducción de los costos de producción, el incremento de la precisión, la

Capítulo 1. Introducción

- 2 -

calidad y la productividad, y una mayor flexibilidad comparada con la de las máquinas especializadas. Las proyecciones realizadas a corto plazo mantienen a la aplicación de ensamble como la principal actividad consumidora de robots manipuladores.

De acuerdo con datos publicados conjuntamente por la Organización de las

Naciones Unidas (ONU) y la Federación Internacional de Robótica (FIR) [UNECE 2005], el total de robots manipuladores industriales en operaciones en el mundo en 2005 superó las 857 000 unidades. La evolución por año desde el año 1996 hasta el año 2005 se muestra en la Figura 2.1. De esta información se aprecia un crecimiento promedio de 3.5% en la población de robots manipuladores industriales en operaciones de aproximadamente unas 20 000 unidades anuales durante los últimos años.

Robots Manipuladores Industriales

847.764800.772

770.105756.498749.742

723.612703.912

684.961645.129

0 200 400 600 800 1000

2004

2002

2000

1998

1996

Año

Miles de Unidades

Figura 2.1: Parque de robots industriales operativos en el mundo de 1996 a 2005 [UNECE 2005]

1.2. Planteamiento del problema El propósito de un sistema de control de robots es mantener un movimiento

preestablecido del manipulador a lo largo de una trayectoria deseada, la cual está sujeta a ciertos patrones de posición, velocidad y aceleración, considerando las limitaciones físicas de los dispositivos actuadores.

Es así como el objetivo del control en los robots manipuladores es maximizar

simultáneamente la precisión, la repetibilidad y la velocidad de ejecución en la medida de lo posible, ya que pueden ser contradictorios entre sí. Se debe establecer un compromiso según las necesidades prácticas de cada aplicación.

A lo largo del tiempo, la ingeniería de control ha desarrollado diferentes técnicas

para implementar el control, las cuales, al implementarlas en un sistema físico, presentan ventajas y desventajas propias, con lo que para una aplicación puede ser buena una metodología y en otra no.

Con base en lo anterior, se requiere realizar un análisis para determinar ¿cuáles

son las ventajas y desventajas que existen al aplicar diferentes metodologías de control a un robot manipulador?


- 3 -

1.3. Justificación Debido a las exigencias de calidad y rapidez en los sistemas de producción, se está

introduciendo una gran variedad de avances tecnológicos en las plantas industriales.

En la actualidad se ha generalizado el uso de los robots manipuladores en muchas aplicaciones que requieren movimientos repetitivos sencillos. Pero es en la industria automotriz, que fue pionera en el uso de robots, donde más se utilizan. Los tipos principales de aplicación son: soldadura de puntos, pintura “spray”, manipulación de partes de carrocería, chasis y motor.

Como se conoce, las capacidades de un robot manipulador están determinadas por la

precisión del movimiento, la capacidad de carga, el grado de manipulación del elemento final, los sensores, el número de grados de libertad (gdl) y la sofisticación y confiabilidad del controlador.

Las exigencias de la industria actual requieren que el robot manipulador cuente con

técnicas de control más avanzadas para cumplir con las necesidades de la industria. Esas distintas técnicas requieren conocer las características de la operación del robot para que al implementarlas se tengan mejores resultados.

1.4. Objetivos

1.4.1. Objetivo general Analizar las características de los controladores adaptables y robusto dentro las

funciones de control inteligente, por medio de un análisis de la operación de un robot rígido controlado por tres tipos de controladores: tipo PID, adaptable y robusto.

1.4.2. Objetivos particulares • Obtener un modelo matemático que represente fidedignamente al robot rígido de

3 gdl con articulaciones rotacionales. • Desarrollar controladores para el robot rígido de 3 gdl de los tipos PID,

adaptable y robusto. • Crear un modelo de simulación con el cual evaluar el desempeño de los

controladores PID, adaptable y robusto. • Realizar un análisis conciso que entregue los resultados del comportamiento de

la operación de los tres tipos de controladores.

1.5. Estado del arte El desarrollo de los controladores para robots manipuladores, ha tenido la siguiente

evolución: primero surgieron los controladores tradicionales (PD, PID), su desarrollo se puede observar en [Arimoto 1981] y en [Kelly 2003]. Después aparecieron los controladores del tipo adaptable, en [Ortega 1989] y en [Slotine1988] se pueden revisar sus principales características. Finalmente, aparecieron los controladores del tipo robusto, como se documenta en [Sotirov 1992], [Slotine 1985] y [Lu 1989].

Entre los estudios sobre el desempeño de los controladores, en el artículo de [Yao


- 4 -

1994] reporta cómo se obtienen diseños de controladores del tipo robusto y adaptable, por medio de simulaciones se realiza una comparación de su desempeño. A partir del análisis determina que los controladores del tipo adaptable presentan un mejor seguimiento de trayectoria que los controladores de tipo robusto.

En [Loizidis 1995] se realiza la comparativa entre un controlador de modos

deslizantes y un controlador PD, los resultados obtenidos muestran que el controlador de modos deslizantes presenta un mejor desempeño que el controlador PD.

En [Erlic 1991] se realiza la comparación de controladores del tipo PD, adaptable y

robusto, llegando al resultado de que el controlador del tipo adaptable presenta un mejor desempeño, sin embargo, el diseño de los controladores se realiza sobre modelos diferentes del robot, se utiliza una sola trayectoria.

Como se puede observar en los tres trabajos anteriores, es en [Erlic 1991] es donde

se realiza la comparativa más completa, sin embargo solamente se presenta el seguimiento de una trayectoria. En los otros dos, solamente se prueban dos de los tres tipos principales de controlador.

1.6. Método de solución Por medio de un análisis de la operación de un robot rígido de tres grados de

libertad con articulaciones rotacionales al ser controlado por metodologías de control del tipo clásico, robusto y adaptable, se establece una comparativa del desempeño que presentan dichas técnicas. El análisis comparativo se lleva a cabo en el seguimiento de diferentes trayectorias, cambios en el nivel de incertidumbre en el valor de los parámetros, en la ubicación de la incertidumbre (en el valor de las masas o inercias), cambios en el peso de la carga. Para el análisis se utilizan índices de desempeño normalizados, como lo son:

• Índice de la integral del error cuadrático (ISE). • Índice de la integral del valor absoluto del error (IAE). • Índice de la integral del valor absoluto del error ponderado en el tiempo (ITAE). • Índice del esfuerzo de control (CE).

1.7. Metodología La metodología de trabajo con la cual se desarrolló el presente proyecto de

investigación es la siguiente:

1. Modelado matemático del robot a estudiar. 2. Análisis de la operación en lazo abierto. 3. Diseño de los controladores. 4. Simulación del sistema controlado. 5. Análisis de la operación de lazo cerrado. 6. Comparación de resultados. 7. Observaciones y conclusiones.


- 5 -

1.8. Alcances Los alcances de este proyecto de investigación, fueron:

• Obtención del modelo matemático del robot rígido de 3 gdl que se va a estudiar con el método de modelado energético de Euler-Lagrange.

• Obtención de los controladores a partir de las técnicas de control anteriormente referidas.

• Creación de programas en Matlab para simulación.

1.9. Estructura del documento. En este primer capítulo se muestran los antecedentes del proyecto de investigación,

los objetivos, justificación. Además, se presenta la metodología que se sigue para el desarrollo del presente proyecto de investigación.

En los capítulos dos y tres, se muestra respectivamente el desarrollo de los modelos

cinemático y dinámico. Estos modelos matemáticos, se usan para describir el comportamiento espacial y dinámico que presenta el robot manipulador.

En el capítulo cuatro, se revisan los fundamentos de la teoría de estabilidad de

Lyapunov, que forma la base para el desarrollo de los controladores del presente proyecto. Además, se muestra el diseño de los controladores de movimiento.

En el capítulo cinco, se encuentra el diseño de los controladores de seguimiento de

trayectoria, estos controladores tienen el objetivo de seguir una posición y una velocidad deseadas.

Dentro del capítulo seis, se presenta el procedimiento que se sigue para la

sintonización de los controladores, en primer lugar se revisan los fundamentos de los algoritmos genéticos y después se muestra como se realizó la sintonización de los controladores.

Los dos conjuntos de pruebas realizados y los resultados que se obtuvieon se

muestran en detalle en el capítulo siete. En el capítulo ocho se ven los comentarios y conclusiones finales del presente proyecto de investigación.

La información complementaria, se encuentra integrada en el conjunto de apéndices,

los cuales están ubicados en las últimas páginas del presente documento.


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Hoja en Blanco


- 7 -

Capítulo 2

Modelado Cinemático

En el presente capítulo se presenta el concepto de cinemática y los principales problemas que busca resolver.

En primer lugar se revisan las diferentes metodologías que se han desarrollado para

resolver el problema cinemático directo y poder obtener el modelo cinemático directo de un robot manipulador.

Después se aborda la resolución del problema cinemático inverso y así obtener el

modelo cinemático inverso de los robots manipuladores que son el objeto de estudio del presente documento de investigación. En la última sección se muestran los modelos de simulación de la cinemática directa e inversa, además se presentan los resultados de la validación de los modelos cinemáticos obtenidos en el presente capítulo.

2.1. Introducción La cinemática estudia el movimiento del robot con respecto a un sistema de

referencia seleccionado. El estudio que realiza la cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot, y en particular las relaciones existentes entre la

Capítulo 2. Modelado Cinemático

- 8 -

posición y orientación del extremo final y los valores que toman sus coordenadas articulares.

La cinemática busca resolver dos problemas fundamentales:

1. El problema cinemático directo: que busca conocer la posición y orientación del extremo final del robot conociendo los valores de las coordenadas articulares y los parámetros estructurales del robot.

2. El problema cinemático inverso: el cual consiste en la búsqueda de los valores que deben de tomar las coordenadas articulares, conociendo los parámetros estructurales del robot, para alcanzar una posición y orientación deseadas del extremo final del robot manipulador.

2.2. Modelado cinemático directo. Para obtener el modelo cinemático se cuenta con diferentes métodos, como lo son: • Método geométrico: con este método se buscan tantas relaciones como sean

necesarias con las cuales se pueda obtener las ubicación y la orientación del efector final.

• Matrices de transformación homogéneas: por medio de matrices se representan las rotaciones y desplazamientos que existen a lo largo de la cadena cinemática completa.

• Método de cuaterniones: en este método las rotaciones y desplazamientos existentes en la cadena cinemática son representados por los cuaterniones.

• Método de ángulos de Euler: se usa la herramienta matemática de los ángulos de Euler, lo cuales permiten realizar la conversión de coordenadas de un sistema de referencia a otro, en éste método las rotaciones y desplazamientos existentes en la cadena cinemática son representados por medio de los ángulos de Euler.

Se abordará el método de las matrices de transformación homogénea debido a las

siguientes razones: 1. Representa un método sistemático para obtener el modelo cinemático directo de

cualquier robot manipulador. 2. Desde un punto de vista computacional es fácil de implementar, sin embargo se

sacrifica el costo computacional que representa las multiplicaciones de matrices. 3. A partir de un mismo desarrollo es posible determinar la posición y orientación

del efector final.

2.2.1. Matrices de transformación homogénea. Las matrices de transformación homogénea son una herramienta para representar las

rotaciones y desplazamientos que existen entre los sistemas de referencia adyacentes a un eslabón del robot manipulador [Barrientos 1999].

Para la aplicación de este método es necesario obtener los parámetros de Denavit-

Hartenberg para cada uno de los eslabones del robot manipulador y en el apéndice B se puede encontrar el método de obtención de estos parámetros. Las operaciones que se


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enlistan a continuación son aplicadas al sistema de referencia inicial del eslabón y son las operaciones que componen a una matriz de transformación homogénea:

1. Rotación de un ángulo iθ , alrededor del eje 1iz − . 2. Traslación de una distancia id , a lo largo del eje 1iz − . 3. Traslación de una distancia ia , a lo largo del eje ix . 4. Rotación de un ángulo iα , alrededor del eje ix .

Figura 2.1. Resultado de la aplicación de las operaciones de la matriz de transformación homogénea.

Como el producto de matrices no es conmutativo las operaciones deben de ser

aplicadas en el orden que se indica en la parte superior, de modo que se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )1 , 0, 0, , 0, 0 ,i

i i i i iA R z T d T a R xθ α− = (2.2.1)

Desarrollando cada una de las operaciones de la matriz (2.2.1), la matriz de transformación homogénea es:

1

00 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i iii

i i i

Cos Cos Sen Sen Sen a CosSen Cos Cos Sen Cos a Sen

ASen Cos d

θ α θ α θ θθ α θ α θ θ

α α−

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.2)

Para obtener la matriz de transformación general a lo largo de todo el robot

manipulador se requiere multiplicar la matriz de cada eslabón en forma sucesiva: 0 1 1

1 2 .... nnT A A A−= (2.2.3)

La definición de la matriz (2.2.3) es:

0 0 0 1T ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

n o a p (2.2.4)

Donde los vectores 3∈n,o,a,p ,o es el vector de orientación del efector final, a

es el vector de dirección de acercamiento del efector final, n es el vector que completa el sistema tridimensional junto con los vectores o y a ,p es el vector de la posición del efector final. El número 1 es un factor de escalamiento que en aplicaciones de robótica que incluyen aplicaciones de visión puede tomar otro valor.


- 10 -

2.2.2 Modelado cinemático directo del robot SCORBOT ER-V + En el apéndice A, se puede encontrar las características de éste robot. Siguiendo el

algoritmo de Denavit-Hartenberg (DH) (ver Apéndice B), se pueden obtener los parámetros del robot manipulador SCORBOT ER-V+. El esquema de bloques que muestra los sistemas de referencia adyacentes a cada eslabón se puede ver en la figura 2.2.

Figura 2.2. Esquema de bloques cinemáticos del robot SCORBOT ER-V+

Los valores de los parámetros DH del robot SCORBOT ER-V+ se muestran a

continuación: Tabla 2.1. Parámetros DH del robot SCORBOT ER-V+ Eslabón iθ id ia iα

1 1θ 1l (0.364 m) 0 90°2 2θ 0 2l (0.22 m) 0 3 3θ 0 3l (0.22 m) 0

Con los parámetros de la tabla anterior, se obtienen las matrices de transformación

para cada eslabón:

• Eslabón 1. 1 1

1 101

1

0 00 0

0 1 00 0 0 1

C SS C

Al

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.5)

• Eslabón 2. 2 2 2 2

2 2 2 212

00

0 0 1 00 0 0 1

C S l CS C l S

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.6)

• Eslabón 3. 3 3 3 3

3 3 3 323

00

0 0 1 00 0 0 1

C S l CS C l S

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.7)


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Donde i iC Cosθ= y i iS Senθ= . Con las matrices (2.2.5), (2.2.6) y (2.2.7), se puede obtener la matriz de transformación total del robot manipulador por medio de la ecuación (2.2.3):

0 1 21 2 3T A A A= (2.2.8)

Substituyendo las matrices de los eslabones del manipulador SCORBOT ER-V+ en la ecuación anterior se tiene:

1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

1

0 0 0 00 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

C S C S l C C S l CS C S C l S S C l S

Tl

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.2.9)

Desarrollando:

1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3

2 2 2 2 1

00

0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1

C C C S S l C C C S l CS C S S C l S C S C l S

TS C l S l

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.2.10)

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2

2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 100 0 0 1

C C C C S S C C S C S C S l C C C l C S S l C CS C C S S S S C S S S C C l S C C l S S S l S C

TS C C S S S C C l S C l C S l S l

− − − − +⎡ ⎤⎢ ⎥− − − − − +⎢ ⎥=⎢ ⎥+ − + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.11)

Comparando la matriz (2.2.11), con la matriz (2.2.4), se observa que las coordenadas del efector final estarán dadas por:

3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2xp l C C C l C S S l C C= − + (2.2.12) 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2yp l S C C l S S S l S C= − + (2.2.13)

3 2 3 3 2 3 2 2 1zp l S C l C S l S l= + + + (2.2.14) Donde las ecuaciones anteriores, forman el modelo cinemático directo del robot manipulador SCORBOT ER-V+.

2.1.3. Modelado cinemático directo del robot PUMA Como primer paso, se sigue el algoritmo DH partiendo del esquema de la figura 2.3,

con el cual se obtienen los parámetros del robot manipulador PUMA. La tabla 2.2 muestra el conjunto de parámetros del robot PUMA.


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Figura 2.3. Esquema de bloques cinemáticos del robot PUMA

Tabla 2.2. Parámetros DH del robot PUMA “Gorgorito”

Eslabón iθ id ia iα 1 1θ 1l (0.33 m) 0 90°2 2θ 2d (0.10 m) 2l (0.15 m) 0 3 3θ 3d (0.06 m) 3l (0.15 m) 0

Con los parámetros de la tabla 2.2, se obtienen las matrices de transformación para cada eslabón:

• Eslabón 1. 1 1

1 101

0 00 0

0 1 00 0 0 1

C SS C

Ah

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.15)

• Eslabón 2. 2 2 2 2

2 2 2 212

2

00

0 0 10 0 0 1

C S a CS C a S

Ad

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.16)

• Eslabón 3.

3 3 3 3

3 3 3 323

3

00

0 0 10 0 0 1

C S a CS C a S

Ad

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.17)

Donde i iC Cosθ= y i iS Senθ= . Substituyendo las matrices de los eslabones del manipulador PUMA en la ecuación (2.2.8), se obtiene:

1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

1 2 3

0 0 0 00 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

C S C S l C C S l CS C S C l S S C l S

Tl d d

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.2.18)


- 13 -

Desarrollando:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3

2 2 2 2 3

00

0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 1

C C C S S l C C S d C S l CS C S S C l S C C d S C l S

TS C l S h d

− + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.2.19)

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 2

2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 100 0 0 1

C C C C S S C C S C S C S l C C C l C S S l C C S d S dS C C S S S S C S S S C C l S C C l S S S l S C C d C d

TS C C S S S C C l S C l C S l S l

− − − − + + +⎡ ⎤⎢ ⎥− − − − − + − −⎢ ⎥=⎢ ⎥+ − + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2.20)

Donde las coordenadas del efector final estarán dadas por: 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 2xp l C C C l C S S l C C S d S d= − + + + (2.2.21) 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 1 3 1 2yp l S C C l S S S l S C C d C d= − + − − (2.2.22)

3 2 3 3 2 3 2 2 1zp l S C l C S l S l= − − + + (2.2.23) Donde las ecuaciones anteriores forman el modelo cinemático directo del robot manipulador PUMA.

2.3. Modelado Cinemático Inverso. El problema cinemático inverso consiste en obtener los valores de las coordenadas

articulares para llegar a un punto determinado, para ello existen diferentes métodos, entre los cuales se encuentran:

• Método geométrico: por medio de la geometría, se deben de buscar tantas relaciones como sean necesarias para definir los valores de las coordenadas articulares a partir de la ubicación deseada del efector final.

• Método de las matrices de transformación inversa: a partir de las matrices de transformación de toda la cadena cinemática y de cada uno de los eslabones del robot manipulador se obtienen relaciones que definan los valores de las coordenadas articulares a partir de la ubicación deseada del efector final.

• Método de desacoplo cinemático: consiste en separar el problema de la posición y de la orientación del efector final y después resolver el problema cinemático inverso con alguno de los dos métodos anteriores.

Se seleccionó el método geométrico debido a la facilidad de aplicación cuando se trabaja con el problema de la posición del efector final. A continuación se obtienen los modelos cinemáticos inversos de los robots manipuladores SCORBOT ER-V+ y PUMA.

2.3.1. Modelado cinemático inverso del robot SCORBOT ER-V+ Para aplicar el método geométrico, se presenta el siguiente esquema, el cual es la

vista superior del manipulador, donde se relaciona la primera coordenada articular con el punto de destino.


- 14 -

Figura 2.3. Vista superior del robot SCORBOT ER-V+

De la figura 2.3, se pueden obtener fácilmente la siguiente relación:

1y

x

Parctg

Pθ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.3.1)

A continuación se muestra un esquema de la vista lateral del robot SCORBOT ER-V+, de donde se obtendrán las ecuaciones que determinan los valores de las otras dos coordenadas articulares.

Figura 2.4. Vista lateral del robot SCORBOT ER-V+

De la figura 2.4, por ley de cosenos: ( )22 2 21 2 3 2 3 32zr P l l l l l cosθ+ − = + − (2.3.2)

Despejando 3cosθ , se tiene: ( )22 2 21 2 3

32 32

zr P l l lcos

l lθ

+ − − −= − (2.3.3)

Por identidad trigonométrica 2 23 3 1sen cosθ θ+ = (2.3.4)

Despejando 3senθ : 23 31sen cosθ θ= ± − (2.3.5)

Dividiendo ambos lados de la ecuación (2.3.5) por 3cosθ : 2

33

3

1 costg

cosθ

θθ

± −= (2.3.6)

De la ecuación anterior, fácilmente se llega a: 2

33

3

1 cosarctg

cosθ

θθ

⎛ ⎞± −⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.3.7)

Donde, como ya se definió previamente ( )22 2 21 2 3

32 32

zr P l l lcos

l lθ

+ − − −= − .

Regresando a la figura 2, se ve que: 2θ β α= − (2.3.8)

2 2

z z

x y

P Parctg arctg

r P Pβ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎝ ⎠ (2.3.9)

( )( )

22 2 2 21 2 3

22 22 12

x y z

x y z

P P P l l larccos

l P P P lα

⎛ ⎞+ + − + −⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠

(2.3.10)


- 15 -

Sustituyendo las ecuaciones (2.3.9) y (2.3.10) en la ecuación (2.3.8), se obtiene: ( )

( )

22 2 2 21 2 3

2 2 2 22 22 12

x y zz

x y x y z

P P P l l lParctg arccos

P P l P P P lθ

⎛ ⎞⎛ ⎞ + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.3.11)

Las ecuaciones (2.3.1), (2.3.11) y (2.3.7) forman el modelo cinemático inverso del robot manipulador SCORBOT ER-V+

2.3.2. Modelado cinemático inverso del robot PUMA Como primer paso se obtienen los esquemas superior y lateral del robot

manipulador, para aplicar el método geométrico para obtener el modelo cinemático inverso. El esquema para el robot PUMA, en la configuración de brazo derecho es:

Figura 2.5. Vista superior del robot PUMA en configuración brazo derecho

De la figura 2.5, se tiene que:

2 2 2x yr P P= + (2.3.12)

1θ ϕ γ= + (2.3.13) y

x

Parctg

Pϕ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.3.14)

2 2 2 2 2x y

d darctg arctgr d P P d

γ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.3.15)

Sustituyendo las ecuaciones (2.3.14) y (2.3.15) en la ecuación (2.3.13) se obtiene:

1 2 2 2

yi

x x y

P darctg arctgP P P d

θ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.3.16)

Para la configuración de brazo izquierdo el esquema superior para el robot PUMA

es:

Figura 2.6. Vista superior del robot PUMA en configuración brazo izquierdo


- 16 -

De la figura 2.6, se observa que: 2 2 2

x yr P P= + (2.3.17)

1 180θ ϕ γ− ° = − (2.3.18) y

x

Parctg

Pϕ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.3.19)

2 2 2 2 2x y

d darctg arctgr d P P d

γ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.3.20)

Sustituyendo las ecuaciones (2.3.19) y (2.3.20) en la ecuación (2.3.18) se obtiene:

1 2 2 2180 y

dx x y

P darctg arctgP P P d

θ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.3.21)

El esquema de la vista lateral del robot PUMA, de donde se obtendrán las ecuaciones que determinan los valores de las otras dos coordenadas articulares en la configuración de brazo derecho se muestra a continuación:

Figura 2.7. Vista lateral del robot PUMA en la configuración de brazo derecho

De la figura 2.7, por ley de cosenos: 2 2 2 2

2 3 2 3 32r s l l l l cosθ+ = + − (2.3.22)

Despejando 3cosθ , se tiene: 2 2 2 2

2 33

2 32r s l l

cosl l

θ+ − −

= − (2.3.23)

Sustituyendo s, ( )22 2 21 2 3

32 32

zr P l l lcos

l lθ

+ − − −= − (2.3.24)




33

3

1 costg

cosθ

θθ

± −= (2.3.27)


33

3

1 cosarctg

cosθ

θθ

⎛ ⎞± −⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.3.28)

Donde, como ya se definió previamente: ( )22 2 21 2 3

32 32

zr P l l lcos

l lθ

+ − − −= − .


- 17 -

Regresando a la figura 2.5, se ve que: 2θ β α= − (2.3.29)

1

2 2 2

z

x y

P darctg

P P dβ

⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

(2.3.30)

( )( )

22 2 2 21 2 3

22 22 12

x y z

x y z

P P P l l larccos

l P P P lα

⎛ ⎞+ + − + −⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠

(2.3.31)

Sustituyendo las ecuaciones (2.3.30) y (2.3.31) en la ecuación(2.3.29), se obtiene:

( )

( )

22 2 2 21 2 31

2 2 2 2 22 22 12

x y zz

x y x y z

P P P l l lP darctg arccos

P P d l P P P lθ

⎛ ⎞⎛ ⎞ + + − + −− ⎜ ⎟⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.3.32)

Para la configuración de brazo izquierdo, el esquema de la vista lateral del robot PUMA se modifica a la figura 2.6, de donde se obtienen las coordenadas articulares 2 y 3 para la configuración brazo izquierdo:

Figura 2.8. Vista lateral del robot PUMA en la configuración de brazo izquierdo

De la figura 2.8, por ley de cosenos: 2 2 2 2

2 3 2 3 32r s l l l l cosθ+ = + + (2.3.33)

Despejando 3cosθ , se tiene: 2 2 2 2

2 33

2 32r s l l

cosl l

θ+ − −

= (2.3.34)

Sustituyendo s, ( )22 2 21 2 3

32 32

zr P l l lcos

l lθ

+ − − −= − (2.3.35)




33

3

1 costg

cosθ

θθ

± −= (2.3.38)


33

3

1 cosarctg

cosθ

θθ

⎛ ⎞± −⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.3.39)

Donde, como ya se definió previamente: ( )22 2 21 2 3

32 32

zr P l l lcos

l lθ

+ − − −= − .


- 18 -

La diferencia del cálculo de 3θ radica en que, para la configuración brazo derecho-codo arriba tiene el signo negativo para el resultado de la raíz cuadrada y la configuración brazo derecho-codo abajo tiene el signo positivo para el resultado de la raíz cuadrada. Regresando a la figura 2.8, se ve que: ( )2 180θ β α= °− − (2.3.40)

1

2 2 2

z

x y

P larctg

P P dβ

⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

(2.3.41)

( )( )

22 2 2 21 2 3

22 22 12

x y z

x y z

P P P l l larccos

l P P P lα

⎛ ⎞+ + − + −⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠

(2.3.42)

Sustituyendo las ecuaciones (2.3.41) y (2.3.42) en la ecuación (2.3.40), se obtiene:

( )( )

22 2 2 21 2 31

2 2 2 2 22 22 1

1802

x y zz

x y x y z

P P P l l lP larctg arccos

P P d l P P P lθ

⎛ ⎞⎛ ⎞ + + − + −− ⎜ ⎟⎜ ⎟= ° − + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.3.43)

Para la configuración codo arriba, solamente se debe de cambiar el signo del último término de la ecuación anterior. Las ecuaciones (2.3.16), (2.3.32), (2.3.28), (2.3.21), (2.3.39) y (2.3.43) forman el modelo cinemático inverso del robot manipulador PUMA, para las 4 configuraciones brazo derecho-codo abajo, brazo derecho-codo arriba, brazo izquierdo-codo abajo y brazo izquierdo-codo arriba.


- 19 -

Capítulo 3

Modelado Dinámico

A lo largo de este capítulo se revisan las herramientas para el modelado dinámico de un robot manipulador. La primera parte se centra en el modelado dinámico por medio de la formulación Euler-Lagrange. En la segunda parte se obtiene el modelo dinámico de los robots manipuladores por medio de la formulación de Hamilton. Al final del capítulo por medio de comparación se validan los modelos dinámicos obtenidos.

3.1. Modelado Dinámico con las ecuaciones de Euler-Lagrange. Para obtener el modelo dinámico de un sistema usando la formulación de Euler-

Lagrange, se requiere seguir los siguientes pasos:

1. Se obtiene la energía cinética total del sistema: ( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , ,iK q q K q q K q q K q q= + + + (3.1.1)

2. Se desarrolla la energía potencial total del sistema: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 iU q U q U q U q= + + + (3.1.2)

3. Se obtiene el Lagrangiano del sistema, el cual está definido por:

Capítulo 3. Modelado Dinámico

- 20 -

( ) ( ) ( ), ,L q q K q q U q= − (3.1.3) 4. Se desarrolla la ecuación de disipación, la cual debe de incluir un término de

disipación para cada coordenada articular: ( ) ( ) ( )1 1 2 2 i iF F q F q F q= + + + (3.1.4)

5. Se desarrolla la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange.

1, 2, ,ii i i

d L L F i ndt q q q

τ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

− + = =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠… (3.1.5)

Las n ecuaciones dinámicas obtenidas representan el modelo dinámico del sistema

[Kelly 2003].

3.2. Modelado dinámico de robots manipuladores. Para obtener el modelo dinámico de un robot manipulador por medio de las

ecuaciones de Euler-Lagrange es necesario seguir los pasos enunciados en la sección anterior.

1. La ecuación de la energía cinética para un eslabón del robot:

( ) 2 21 1,2 2i i iK q q m v I q= + (3.2.1)

En la ecuación anterior el primer elemento corresponde a la energía cinética

traslacional y el segundo elemento está definido por la energía cinética rotacional.

• La ecuación de la energía potencial para cada eslabón es la siguiente: ( )i i iU q m gh= (3.2.2)

3.2.1. Modelado dinámico del robot SCORBOT ER-V+ usando la formulación de Euler-Lagrange

Como preparación previa para obtener las ecuaciones de la energía cinética y energía potencial se presenta la figura 3.1, donde se muestran las relaciones de los movimientos y las coordenadas articulares.

Se van a obtener las ecuaciones de las energías cinéticas y potenciales para cada uno

de los eslabones del robot manipulador:

Eslabón 1: • Energía Cinética. 2

1 1 112

K I θ= (3.2.3)

• Energía Potencial. 1 1U m gh= (3.2.4)


- 21 -

θ1

θ2

θ3

Figura 3.1. Esquema del movimiento del robot manipulador SCORBOT ER-V+

Eslabón 2:

• Energía Cinética. ( )2 2 22 2 2 2 1 2

1 12 2

K m v I θ θ= + + (3.2.5)

Se requiere obtener la expresión de la velocidad, para ello se sabe que: 2 2 2 2

2 2 2 2v x y z= + + (3.2.6) 2 2 2 1cos coscx l θ θ= (3.2.7) 2 2 2 1cos sency l θ θ= (3.2.8) 2 2 2sencz h l θ= + (3.2.9)

Derivando con respecto al tiempo cada una de las coordenadas anteriores:

2 2 2 1 2 2 2 1 1sen cos cos senc cx l lθ θ θ θ θ θ= − − (3.2.10)2 2 2 1 2 2 2 1 1sen sen cos cosc cy l lθ θ θ θ θ θ= − + (3.2.11) 2 2 2 2coscz l θ θ= (3.2.12)

Sustituyendo las ecuaciones (3.2.10) a (3.2.12) en la ecuación (3.2.6):

( ) ( )( )

2 222 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1

2

2 2 2

sen cos cos sen sen sen cos cos

cos

c c c c

c

v l l l l

l

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ

= − − + − +

+ (3.2.13)

Desarrollando y reduciendo la identidad 2 2sen cos 1θ θ+ = :

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1cosc cv l lθ θ θ= + (3.2.14)

Con lo que la ecuación de la energía cinética es:

( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 2

1 1cos2 2c cK m l l Iθ θ θ θ θ⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ (3.2.15)

• Energía Potencial. ( )2 2 2 2cU m g h l senθ= + (3.2.16)

Eslabón 3:


- 22 -


1 12 2

K m v I θ θ θ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.2.17)

Para obtener la velocidad: 2 2 2 2

3 3 3 3v x y z= + + (3.2.18) ( )3 2 2 1 3 2 3 1cos cos cos coscx l lθ θ θ θ θ= + + (3.2.19) ( )3 2 2 1 3 2 3 1cos sen cos sency l lθ θ θ θ θ= + + (3.2.20)

( )3 2 2 3 2 3sen sencz h l lθ θ θ= + + + (3.2.21)

Derivando con respecto al tiempo cada una de las coordenadas anteriores: ( ) ( ) ( )3 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1sen cos cos sen sen cos cos senc cx l l l lθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= − − − + + − + (3.2.22)( ) ( ) ( )3 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1sen sen cos cos sen sen cos cosc cy l l l lθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= − + − + + + + (3.2.23)

( )( )3 2 2 2 3 2 3 2 3cos coscz l lθ θ θ θ θ θ= + + + (3.2.24)

Sustituyendo las ecuaciones (3.2.22) a (3.2.24) en la ecuación(3.2.18): ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

223 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1

2

2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1

2

2 2 2 3 2 3 2 3

sen cos cos sen sen cos cos sen

sen sen cos cos sen sen cos cos

cos cos

c c

c c

c

v l l l l

l l l l

l l

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ


θ θ θ θ θ θ

= − − − + + − +

+ − + − + + + +

+ + + +

(3.2.25)

Desarrollando los trinomios al cuadrado, reduciendo con las identidades

2 2sen cos 1θ θ+ = y ( )cos cos cos sen senα β α β α β− = + : ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 2 3 1 2 2 3 2 3 1

2 2 22 2 1 2 3 3 2 2 3

2 2 cos cos cos

cos 2 cosc c c c c

c

v l l l l l l l

l l l


θ θ θ θ θ θ

= + + + + + + +

+ + + (3.2.26)


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 1 3 2 2

22 2 2 2 2 2 23 3 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 3 2 2 3 3 1 2 3

1 1 1cos cos2 2 21 1 1cos cos cos2 2 2

c c c c

c c

K m l m l m l m l l m l

m l m l m l l I

θ θ θ θ θ θ θ θ θ


= + + + + +

⎡ ⎤+ + + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.2.27)

• Energía Potencial. ( )( )3 3 2 2 3 2 3cU m g h l sen l senθ θ θ= + + + (3.2.28)

Masa del Efector Final:

• Energía Cinética. 24 4

12 fK m v= (3.2.29)

La velocidad de la masa del efector final está determinada por: 2 2 2 2

4 4 4 4v x y z= + + (3.2.30) ( )4 2 2 1 3 2 3 1cos cos cos cosx l lθ θ θ θ θ= + + (3.2.31) ( )4 2 2 1 3 2 3 1cos sen cos seny l lθ θ θ θ θ= + + (3.2.32)

( )4 2 2 3 2 3sen senz h l lθ θ θ= + + + (3.2.33)

Derivando con respecto al tiempo cada una de las coordenadas anteriores:


- 23 -

( ) ( ) ( )4 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1sen cos cos sen sen cos cos senx l l l lθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= − − − + + − + (3.2.34)

( ) ( ) ( )4 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1sen sen cos cos sen sen cos cosy l l l lθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= − + − + + + + (3.2.35)

( )( )4 2 2 2 3 2 3 2 3cos cosz l lθ θ θ θ θ θ= + + + (3.2.36)


( )( )( )

22

4 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1

2

2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1

2

2 2 2 3 2 3 2 3



cos cos

v l l l l

l l l l

l l



θ θ θ θ θ θ

= − − − + + − +

+ − + − + + + +

+ + + +

(3.2.37)


2 2sen cos 1θ θ+ = y ( )cos cos cos sen senα β α β α β− = + : ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 2 3 1 2 2 3 2 3 1

2 2 22 2 1 2 3 3 2 2 3

2 2 cos cos cos

cos 2 coscv l l l l l l l

l l l


θ θ θ θ θ θ

= + + + + + + +

+ + + (3.2.38)


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 24 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 2 3 1 2 2

2 2 2 2 2 23 2 3 1 2 2 1 2 3 3 2 2 3

1 1 1cos cos2 2 21 1cos cos cos2 2

f f f f f

f f f

K m l m l m l m l l m l

m l m l m l l



= + + + + +

+ + + + + (3.2.39)

• Energía Potencial. ( )( )4 2 2 3 2 3fU m g h l sen l senθ θ θ= + + + (3.2.40)

Después de obtener las expresiones de las energías cinética y potencial de cada uno

de los eslabones del robot manipulador, se debe obtener la energía cinética total del robot manipulador:

1 2 3 4K K K K K= + + + (3.2.41)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 3 2 2 3 1 3 2 2 3 3 2 3 1 3 2 2 1

3 2 3 3 2 2 3 3

1 1 1 1 1cos2 2 2 2 2

1 1 1cos cos cos cos2 2 2

1cos2

c c c c c

c c

c

K I m l l I m l m l m l

m l l m l m l m l

m l l I

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ


θ θ θ θ

⎡ ⎤= + + + + + + +⎣ ⎦

+ + + + + +

+ + + ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 2 2 2 2 21 2 3 3 2 3 3 3 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 22 3 2 2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 2 1

2 3 3 2 2 3

1 12 2


cos

f f f

f f f f

f

m l m l m l

m l l m l m l m l

m l l

θ θ θ θ θ θ θ


θ θ θ θ

⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + + + +

+ +

(3.2.42)

La energía potencial total del robot manipulador es:

1 2 3 4U U U U U= + + + (3.2.43) ( ) ( )( )

( )( )1 2 2 2 3 2 2 3 2 3

2 2 3 2 3

c c

f

U m gh m g h l sen m g h l sen l sen

m g h l sen l sen

θ θ θ θ

θ θ θ

= + + + + + +

+ + + + (3.2.44)


- 24 -

El Lagrangiano del sistema es:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 3 2 2 3 1 3 2 2 3 3 2 3 1 3 2 2 1

3 2 3 3 2 2 3 3

1 1 1 1 1cos2 2 2 2 2


1cos2

c c c c c

c c

c

L I m l l I m l m l m l

m l l m l m l m l

m l l I



θ θ θ θ

⎡ ⎤= + + + + + + +⎣ ⎦

+ + + + + +

+ + + ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

22 2 2 2 2 21 2 3 3 2 3 3 3 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 22 3 2 2 3 1 2 2 3 2 3 1 2 2 1

2 3 3 2 2 3 1 2 2 2 3 2 2 3 2 3

1 12 2


cos

f f f

f f f f

f c c

f

m l m l m l

m l l m l m l m l

m l l m gh m g h l sen m g h l sen l sen

m g



θ θ θ θ θ θ θ θ

⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + + + +

+ + − − + − + + +

− ( )( )2 2 3 2 3h l sen l senθ θ θ+ + +

(3.2.45)

Se desarrolla la ecuación de disipación:

2 2 21 1 2 2 3 3

1 1 12 2 2

F β θ β θ β θ= + + (3.2.46)

Ahora se desarrollan los elementos de las ecuaciones de movimiento de Lagrange:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 21 1 2 2 2 1 2 1 3 2 3 2 2 3 1 3 3 2 3 1 3 1

1

2 2 2 2 2 23 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 3 1 3 2 3 1

cos 2 cos cos cos

cos cos 2 cos cos cos

c c c a

f f f

L I m l I m l l m l I

m l m l m l l m l

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

∂= + + + + + + +

∂

+ + + + + +

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

2 21 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 1

1

3 2 3 2 2 3 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 3 1

2 23 3 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1

23 2

cos 2cos sen

2 sen cos cos sen cos cos

2sen cos cos

2s

c

c

c

d L I m l I Idt

m l l

m l

m l

θ θ θ θ θ θ θ θ θθ



⎛ ⎞∂= + − + +⎜ ⎟

∂⎝ ⎠

+ − + − + + + +

+ − + + + + +

+ − ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 22 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1

2 3 2 2 3 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 3 1

2 23 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1

en cos cos 2sen cos cos

2 sen cos cos sen cos cos

2sen cos cos

f

f

f

m l

m l l

m l




+ + − +

+ − + − + + + +

+ − + + + + +

1

0Lθ∂

=∂

1 11

F β θθ∂

=∂

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 22 2 2 2 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3

2

2 2 23 2 3 3 2 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3

2 cos cos

2 cos cos

c c c c c

f f f f f

L m l I m l m l m l m l l m l l

I m l m l m l m l l m l l



∂= + + + + + +

∂

+ + + + + + +

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2

2

2 23 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 3 3

2 3 3

2 sen

sen cos 2 cos sen

2 sen

c c c c f f

c c c f

f

d L m l I m l m l m l m l l m l m ldt

m l l m l l I m l l m l l

m l l

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ


θ θ

⎛ ⎞∂= + + + + − + +⎜ ⎟

∂⎝ ⎠

− + + + + −

− ( ) ( )22 3 2 3 3 2 2 2 2 3 3 32 cos cosf f fm l l m l m l lθ θ θ θ θ θ+ + +


- 25 -

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 22 2 2 2 1 3 2 3 1 2 2 3 2 2 3 2 2 2

2

2 2 2 2 23 3 2 3 2 3 1 3 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3

2 2 22 3 1 2 2 3 3 2 3 2 3 1

cos sen sen cos cos sen cos

2 cos sen cos sen sen cos

cos sen cos sen

c c c

c f

f f

L m l m l l m gl

m l m l m l l

m l l m l

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ



∂= − − + + + −

∂

− + + − − +

− + − + + ( ) ( )( ) ( )

2 22 2 2 1

3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3

cos sen

cos cos cos cosf

c f f

m l

m gl m gl m gl m gl

θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

−

− − + − − +

2 22

F β θθ∂

=∂

( ) ( ) ( )2 2 2 23 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2

3

cos cosc c c f f fL m l m l m l l I m l m l m l lθ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ∂

= + + + + + + +∂

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 23 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3

3

23 2 2 3 3 2 3 3 2

sen cos

sen cos

c c c f

f f

d L m l m l m l l I m ldt

m l m l l


θ θ θ θ θ θ

⎛ ⎞∂= + + − + + + +⎜ ⎟

∂⎝ ⎠

+ + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 23 2 3 2 2 3 1 3 3 2 3 2 3 1 3 3 2 3

3

23 2 3 3 2 2 3 2 3 2 2 3 1 3 2 3

2 23 2 3 2 3 1 2 3 3 2 2 3

cos sen cos sen cos

sen cos sen cos

cos sen sen

c c c

c f f

f f

L m l l m l m gl

m l l m l l m gl

m l m l l

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ



∂= − + − + + − +

∂

− + − + − +

− + + − +

3 33

F β θθ∂

=∂

Ahora si se puede formar la ecuación de Euler-Lagrange:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 21 1 2 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 2 3 1 2

2 23 2 3 2 2 3 1 2 3 3 2 3 2 2 3 1 3 3 2 3 1

23 3 2 3 2 3 1 2 3

cos 2 cos sen 2 sen cos

2 cos sen 2 cos cos cos

2 sen cos

c c c

c c c

c

I I I m l m l m l l

m l l m l l m l

m l

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ


+ + + − − +

− + + + + + +

− + + + ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 23 2 2 2 1 2 3 2 2 1

2 3 2 2 3 1 2 2 3 2 2 3 1 2 3

22 3 2 2 3 1 3 2 3 2 3 1 2 3

2 2 23 2 3 1 2 2 2 1 2

2 sen cos cos

2 sen cos 2 cos sen

2 cos cos 2 sen cos

cos 2 sen cos

f f

f f

f f f

m l m l

m l l m l l

m l l m l

m l m l m

θ θ θ θ θ θ




− +

− + − + +

+ + − + + +

+ + − + ( )2 22 2 1 1 1 1cosl θ θ β θ τ+ =

(3.2.47)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 22 2 2 2 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2

23 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2

2 23 2 2 2

2 sen 2 cos

sen cos 2 sen 2 cosc c c c c f

c c f f

f f

m l I m l m l m l m l l m l l m l

m l l m l l I m l l m l l

m l m l



θ θ

+ + + + − + +

− + + + − +

+ + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 22 2 2 1 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3

2 2 2 22 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 1 3 2 3 2 2 3 1

2 2 2 23 2 3 2 2 3 1 3 3 2 3 2 3 1 3 2 2

cos sen cos cos cos

sen cos cos sen sen cos

cos sen 2 cos sen cos s

f c c

f f c c

c c

m l m gl m gl m gl

m l l m l l m l m l l

m l l m l m l




+ + + +

− + + + +

+ + + + + + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

22 1

2 2 2 22 3 2 2 3 1 2 3 2 2 3 1 3 2 3 2 3 1

2 2 3 2 3 2 2 2

en

sen cos cos sen cos sen

cos cosf f f

f f

m l l m l l m l

m gl m gl

θ θ


θ θ θ β θ τ

+ + + + + + +

+ + + + =

(3.2.48)


- 26 -

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 23 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3

2 2 2 23 2 3 2 2 3 1 3 3 2 3 2 3 1 2 3 3 2 3 3

23 2 3 2 3 3 2 2 3

sen cos sen

cos sen cos sen cos

sen

c c c c f

c c f f

f c

m l m l m l l m l l I m l l

m l l m l m l l m l

m l m l l m



θ θ θ θ θ

+ − + + + −

+ + + + + + +

+ + + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 3 2 2 3 1 3 3 2 3

2 23 2 3 2 3 1 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 3 3

cos sen cos

cos sen sen cos

f c

f f f

l l m gl

m l m l l m gl

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ β θ τ

+ + +

+ + + + + + + + =

(3.2.49)

Las ecuaciones (3.2.47), (3.2.48) y (3.2.49) forman el modelo dinámico del robot

manipulador SCORBOT ER-V +, definiendo i iq θ= , i iq θ= y i iq θ= , además, también s realiza la siguiente definición de matrices:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33

M q M q M qM q M q M q M q

M q M q M q

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 211 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3 3 2 2 2 2

2 22 3 2 2 3 3 2 3 1 2 3

cos 2 cos cos cos cos cos

2 cos cos cosc c c f

f f

M q m l q m l l q q m l q q m l q m l q

m l l q q q m l q q I I I

θ= + + + + + +

+ + + + + + +

( )12 0M q = ( )13 0M q = ( )21 0M q = ( ) 2 2 2 2 2

22 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 2 3 32 cos 2 cosc c c f f fM q m l I m l m l m l l q I m l m l m l l q= + + + + + + + + ( ) 2 2

23 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3cos cosc c f fM q m l m l l q I m l m l l q= + + + + ( )31 0M q = ( ) 2 2

32 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3cos cosc c f fM q m l m l l q m l m l l q I= + + + + ( ) 2 2

33 3 3 3 3c fM q m l m l I= + +

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33

, , ,, , , ,

, , ,

C q q C q q C q qC q q C q q C q q C q q

C q q C q q C q q

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

211 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3

2 23 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 1 2

22 3 2 2 3 2 3 3 2 3

, cos sen sen cos cos sen

sen cos sen cos sen cos

cos sen sen cos

c c c

c f

f f

C q q m l q q q m l l q q q q m l l q q q q q

m l q q q q q q m l q q q m l l q q q q q

m l l q q q q q m l q q q

= − − + − + +

− + + + − − +

− + + − + ( )( ) 22 3 2 3 2 2 2 2sen cosfq q q m l q q q+ + −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

212 2 2 2 2 1 3 2 3 2 2 3 1 3 2 3 2 2 3 1

2 2 23 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 2 2 1

22 3 2 2 3 1 2 2 2 1 2 3 2


sen cos sen cos sen cos

cos sen sen cos sen

c c c

c f

f f f

C q q m l q q q m l l q q q q m l l q q q q

m l q q q q q m l q q q q q m l q q q

m l l q q q q m l q q q m l l q

= − − + − +

− + + − + + −

− + − − ( )2 3 1cos q q q+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

213 3 2 3 2 2 3 1 3 3 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 1

23 2 3 2 3 1


sen cosc c f

f

C q q m l l q q q q m l q q q q q m l l q q q q

m l q q q q q

= − + − + + − +

− + +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

221 2 2 2 2 1 3 2 3 2 2 3 1 3 2 3 2 2 3 1

2 23 3 2 3 2 3 1 3 2 2 2 1 2 3 2 2 3 1

2 22 3 2 2 3 1 3 2 3 2 3 1 2


cos sen cos sen sen cos

cos sen cos sen co

c c c

c f

f f f

C q q m l q q q m l l q q q q m l l q q q q

m l q q q q q m l q q q m l l q q q q

m l l q q q q m l q q q q q m l

= − − + − +

− + + − − +

− + − + + − 2 2 1s senq q q

( )22 3 2 3 3 3 2 3 3 3, sen senc fC q q m l l q q m l l q q= − − ( )23 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 2 3 3 3, sen sen sen senc c f fC q q m l l q q m l l q q m l l q q m l l q q= − − − −


- 27 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

231 3 2 3 2 2 3 1 3 3 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 1

23 2 3 2 3 1

, cos sen cos sen cos sen

cos senc c f

f

C q q m l l q q q q m l q q q q q m l l q q q q

m l q q q q q

= + + + + + +

+ + +

( ) ( ) ( )32 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3, sen senc fC q q m l l q q q m l l q q q= + + + ( )33 3 2 3 3 2 2 3 3 2, sen senc fC q q m l l q q m l l q q= − −

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3T

B q B q B q B q= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )1 1 1B q qβ= ( )2 2 2B q qβ= ( )3 3 3B q qβ=

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3T

g q g q g q g q= ⎡ ⎤⎣ ⎦

( )1 0g q = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3cos cos cos cos cosc c f fg q m gl q m gl q m gl q q m gl q m gl q q= + + + + + + ( ) ( ) ( )3 3 3 2 3 3 2 3cos cosc fg q m gl q q m gl q q= + + +

Con los elementos ya definidos, el modelo dinámico del robot SCORBOT ER-V+

se escribe con la siguiente forma matricial (ecuación (3.5.1)): ( ) ( ) ( ) ( ),M q q C q q q B q g q τ+ + + = (3.2.50)

3.2.2. Modelado dinámico del robot PUMA usando la formulación de Euler-Lagrange

Se van a obtener las ecuaciones de las energías cinéticas y potenciales para cada uno de los eslabones del robot manipulador, las relaciones existentes entre el movimiento del eslabón y las coordenadas articulares se obtienen partiendo de la figura 3.2.

θ1

θ2

θ3

ϕ

Figura 3.2. Esquema del movimiento del robot manipulador PUMA Eslabón 1:

• Energía Cinética. 2 2 21 1 1 1 1 1

1 12 2cK m l Iθ θ= + (3.2.51)

• Energía Potencial. 1 1U m gh= (3.2.52)


- 28 -

Eslabón 2: • Energía Cinética. ( )2 2 2

2 2 2 2 1 21 12 2

K m v I θ θ= + + (3.2.53)

Primero, se obtiene la expresión de la velocidad: 2 2 2 2

2 2 2 2v x y z= + + (3.2.54) ( )2 1 1 2 2 1sen cos coscx d lθ θ φ θ= − + (3.2.55) ( )2 1 1 2 2 1cos cos sency d lθ θ φ θ= − − + (3.2.56)

( )2 2 2sencz h l θ φ= − + (3.2.57)

Derivando con respecto al tiempo cada una de las coordenadas anteriores: ( ) ( )2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1cos sen cos cos senc cx d l lθ θ θ φ θ θ θ φ θ θ= + + + + (3.2.58)( ) ( )2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1sen sen sen cos cosc cy d l lθ θ θ φ θ θ θ φ θ θ= + + − + (3.2.59)

( )2 2 2 2coscz l θ φ θ= − + (3.2.60)

Sustituyendo las ecuaciones (3.2.58) a (3.2.60) en la ecuación (3.2.54): ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

222 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1

2

1 1 2 2 1 2 2 2 1 1

2

2 2 2

cos sen cos cos sen

sen sen sen cos cos

cos

c c

c c

c

v d l l

d l l

l

θ θ φ θ θ θ φ θ θ

θ θ φ θ θ θ φ θ θ

θ φ θ

= + + + +

+ + + − +

+ − +

(3.2.61)

Desarrollando los binomios al cuadrado y reduciendo con la

identidad 2 2sen cos 1θ θ+ = : ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2cos 2 senc c cv d l l d lθ θ φ θ θ θ φ θ θ= + + + + + (3.2.62) Con lo que la ecuación de la energía cinética es:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

1 1cos 2 sen2 2c c cK m d l l d l Iθ θ φ θ θ θ φ θ θ θ θ⎡ ⎤= + + + + + + +⎣ ⎦ (3.2.63)

• Energía Potencial. ( )( )2 2 2 2cU m g h l sen θ φ= − + (3.2.64)

Eslabón 3:


1 12 2

K m v I θ θ θ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.2.65)

Para obtener la velocidad: 2 2 2 2

3 3 3 3v x y z= + + (3.2.66) ( ) ( )3 1 2 1 2 2 1 3 2 3 1sen cos cos cos coscx d d l lθ θ θ θ θ θ= + + + + (3.2.67) ( ) ( )3 1 2 1 2 2 1 3 2 3 1cos cos sen cos sency d d l lθ θ θ θ θ θ= − + + + + (3.2.68)

( )3 2 2 3 2 3sen sencz h l lθ θ θ= + + + (3.2.69)


- 29 -

Derivando con respecto al tiempo cada una de las coordenadas anteriores: ( ) ( ) ( )

( )3 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3

3 2 3 1 1

cos sen cos cos sen sen cos

cos senc

c

x d d l l l

l


θ θ θ θ

= + − − − + +

− + (3.2.70)

( ) ( ) ( )( )

3 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3

3 2 3 1 1

sen sen sen cos cos sen sen

cos cosc

c

y d d l l l

l


θ θ θ θ

= + − + − + +

+ + (3.2.71)

( )( )3 2 2 2 3 2 3 2 3cos coscz l lθ θ θ θ θ θ= + + + (3.2.72)

Sustituyendo las ecuaciones (3.2.70) a (3.2.72) en la ecuación (3.2.66): ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

223 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1

2

2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1

2

2 2 2 3 2 3 2 3



cos cos

c c

c c

c

v l l l l

l l l l

l l



θ θ θ θ θ θ

= − − − + + − +

+ − + − + + + +

+ + + +

(3.2.73)


2 2sen cos 1θ θ+ = y ( )cos cos cos sen senα β α β α β− = + :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

222 2 2 2 23 1 2 1 1 2 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 3

223 2 3 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 2 3 1 3 1 2

cos cos 2 cos

2 sen sen 2 sen

c c

c c c

v d d l l l l l

l d d l l l d d



= + + + + + + +

+ + − + + + − + + (3.2.74)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

222 2 2 21 2 1 1 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 2 3

3 3 2 22 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 2 3 1 3 1 2

223 1 2 3

cos cos 2 cos12 2 sen sen 2 sen

12

c c c

c c

d d l l l l lK m

l d d l l l d d

I



θ θ θ

⎡ ⎤+ + + + + + + +⎢ ⎥=⎢ ⎥+ − + + + − + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.2.75)

• Energía Potencial. ( )( )3 3 2 2 3 2 3cU m g h l sen l senθ θ θ= + + + (3.2.76)

Masa del Efector Final:

• Energía Cinética. 24 4

12 fK m v= (3.2.77)

Se requiere obtener la expresión de la velocidad, para ello se sabe que: 2 2 2 2

4 4 4 4v x y z= + + (3.2.78) ( ) ( )4 1 2 1 2 2 1 3 2 3 1sen cos cos cos cosx d d l lθ θ θ θ θ θ= + + + + (3.2.79) ( ) ( )4 1 2 1 2 2 1 3 2 3 1cos cos sen cos seny d d l lθ θ θ θ θ θ= − + + + + (3.2.80)

( )4 2 2 3 2 3sen senz h l lθ θ θ= + + + (3.2.81)

Derivando con respecto al tiempo cada una de las coordenadas anteriores: ( ) ( ) ( )

( )4 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3

3 2 3 1 1

cos sen cos cos sen sen cos

cos sen

x d d l l l

l


θ θ θ θ

= + − − − + +

− + (3.2.82)


- 30 -

( ) ( ) ( )( )

4 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3

3 2 3 1 1

sen sen sen cos cos sen sen

cos cos

y d d l l l

l


θ θ θ θ

= + − + − + +

+ + (3.2.83)

( )( )4 2 2 2 3 2 3 2 3cos cosz l lθ θ θ θ θ θ= + + + (3.2.84)


( )( )( )

224 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1

2

2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 1

2

2 2 2 3 2 3 2 3



cos cos

v l l l l

l l l l

l l



θ θ θ θ θ θ

= − − − + + − +

+ − + − + + + +

+ + + +

(3.2.85)


2 2sen cos 1θ θ+ = y ( )cos cos cos sen senα β α β α β− = + :

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

222 2 2 2 24 1 2 1 1 2 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 3

223 2 3 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 2 3 1 3 1 2

cos cos 2 cos

2 sen sen 2 sen

v d d l l l l l

l d d l l l d d



= + + + + + + +

+ + − + + + − + + (3.2.86)


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

222 2 2 21 2 1 1 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 2 3

4 2 22 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 2 3 1 3 1 2

cos cos 2 cos12 2 sen sen 2 sen

f

d d l l l l lK m

l d d l l l d d



⎡ ⎤+ + + + + + + +⎢ ⎥=⎢ ⎥+ − + + + − + +⎣ ⎦

(3.2.87)

• Energía Potencial. ( )( )4 2 2 3 2 3fU m g h l sen l senθ θ θ= + + + (3.2.88)

A lo largo de todo el manipulador la energía cinética está dada por:

1 2 3 4K K K K K= + + + (3.2.89)

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2

222 22 1 2 2 1 2 3 1 2 2 3 2 3 3 3 2 3

2 2 23 1 2 1 3 3 2 3 1 3 1 2 3 1

1 1 1 1 1 1cos2 2 2 2 2 2

1 1sen cos cos2 2

1 1sen2 2

c c c

c c c

c

K m l I m d m l m l I

m d l m l l m l

m d d m l d d I

θ θ θ θ θ φ θ θ θ

θ φ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

= + + + + + + +

+ + + + + + +

+ + − + + + + ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

2 3

2 23 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 1 2 1 2 2 2 3 2 3

222 2 2 21 2 1 1 2 2 3 2 3 3 2 3

2 22 3 3 2 2 3 2 2 1 2 1 2 2 2 3

1cos sen sen2

1 1 1cos cos2 2 2

1cos sen s2

c c

f f f

f f f

m l l m l m d d l l

m d d m l l m l

m l l m l m d d l l

θ θ




⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + − + + +

+ + + + + + +

+ + + − + + ( )( )( ) ( )

2 3

3 2 3 1 3 1 2

en

senfm l d d

θ θ

θ θ θ θ

+

− + +

(3.2.90)

La energía potencial es:

1 2 3 4U U U U U= + + + (3.2.91) ( )( ) ( )( )( )( )

1 2 2 2 3 2 2 3 2 3

2 2 3 2 3

c c

f

U m gh m g h l sen m g h l sen l sen

m g h l sen l sen

θ φ θ θ θ

θ θ θ

= + − + + + + +

+ + + + (3.2.92)


- 31 -

El Lagrangiano del sistema es:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1

222 1 2 2 1 2 3 1 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3

22 2 2 2 23 3 2 3 2 1 2 3 2 2

1 1 1 1 1 1cos2 2 2 2 2 2

1sen cos cos cos2

1 1 12 2 2

c c c

c c c

c

L m l I m d m l m l m d d

m d l m l l m l l

m l I m l

θ θ θ θ θ φ θ θ

θ φ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

= + + + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

3 1 2 1 2 2 2 3 2 3

2 22 23 3 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 2 3

22 2 23 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 1 2 2 2

1 2 1 2 2

sen sen

1 1sen cos cos2 2

1 1cos2 2

sen

c

c f

f f f c

f

m d d l l

m l d d I m l l

m l m l l m l m gh m g h l sen

m d d l

θ θ θ θ θ


θ θ θ θ θ θ θ θ φ

θ θ

− + + +

⎡ ⎤− + + + + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + + + + − − − +

− + ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

2 3 2 3 3 2 3 1 3 1 2

2 23 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 1 2 1

sen sen

12

f

c f f

l m l d d

m g h l sen l sen m g h l sen l sen m d d



+ + − + +

− + + + − + + + + +

(3.2.93)

Se desarrolla la ecuación de disipación:

2 2 21 1 2 2 3 3

1 1 12 2 2

F β θ β θ β θ= + + (3.2.94)

Ahora se van a desarrollar los elementos de las ecuaciones de movimiento de

Lagrange:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

22 2 2 21 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 1 2 1

12

2 1 3 1 2 2 3 2 3 3 1 3 2 1 2 2 2 3 2 3

23 3 3 2 3 1 2 1 2 1 1 2 2 3

cos sen

cos cos sen sen

sen cos cos

c c c

c c

c f f

L m l I m d m l m dl m d d

I m l l I m d d l l

m l d d m d d m l l

θ θ θ θ φ θ θ φ θ θθ



∂= + + + + + + + +

∂

+ + + + + − + + +

− + + + + + + ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

22 3

2 1 2 2 2 3 2 3 3 3 2 3 1 2sen sen senf fm d d l l m l d d

θ


+

− + + + − + +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

2 2 2 2 21 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1

1

222 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 3 2 3

3 1 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2

cos 2 cos sen

sen cos cos cos

2 cos cos sen sen

c c c

c c c

c c

d L m l I m d m l m ldt

m dl m dl m l l

m l l l l

θ θ θ θ φ θ θ φ θ φ θ θθ

θ φ θ θ φ θ θ θ θ θ


⎛ ⎞∂= + + + + − + +⎜ ⎟

∂⎝ ⎠

+ + + + + + +

− + + + +( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 3 1 2 1

3 1 2 2 2 2 3 1 2 3 2 3 2 3 3 3 2 3 1 2

23 1 2 2 2 2 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 1 2 1

23 1 2 3 2 3 2 3 3 1 2 1 1 2

sen sen sen

cos cos

cos

c c

c

c f f

I I

m d d l m d d l m l d d

m d d l m d d l m d d

m d d l m d d m d d

θ θ θ θ



θ θ θ θ θ θ

+ + +

− + − + + − + +

− + − + + + + +

− + + + + + − +

( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2 2 2

21 2 2 3 2 3 3 3 2 3 1 2 2 3

1 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3

1 2 3 2 3 2 3 3 2 3 1 2

21 2 2 2 2 1 2 3 2 3

sen

cos cos cos

2 cos cos sen sen

sen sen

cos cos

f f

f

f f

f f

l

m l l m l d d

m l l l l

m d d l m l d d

m d d l m d d l

θ θ



θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

+ + + − + + +

− + + + + +

− + + − + +

− + − + + ( )2 3 2θ θ θ+

1

0Lθ∂

=∂


- 32 -

1 11

F β θθ∂

=∂

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 22 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 3

2

2 23 2 2 3 2 3 3 1 1 2 2 2 3 2 3 3 2 3

22 3 3 2 2 3 3 3 2 2 1 1 2

sen 2 cos cos

sen sen

2 cos cos

c c c c c

c f

f f f f

L m l m dl I m l m l l m l l

m l I m d d l l m l

m l l m l l m l m d d l

θ θ φ θ θ θ θ θ θ θ θθ


θ θ θ θ θ θ

∂= + + + + + + +

∂

+ + + − + + + + +

+ + + − + ( )( )2 2 3 2 3sen senlθ θ θ+ +

( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3 2 3

2

3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 1 2 2 2 1 2 3 2 3 3 3 2 2

23 2 3 3 3 3 1 2 2

sen cos

2 cos 2 sen cos cos

sen

c c c c

c c c

c

d L m l m dl m dl m l m ldt

m l l m l l m d d l m l l I

m l l m d d l

θ θ φ θ θ φ θ θ θ θ θθ


θ θ

⎛ ⎞∂= + + + + + + +⎜ ⎟

∂⎝ ⎠+ − − + + +

− − + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 3 1 2 3 2 3 1 3 2 3

23 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3

2 22 3 3 3 2 3 3 3 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2

sen sen

cos 2 cos 2 sen

cos sen sen cos

c

c f f f

f f f f f

m d d l I

m d d l m l l m l l m l

m l l m l l m l m d d l m d d l




− + + + +

− + + + + − + +

+ − + − + − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3sen cosf fm d d l m d d l

θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ− + + − + + +

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 22 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 1 2

2

23 1 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 1 2

3 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 3 1 2 1 3 2 2 2

cos sen cos cos

cos cos sen sen cos

cos cos cos

c c

c c f

c c c

L m l m dl m d d l

m l l l l m d d l

m d d l m l d d m gl

θ φ θ φ θ θ φ θ θ θ θ θθ



∂= − + + + + − +

∂

− + + + + − +

− + + − + + + ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

21 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2

1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 3 3 2 3

3 2 3

cos cos sen sen cos cos

cos cos cos

cos

f f

f f c

f

m l l l l m gl m gl

m d d l m d d l m gl

m gl

φ



θ θ

+

− + + + + − −

− + + − + + − +

− +

2 22

F β θθ∂

=∂

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

23 3 2 3 3 1 2 3 2 3 1 3 2 3 3 2 3 2 3

3

23 2 3 2 3 3 2 1 2 3 2 3 1

sen cos

cos sen

c c c

f f f

L m l m d d l m l l I

m l m l l m d d l



∂= + − + + + + +

∂

+ + + − + +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

23 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 1 2 3 2 3 1

3

23 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2

2 3 3 2 3 1 2 3 2 3

cos sen sen

cos cos

sen sen

c c c c

c f f

f f

d L m l m l l m l l m d d ldt

m d d l I m l m l l

m l l m d d l



θ θ θ θ θ

⎛ ⎞∂= + + − − + +⎜ ⎟

∂⎝ ⎠

− + + + + + + + +

− − + + ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 3 1 2 3cosfm d d lθ θ θ θ θ θ− + + +

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

23 1 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3

3

3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 3 3 2 3

22 2 3 2 3 3 2 3 1 2 3 3 2 2 3

1 2 3

cos cos sen sen

cos cos cos

cos cos sen sen

co

c c c

c c c

f f

f

L m l l l m l l

m d d l m d d l m gl

m l l l m l l

m d d l




∂= − + + + − +

∂

− + + − + + − +

− + + + − +

− + ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 3 3 2 3s cos cosf fm d d l m glθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ+ − + + − +

3 33

F β θθ∂

=∂


- 33 -

Ahora si se puede formar la ecuación de Euler-Lagrange: ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 2 2 21 1 1 1 1 2 1 3 1 2 1 1 2 2 2 1 3 1 2 1 1 2 1

2 23 2 2 3 2 3 1 2 2 3 2 3 1 3 1 2 2 2 2

3 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2

cos

cos cos cos cos sen

sen sen

c c f

c f

c c

m l I I I m d m l m d d m d d

m l l m l l m d d l

m d d l m dl

θ θ θ θ θ θ φ θ θ θ


θ θ θ θ φ θ

+ + + + + + + + + +

+ + + + + + − +

− + + + + − ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 2 2 2

21 2 3 2 3 2 3 3 2 3 1 2 3 3 2 2 2 1 2

2 23 2 3 1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2

3 3 3 2 2 2 3 1 2 3 3

sen

sen sen 2 cos sen

sen 2 cos sen cos

2 cos sen 2

f

f c f

f c c

c f c

m d d l

m d d l m l d d m m l

m l d d m l m d l

m l m l l m l m

θ θ


θ θ θ θ φ θ φ θ θ θ φ θ

θ θ θ θ θ

+

− + + − + + − +

− + + − + + + +

− + + − +( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

3 2 2 3 2 1 2

2 23 3 3 2 3 2 3 1 2 3 3 3 2 2 2 3 1 3

2 23 3 3 2 3 2 3 1 3 3 3 3 1 2 2 3 2 3

23 1 2 2 2 2 3 3 3 1 2

cos sen

2 cos sen 2 cos sen

2 cos sen 2 cos

cos co

f

c f c f

c f c f

f c f

l l

m l m l m l m l l

m l m l m l m l d d

m m d d l m l m l d d

θ θ θ θ θ



θ θ

+

+ + + + − + +

− + + + − + + +

− + + − + + ( )( )( ) ( )

22 3 2

23 3 3 1 2 2 3 3 1 1 1

s

cosc fm l m l d d

θ θ θ

θ θ θ β θ τ

+

− + + + + =

(3.2.95)

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 2 3 3 2 3

23 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 1 2 2 2 1 2 3 3 2

3 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3

sen cos

2 sen cos sen sen 2 cos

cos sen

c c c

c c c f

c

m l m dl m l I m l

m l l m l l m l l m d d l m l l

m d d l m d d l

θ θ φ θ θ φ θ θ θ θ θ θ


θ θ θ

+ + + + + + + +

− + − − + +

− + − + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 3

23 2 3 3 2 3 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 3 2 2

2 2 2 22 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 2

cos

sen cos cos

cos sen cos sen 2 sen

c

f f f

f f f c f

m d d l

I m l m d d l m d d l m gl

m l l m l l m l m l m l l



θ θ θ θ θ θ φ θ φ θ θ θ

+ − + + +

+ + + + − + − + +

+ − + − + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

3

1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 3 3 2

23 1 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2

3 1 2 1 2 2 2 3 2 3 3 3 2 3 1 3 1 2 2

sen cos 2 cos

cos cos sen sen cos

cos cos cos co

f f c

c c c

c c f

m d d l m d d l m l l

m l l l l m dl

m d d l l m l d d m gl

θ


θ θ θ θ θ θ θ θ φ θ θ


− + + − + + + +

− + + + + − +

− + + + + + + +

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

21 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2

1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2 3 1 3

3 3 2 3 3 2 3 2 2 2

s

cos cos sen sen cos

cos cos cos

cos cos

f c

f f

c f

m l l l l m gl

m d d l l m d d l

m gl m gl

θ

θ θ θ θ θ θ θ θ φ


θ θ θ θ β θ τ

− + + + + − +

− + + + + + +

+ + + + + =

(3.2.96)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

23 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 1 2 3 2 3 1

23 1 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 1

1 2 3 2 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3

cos sen sen

cos cos cos sen

sen cos

c c c c

c f

f f

m l m l l m l l I m d d l

m d d l m l l l

m d d l m d d l




+ + − + + − + +

− + + + + + + +

− + + − + + + ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

23 2 3

23 1 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2

3 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 2 3 3 2 3

2 3 3 2 2 3 1 2 3 2 3

cos cos sen sen cos

cos cos sen

sen cos

f

c c c f

c c f

f f

m l

m l l l m l l m l l

m d d l m d d l m l l

m l l m d d l

θ θ



θ θ θ θ θ θ

+ +

+ + + + + + +

+ + + + + + −

+ + + + + ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 3 2 3 1 3

3 3 2 3 3 2 3 3 3 3

cos

cos cosf

c f

m d d l

m gl m gl

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ β θ τ

+ + +

+ + + + + =

(3.2.97)

Las ecuaciones (3.2.95), (3.2.96) y (3.2.97) forman el modelo dinámico del robot manipulador PUMA, para escribir las ecuaciones anteriores en la forma matricial (3.2.50), la definición de las matrices es la siguiente:


- 34 -

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

22 2 2 211 1 1 1 2 3 2 1 2 2 2 3 1 2

2 23 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3

cos

cos cos cos cos

c c f

c f

M q m l I I I m d m l q m m d d

m l q l q q m l q l q q

φ= + + + + + + + + +

+ + + + + +

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

12 3 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2

1 2 2 2 3 2 3

sen sen sen

sen senc c

f

M q m d d l q l q q m dl q

m d d l q l q q

φ= − + + + + +

− + + +

( ) ( )( ) ( ) ( )13 3 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2sen senc fM q m l q q d d m l q q d d= − + + − + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )21 2 2 2 3 1 2 2 2 3 1 2 3 2 3

1 2 3 2 3

sen sen sen

senc f c

f

M q m dl q m m d d l q m d d l q q

m d d l q q

φ= + − + + − + +

− + +

( ) 2 2 2 2 222 2 2 3 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 22 cos 2 cosc c c f f fM q m l m l I m l m l l q I m l m l l q m l= + + + + + + + + ( ) 2 2

23 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3cos cosc c f fM q m l m l l q I m l m l l q= + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3sen senc fM q m d d l q q m d d l q q= − + + − + + ( ) 2 2

32 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3cos cosc c f fM q m l m l l q I m l m l l q= + + + + ( ) 2 2

33 3 3 3 3c fM q m l m l I= + +

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33

M q M q M qM q M q M q M q

M q M q M q

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 211 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3

2 22 3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 3 2 3

2 23 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 2 3

, cos 1 sen cos sen cos sen

cos sen cos sen

cos sen cos sen

c f c f

c f c f

c f c f

C q q q m l q q m m l q q q m l m l l q q q

q m l m l l q q q q m l m l q q q q

q m l m l l q q q q m l m l q q

φ φ= − + + − + − + +

− + + − + + +

− + + − + + ( )2 3q q+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

2 212 1 2 2 2 2 1 3 2 2 2 1 3 3 3 2 2 2 3

2 21 3 3 3 2 2 3 2 1 3 3 3 2 3 2 3

3 3 3 3 1 2 2 3 3 1 2 2 2 2

2 1 2

, cos sen cos sen cos sen

cos sen cos sen

cos cos

c f c f

c f c f

c f f

c

C q q q m l q q q m m l q q q m l m l l q q q

q m l m l l q q q q m l m l q q q q

q m l m l d d q q m m d d l q q

m d l

φ φ= − + + − + − + +

− + + − + + +

− + + + − + +

− ( ) ( )( ) ( )2 2 3 3 3 1 2 2 3 2cos cosc fq q m l m l d d q q qφ+ − + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 213 1 3 3 3 2 2 2 3 1 3 3 3 2 3 2 3

2 3 3 3 1 2 2 3 3 3 3 1 2 2 3 3

, cos sen cos sen

cos cos

c f c f

c f c f

C q q q m l m l l q q q q m l m l q q q q

q m l m l d d q q m l m l d d q q q

θ= − + + − + + +

− + + + − + + +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

221 2 2 2 2 1 3 1 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3

1 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3

, cos sen cos cos sen sen

cos cos sen senc c c

f

C q q m l q q q m q l q l q q l q l q q

m q l q l q q l q l q q

φ φ= − + + − + + + +

− + + + +

( )22 3 2 3 3 3 2 3 3 3, sen senc fC q q m l l q q m l l q q= − − ( ) ( ) ( )23 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3, sen senc fC q q m l l q q q m l l q q q= − + − + ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2

31 3 1 2 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 1, cos cos sen cos cos senc c fC q q m q l q l q q l q q m l q l q q l q q q= + + + + + + +

( ) ( ) ( )32 3 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3, sen senc fC q q m l l q q q q m l l q q q q= + + + ( )33 3 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3, sen senc fC q q m l l q q q m l l q q q= − −

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 12 13

21 22 23

31 32 33

, , ,, , , ,

, , ,

C q q C q q C q qC q q C q q C q q C q q

C q q C q q C q q

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )1 1 1B q qβ= ( )2 2 2B q qβ=


- 35 -

( )3 3 3B q qβ=

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3T

B q B q B q B q= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )1 0g q = ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 3cos cos cos cos cosc c fg q m gl q m g l q l q q m g l q l q qφ= − + + + + + + + ( ) ( ) ( )3 3 3 2 3 3 2 3cos cosc fg q m gl q q m gl q q= + + +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3T

g q g q g q g q= ⎡ ⎤⎣ ⎦

3.3. Validación del modelo dinámico de cada Robot Para comprobar que el modelado dinámico es correcto, se va a comparar el modelo

dinámico de cada robot manipulador, con el modelo que se obtiene por el programa que se encuentra en capítulo IX del libro [Iñigo 2004], generalizando este programa a un movimiento en las 3 coordenadas articulares, el listado se muestra en el apéndice C.

3.3.1. Validación del modelo del robot SCORBOT ER-V+ Las gráficas de la respuesta del sistema y la diferencia entre las respuestas de los modelos se muestran a continuación:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10

-5

0

5x 10

-5 Torques articulares para seguir la trayectoria deseada

Tao

1,N

m

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10

0

10

20

Tao

2,N

m

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10

-5

0

5

10

Tao

3,N

m

Tiempo (seg)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4

-2

0

2

4x 10

-20 Diferencia entre las respuestas de los modelos

Tao

1,N

m

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4

-2

0

2

4x 10

-15

Tao

2,N

m

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

-1

0

1

2x 10

-15

Tao

3,N

m

Tiempo (seg) a) Respuestas del sistema b) Diferencias entre las respuestas de los modelos.

Figura 3.3. Gráficas del programa de validación del modelo dinámico del robot SCORBOT ER-V+ Como se ve en la figura 3.3 b) los errores son prácticamente 0. Con lo que se comprueba que ambos modelos son iguales.

3.3.1. Validación del modelo del robot PUMA Las gráficas de la respuesta del sistema y la diferencia entre las respuestas de los modelos se muestran en la figura 3.4.


- 36 -

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-8

-6

-4

-2

0x 10

-6 Torques articulares para seguir la trayectoria deseada

Tao

1,N

m

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

2

4

6

8

Tao

2,N

m

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

4

Tao

3,N

m

Tiempo (seg)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

-1

0

1

2x 10

-21 Diferencia entre las respuestas de los modelos

Tao

1,N

m

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

0

1

2

3x 10

-15

Tao

2,N

m

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

0

1

2x 10

-15

Tao

3,N

m

Tiempo (seg) a) Respuestas del sistema b) Diferencias entre las respuestas de los modelos.

Figura 3.4. Gráficas del programa de validación del modelo dinámico del robot PUMA

Como se ve en la figura 3.4 b) los errores son prácticamente 0. Con lo que se comprueba que ambos modelos son iguales.

3.5. Propiedades del modelo dinámico de un robot manipulador de n gdl Las propiedades que se presentan en la estructura de la representación dinámica del

robot manipulador son muy utilizadas en el diseño de controladores, cada una de las matrices de la ecuación dinámica del manipulador cuenta con propiedades notables, así como la representación general.

( ) ( ) ( ),M q q C q q q g g τ+ + = (3.5.1)

3.5.1. Linealidad en los parámetros dinámicos Propiedad 3.1. La ecuación dinámica (3.5.1) es no lineal respecto del vector de estado

TT Tq q⎡ ⎤⎣ ⎦ , sin embargo cuenta con la propiedad de expresarse en términos lineales de los parámetros estáticos del robot manipulador, por ejemplo: masas e inercias.

Considérense las matrices ( )M q , ( ),C q q y el vector ( )g g del modelo dinámico, se cuenta con la siguiente propiedad:

Para todo , , nu v w∈ , se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,M q q C q q q g g q u v w k q u v wθ+ + = Φ + (3.5.2)

Donde ( ), , ,k q u v w es un vector de 1n× , ( ), , ,q u v wΦ es una matriz de n m× y mθ ∈ depende exclusivamente de los parámetros estáticos del robot manipulador y de su

carga.


- 37 -

Es conveniente resaltar que siempre es posible encontrar un vector mθ ∈ para el cual ( ), , , 0 mk q u v w ≡ ∈ . Considerando esto y tomando u q= y v w q= = , la ecuación (3.5.2) se puede escribir: ( ) ( ) ( ) ( ), , ,Y q q q M q q C q q q g gθ τ= + + = (3.5.3)

Donde ( ) ( ), , , , ,Y q q q q q q q= Φ es una matriz de n m× y θ es un vector de 1m×

que contiene las m constantes dependientes de los parámetros dinámicos y depende de la selección de parámetros del robot.

3.5.2. Matriz de inercia ( )M q

La matriz de inercia ( )M q es una matriz simétrica definida positiva de n n× cuyos elementos son funciones únicamente de q, la cual, satisface las siguientes propiedades: Propiedad 3.2. Existe una constante real positiva tal que:

( ) nM q I qα≥ ∀ ∈ (3.5.4)

Donde I denota la matriz identidad de dimensión n. La matriz ( ) 1M q − existe y es definida positiva.

Las siguientes 3 propiedades existen en robots provistos únicamente de articulaciones rotatorias: Propiedad 3.3. Existe una constante 0β > tal que:

( ){ } nMax M q qλ β≤ ∀ ∈ (3.5.5)

Una manera sencilla de calcular β está dada por:

( ), ,

max iji j qn M qβ ⎡ ⎤≥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.5.6)

Donde ( )ijM q denota al ij-ésimo elemento de la matriz ( )M q .

Propiedad 3.4. Existe una constante 0Mk > tal que:

( ) ( ) MM x z M y z k x y z− ≤ − (3.5.7)

Para todo vector , , nx y z∈ . Una manera sencilla de determinar Mk es:

( )2

, , ,max ij

M i j k qk

M qk n

q⎡ ⎤∂

≥ ⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.5.8)


- 38 -

Propiedad 3.5. Existe una constante ' 0Mk > tal que:

( ) ' , nMM x y k y x y≤ ∀ ∈ (3.5.9)

3.5.3. Matriz centrífuga y de Coriolis ( ),C q q .

La matriz centrífuga y de Coriolis ( ),C q q es una matriz simétrica definida positiva de n n× cuyos elementos son funciones de q y q , y satisface las siguientes propiedades: Propiedad 3.6. La matriz ( ),C q q puede no ser única, pero el vector ( ),C q q q es único.

Propiedad 3.7. ( ),0 0C q = para todo vector nq∈ .

Propiedad 3.8. El vector ( ),C q x y puede expresarse de la forma:

( )

( )( )

( )

1

2,

T

T

Tn

x C q yx C q y

C q x y

x C q y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.5.10)

Donde ( )kC q son matrices simétricas de dimensión n para todo k=1,2,…,n. De

hecho el ij-ésimo elemento ( )ijkC q de la matriz ( )kC q corresponde al símbolo de

Christoffel.

Las siguientes propiedades existen en robots provistos únicamente de articulaciones rotatorias: Propiedad 3.9. Existe una constante

10Ck > tal que:

( )1

, CC q x y k x y≤ (3.5.11)

Para todo , , nq x y∈ . Propiedad 3.10. Existen constantes

10Ck > y

20Ck > tales que:

( ) ( )1 2

, , C CC x z w C y v w k z v w k x y w z− ≤ − + − (3.5.12)

Para todo vector , , , , nv x y z w∈ . Propiedad 3.11. La matriz ( ),C q q está relacionada con la matriz de inercia ( )M q por la expresión:

( ) ( )1 , 0 , ,2

T nx M q C q q x q q x⎡ ⎤− = ∀ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.5.13)


- 39 -

3.5.4. Vector de gravedad ( )g q

El vector de pares gravitacionales ( )g q de 1n× depende sólo de las posiciones

articulares q. El vector ( )g q esta acotado si q lo está también. Adicionalmente ( )g q satisface las siguientes propiedades: Propiedad 3.12. El vector ( )g q y el vector de velocidad q pueden relacionarse mediante:

( ) ( )( ) ( )( )0

0T Tg q qdt q T qu u= −∫ (3.5.14)

Para todo T +∈ .

Las siguientes propiedades existen en robots provistos únicamente de articulaciones rotatorias: Propiedad 3.13. Existe una constante finita uk tal que:

( ) ( )( )0

0T T

ug q qdt q ku+ ≥∫ (3.5.15)

Para todo T +∈ y donde ( ){ }minquk qu= . Propiedad 3.14. El vector ( )g q es Lipschutz, existe una constante 0gk ≥ tal que:

( ) ( ) gg x g y k x y− ≤ − (3.5.16)

Para todo , nx y∈ . Una forma sencilla de calcular gk es como:

( ), ,

max ig i j q

j

g qk n

q

⎡ ⎤∂≥ ⎢ ⎥

∂⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.5.17)

Además, gk satisface:

( ) ( )g Max

g q g qk

q qλ

∂ ∂⎧ ⎫≥ ≥ ⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭

(3.5.18)

Propiedad 3.15. Existe una constante 'k tal que:

( ) 'g q k≤ (3.5.19)

Para todo nq∈

3.5.5. Dinámica Residual ( ),h q q

Asociada a cada modelo dinámico de robots existe una función denominada dinámica residual de notable importancia para el estudio de la estabilidad de controladores de robots. La dinámica residual ( ),h q q se define de la siguiente manera:


- 40 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

, , ,d d d d d d d d

d d

h q q M q M q q q C q q C q q q q q

g q g q q

⎡ ⎤= − − + − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ − −

(3.5.20)

Propiedad 3.16. Existen constantes

1 2, 0h hk k > tales que la norma de la dinámica residual

cumple con: ( ) ( )

1 2, h hh q q k q k f q≤ + (3.5.21)

Para todo , nq q∈ , donde ( )f q es la función tangente hiperbólica definida como:

( )( )

( )

1tanh

tanh n

xf x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.5.22)

Si se desea leer más sobre las propiedades del modelo dinámico de un robot manipulador de articulacione rotatorias se puede consultar [Kelly 2003]

3.6. Modelado Dinámico por medio de la formulación de Hamilton El modelado de un sistema mecánico a partir de las ecuaciones de Hamilton se basa

en la energía cinética del sistema en función de las variables físicas naturales (desplazamiento y momento).

Para obtener el modelo dinámico de un sistema por medio de la formulación de

Hamilton es necesario obtener la expresión del Hamiltoniano del sistema y enseguida desarrollar las ecuaciones de Hamilton. Los pasos a seguir s muestran a continuación.

Se debe de obtener la expresión de la energía cinética del sistema en función del

momento articular.

( ) 21=2

K p pI

(3.6.1)

En la ecuación (3.6.1) la variable I representa la inercia total del sistema. Como

siguiente paso, se debe obtener la expresión de la energía potencial del sistema en función de la coordenada articular. ( ) =U q mgh (3.6.2)

El Hamiltoniano del sistema se define como la suma de la energía cinética y la energía potencial. ( ) ( ) ( ), =H q p K p U q+ (3.6.3)

Por último se desarrollan las ecuaciones de movimiento de Hamilton.

( ),=i

i

H q pq

p∂

∂ (3.6.4)

( ),=i i

i

H q pp u

q∂

− +∂

(3.6.5)


- 41 -

Se pueden desarrollar las ecuaciones de Hamilton a partir de la formulación de Euler-Lagrange como se observa en [Scherpen 2001], para ello se sabe que:

( )= =i ii

Lp M q qq∂∂

(3.6.6)

La expresión del Hamiltoniano del sistema se vuelve:

( ) ( )11, =2

TH q p p M p U q− + (3.6.7)

Se debe de tener en cuenta que por medio de las formulaciones de Euler-Lagrange

y Hamilton se obtienen modelos dinámicos diferentes de un mismo sistema, pero dichos modelos son equivalentes.

3.6.1. Modelado dinámico por la metodología de Hamilton Para realizar el modelado dinámico del robot SCORBOT ER-V+ por medio de las

ecuaciones de Hamilton se va a partir del desarrollo de la formulación de Euler-Lagrange, siguiendo el procedimiento mostrado en la sección anterior.

Como primer paso se obtienen la inversa de la matriz de inercias. Definiendo los

siguientes elementos: 2 2

1 3 3 3 3= c fa m l m l I+ + ( ) ( )2 2

2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3= cos cosc c f fa m l m l l q I m l m l l q+ + + + ( ) ( )2 2 2 2 2

3 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 2 2 3 3= 2 cos 2 cosc c c f f fa m l I m l m l m l l q I m l m l m l l q+ + + + + + + +

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2 22 2 21 1 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3 3 2 2

2 22 22 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 3

= cos 2 cos cos cos cos

2 cos cos cos cos

c c c

f f f

b I m l q m l l q q q m l q q m l q

m l l q q q m l q q m l q I I

+ + + + + +

+ + + + + + +

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3

=

cos cos 2 cos

f c f c c f c c c f

f f c c f c f

b I m l m l l m l I m l I m l I I m l m l l I I m l m l m l m l

m l m l m l m l m l l q m l l q m l l q m l

+ + + + + + + + +

+ + − − −

La inversa de la matriz de inercias es:

( )

1

1 1 2 2

2 2 2

32

2 2

1 0 0

= 0

0

ba a a

M qb b b

aab b

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.6.8)

Con la matriz anterior, se puede obtener el Hamiltoneano del robot SCORBOT ER-

V+ aplicando la ecuación (3.6.7). Con el Hamiltoneano del robot se desarrollan las ecuaciones (3.6.4) y(3.6.5). Para escribir el modelo dinámico primero se redefinen los siguientes elementos:

( ) ( )2 2 2 21 2 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3= cos cosc f c c f fa p m l p m l p I p m l p m l l q p I p m l p m l l q+ + − − − − −


- 42 -

( ) ( )( ) ( )

2 2 22 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2

2 2 2 23 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 3

= cos cos

2 cos 2 cosc c f f c

c c f f f

a p m l p m l l q p I p m l p m l l q p m l p I

p m l p m l p m l l q p I p m l p m l p m l l q

− − − − − + +

+ + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3

2 2 23 1 3 3 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3

2 22 3 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 2

2 cos sin 2 sin cos 2 cos sin

= 2 cos sin 2 cos sin 2 sin cos

2 cos sin 2 cos sin 2 cos sin

c c c

c f

f f f

m l q q m l l q q q m l l q q q

a p m l q q q q m l q q m l l q q q

m l l q q q m l q q q q m l q q

⎛ ⎞− − + − +⎜ ⎟− + + − − +⎜⎜⎜− + − + + −⎝ ⎠

⎟⎟⎟

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

23 2 3 2 2 3 3 3 2 3 2 32

4 1 22 3 2 2 3 3 2 3 2 3

2 cos sin 2 cos sin=

2 cos sin 2 cos sinc c

f f

m l l q q q m l q q q qa p

m l l q q q m l q q q q⎛ ⎞− + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + +⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 23 2 3 3 3 2 3 3 32 2

5 2 3 3 3 3 23 2 3 3 3 3

2 cos sin 2 cos sin=

4 cos sinc f

c fc f

m l l q q m l l q qa p m l m l I

m l l q m l q⎛ ⎞+

+ + ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

( ) ( )( )6 3 3 2 3 3 2 3 3= sin sinc fa p m l l q m l l q− −

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3

7 3 23 2 3 3 3 32 3 3

cos 2 cos sin 2 cos sin=

4 cos sincosc c f c f

c ff

m l m l l q I m l m l l q q m l l q qa p

m l l q m l qm l l q

⎛ ⎞+ + + ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ++ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )( )8 2 3 2 3 3 2 3 3= sin sinc fa p m l l q m l l q− −

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3

9 2 23 2 3 3 3 32 3 3

cos 2 cos sin 2 cos sin=

4 cos sincosc c f c f

c ff

m l m l l q I m l m l l q q m l l q qa p

m l l q m l qm l l q

⎛ ⎞+ + + ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ++ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )( )10 3 3 2 3 3 2 3 3= 2 sin 2 sinc fa p m l l q m l l q− −

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 22 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2

3 2 3 3 3 2 3 3 3211 3 3 2 3 3 3 3 2

3 2 3 3 3 322 2 3 3

2 cos sin 2 cos sin2 cos

4 cos sin2 cos

c cc f

c fc f

f f

m l I m l m lm l l q q m l l q q

a p m l l q I m lm l l q m l q

m l m l l q

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎛ ⎞+

= + + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ ⎠+ +⎝ ⎠

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2 22 2 21 1 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3 3 2 2

2 22 22 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 3

= cos 2 cos cos cos cos

2 cos cos cos cos

c c c

f f f

b I m l q m l l q q q m l q q m l q

m l l q q q m l q q m l q I I

+ + + + + +

+ + + + + + +

( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3

=

cos cos 2 cos

f c f c c f c c c f

f f c c f c f

b I m l m l l m l I m l I m l I I m l m l l I I m l m l m l m l

m l m l m l m l m l l q m l l q m l l q m l

+ + + + + + + + +

+ + − − −

Con los elementos definidos anteriormente se puede construir las ecuaciones del

modelo dinámico del robot SCORBOT ER-V+ por medio de la formulación de Hamilton. 1

1 =1

pq

b

12

2

=a

qb

23

2

=a

qb

(3.6.9)

1 1=p τ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )32 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 32

1

1= cos cos cos 3 cos cos2 c c f

ap m l g q m g l q l q q m g l q l q q

bτ+ − − + + − + +

( ) ( )

5 6 7 8 10 9 1143 2 3 32 2 2 2

2 21 1 2 2

3 3 2 3 3 2 3

1 1 1=2 2 2

cos cosc f

a a a a a a aap p p

b bb b b b

m gl q q m gl q q

τ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −

− − − + − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + − +


- 43 -

Como se puede observar en la ecuación (3.6.9), aunque el modelo del robot SCORBOT ER-V+ se forma de tres ecuaciones de primer grado es mucho más complejo que el modelo obtenido por medio de la formulación de Euler-Lagrange.

Debido a la complejidad que presenta el modelo dinámico del robot PUMA, al ser

obtenido por la formulación de Hamilton, no se detalla este modelo. Sin embargo, el modelo es completamente equivalente al modelo de Euler-Lagrange.

3.6.2. Comparación del modelo dinámico del robot SCORBOT ER-V+ obtenido por la metodología de Hamilton con el modelo dinámico obtenido por medio de la metodología de Euler-Lagrange.

Para la comparación se observó la diferencia en la evolución de las posiciones y velocidades articulares al tener como entrada:

[ ]0.01 0.1 0.1τ = La gráfica de los resultados son las siguientes:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Diferencia en las posiciones articulares del robot SCORBOT ER-V+

%Δθ

(rad

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.05

0

0.05Diferencia en las velocidades articulares del robot SCORBOT ER-V+

%Δθ´

(ra

d/s)

tiempo (s)

%Δθ1

%Δθ2

%Δθ3

%Δθ´1

%Δθ´2

%Δθ´3

Figura 3.6. Diferencias en porcentajes que existen en la comparación entre los modelos obtenidos por

las metodologías de Euler-Lagrange y Hamilton

En la gráfica de porcentajes existen discontinuidades debido a que en dichos puntos las posiciones y velocidades articulares valen 0.


- 44 -

Hoja en Blanco


- 45 -

Capítulo 4

Control de Movimiento

Al comienzo de este capítulo se presentan los diferentes objetivos que busca alcanzar el control de robots manipuladores, después se estudian los fundamentos de la teoría de Lyapunov.

Una vez estudiados los fundamentos de la teoría de Lyapunov se procederá al

diseño de los controladores de posición, incluyendo el análisis del acotamiento de las señales. Después de realizar el diseño de los controladores se muestra una simulación de la respuesta del robot al ser controlado por cada uno de los controladores diseñados.

4.1. Introducción Los controladores de robots manipuladores pueden ser clasificados a partir del

objetivo de control que busquen alcanzar:

1. Control de posición. El objetivo del control de posición es lograr que el robot manipulador alcance una posición deseada, esta posición es constante en el tiempo ( ( ) 0q t = ).

Capítulo 4. Control de Movimiento

- 46 -

2. Control de movimiento. El objetivo del control de posición es lograr que el robot manipulador alcance una posición deseada, esta posición es variante en el tiempo ( ( ) 0q t ≠ )

3. Control de trayectoria. El objetivo del control de trayectoria es lograr que el robot manipulador alcance una posición y velocidad deseadas.

4.2. Fundamentos Matemáticos de la teoría de Lyapunov. La teoría de estabilidad de Lyapunov tiene como principal objetivo estudiar el comportamiento de sistemas dinámicos que son descritos por ecuaciones diferenciales de la forma: ( ) ( )( ) ( ), , 0 nx t f t x t x= ∈ (4.2.1)

En la ecuación (4.2.1) el vector ( ) nx t ∈ se refiere al estado del sistema y

( )0 nx ∈ es la condición inicial o estado inicial. La función ( )( ),f t x t es una función

contínua en t y ( )x t , y se supone es tal que: • La ecuación (4.2.1) tiene una solución única en el intervalo [0, )∞ correspondiente a

cada condición inicial del sistema. • Si ( )x t es la solución de (4.2.1) correspondiente a la condición inicial ( )0x ,

entonces ( )x t depende de una forma contínua del estado inicial ( )0x .

Si la función ( )( ),f t x t no depende explícitamente del tiempo se denomina autónoma.

4.2.1. Conceptos Básicos

4.2.1.1. Punto de Equilibrio Un vector constante n

ex ∈ es un equilibrio o estado de equilibrio del sistema (4.2.1) si: ( ), 0 0ef t x t= ∀ ≥ (4.2.2)

4.2.1.2. Estabilidad en el sentido de Lyapunov El origen 0 nx = ∈ es un equilibrio estable (en el sentido de Lyapunov) de la

ecuación (4.2.1) si para cada número 0ε > se puede encontrar un número 0δ > , tal que: ( ) ( )0 0x x t tδ ε< ⇒ < ∀ ≥ (4.2.3)

Si el punto de equilibrio a analizar no se encuentra en el origen, se requiere aplicar

un cambio de coordenadas y trasladarlo al origen y así realizar el análisis de estabilidad.


- 47 -

4.2.1.3. Estabilidad asintótica global El origen 0 nx = ∈ es un equilibrio asintóticamente estable en forma global de la

ecuación (4.2.1) si: • El origen es estable. • El origen es atractivo globalmente, es decir, ( ) ( )0 , 0 nx t cuando t x→ →∞ ∀ ∈ (4.2.4)

4.2.1.4. Estabilidad exponencial global El origen 0 nx = ∈ es un equilibrio exponencialmente estable en forma global de

la ecuación (4.2.1) si existen constantes positivas α y β tales que:

( ) ( ) ( )0 , 0, 0t nx t x e t xβα −< ∀ ≥ ∀ ∈ (4.2.5)

4.2.2. Método directo de Lyapunov Con los conceptos preliminares anteriores, ahora se pueden presentar las

definiciones y teoremas fundamentales de la teoría de Lyapunov. Definición 4.1. Función candidata de Lyapunov

Una función ( ),V t x es una función candidata de Lyapunov para el equilibrio

0 nx = ∈ de la ecuación (4.2.1) si: • ( ),V t x es una función definida positiva localmente.

• ( ),V t x es continuamente diferenciable. Definición 4.2 Función de Lyapunov

Una función candidata de Lyapunov ( ),V t x para el sistema (4.2.1), es una función de Lyapunov si su derivada a lo largo de las trayectorias de (4.2.1) satisface: ( ), 0, 0V t x t≤ ∀ ≥ (4.2.6)

Teorema 4.1 Estabilidad

El origen 0 nx = ∈ es un estado de equilibrio estable de la ecuación (4.2.1), si existe una función candidata de Lyapunov ( ),V t x tal que su derivada temporal satisfaga:

( ), 0, 0V t x t≤ ∀ ≥ (4.2.7) Teorema 4.2 Estabilidad asintótica global

El origen 0 nx = ∈ es un estado de equilibrio asintóticamente estable en forma global de la ecuación (4.2.1), si existe una función candidata de Lyapunov ( ),V t x , radialmente desacotada, tal que su derivada temporal satisfaga:

• ( ),0 0, 0V t t= ∀ ≥ (4.2.8)


- 48 -

• ( ), 0, 0, 0 nV t x t x< ∀ ≥ ∀ ≠ ∈ (4.2.9) Teorema 4.3 LaSalle

Considérese la ecuación diferencial autónoma ( )x f x= . Cuyo origen 0 nx = ∈ es

un equilibrio. Supóngase que una función candidata de Lyapunov ( ),V t x , radialmente desacotada, tal que: ( ), 0, 0V t x t≤ ∀ ≥ (4.2.10)

Defínase el conjunto Ω como ( ){ }: 0nx V xΩ = ∈ = .

Si ( )0 0x = es la única condición inicial en Ω para la cual ( )x t ∈Ω para 0t ≥ ,

entonces el origen 0 nx = ∈ es un equilibrio asintóticamente estable en forma global.

4.3. Diseño de los controladores de movimiento En esta sección se presenta el diseño de los controladores de movimiento, para cada

controlador se realiza el análisis de estabilidad y el análisis del acotamiento de las señales. Para realizar el estudio de estabilidad se siguen dos metodologías diferentes, las

cuales se detallan a continuación a partir de la secuencia de pasos a seguir:

Metodología 1. Cuando ya se conoce el controlador y está enfocada al análisis de estabilidad:

1. Establecer la ecuación dinámica del sistema. 2. Establecer la ecuación dinámica deseada. 3. Obtener la ecuación dinámica del error. 4. Desarrollar la ecuación dinámica del error de lazo cerrado (incluyendo la

ecuación del controlador). 5. Proponer una función candidata a Lyapunov que incluya a todos los estados de

la ecuación dinámica del error. 6. Derivar la función de Lyapunov y evaluar a lo largo de la trayectoria. 7. Si la derivada de la función es definida negativa, el sistema en lazo cerrado es

estable.

Metodología 2.Cuando se realiza el diseño de un controlador que asegure la estabilidad del sistema.

1. Establecer la ecuación dinámica del sistema. 2. Establecer la ecuación dinámica deseada. 3. Obtener la ecuación dinámica del error. 4. Proponer una función candidata a Lyapunov que incluya a todos los estados de

la ecuación dinámica del error. 5. Derivar la función de Lyapunov y evaluar a lo largo de la trayectoria. 6. Forzar a que la derivada de la función sea definida negativa, al hacerlo se

obtiene la ecuación del controlador.


- 49 -

4.3.1. Controlador PID. Como se ve en [Kelly 2003] para que el sistema tenga equilibrio en el origen y

pueda realizarse el análisis de estabilidad por el método de Lyapunov se debe tener una posición deseada constante, considerando esto, el desarrollo para el análisis se muestra a continuación.

La ecuación dinámica del error. ( ) ( ) ( ) ( ),M q q C q q q B q g q τ+ − − = − (4.2.11)

Donde: ( )M q Es la matriz de inercias. ( ),C q q Es la matriz de fuerzas centrífugas y de Coriolis. ( )B q Es el vector de disipación. ( )g q Es el vector de fuerzas de gravedad. τ Es el vector de pares articulares de entrada. dq q q= − dq q q= − dq q q= −

La ecuación dinámica de lazo cerrado. ( ) ( ) ( ) ( ), P v iM q q C q q q B q g q k q k q k

q

ξ

ξ

+ − − = − − −

= (4.2.12)

Escribiendo la ecuación (4.2.12) en notación matricial se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )1 ,P v i

qq qq M q k q k q k C q q q B q g q

ξ

ξ−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤− − − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

x (4.2.13)

En la ecuación (4.2.13) el punto de equilibrio es:

( ) ( )1 0 0T

e ix k B q g q−⎡ ⎤= − +⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ (4.2.14)

Para analizar la estabilidad del sistema de la ecuación (4.2.13), trasladamos el punto de equilibrio (4.2.14) al origen, con lo que se tiene:

( ) ( )1 ,P v i

z qq qq M q k q k q k z C q q q−

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ − − + − +⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

(4.2.15)

Por interés de estudio, para obtener los márgenes de ganancia, se va a aplicar el

siguiente cambio de variable: 0

0 00 0

y I I zq I qq I q

α⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.2.16)


- 50 -

En la ecuación (4.2.16) la restricción para la determinación de la constante es: ( ){ } { }

( ){ }{ }

{ }min min max

2minmax

v i

p g

M q k k

k kM q

λ λ λα

λλ> >

− (4.2.17)

Con lo que la ecuación (4.2.15) se vuelve:

( ) ( )1 1 1 ,P i v i

y q qq qq

M q k k q k q k y C q q q

α

α α−

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎣ ⎦ − − − + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

(4.2.18)

Para el análisis de la estabilidad la función candidata a Lyapunov propuesta es la

ecuación (4.2.19). Cuando se selecciona una ecuación candidata ésta debe de incluir al menos un elemento de cada estado del sistema que se esta analizando.

( ) ( )( ) ( )

1 0 01 1 1, , 02 2

0

T i

Tv P i

ky yV q q y q k M q q q k k q

q M q M q q

αα α

αα

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.2.19)

Una variante de la ecuación (4.2.19) se puede encontrar en [Kelly 2003]. Derivando

la ecuación (4.2.19) y evaluando a lo largo de la trayectoria: ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , TT T T

P i vV q q y q k k q q k M q q q C q q qα α α= − − − − − (4.2.20)

De las propiedades de las matrices simétricas y definidas positivas se prueba que los dos primeros términos de la ecuación (4.2.20) satisfacen las siguientes desigualdades:

( ) { } { } 2min max

Tv vq k M q k M qα λ αλ− − ≤ − −⎡ ⎤⎣ ⎦ (4.2.21)

( ) { } { } 2min max

Tp i p iq k k q k k qα αλ λ⎡ ⎤− − ≤ − −⎣ ⎦ (4.2.22)

De la propiedad ( ) 1, CC x y z k y z≥ se presenta:

( ) 21, TT

Cq C q q q k q qα α− ≤ (4.2.23)

Con lo que la derivada de la ecuación de Lyapunov satisface:

( ) ( )11

22

0, ,

0

T Qq qV q q y

Q qq q⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤

≤ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.2.24)

En la ecuación (4.2.24) se tiene:

{ } { }11 min maxp iQ k kαλ λ= − (4.2.25)

( ) { } { }22 min max 1v CQ q k M k qλ α λ= − ⎡ + ⎤⎣ ⎦ (4.2.26)

De las ecuaciones (4.2.25) y (4.2.26) se tiene que:


- 51 -

{ }{ }

max

min

i

p

k

k

λα

λ> (4.2.27)

{ }{ }

min

max 1

v

C

kM k qλ

αλ

>+

(4.2.28)

Cumpliendo las desigualdades (4.2.27) y (4.2.28) la derivada de la función

candidata de Lyapunov es semidefinida positiva. De los desarrollos de la presente sección surgen las siguientes condiciones para la sintonía del controlador PID:

{ } { }max min 0i ik kλ λ> > (4.2.29) { } { }max min 0p pk kλ λ> > (4.2.30)

{ } { } { } { }{ } { }

2max max

max minmin min

iv v

p

k Mk k

k M

λ λλ λ

λ λ> > (4.2.31)

Acotamiento de las señales Partiendo de la ecuación (4.2.24) se ve que:

( ) ( ) ( ) ( )( )0 , , 0 , 0 , 0V q q y V q q y≤ < (4.2.32) Con lo que:

( ) ( ) ( )( ) ( )1 10 , 0 , 02

T Tv P iV q q y q k k k q q M q qα α

α⎛ ⎞> + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.2.33)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )10 , 0 , 02

T TV q q y q M q q q M q qα> − (4.2.34)

Sacando la norma

( ) ( ) ( )( ) { } { } { } ( ){ }2min min min min

1 10 , 0 , 02 V P IV q q y q K K K M q q qαλ λ λ αλ

α⎛ ⎞> + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.2.35)

( ) ( ) ( )( ) ( ){ } ( ) ( ){ }2min min

10 , 0 , 02

TV q q y q M q q M q q M q q qλ α αλ> − − (4.2.36)

Agrupando para formar una ecuación cuadrática:

{ } { } { } ( ){ } ( ) ( ) ( )( )2min min min min

1 10 0 , 0 , 02 V P Iq K K K M q q q V q q yαλ λ λ αλ

α⎛ ⎞> + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.2.37)

( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( )( )2min min

10 0 , 0 , 02

q M q M q q q V q q yλ αλ> − − (4.2.38)

La cota del error de posición es:

( ){ } ( ){ }( ) { } { } { } ( ) ( ) ( )( )

{ } { } { }

2

min min min min min

min min min

12 0 , 0 , 0

1

V P I

V P I

M q q q M q K K K V q q yq

K K K

αλ αλ αλ λ λα

αλ λ λα

⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟⎝ ⎠≤

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.2.39)

Como dq está acotado, entonces q también está acotado.


- 52 -

La cota de la velocidad es: ( ){ } ( ){ }( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( )

( ){ }

2

min min min

min

2 0 , 0 , 0M q q q M q M q V q q yq

M q

αλ αλ λ

λ

+ +≤ (4.2.40)

Con esta cota, se tienen las cotas de las señales de posición y velocidad y de la señal de error.

4.3.2. Controlador PD por dinámica Inversa. La ecuación (4.2.41) es la ecuación del controlador por dinámica inversa [Barrientos

1999]. ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ,M q C q q q B q g qτ τ= + + + (4.2.41)

En la ecuación anterior la variable τ es el compensador para controlar el sistema.

Por lo general es deseado que este compensador tenga una forma lineal. Se sabe que la ecuación de lazo abierto del robot manipulador es:

( ) ( ) ( ) ( ),M q q C q q q B q g q τ+ + + = (4.2.42) Proponiendo un compensador con la forma de un controlador PD ( d v pq K q K q+ + ), la

ecuación del controlador por dinámica inversa se muestra en la ecuación (4.2.43). ( ) ( ) ( ) ( ),d v pM q q K q K q C q q q B q g qτ ⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦ (4.2.43)

Escribiendo la ecuación anterior de lazo cerrado en notación matricial se tiene:

0

p v

I qqK K qq

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x (4.2.44)

En la ecuación anterior el punto de equilibrio es [ ]0 0 T=ex . Para el análisis de la

estabilidad la ecuación candidata a Lyapunov propuesta es:

( )01,

02

Tpq K q

V q qq I q⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.2.45)

Derivando (4.2.45) y evaluando a lo largo de la trayectoria: ( ), T

vV q q q K q= − (4.2.46) Con lo que la derivada de la ecuación de Lyapunov siempre es semidefinida negativa lo que prueba que el sistema es estable. Para probar la estabilidad global se debe de aplicar el teorema de La Salle. Definiendo el conjunto Ω como:

( ){ }: 0nx V xΩ = ∈ = (4.2.47) En el conjunto Ω se tienen los elementos:

{ }1 2, 0x q x qΩ = = ∈ = = ∈ (4.2.48)


- 53 -

De la ecuación (4.2.48) se tiene que ( )2 0x t = por lo tanto su derivada es ( )2 0x t = . Para que la derivada de la segunda variable de estado sea cero se debe tener ( )1 0pK x t = y como pK es simétrica y definida positiva la única solución válida es que ( )1 0x t = . Por lo tanto, los elementos del conjunto Ω son { }1 20, 0x xΩ = = = , con lo cual se prueba la estabilidad asintótica global. Análisis del acotamiento de las señales Como la derivada de la función de Lyapunov es definida negativa, se tiene:

( ) ( ) ( )( )0 , 0 , 0V q q V q q≤ < (4.2.49) Con lo que:

( ) ( )( ) 10 , 02

TPV q q q K q> (4.2.50)

( ) ( )( ) 10 , 02

TVV q q q K q> (4.2.51)

Sacando la norma a las ecuaciones anteriores:

( ) ( )( ) { }2min

10 , 02 PV q q q Kλ> (4.2.52)

( ) ( )( ) { }2

min10 , 02

V q q q Iλ> (4.2.53)


( ) ( )( ){ }min

2 0 , 0

P

V q qq

Kλ≤ (4.2.54)

La cota del error de velocidad es:

( ) ( )( ){ }min

2 0 , 0V q qq

Iλ≤ (4.2.55)

Como las señales dq y dq están acotadas, y los errores de posición y velocidad también lo están, la posición y velocidad reales se encuentran acotadas.

4.3.3. Controlador Robusto. El controlador robusto contrarresta el efecto de las incertidumbres paramétricas en el modelado. Como primer paso, partiendo de la ecuación (4.2.41) para el control por dinámica inversa y considerando la incertidumbre en los parámetros se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0,M q a C q q q B q g qτ = + + + (4.2.56) Donde los elementos ( )0M q , ( )0 ,C q q , ( )0B q y ( )0g q se encuentran definidos con parámetros nominales . Seleccionando el compensador lineal PD ( )d V Pa q K q K q= + + , sustituyéndolo en la ecuación anterior y desarrollando la ecuación de lazo cerrado, se llega a:


- 54 -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, ,M q q C q q q B q g q M q a C q q q B q g q+ + + = + + + (4.2.57) Despejando la aceleración.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }10 0 0 0, ,q M q M q a C q q C q q q B q B q g q g q−= + − + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.2.58)

Definiendo: ( ) ( ) ( )0, , ,C q q C q q C q q= − (4.2.59) ( ) ( ) ( )0B q B q B q= − (4.2.60) ( ) ( ) ( )0g q g q g q= − (4.2.61)

Sustituyendo las ecuaciones (4.2.59) y (4.2.61) en la ecuación (4.2.58).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }10 ,q M q M q a C q q q B q g q−= + + + (4.2.62)

Desarrollando y sumando y restando a.

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 110 ,q a M q M q I a M q C q q q M q B q M q g q− − −−⎡ ⎤= + − + + +

⎣ ⎦ (4.2.63)

Definiendo la incertidumbre en los parámetros. ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

0, , ,q q a M q M q I a M q C q q q M q g qη − − −= − + + (4.2.64)

La ecuación (4.2.63) se vuelve:

( ), ,q a q q aη= + (4.2.65) Si no existiera incertidumbre, ( ), , 0q q aη = la ley de control sería d V Pa q K q K q= + + , pero cuando ( ), , 0q q aη ≠ se requiere agregar un término a la ley de control que contrarreste el efecto de la incertidumbre y la ley de control se vuelve d V Pa q K q K q a= − − + Δ . Para el caso nominal ( )( ), , 0q q aη = el controlador PD por par computado es suficiente. Para el caso donde se presenta la incertidumbre, la ecuación dinámica del error es:

( ), ,V Pq K q K q a q q aη+ + = Δ + (4.2.66) Pasando al espacio de estados.

( ), ,x Ax B a q q aη= + Δ +⎡ ⎤⎣ ⎦ (4.2.67) En la ecuación (4.2.67) se tiene:

0

P V

IA

K K⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ (4.2.68)

0B

I⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.2.69)


- 55 -

Para llevar a cabo el análisis de Lyapunov, se sabe que sólo existe una matriz P que cumple con la ecuación de Lyapunov.

TA P PA Q+ = − (4.2.70) Proponiendo la función candidata Lyapunov: ( ) TV x x Px= (4.2.71)

Derivando (4.2.71) y evaluando a lo largo de la trayectoria. ( ) ( )2 , ,T TV x x Qx x PB a q q aη= − + Δ +⎡ ⎤⎣ ⎦ (4.2.72) En la ecuación (4.2.72) el primer término es semidefinido negativo, pero se tiene que analizar el signo del segundo término. Suponiendo que la incertidumbre está acotada

( ) ( ), , ,q q a x tη ρ≤ . Haciendo Tw B Px= , por lo tanto T Tw x PB= . Sustituyendo en la ecuación (4.2.72).

( )( ) ( )( ), , , ,T Tx PB a q q a w a q q aη ηΔ + = Δ + (4.2.73) Considerando el término de control adicional:

. ( ), 0

0 0

wx t si wwa

si w

ρ⎧− ≠⎪Δ = ⎨⎪ =⎩

(4.2.74)

Si 0w = se tiene ( ) 0TV x x Qx= − ≤ , el sistema es estable. Si 0w ≠ se tiene la ecuación (4.2.75). ( ) ( ) ( )2 , , ,T TV x x Qx x t w w q q aρ η⎡ ⎤= − + − +⎣ ⎦ (4.2.75)

Analizando el interior de los corchetes de la ecuación (4.2.75).

( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,Tx t w w q q a w x t q q aρ η ρ η− + ≤ − + (4.2.76) Usando la suposición de acotamiento ( ) ( ), , ,q q a x tη ρ≤ .

( ) ( )( ), , , 0x t q q aρ η− + ≤ (4.2.77) En función de la ecuación (4.2.77) resulta ( ) ( ) ( )( )2 , , , 0TV x x Qx w x t q q aρ η≤ − + − + ≤ (4.2.78)

Con lo que se ve que el sistema es estable, sin embargo, no es posible concluir que exista la estabilidad asintótica global. Acotamiento de las señales Partiendo de:

( ) ( ) ( )( )0 , 0 , 0V q q V q q≤ < (4.2.79)


- 56 -

Con lo que:

( ) ( )( ) ( )1 2 31 10 , 02 2

T TV q q q Pq q P P q> + + (4.2.80)

( ) ( )( ) ( )4 2 31 10 , 02 2

T TV q q q P q q P P q> + + (4.2.81)


( ) ( )( ) { } { }2min 1 min 2 3

1 10 , 02 2

V q q q P q q P Pλ λ> + + (4.2.82)

( ) ( )( ) { } { }2

min 4 min 2 31 10 , 02 2

V q q q P q q P Pλ λ> + + (4.2.83)


{ } { } ( ) ( )( )2min 1 min 2 3

1 10 0 , 02 2

q P q q P P V q qλ λ> + + − (4.2.84)

{ } { } ( ) ( )( )2

min 4 min 2 31 10 0 , 02 2

q P q q P P V q qλ λ> + + − (4.2.85)


{ } { } { } ( ) ( )( ){ }

2

min 2 3 min 2 3 min 1

min 1

1 1 2 0 , 02 2

q P P q P P P V q qq

P

λ λ λ

λ

⎛ ⎞− + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠≤ (4.2.86)


{ } { } { } ( ) ( )( ){ }

2


min 4

1 1 2 0 , 02 2


P

λ λ λ

λ

⎛ ⎞− + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠≤ (4.2.87)

Como las señales dq y dq están acotadas, y los errores de posición y velocidad también lo están, la posición y velocidad reales se encuentran acotadas.

4.3.4. Controlador adaptable. Para el diseño del controlador adaptable, primero se propone un controlador con los parámetros estimados.

( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ,M q a C q q q g qτ = + + (4.2.88) Para la ecuación (4.2.88), de igual forma que en el controlador robusto, se selecciona un compensador lineal PD con lo que d P Va q K q K q= − − . Tomando en cuenta la parametrización lineal en los parámetros de la representación matricial –ecuación (4.2.89)–.

( ) ( ) ( ) ( ), , ,M q q C q q q g q Y q q q θ+ + = (4.2.89) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ, , ,M q q C q q q g q Y q q q θ+ + = (4.2.90)

La definición del error en los parámetros se muestra a continuación.

( ) ( ) ( )ˆM q M q M q= − (4.2.91)


- 57 -

( ) ( ) ( )ˆ, , ,C q q C q q C q q= − (4.2.92) ( ) ( ) ( )ˆg q g q g q= − (4.2.93)

ˆθ θ θ= − (4.2.94) Desarrollando la ecuación de lazo cerrado. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ , , ,M q q a M q q C q q q g q Y q q q θ− = + + = (4.2.95) ( ) ( )1ˆ , ,q a M Y q q q θ θ−− = = Φ (4.2.96) La ecuación dinámica del error.

V Pq K q K q θ+ + = Φ (4.2.97) Pasando al espacio de estados. x Ax B θ= + Φ (4.2.98) En la ecuación (4.2.98) se tiene:

0

P V

IA

K K⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ (4.2.99)

0B

I⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.2.100)

Para llevar a cabo el análisis de Lyapunov, se sabe que sólo existe una matriz P que cumple con la ecuación de Lyapunov (ecuación (4.2.70)). Proponiendo la función candidata Lyapunov: ( ), T TV x x Pxθ θ θ= + Γ (4.2.101)

Derivando (4.2.71) y evaluando a lo largo de la trayectoria. ( ), 2T T T TV x x Qx B Pxθ θ θ⎡ ⎤= − + Φ +Γ⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.2.102)

Para que la ecuación sea semidefinida negativa se requiere:

0T TB Px θΦ +Γ = (4.2.103) Con lo que la ecuación (4.2.102) se vuelve ( ), 0TV x x Qxθ = − ≤ . De la ecuación (4.2.103) surge la ley de actualización de parámetros.

1 T TB Pxθ −= −Γ Φ (4.2.104) Nótese que si 0x → y cteθ → con t →∞ hay convergencia global. Acotamiento de las señales Partiendo de:

( ) ( ) ( ) ( )( )0 , , 0 , 0 , 0V q q V q qθ θ≤ < (4.2.105)


- 58 -

Con lo que: ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 3

1 10 , 0 , 02 2

T TV q q q Pq q P P qθ > + + (4.2.106)

( ) ( ) ( )( ) ( )4 2 31 10 , 0 , 02 2

T TV q q q P q q P P qθ > + + (4.2.107)

( ) ( ) ( )( ) 10 , 0 , 02

TV q q θ θ θ> Γ (4.2.108)


( ) ( ) ( )( ) { } { }2min 1 min 2 3

1 10 , 0 , 02 2

V q q q P q q P Pθ λ λ> + + (4.2.109)

( ) ( ) ( )( ) { } { }2

min 4 min 2 31 10 , 0 , 02 2

V q q q P q q P Pθ λ λ> + + (4.2.110)

( ) ( ) ( )( ) { }2

min10 , 0 , 02

V q q θ θ λ> Γ (4.2.111)


{ } { } ( ) ( ) ( )( )2min 1 min 2 3

1 10 0 , 0 , 02 2

q P q q P P V q qλ λ θ> + + − (4.2.112)

{ } { } ( ) ( ) ( )( )2

min 4 min 2 31 10 0 , 0 , 02 2

q P q q P P V q qλ λ θ> + + − (4.2.113)


{ } { } { } ( ) ( ) ( )( ){ }

2


min 1

1 1 2 0 , 0 , 02 2


P

λ λ λ θ

λ

⎛ ⎞− + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠≤ (4.2.114)


{ } { } { } ( ) ( ) ( )( ){ }

2


min 4

1 1 2 0 , 0 , 02 2


P

λ λ λ θ

λ

⎛ ⎞− + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠≤ (4.2.115)

La cota de los parámetros:

( ) ( ) ( )( ){ }min

2 0 , 0 , 0V q q θθ

λ≤

Γ (4.2.116)

Como las señales dq y dq están acotadas, y los errores de posición y velocidad también lo están, la posición y velocidad se encuentran acotadas.


- 59 -

Capítulo 5

Control de seguimiento de trayectoria

En este capítulo se muestran los diseños de los controladores de seguimiento de trayectoria. Que consiste en seguir un conjunto de posiciones y velocidades deseadas.

Al principio del capítulo se estudia el error combinado de seguimiento, este error es

una pieza clave en el diseño de un controlador de seguimiento de trayectoria. Después, se realizan los diseños de cada uno de los controladores de seguimiento de trayectoria.

5.1. Error combinado de seguimiento Para realizar el control de seguimiento de trayectoria se define el error combinado

de seguimiento como [Slotine 1998]: d rs q q q q q q q= + Λ = − +Λ = − (5.1.1)

Donde el vector r dq q q= − Λ es llamado vector de velocidad de referencia. La

ecuación anterior puede ser considerada como una ecuación diferencial en q de primer orden, donde si 0s → cuando t →∞ también 0q → y 0q → . De igual forma si s está acotada, también q y q lo estarán.

Capítulo 5. Control de seguimiento de trayectoria

- 60 -

5.2. Diseño de los controladores de seguimiento de trayectoria

5.2.1. Controlador PD más compensación Se sabe que la ecuación de lazo abierto del robot manipulador es la ecuación.

( ) ( ) ( ) ( ),M q q C q q q B q g q τ+ + + = (5.2.1)

Restando ( ) ( ),r rM q q C q q q+⎡ ⎤⎣ ⎦ a ambos lados de la ecuación.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,r rM q q C q q q g q M q q C q q qτ+ + = ± +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.2.2) Agrupando y combinando términos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,r rM q s C q q s M q q C q q q g qτ+ = − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ (5.2.3) ( ) ( ) ( ), , , , ,r r rM q s C q q s Y q q q q qτ θ+ = − (5.2.4)

Donde θ es el vector de parámetros del sistema. Para el análisis de la estabilidad la ecuación candidata de Lyapunov propuesta es:

( ) ( )12

TV s s M q s= (5.2.5)

La derivada de la ecuación de Lyapunov es:

( ) ( ) ( )12

T TV s s M q s s M q s= + (5.2.6)

Evaluando a lo largo de la trayectoria y reduciendo. ( ) ( ), , , ,T

r r rV s s Y q q q q qτ θ= −⎡ ⎤⎣ ⎦ (5.2.7) Para lograr que el sistema sea estable y que el error de seguimiento sea cero la derivada de la ecuación de Lyapunov debe ser menor que cero, y para lograrlo se propone

( ), , , ,S r r rK s Y q q q q qτ θ− = − , sustituyendo en la ecuación (5.2.7). ( ) T

SV s s K s= − (5.2.8) Con la ecuación (5.2.8) se ve que el sistema es asintóticamente estable y el error combinado de seguimiento tiende a cero. La ecuación del controlador es:

( ), , , ,r r r SY q q q q q K sτ θ= − (5.2.9) Acotamiento de las señales Como la ecuación (5.2.8) es definida negativa, se parte de:

( ) ( )( )0 0V s V s≤ < (5.2.10) Con lo que:

( )( ) ( )102

TV s s M q s> (5.2.11)


- 61 -

Sacando la norma: ( )( ) ( ){ }2

min102

V s s M qλ> (5.2.12)

La cota del error de seguimiento de trayectoria es:

( )( )( ){ }min

2 0V ss

M qλ≤ (5.2.13)

A partir de la ecuación anterior, y lo comentado en la sección 5.1, los errores de posición y de velocidad están acotados y, como las señales dq y dq están acotadas la posición y velocidad se encuentran acotadas.

5.2.2. Controlador Robusto. Como primer paso, y partiendo del caso anterior, en el que se considera que se conocen todos los parámetros, por lo que le llamaremos “caso nominal” (sistema y controlador nominales), ahora se considera que no se conocen con precisión los parámetros, es decir, existe incertidumbre paramétrica. Es una práctica común basarse en la ley de control nominal y determinar términos de control adicionales para enfrentar los efectos de las incertidumbres. De la ecuación de control nominal (PD más compensación) y considerando parámetros nominales:

( ) 0, , , ,r r r SY q q q q q K sτ θ= − (5.2.14) Donde 0θ es el vector de parámetros nominales si el vector de parámetros reales está denotado como θ . Sumando un término al controlador nominal para contrarrestar la incertidumbre en los parámetros, se obtendría la siguiente ley de control para el caso real que considera la incertidumbre en los parámetros:

( ) 0, , , ,r r r SY q q q q q K sτ θ ω= − + (5.2.15) Sustituyendo la ecuación (5.2.15) en la ecuación del robot manipulador para obtener la ecuación de lazo cerrado: ( ) ( ) ( ) ( ) 0, , , , ,r r r SM q q C q q q g q Y q q q q q K sθ ω+ + = − + (5.2.16)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0, ,r r SM q q C q q q g q M q q C q q q g q K s ω+ + = + + − +⎡ ⎤⎣ ⎦ (5.2.17) Donde ( )M q , ( ),C q q , ( )g q están definidos con los parámetros reales y 0M ,

( )0 ,C q q , ( )0g q están definidos con parámetros nominales. Restando ( ) ( ),r rM q q C q q q+⎡ ⎤⎣ ⎦ a ambos lados de la ecuación (4.2.42).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0, ,

,r r S

r r

M q s C q q s M q q C q q q g q K s

M q q C q q q g q

ω+ = + + − +⎡ ⎤⎣ ⎦− + −⎡ ⎤⎣ ⎦

(5.2.18)


- 62 -

Definiendo: ( ) ( ) ( )0M q M q M q= − (5.2.19) ( ) ( ) ( )0, , ,C q q C q q C q q= − (5.2.20) ( ) ( ) ( )0g q g q g q= − (5.2.21)

0θ θ θ= − (5.2.22) Agrupando términos.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 0, , ,S r rM q s C q q s K s M q M q q C q q C q q q g q g qω ⎡ ⎤+ = − + + − + − + −⎣ ⎦ (5.2.23)

( ) ( ) ( ), , , , ,S r r rM q s C q q s K s Y q q q q qω θ+ = − + + (5.2.24) Proponiendo la función candidata de Lyapunov como se muestra en la ecuación (4.2.71).

( ) ( )12

TV s s M q s= (5.2.25)

Derivando la ecuación anterior y evaluando a lo largo de la trayectoria. ( ) ( ), , , ,T

S r r rV s s K s Y q q q q qω θ⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦ (5.2.26) En la ecuación anterior el primer término (el que contiene la constante proporcional) es semidefinido negativo, pero se tiene que analizar el signo del segundo término. Suponiendo que la incertidumbre esta acotada 0θ θ ρ− ≤ . Haciendo ( ), , , ,r r rY q q q q qω χ= . Sustituyendo en la ecuación (5.2.26). ( ) ( ) ( ), , , ,T T

S r r rV s s K s s Y q q q q q θ χ= − + + (5.2.27) Para que el segundo término sea cero, y en consecuencia el sistema sea asintóticamente estable, se propone:

( ) 2 0T

T

Y s

s Yχ ρ ε

ρ ε= − >

+ (5.2.28)

Para el caso cuando el segundo término de ( )V s no sea cero, el sistema sigue siendo estable, pero se necesita T

Ss K s ε≥ , con lo que el error combinado de seguimiento tiene por cota:

{ }min S

sK

ελ

≤ (5.2.29)

Acotamiento de las señales En la ecuación (5.2.29) se presenta la cota del error combinado de seguimiento, por lo que no es necesario hacer el análisis que se viene haciendo con anterioridad. Los errores de posición y de velocidad están acotados y, como las señales dq y dq están acotadas la posición y velocidad se encuentran acotadas.


- 63 -

5.2.3. Controlador adaptable Para el diseño del controlador adaptable, es práctica común basarse en la ley de control nominal y en lugar de los parámetros reales usar los estimados, por lo que se tiene que diseñar una ley de estimación de parámetros (es decir, se tiene que diseñar un observador). Primero se propone un controlador con los parámetros estimados.

( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ,r r SM q q C q q q g q K sτ = + + − (5.2.30) Tomando en cuenta la parametrización lineal de la representación matricial la ecuación anterior se puede representar como:

( ) ˆ, , , ,r r r SY q q q q q K sτ θ= − (5.2.31) La definición del error en los parámetros se muestra a continuación.

( ) ( ) ( )ˆM q M q M q= − (5.2.32) ( ) ( ) ( )ˆ, , ,C q q C q q C q q= − (5.2.33) ( ) ( ) ( )ˆg q g q g q= − (5.2.34)

ˆθ θ θ= − (5.2.35) Desarrollando la ecuación de lazo cerrado. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ, , SM q q C q q q g q M q q C q q q g q K s+ + = + + − (5.2.36) Restando ( ) ( ),r rM q q C q q q+⎡ ⎤⎣ ⎦ a ambos lados de la ecuación.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ, , ,r r S r rM q s C q q s M q q C q q q g q K s M q q C q q q g qω⎡ ⎤+ = + + − + − + −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ (5.2.37) Agrupando y combinando términos: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )ˆˆ ˆ, , ,S r rM q s C q q s K s M q M q q C q q C q q q g q g q⎡ ⎤+ = − + − + − + −⎣ ⎦

(5.2.38)

( ) ( ) ( )0, , , , ,S r r rM q s C q q s K s Y q q q q q θ+ = − + (5.2.39) Proponiendo la siguiente función candidata Lyapunov.

( ) ( ) 11 12 2

T TV s s M q s θ θ−= + Γ (5.2.40)

Donde Γ es diagonal y 0Γ > . Derivando (5.2.40) y evaluando a lo largo de la trayectoria. ( ) ( ) 1, , , ,T T T

S r r rV s s K s Y q q q q q sθ θ−⎡ ⎤= − + + Γ⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.2.41)

Para que la ecuación anterior sea semidefinida negativa se requiere:

( ), , , ,Tr r rY q q q q q sθ = −Γ (5.2.42)

Con lo que la ecuación (4.2.102) se vuelve ( ) T

SV s s K s= − .


- 64 -

Los parámetros no varían o lo hacen muy lento, con lo que se considera cteθ = ,

0θ = , por consiguiente, la ecuación (4.2.103) se vuelve la ley de actualización de parámetros que se muestra en la ecuación (5.2.43).

( )ˆ , , , ,Tr r rY q q q q q sθ = −Γ (5.2.43)

El sistema es asintóticamente estable, debido a que la derivada de la función candidata de Lyapunov es definida negativa para todo valor que pueda tener el error combinado de seguimiento. ( ) T

SV s s K s= − (5.2.44) Acotamiento de las señales Partiendo de:

( ) ( ) ( )( )0 , 0 , 0V s V sθ θ≤ < (5.2.45) Con lo que:

( ) ( )( ) ( )10 , 02

TV s s M q sθ > (5.2.46)

( ) ( ) ( )( ) 10 , 0 , 02

TV q q θ θ θ> Γ (5.2.47)


( ) ( )( ) ( ){ }2min

10 , 02

V s s M qθ λ> (5.2.48)

( ) ( ) ( )( ) { }2

min10 , 0 , 02

V q q θ θ λ> Γ (5.2.49)

La cota del error combinado de seguimiento de trayectoria es:

( ) ( )( )( ){ }min

2 0 , 0V ss

M q

θ

λ≤ (5.2.50)

La cota de los parámetros:

( ) ( )( ){ }min

2 0 , 0V s θθ

λ≤

Γ (5.2.51)

Teniendo la cota del error combinado de seguimiento de trayectoria, se sabe que los errores de posición y de velocidad están acotados y, como las señales dq y dq están acotadas la posición y velocidad se encuentran acotadas.

5.2.4. Controlador PID de seguimiento Recientemente, se ha probado el control PID inverso óptimo en [Choi 2001A], con algunas restricciones para las ganancias. La ecuación del robot manipulador es:

( ) ( ) ( ) ( ),M q q C q q q g q d t τ+ + + = (5.2.52)


- 65 -

Donde d(t) es el vector de las perturbaciones externas. Para el caso de seguimiento de una trayectoria se define P Is q K q K q= + + ∫ , la perturbación extendida puede ser definida incluyendo la perturbación externa de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,d P I d P Iw t q q q M q q K q K q C q q q K q K q q q d t= + + + + + + +∫ ∫ (5.2.53)

En la ecuación anterior KP y KI son matrices constantes y definidas positivas y

( ) ( ) ( )ˆM q M q M q= − . Si la perturbación extendida definida en (5.2.53) es utilizada en la ecuación (5.2.52) se puede reescribir la ecuación de lazo cerrado de la siguiente forma:

( ) ( ) ( ), , , ,M q s C q q s w t q q q τ+ = +∫ (5.2.54)

Definiendo el vector de estado ( )TT

T Tq q q⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫x , la representación en espacio de

estados de la ecuación anterior esta dada por: ( ) ( ) ( ), , ,x A x t x B x t w B x t u= + + (5.2.55)

Donde:

( )1

0 0, 0 0

i iI P I P

IA x t I

M CK M CK K M C K− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

(5.2.56)

( )1

0, 0B x t

M −

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.2.57)

Para un índice de desempeño general H∞ que tiene la siguiente forma:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

0, , , lim 2 ,

t T T T

tPI t q q q V x t t x Q x x R x w w dτ τ γ τ

→∞

⎡ ⎤= + + −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ (5.2.58)

La matriz de Lyapunov en ( ) ( )1, ,2

TV x t x P x t x= tiene la siguiente forma [Choi

2001A]:

( ),I I I P I P I I

P I I P P P P

I P

K MK K K K K MK K K K MP x t K MK K K K MK K K K M

MK MK M

+ +⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.2.59)

La función Hamilton-Jacobi para la función de costo (5.2.58) sujeta a (5.2.55) se encuentra como sigue: 1

2

1 0T T THIJ P A P PA PBR B P PBB P Qγ

−= + + − + + = (5.2.60)

También, las matrices ( )Q x y ( )R x son obtenidas como matrices diagonales constantes definidas de la siguiente manera:


- 66 -

( ) ( )2

2

0 0

0 2 0

0 0

I

P I

K K

Q x K K K

K

⎡ ⎤⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.2.61)

( )1

2

1R x K Iγ

−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.2.62)

Con la función HIJ, las matrices ( )Q x y ( )R x , el control PID inverso óptimo para la ecuación de costo (5.2.58) se puede alcanzar en [Choi 2001A]. Para la prueba de estabilidad, se obtiene la derivada de la ecuación de Lyapunov: t x x xV V V Ax V Bu V Bw= + + + (5.2.63)

( ) 112

T T T T TV x P A P PA x x PBR B Px x PBw−= + + − + (5.2.64)

Donde u τ= − . Si reacomodamos la ecuación anterior usando (5.2.60) y la

desigualdad de Youg 2 222

1T Tx PBw x PB wγγ

≤ + , la ecuación (5.2.64) toma la siguiente

forma:

( ) 2212

T TV x Q PBKB P x wγ≤ − + + (5.2.65)

Seleccionando una γ que permita ( ) 221 02

T Tx Q PBKB P x wγ− + + ≤ se obtiene que el

controlador es estable. La ecuación del controlador esta dada por:

1 TR B Pxτ −= (5.2.66)

( )2

1P IK I q K q K qτ

γ⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (5.2.67)

Donde , , 0P IK K K > , 2

P IK K> y 0γ > . Acotamiento de las señales Partiendo de:

( ) ( ) ( ) ( )( )0 , , 0 , 0 , 0V q q q V q q q≤ <∫ ∫ (5.2.68) Con lo que:

( ) ( ) ( )( ) ( )5 6 81 10 , 0 , 02 2

T TV q q q q P q q P P q> + +∫ (5.2.69)

( ) ( ) ( )( ) ( )9 6 81 10 , 0 , 02 2

T TV q q q q P q q P P q> + +∫ (5.2.70)


( ) ( ) ( )( ) { } { }2min 5 min 6 8

1 10 , 0 , 02 2

V q q q q P q q P Pλ λ> + +∫ (5.2.71)


- 67 -

( ) ( ) ( )( ) { } { }2

min 9 min 6 81 10 , 0 , 02 2

V q q q q P q q P Pλ λ> + +∫ (5.2.72)


{ } { } ( ) ( ) ( )( )2min 5 min 6 8

1 10 0 , 0 , 02 2

q P q q P P V q q qλ λ> + + − ∫ (5.2.73)

{ } { } ( ) ( ) ( )( )2

min 9 min 6 81 10 0 , 0 , 02 2

q P q q P P V q q qλ λ> + + − ∫ (5.2.74)


{ } { } { } ( ) ( ) ( )( ){ }

2


min 5

1 1 2 0 , 0 , 02 2

q P P q P P P V q q qq

P

λ λ λ

λ

⎛ ⎞− + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠≤

∫ (5.2.75)


{ } { } { } ( ) ( ) ( )( ){ }

2


min 9

1 1 2 0 , 0 , 02 2

q P P q P P P V q q qq

P

λ λ λ

λ

⎛ ⎞− + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠≤

∫ (5.2.76)

Como las señales dq y dq están acotadas, y los errores de posición y velocidad también lo están, la posición y velocidad se encuentran acotadas.


- 68 -

Hoja en Blanco


- 69 -

Capítulo 6

Sintonización de los controladores

En este capítulo se van a revisar las herramientas para la sintonización de los controladores (de movimiento y seguimiento de trayectoria), así como el procedimiento que se sigue para llevar a cabo la sintonización.

Al comienzo de este capítulo se revisan fundamentos para llevar a cabo la

optimización de una función, con dichos fundamentos se puede implementar la sintonización de los controladores.

Continuando dentro del capítulo se encuentran los conceptos de los algoritmos

genéticos, y los índices de error de un sistema controlado. Ya definiendo los elementos anteriores se muestra el procedimiento que se sigue para la sintonización de los controladores, además de mostrar las constantes obtenidas para los controladores.

6.1. Introducción Generalmente por medio de la técnica de diseño de controladores de Lyapunov, al

asegurar la estabilidad del sistema en lazo cerrado se obtiene un acotamiento para los valores de las constantes del controlador. Sin embargo, nos deja un margen muy amplio para la selección de las constantes (por lo regular, que sean definidas positivas),

Capítulo 6. Sintonización de los controladores

- 70 -

permitiendo que la sintonización del controlador se haga de una forma trivial (selección de constantes arbitraria).

Para evitar una selección arbitraria, se manejan dos posibilidades: la primera recurre a la realización de un proceso iterativo de prueba y error, el cual se evalúa hasta encontrar el comportamiento deseado por parte del sistema en lazo cerrado y la segunda trata de la minimización de una función que sea medida del comportamiento del sistema (como los índices de desempeño). Para encontrar el mínimo de una función se utilizan las técnicas de optimización.

6.2. Fundamentos de optimización

6.2.1. Definición del problema de optimización Un problema de optimización consiste en lo siguiente [Astolfi 2005]: Encontrar un vector [ ]1 2, , , nx x x x= … , que minimice ( )f x sujeto a las restricciones:

( ) 0, 1,2, ,jg x j m≤ = … y ( ) 0, 1,2, ,il x i p≤ = … .

La variable x es llamada vector de diseño, ( )f x es la función objetivo, ( )jg x son las desigualdades de restricción y ( )il x son las ecuaciones de restricción. El número de variables n y el número de restricciones p+m no necesitan estar relacionados. Si p+m=0 el problema es llamado problema de optimización sin restricciones.

Vector de diseño. Cualquier sistema está descrito por un conjunto de cantidades, algunas de las cuales son vistas como variables durante el proceso de diseño, y algunas otras son parámetros preasignados e impuestos por el ambiente. Todas las cantidades que pueden ser tratadas como variables son llamadas variables de diseño o de decisión, y son agrupadas en el vector de diseño.

Restricciones de diseño. En la práctica, las restricciones de diseño no pueden ser escogidas arbitrariamente, pero tienen que satisfacer ciertos requerimientos. Las restricciones de diseño pueden representar limitaciones en el desempeño o comportamiento del sistema o limitaciones físicas.

Función objetivo. El procedimiento de diseño clásico busca alcanzar un criterio aceptable que satisfaga las restricciones. En general existen diferentes diseños aceptables y el propósito de la optimización es buscar el mejor diseño posible. Entonces, se ha seleccionado un criterio para la comparación entre diferentes diseños. Este criterio, cuando se expresa en función de las variables de diseño, se conoce como función objetivo. La función objetivo se especifica de forma general en consideraciones físicas o económicas. Sin embargo, la selección de una función objetivo no es trivial, porque el diseño óptimo respecto a un criterio puede ser inaceptable con respecto a otro criterio. Típicamente existe un compromiso entre el desempeño y el costo, o el desempeño y la confiabilidad, por lo tanto la selección de la función objetivo es una de las decisiones más importantes en el proceso de diseño.


- 71 -

6.2.2. Definición del mínimo de una función Considerando el problema de optimización definido en la sección anterior, se tienen

las siguientes definiciones: Definición 6.1. Una bola abierta con centro en x∗ y radio 0θ > es el conjunto

( ) { }, |nB x x x xθ θ∗ ∗= ∈ − < Definición 6.2. Un punto *x X∈ es un mínimo local restringido si existe 0θ > tal que ( ) ( ) ( ), ,f y f x y X B x θ∗ ∗≥ ∀ ∈ ∩ (6.1.1)

Definición 6.3. Un punto *x X∈ es un mínimo global restringido si ( ) ( ) ,f y f x y X∗≥ ∀ ∈ (6.1.2)

Si la desigualdad (6.1.1) o (6.1.2) mantiene en un sentido estricto el signo para toda y x∗≠ , entonces se dice que el mínimo es estricto.

6.3. Algoritmos Genéticos Los algoritmos genéticos forman parte de la Computación Evolutiva [Bäck 1992],

que constituye una familia de modelos computacionales inspirados en la evolución natural.

Los algoritmos genéticos constituyen el paradigma más completo de los que presenta la Computación Evolutiva. Una característica importante es el poco conocimiento específico que requieren del problema al que se aplican, para su funcionamiento. Permiten resolver problemas con poco esfuerzo computacional, especialmente en los casos en que otros métodos fallan o suponen unos requerimientos computacionales excesivos.

Los algoritmos genéticos utilizan una población de individuos, la cual evoluciona al ser sometidos dichos individuos a una serie de transformaciones mediante determinados operadores. Se emulan los procesos de selección natural y de reproducción presentes en la naturaleza, siendo los individuos más fuertes los que sobreviven y procrean a lo largo de la ejecución del algoritmo.

Los algoritmos genéticos son considerados usualmente como optimizadores de funciones, aunque el rango de problemas en los cuales han sido y están siendo aplicados es bastante amplio.

Existen muchos métodos de optimización que han sido desarrollados en investigación matemática y operativa. Entonces, ¿qué papel realizan los algoritmos genéticos como herramientas de optimización?. Los algoritmos genéticos se suelen describir como métodos de búsqueda global [Bäck 1991], que no hacen uso de información del gradiente, con lo cual no se necesita mucha información acerca de la estructura ni de las funciones que definen al sistema.

De este modo, las funciones no diferenciables así como las funciones con múltiples

óptimos locales constituyen clases de problemas a los cuales se les puede aplicar especialmente los algoritmos genéticos. Los algoritmos genéticos, además de realizar pocas


- 72 -

suposiciones sobre el problema que está siendo resuelto, constituyen un método robusto y muy general. Sin embargo, si existe un buen método de optimización especializado para un problema concreto, entonces el algoritmo genético puede no ser la mejor herramienta de optimización para dicha aplicación.

Las características diferenciadoras generales entre los métodos tradicionales de

optimización y los algoritmos genéticos son:

1- Los algoritmos genéticos trabajan con una codificación de las soluciones, en vez de con las soluciones.

2- Realizan una búsqueda utilizando una población de posibles soluciones, en vez de buscar una única solución. Así se obtiene, generalmente, un conjunto de soluciones viables para el problema en estudio.

3- Utilizan una función objetivo (función de evaluación), en vez de utilizar gradientes u otros datos suplementarios. Esto permite resolver problemas con poco conocimiento específico.

4- Utilizan reglas probabilísticas de transición, en vez de reglas determinísticas. Los operadores que actúan durante la ejecución de un algoritmo genético se aplican con una determinada probabilidad.

6.3.1. Componentes básicos de un algoritmo genético. Normalmente existen solamente dos componentes principales, en la mayoría de los

algoritmos genéticos, que son dependientes del problema: la codificación del mismo y la función de evaluación.

Sea un problema de optimización donde se deben obtener los valores de un conjunto de variables que hagan máximo un objetivo, o minimicen un costo o una medida de error. Sería deseable poder contemplar un problema de estas características como una caja negra con una serie de señales de control representando diferentes parámetros. La única salida de la caja negra es el valor obtenido mediante la evaluación de una función, dando idea de la bondad de una combinación de parámetros que resuelve el problema de optimización (combinación que constituye una posible solución del problema).

El objetivo que se desea alcanzar es el de ajustar los diversos parámetros (actuando

sobre las constantes mencionadas anteriormente) con el fin de optimizar la salida de la caja negra. En términos más tradicionales, se desea minimizar (o maximizar) una cierta función F(x1,x2,...,xM).

La primera suposición que típicamente se suele hacer es que las variables que representan parámetros pueden codificarse o representarse mediante cadenas de bits.

Esto significa que las variables se discretizan a priori y que el rango de discretización corresponde a alguna potencia de 2. Cada una de las cadenas se denomina individuo, denominándose a su estructura como genotipo, y a su contenido como fenotipo.


- 73 -

Desde el momento en que un algoritmo genético trabaja con una población de soluciones potenciales, incurre en el coste computacional de evaluar esa población.

6.3.2. Operadores básicos Los operadores básicos que se aplican para la obtención de la población siguiente, a

partir de la población intermedia, son la reproducción, el cruce y la mutación. Otros operadores pueden ser utilizados en la implementación de un algoritmo genético, pero los que aquí se van a describir son los que determinan las características fundamentales en el funcionamiento de estos algoritmos. Operador reproducción.

Reproducción es un operador que básicamente realiza copias de soluciones un determinado número de veces de acuerdo con sus aptitudes. Así, a mayor valor de aptitud son copiadas más veces. Operador cruce.

Cuando se ha llevado a cabo el muestreo y la reproducción, la construcción de la población intermedia está completa y se procede a realizar la mezcla de soluciones. Para este proceso se aplica el operador cruce (crossover en la bibliografía) a parejas de individuos seleccionadas con una probabilidad que puede denominarse pc.

La mezcla se lleva a cabo seleccionando aleatoriamente un punto de las cadenas e intercambiando los trozos que quedan a derecha e izquierda de dicho punto. El cruce es un operador que realiza una búsqueda de soluciones no aleatoria, ya que este operador parte de la información existente para obtener nuevas soluciones e intentar mejorar las soluciones que se han obtenido hasta entonces. Operador mutación.

Tras la aplicación del operador cruce, puede aplicarse un operador de mutación. Para cada bit en la población, existe una determinada probabilidad (pm) de que sea mutado.

La mutación añade un carácter aleatorio a la búsqueda de soluciones que realizan los algoritmos genéticos y es necesario para evitar que, tras unas pocas generaciones, todas las soluciones sean muy similares entre sí, lo cual puede producir un estancamiento del algoritmo genético en algún mínimo (o máximo) local del problema que se desea resolver.

En el caso de los algoritmos genéticos, al no aplicar mutación, se alcanzan soluciones que no son capaces de evolucionar y mejorar al pasar de una generación a otra. Se produciría una convergencia prematura y se alcanzaría, en algunos casos, una solución que podría encontrarse relativamente lejos del óptimo global.

Todos los bits de todas las cadenas poseen la misma probabilidad de sufrir una mutación.


- 74 -

6.3.3. Parámetros de los operadores. Influencia en el proceso de optimización. Una tasa de cruce de valor muy elevado vuelve lento el desarrollo del algoritmo.

Además, da lugar a una búsqueda dirigida por parte del algoritmo genético, ya que son las soluciones con mayor aptitud las que poseen más probabilidad de ser utilizadas para formar otras nuevas al aplicar el operador cruce.

Una tasa de mutación elevada produce una búsqueda aleatoria en la que a partir de unas determinadas soluciones se obtienen otras que surgen de la modificación de algunos bits de las primeras.

Por estos motivos, es preciso calibrar de forma adecuada estos dos parámetros para evitar que la convergencia hacia una solución sea excesivamente rápida (tasa de cruce demasiado elevada) o que no converja (tasa de mutación excesivamente grande).

Durante los procesos de cruce y mutación, algunas cadenas son reemplazadas por otras nuevas, ya que la población total suele permanecer constante a lo largo de las generaciones. Por ello, debe de establecerse algún criterio de selección que determine las cadenas que han de ser suprimidas.

Tras completar el proceso de muestreo (reproducción), cruce y mutación, ha transcurrido una generación en la ejecución de un algoritmo genético.

6.3.4. Optimización multiobjetivo con algoritmos genéticos. En un problema de optimización es posible que la función objetivo corresponda a un

determinado parámetro que se desea minimizar o maximizar. En estos casos los algoritmos genéticos suelen obtener buenos resultados utilizando una determinada función de evaluación (función objetivo), llevando a cabo una optimización monobjetivo, donde se desea minimizar o maximizar un único objetivo. Pero en otras ocasiones se desean obtener soluciones, para un determinado problema, de forma que se minimicen dos o más objetivos simultáneamente, siendo difícil el combinar en una única función objetivo todos los parámetros que se desean minimizar o maximizar simultáneamente. En este caso se debe realizar un diseño multiobjetivo.

Este tipo de problema ha sido estudiado utilizando técnicas tradicionales de optimización y de búsqueda de soluciones. En la última década los algoritmos genéticos se han aplicado para resolverlos.

En optimización monobjetivo se busca la mejor solución (la que presenta el mayor o menor valor de su función objetivo). En optimización multiobjetivo la noción de optimalidad no es obvia, ya que se debe realizar un planteamiento que respete las diferencias existentes entre los objetivos involucrados en el proceso de optimización.

6.4. Índices de desempeño Como función objetivo para implementar la optimización se seleccionaron los

siguientes índices de desempeño, la mayoría de los índices nos muestran una medida sobre el error presente en el sistema, sin embargo, también se cuenta con un índice de error con el


- 75 -

cual se puede medir el esfuerzo de control, a continuación se muestra la definición de los índices de desempeño.

• El Índice de la Integral del Error Cuadrático (ISE por sus siglas en inglés)

remueve las componentes negativas del error. El ISE discrimina entre sistemas sobre amortiguados y sub-amortiguados. La ecuación que define al ISE es [Griffin 2003]:

( )2

0=

tISE e t dt∫

• El Índice de la Integral del Error Absoluto (IAE por sus siglas en inglés)

remueve las componentes negativas del error. El IAE es bueno para estudios de simulación. La ecuación que define al IAE es [Griffin 2003]:

( )0

=t

IAE e t dt∫ • El Índice de la Integral de la multiplicación del Tiempo por el Error Absoluto

(ITAE por sus siglas en inglés) remueve las componentes negativas del error. El ITAE pondera el error con el tiempo para enfatizar los errores que ocurren en el estado estable. La ecuación que define al ITAE es [Griffin 2003]:

( )0

=t

ITAE t e t dt∫ • El Índice de la Integral del Esfuerzo de Control (CE por sus siglas en inglés). El

CE obtiene el total del esfuerzo realizado por el controlador para que el sistema pueda alcanzar a la referencia. La ecuación que define al CE es:

2

0

1=t

CE dtn

τ∫

6.5. Sintonización de los controladores Para realizar la sintonización de los controladores se seleccionó la técnica de optimización de la implementación de algoritmos genéticos, debido a que no requieren de información acerca del gradiente además de que esta técnica es considerada robusta en su aplicación y muy general. La sintonización de un controlador por medio de la aplicación de algoritmos genéticos requiere que se tenga una señal de referencia, para este proyecto se seleccionó el escalón unitario. Para seleccionar el índice de desempeño a utilizar como función de minimización, se sintonizó el controlador de seguimiento PD más compensación por medio de la optimización de los índices de desempeño ISE, IAE, ITAE, CE y combinaciones como 0.5*ITAE+0.5*CE y 0.7*ITAE+0.3*CE (los pesos relativos se seleccionaron de acuerdo a las magnitudes que presentan los índices de desempeño).


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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Posicion articular 2

θ 2 (

rad)

tiempo (s)

SintIAE

SintITAE

SintISE

SintCE

SintITAE-CE-0.5

SintITAE-CE-0.7

Figura 6.1. Respuesta del controlador PD mas compensación en la coordenada articular 2

La figura 6.1 muestra el comportamiento de la coordenada articular 2, solamente se muestra una coordenada para obtener simplicidad en la figura. Se observa (como era de esperarse) que los conjuntos de constantes con una mejor respuesta son los obtenidos con las minimizaciones de los índices IAE, ISE, ITAE. El conjunto de constantes que presentan una peor respuesta son los obtenidos con la minimización del esfuerzo de control.

Tabla 6.1. Índices de desempeño de cada conjunto de constantes con una entrada escalón

Minimización\Indice de \ .

IAE ITAE ISE CE

IAE 0.0300 12.5280 0.03000 4.2069x1010 ITAE 0.0397 12.5274 0.03497 1.6976x1011 ISE 0.0300 12.5250 0.03000 4.7419 x1012 CE 3.6095 37.5657 2.13045 71.2477

0.5 ITAE + 0.5 CE 1.2704 37.5156 0.84310 49.3344 0.7 ITAE + 0.3 CE 1.2607 37.5118 0.84374 49.4790

En la tabla 6.1 vemos que los conjuntos sintonizados para la minimización del error (IAE, ISE, ITAE) presentan los mejores valores de los índices de error (en conjunto) pero requieren un esfuerzo de control muy elevado, que en la práctica significa que se van a estar exigiendo pares de control muy elevados a los motores del robot manipulador. Se observa que la mejor combinación entre respuesta y esfuerzo de control se obtiene con la minimización de índices combinados. A partir de la figura 6.1 y de la tabla 6.1 se selecciono el índice 0.7 ITAE + 0.3 CE para la sintonización de los controladores, debido a que se desea que la ley de control que no requiera esfuerzos de control muy elevados. Se toma en cuenta el compromiso que existe entre el error y el esfuerzo de control.


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6.5. Resultados de la sintonización

6.5.1. Constantes para el robot SCORBOT ER-V+ Después de realizar el procedimiento de sintonización de cada uno de los controladores para el robot SCORBOT ER-V+, los valores obtenidos son:

• Control PID. { } { }{4.88,10.89,13.75}, 2.32, 2.23, 3.09 , 1.09,1.88, 2.28p V IK diag K diag K diag= = =

• Control PD por dinámica inversa. { }{5.23, 5.35, 5.27}, 3.18, 3.20, 3.26p VK diag K diag= =

• Control Robusto de movimiento. { }{4.56, 4.78, 4.63}, 3.25, 3.04, 3.10 , 1.46p VK diag K diag ε= = =

• Control Adaptable de movimiento. { }{2.29,1.95, 2.28}, 2.18,1.93, 2.19p VK diag K diag= =

• Control PID de seguimiento de trayectoria. { } { }{4.87, 6.24, 6.43}, 1.78,1.98,1.86 , 1.43,1.62,1.53 ,

{4.71, 4.75, 4.68}, 1.89p V IK diag K diag K diag

K diag γ

= = =

= =

• Control PD más compensación. { }{3.06, 2.32, 2.73}, 2.43, 2.87, 2.23pK diag diag= Λ =

• Control Robusto de seguimiento de trayectoria. { }{1,1.25, 2}, 7.97, 6.1, 4.12 , 1.189pK diag diag ε= Λ = =

• Control Adaptable de seguimiento de trayectoria. { }{2.76, 2.72, 2.68}, 3.87, 3.84, 3.8pK diag diag= Λ =

6.5.2. Constantes para el robot PUMA Después de realizar el procedimiento de sintonización de cada uno de los controladores para el robot PUMA, los valores obtenidos son:

• Control PID. { } { }{2.87,4.76,3.87}, 1.23,0.89,1.56 , 0.69,1.26,2.68p V IK diag K diag K diag= = =

• Control PD por dinámica inversa. { }{8.02,8.09,7.89}, 5.86,5.91,6.01p VK diag K diag= =

• Control Robusto de movimiento. { }{7.69,7.73,7.59}, 5.54,6.01,5.83 , 0.65p VK diag K diag ε= = =

• Control Adaptable de movimiento. { }{3.72,3.98,3.70}, 2.87,3.30, 2.74p VK diag K diag= =

• Control PID de seguimiento de trayectoria. { } { }{2.58,3.22,2.90}, 1,1,1 , 0.73,0.91,1.23 ,

{7.62,7.99,8.21}, 0.89p V IK diag K diag K diag

K diag γ

= = =

= =

• Control PD más compensación. { }{1.29,1.39,1.35}, 2.68,2.79, 2.85pK diag diag= Λ =

• Control Robusto de seguimiento de trayectoria. { }{1.34,1.27,1.30}, 2.93,2.74, 2.64 , 0.75pK diag diag ε= Λ = =


- 78 -

• Control Adaptable de seguimiento de trayectoria. { }{1.35,1.28,1.40}, 2.75,2.69,2.80pK diag diag= Λ =


- 79 -

Capítulo 7

Pruebas y resultados

En este capítulo encontramos la descripción de las pruebas realizadas al conjunto controlador-robot. Se explican los objetivos que busca alcanzar cada prueba, así como también se detalla el desarrollo de la prueba. En la parte final del capítulo se muestran los resultados de las pruebas seleccionadas. Dentro de los resultados se muestran gráficas y el detalle de los valores de los índices de error resultantes de cada prueba.

7.1. Descripción de las pruebas Se realizaron 2 conjuntos de pruebas, el primer conjunto busca observar como se

modifica la respuesta ante cambios en la posición deseada o cambios en los parámetros del sistema. El segundo conjunto de pruebas busca observar los efectos que provocan los cambios en la carga, la incertidumbre en las masas de los elementos y en los momentos de inercia, cambios en las señales de referencia. Todas las pruebas se realizan durante 5 segundos.

7.1.1. Primer conjunto de pruebas Este conjunto de pruebas tiene el objetivo de observar la respuesta al cambiar las

condiciones de la incertidumbre en los parámetros y de la posición deseada a seguir.

Capítulo 7. Pruebas y resultados

- 80 -

Prueba 1. Se busca alcanzar una posición constante, para la prueba se considera que se tiene un conocimiento perfecto de los parámetros del robot manipulador.

Prueba 2. Se sigue una posición variante en el tiempo, considerando que no existe incertidumbre en los parámetros del robot manipulador.

Prueba 3. La posición que se desea alcanzar es constante, esta prueba se realiza considerando que se tiene una incertidumbre del 25% en el valor de los parámetros del robot manipulador.

Prueba 4. En esta prueba la posición es variante en el tiempo, y para la realización de la prueba se considera que se tiene una incertidumbre del 25% en el valor de los parámetros del robot manipulador.

7.1.2. Segundo conjunto de pruebas El objetivo de este conjunto de pruebas es el de observar los efectos en las

respuestas de los controladores al presentarse cambios en la carga, incertidumbre en las masas y las inercias, respuestas con diferentes señales de referencia.

Prueba A. Durante esta prueba se siguen diferentes posiciones deseadas. En primer lugar se sigue una señal escalón, seguida por una señal senoidal, la tercera señal es una señal polinomial y la última señal es una señal compuesta.

Prueba B. En esta prueba se incrementan los niveles de incertidumbre en el valor de los parámetros. Se comienza considerando un conocimiento exacto en el valor de los parámetros, después de incertidumbre del 10% y al final una incertidumbre del 25%. En todos los casos, la señal a seguir es una señal escalón.

Prueba C. Para esta prueba primero se considera que la incertidumbre existe sólo en el valor de las masas de los eslabones y después la incertidumbre solamente se encuentra solo en el valor de las inercias. La señal a seguir es una señal escalón.

Prueba D. En el desarrollo de esta prueba, se realizan cambios en la masa de carga. Primero se duplica el valor de la masa de carga y después se elimina la misma. Para las pruebas, se tiene como objetivo el seguir una señal escalón.

7.2. Resultados de las pruebas

7.2.1. Resultados para el robot SCORBOT ER-V+

7.2.1.1. Resultados del primer conjunto de pruebas. Prueba 1 Como se detalló en la sección anterior, para esta prueba se sigue una señal escalón, considerando que se tiene un conocimiento exacto en el valor que presentan los parámetros del robot manipulador. La tabla 7.1 muestra los valores de los índices de desempeño presentados por los controladores.

Tabla 7.1. Índices de desempeño presentados por cada controlador en la prueba 1


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Controlador \ Índice IAE ITAE ISE CE PD por dinámica inversa 2.1036 1.13049 1.3808 52.3863 Robusto de posición 2.2599 1.26814 1.4933 53.8039 Adaptable de posición 3.2856 2.6898 2.1689 68.5234 PID de posición 1.9317 2.2972 0.8901 48.7936 PD de seguimiento 1.5754 0.6819 0.9260 50.0339 Robusto de seguimiento 1.0412 0.2553 0.6854 50.6892 Adaptable de seguimiento 1.0469 0.6819 0.4901 147.3780 PID de seguimiento 1.5662 1.9412 0.6028 73.0585

En la figura 7.1 se observa que el controlador adaptable de posición presenta la peor

respuesta debido al retraso de tiempo que presenta la señal, en cambio el controlador de seguimiento robusto presenta la mejor respuesta, tomando en cuenta que presenta el mejor tiempo de establecimiento sin tener un sobretiro.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (s)

θ 2 (

rad)

Coordenada articular 2

qd

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS

Figura 7.1. Coordenada articular presentada por los controladores en la prueba 1

A partir de los datos mostrados en la tabla 7.1 se ve que el controlador de posición

adaptable es el controlador más ineficiente pues presenta el esfuerzo de control más elevado presentando el peor funcionamiento (índices de error más elevados). De forma global se ve que los controladores de seguimiento presentan una mejor respuesta. Se destaca el controlador de posición PID pues realiza el menor esfuerzo de control y sus índices de error no son de los más elevados. El controlador que presenta la mejor respuesta entre los ocho controladores es el controlador robusto de seguimiento.


- 82 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

θ 2´

(rad

/s)

Velocidad articular 2

q´dPDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS

Figura 7.2. Velocidad articular presentada por los controladores en la prueba 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Tiempo (s)

τ 2 (

Nm

)

τ articular 2

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS

Figura 7.3. Par articular presentado por los controladores en la prueba 1

En la figura 7.2 se observa que el controlador que presenta el impulso más grande es el

controlador adaptable de seguimiento de trayectoria, el controlador adaptable de movimiento presenta la señal con un tiempo de asentamiento más elevado.

En la figura 7.3 claramente podemos ver que el controlador adaptable de seguimiento

de trayectoria presenta el esfuerzo de control más elevado. Todos los controladores mantienen un esfuerzo de control bajo al encontrarse en el estado estable.


- 83 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (s)

q tilde

(ra

d)

Error de posición articular 2

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS

Figura 7.4. Error de posición presentado por los controladores en la prueba 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Tiempo (s)

q´til

de (

rad/

s)

Error de velocidad articular 2

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS

Figura 7.5. Error de velocidad presentado por los controladores en la prueba 1

En las figura 7.4 se observa que el controlador adaptable de movimiento presenta el

error más elevado y en la figura 7.5, como era de esperarse el controlador adaptable de seguimiento de trayectoria presenta el error de velocidad más elevado.


- 84 -

Prueba 2 La tabla siguiente nos muestra los valores de los índices de desempeño presentados por cada controlador durante la prueba 2.

Tabla 7.2. Índices de desempeño presentados por cada controlador en la prueba 2 Controlador \ Índice IAE ITAE ISE CE

PD por dinámica inversa 0.0984 0.0568 0.0033 1625.1292 Robusto de posición 0.1061 0.0634 0.0036 1624.9580 Adaptable de posición 0.1665 0.1760 0.0053 1622.9667 PID de posición 6.2028 17.1395 5.7373 1861.0778 PD de seguimiento 0.0746 0.0372 0.0022 1625.5795 Robusto de seguimiento 0.0516 0.0155 0.0018 1633.2945 Adaptable de seguimiento 0.0465 0.0134 0.0015 1625.1147 PID de seguimiento 1.6269 4.3309 0.3740 1729.3045

En la figura 7.6 vemos que los controladores PID para el control de posición y el

control de seguimiento de trayectoria presentan la peor respuesta, en cambio todos los demás controladores presentan una respuesta muy similar y cercana a la referencia.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

θ 2 (

rad)


qd

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


Los datos en la tabla 7.2 confirman lo que se ve en la gráfica, los controladores PID

(de posición y de seguimiento de trayectoria), los demás controladores presentan índices de error muy pequeños, destacándose los controladores adaptable y robusto de seguimiento. El menor esfuerzo de control lo presenta el control PD por dinámica inversa y el mejor desempeño global lo presenta el controlador PD de seguimiento.

En la figura 7.7, se nota fácilmente que el controlador que presenta una velocidad

mucho más lejana que la deseada es el controlador PID de posición, seguido por el controlar PID de seguimiento de trayectoria.


- 85 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Tiempo (s)

θ 2´

(rad

/s)


q´dPDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


En la figura 7.8 se ve que todos los controladores generan señales de control muy

similares, es de destacar que el controlador PID de posición presenta un retraso considerable, comparándolo con los demás controladores.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-30

-20

-10

0

10

20

30

Tiempo (s)

τ 2 (

Nm

)

τ articular 2

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


Las gráficas 7.9 y 7.10 muestran los errores de posición y velocidad

respectivamente. En ambas figuras se observa que los controladores PID (de posición y de seguimiento de trayectoria) son los que presentan los errores más grandes.


- 86 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (s)

q tilde

(ra

d)


PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo (s)

q´til

de (

rad/

s)


PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


Prueba 3 Esta prueba es similar a la prueba uno al buscar alcanzar una posición constante, pero para esta prueba se considera una incertidumbre del 25% en el valor de los parámetros. La figura 7.9 nos muestra la evolución de la coordenada articular 2, a partir de la operación bajo cada uno de los controladores. La tabla 7.3 nos muestra los valores de los índices de desempeño para cada controlador.


- 87 -

Tabla 7.3. Índices de desempeño presentados por cada controlador la prueba 3 Controlador \ Índice IAE ITAE ISE CE


A partir de los datos que se muestran en la tabla anterior se observa claramente que

los controladores robusto y adaptable de seguimiento de trayectoria son los que presentan un error más pequeño. Además, el controlador adaptable de seguimiento de trayectoria es el controlador que presenta el menor esfuerzo de control.

En la figura 7.11 se observa que los controladores PID y adaptable de posición son

los que tienen la respuesta más retardada ante la entrada escalón. Además se ve que los controladores PD y robusto de posición son los que se pierden mucho.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (s)

θ 2 (

rad)


qd

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


En la figura 7.12, se puede ver que el controlador PD de posición tiene el impulso más elevado aunque estabiliza mucho más rápido la velocidad. Los controladores robusto y adaptable de posición son los controladores que presentan las oscilaciones en la velocidad articular.


- 88 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Tiempo (s)

θ 2´

(rad

/s)


q´dPDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


En la figura siguiente se ve que los controladores robusto y adaptable de

seguimiento de trayectoria tienen los pares de control con un impulso inicial más elevado, sin embargo ambos controladores tienen pares de control muy pequeños en estado estable.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-40

-20

0

20

40

60

80

100

Tiempo (s)

τ 2 (

Nm

)

τ articular 2

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


En la figura siguiente se confirma lo que se mostró en la figura 7.11 que el

controlador con el error de posición más pequeño es el controlador robusto de seguimiento de trayectoria. Sin embargo, los controladores adaptable y PID de seguimiento de


- 89 -

trayectoria presentan errores pequeños con tiempos de establecimiento más elevados en comparación con el controlador robusto anteriormente mencionado.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (s)

q tilde

(ra

d)


PDP

RPAP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


En la figura 7.15 vemos que los controladores robusto y adaptable de seguimiento

de trayectoria presentan los menores tiempos de establecimiento a cambio de tener los impulsos más elevados. El controlador adaptable de posición presenta la peor respuesta en la velocidad articular.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Tiempo (s)

q´til

de (

rad/

s)


PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS



- 90 -

Prueba 4 Como se detalló anteriormente esta prueba consiste en seguir una posición deseada variante en el tiempo y se consideró una incertidumbre de 25% en el valor de los parámetros. La tabla 7.4 muestra los valores de los índices de desempeño presentados por cada controlador durante la prueba 4.

Tabla 7.4. Índices de desempeño presentados por cada controlador en la prueba 4

Controlador \ Índice IAE ITAE ISE CE PD por dinámica inversa 10.9896 28.7784 18.3306 1591.1821 Robusto de posición 12.5721 32.9004 22.4274 1584.4939 Adaptable de posición 17.4917 53.3577 42.1542 1168.0896 PID de posición 8.2381 22.9578 10.2035 3174.8750 PD de seguimiento 1.9174 4.9479 0.5147 2526.7905 Robusto de seguimiento 0.0398 0.0146 0.0014 5957.7290 Adaptable de seguimiento 0.0666 0.0390 0.0021 2889.0795 PID de seguimiento 2.1667 5.7921 0.6716 3077.9425

Analizando los datos mostrados en la tabla 7.4 se observa que todos los

controladores de posición presentan errores bastante elevados. Los controladores de seguimiento de trayectoria presentan índices de error más pequeños. Se destaca el controlador adaptable de seguimiento de trayectoria pues presenta índices de error muy pequeños con un esfuerzo de control de mediana magnitud.

En la siguiente figura, se puede observar la evolución que presenta la coordenada

articular número 2, se confirman las observaciones que se presentan en la tabla 7.4, los controladores con un mejor seguimiento de la posición son los controladores robusto y adaptable de seguimiento de trayectoria.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

θ 2 (

rad)


qd

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


En la figura 7.17 se muestra el comportamiento que presenta la velocidad articular,

sal igual que en la figura 7.16, se ve que los controladores que presentan una mejor


- 91 -

respuesta en el seguimiento de la velocidad, son los controladores de seguimiento de trayectoria. Esta situación se presenta debido al objetivo de control con el cual fue diseñado cada controlador.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Tiempo (s)

θ 2´

(rad

/s)


q´dPDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


En la siguiente figura, se muestran los pares de control de los controladores son muy

similares. Se destaca la forma del par de control del controlador robusto de seguimiento de trayectoria el cual presenta oscilaciones elevadas a lo largo del tiempo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Tiempo (s)

τ 2 (

Nm

)

τ articular 2

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS



- 92 -

En las figuras siguientes se confirma lo que se mostró en las figuras 7.16 y 7.17, los controladores que se pueden sobreponer al incremento en la incertidumbre en los parámetros, son los controladores adaptable y robusto de seguimiento de trayectoria, los cuales logran el seguimiento de la posición y velocidad deseadas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

q tilde

(ra

d)Error de posición articular 2

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo (s)

q´til

de (

rad/

s)


PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


A lo largo de las pruebas vemos que los controladores de seguimiento presentan una

mejor respuesta a las dos posiciones deseadas (escalón unitario y posición variante en el tiempo). El controlador que mejor responde al cambio en los parámetros el controlador


- 93 -

adaptable de seguimiento, pues sus índices de error son pequeños y realiza el menor esfuerzo de control.

7.2.1.2. Resultados del segundo conjunto de pruebas. Los resultados de estas pruebas se muestran en un conjunto de gráficas que

contienen la relación que guardan los valores de los índices de desempeño para el caso de prueba y los valores de los índices de desempeño para el caso nominal. Prueba A.

En esta prueba se realizan cambios en la trayectoria a seguir. El caso nominal es el seguimiento de una señal escalón y se considera un conocimiento perfecto del valor de los parámetros. Las señales a seguir durante esta prueba se muestran en el apéndice E.

Escalon Senoidal Polinomial Kelly LSPB0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Índice IAE

Por

cent

aje

(%/1

00)

SeñalEscalon Senoidal Polinomial Kelly LSPB

0

2

4

6

8

10

Índice ITAE

Por

cent

aje

(%/1

00)

Señal


2

4

6

8

10Índice ISE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

5

10

15

20

25

30

35

40Índice CE

Por

cent

aje

(%/1

00)

Señal

PDp

RpAp

PIDp

PDs

RsAs

PIDs

Figura 7.21. Relación de cambio en los valores de los índices de desempeño presentados por los

controladores en la prueba A En la figura anterior se observa que el controlador adaptable de seguimiento de

trayectoria presenta el mejor comportamiento en los valores de los índices de error, sin embargo, para una señal polinomial presenta un elevado esfuerzo de control.

Al variar las señales de referencia a seguir, y en función a los cambios que existen

en los índices de error se observa que la señal polinomial, es la señal que más se les complica a los controladores. A partir de los cambios en el índice CE se ve que la señal de Kelly requiere un esfuerzo de control más elevado para poder seguirla.


- 94 -

Prueba B. En esta prueba se realizan cambios en el nivel de la incertidumbre para probar como

se modifica la respuesta de los controladores. Esta prueba tiene como objetivo observar que controlador tiene la posibilidad de ser robusto a los cambios en los parámetros del robot manipulador.

En la figura 7.22 se observa que los controladores PD, robusto y adaptable de posición no pueden mantener una buena respuesta a la salida del sistema. Además, el incrementar la incertidumbre en el valor de los parámetros del sistema, el índice del esfuerzo de control que realizan los controladores se incrementa demasiado.

En ésta prueba se destacan los controladores adaptable y PID de seguimiento de

trayectoria, pues en base al comportamiento de los índices de error ambos pueden manejar el incremento en el nivel de incertidumbre en el valor de los parámetros.

0% 10% 25%0

1

2

3

4

5

6Índice IAE

Por

cent

aje

(%/1

00)

Prcentaje de incertidumbre0% 10% 25%

0

5

10

15

20

25

Índice ITAE

Por

cent

aje

(%/1

00)

Prcentaje de incertidumbre

0% 10% 25%0

2

4

6

8

10

12

Índice ISE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

100

200

300

400

500

600

700


Por

cent

aje

(%/1

00)

Índice CE

PDp

Rp

Ap

PIDp

PDs

Rs

As

PIDs


controladores en la prueba B

Prueba C. En esta prueba se realizan cambios en la ubicación de la incertidumbre, con el fin de

distinguir que conjunto de parámetros tiene un mayor efecto en el comportamiento del sistema. Los parámetros están divididos en el conjunto de masas y el conjunto de inercias. En ambos conjuntos se maneja un nivel de incertidumbre del 25%. Como en las pruebas anteriores, se compara el comportamiento de cada caso contra el caso de prueba nominal.


- 95 -

En la figura 7.23 se ve claramente que es mucho mayor el efecto de las masas en

comparación con el efecto de las inercias, esto nos indica que cuando se diseñe un controlador se debe de tratar de conocer lo más exacto posible las masas de cada uno de los eslabones del sistema.

0% Masas Inercias0

1

2

3

4

5

6Índice IAE

Por

cent

aje

(%/1

00)

Ubicación de la Incertidumbre0% Masas Inercias

0

5

10

15

20

25

Índice ITAE

Por

cent

aje

(%/1

00)

Ubicación de la Incertidumbre

0% Masas Inercias0

2

4

6

8

10

12

Índice ISE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

2

4

6

8

10


Por

cent

aje

(%/1

00)

Índice CE

PDp

RpAp

PIDp

PDs

RsAs

PIDs


controladores en la prueba C Prueba D.

Para esta prueba, se realizan cambios en la masa de carga. Esta prueba surge a partir del uso del robot manipulador para el transporte de piezas, donde su masa de carga va a estar variando constantemente hasta el grado de llegar a desaparecer.

En esta prueba se compara la respuesta del controlador en el caso nominal con el

caso donde se duplica el valor de la masa de carga y el caso donde se elimina la masa de carga.

En la figura 7.24 se observa que es mayor el efecto de duplicar la carga que el efecto

de eliminar la carga. Para algunos controladores es benéfico y se tiene un mejor control del sistema. Los controladores que se ven gravemente afectados por los cambios en la masa de carga son los controladores PD, robusto y adaptable de seguimiento de trayectoria.

A partir de la revisión de la evolución del conjunto de índices de desempeño se llega

a la conclusión que los controladores PID y adaptable de seguimiento presentan el mejor comportamiento a lo largo de la prueba.


- 96 -

Nominal Duplicada Sin Carga0

1

2

3

4

5

6Índice IAE

Por

cent

aje

(%/1

00)

CargaNominal Duplicada Sin Carga

0

5

10

15

20

Índice ITAE

Por

cent

aje

(%/1

00)

Carga


2

4

6

8

10

Índice ISE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Carga

Por

cent

aje

(%/1

00)

Índice CE

PDp

RpAp

PIDp

PDs

RsAs

PIDs


controladores en la prueba D

7.2. Análisis de los controladores. A lo largo de las pruebas se ve claramente que el controlador que presenta el mejor

desempeño es el controlador de adaptable de seguimiento de trayectoria, pues presenta los índices de error pequeños con los esfuerzos de control del rango de los más pequeños.

El controlador PID de seguimiento de trayectoria presenta la propiedad de robustez

ante los cambios en los valores de los parámetros, sacrificando un poco el consumo de esfuerzos de control de mediano tamaño.

El controlador robusto de seguimiento de trayectoria presenta en varias ocasiones

los índices de error más pequeños, sin embargo, presenta los esfuerzos de control más elevados en la mayoría de las pruebas.


- 97 -

Capítulo 8

Conclusiones y comentarios

En este capítulo se presentan las conclusiones y comentarios finales del presente proyecto de investigación, se desarrollan las conclusiones de una forma particular, y a final se muestra una conclusión global del proyecto.

En un comienzo se parte de las aportaciones y los trabajos que se proponen para

realizar a futuro y complementan el proyecto de investigación y se termina con las conclusiones del proyecto de investigación.

8.1. Aportaciones A continuación se listan las principales aportaciones de este tema de investigación:

Se determinaron de las características de operación que presenta un robot rígido de

3 gdl con articulaciones giratorias al ser controlado con las metodologías de control adaptable, robusto y “clásico”, otorgando los fundamentos teóricos para seleccionar un controlador a ser llevado a la práctica.

Capítulo 8. Conclusiones y comentarios

- 98 -

Se van a poder utilizar los modelos creados en SIMULINK® para probar otros controladores, pues dichos modelos van a ser generales con la capacidad de cambiar sus parámetros.

Se obtuvieron los momentos de inercia para cada uno de los eslabones del robot

SCORBOT ER-V+, así como la ubicación del centro de masa para cada eslabón. Se muestra una guía para realizar el diseño de un controlador no lineal por medio de

la metodología de Lyapunov.

8.2. Conclusiones Las conclusiones que se obtienen del proyecto de investigación son las siguientes: 1. Modelado Cinemático.

a. La utilidad del modelado cinemático radica en la conversión de un sistema cartesiano a un sistema articular, puesto que las tareas que se realizan con el robot manipulador son especificadas dentro de un sistema cartesiano y el diseño de los controladores aquí presentado se realiza con un espacio articular.

b. El uso de las matrices de transformación y los parámetros de Denavit-

Hartenberg para la implementación del modelo de simulación de la cinemática directa, permite que el modelo sea general y se pueda aplicar para un robot de n gdl, sin importar la configuración que presente.

c. Para la solución del problema cinemático inverso en robots

manipuladores de 3 gdl, el método geométrico presenta una excelente opción, debido a que en cadenas cinemáticas de pocos eslabones las relaciones geométricas son fáciles de analizar.

2. Modelado Dinámico.

a. Ante la variedad de metodologías para el desarrollo de un modelo dinámico de robots, la elección de una metodología en especial radica en la complejidad del procedimiento a realizar, puesto que las representaciones son equivalentes. La metodología de Euler-Lagrange es la más utilizada debido a su sencillez, al gran conocimiento que se tiene de esta metodología y a la representación dinámica obtenida, la cual es de utilidad puesto que presenta propiedades útiles para el diseño de controladores por medio de la metodología de Lyapunov.

b. El desarrollo del modelo dinámico de un robot manipulador que cuenta

con 3 o más gdl y que no cuente con una configuración planar, por medio de la metodología de Newton-Euler, presenta una gran complejidad debido a la evaluación de las operaciones de las matrices simbólicas.


- 99 -

c. El modelo obtenido por la metodología de Newton-Euler es el que menos costo computacional tiene para su evaluación.

d. Para el desarrollo del modelo dinámico de un robot manipulador por

medio de la metodología de Hamilton no es necesario que se obtenga el Lagrangiano del sistema como un primer paso. Solamente se requiere que se obtenga la matriz de inercias, la cual se encuentra en la expresión de la energía cinética del robot manipulador.

e. El modelo dinámico obtenido por medio de la metodología de Hamilton,

es de menor orden en comparación con el modelo dinámico obtenido por medio de la metodología de Euler-Lagrange, sin embargo, la extensión de sus expresiones es mucho mayor, lo que complica su evaluación.

f. La simulación del modelo dinámico obtenido por medio de la

metodología de Euler-Lagrange cerrada presenta una mayor exactitud que el obtenido por la metodología de Euler-Lagrange iterativa, además de una mayor velocidad en la evaluación.

g. El modelo de simulación dinámica del robot SCORBOT ER-V+

desarrollado durante el presente proyecto de investigación sirve para simular cualquier robot angular que cuente con sus centros de masa en el eje central del eslabón.

3. Diseño de controladores a. Las técnicas de diseño y rediseño de controladores de Lyapunov

presentan una opción fácil de entender y desarrollar, los conceptos son claros y sencillos.

b. En el área de robótica las funciones cuadráticas presentan una gran

utilidad en la aplicación de las técnicas Lyapunov.

c. Los controladores obtenidos por las técnicas de Lyapunov presentan un amplio margen en la selección de las constantes del controlador, lo que complica un poco la sintonización del mismo, para la sintonización se pueden utilizar técnicas de optimización para encontrar el conjunto de constantes para la estructura del controlador.

d. Los procedimientos de diseño de controladores aquí presentados son

aplicables a modelos dinámicos obtenidos por la metodología de Euler-Lagrange, no exclusivamente para el diseño de controladores de robots.

e. Las ecuaciones cuadráticas representan una buena opción a fungir como

ecuación de Lyapunov debido a que durante el diseño de los controladores se pueden utilizar las propiedades del modelo dinámico del robot manipulador y así facilitar el procedimiento de diseño.


- 100 -

f. El procedimiento de diseño del controlador nos sirve como base para

poder determinar el acotamiento que presentan las señales del sistema.

g. Se presentó un procedimiento sistemático para el diseño de los controladores, el cual puede ser seguido para el diseño de controladores de sistemas Euler-Lagrange por medio de la metodología de Lyapunov.

h. Los algoritmos genéticos representan una opción genérica para la

sintonización de los controladores debido a que no requieren que se les especifique la naturaleza de las señales con las cuales se está trabajando.

i. Debido a las herramientas computacionales se facilita la sintonización de

los controladores diseñados por medio de la metodología de Lyapunov, ya sea por métodos de tanteo o por medios de optimización.

j. Los algoritmos genéticos pueden llegar a ser implementados como un

método de sintonización en línea, y así obtener el funcionamiento óptimo del sistema.

4. Respuesta de los controladores a. Los controladores de posición son mucho más sensibles a los cambios de

los parámetros del sistema en comparación con los controladores de seguimiento de trayectoria.

b. Es mucho más crítico el conocer los valores exactos de las masas de los

eslabones que los valores de los momentos de inercia de los eslabones.

c. El implementar una tarea de transporte de piezas por unidad no afecta (en forma global) al controlador, solamente se requiere diseñar el controlador pensando en el caso de la carga máxima a transportar.

d. Con base en las prestaciones (errores y esfuerzos de control) que

presenta el controlador adaptable de seguimiento, éste se vuelve la opción a implementar para una aplicación que exija la mayor precisión.

e. El controlador PID de seguimiento de trayectoria presenta un

comportamiento de robustez ante los cambios en el parámetro del sistema.

5. Resultados del Proyecto de Investigación

Se superaron con creces las expectativas formadas al comienzo de este proyecto de investigación. Los resultados se pueden enumerar así:

1. Se obtuvieron los modelos cinemáticos de los robots manipuladores.


- 101 -

2. Se desarrollaron los modelos dinámicos de los robots manipuladores. 3. Se diseñaron 4 controladores con el objetivo de control de posición. 4. Se diseñaron 4 controladores con el objetivo de control de seguimiento

de trayectoria. 5. Se aplicaron los algoritmos genéticos para la sintonización de los

controladores 6. Se desarrollaron modelos de simulación generales, donde fácilmente

pueden ser cambiados los parámetros del sistema. 7. Se realizó un análisis comparativo entre las metodologías de control

clásica, adaptable y robusto. 8. Se escribieron dos artículos: “Control de seguimiento de robots

manipuladores: un estudio comparativo” y “Modelado del robot SCORBOT ER-V+”. Éste último se presentó en el congreso AMCA 2006.

8.3. Trabajos a futuro A continuación se enlistan los trabajos que se proponen para ser realizados a futuro: 1. Validación de los modelos dinámicos respecto a los robots reales. 2. Evaluación práctica de los controladores. 3. Integración del control de posición y orientación en un solo objetivo.

4. Probar otros medios de sintonización.

5. La evaluación de técnicas de control que incluyan el aprendizaje.

6. Análisis de requerimientos específicos de hardware para la implementación de

los controladores.

7. Desarrollar un programa que pueda llevar a cabo la sintonización de la totalidad del conjunto de variables de los controladores adaptables.

8. Implementar la sintonización en línea de los controladores por medio de

algoritmos genéticos, aplicado a un robot manipulador. 9. Análisis de sistemas de control inteligente


- 102 -

Hoja en Blanco


- 103 -

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un robot manipulador articulado”, Coordinación de Mecatrónica, CENIDET, México, Junio del 2003.

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Octubre del 2005. [Bäck 1991] Bäck, T. and F. Hoffmeister, “Global Optimization by Means of

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- 104 -

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linear Robust Controllers for robot manipulators-a comparative study”, Proceedings of the IEEE International Symposium on Industrial Electronics, Atenas, Grecia, Julio de 1995

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adaptive control with new robust adaptive controllers for robot manipulators,” Proceedings of the 33rd Conference on Decision and Control, pp. 1290-1295,1994.


- 105 -

Apéndice A

Características de los robots manipuladores

En este apéndice se muestran las características de los robots manipuladores que son objeto de estudio de éste proyecto de investigación, como lo son: los valores de los parámetros del robot manipulador, el espacio de trabajo y forma de programación.

A.1. Robot SCORBOT ER-V+ El robot SCORBOT ER-V+ es un robot comercial fabricado por ESHED

ROBOTEC, una marca de fabricación de sistemas de automatización industrial. Las principales características de éste robot manipulador son las siguientes:

• Programación rígida. La programación de los movimientos de este robot se realiza por el lenguaje ACL. Este lenguaje sólo permite implementar un controlador con la estructura PID.

• Aplicación en la celda de manufactura. La principal aplicación de este robot se encuentra en las celdas de manufactura integrada por computadora (CIM) y los sistemas de manufactura flexible (FMS).

Apéndice A. Características de los robots manipuladores

- 106 -

• Parámetros estimados. No se cuenta con los valores de diseño de los parámetros estructurales del robot manipulador, para conocer su valor se realizó un trabajo de caracterización, el detalle se encuentra en [Abdala 2003].

• Requiere del diseño de la interfaz de control. El robot cuenta con un sistema de control rígido, que cuenta con el sistema de programación ACL. Con estas características no se puede implementar diferentes esquemas de control o un seguimiento de un conjunto mayor de posiciones deseadas.

Figura A.1. Robot SCORBOT ER-V + [Abdala 2003]

El robot SCORBOT ER-V+ cuenta con los siguientes parámetros físicos:

• Masa de la base (eslabón 1) = 7.1402 kg • Masa del brazo (eslabón 2) = 2.2483 kg • Masa del antebrazo (eslabón 3) = 0.9888 kg • Altura de la base = 36.4 cm • Longitud del brazo = 22 cm • Longitud del antebrazo = 22 cm • Momento de inercia de la base = 0.04624 kg*m2 • Momento de inercia del brazo = 0.025495 kg*m2 • Momento de inercia del antebrazo = 0.03616 kg*m2 • Distancia entre el centro de masa del eslabón 1 y su eje de giro= 0 cm • Distancia entre el centro de masa del eslabón 2 y su eje de giro= 5.2 cm • Distancia entre el centro de masa del eslabón 3 y su eje de giro= 13.76 cm

El espacio de trabajo del robot manipulador se muestra en la figura A.2.


- 107 -

a) Vista Superior b) Vista Lateral Figura A.2. Espacio de trabajo del robot manipulador SCORBOT ER-V + [Abdala 2003]

A.2. Robot PUMA El robot PUMA fue construido por dos alumnos del CENIDET, el objetivo de este

robot es fungir como plataforma de prueba de la metodología de control denominada núcleo híbrido de transición de estados (NHTE). Este robot cuenta con las siguientes características:

• Interfaz de conexión. Cada articulación cuenta con una tarjeta de control

independiente, la cual establece una comunicación con la computadora por medio del puerto paralelo.

• Flexibilidad de programación. El sistema se encuentra trabajando con un programa desarrollado en lenguaje C, sin embargo, el programa de control puede ser elaborado con cualquier lenguaje de programación que tenga la capacidad de acceder al puerto paralelo de la computadora.

• Diseñado para el análisis del NHTE. El objetivo principal es fungir como plataforma de pruebas de la metodología de control NHTE. En este momento sólo se pueden probar controles con el objetivo de seguir una posición deseada.

En la figura A.3 se muestra al robot PUMA. El robot PUMA cuenta con los

siguientes parámetros estructurales:

• Masa del eslabón 1=2.010 kg • Masa del eslabón 2=2.450 kg • Masa del eslabón 3=0.675 kg • Longitud del eslabón 1 = 35 cm • Longitud del eslabón 2 =15 cm • Longitud del eslabón 3 =15 cm • Distancia entre el centro de masa del eslabón 1 y su eje de giro= 0.3 cm • Distancia entre el centro de masa del eslabón 2 y su eje de giro= 2.4 cm • Distancia entre el centro de masa del eslabón 3 y su eje de giro= 3.4 cm

Apéndice A. Características de los robots manipuladores

- 108 -

• Momento de inercia del eslabón 1 = 1.13x10-3 kgm2 • Momento de inercia del eslabón 2 = 20.48x10-3 kgm2 • Momento de inercia del eslabón 3 = 2.02x10-3 kgm2 • Ángulo para la ubicación del centro de masa 2 respecto a q2 en el plano

xy=0.3938 rad

Figura A.3. Robot PUMA[Jiménez 2005]

La siguiente figura muestra el espacio de trabajo del robot PUMA:

a) Vista Superior b) Vista Lateral

Figura A.4. Espacio de trabajo del robot manipulador PUMA [Jiménez 2005]


- 109 -

Apéndice B

Algoritmo de Denavit-Hartenberg

Este algoritmo se usa para obtener los parámetros que definen la transformaciones de sistemas de regencia que existen a lo largo de una cadena cinemática. El algoritmo de Denavit-Hartenberg de 14 pasos, los cuales son:

1. Numerar los eslabones comenzando por 1 (para el primer eslabón móvil) y acabando en n (para el eslabón final de la cadena cinemática). Se asigna el número 0 a la base.

2. Numerar cada articulación comenzando por 1 (correspondiendo al 1er grado de libertad) y terminando en n.

3. Localizar el eje de cada articulación. Si es rotativa el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.

4. Para i de 0 a n-1 situar el eje iz sobre el eje de la articulación i+1. 5. Situar el origen del sistema de la base { }oS en cualquier punto del eje oz . Los ejes

ox y oy se situarán formando un sistema dextrógiro con oz .

Apéndice B. Algoritmo de Denavit-Hartenberg

- 110 -

6. Para i de 1 a n-1, situar el sistema { }iS en la intersección del eje iz con la línea normal común a 1iz − y iz . Si ambos se cortasen se situaría { }iS en el punto de corte. Si fuesen paralelos { }iS se situaría en la articulación i+1.

7. Situar ix en la línea normal común a 1iz − y iz . 8. Situar iy de modo que forme un sistema dextrógiro con ix y iz . 9. Situar el sistema { }nS en el extremo del robot de modo que nz coincida con la

dirección de 1nz − y nx sea normal a 1nz − y nz . 10. Obtener iθ como el ángulo que hay que girar en torno a 1iz − para que 1ix − y ix

queden paralelos. 11. Obtener id como la distancia medida a lo largo de 1iz − que habría que desplazar

{ }1iS − para que 1ix − y ix quedasen alineados. 12. Obtener ia como la distancia medida a lo largo de ix que habría que desplazar el

nuevo { }1iS − para que su origen coincidiese con { }iS . 13. Obtener iα como el ángulo que haría que girar en torno a ix para que el nuevo { }1iS −

para que su origen coincidiese totalmente con { }iS .

En la siguiente figura se muestra los parámetros de Denavit-Hartenberg para una articulación rotatoria:

Figura B.1.- Parámetros de Denavit-Hartenberg para una articulación rotatoria [Barrientos 1999]


- 111 -

Apéndice C

Señales de referencia

En este apéndice se muestra el conjunto de señales (posiciones, velocidades y aceleraciones) que se utilizan como referencia para las pruebas que se aplican a los controladores.

C.1. Señal Escalón Esta señal se usa como prueba de una forma general cuando se analiza el desempeño

de los controladores. La amplitud de la señal es de un radian. La figura C.1 muestra la posición articular a seguir, la figura C.2 presenta la velocidad articular a seguir y la figura C.3 muestra la aceleración articular.

Apéndice C. Señales de referencia

- 112 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Posición articular de la señal Escalón

Tiempo (s)

Pos

ició

n (r

ad)

q1

q2

q3

Figura C.1.- Posición articular a seguir de la señal escalón

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Velocidad articular de la señal Escalón

Tiempo (s)

Vel

ocid

ad (

rad/

s)

q´1q´2q´3

Figura C.2.- Velocidad articular a seguir de la señal escalón


- 113 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Aceleración articular de la señal Escalón

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(ra

d/s2 )

q´´1q´´2q´´3

Figura C.3.- Aceleración articular a seguir de la señal escalón

C.2. Señal Senoidal La señales a seguir tienen las siguientes ecuaciones ( ) ( )senq t t= , ( ) ( )cosq t t= y

( ) ( )senq t t= − . La amplitud de la señal es de un radian. La figura C.4 muestra la posición articular a seguir, la figura C.5 presenta la velocidad articular a seguir y la figura C.6 muestra la aceleración articular.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Posición articular de la señal Senoidal

Tiempo (s)

Pos

ició

n (r

ad)

q1

q2

q3

Figura C.4.- Posición articular a seguir de la señal senoidal


- 114 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Velocidad articular de la señal Senoidal

Tiempo (s)

Vel

ocid

ad (

rad/

s)

q´1q´2q´3

Figura C.5.- Velocidad articular a seguir de la señal senoidal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Aceleración articular de la señal Senoidal

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(ra

d/s2 )

q´´1q´´2q´´3

Figura C.6.- Aceleración articular a seguir de la señal senoidal

C.3. Señal Polinomial Esta señal está basada en la señal de prueba de [Elric 1999]. Las señales a seguir

tienen las siguientes ecuaciones:

( )

2 3 4 5

2 3 4 5

2 3 4 5

4.01 1.75 1.01 0.202 0.01341.57 1.35 0.75 0.143 0.0091.57 1.35 0.75 0.143 0.009

t t t tq t t t t t

t t t t

⎡ ⎤− + − + −⎢ ⎥= + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + −⎣ ⎦


- 115 -

( )

2 3 4

2 3 4

2 3 4

3.5 3.03 0.808 0.0672.7 2.25 0.572 0.0452.7 2.25 0.572 0.045

t t t tq t t t t t

t t t t

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎣ ⎦

( )

2 3

2 3

2 3

3.5 6.06 2.424 0.2682.7 4.5 1.716 0.182.7 4.5 1.716 0.18

t t tq t t t t

t t t

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎣ ⎦

Las señales a seguir se muestran en las figuras C.10 (posición), C.11 (velocidad) y

C.12 (aceleración).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Posición articular de la señal Polinomial

Tiempo (s)

Pos

ició

n (r

ad)

q1

q2

q3

Figura C.7.- Posición articular a seguir de la señal polinomial

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Velocidad articular de la señal Polinomial

Tiempo (s)

Vel

ocid

ad (

rad/

s)

q´1q´2q´3

Figura C.8.- Velocidad articular a seguir de la señal polinomial


- 116 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2

-1

0

1

2

3

4

5Aceleración articular de la señal Polinomial

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(ra

d/s2 )

q´´1q´´2q´´3

Figura C.9.- Aceleración articular a seguir de la señal polinomial

C.4. Señal Compuesta Ésta señal está basada en la señal de prueba de [Kelly 2003]. Las señales a seguir

tienen las siguientes ecuaciones:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3

3 3

3 3

2 2

1.8 1.8

1.8 1.8

1 1 1545 4 18

251 1 590 3 36

251 1 590 3 36

t t

t t

t t

e e sen t

q t e e sen t

e e sen t

π π π

π π π

π π π

− −

− −

− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

3 3 3

3 3 3

2 2 22 2

1.8 1.8 1.82 2

1.8 1.8 1.82 2

3 1 515 1 cos 152 3 6

9 15 1255 1 cos 55 4 369 15 1255 1 cos 55 4 36

t t t

t t t

t t t

e t e sen t t e t

q t e t e sen t t e t

e t e sen t t e t

π π π

π π π

π π π

− − −

− − −

− − −

⎡ ⎤⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥= + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠

⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥+ + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦


- 117 -

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 33

3 3

3 33

3 3

2 2 22 4 4 2

2 2

1.8 1.81.8 4 4 2

1.8 2

9 2 15 10 cos 15 3 ...2 2515 1 sin 153 2

243 81 755 cos 5 ...25 4 2

18 15 62555 2

t t tt

t t

t tt

t t

e t e sen t t t e t e t

e sen t t e t

e t e sen t t t e tq t

e t e sen t t

π π π π

π π

π π π

π π

− − −−

− −

− −−

− −

⎛ ⎞− − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

− − +=

+ + − ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

3 33

3 3 3

2

1.8 1.81.8 4 4 2

1.8 2 2

1 sin 536

243 81 755 cos 5 ...25 4 2

18 15 6255 1 sin 55 2 36

t

t tt

t t t

e t

e t e sen t t t e t

e t e sen t t e t

π

π π π

π π π

−

− −−

− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥

⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥−⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥− − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥

⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Posición articular de la señal Compuesta

Tiempo (s)

Pos

ició

n (r

ad)

q1

q2

q3

Figura C.13.- Posición articular a seguir de la señal compuesta


- 118 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-15

-10

-5

0

5

10

15Velocidad articular de la señal Compuesta

Tiempo (s)

Vel

ocid

ad (

rad/

s)

q´1q´2q´3

Figura C.14.- Velocidad articular a seguir de la señal compuesta

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-60

-40

-20

0

20

40

60Aceleración articular de la señal Compuesta

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(ra

d/s2 )

q´´1q´´2q´´3

Figura C.15.- Aceleración articular a seguir de la señal compuesta

C.5. Señal LSPB Por las características de velocidad y aceleración, ésta señal es implementada para

las aplicaciones de transporte de piezas. Las señales a seguir tienen las siguientes ecuaciones:


- 119 -

( )

20

0

22

1

1

sgn2

vsgn sgn v2

sgn2 2

aq t t

q t t Taq t

aT aq aTt t T t T

q t T

τ

τ τ

τ

⎧ + ≤⎪⎪⎪ − + < ≤ −⎪= ⎨⎪ ⎛ ⎞

+ + − − < ≤⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪

⎪ >⎩

( ) ( )v

v0

at tt T

q ta t T T t T

t T

ττ τ

τ τ

≤⎧⎪ < ≤ −⎪= ⎨ − − + − < ≤⎪⎪ >⎩

( )0

0

a tt T

q ta T t T

t T

ττ τ

τ

≤⎧⎪ < ≤ −⎪= ⎨− − < ≤⎪⎪ >⎩



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Posición articular de la señal LSPB

Tiempo (s)

Pos

ició

n (r

ad)

q1

q2

q3

Figura C.16.- Posición articular a seguir de la señal LSPB


- 120 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8Velocidad articular de la señal LSPB

Tiempo (s)

Vel

ocid

ad (

rad/

s)

q´1q´2q´3

Figura C.17.- Velocidad articular a seguir de la señal LSPB

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Aceleración articular de la señal LSPB

Tiempo (s)

Ace

lera

ción

(ra

d/s2 )

q´´1q´´2q´´3

Figura C.18.- Aceleración articular a seguir de la señal LSPB


- 121 -

Apéndice D

Resultados de las pruebas del robot PUMA

A continuación se muestran los resultados que se obtuvieron al realizar las pruebas de los controladores con el robot PUMA.

D.1. Resultados del primer conjunto de pruebas. Prueba 1

Las pruebas realizadas con el robot PUMA son idénticas a las realizadas en el robot SCORBOT ER-V+, buscando observar como se comportan el sistema en lazo cerrado con la integración de las no linealidades inherentes al robot PUMA. La tabla 7.5 muestra los valores de los índices de desempeño presentados por los controladores.

En la figura D.1 se observa que el controlador PID de seguimiento de trayectoria

presenta la peor respuesta debido al tiempo de establecimiento y al margen de error que presenta en la gráfica. La mejor respuesta la entregan los controladores robusto y adaptable de seguimiento de trayectoria.

Apéndice E. Resultados de las pruebas del robot PUMA

- 122 -

Tabla D.1. Índices de desempeño presentados por cada controlador en la prueba 1 Controlador \ Índice IAE ITAE ISE CE


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (s)

θ 2 (ra

d)


qd

PDPRP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS

Figura D.1. Coordenada articular presentada por los controladores en la prueba 1

A partir de los datos mostrados en la tabla D.1 se destaca que los controladores PD,

robusto y adaptable de seguimiento de trayectoria presentan los índices de error más pequeños. Además, el controlador PD de seguimiento de trayectoria presenta el esfuerzo de control más elevado. De forma global se ve que los controladores de seguimiento presentan una mejor respuesta.

En la figura D.2 se observa que el controlador que presenta el impulso más grande

es el controlador PID de seguimiento de trayectoria, el controlador adaptable de movimiento presenta la señal con un tiempo de asentamiento más elevado.

En la figura D.3 claramente se ve que el controlador robusto de seguimiento de

trayectoria presenta la reacción más rápida junto con el impulso más elevado.


- 123 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (s)

θ 2´ (r

ad/s

)


q´dPDP

RP

AP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS

Figura D.2. Velocidad articular presentada por los controladores en la prueba 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

τ 2 (N

m)

τ articular 2

PDP

RPAP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS

Figura D.3. Par articular presentado por los controladores en la prueba 1


- 124 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (s)

q tilde

(ra

d)


PDP

RPAP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS

Figura D.4. Error de posición presentado por los controladores en la prueba 1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Tiempo (s)

q´til

de (

rad/

s)


PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS

Figura D.5. Error de velocidad presentado por los controladores en la prueba 1

En las figura D.4 se observa que el controlador adaptable de movimiento presenta el

error más elevado y en la figura D.5, como era de esperarse el controlador PID de seguimiento de trayectoria presenta el error de velocidad más elevado.

Prueba 2 La tabla D.2 muestra los valores de los índices de desempeño presentados por cada controlador durante la prueba 2.


- 125 -



En la figura D.6 se ve que los controladores PID para el control de posición y el

control adaptable de movimiento presentan la peor respuesta, en cambio todos los demás controladores presentan una respuesta muy similar y cercana a la referencia.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2

-1

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

θ 2 (ra

d)


qd

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


Los datos en la tabla D.2 confirman lo que se ve en la gráfica, los controladores PID

de posición y adaptable de movimiento presentan el mayor error, los demás controladores presentan índices de error muy pequeños.

En la figura D.7, se nota fácilmente que el controlador que presenta una velocidad

mucho más lejana que la deseada es el controlador PID de posición. En la figura D.8 se ve que todos los controladores generan señales de control muy

similares en la forma de la señal, la señal del controlador adaptable de movimiento es la que más se aleja del conjunto de pares de control de los demás controladores.


- 126 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Tiempo (s)

θ 2´ (r

ad/s

)


q´dPDPR

P

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

τ 2 (N

m)

τ articular 2

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


Las gráficas D.9 y D.10 muestran los errores de posición y velocidad

respectivamente. En ambas figuras se observa que los controladores PID de posición y adaptable de movimiento son los que presentan los errores más grandes.


- 127 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

q tilde

(ra

d)


PDP

RPAP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Tiempo (s)

q´til

de (

rad/

s)


PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


Prueba 3 La figura D.11 muestra la evolución de la coordenada articular 2, a partir de la operación bajo cada uno de los controladores. La tabla D.3 nos muestra los valores de los índices de desempeño para cada controlador.


- 128 -

Tabla D.3 Índices de desempeño presentados por cada controlador la prueba 3 Controlador \ Índice IAE ITAE ISE CE


A partir de los datos que se muestran en la tabla anterior se observa claramente que

los controladores robusto y adaptable de seguimiento de trayectoria son los que presentan un error más pequeño. Además, el controlador adaptable de seguimiento de trayectoria es el controlador que presenta el menor esfuerzo de control.

En la figura D.11 se observa que los controladores de posición son los que presentan

la peor respuesta.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo (s)

θ 2 (ra

d)


qd

PDPRP

AP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


En la figura D.12, se puede ver que el controlador PD de posición y el controlador robusto de movimiento tienen un impulso más pequeño.


- 129 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Tiempo (s)

θ 2´ (r

ad/s

)


q´dPDPRP

AP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


En la figura D.13 se ve que los controladores robusto y PID de seguimiento de

trayectoria tienen los pares de control con un impulso inicial más elevado, sin embargo ambos controladores tienen pares de control muy pequeños en estado estable.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

0

5

10

15

20

25

30

Tiempo (s)

τ 2 (N

m)

τ articular 2

PDP

RPAP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


En la figura siguiente se confirma lo que se mostró en la figura D.14, el controlador

con el error de posición más pequeño es el controlador adaptable de seguimiento de trayectoria.


- 130 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (s)

q tilde

(ra

d)


PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


En la figura D.15 vemos que los controladores PD y robusto de movimiento

presentan los menores impulsos. Los tiempos de establecimiento más grandes los presentan los controladores PID y adaptable de seguimiento de trayectoria.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Tiempo (s)

q´til

de (

rad/

s)


PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


Prueba 4 La tabla D.4 muestra los valores de los índices de desempeño presentados por cada controlador durante la prueba 4.


- 131 -



Analizando los datos mostrados en la tabla D.4 se observa que todos los

controladores de posición presentan errores bastante elevados, donde el controlador adaptable de posición presenta el mayor error durante la prueba. El controlador adaptable de seguimiento presenta el esfuerzo de control más pequeño.

En la figura D.16, se puede observar la evolución que presenta la coordenada

articular número 2, se confirman las observaciones que se presentan en la tabla D.4, los controladores con un mejor seguimiento de la posición son los controladores robusto, PID y adaptable de seguimiento de trayectoria.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Tiempo (s)

θ 2 (ra

d)


qd

PDPRP

AP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


En la figura D.17 se muestra el comportamiento que presenta la velocidad articular,

al igual que en la figura D.16, se ve que los controladores que presentan una mejor respuesta en el seguimiento de la velocidad, son los controladores de seguimiento de trayectoria.


- 132 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Tiempo (s)

θ 2´ (r

ad/s

)


q´dPDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


En la figura D.18, se muestran los pares de control de los controladores son muy

similares. Se destaca la forma del par de control del controlador robusto de seguimiento de trayectoria el cual presenta oscilaciones elevadas a lo largo del tiempo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Tiempo (s)

τ 2 (N

m)

τ articular 2

PDP

RP

AP

PIDP

PDS

RS

AS

PIDS


En las figuras siguientes se confirma lo que se mostró en las figuras D.16 y D.17,

los controladores que se pueden sobreponer al incremento en la incertidumbre en los


- 133 -

parámetros, son los controladores adaptable, PID y robusto de seguimiento de trayectoria, los cuales logran el seguimiento de la posición y velocidad deseadas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Tiempo (s)

q tilde

(ra

d)


PDP

RPAP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo (s)

q´til

de (

rad/

s)


PDP

RPAP

PIDP

PDS

RSAS

PIDS


A lo largo de las pruebas vemos que los controladores de seguimiento presentan una

mejor respuesta a las dos posiciones deseadas (escalón unitario y posición variante en el tiempo). El controlador que mejor responde al cambio en los parámetros el controlador adaptable de seguimiento, pues sus índices de error son pequeños y realiza el menor esfuerzo de control.


- 134 -

D.2. Resultados del segundo conjunto de pruebas. Prueba A.

En esta prueba se realizan cambios en la trayectoria a seguir. El caso nominal es el seguimiento de una señal escalón y se considera un conocimiento perfecto del valor de los parámetros. Las señales a seguir durante esta prueba se muestran en el apéndice E.


0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Índice IAE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

5

10

15

20Índice ITAE

Por

cent

aje

(%/1

00)

Señal


2

4

6

8

10Índice ISE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

5

10

15

20

25

30

35

40Índice CE

Por

cent

aje

(%/1

00)

Señal

PDp

RpAp

PIDp

PDs

RsAs

PIDs

Figura D.21. Relación de cambio en los valores de los índices de desempeño presentados por los

controladores en la prueba A En la figura anterior se observa que el controlador adaptable de seguimiento de

trayectoria presenta el mejor comportamiento en los valores de los índices de error. Al variar las señales de referencia a seguir, y en función a los cambios que existen

en los índices de error se observa que la señal polinomial, es la señal que más se les complica a los controladores. A partir de los cambios en el índice CE se ve que la señal de Kelly requiere un esfuerzo recontrol más elevado para poder seguirla. Prueba B.

En esta prueba se realizan cambios en el nivel de la incertidumbre para probar como se modifica la respuesta de los controladores. Esta prueba tiene como objetivo observar que controlador tiene la posibilidad de ser robusto a los cambios en los parámetros del robot manipulador.

En la figura D.22 se observa que los controladores PD, robusto y adaptable de posición no pueden mantener una buena respuesta a la salida del sistema. Además, el incrementar la incertidumbre en el valor de los parámetros del sistema, el índice del esfuerzo de control que realizan los controladores se incrementa demasiado.


- 135 -

En esta prueba se destacan los controladores adaptable y PID de seguimiento de trayectoria, pues en base al comportamiento de los índices de error ambos pueden manejar el incremento en el nivel de incertidumbre en el valor de los parámetros.

0% 10% 25%0

1

2

3

4

5

6Índice IAE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

5

10

15

20

25

Índice ITAE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0% 10% 25%0

2

4

6

8

10

12

Índice ISE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

10

20

30

40

50


Por

cent

aje

(%/1

00)

Índice CE

PDp

RpAp

PIDp

PDs

RsAs

PIDs


controladores en la prueba B

Prueba C. En esta prueba se realizan cambios en la ubicación de la incertidumbre, con el fin de

distinguir que conjunto de parámetros tiene un mayor efecto en el comportamiento del sistema. Los parámetros están divididos en el conjunto de masas y el conjunto de inercias. En ambos conjuntos se maneja un nivel de incertidumbre del 25%. Como en las pruebas anteriores, se compara el comportamiento de cada caso contra el caso de prueba nominal.

En la figura D.23 se ve claramente que es mucho mayor el efecto de las masas en

comparación con el efecto de las inercias, esto nos indica que cuando se diseñe un controlador se debe de tratar de conocer lo más exacto posible las masas de cada uno de los eslabones del sistema.


- 136 -

0% Masas Inercias0

1

2

3

4

5

6Índice IAE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

5

10

15

20

25

Índice ITAE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0% Masas Inercias0

2

4

6

8

10

12

Índice ISE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

2

4

6

8

10

Ubicación de la IncertidumbreP

orce

ntaj

e (%

/100

)

Índice CE

PDp

RpAp

PIDp

PDs

RsAs

PIDs


controladores en la prueba C Prueba D.

Para esta prueba, se realizan cambios en la masa de carga. Esta prueba surge a partir del uso del robot manipulador para el transporte de piezas, donde su masa de carga va a estar variando constantemente hasta el grado de llegar a desaparecer.

En esta prueba se compara la respuesta del controlador en el caso nominal con el

caso donde se duplica el valor de la masa de carga y el caso donde se elimina la masa de carga.

En la figura D.24 se observa que es mayor el efecto de duplicar la carga que el

efecto de eliminar la carga. Para algunos controladores es benéfico y se tiene un mejor control del sistema. Los controladores que se ven gravemente afectados por los cambios en la masa de carga son los controladores PD, PID y adaptable de posición.

A partir de la revisión de la evolución del conjunto de índices de desempeño se llega

a la conclusión que los controladores PID y adaptable de seguimiento presentan el mejor comportamiento a lo largo de la prueba.


- 137 -


5

10

15

20

25

30

Índice IAE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

20

40

60

80

100

120

140

160

Índice ITAE

Por

cent

aje

(%/1

00)

Carga


5

10

15

20Índice ISE

Por

cent

aje

(%/1

00)


0

2

4

6

8

10

12

CargaP

orce

ntaj

e (%

/100

)

Índice CE

PDp

RpAp

PIDp

PDs

RsAs

PIDs


controladores en la prueba D


- 138 -

Hoja en Blanco


- 139 -

Apéndice E

Uso de los modelos de simulación

A continuación se va a describir el método de uso de los modelos de simulación desarrollados. En primer lugar se va a describir la forma de uso del modelo de simulación de la cinemática del robot manipulador. Enseguida se describen los pasos necesarios para el uso de los modelos de simulación de la dinámica del robot manipulador.

E.1. Modelo de simulación de la cinemática del robot manipulador Este modelo se encuentra desarrollado en SIMULINK® 6.4, el archivo lleva por

nombre cinematica.mdl. Ésta compuesto por un menú a base de subsistemas, para acceder a cada una de las opciones se debe de dar doble click en la opción seleccionada, en la siguiente figura se muestra el menú principal del modelo.

CinemáticaInversa

CinemáticaDirecta

Figura E.1.- Menú principal del modelo de simulación de la cinemática

Apéndice F. Uso de los modelos de simulación

- 140 -

Según la cinemática seleccionada se va a abrir una ventana con otro menú para seleccionar el robot manipulador, como se muestra en la figura E.2.

Cinematica Directa del

SCORBOT ER-V+

Cinematica Directa

del PUMA Cinematica Inversa del

SCORBOT ER-V+

Cinematica Inversa del

PUMA

a) Menú de cinemática directa b) Menú de cinemática inversa Figura E.2.- Menús de selección del robot manipulador

E.1.1. Simulación de la cinemática directa Los modelos de simulación de la cinemática directa son muy similares, sólo

cambian las funciones de definición del robot, en la figura E.3 se puede observar el contenido del modelo. El bloque requiere a la entrada el valor de las coordenadas articulares (en grados) y entrega a la salida la ubicación del efector final (en metros), en un vector de 3x1.

Los angulos deben intruducirse en grados

-50

Theta 3

100

Theta 2

50

Theta 1

0.74918748314886

Pz

0.079063964088255

Py

0.066342543105869

PxTheta 1

Theta 2

Theta 3

Punto

Cinemática Directa SCORBOT ER-V+

Figura E.3.- Modelo de simulación de la cinemática directa del robot SCORBOT ER-V+

Figura E.4.- Ventana de introducción de parámetros para la simulación de la cinemática directa del

robot SCORBOT ER-V+

Para la introducción de los parámetros del robot, se debe dar doble click en el subsistema del modelo y se abre la ventana de introducción de parámetros (figura E.4).


- 141 -

Estos modelos tienen la capacidad de obtener la ubicación del efector final para un punto, o para un conjunto de valores variantes en el tiempo.

E.1.2. Simulación de la cinemática inversa Los modelos de simulación de la cinemática inversa son muy similares, sólo

cambian las funciones de definición del robot y el vector de resultados puesto que en el caso del robot SCORBOT ER-V+ se obtienen dos posibles configuraciones y en el caso del robot PUMA se obtienen 4 configuraciones. En la figura D.5 se observa el contenido del modelo. El bloque requiere a la entrada el valor de la ubicación del efector final (en metros) y devuelve el valor de las coordenadas articulares (en grados).

Las coordenadas en metros

0.74918748314886

Pz

0.079063964088255

Py

0.066342543105869Px

50

50

50

Codo Arriba

50

100

-50

Codo Abajo

Px

Py

Pz

Punto

Cinemática InversaSCORBOT ER-V+

Figura E.5.- Modelo de simulación de la cinemática inversa del robot SCORBOT ER-V+

Al igual que en el modelo de la cinemática directa, para la introducción de los

parámetros del robot, se debe dar doble click en el subsistema del modelo y se abre la ventana de introducción de parámetros (similar a la mostrada en la figura E.4, sólo cambia el nombre de la ventana).

E.2. Modelo de simulación de la dinámica del robot manipulador Este modelo, al igual que el modelo de simulación de la cinemática del robot

manipulador, se encuentra desarrollado en SIMULINK® 6.4. El bloque que realiza la simulación de la dinámica del robot manipulador lleva por nombre el nombre del robot manipulador que representa.

Para su uso es necesario introducir en el bloque, los pares articulares que generan

los motores del robot manipulador, y a la salida se obtiene la evolución que presentan las posiciones y velocidades articulares. En la figura E.6 se muestra la forma de conexión del modelo de simulación.

De una forma muy similar a los modelos de la cinemática, para cambiar los parámetros del robot manipulador es necesario darle doble click al bloque de simulación y se accede a la venta de introducción de parámetros (figura E.7).

Apéndice F. Uso de los modelos de simulación

- 142 -

q3,q3_punto

q2,q2_punto

q1,q1_punto

Tao3

Tao2

Tao1 Tao1

Tao2

Tao3

q1q1_punto

q2q2_punto

q3q3_punto

DinamicaScorbot

Figura E.6.- Modelo de simulación de la dinámica del robot SCORBOT ER-V+

Figura E.7.- Ventana de introducción de parámetros para la simulación de la dinámica del robot

SCORBOT ER-V+

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